รากที่มากที่สุดของพหุนามสุ่มสัมประสิทธิ์จริงมีแนวโน้มเป็นจำนวนจริงมากกว่าจำนวนเชิงซ้อน

รากที่มากที่สุดของพหุนามสุ่มมีโอกาสเป็นจำนวนจริงมากกว่าจำนวนเชิงซ้อนหรือไม่?

• จำนวนรากจริงของพหุนามสุ่มที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงมีน้อยกว่าจำนวนรากเชิงซ้อนมาก
  • โดยสมมติว่าสัมประสิทธิ์ถูกสุ่มอย่างอิสระและสม่ำเสมอในช่วง (-1, 1)
  • สำหรับพหุนามดีกรี n จำนวนรากจริงมีค่าเชิงอสมการเมื่อ n มากขึ้นเป็น (2 log n) / π + o(1) และจำนวนรากเชิงซ้อนมีค่าประมาณ n - (2 log n) / π
• รากที่มากที่สุด (หรือน้อยที่สุด) ของพหุนาม นิยามว่าเป็นรากที่มีค่าสัมบูรณ์มากที่สุด (หรือน้อยที่สุด)
• แม้ว่าจำนวนรากจริงจะน้อยกว่ารากเชิงซ้อนแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล แต่จากข้อมูลเชิงทดลองพบว่า:
  • ความน่าจะเป็นที่รากที่มากที่สุด (หรือน้อยที่สุด) จะเป็นจำนวนจริง สูงกว่าความน่าจะเป็นที่จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน
  • ความน่าจะเป็นนี้ลดลงไปยังค่าที่ใกล้เคียง 1/2 เมื่อ n เข้าใกล้อนันต์
• เรื่องนี้ขัดกับสัญชาตญาณ เพราะแม้รากจริงจะมีน้อยกว่ารากเชิงซ้อนมาก แต่กลับมีแนวโน้มสูงกว่าที่จะครอบครองทั้งรากที่มากที่สุดและรากที่น้อยที่สุด

คำถาม 1

• สาเหตุของอคตินี้คืออะไร?

คำถาม 2

• ความน่าจะเป็นที่รากที่มากที่สุด (หรือน้อยที่สุด) ของพหุนามดีกรี n จะเป็นจำนวนจริง ลู่เข้าไปยังค่าใกล้ 1/2 หรือไม่ (เมื่อ n เข้าใกล้อนันต์)?

ความเห็นของ GN⁺

• จนถึงตอนนี้ ดูเหมือนว่าการที่ความน่าจะเป็นที่รากมากที่สุด/น้อยที่สุดจะเป็นจำนวนจริงลู่เข้า 1/2 ยังเป็นเพียงข้อคาดการณ์ที่ยังไม่ได้พิสูจน์ จึงน่าจะต้องมีการพิสูจน์อย่างเข้มงวด
• เป็นที่ทราบกันว่ารากของพหุนามสุ่มมีการกระจายตัวรอบวงกลมหน่วยด้วยมุมที่สม่ำเสมอ และมีแรงผลักกันในสเกลเฉพาะที่สูงมาก อย่างไรก็ตาม รากเชิงซ้อนสามารถกระจายตัวไปรอบวงกลมหน่วยได้ ขณะที่แรงผลักกันระหว่างรากจริงทำให้รากจริงมีแนวโน้มต้องเล็กลงหรือใหญ่ขึ้นมากกว่าเดิม
• แม้ว่าจำนวนรากจริงจะเพิ่มขึ้นเพียงในระดับลอการิทึมเมื่อเทียบกับจำนวนรากเชิงซ้อน แต่ก็ยังถือว่ามีรากจริงอยู่ไม่น้อย
• เมื่อมองจากมุมนี้ ความเป็นไปได้ที่รากที่น้อยที่สุดจะเป็นรากจริงจึงไม่ใช่เรื่องน่าประหลาดใจ
• ดูเหมือนว่ายังจำเป็นต้องมีการศึกษาที่ลึกยิ่งขึ้นเกี่ยวกับการกระจายตัวของรากของพหุนามสุ่มสัมประสิทธิ์จริง โดยเฉพาะการพิสูจน์อย่างเข้มงวดของค่าลิมิตของความน่าจะเป็นที่รากมากที่สุด/น้อยที่สุดจะเป็นจำนวนจริง

[GN⁺]

ความคิดเห็นจาก Hacker News

สรุปความคิดเห็นจากแฮกเกอร์นิวส์

การถกเถียงเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของรากจริงที่มากที่สุดของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์แบบสุ่ม

• น่าประหลาดใจที่ความน่าจะเป็นของรากจริงที่มากที่สุดอยู่ระหว่างความบังเอิญกับ 1/phi
• จำนวนเฉพาะไม่ได้เป็นแบบสุ่ม แต่เกิดขึ้นแบบเวียนเกิดจากจำนวนเฉพาะก่อนหน้า จึงคาดว่ารูปแบบการเติบโตตามธรรมชาติจะสะท้อน e และ phi
• ใน R มีการรองรับในตัวสำหรับการทดลองเชิงตัวเลขลักษณะนี้

  plot(polyroot(runif(101,-1,1)))
  

• มีการตั้งคำถามเพิ่มเติม เช่น นิยามของความสุ่ม และพิจารณาความต่างระหว่างดีกรีคี่/คู่หรือไม่
• คาดว่าเมื่อสเกลสัมประสิทธิ์ จะเกิดการแจกแจงแบบไม่สม่ำเสมอสำหรับสัมประสิทธิ์ทั้งหมด ยกเว้นสัมประสิทธิ์ที่มากที่สุด

ขอคำแนะนำเกี่ยวกับการเรียนคณิตศาสตร์

• ตอนเรียนมหาวิทยาลัยชอบคณิตศาสตร์ แต่หลังเรียนจบมา 2 ปีแทบไม่ได้ทำ จึงต้องกลับไปเรียนใหม่
• มีคนแนะนำให้หาไอเดียสนุก ๆ อย่าง Project Euler หรือกลับไปลองทำโจทย์ในตำราอีกครั้ง

การพิจารณาผลลัพธ์ที่ขัดกับสัญชาตญาณ

• หากสุ่มเลือกรากบนระนาบเชิงซ้อน แทบเป็นไปไม่ได้ที่จะได้พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ดังนั้นโดยสัญชาตญาณจึงดูสมเหตุสมผลกว่าที่รากจริงจะมีโอกาสออกมามากกว่า
• มีการพยายามใช้สมมาตรแบบสะท้อนเพื่ออธิบายเชิงสัญชาตญาณ และพิจารณาข้อจำกัดของแนวทางนั้น
• พหุนามดีกรี 5 ขึ้นไปไม่มีสูตรสำเร็จ จึงแยกแยะรากจริงกับรากเชิงซ้อนได้ยาก
• มีการตั้งคำถามว่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามสุ่มเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน
• น่าประหลาดใจเพราะเดิมคาดว่าเนื่องจากระนาบเชิงซ้อนใหญ่กว่าเส้นจำนวนจริงมาก ความน่าจะเป็นของรากจริงน่าจะเข้าใกล้ 0