โดเมนความถี่คือสถานที่จริงหรือไม่?
(lcamtuf.substack.com)- การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่อง (DFT) เป็นเครื่องมือหลักของการสื่อสารและการประมวลผลสัญญาณ แต่โดเมนความถี่ไม่ใช่วิธีเดียวในการตีความความเป็นจริง
- ในโครงสร้างที่หาค่า frequency bin โดยคูณค่าสุ่มตัวอย่างขาเข้ากับค่าของ ฟังก์ชันฐาน อย่างเช่น DCT เราสามารถสร้างโดเมนความถี่ที่มีกฎต่างออกไปได้เพียงแค่เปลี่ยนฐาน
- เมทริกซ์ Walsh ให้ฐานแบบคลื่นสี่เหลี่ยมที่ใช้เพียง
+1และ-1และหากจัดให้ sequency และความตั้งฉากสอดคล้องกัน ก็จะสลับไปมาระหว่างโดเมนเวลาและการแทนค่าเชิงความถี่ได้ - เมทริกซ์ Hadamard เป็นรูปแบบที่จัดเรียงใหม่ของเมทริกซ์ Walsh โดยสร้างได้ด้วย Kronecker product หรือการดำเนินการระดับบิต แล้วค่อยจัดเรียงแถวใหม่ตาม sequency เพื่อนำไปใช้กับ WHT
- อินพุตเดียวกันอาจกระจายเป็นหลายองค์ประกอบฮาร์มอนิกใน DCT แต่แยกเป็นองค์ประกอบคลื่นสี่เหลี่ยมใน Walsh-Hadamard transform แสดงให้เห็นว่า DFT ไม่ได้ผูกขาด “ความจริง”
มองโดเมนความถี่แบบ Fourier ใหม่อีกครั้ง
- โดเมนความถี่ คือปริภูมิทางคณิตศาสตร์ที่แทนสัญญาณซับซ้อนให้อยู่ในรูปแอมพลิจูดและเฟสของคลื่นไซน์
- การแทนค่านี้ช่วยให้ทำงานประมวลผลสัญญาณที่จัดการโดยตรงได้ยากในโดเมนเวลาหรือโดเมนเชิงพื้นที่ได้ง่ายขึ้น
- DFT มีบทบาทสำคัญอย่างยิ่งในงานสื่อสารและการประมวลผลสัญญาณ แต่การตีความที่เปลี่ยนคลื่นสี่เหลี่ยมให้เป็นผลรวมของฮาร์มอนิกไซน์ลำดับคี่จะเป็นการตีความความจริงแบบเดียวหรือไม่นั้น เป็นอีกประเด็นหนึ่ง
- คลื่นไซน์พบได้ทั่วไปในธรรมชาติ ทำให้เครื่องมือสาย Fourier เหมาะกับงานจำนวนมาก แต่ก็สามารถสร้าง โดเมนความถี่ที่นิยามไว้อย่างชัดเจน ซึ่งทำงานตามกฎแบบอื่นได้เช่นกัน
ทำความเข้าใจ DCT ผ่านฟังก์ชันฐาน
- การแปลงโคไซน์แบบไม่ต่อเนื่อง (DCT) มองได้ว่าเป็นเวอร์ชันที่เรียบง่ายกว่าและใช้จำนวนจริงล้วนของ DFT
- DCT-II คำนวณขนาดของ frequency bin เฉพาะ
F_kโดยนำค่าอินพุตs_nไปคูณกับค่าจากสมการโคไซน์เฉพาะ แล้วจึงนำมาบวกสะสม - แก่นสำคัญคือ ฟังก์ชันฐาน ที่สร้างคลื่นโคไซน์ของความถี่ตามหมายเลข DCT bin ปัจจุบัน
- หากทำให้เป็นนามธรรมขึ้น
B(k, n)จะคืนค่า multiplier ตามkและnแล้วนำไปคูณกับตัวอย่างอินพุตและบวกสะสม - ในมุมมองซอฟต์แวร์
B(k, n)มองเป็นอาร์เรย์สำหรับ lookup ได้ และในทางคณิตศาสตร์มองเป็น เมทริกซ์ ได้ - ในเมทริกซ์ฐาน DCT ที่
N=16แถวแรกk=0คือองค์ประกอบ DC ที่สอดคล้องกับ 0Hz และเป็นโคไซน์ที่ทุกค่าคือ+1.00 - จากนั้นแถวถัด ๆ ไปจะมีรูปแบบโคไซน์ที่เปลี่ยนเร็วขึ้นเรื่อย ๆ เช่น ครึ่งคาบ หนึ่งคาบ และหนึ่งคาบครึ่ง
ฐานแบบคลื่นสี่เหลี่ยมและเมทริกซ์ Walsh
- ฟังก์ชันฐานที่แบ่งสัญญาณด้วย คลื่นสี่เหลี่ยม แทนความถี่ไซน์ สามารถสร้างได้ด้วยเมทริกซ์ Walsh
- เมทริกซ์ Walsh ประกอบด้วยคลื่นสี่เหลี่ยมที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วต่างกัน โดย multiplier ทุกตัวมีค่าเป็น
+1หรือ-1 - การคำนวณจึงง่ายขึ้นเป็นการพลิกเครื่องหมายของข้อมูลอินพุตบางส่วนแล้วนำมาบวกกัน
- แม้เมทริกซ์จะดูเรียบง่าย แต่ต้องทำให้ครบสองเงื่อนไข
- แต่ละแถวต้องมีลำดับแบบ sequency ที่มีจำนวนการสลับเครื่องหมายมากกว่าแถวก่อนหน้าอยู่หนึ่งครั้ง
- หากต้องการสลับไปมาระหว่างข้อมูลในโดเมนเวลาและการแทนค่าเชิงความถี่ได้อย่างราบรื่น ต้องคง ความตั้งฉาก ไว้
- หากจะสร้างเมทริกซ์ Walsh โดยตรง ให้เริ่มจากอาร์เรย์
N×NโดยNต้องเป็นกำลังของ 2- ใส่ค่า
+1ให้ทุกแถวในคอลัมน์ซ้ายสุด - สร้างคอลัมน์ใหม่ด้วยการคัดลอกแบบสะท้อนของค่าที่มีอยู่ แล้วแบ่งบริเวณที่เพิ่มเข้ามาใหม่เป็นหลายช่วงแนวนอน ก่อนกลับเครื่องหมายในบางช่วง
- ในแต่ละรอบให้คัดลอกคอลัมน์และเพิ่มจำนวนช่วงของแถว พร้อมสลับการกลับเครื่องหมายไปมา
- ใส่ค่า
สร้างอาร์เรย์ Walsh จากเมทริกซ์ Hadamard
- ในเอกสารและโค้ดโอเพนซอร์ส มักไม่ได้สร้างอาร์เรย์ Walsh โดยตรง แต่สร้างจาก เมทริกซ์ Hadamard แทน
- เมทริกซ์ Hadamard คือรูปแบบที่สลับลำดับแถวของอาร์เรย์ Walsh
- ตัวอย่างเช่น เมื่อ
N=16แถวที่ #15 ของ Walsh จะย้ายไปเป็น #1 ใน Hadamard และแถวที่ #1 ของ Walsh จะไปอยู่ที่ #8
- ตัวอย่างเช่น เมื่อ
- เหตุผลหนึ่งของธรรมเนียมนี้คือโครงสร้าง Hadamard ปรากฏขึ้นก่อนในประวัติศาสตร์ และ Walsh ถูกสร้างต่อยอดบนแนวคิดนั้น
- ในทางปฏิบัติ วิธีสร้างเมทริกซ์ Hadamard ถูกบันทึกไว้ชัดเจนกว่า และยังมีวิธีที่ใช้การจัดการบิตซึ่งเรียบง่ายและมีประสิทธิภาพ
- วิธีตามตำราจะเริ่มจากอาร์เรย์
1×1แล้วคัดลอกเมทริกซ์ก่อนหน้าH_{n-1}ไปวางเป็น 4 ช่อง- มุมซ้ายบน มุมขวาบน และมุมซ้ายล่าง คัดลอกตามเดิม
- มุมขวาล่างกลับเครื่องหมายทั้งหมด
- การขยายนี้นิยมเขียนด้วยสัญลักษณ์ Kronecker product
⊗แต่การทำงานจริงคือการคัดลอกและกลับเครื่องหมาย
- เมื่อทำขั้นตอนการสร้างนี้
nครั้ง ขนาดของเมทริกซ์ Hadamard จะเป็น2^n × 2^nเสมอ - ค่าของ Hadamard ในเซลล์หนึ่ง ๆ คำนวณได้จาก
x & yแล้วพิจารณาว่าจำนวนบิตที่เป็น 1 ในผลลัพธ์เป็นจำนวนคู่หรือคี่- หากจำนวนบิตที่เป็น 1 เป็นคี่ ให้เป็น
-1ถ้าเป็นคู่ ให้เป็น+1 - ในโค้ด C สามารถเขียนเป็น
__builtin_popcount(x & y) % 2
- หากจำนวนบิตที่เป็น 1 เป็นคี่ ให้เป็น
การติดตั้งใช้งาน Walsh-Hadamard transform
- หากต้องการเปลี่ยนเมทริกซ์ Hadamard ให้เป็นลำดับ Walsh ที่เข้าใจได้ตรงไปตรงมา ต้องจัดเรียงแถวตาม sequency
- วิธีที่ง่ายที่สุดคือการนับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายเปลี่ยนในแต่ละแถว
- ยังมีวิธีแบบจัดการบิตอื่น ๆ ได้อีก
- สร้าง Gray code โดยนำหมายเลขแถวของ Walsh ไป XOR กับค่าของตัวเองที่เลื่อนไปทางขวา 1 บิต
- จากนั้นกลับลำดับของ
nบิตสุดท้ายเพื่อคำนวณแมปไปยังแถวของ Hadamard
- เมื่อนำอาร์เรย์ Walsh ที่ได้ไปใช้แทนฐานในโค้ด DCT ก็จะสร้าง “discrete square transform” และอินเวิร์สของมันได้
- ในทางเทคนิค การแปลงนี้คือ Walsh–Hadamard transform (WHT)
- หากนำอินพุตตัวอย่าง
1 1 1 1 5 5 5 5ไปประมวลผลด้วย DCT องค์ประกอบฮาร์มอนิกจะกระจายไปอยู่ในหลาย frequency binDCT : +24.00 -10.25 -0.00 +3.60 +0.00 -2.41 -0.00 +2.04
- แต่ถ้าประมวลผลอินพุตเดียวกันด้วยการแปลงแบบคลื่นสี่เหลี่ยม จะมีเฉพาะ
F_0และF_1เท่านั้นที่มีองค์ประกอบไม่เป็นศูนย์SQFT : +24.00 -16.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00
- อินเวิร์สทรานส์ฟอร์ม
isqft()จะกู้คืนอินพุตเดิมกลับมาISQFT : +1.00 +1.00 +1.00 +1.00 +5.00 +5.00 +5.00 +5.00
การเปรียบเทียบสเปกโตรแกรมและตำแหน่งการใช้งานจริง
- มีการเปรียบเทียบสเปกโตรแกรม DCT และ Walsh-Hadamard จาก คลิปเสียงความยาว 11 วินาที ที่นำมาจากเพลง “DARE” ของ Gorillaz
- Walsh-Hadamard transform มีประสิทธิภาพในการคำนวณสูงแม้บนคอมพิวเตอร์สมรรถนะต่ำ และเหมาะกับข้อมูลบางประเภท จึงถูกใช้ในงานเฉพาะทางบางอย่าง
- ข้อสรุปไม่ใช่ว่าควรใช้ WHT ให้มากขึ้น แต่คือ การแปลงฟูเรียร์แบบไม่ต่อเนื่องไม่ได้ผูกขาดความจริง
- สเปกโตรแกรมถูกคำนวณจากไฟล์เสียงโมโน 44.1kHz ด้วย DCT และ WHT
- หน้าต่างตัวอย่างอินพุตคือ
512 - transform stepover คือ
1 - ขนาดอาร์เรย์ผลลัพธ์ประมาณ
512 × 485k - ความเข้มของพิกเซลใช้ค่าสัมบูรณ์ที่ทำ normalization แล้วตามด้วย gamma ประมาณ
0.4 - ภาพถูกปรับขนาดด้วย Lanczos resampling และเรนเดอร์ด้วย linear colormap สีดำ–ฟ้าอ่อน–ขาว
- หน้าต่างตัวอย่างอินพุตคือ
- มีการยกตัวอย่างการทดลองใช้ Walsh-Hadamard กับการบีบอัดภาพที่
http://rotormind.com/blog/2019/hadamard-days-night/ร่วมด้วย
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นบน Hacker News
ในเชิงคณิตศาสตร์ การแปลงฟูเรียร์ เป็นเพียงวิธีแทนสัญญาณตามเวลาด้วยฐานเวกเตอร์ตั้งฉากชุดหนึ่งเท่านั้น
เวกเตอร์การกระจัดบนผิวโลกก็สามารถแทนด้วยฐานทิศเหนือ/ตะวันออกได้ หรือจะแทนด้วยทิศของถนนเส้นหนึ่งกับทิศที่ตั้งฉากกับถนนนั้นก็ได้
สัญญาณที่ขึ้นกับเวลา หรือฟังก์ชัน “สวย ๆ” อยู่ใน ปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์ จึงจินตนาการได้ยาก แต่คณิตศาสตร์แก่นหลักทำงานคล้ายกัน
ในการแปลงฟูเรียร์ เวกเตอร์ฐานคือฟังก์ชันฮาร์มอนิก และโดเมนความถี่คือ “แผนที่” แบบหนึ่งที่แสดงสัญญาณเป็นการผสมผสานของฟังก์ชันฮาร์มอนิกจำนวนอนันต์
แผนที่ที่ใช้ฐานอื่น เช่น การแปลง Walsh–Hadamard ก็มีอยู่จริงไม่ต่างกัน และการแทนในโดเมนเวลาก็เป็นเพียงหนึ่งในหลายแผนที่ เพียงแต่เป็นแบบที่เราคุ้นเคย
มีการประยุกต์ใช้มากมาย เช่น การประมวลผลภาพ การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ และการคูณแบบเร็ว
ในเชิงคณิตศาสตร์ การแปลงเหล่านี้ ไม่สูญเสียข้อมูล ดังนั้นฟังก์ชันที่ถูกแปลงแล้วจึงมีข้อมูลเหมือนฟังก์ชันเดิมทุกประการ และถ้ามีเพียงผลการแปลงก็สามารถย้อนกลับไปหาเดิมได้
ในเชิงวิศวกรรม มักแปลงเพื่อทิ้งข้อมูลที่ไม่ต้องการ เช่น องค์ประกอบความถี่บางส่วน ประเด็นนี้จึงมักถูกทำให้เลือนหายไป
สุดท้ายมันก็คือหนึ่งในหลายมุมมองในการมองฟังก์ชันเดียวกัน
โดยเฉพาะในปริภูมิหลายมิติ การแปลงฟูเรียร์หลายมิติทั่วไปจะทำงานได้ถูกต้องก็ต่อเมื่อปริภูมินั้นมี เมตริกแบบแบน
เมื่อคิดว่าจักรวาลเองมีความโค้งอยู่ ก็เหมือนเป็นสัญญาณเตือน
เมื่อไม่นานมานี้มีงานวิจัยที่น่าสนใจซึ่งทำให้อนุกรมฟูเรียร์เป็นกรณีทั่วไปสำหรับ แลตทิซไฮเพอร์โบลิก บางชนิด และผลคือมิติของปริภูมิฟูเรียร์อาจสูงกว่าปริภูมิตำแหน่งได้
ยิ่งไปกว่านั้น มิติของ “ปริภูมิฟูเรียร์” นี้ยังเปลี่ยนไปตามวิธีดิสครีไทซ์แลตทิซด้วย ดังนั้นแลตทิซ 2 มิติบางแบบอาจมีโดเมนคล้ายความถี่ 4 มิติ ขณะที่แลตทิซ 2 มิติอีกแบบอาจมีโดเมนคล้ายกัน 8 มิติ
https://arxiv.org/abs/2108.09314 หรือ https://www.pnas.org/doi/full/10.1073/pnas.2116869119
มันเป็นแบบจำลองที่ผิดโดยสิ้นเชิง แต่ในทางปฏิบัติก็เท่ากับว่าพวกเขากำลังใช้อนุกรมฟูเรียร์เป็นตัวประมาณฟังก์ชันอยู่
แม้จะใช้ฐานอย่างพหุนาม สุดท้ายก็ยังเป็นการประกอบฟังก์ชันขึ้นจากองค์ประกอบความถี่
ฐานฟูเรียร์พิเศษตรงที่สมาชิกแต่ละตัวสอดคล้องกับความถี่เฉพาะหนึ่ง ๆ
อย่างไรก็ตาม ฐานแต่ละแบบค่อนข้างเป็นสิ่งที่ออกแบบมาให้เหมาะกับเป้าหมาย และการเปลี่ยนฐานอาจจัดเรียงสเปกตรัมใหม่ในแบบที่ซับซ้อนต่อการวิเคราะห์
ในกรณีนั้นเราจะไปวิเคราะห์คุณสมบัติอื่น เช่น ความเรียบแทน
ฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่เราสนใจมีสเปกตรัมที่เป็นลักษณะเฉพาะ แต่ฐานฟูเรียร์ไม่ได้ตอบได้ทุกคำถาม
ถ้ามีองค์ประกอบแนวตั้งฉากอยู่พอสมควร เช่น ทิศเหนือกับทิศตะวันออกเฉียงเหนือ ก็สามารถแทน [n, e] ด้วยพิกัดอีกชุดได้
ค่าสัมประสิทธิ์ที่ยกมาอาจผิดเพราะพิมพ์จากความจำ แต่ประเด็นหลักคือมันทำได้
นึกถึงบทสนทนาหน้ากระดานไวต์บอร์ดในกลุ่มระบบพลวัตสมัยเรียนปริญญาโท
“พลังงานถูกป้อนเข้าสู่ระบบจากทางซ้าย และสลายไปตรงนี้ทางขวา”
“แต่ระบบไม่แปรเปลี่ยนต่อการหมุนไม่ใช่หรือ มันไม่มีซ้ายขวานะ”
“ผมพูดถึงในปริภูมิความถี่”
“อ๋อ นึกว่าพูดถึงปริภูมิจริง”
“โง่หรือเปล่า? ใครเขาคิดในปริภูมิจริงกัน?”
มันเป็นการแทนแบบนามธรรม ไม่ได้เกี่ยวโดยตรงกับซ้ายขวาบนล่างของมิติในปริภูมิไม่ใช่หรือ
ฐานฟูเรียร์มีความโดดเด่นตรงที่ ฟังก์ชันฐานเอ็กซ์โพเนนเชียลเชิงซ้อน เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของระบบเชิงเส้นไม่แปรตามเวลา (LTI)
การแปลงอื่นไม่มีคุณสมบัตินี้
ระบบจริงจำนวนมาก เช่น วงจร ช่องสัญญาณสื่อสาร เสาอากาศ เป็น LTI และด้วยคุณสมบัตินี้ สัญญาณที่ส่งผ่านความถี่ต่างกันจึงไม่รบกวนกัน
นั่นจึงเป็นเหตุผลที่การแปลงฟูเรียร์ถูกใช้แพร่หลายกว่าการแปลงอื่น
ในฟิสิกส์ควอนตัมก็มีความเชื่อมโยงที่ใช้คู่ฟูเรียร์เป็นฟังก์ชันคลื่นของตำแหน่งกับโมเมนตัม ซึ่งการแปลงอื่นไม่มีคุณสมบัติแบบนี้
จากพื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้า เรามักสมมติให้ระบบจำนวนมากเป็น เชิงเส้น หรือไม่เป็นเชิงเส้นเพียงเล็กน้อยมากเพื่อการวิเคราะห์ และสัญญาณก็โดยมากเป็นคาบ การแปลงฟูเรียร์จึงเป็นธรรมชาติ
คอนโวลูชันกลายเป็นการคูณ และอนุพันธ์ตามเวลาของเอ็กซ์โพเนนเชียลเชิงซ้อนก็กลายเป็นการคูณด้วย j*omega
การคูณนั้นดีกว่าการทำคอนโวลูชันและอนุพันธ์ตามเวลามาก
ถ้ายอมรับว่า “เราใช้การแทนแบบฟูเรียร์เพราะมันสะดวกในสถานการณ์เฉพาะที่พบบ่อย” ก็ไม่ใช่เรื่องน่าแปลกที่จะใช้การแปลงทางคณิตศาสตร์แบบอื่นกับปัญหาอื่น
ผมสงสัยมาตลอดว่าทำไมหลายวิชาถึงไม่จัดการกับการแปลงลาปลาซสองด้านซึ่งทั่วไปที่สุดให้ถูกต้อง แล้วกระโดดจากการแปลงฟูเรียร์สองด้านไปยังการแปลงลาปลาซด้านเดียวเลย
https://en.wikipedia.org/wiki/Two-sided_Laplace_transform
ถ้าถามว่าเป็น “สถานที่ที่มีอยู่จริง” ไหม ผมนึกถึง การทดลองทางทัศนศาสตร์ ครั้งหนึ่งเมื่อก่อน
ถ้าให้ภาพผ่านเลนส์ไม่กี่ตัว จะเกิดระนาบของความถี่ขึ้น แล้วผ่านเลนส์อีกครั้งเพื่อฉายลงบนหน้าจอ
ถ้าบังบางส่วนของระนาบความถี่นั้น ภาพก็จะเปลี่ยนไป
มันจัดการยากมาก และผมรู้สึกขอบคุณ Dr Bruce Sinclair แห่ง St Andrew’s อย่างยิ่ง
งานในห้องปฏิบัติการฟิสิกส์ทำให้เราเห็นว่าสิ่งต่าง ๆ ทำงานอย่างไร แต่พอกลับมาดูทฤษฎีอีกครั้งหลังผ่านการทดลองไปหลายเดือน ก็หลงทางได้ไม่น้อย
เพราะแบบนั้นเอง ช่องเปิดจึงจำกัดความละเอียด และดูเหมือนจะเชื่อมโยงไปถึงการเกิดสไปก์การเลี้ยวเบนในกล้องโทรทรรศน์สะท้อนแสง
Schlieren ก็ทำงานในลักษณะนี้เช่นกัน
อีกการทำให้ DFT เป็นกรณีทั่วไปที่น่าสนใจคือ การแปลง Lomb-Scargle
ไม่จำเป็นต้องมีช่วงห่างการวัดที่คงที่ในโดเมนเวลา
มักใช้เพื่อหาความถี่ของสัญญาณเป็นคาบเมื่อช่วงห่างการวัดไม่สม่ำเสมอ เช่นในฟิสิกส์ดาราศาสตร์
https://iopscience.iop.org/article/10.3847/1538-4365/aab766 เป็นบทแนะนำทั่วไป ส่วน https://docs.astropy.org/en/stable/timeseries/lombscargle.ht... อธิบายวิธีใช้ในไลบรารี astropy ของ Python ได้ดี
การปรับขนาดอัตโนมัติอาจช่วยหลีกเลี่ยงการเสื่อมประสิทธิภาพจนเกิดความขัดข้องได้ แต่ไม่ได้บอกว่าเราควรมีงบประมาณรายปีเท่าไรและเพราะอะไร
แต่ข้อมูล Prometheus ก็เรียกได้ยากว่าเป็นช่วงการสุ่มตัวอย่างจริง ๆ
แม้เครื่องแต่ละเครื่องในคลัสเตอร์จะรายงานเป็นช่วงคงที่ แต่ก็ไม่ได้ซิงโครไนซ์กัน
ถ้ามองอีกมุมหนึ่ง คอเคลีย อาจมองได้ว่าเป็นการใช้งาน “จริง” ของการแปลงฟูเรียร์
https://www.britannica.com/science/sound-physics/The-ear-as-...
มันแปลงไปเป็นโดเมนความถี่ก็จริง แต่ไม่ได้ทำหรือประมาณการแปลงฟูเรียร์
การแปลงจากเวลา→โดเมนความถี่ที่คอเคลีย “ใช้งาน” นั้นใกล้เคียงกับ การแปลงเวฟเล็ต มากกว่า
การตีความคอเคลียว่าเป็นการแปลงฟูเรียร์ คล้ายกับความเข้าใจผิดที่คิดว่าเซลล์โคนในตาตอบสนองเฉพาะต่อแสงสีแดง เขียว และน้ำเงินเท่านั้น
ที่จริงแล้วแต่ละเซลล์ตอบสนองแตกต่างกันไปในช่วงความถี่หนึ่ง ๆ
เซลล์โคนมีค่าสูงสุดในย่านความถี่ต่ำ กลาง และสูง แล้วลดลงทั้งสองด้าน ส่วนเซลล์ขนในคอเคลียมีเส้นโค้งการตอบสนองที่คล้ายเวฟเล็ตมากกว่า โดยมีพีกที่สองที่ฮาร์มอนิกของความถี่พีก
ผมไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญ เป็นแค่มือสมัครเล่นที่สนใจมาก จึงหวังว่าคนที่รู้ดีกว่าจะช่วยแก้ให้
ตอนเรียนมหาวิทยาลัย สายเซลล์ต้นกำเนิดของเรามีปัญหาแยกตัวไปเป็นกระดูก ภายหลังพบว่า ความแข็งของสภาพแวดล้อม เป็นสัญญาณที่เซลล์ต้นกำเนิดรับรู้ได้
พูดได้ว่าจานเพาะเลี้ยงที่แข็งกำลังบอกเซลล์ว่าควรกลายเป็นเซลล์กระดูก
ในบทความบอกว่า “ถ้าจะเรียงแถวของเมทริกซ์ Hadamard ตามเกณฑ์ sequency ผมไม่รู้อัลกอริทึมที่สง่างามกว่าการนับจำนวนการตัดผ่านศูนย์” แต่พอดูเมทริกซ์แล้วเดาแพตเทิร์น ก็พบว่าเป็นวิธีที่รู้จักกันอยู่แล้ว
ตาม https://en.wikipedia.org/wiki/Walsh_matrix การเรียงแบบ sequency ของ เมทริกซ์ Walsh ได้มาจากการใช้การเรียงสับเปลี่ยนแบบกลับบิตกับเมทริกซ์ Hadamard ก่อน แล้วตามด้วยการเรียงสับเปลี่ยนแบบ Gray-code
บทความตั้งคำถามที่กว้างและเชิงปรัชญามาก แต่หลังจากนั้นก็บอกว่า เพราะเราหาฐานตั้งฉากและการแปลงแบบอื่นได้ โดเมนความถี่ จึงไม่ได้พิเศษนัก
ถึงอย่างนั้น ผมก็คิดว่าโดเมนความถี่และการแปลงฟูเรียร์พิเศษกว่าการแปลงอื่น ๆ อีกมาก
เพราะสังเกตได้โดยตรงในธรรมชาติ
ตัวอย่างเช่น เลนส์ทำ การแปลงฟูเรียร์สองมิติ ของภาพอินพุตที่มากับแสงขนาน และเราสามารถดูมันบนจอได้
อีกทั้งยังสามารถฉายเอาต์พุตของเกรตติงหรือปริซึมลงบน CCD เพื่อวัดความยาวคลื่นหรือความถี่ของแสงได้ ซึ่งนี่ก็เป็นการวัดโดเมนความถี่โดยตรงเช่นกัน
การวัดคล้ายกันนี้ทำได้กับคลื่น RF ด้วย
คลื่นไซน์พิเศษตรงที่เป็นคำตอบตามธรรมชาติของ สมการคลื่น Helmholtz
คลื่นสี่เหลี่ยมยังมีปัญหาอื่น ๆ เช่นพลังงานอนันต์ด้วย
บทความนี้อาจสมเหตุสมผลสำหรับนักคณิตศาสตร์หรือนักวิทยาการคอมพิวเตอร์ แต่พลาดฟิสิกส์พื้นฐานของเสียงและคลื่นไป
ผลทางฟิสิกส์ก็น่าจะเป็นผลจากคุณสมบัตินั้น
ท้ายที่สุด บทเรียนหลักของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ก็คือ การมองวัตถุจากหลายมุมนั้นมีประโยชน์
วัตถุทางฟิสิกส์จำนวนมหาศาลเป็น ตัวสั่นฮาร์มอนิก และสิ่งนี้มีรากฐานค่อนข้างพื้นฐานในฟิสิกส์
ผมนึกถึงที่อื่น ๆ อีกมากที่การวิเคราะห์ฟูเรียร์น่าใช้ แต่คลื่นไซน์ดู “มีอยู่จริง” ทางฟิสิกส์มากกว่า ส่วนคำกล่าวว่าสามารถแทนด้วยชุดฐานใดก็ได้นั้นใกล้กับคำว่า “ถูกต้อง” มากกว่า
คำว่า “มีอยู่จริง” ดูเหมือนสื่อถึงความรู้สึกว่ามีตัวสั่นจริงอยู่เบื้องหลังปรากฏการณ์
คลื่นสี่เหลี่ยมมีความเป็นฟิสิกส์น้อยกว่าเพราะทั้งสัญญาณและอนุพันธ์ไม่ต่อเนื่อง และธรรมชาติไม่ค่อยชอบความไม่ต่อเนื่องเอามาก ๆ
เช่น ปรากฏการณ์ Gibbs ปรากฏออกมาอย่างเป็นธรรมชาติจากการแปลงฟูเรียร์ผกผันของการตอบสนองความถี่ที่ทำให้ความถี่ทั้งหมดเหนือความถี่ตัดบางค่ากลายเป็น 0
ผมสงสัยว่าโดเมนความถี่ของคลื่นสี่เหลี่ยมจะอธิบายปรากฏการณ์ Gibbs อย่างไร
บางทีฮาร์มอนิกของความถี่คลื่นสี่เหลี่ยมพื้นฐานอาจปรากฏขึ้น เหมือนกับว่าระบบเป็นแบบไม่เชิงเส้น
ระหว่างที่เรียนฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรี ผมได้ข้อสรุปว่าการรู้ค่าของฟังก์ชัน f(x) ที่ค่า x จำนวนอนันต์ กับการรู้ องค์ประกอบความถี่ ของ f ที่ความถี่จำนวนอนันต์นั้นเทียบเท่ากัน
ในเชิงปรัชญา การแทนทั้งสองแบบ “มีอยู่จริง” เท่า ๆ กัน
เพียงแต่บางปัญหาแก้ได้ง่ายกว่าในรูปแบบหนึ่งเมื่อเทียบกับอีกรูปแบบหนึ่งเท่านั้น
การแปลงจากโดเมนเวลาไปเป็นโดเมนความถี่ก็เหมือนกับ การเปลี่ยนระบบพิกัด
สัญญาณที่มีพีกแคบ ๆ เพียงหนึ่งจุดในโดเมนเวลา สามารถแทนได้อย่างเล็กและ sparse มากด้วยเดลตาหนึ่งตัวที่ตำแหน่งพีก แต่ในโดเมนความถี่จะไม่ได้การแทนที่ถูกบีบอัดแบบนั้น
ในทางกลับกัน สัญญาณไซน์ในโดเมนเวลาไม่ได้ compact ในฝั่งนั้น แต่ในโดเมนความถี่ใช้เดลตาเพียงไม่กี่ตัวก็พอ
เวลาและความถี่เป็นสองวิธีในการแทนสิ่งเดียวกัน และในบางกรณีโดเมนหนึ่งก็ง่ายกว่า ส่วนในบางกรณีก็ตรงกันข้าม
สามารถพิสูจน์ได้ว่าสิ่งที่มีขอบเขตจำกัดในโดเมนเวลา จะไม่มีขอบเขตจำกัดในโดเมนความถี่ และในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน
ดังนั้นสิ่งที่ compact ในโดเมนหนึ่ง เมื่อย้ายไปอีกโดเมนหนึ่งจะกระจายออกเสมอ
ในกลศาสตร์ควอนตัม ตำแหน่งและโมเมนตัมเป็น ตัวแปรคู่ควบ เหมือนเวลาและความถี่ข้างต้น ดังนั้นถ้าตำแหน่งมีขอบเขตจำกัด โมเมนตัมก็จะไม่มีขอบเขตจำกัด และในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน
นี่คือแนวคิดหลักของหลักความไม่แน่นอนของ Heisenberg