สร้างฟังก์ชันเชิงมูลฐานทั้งหมดจากโอเปอเรชันทวิภาคเดี่ยว

• มีการเสนอว่าโอเปอเรชันทวิภาคเดี่ยว EML ในรูปแบบ exp(x) − ln(y) สามารถสร้าง ฟังก์ชันเชิงมูลฐานและค่าคงที่ ได้ทั้งหมด
• ด้วยโอเปอเรชันนี้และค่าคงที่ 1 เพียงอย่างเดียว สามารถแทน การดำเนินการเลขคณิต, ฟังก์ชันอดิศัย (sin, cos, log, √ เป็นต้น), ค่าคงที่เชิงซ้อน (e, π, i) ได้ทั้งหมด
• นิพจน์ EML ทั้งหมดประกอบด้วย ต้นไม้ทวิภาคที่มีโครงสร้างโหนดแบบเดียวกัน จึงนำไปใช้กับ symbolic regression และการเรียนรู้แบบอาศัยกราเดียนต์ ได้
• EML เป็น คู่เทียบทางคณิตศาสตร์ของเกต NAND โดยทำหน้าที่เป็น โอเปอเรชันสากลเดี่ยว ในคณิตศาสตร์ต่อเนื่อง
• การค้นพบนี้แสดงให้เห็นว่า ฟังก์ชันเชิงมูลฐานทั้งหมดสามารถย่อลงเป็นกฎการสร้างเพียงกฎเดียวได้ และเปิดความเป็นไปได้ใหม่สำหรับ การค้นหาสูตรและ symbolic AI

---

นิยามของโอเปอเรชันทวิภาคเดี่ยว EML

• มีการเสนอว่าโอเปอเรชันทวิภาคเดี่ยวในรูปแบบ eml(x, y) = exp(x) − ln(y) สามารถสร้าง ฟังก์ชันเชิงมูลฐาน ได้ทั้งหมด
  • ด้วยโอเปอเรชันนี้และค่าคงที่ 1 เพียงอย่างเดียว สามารถแทน การดำเนินการเลขคณิต (+, −, ×, /, ยกกำลัง), ฟังก์ชันอดิศัย (sin, cos, log, √ เป็นต้น), ค่าคงที่ (e, π, i) ได้ทั้งหมด
  • ตัวอย่างเช่น e^x = eml(x, 1) และ ln x = eml(1, eml(eml(1, x), 1))
• โอเปอเรชัน EML (Exp–Minus–Log) คำนวณใน โดเมนจำนวนเชิงซ้อน (C)
  • ค่าคงที่ 1 ทำหน้าที่ลบล้างพจน์ลอการิทึมผ่าน ln(1)=0
  • สามารถสร้างค่าคงที่เชิงซ้อนอย่าง i และ π ได้ผ่านการคำนวณ ln(−1)
• โอเปอเรชันนี้ถูกเสนอให้เป็น โอเปอเรชันพื้นฐานเดี่ยวของคณิตศาสตร์ต่อเนื่อง ที่สอดคล้องกับ เกต NAND ในตรรกะดิจิทัล
  • เช่นเดียวกับที่ NAND สร้างตรรกะบูลีนทั้งหมดได้ EML ก็สร้างฟังก์ชันเชิงมูลฐานทั้งหมดได้เช่นกัน

แนวคิดของเครื่องคิดเลขที่ใช้โอเปอเรชันเดี่ยว

• มีการเสนอแนวคิด “เครื่องคิดเลขสองปุ่ม”
  • ใช้เพียงโอเปอเรชันทวิภาคหนึ่งตัว (EML) และค่าคงที่หนึ่งค่า (1) ก็ทำงาน ทุกฟังก์ชันของเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ ได้
  • แม้ไม่มีโอเปอเรชันเพิ่มเติม ก็ยังคำนวณ ฟังก์ชันเชิงมูลฐานของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด ได้
• ไม่สามารถลดจำนวนโอเปอเรชันลงไปได้มากกว่านี้อีก
  • อย่างน้อยต้องมีโอเปอเรชันทวิภาคหนึ่งตัวและสัญลักษณ์ปลายทางหนึ่งตัว (ค่าคงที่)

ลักษณะเชิงโครงสร้างของนิพจน์ EML

• นิพจน์ EML ทั้งหมดมี โครงสร้างต้นไม้ทวิภาคที่ประกอบด้วยโหนดชนิดเดียวกัน
  • รูปแบบไวยากรณ์: S → 1 | eml(S, S)
  • สิ่งนี้สามารถตีความเป็น ภาษาปราศจากบริบท ที่ไอโซมอร์ฟิกกับ โครงสร้าง Catalan และ ต้นไม้ทวิภาคสมบูรณ์
• โครงสร้างที่สม่ำเสมอนี้ทำให้สามารถใช้ การหาค่าเหมาะที่สุดแบบอาศัยกราเดียนต์ (เช่น Adam) กับ symbolic regression ได้
  • สามารถใช้ ต้นไม้ EML เป็นวงจรที่เรียนรู้ได้ และกู้คืน ฟังก์ชันเชิงมูลฐานแบบปิดที่ถูกต้อง ได้ที่ ความลึกของต้นไม้ตื้น (ไม่เกิน 4)
  • หากกฎกำเนิดเป็นฟังก์ชันเชิงมูลฐาน ค่าน้ำหนักที่เรียนรู้ได้อาจ ลู่เข้าสู่รูปสมการที่ถูกต้องอย่างแม่นยำ

กระบวนการค้นพบและนัยทางคณิตศาสตร์

• โอเปอเรชัน EML ถูกค้นพบผ่าน การค้นหาแบบครบถ้วนเป็นระบบ (exhaustive search)
  • ผลการค้นหายืนยันว่า EML สร้าง ฐานโอเปอเรชันที่สมบูรณ์ของเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ ได้
• ใช้วิธี “เครื่องคิดเลขเสีย (broken calculator)” ที่ค่อย ๆ ลดจำนวนโอเปอเรชันลง
  • ลดจาก 4 → 3 → 2 → 1 โอเปอเรชัน โดยยังคงความสามารถครบถ้วน
• EML มี ความเรียบง่ายที่คาดไม่ถึง และเป็น โอเปอเรชันทวิภาคที่นิยามขึ้นจากฟังก์ชันเชิงมูลฐานเอง
• การมีอยู่ของ EML แสดงให้เห็นว่า ฟังก์ชันเชิงมูลฐานอยู่ในลำดับชั้นเชิงกำเนิดที่เรียบง่ายกว่าที่คิดมาก
  • ขยายแนวคิดที่ว่าฟังก์ชันหลากหลายชนิดสามารถย่อลงเป็น การผสมกันของ exp และ ln
• เนื่องจากสามารถแทนทุกสมการคณิตศาสตร์ได้ด้วย องค์ประกอบซ้ำเดี่ยว
  • จึงเป็นไปได้ที่จะมี การแทนสมการแบบวงจร ที่คล้ายกับ การประกอบวงจรอิเล็กทรอนิกส์จากทรานซิสเตอร์
• การแทนแบบวงจรที่สม่ำเสมอนี้เปิดความเป็นไปได้ใหม่สำหรับ การค้นหาสูตร การประเมินผล และการเรียนรู้

แนวคิดที่เกี่ยวข้องและบริบททางประวัติศาสตร์

• ความเป็นสากลขององค์ประกอบพื้นฐานเดี่ยว เป็นแนวคิดสำคัญในคณิตศาสตร์ วิศวกรรม และชีววิทยา
  • ตัวอย่าง: เกต NAND/NOR, ฟังก์ชันกระตุ้น ReLU, ตัวประกอบ K,S, OISC(SUBLEQ), ออโตมาตาเซลลูลาร์ Rule 110 เป็นต้น
• องค์ประกอบแบบ Sheffer พบได้ไม่บ่อย และการค้นพบต้องอาศัย เวลา การคำนวณ และโชค
  • EML ถูกเสนอเป็นหนึ่งในตัวอย่างของโอเปอเรชันต่อเนื่องแบบ Sheffer ดังกล่าว
• อาศัยความสัมพันธ์การย่อรูปที่มีอยู่เดิม เช่น การแทนกันได้ของลอการิทึมและเลขชี้กำลัง
  • x×y = e^{ln x + ln y}, x+y = ln(e^x × e^y) และ สูตรของออยเลอร์ (e^{iφ} = cos φ + i sin φ)

ชุดของฟังก์ชันเชิงมูลฐานและการขยายต่อในอนาคต

• งานวิจัยนี้เริ่มต้นจาก ชุดฟังก์ชันเชิงมูลฐานระดับเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์
  • ค่าคงที่: π, e, i, −1, 1, 2, x, y
  • ฟังก์ชันเอกภาค: exp, ln, inv(1/x), minus(−x), √, sqr(x²), σ(1/(1+e^−x)), sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, sinh, cosh, tanh เป็นต้น
  • โอเปอเรชันทวิภาค: +, −, ×, /, log, pow(x^y), avg((x+y)/2), hypot(√(x²+y²))
• พิสูจน์แล้วว่าสามารถแทนชุดทั้งหมดนี้ได้อย่างสมบูรณ์ด้วย โอเปอเรชันเดี่ยว EML และค่าคงที่ 1
• ในการค้นหาเบื้องต้น ยังพบ โอเปอเรชันลักษณะคล้ายกันที่มีคุณสมบัติทรงพลังยิ่งกว่า
  • ตัวอย่าง: โอเปอเรชันแปรผันแบบสามตัวแปร (ternary) ที่ไม่ต้องใช้ค่าคงที่
• EML ถูกเสนอเป็น จุดเริ่มต้น ที่แสดงให้เห็นถึงความเป็นไปได้ของ โอเปอเรชันกำเนิดเดี่ยวในคณิตศาสตร์ต่อเนื่อง
  • ในอนาคตอาจประยุกต์ใช้ได้หลากหลาย เช่น การค้นพบสูตรอัตโนมัติ, symbolic AI, การหาค่าเหมาะที่สุดของการแทนเชิงคณิตศาสตร์

[carnoxen]

ถ้าจะเขียนเป็นสมการ ก็หมายความว่า $eml(x, y) = e^x - ln(x)$ สินะ

แต่ว่ามันน่าจะเปล่งประกายได้จริงก็ต่อเมื่อมีโปรเซสเซอร์ที่คำนวณ $e^x$ หรือ $ln(x)$ ได้ในครั้งเดียว

[GN⁺]

ความคิดเห็นจาก Hacker News

• แนวทางนี้ไม่ใช่วิธีที่พิเศษหรือใช้การคำนวณน้อยที่สุดเสมอไป
  ตัวอย่างเช่น ถ้ากำหนด f(x, y) = 1/(x - y) สิ่งนี้ก็เป็น ตัวดำเนินการสากล ได้เช่นกัน
  ถ้าให้ x#y = 1/(x - y) ก็จะได้ x#0 = 1/x สำหรับหาค่าผกผัน และ (x#y)#0 = x - y สำหรับแทน การลบ
  การประกอบการดำเนินการพื้นฐานทั้งสี่จากเพียงค่าผกผันกับการลบเป็นโจทย์ที่พบได้บ่อย
  มีบทพิสูจน์สั้น ๆ ที่เกี่ยวข้องอยู่ในบันทึกนี้

  • จุดที่น่าสนใจคือแนวทางนี้รวมถึง ค่าคงที่ e, π, i ด้วย ครอบคลุมทั้งการบวก การคูณ ยกกำลัง ลอการิทึม และแม้แต่ฟังก์ชันอดิศัย
  • วิธี f(x, y) ที่คุณพูดถึงต้องอาศัย ลิมิต (limit) เพื่อแสดงบางแนวคิด แต่แนวทาง EML อยู่ในรูป โครงสร้างต้นไม้การคำนวณ ที่ใช้แทนโมเดลของระบบ
  • เจอได้ดีมาก อ้างถึงบทความปี 1935 (บทความ PNAS) และยังมีการถกเถียงต่อใน MathOverflow
  • งั้นก็น่าสงสัยว่าจากการแทนแบบเดี่ยวนี้จะ อนุมานฟังก์ชันตรีโกณมิติ ได้ด้วยไหม
  • แต่ด้วยวิธีนี้น่าจะจัดการ ค่าคงที่มาตรฐานหรือการแทนแบบปิดรูป อย่าง e, π, exp, log ได้ยาก

• ดีใจที่ได้เห็นไอเดียแบบ FRACTRAN ขึ้นมาหน้าแรก
  มันทำให้นึกถึงการเข้ารหัสสแตก 1 บิตเป็นเลขฐานสอง
  push 0 คือคูณจำนวนด้วยสอง, push 1 คือคูณสองแล้วบวกหนึ่ง ส่วน pop ก็เท่ากับหารสอง
  ผมใช้ภาษาสายต่อประกอบชื่อ Rejoice ที่อิงกับไอเดียลักษณะนี้ ข้อมูลถูกแทนเป็นมัลติเซตที่ประกอบกันด้วยการคูณ
  วิกิ Rejoice

  • ไม่ต้องติดตามขนาดของสแตกเพื่อจะรู้หรือว่ามี ศูนย์นำหน้า อยู่ไหม?
  • ที่อธิบายมานี่ดูเหมือนแค่พูด หลักการพื้นฐานของเลขฐานสอง ใหม่อีกแบบ

• นี่เป็น เบนช์มาร์ก ที่ดีสำหรับทดสอบประสิทธิภาพของ LLM

  논문: https://arxiv.org/pdf/2603.21852
  "2x + y"를 EML 조합으로 표현하시오
  

  Opus(paid) ล้มเหลวโดยบอกว่า “2” เป็นแบบวนกลับ แต่ ChatGPT ทำได้แล้วจึงผ่าน
  ChatGPT(free) ผ่านในครั้งเดียว, Grok ประเมินความลึก, Gemini ผ่าน, Deepseek โหลด PDF ไม่ได้, Kimi หยุดกลางทาง, GLM ทำได้โอเค

  • วันนี้ได้เรียนรู้ว่าถ้า ยั่ว (taunt) LLM มันจะทำได้ดีขึ้น ดูเหมือนจะมีความเป็นนักแข่งอยู่บ้าง
  • ผมแค่คัดลอกบทคัดย่อไปใส่ DeepSeek มันก็ให้ผลลัพธ์ได้ การหักคะแนนเพราะไม่รู้จัก PDF ดูไม่ยุติธรรม
  • ถ้าคุณชอบการทดลองแบบนี้ แนะนำให้ลองไปช่วย Terminal Bench Science
  • ลองเปลี่ยนพรอมป์ต์เป็นแบบนี้:

    eml(x,y)=exp(x)−ln(y)
    sin(x)/x를 EML과 상수 1로 표현하시오
    

  • โหมด instant ของ meta.ai ก็ผ่านในครั้งเดียวเหมือนกัน

    2x + y = \operatorname{eml}\Big(1,\; \operatorname{eml}\big(\operatorname{eml}(1,\; \operatorname{eml}(\operatorname{eml}(1,\; \operatorname{eml}(\operatorname{eml}(L_2 + L_x, 1), 1) \cdot \operatorname{eml}(y,1)),1)\big),1\big)\Big)
    

    Gemini เข้าใจ EML ผิดว่าเป็น “elementary mathematical layers”

• มีการทำภาพแสดง ฟังก์ชัน EML สองชั้นแบบต่างกัน 36 แบบ สำหรับตัวแปรเดี่ยว
  18 แบบแรกให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง ส่วนที่เหลือมีค่าจำนวนเชิงซ้อนอยู่ระหว่างทาง
  ลิงก์รูปภาพ

  • น่าจะสนุกถ้าจัดหมวดหมู่ ฟังก์ชันต้นไม้ทวิภาค แบบความลึกคงที่ทั้งหมด แล้วเข้ารหัสต้นไม้เป็นเลขฐานสอง
    ตารางฟังก์ชันในหนังสือคณิตศาสตร์เก่า ๆ อาจถูกตีความใหม่เป็นแค่ การค้นหาด้วยแฮช ได้

• ประโยคที่ว่า “คำนวณทุกอย่างได้ด้วย EML และเลข 1 เท่านั้น” ทำให้นึกถึง Iota combinator
  คล้ายกับแนวคิดการบรรลุ ความเป็นทัวริงสมบูรณ์ ด้วยระบบรูปแบบที่เล็กที่สุดเท่าที่จำเป็น

• ลิงก์บทความตอนนี้ยังเป็น v1 เลยไม่มีรูป ควรเปลี่ยนเป็น v2
  ยังอ่านไม่จบ แต่ถ้าจริงนี่อาจเป็น การค้นพบใหญ่ในรอบหลายปี
  ถ้าสามารถใช้ ต้นไม้ EML ฟิตข้อมูลหรือฟังก์ชันคลื่น แทนสปลายน์หรือพหุนามได้
  ฟังก์ชันหลายตัวแปรก็น่าจะเรียนรู้ด้วย gradient descent แล้วแปลงเป็นต้นไม้ประมาณค่าแบบ EML ได้
  อาจฝึกให้ตรงกับเงื่อนไขอนุพันธ์ของสมการชเรอดิงเงอร์ได้ด้วย
  มันดูดีเกินไปจนชวนสงสัย แต่เรื่องแบบนี้ก็เคยเกิดขึ้นจริง

  • จากประสบการณ์ที่ผมวิจัยด้านนี้มา 1 ปี EML ทรงพลังมาก แต่ปัญหาคือ การระเบิดของขนาดนิพจน์
    แค่จะแทนการคูณหนึ่งครั้งก็ต้องใช้ต้นไม้ลึก 8 และมีใบมากกว่า 41 ใบ
    มี จุดแลกเปลี่ยนระหว่างความสง่างามของชุดตัวดำเนินการขั้นต่ำกับความยาวของนิพจน์
    ผมทำแนวทางที่ผสาน ทฤษฎี operad กับ Category Theory เพื่อรวมโครงข่ายประสาทเชิงสเปกตรัมเข้ากับ symbolic regression
  • ก็เหมือนเหตุผลที่เราไม่สร้างตรรกะบูลีนทั้งหมดด้วย NAND เพียงอย่างเดียว เพราะ ประสิทธิภาพในการคำนวณ
    พหุนามคำนวณได้เร็วเมื่อเทียบกับพลังในการแทนค่า
  • บทความนี้น่าสนใจและสง่างาม แต่ไม่ใช่ ทางเลือกเชิงแข่งขันสำหรับงานรีเกรสชันหรือการหาค่าเหมาะที่สุด
    สิ่งที่คุณพูดคล้ายกับ symbolic regression แบบเดิมมาก ซึ่งเป็นสาขาที่พัฒนาเต็มที่แล้ว
  • แนวทางที่อิง EML นั้นเท่มาก แต่แม้แต่ฟังก์ชันง่าย ๆ (เช่น +) ก็ยังแทนได้ยาก
    ถึงอย่างนั้นก็ยังเป็นการค้นพบที่น่าสนใจมาก
  • เป็นลูกเล่นที่เจ๋ง แต่จะเรียกว่า การค้นพบครั้งใหญ่ ก็ดูเกินจริงไปหน่อย

• กระบวนการอนุมาน -x ดูเหมือนจะผิด
  ถ้าดูการไล่รันของสแตกแมชชีน จะได้ว่า eml(z, eml(x,1)) = e^z - x
  ถ้าจะให้เท่ากับ -x ก็ต้องมี e^z = 0 แต่ ไม่มีจำนวนเชิงซ้อน z แบบนั้นอยู่จริง
  จริง ๆ แล้วถ้าคลี่ z ออกมาก็จะเจอปัญหาอย่าง ln(0) และ x^-1 ก็คล้ายกัน
  ถ้าสมมติว่า ln(0)=∞ และ x/∞=0 มันก็จะทำงานแบบ “พอฟังขึ้น”

  • ผู้เขียนพูดถึงสัญกรณ์ RPN แต่ สูตรถูกให้มาเป็นรูปภาพเท่านั้น เลยใช้งานลำบาก
    ถ้าดูตามลำดับการคำนวณจะเป็น ln(1)=0 → e-ln(0)=+∞ → e-ln(+∞)=-∞
  • ในบทความก็ยอมรับปัญหานี้เหมือนกัน ผมตัดสินเร็วไปหน่อย

• มีไอเดียน่าสนใจหลายอย่างผุดขึ้นมา

  1. ถ้าเพิ่มค่าสัมบูรณ์ด้วย sqrt(x*x) ก็จะอนุมาน min, max และ signum ได้ด้วย
  2. ถ้า f(x) และ f⁻¹(x) เป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและครอบคลุม ที่แทนด้วย eml() ได้ ก็อาจสร้างฐานสากลแบบใหม่จาก eml(f(x), f(y)) และ f⁻¹(1) ได้
  3. ถ้าใช้ฐานแบบ 2^x - log₂(y) แทนลอการิทึมธรรมชาติ อาจมีประสิทธิภาพเชิงคำนวณมากกว่า และทำให้นึกถึง Elias omega coding
  4. ถ้ามี อัลกอริทึมคำนวณอนุพันธ์ สำหรับต้นไม้ eml() ก็น่าจะพิสูจน์ได้ชัดขึ้นว่าฟังก์ชันใดไม่มีปริพันธ์ไม่จำกัดเขตแบบสัญลักษณ์
  5. การขยายไปยังจำนวนเชิงซ้อนอาจเชื่อมกับ ตรรกะฟัซซีที่มีค่าความจริงเชิงซ้อน ได้ด้วย และอาจรวมตรรกะของ Lukasiewicz กับตรรกะการคูณเข้าด้วยกันได้

• ทำโปรเจกต์ emlvm เล่น ๆ เมื่อวานนี้

• ส่วนที่บอกว่า “สามารถ กู้คืนฟังก์ชันแบบปิดรูป ได้ด้วยต้นไม้ EML ที่มีความลึกไม่เกิน 4” นี่เจ๋งมาก
  ผมสงสัยมาตลอดว่าอะไรแบบนี้จะเป็นไปได้ไหม