กลับมาเรียนคณิตศาสตร์อีกครั้งในวัยผู้ใหญ่
(gmays.com)- ระหว่างสร้างผลิตภัณฑ์ AI ผู้เขียนพยายามทำความเข้าใจการทำงานของ LLM และ Transformer ให้ลึกขึ้น จึงตระหนักว่าตนเองยังขาดพื้นฐานด้านสถิติ·ความน่าจะเป็น พีชคณิตเชิงเส้น และแคลคูลัส เลยเริ่มกลับมาเรียนคณิตศาสตร์ทุกวัน
- เส้นทางการเรียนที่เลือกคือ Math Academy ซึ่งครอบคลุมตั้งแต่ระดับมัธยมต้นไปจนถึงบัณฑิตศึกษา และมี Foundation Series สำหรับผู้ใหญ่ที่ออกแบบมาให้ไต่กลับไปถึงคณิตศาสตร์ระดับมหาวิทยาลัยได้ค่อนข้างรวดเร็ว
- หลังการประเมินวัดระดับ บทเรียนแบบโต้ตอบ ที่ตามมาส่วนใหญ่ใช้เวลาประมาณ 10 นาที จึงเรียนต่อได้ง่ายแม้มีช่วงเวลาสั้น ๆ ระหว่างงาน การเลี้ยงลูก และการออกกำลังกาย
- การเรียนคณิตศาสตร์ไม่ใช่กิจกรรมแบบเลื่อนผ่านเหมือนแอปทั่วไป แต่เป็นงานหนักที่ส่วนใหญ่ต้องใช้ ดินสอและกระดาษ และผู้เขียนมองว่ากว่าจะไปถึงคอร์ส Mathematics for Machine Learning คงต้องใช้เวลาหลายปี
- ณ เดือนมกราคม 2024 ผู้เขียนทำสถิติ เรียนต่อเนื่อง 106 วัน และในเดือนพฤษภาคม 2025 ก็เผยแพร่อัปเดตครบ 500 วัน พร้อมสร้างแอปติดตามนิสัยชื่อ Main Character ด้วย
จุดเริ่มต้นที่ทำให้กลับมาเรียนคณิตศาสตร์
- ระหว่างสร้างผลิตภัณฑ์ AI ผู้เขียนอยากเข้าใจ ด้านเทคนิค ของผลิตภัณฑ์ให้ลึกขึ้น
- ผู้เขียนตัดสินว่า หากจะเรียนรู้ LLM และ Transformer จำเป็นต้องมีพื้นฐานในด้านต่อไปนี้
- สถิติ·ความน่าจะเป็น
- พีชคณิตเชิงเส้น
- แคลคูลัส
- หลังเรียนจบระดับบัณฑิตศึกษา ผู้เขียนแทบไม่ได้ใช้คณิตศาสตร์มากนัก ยกเว้นการคำนวณเกี่ยวกับประมาณการของบริษัทหรือการเงิน จึงรู้สึกว่ายังขาดสัญชาตญาณต่อแนวคิดหลักและความเชื่อมโยงระหว่างแนวคิดต่าง ๆ
- เป้าหมายไม่ใช่การเป็นนักคณิตศาสตร์ แต่คือการมี สัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ มากพอจะเข้าใจ LLM และ Transformer ได้
Math Academy ที่เลือกเป็นเส้นทางเรียนสำหรับผู้ใหญ่
- ผู้เขียนเลือก Math Academy เป็นวิธีเรียนคณิตศาสตร์อย่างคุ้มค่าเวลาสำหรับผู้ใหญ่ที่มีงาน มีลูก มีภาระผ่อนบ้าน และมีงานอดิเรกอื่น ๆ
- Math Academy เป็นสตาร์ตอัปที่ก่อตั้งโดย Jason Roberts และ Sandy ตอนที่เขียนบทความนี้ยังอยู่ในช่วงเบตา แต่ผู้เขียนก็ซื้อไลเซนส์แบบเสียเงินมาใช้งาน
- ปัจจุบันจุดเน้นหลักคือการเรียนคณิตศาสตร์ของเด็ก ๆ แต่ผู้เขียนมองว่าสำหรับผู้เรียนที่เป็นผู้ใหญ่ก็มีประสิทธิภาพเช่นกัน
- คอร์สครอบคลุมคณิตศาสตร์ตั้งแต่ระดับมัธยมต้นถึงบัณฑิตศึกษา และถูกแนะนำว่าเป็น หลักสูตรที่ได้รับการรับรอง
- จุดเริ่มต้นสำหรับผู้ใหญ่คือ Foundation Series
- ข้ามบางส่วนที่จำเป็นกับเด็ก แต่ไม่จำเป็นมากนักสำหรับผู้ใหญ่
- ออกแบบมาให้ไต่กลับไปสู่คณิตศาสตร์ระดับมหาวิทยาลัยได้ค่อนข้างรวดเร็ว
วิธีการเรียนของ Math Academy
- หลังสมัครใช้งาน จะมีการประเมินวัดระดับเพื่อดู ความชำนาญทางคณิตศาสตร์ ปัจจุบัน แล้วเริ่มจากระดับที่เหมาะสม
- จากนั้นเป็นบทเรียนแบบโต้ตอบที่ผู้เรียนกำหนดจังหวะเอง โดยบทเรียนส่วนใหญ่ยาวประมาณ 10 นาที ทำให้ผู้ใหญ่ที่ยุ่งสามารถเรียนในช่วงเวลาสั้น ๆ ได้ง่าย
- ลำดับการเรียนคือสอนแนวคิด ประเมิน ทบทวน แล้วค่อยต่อยอดด้วยแนวคิดใหม่บนพื้นฐานเดิม
- ไม่ใช่วิธีที่แค่ทำให้รู้สึกเหมือนได้เรียนจากวิดีโอเท่านั้น แต่มีคำอธิบายคั่นระหว่างโจทย์ และใกล้เคียงกับ กระบวนการเรียนรู้ที่เป็นรูปธรรม ที่ต้องลงมือแก้ด้วยตัวเอง
- เมื่อถึงช่วงทำแบบทดสอบ ผู้เขียนรู้สึกได้ว่าตนสามารถนำสิ่งที่เรียนมาใช้จริงได้
คณิตศาสตร์ก็ยังยากอยู่ดี
- แม้ Math Academy จะทำให้การเรียนง่ายที่สุดเท่าที่ทำได้ แต่ตัวคณิตศาสตร์เองก็ยังเป็น งานหนัก อยู่ดี
- การเรียนส่วนใหญ่ต้องใช้ดินสอและกระดาษ
- ข้อยกเว้นคือบทเรียนง่าย ๆ ระดับทบทวนช่วงต้นที่อาจคิดในหัวได้
- หากจะเรียนคณิตศาสตร์อย่างจริงจัง วิธีแบบแค่ไถดูในแอปอย่างเดียวไม่เพียงพอ
- ผู้เขียนให้คะแนน Math Academy สูงในฐานะวิธีที่สะดวกกว่าสำหรับผู้ใหญ่ที่ต้องการเรียนคณิตศาสตร์จริง ๆ
การจัดสภาพแวดล้อมเพื่อสร้างนิสัย
- เพื่อสร้างนิสัยที่ยั่งยืน ผู้เขียนพยายามลดอุปสรรคในการเริ่มต้น และทำให้การเรียนคณิตศาสตร์กลายเป็น พฤติกรรมพื้นฐาน แบบใหม่
- เพื่อความสะดวก ผู้เขียนใช้เครื่องมือต่อไปนี้
- iPad: ใช้สำหรับเรียนบทเรียนเมื่อไม่ได้อยู่หน้าคอมพิวเตอร์ เพราะ Math Academy เป็นเว็บเบส
- Remarkable 2: ใช้สำหรับจดเขียนแบบ e-ink
- ใช้เคสที่ใส่อุปกรณ์ทั้งสองได้พร้อมกัน และในวันที่ 24 กุมภาพันธ์ 2025 ก็เปลี่ยนเป็น เคสอีกแบบ ที่มีช่องซิปสำหรับใส่แว่นตา AirPods และของอื่น ๆ
- ผู้เขียนยังเรียนระหว่างเวลารอทำหน้าที่ลูกขุน 15 นาทีก่อนเข้ายิม หรือช่วงเดินเบา ๆ บนลู่วิ่งใต้โต๊ะยืนทำงาน
- โดยปกติจะเรียนตอนเย็นหลังลูก ๆ หลับ และหลังออกกำลังกายเสร็จ
- แม้การต้องออกกำลังกายและเรียนคณิตศาสตร์ทั้งสองอย่างหลังวันที่ยาวนานจะเป็นเรื่องยาก แต่ การทำจนเป็นนิสัย ช่วยลดภาระลงได้
เป้าหมายระยะยาวและความคืบหน้า
- คอร์สเป้าหมายคือ Mathematics for Machine Learning ซึ่งถูกตั้งเป็นเป้าหมายที่ชัดเจนเพื่อให้เข้าใจ LLM และ Transformer ได้ดียิ่งขึ้น
- ด้วยเวลาที่มีจำกัด ผู้เขียนมองว่ากว่าจะถึงเป้าหมายคงต้องใช้เวลาหลายปี
- เหตุผลที่ใช้เวลานานมีสองข้อ
- คณิตศาสตร์ ยาก
- คณิตศาสตร์ กว้างใหญ่
- แม้ดูแค่กราฟความรู้ของคอร์ส Mathematical Foundations คอร์สแรก ก็เห็นได้แล้วว่ามีจำนวนแนวคิด ความเชื่อมโยง และช่องโหว่มากเพียงใด
- ผู้เขียนตั้งใจจะเรียนราว 10 คอร์ส และถ้าทำวันละหนึ่งบทเรียน ก็จะกลายเป็นการเรียนขนาดหลายปี
- ณ เดือนมกราคม 2024 ผู้เขียนทำบทเรียนอย่างน้อยวันละ 1 บทเรียนทุกวันนับจากเริ่มต้น และทำสถิติ เรียนต่อเนื่อง 106 วัน
มุมมองที่เปลี่ยนไปต่อการเรียน STEM ออนไลน์
- ก่อนหน้านี้ผู้เขียนคิดว่าวิชาที่ยากอย่างคณิตศาสตร์จะเรียนได้ดีจริง ๆ ก็ต้องอยู่ในสภาพแวดล้อมเฉพาะอย่างมหาวิทยาลัยเท่านั้น
- เดิมมองว่าคอร์สออนไลน์เหมาะกับหัวข้อที่นุ่มนวลกว่าและมีเทคนิคน้อยกว่า แต่หลังใช้ Math Academy ความคิดนั้นก็เปลี่ยนไป
- ผู้เขียนพอใจมากกับการที่สามารถเรียนเรื่องยาก ๆ ได้อย่างมีประสิทธิภาพและเข้าถึงได้
- และหวังว่า Math Academy จะขยายไปสู่ หัวข้อ STEM ที่ซับซ้อนอื่น ๆ เช่น วิทยาการคอมพิวเตอร์และฟิสิกส์
อัปเดตภายหลัง
- หลังอัปเดตเมื่อวันที่ 20 มกราคม 2024 ก็มีคนที่กำลังเดินเส้นทางคล้ายกันเข้ามาตอบรับ และยังมี การสนทนาใน Hacker News ที่คึกคัก
- ใน Math Academy มีระบบ เกมมิฟิเคชัน แบบใช้ XP จากการทำบทเรียนประจำสัปดาห์ และผู้ใช้รายนี้อยู่ในระดับสูงสุด Platinum ทุกสัปดาห์
- ในอัปเดตวันที่ 24 มกราคม 2025 ผู้เขียนเล่าว่ายังคงเรียนคณิตศาสตร์ทุกวันกับ Math Academy ต่อเนื่องมาเกินหนึ่งปีแล้ว
- การแชร์ความคืบหน้าอย่างเปิดเผยช่วยให้ทำต่อเนื่องได้ และเพื่อให้ทำสิ่งนี้ได้ง่ายขึ้น ผู้เขียนจึงสร้างแอปติดตามนิสัยฟรีชื่อ Main Character
- แอปจะติดตามนิสัยเมื่อผู้ใช้ทวีตความคืบหน้าของตัวเอง
- วันที่ 5 พฤษภาคม 2025 ผู้เขียนได้โพสต์ อัปเดตการเรียนคณิตศาสตร์ครบ 500 วัน และมี การสนทนาใน Hacker News ที่เกี่ยวข้องด้วย
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นจาก Hacker News
ผมเรียนมาในแนวคล้าย ๆ กันราว 1 ปีแล้ว และเป้าหมายคือเรียน คณิตศาสตร์ที่จำเป็นต่อการสร้างเกม 3D ขอบเขตจะใกล้กับพีชคณิต เรขาคณิต แคลคูลัส และพีชคณิตเชิงเส้น
ตอนแรกเริ่มจาก brilliant.org แต่แม้คุณภาพของบทเรียนแบบโต้ตอบจะดี ผมรู้สึกว่าลำดับบทเรียนค่อนข้างสะดุดและมักสมมติว่ารู้เรื่องที่ยังไม่ได้เรียนอยู่บ่อย ๆ ดูเหมือนจะไม่ได้ใส่ใจเรื่อง การออกแบบการเรียนการสอน มากเท่า Math Academy ที่กล่าวถึงในบทความ
เลยเลิกใช้ แล้วหันไปสั่งหนังสือชุด The Art Of Problem Solving ข้ามมหาสมุทรมาทีละหลายกิโลแทน โครงสร้างบทเรียนและวิธีค่อย ๆ สร้างแนวคิดซับซ้อนจากหลักการพื้นฐานทำได้ยอดเยี่ยม แต่แบบฝึกหัดยากมากจนทำให้ถ่อมตัวได้ดี ราคาแพง แต่สำหรับผมคุ้มค่า
Math Academy ก็ดูน่าสนใจ แต่ตอนนี้ผมเรียนมาถึงกลาง ๆ ซีรีส์แล้ว เลยยังชอบแบบที่มีหนังสืออ้างอิงอยู่ในมือมากกว่า ผมเคยย้อนกลับไปอ่านช่วงต้นหลายครั้งเพื่อทบทวนหัวข้อที่ลืมไป
เวลาทำโจทย์ ผมพยายามใช้วิธีโลว์เทคอย่าง กระดาษกับปากกา ให้มากที่สุด และชอบที่มันเปิดโอกาสให้ลองแนวทางใหม่ ๆ ได้อย่างอิสระ ไม่มีอะไรชนะความหน่วงต่ำจากความคิดไปสู่หมึกบนกระดาษได้
นอกจากนี้ยังใช้ ChatGPT-4 เป็นติวเตอร์ด้วย ต่างจากที่คนอื่นหลายคนเจอ ผมรู้สึกว่าสำหรับคณิตศาสตร์ระดับนี้มันให้เหตุผลได้ค่อนข้างดี และช่วยผมได้หลายครั้งตอนที่ติดขัด บางครั้งมันก็แต่งคำตอบผิดให้ดูน่าเชื่อถือได้เหมือนกัน แต่ถ้าผมไม่เข้าใจ ผมก็จะถามไล่ไปเรื่อย ๆ จนรู้ว่าสุดท้ายมันหลอนเอง หรือแค่ต้องอธิบายโจทย์ใหม่ถึงจะตอบถูก หรือจริง ๆ แล้วตั้งแต่แรกผมป้อนข้อมูลผิดเอง
https://foundationsofgameenginedev.com/ — เล่มแรก Mathematics ครอบคลุมกว้างกว่า และอธิบายจากหลักการพื้นฐานโดยไม่เป็นทางการจนเกินไป
https://www.mathfor3dgameprogramming.com/ — เป็นทางการกว่าหนังสือคณิตศาสตร์เกม/กราฟิกส์ส่วนใหญ่มาก และลงลึกเรื่อง พีชคณิตเชิงเส้น โดยเฉพาะ
ในฐานะนักคณิตศาสตร์ที่เคยทำงานด้าน ฟิสิกส์ทฤษฎี อยู่ช่วงสั้น ๆ ผมดีใจที่ยังมีคนสนใจสาขานี้
คณิตศาสตร์มักมีชื่อเสียงไม่ดีนัก แต่โดยแก่นแท้แล้ว ผมมองว่ามันเป็นสิ่งที่น่าเรียนรู้ที่สุดพอ ๆ กับดนตรีเลย
ถ้าสนใจคณิตศาสตร์ ไม่ว่าคุณจะอยู่ระดับไหน ผมแนะนำ Roger Penrose เล่ม The Road to Reality แม้พูดให้เคร่งครัดแล้วมันจะเป็นหนังสือฟิสิกส์ และ Penrose เองเดิมก็เป็นนักคณิตศาสตร์ แต่รูปแบบการอธิบายของเขาช่วยเปิดมุมมองได้แม้กับคนที่ชำนาญแล้ว หนังสือเริ่มจากแคลคูลัสพื้นฐานแล้วไปถึงทฤษฎีกลุ่ม โทโพโลยี การวิเคราะห์เชิงซ้อน เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ และอื่น ๆ
ควรดูคู่กับคู่มือการเรียนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ของ John Baez ด้วย: https://math.ucr.edu/home/baez/books.html
ผมชอบทั้งหน้าเว็บนี้และผลงานของ Baez โดยรวม เขาทำคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจไว้มาก: https://math.ucr.edu/home/baez/
ผมก็ชอบงานของ Tai-Danae Bradley มากเช่นกัน: https://www.math3ma.com/
บทความนี้มาได้ถูกจังหวะจริง ๆ เมื่อ 16 ปีก่อน ผม ลาออกจากมหาวิทยาลัยเพื่อไปดูแลแม่ ที่กำลังจะเสีย และหลังจากนั้นก็ไม่ได้กลับไปเรียนอีกเลย เริ่มทำงานมาเรื่อย ๆ
ตอนนี้ผมกำลังจะกลับไปเรียนและตั้งใจจะเรียนปริญญาวิทยาการคอมพิวเตอร์ให้จบเสียที แต่ข้างหน้ายังมีอีก 4 ปีเต็ม ๆ คณิตศาสตร์น่าจะหนักเอาการ
ถึงอย่างนั้น ความรู้สึกสะใจตอนตอบถูก โดยเฉพาะตอนที่เข้าใจว่า ตัวเองไปถึงคำตอบนั้นได้อย่างไร ก็เป็นแรงผลักดันที่ยิ่งใหญ่มาก แทบจะดีกว่าเซ็กซ์เสียอีก
อยากรู้ว่าคุณอายุเท่าไร ลงเรียนแบบเต็มเวลาหรือเปล่า ต้องไปเรียนร่วมกับนักศึกษาที่อายุน้อยกว่ามากไหม และประสบการณ์โดยรวมเป็นอย่างไรบ้าง
ถ้าผู้เขียนต้นฉบับยังอยากเรียนรู้ พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของทรานส์ฟอร์เมอร์ ผมได้ทำเครื่องมือเรียนรู้ทางเลือกแบบฟรีไว้: https://afaik.io/nebula?mode=nebula&category=blueprint&id=ed...
เครื่องมือนี้ก็อิงกับ กราฟความรู้พื้นฐาน ที่เชื่อมโยงแนวคิดในหลายหัวข้ออย่างคณิตศาสตร์ แมชชีนเลิร์นนิง และฟิสิกส์ กราฟสำหรับทรานส์ฟอร์เมอร์ดูได้ที่นี่: https://afaik.io/nebula?category=brickset&id=VLlOnZLl&mode=d... ใช้ได้บนเดสก์ท็อปเท่านั้น
แก่นสำคัญคือคุณไม่จำเป็นต้องกลับไปเรียนคณิตศาสตร์ใหม่ทั้งหมด แต่เรียนเฉพาะแนวคิดพื้นฐานที่จำเป็นต่อการเข้าใจแนวคิดใดแนวคิดหนึ่งได้ และยังแนบแหล่งข้อมูลฟรีไว้ด้วย
ผมเข้าใจดีว่าความอยากกลับไปเรียนคณิตศาสตร์อีกครั้งเป็นอย่างไร เหตุผลหนึ่งที่ผมสร้างเครื่องมือนี้ก็เพราะอยากกลับไปเรียนฟิสิกส์ใหม่โดยอาศัยพื้นฐานคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ของตัวเอง และอยากรู้ว่าต้องไปถึงจุดนั้นอย่างไร แต่ในกรณีนี้ผมก็รู้สึกว่าอาจมีวิธีที่มีประสิทธิภาพกว่าสำหรับการเรียนให้ลึกโดยยังรักษาความสนุกไว้ได้
เดาว่าน่าจะหมายถึงการเชื่อมหัวข้อต่าง ๆ เข้าด้วยกันผ่านเงื่อนไขที่ต้องรู้ก่อน เช่น ถ้าจะเข้าใจ A ต้องรู้ B และ C ก่อน และถ้าจะเข้าใจ B ต้องรู้ D ก่อน
แต่กราฟแบบนั้นไม่น่าจะเป็นแค่ directed graph ธรรมดา น่าจะต้องเป็น tree เสียมากกว่า เพราะไม่ควรมีวงวน ถ้าจะเข้าใจ A ต้องรู้ B และจะเข้าใจ B ต้องรู้ A เช่นนี้ก็แปลว่าทั้งคู่จะไม่มีวันเข้าใจได้เลยไม่ใช่หรือ?
ขอแนะนำช่องคณิตศาสตร์สักสองสามช่อง
https://www.youtube.com/@SawFinMath — เป็นอาจารย์ที่ยอดเยี่ยม และอธิบายให้ตามโจทย์กับวิธีทำได้ทีละขั้น มีเพลย์ลิสต์ระดับปริญญาตรีจำนวนมาก เช่น คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง แคลคูลัส พีชคณิตนามธรรมหรือพีชคณิตเชิงเส้น และสถิติ ปรับความเร็วดูได้ดีและยังแก้โจทย์สดให้ดูเยอะมาก แนะนำอย่างยิ่ง
https://mathispower4u.com/ — เป็นอาจารย์อีกคนที่ทำบทเรียนจากตำราคณิตศาสตร์แบบเปิดให้ใช้งานฟรี เนื้อหา คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ละเอียดแน่นกว่าเลยยากขึ้นนิดหน่อย แต่ก็ทำให้ได้ไล่เกือบครบสิ่งที่มหาวิทยาลัยทั่วไปสอน มีวิชาอย่างคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง แคลคูลัส ทฤษฎีกราฟ ตรีโกณมิติ สถิติ พีชคณิต เรขาคณิต และยังแก้โจทย์สดให้ดูเยอะมาก
ผมยังไม่ได้ใช้ https://www.myopenmath.com/index.php มากนัก แต่ก็มีอยู่ด้วย ดูเหมือนจะคล้าย exercism ตรงที่ให้ทำโจทย์ตามตำรา ถ้าใครเคยใช้ก็อยากรู้ว่าเป็นอย่างไร
ตอนกลับไปเรียนมหาวิทยาลัยเพื่อเรียนวิทยาการคอมพิวเตอร์ ผมใช้หนังสือเล่มนี้ทบทวนคณิตศาสตร์: https://a.co/d/7hlRdnK
แนะนำอย่างมากจริง ๆ เริ่มจากพีชคณิตแล้วไล่ไปจนถึงแคลคูลัส และก่อนแต่ละบทจะมี แบบทดสอบก่อนเรียน ให้รู้ว่าควรเน้นตรงไหนและข้ามตรงไหนได้
Maths: A Student's Survival Guide: A Self-Help Workbook for Science and Engineering Students 2nd Edition by Jenny Olive
ISBN-10: 0521017076
ISBN-13: 978-0521017077
ที่นี่มีคนแนะนำ Khan Academy กับชุดหนังสือ AOPS เป็นสื่อสำหรับเรียนด้วยตัวเอง ซึ่งตอนกลับมาเรียนคณิตศาสตร์ใหม่ตอนโต ผมก็ใช้ทั้งสองอย่าง นอกจากนี้ยังมีสื่อที่ยอดเยี่ยมมากอีกชุดคือหนังสือของ Henry Sinclair Hall
ดีกว่าสื่อที่พูดถึงก่อนหน้านี้มาก และเพราะพิมพ์ตั้งแต่ศตวรรษที่ 19 ตอนนี้เลยเป็นสาธารณสมบัติ ดาวน์โหลดฟรีได้จาก Internet Archive: https://archive.org/search?query=creator%3A%22Hall%2C+H.+S.+...
แล้วก็ How to Prove It ของ Velleman ก็เป็นหนังสือที่ต้องอ่าน
งั้นนี่ก็เป็นแค่ โฆษณา Math Academy ใช่ไหม? แล้วสื่อฟรีอย่าง Khan Academy ล่ะเป็นอย่างไร?
เลยอยากรู้ว่ามีใครเคยใช้คอร์สนี้ไหม และมันโอเคหรือเปล่า
ผมมีคำถามอยู่สองสามข้อเกี่ยวกับโปรแกรมนี้ สมมติว่าถ้าผู้ก่อตั้งเห็นทราฟฟิกจาก HN พุ่งเข้ามา พวกเขาน่าจะเข้ามาอ่านเธรดนี้
เรามี knowledge graph ที่เข้ารหัสความสัมพันธ์เชิงโครงสร้างระหว่างหัวข้อคณิตศาสตร์หลายพันหัวข้อไว้ ไม่ใช่แค่ความเป็นวิชาพื้นฐานก่อนเรียนเท่านั้นแต่รวมถึงความสัมพันธ์แบบอื่นด้วย ระบบอนุมานเชิงอัลกอริทึมจะดูคำตอบของนักเรียนแล้วฉายทับลงบน knowledge graph นี้ เพื่อประเมินว่านักเรียนรู้อะไรและรู้มากแค่ไหน จากนั้นจึงเลือกงานที่จะให้ผลการเรียนรู้สูงสุดตามโปรไฟล์ความรู้เฉพาะบุคคล การตัดสินใจนี้ได้แรงบันดาลใจจากกลยุทธ์การเรียนรู้เชิงพุทธิปัญญา เช่น mastery learning, spaced repetition, interleaving และการลด associative interference
spaced repetition เป็นแกนกลางของระบบ นักเรียนแต่ละคนจะมีตาราง spaced repetition แบบเฉพาะบุคคลที่ปรับตามผลการทำในแต่ละหัวข้อ และเวลาเลือกหัวข้อถัดไปที่จะทบทวนหรือเรียน ระบบจะพยายามจัดการงานทบทวนที่ครบกำหนดให้ได้มากที่สุดแบบแฝงอยู่เสมอเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพการเรียน ตัวอย่างเช่น ถ้าถึงคิวที่นักเรียนต้องทบทวนสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ax=bระบบอาจให้ไปเรียนสมการสองขั้นax+b=cแทน เพื่อให้ได้ทบทวนเรื่องเดิมแบบแฝงไปด้วยในเชิงปริมาณ โมเดล spaced repetition เป็นหนึ่งในส่วนที่ยากและสนุกที่สุดในการสร้าง โดยปกติคนจะนึกถึง spaced repetition ในบริบทของแฟลชการ์ดที่เป็นอิสระต่อกัน แต่ในระบบความรู้แบบลำดับชั้นอย่างคณิตศาสตร์ การทบทวนหัวข้อขั้นสูงต้องสะท้อนลงไปยังตารางทบทวนของหัวข้อที่ง่ายกว่าและถูกฝึกแบบแฝงอยู่ด้วย จึงทำให้ซับซ้อนขึ้น อย่างไรก็ตาม การทบทวนที่เร็วเกินไปก็ต้องถูกหักน้ำหนักอย่างเหมาะสม เพื่อไม่ให้นับเป็นการทบทวนรอบถัดไปเต็ม ๆ
โมเดลนี้ไม่เพียงสะท้อนการทบทวนแบบแฝงที่ไหลลงด้านล่างเท่านั้น แต่ยังเลือกการทบทวนที่ช่วยเคลียร์การทบทวนตามกำหนดอื่น ๆ ต่อเป็นทอด ๆ เหมือนโดมิโน เพื่อลดจำนวนครั้งในการทบทวน และยังปรับจังหวะ spaced repetition ตามนักเรียนและตามหัวข้อ โดยมีทั้งความสามารถของผู้เรียนและความยากของหัวข้อเป็นปัจจัยที่คานกันอยู่
ในสหรัฐฯ เรื่อง การเขียนพิสูจน์ ดูเหมือนจะเป็นระดับมหาวิทยาลัย ผมสงสัยว่าทำไมประเทศอื่นถึงสอนเด็กเรื่องการพิสูจน์กันตั้งแต่ชั้น ม.1
เริ่มจากการพิสูจน์อย่างเข้มงวดในเรขาคณิตแบบยุคลิด แล้วต่อไปยังเรขาคณิตสามมิติ การพิสูจน์ของฟังก์ชันเบื้องต้น เซต ทฤษฎีจำนวน แล้วค่อยไปพหุนาม คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องแบบง่าย ๆ และเรขาคณิตวิเคราะห์ พอเรียนจบมัธยมปลาย เรื่องอย่าง การอุปนัยทางคณิตศาสตร์ หรือการพิสูจน์โดยขัดแย้งจะกลายเป็นธรรมชาติที่สอง นี่ไม่ได้พูดถึงนักเรียนหัวกะทิ แต่พูดถึงข้อกำหนดหลักสูตรสำหรับนักเรียนสาย STEM ทุกคน
นักเรียนบางคนที่เน้นคณิตศาสตร์มากกว่าในโรงเรียนอาจได้เห็นเนื้อหาเหล่านี้เร็วขึ้น แต่ไม่ใช่ประสบการณ์ทั่วไปอย่างแน่นอน