รากค่าสูงสุดของพหุนามสุ่มสัมประสิทธิ์จริงมีแนวโน้มเป็นจำนวนจริงมากกว่าจำนวนเชิงซ้อน
(mathoverflow.net)- พหุนามสุ่มที่มีสัมประสิทธิ์จริงเป็นอิสระและแจกแจงสม่ำเสมอมีจำนวนรากจริงทั้งหมดเพียงประมาณ 2log n/π แต่ในการทดลองพบว่ารากที่มีค่าสัมบูรณ์มากที่สุด/น้อยที่สุดมี ความน่าจะเป็นที่จะเป็นจำนวนจริง สูงกว่า
- ใน การจำลองมอนติคาร์โล 10^5 ครั้ง สำหรับแต่ละดีกรี ความน่าจะเป็นนี้ลดลงเข้าใกล้ 1/2 เมื่อ n โตขึ้น และแม้สเกลสัมประสิทธิ์จากการแจกแจงปกติให้อยู่ใน (-1,1) ก็ยังได้ข้อสังเกตคล้ายกัน
- คำตอบหนึ่งมองว่าปัญหารากสุดขั้วของดีกรีจำกัดลู่เข้าสู่คำถามว่ารากที่เล็กที่สุดของอนุกรมกำลังสุ่ม P(x)=a₀+a₁x+a₂x²+… เป็นจำนวนจริงหรือไม่
- ค่าลิมิตอาจต่างกันตามการแจกแจง: การแจกแจงสม่ำเสมอ [-1,1] อยู่ราว 51%, การแจกแจงปกติมาตรฐานราว 52%, การแจกแจงปกติที่มีความแปรปรวน 1/k! อยู่ที่ 62%, ส่วนการแจกแจงไม่ต่อเนื่อง ±1 ดูเหมือนอยู่ช่วงต้น ๆ ของ 40%
- ผู้ตอบสงสัยต่อการตีความว่า “ลู่เข้า 1/2” และจาก การทดลอง 40,000 ครั้ง ที่เปรียบเทียบดีกรี 200 กับ 300 ซึ่งสถานะว่ารากที่เล็กที่สุดเป็นจำนวนจริงคงอยู่ทั้งหมด จึงมองอย่างหนักแน่นว่าลิมิตอาจมากกว่า 50%
การตั้งปัญหา: รากจริงมีน้อย แต่รากสุดขั้วเอนเอียงไปทางจำนวนจริง
- ในพหุนามสุ่มที่มีสัมประสิทธิ์จริง จำนวนรากจริง ในบรรดารากทั้งหมดมีน้อยกว่ารากเชิงซ้อนมาก
- หากสัมประสิทธิ์แจกแจงสม่ำเสมออย่างอิสระใน (-1,1) จำนวนรากจริงของพหุนามดีกรี n มีค่าเชิงเส้นกำกับเป็น
2log n/π + o(1) - จำนวนรากเชิงซ้อนอยู่ประมาณ
n - 2log n/π - ตามบทความที่ลิงก์ไว้ รูปแบบเชิงเส้นกำกับคล้ายกันยังเป็นจริงกับการแจกแจงสัมประสิทธิ์แบบอื่นด้วย
- หากสัมประสิทธิ์แจกแจงสม่ำเสมออย่างอิสระใน (-1,1) จำนวนรากจริงของพหุนามดีกรี n มีค่าเชิงเส้นกำกับเป็น
- ในที่นี้ “รากที่ใหญ่ที่สุด” และ “รากที่เล็กที่สุด” หมายถึง รากที่มีค่าสัมบูรณ์มากที่สุด และ รากที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยที่สุด ตามลำดับ
- ถ้ารากจริงมีน้อยกว่ามาก ก็น่าคิดว่ารากสุดขั้วก็น่าจะเป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย แต่ข้อมูลการทดลองของผู้ถามกลับชี้ไปในทิศทางตรงข้าม
ข้อสังเกตจากมอนติคาร์โลและคำถามเปิด
- แก่นของข้อมูลที่สังเกตได้มีสามข้อ
- ความน่าจะเป็นที่รากที่ใหญ่ที่สุดหรือรากที่เล็กที่สุด เป็นจำนวนจริง สูงกว่าความน่าจะเป็นที่จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน
- ความน่าจะเป็นนี้ดูเหมือนลดลงเข้าใกล้ค่าแถว ๆ 1/2 เมื่อ n โตขึ้น
- สำหรับค่า n แต่ละค่า ทำ การจำลองมอนติคาร์โล 10^5 ครั้ง
- ระบุว่าแม้สุ่มสัมประสิทธิ์จากการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1 แทนการแจกแจงสม่ำเสมอ แล้วสเกลให้อยู่ใน (-1,1) ก็ยังได้ข้อสังเกตและความน่าจะเป็นลิมิตแบบเดียวกัน
- คำถามถูกจำกัดเหลือสองประเด็น
- ทำไมรากที่ใหญ่ที่สุดและรากที่เล็กที่สุดจึง เอนเอียงไปทางจำนวนจริง
- ความน่าจะเป็นดังกล่าวที่ดีกรี n ลู่เข้าไปยังค่าแถว ๆ 1/2 หรือไม่เมื่อ n→∞
- ความเอนเอียงที่สังเกตได้เขียนเป็นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขได้ดังนี้
P(L|R)=P(S|R)≈π/(4log n)P(L|C)=P(S|C)≈π/(2nπ-4log n)
อัปเดต: พิสูจน์ขอบล่างและการทดลองเพิ่มเติมที่ n=1000
- ในโพสต์ Math StackExchange ที่ลิงก์ไว้ มีการพิสูจน์ว่าความน่าจะเป็นที่รากที่ใหญ่ที่สุดเป็นจำนวนจริงมีค่าอย่างน้อยดังนี้
(23-16√2)/6 ≈ 6.2%
- อัปเดตเมื่อ 11 พฤษภาคม 2024 เพิ่มผลการทดลองเกือบ 60,000 ครั้ง กับพหุนามดีกรี n=1000
- ผลออกมาสอดคล้องกับกราฟที่สังเกตได้ในช่วง n≤125
- ระบุว่าเมื่อจำนวนรอบทดลองเพิ่มขึ้น ความน่าจะเป็นที่รากที่ใหญ่ที่สุดเป็นจำนวนจริงมีแนวโน้มลดลง และอาจลู่เข้า 1/2
คำตอบ: เชื่อมโยงกับรากที่เล็กที่สุดของอนุกรมกำลังสุ่ม
- โดยอาศัย Math StackExchange และบล็อกโพสต์ Thurston, Selberg, and random polynomials Part II ในการแจกแจงสัมประสิทธิ์ที่เหมาะสม ลิมิตของกรณีดีกรีจำกัดจะนำไปสู่ปัญหา รากที่เล็กที่สุดของอนุกรมกำลังสุ่ม
P(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…- ลิมิตของความน่าจะเป็นที่รากที่เล็กที่สุดในดีกรีจำกัดเป็นจำนวนจริง จะกลายเป็นความน่าจะเป็นที่รากที่เล็กที่สุดของอนุกรมกำลังสุ่มนี้เป็นจำนวนจริง
- กล่าวว่าสามารถใช้ทฤษฎีบทของ Rouché แสดงได้ง่ายว่าความน่าจะเป็นนี้ มากกว่า 0 และน้อยกว่า 1
- ค่าลิมิตอาจต่างกันตามการแจกแจงของสัมประสิทธิ์
aᵢ- ถ้า
aᵢแจกแจงสม่ำเสมอใน [-1,1] จะอยู่ราว 51% - ถ้าเป็น Gaussian ที่มีค่าเฉลี่ย 0 ความแปรปรวน 1 จะอยู่ราว 52%
- ถ้าเป็น Gaussian แต่ความแปรปรวนเป็น
1/k!จะอยู่ราว 62% - ถ้าเป็นการแจกแจงไม่ต่อเนื่องของ
1และ-1ดูเหมือนอยู่ช่วงต้น ๆ ของ 40%
- ถ้า
- ดังนั้น แทนที่จะบอกว่า “ในทุกกรณีที่สมเหตุสมผลจะมากกว่า 50%” คำกล่าวที่แม่นยำกว่าคือ ขึ้นกับโมเดล อาจมากกว่าหรือน้อยกว่า 50% ก็ได้
เหตุผลที่รากสุดขั้วอาจเป็นรากจริงได้ แม้รากจริงจะมีน้อย
- ในหลายโมเดล รากมีแนวโน้มไปรวมตัวรอบจานหนึ่งหน่วย และการแจกแจงเชิงมุมมีแนวโน้มสม่ำเสมอ ขณะที่ในสเกลเฉพาะจุดมาก ๆ จะเกิด แรงผลัก (repulsion) ระหว่างราก
- รากเชิงซ้อนสามารถกระจายตัวรอบเส้นรอบวงของจานหนึ่งหน่วยได้ แต่แรงผลักระหว่างรากจริงถูกมองว่า “บังคับ” ให้รากจริงมีค่าน้อยลงหรือมากขึ้นกว่าเดิม
- จากมุมมองนี้ แม้จำนวนรากจริงทั้งหมดจะอยู่ระดับลอการิทึม แต่ก็อาจเป็น จำนวนที่มากพอ สำหรับการครองตำแหน่งรากที่เล็กที่สุดหรือใหญ่ที่สุด
- งานที่เหลือคือจะเปลี่ยนค่าที่คำนวณได้ง่ายด้วยมอนติคาร์โลให้เป็น การประมาณเชิงตัวเลขที่เข้มงวด ได้อย่างไร
แนวคิดในการทำการประมาณที่เข้มงวดด้วยทฤษฎีบทของ Rouché
- สมมติการแจกแจงสม่ำเสมอ
aᵢ∈[-1,1]และมีการเสนอวิธีแบ่งปริภูมิสัมประสิทธิ์ของพหุนามดีกรีต่ำเป็นกล่องเล็ก ๆ- ตัวอย่างเช่น มีการกล่าวถึงวิธีแบ่ง
aᵢแต่ละตัวในพหุนามดีกรีต่ำกว่า 100 ออกเป็น 1000 ช่วงที่มีความยาวเท่ากัน - ในคำตอบระบุว่าผลลัพธ์คือมีพหุนาม
100^1000ตัว
- ตัวอย่างเช่น มีการกล่าวถึงวิธีแบ่ง
- จากมุมมองมอนติคาร์โล คาดว่าสามารถแบ่งพหุนามส่วนใหญ่ได้เป็นสองชุดต่อไปนี้
- กรณีที่รากที่เล็กที่สุดเป็นจำนวนจริงและมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 9/10
- กรณีที่รากสองตัวที่เล็กที่สุดเป็นคู่จำนวนเชิงซ้อนสังยุคและมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 9/10
- ในทั้งสองกรณี หากแสดงได้ว่า
|P| > (9/10)^100บนขอบของจานที่มีเฉพาะรากดังกล่าวอยู่ภายใน ก็จะรับประกันด้วย ทฤษฎีบทของ Rouché ว่าลักษณะของรากที่เล็กที่สุดยังคงอยู่ - วิธีนี้ไม่มีอุปสรรคทางทฤษฎี แต่อาจต้องใช้ปริมาณการคำนวณจริงมากเกินไป จึงอาจต้องคำนวณในระดับพหุนามดีกรีต่ำกว่า 10 และพหุนาม
10^10ตัว หรือใช้การแบ่งที่มีประสิทธิภาพกว่า
การโต้แย้งการตีความว่าลู่เข้า 1/2 และการคำนวณเพิ่มเติม
- ผู้ตอบมองว่าการตีความของผู้ถามที่ว่า “น่าจะลู่เข้า 1/2” ยังไม่น่าเชื่อถือพอ และยกโมเดลธรรมชาติที่มีความสมมาตรอื่น ๆ ซึ่งไม่ได้ลู่เข้า 1/2 มาเป็นเหตุผลคัดค้าน
- จากการสร้างพหุนามสุ่มดีกรี 500 จำนวน 1000 ตัวแล้วตรวจสอบค่าสัมบูรณ์ของรากที่เล็กที่สุด พบว่าทุกกรณีมีค่าสัมบูรณ์ น้อยกว่า 0.91
- เมื่อขยายไปเป็นอนุกรมกำลังสุ่ม ระบุว่าการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันภายในจาน
|z|<0.91มีขนาดระดับ10^-20หรือน้อยกว่า - หากทฤษฎีบทของ Rouché จะใช้ไม่ได้ รากที่เล็กที่สุดหรือคู่จำนวนเชิงซ้อนสังยุคต้องอยู่ใกล้รากถัดไปอย่างยิ่งยวดในแง่ค่าสัมบูรณ์
- เมื่อขยายไปเป็นอนุกรมกำลังสุ่ม ระบุว่าการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันภายในจาน
- มีการเสนอการทดลองต่อไปนี้เพื่อประมาณอัตราการลู่เข้าให้ดีขึ้น
- คำนวณพหุนามสุ่มดีกรี 500 จำนวน 50,000 ตัว
- คำนวณพหุนาม 50,000 ตัวที่ขยายเป็นดีกรี 1000 โดยคงพจน์เริ่มต้นชุดเดิมไว้
- ตรวจสอบว่ารากที่เล็กที่สุดในสองดีกรีเป็นจำนวนจริงหรือไม่ และลักษณะนั้นเปลี่ยนบ่อยเพียงใดเมื่อเพิ่มดีกรี
- สัญชาตญาณของผู้ตอบคือเมื่อไปจากดีกรี 500 เป็น 1000 กรณีที่เปลี่ยนน่าจะพบได้น้อยมาก
- หากทั้งสองค่าอยู่แถว 51% และอัตราการเปลี่ยนน้อยกว่า 1% มาก ๆ ก็ถือเป็นสัญญาณว่าลิมิตมากกว่า 50% อย่างเคร่งครัด
การทดลองเปรียบเทียบจริง: ดีกรี 200 และ 300
- เนื่องจากการคำนวณดีกรีสูงใช้เวลานาน การเปรียบเทียบจริงจึงทำที่ดีกรี 200 และ 300
- ผลการรันพหุนาม 40,000 ตัว:
- ในพหุนามดีกรี 200 มี 20,287 ตัว ที่รากที่เล็กที่สุดเป็นจำนวนจริง
- เมื่อขยายพหุนามเหล่านี้เป็นดีกรี 300 ในทุกกรณียังคงมีคุณสมบัติเดียวกัน
- ผลนี้ชี้ว่าค่าคาดหมายของดีกรี 200, 300 และ 1000 อาจใกล้กับค่าคาดหมายของดีกรีอนันต์มากแล้ว
- ค่าที่คำนวณได้อยู่ที่ ประมาณ 50.7% และการคำนวณของผู้ถามก็อยู่ในระดับ 50.7% ใกล้เคียงกัน จึงถูกเสนอเป็นหลักฐานว่าลิมิตมากกว่า 1/2
- ผู้ตอบกล่าวว่า “ลิมิตมากกว่า 50%” อย่างมั่นใจ และเสริมว่าจะให้ 100 ดอลลาร์แก่ผู้ที่พิสูจน์ได้ว่าตนผิด
การเสถียรอย่างรวดเร็วของอนุกรมกำลังที่ถูกตัด
- เพื่อเป็นหลักฐานเพิ่มเติม มีการตรวจสอบว่า สำหรับพหุนามตัดของอนุกรมกำลังสุ่ม
P(x)=ΣaᵢxᶦคือPₖ(x)=Σᵢ₌₀ᵏaᵢxᶦตั้งแต่ k=1 ถึง 1000 สถานะว่ารากที่เล็กที่สุดเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนเริ่มเสถียรเมื่อใด - ในพหุนามสุ่ม 200 ตัว จุดเริ่มเสถียรส่วนใหญ่มีค่าน้อยมาก
- หลายกรณีเสถียรแล้วตั้งแต่ k=1 หรือ k=2
- ค่าสูงสุดในรายการคือ 22
- ผลนี้ยังสนับสนุนการประเมินว่าการทดลองดีกรีจำกัดอาจเข้าใกล้ลิมิตดีกรีอนันต์ได้อย่างรวดเร็ว
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นจาก Hacker News
น่าทึ่งจริง ๆ ที่มันอยู่ระหว่างระดับความบังเอิญกับ 1/φ
ในโพสต์ MSE ที่ลิงก์ไว้ ตอนนี้พิสูจน์ได้แล้วว่าความน่าจะเป็นที่รากมากที่สุดจะเป็นจำนวนจริงมีอย่างน้อย 6.2% และถึงขั้นมากกว่า 1/10 ของ 1/φ ด้วย ผมมองว่าความเชื่อมโยงระหว่างจำนวนเฉพาะกับ φ นั้นเป็นธรรมชาติ จำนวนเฉพาะไม่ได้สุ่มอย่างที่มักเข้าใจกันผิด แต่เกิดขึ้นแบบเวียนกลับจากจำนวนเฉพาะก่อนหน้า เพราะมันคือ “ช่องว่าง” ที่ไม่ถูกยึดโดยพหุคูณของจำนวนเฉพาะก่อนหน้า ดังนั้นจึงพอคาดได้ว่าจะมี รูปแบบการเติบโตตามธรรมชาติ บางอย่างอย่าง e หรือ φ โผล่ออกมา เป็นรูปแบบในสเกลที่พื้นฐานมาก ๆ คล้ายความจริงและความงาม
มันไม่ใช่คุณสมบัติของจำนวนเฉพาะเองเท่าไร แต่เป็นคุณสมบัติของ การเติบโต และเข้ากับเซตของจำนวนสุ่มได้ดียิ่งกว่า
มีสองคำถามที่นึกขึ้นมาได้ทันที
ไม่ได้จะพยายามลดทอนความน่าสนใจของบทความนี้นะ
แต่ประเด็นสำคัญของคำถามนี้สามารถถามได้กับการแจกแจงใด ๆ บนจำนวนจริง
ถ้าอยากลองทำการทดลองเชิงตัวเลขกับเรื่องนี้ R มีสิ่งรองรับในตัวสำหรับงานแบบนี้
plot(polyroot(runif(101,-1,1)))แบบนี้จะเห็น ภาพราก ของพหุนามดีกรี 100
“สมมติว่าสัมประสิทธิ์เป็นอิสระต่อกันและสุ่มแบบสม่ำเสมอบน (−1,1) ถ้าไม่ใช่ ก็หารสัมประสิทธิ์แต่ละตัวด้วยสัมประสิทธิ์ที่มีค่าสัมบูรณ์มากที่สุดเพื่อสเกลให้สัมประสิทธิ์ทุกตัวอยู่ใน (−1,1) ได้”
ผมไม่แน่ใจว่าสัญชาตญาณตัวเองถูกไหม แต่ถ้าแบ่งแล้วสเกลแบบนี้ การแจกแจงของสัมประสิทธิ์ตัวอื่น ๆ นอกจากตัวที่ใหญ่ที่สุดจะกลายเป็น การแจกแจงไม่สม่ำเสมอ หรือเปล่า?
พหุนามดีกรี 5 ขึ้นไปไม่มีสูตร แล้วจะแยก รากจริง ออกจาก
จำนวนจริง + epsilon*iได้อย่างไร?(r - ɛ, r + ɛ]มีรากจริงอยู่หนึ่งรากพอดี หรือไม่มีเลยก็ได้ถ้าค่าประมาณ r อยู่ห่างจากรากใดรากหนึ่งไม่เกิน ɛ ก็สามารถแยกได้ว่ามันเป็นรากจริงหรือรากเชิงซ้อนแม้ไม่มีค่าที่แน่นอน แน่นอนว่าก็มีกรณีที่ทฤษฎีบทของ Budan ให้คำตอบไม่ได้ เช่น เมื่อมีรากมากกว่าหนึ่งรากอยู่ในช่วงนั้น ก็จะล้มเหลวอย่างชัดเจนที่สุด
ตัวอย่างเช่น ถ้าพิจารณาพหุนาม
a_n x^n + ... + a_0ที่สัมประสิทธิ์a_iเป็นตัวแปรสุ่ม Bernoulli แบบอิสระและแจกแจงเหมือนกัน ต่อให้ดีกรี n ใหญ่มาก (>4) เราก็ยังพูดได้อย่างมั่นใจว่าพหุนามแบบนี้มีรากจริงที่x = 0ด้วยความน่าจะเป็น 1/2 ตรรกะในคำถามที่ลิงก์ไว้ก็คล้ายกัน แต่ประณีตกว่านี้ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง ถึงมีสูตรก็ไม่ได้ช่วย เพราะจะเจอปัญหาเดียวกันคือไม่สามารถตัดสินได้ว่าค่าหนึ่งเท่ากับ 0 หรือไม่ เช่น ในสูตรกำลังสอง ค่า discriminant อาจเป็น
-epsilonก็ได้ ถ้า epsilon เป็น 0 ก็ไม่มีรากเชิงซ้อน แต่ถ้าไม่เป็น 0 ก็มีx+iyและx-iyเป็นรากเชิงซ้อนและ y เล็กมาก ค่าอนุพันธ์ที่ x ก็น่าจะเล็กด้วย ถ้า y=0 มันจะเป็นรากซ้ำ จึงมีp'(x)=0ดังนั้นถ้า
p'(x)อยู่ไกลจาก 0 พอ ก็พอมองได้ว่าเป็นรากจริงเดี่ยว และสำหรับสัมประสิทธิ์แบบสุ่ม รากซ้ำ ดูแทบจะไม่เกิดขึ้นเลยส่วนเรื่องสูตรนั้น สำหรับดีกรี 5 ขึ้นไปไม่มีสูตรทั่วไป สูตรทั่วไปมีเฉพาะพหุนามดีกรีไม่เกิน 4
แน่นอนว่าสำหรับพหุนามดีกรีสูงบางชนิดอาจมีสูตรเฉพาะของมันได้ แต่สำหรับกรณีทั่วไปของดีกรี 5 ขึ้นไปนั้นไม่มี และเรื่องนี้ถูกพิสูจน์ไว้นานแล้ว
แม้จะนอกประเด็นไปนิด แต่ฉันก็สนุกกับการอ่านบทความคณิตศาสตร์แบบนี้เสมอ
ตอนเรียนมหาวิทยาลัยฉันชอบคณิตศาสตร์มาก และแม้จะเรียนวิศวกรรมคอมพิวเตอร์ แต่ความสุขของอาจารย์ก็เป็นแรงกระตุ้นให้ฉันเสมอ อยากเรียนรู้ให้มากขึ้นและลองลงมือแก้ปัญหาด้วยคณิตศาสตร์ดูบ้าง อาจจะเอนเอียงไปทางการวิเคราะห์เชิงตัวเลขก็ได้
เพียงแต่ตอนนี้เรียนจบมา 2 ปีแล้ว และช่วงนั้นก็แทบไม่ได้ทำอะไรเลย เลยน่าจะต้องกลับไปเรียนใหม่พอสมควร อยากรู้ว่าควรเริ่มจากตรงไหนดี หรือมีที่ไหนให้หาโจทย์สนุก ๆ ได้บ้าง แม้จะไม่ใช่การวิเคราะห์เชิงตัวเลข แต่ตอนเรียนปริญญาตรีฉันเคยทำโจทย์ของ Project Euler ไปพอสมควร มีอะไรคล้าย ๆ กันอีกไหม? ยินดีรับทุกไอเดีย
หรือว่าควรเริ่มจากกลับไปทำโจทย์ในตำราให้หมดก่อน? ;-)
Proofs from THE BOOK (https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-57265-8) ก็น่าจะอ่านเพลินเหมือนกัน
ฉันไม่แน่ใจว่าเป็นเพราะไม่รู้คณิตศาสตร์แนวนี้หรือเปล่า
ในหัวของฉันคือหยิบพหุนาม “สุ่ม” มาแล้วดูแค่รากที่ใหญ่ที่สุดสองตัว จากนั้นก็นึกถึงการสะท้อนสองแบบ คือสะท้อนตามด้านล่าง/ด้านบนของกราฟ และสะท้อนตามแกน x ถ้ารากบนสุดสองตัวนั้นไม่เสื่อมสภาพ ดูเหมือนว่าในชุดของกราฟทั้งสี่ที่ได้จากการสะท้อน จะมีสองกราฟที่มีรากจริงมากที่สุด และอีกสองกราฟที่มีรากเชิงซ้อนมากที่สุด ถ้าเสื่อมสภาพ รากมากที่สุดก็จะเป็นจำนวนจริง
ดังนั้นฉันเลยน่าจะสรุปว่า (1) กรณีที่รากมากที่สุดเป็นจำนวนจริงมีมากกว่ากรณีที่เป็นจำนวนจินตภาพ และ (2) มีกราฟที่มีรากมากที่สุดแบบไม่เสื่อมสภาพอยู่มากกว่ากรณีเสื่อมสภาพแบบอนันต์ ดังนั้น “ความได้เปรียบ” นั้นจึงเล็กจนหายไปได้
คงเห็นได้ว่าฉันแทบไม่รู้ศัพท์เลย อาจเป็นไปได้ว่าฉันมองข้ามข้อเท็จจริงที่ว่าความสม่ำเสมอของสัมประสิทธิ์สุ่มไม่ได้แปลเป็นการกระจายแบบสม่ำเสมอในปริภูมิ หรือไม่การสะท้อนของฉันอาจทำให้เงื่อนไขบางอย่างพัง เช่น เงื่อนไขที่ว่าสัมประสิทธิ์ต้องเป็นจำนวนจริง หรือไม่ก็อาจจะผิดไปเลย
p(x)กับแกน x คือการแทนp(x)ด้วยp(-x)แล้ว “สะท้อนตามด้านล่าง/ด้านบนของกราฟ” หมายความว่าอะไร? สะท้อนกับแกน y หรือ? ถ้าใช่ก็หมายถึงp(x)จะเปลี่ยนเป็น-p(x)ส่วนคำว่าการรวมกันน่าจะหมายถึงการนำ
(พหุนาม + พหุนามที่สะท้อนแล้ว)/2มาหรือเปล่า?ฉันไม่ค่อยเข้าใจว่าทำไมการที่จำนวนจริงมีโอกาสมากกว่าถึงดูขัดกับสัญชาตญาณ
ถ้าแทนที่จะสุ่มสัมประสิทธิ์จริงแบบสม่ำเสมอในช่วงหนึ่ง เราสุ่มรากอย่างสม่ำเสมอจากจานในระนาบเชิงซ้อนที่มีจุดศูนย์กลางเป็นจุดกำเนิด แล้วสร้างพหุนามจากรากเหล่านั้น โอกาสที่จะได้พหุนามสัมประสิทธิ์จริงแทบจะไม่มีเลย ในทางกลับกัน ถ้ารากที่สุ่มได้เป็นจำนวนจริง พหุนามนั้นก็จำเป็นต้องมีสัมประสิทธิ์จริง ดังนั้นโดยตั้งต้นแล้วจะให้คำตอบไหนก็ไม่น่าแปลกใจ และสำหรับฉันฝั่งที่จำนวนจริงดูเป็นไปได้มากกว่ากลับรู้สึกสอดคล้องกับสัญชาตญาณมากกว่าเล็กน้อย แน่นอนว่าไม่ได้แปลว่าต้องเป็นเช่นนั้นเสมอไป
log(n)ตัว และมีรากที่ไม่ใช่จำนวนจริงn - log(n)ตัวเมื่อ n ใหญ่ขึ้น
log(n)จะเล็กมากเมื่อเทียบกับ n ดังนั้นการที่ในมากกว่าครึ่งหนึ่งของกรณี รากมากที่สุดกลับเป็นหนึ่งในรากจริงจำนวนน้อยนิดนั้น จึงน่าประหลาดใจมากพอกดตามลิงก์พวกนี้ไปเรื่อย ๆ ดูเหมือนว่าคำตอบหนึ่งของ Boris Hanin จะช่วยไขคำถามที่ฉันสงสัยมาสักพักได้
แต่ฉันสงสัยว่าพหุนามสุ่มในที่นี้หมายถึงสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงหรือเป็นจำนวนเชิงซ้อน
[-1, 1]และยังทดสอบการกระจายปกติที่มีการสเกลแบบหนึ่งด้วย