ความก้าวหน้าที่น่าจับตาเกี่ยวกับสมมติฐานรีมันน์
(mathstodon.xyz)- Guth และ Maynard ปรับปรุง ขอบเขตของ Ingham ปี 1940 เกี่ยวกับจำนวนจุดศูนย์ของฟังก์ชันซีตารีมันน์ได้อย่างมีนัยสำคัญเป็นครั้งแรก แต่ก็ยังห่างไกลจากการแก้สมมติฐานรีมันน์โดยตรง
- วัตถุหลักคือจำนวนจุดศูนย์ N(σ,T) ที่มีส่วนจริงอย่างน้อย σ และมีค่าสัมบูรณ์ของส่วนจินตภาพไม่เกิน T โดยขอบเขตเดิมที่ σ=3/4 ค้างอยู่แทบไม่มีความคืบหน้าครั้งใหญ่มานานกว่า 80 ปี
- ผลลัพธ์ใหม่ลดขอบเขตที่ σ=3/4 จาก
3/5=0.6เป็น13/25=0.52และให้การประมาณความหนาแน่นของจุดศูนย์ในรูปN(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)} - การปรับปรุงนี้ขยายช่วงที่สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะในช่วงสั้นเกือบทั้งหมด
(x, x+x^θ)ได้ จากθ > 1/6เป็นθ > 2/15 - ผลลัพธ์ครั้งนี้จำกัดความเป็นไปได้ของ “การละเมิดสมมติฐานรีมันน์ระดับปานกลางจำนวนมาก” ได้เข้มขึ้น แต่ไม่ใช่ความก้าวหน้าเรื่อง บริเวณปลอดศูนย์ (zero-free region) ที่ใช้ตัดความเป็นไปได้ของการละเมิดร้ายแรงแบบจุดเดียว
ขอบเขตความหนาแน่นของจุดศูนย์ที่ Guth–Maynard ปรับปรุง
- งานของ Guth และ Maynard New large value estimates for Dirichlet polynomials พิสูจน์ขอบเขตใหม่เกี่ยวกับความถี่ที่ พหุนาม Dirichlet มีค่ามาก
- โดยเฉพาะเจาะจงถึงกรณีวิกฤตที่พหุนาม Dirichlet ความยาว
Nมีขนาดใกล้N^{3/4}ซึ่งเป็นคอขวดของการประมาณหลายอย่างในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ที่เชื่อมกับจำนวนเฉพาะและฟังก์ชันซีตารีมันน์ N(σ,T)หมายถึงจำนวนจุดศูนย์ของฟังก์ชันซีตารีมันน์ที่มีส่วนจริงอย่างน้อย σ และค่าสัมบูรณ์ของส่วนจินตภาพไม่เกิน T- สมมติฐานรีมันน์อาจมองได้ว่าเป็นข้อความที่ว่า
N(σ,T)เป็น 0 สำหรับทุกσ > 1/2 - เนื่องจากปัจจุบันยังพิสูจน์สิ่งนี้แบบไม่มีเงื่อนไขไม่ได้ จึงหันไปพิสูจน์ การประมาณความหนาแน่นของจุดศูนย์ ซึ่งเป็นขอบเขตบนที่ไม่เป็นสามัญของ
N(σ,T)แทน
- สมมติฐานรีมันน์อาจมองได้ว่าเป็นข้อความที่ว่า
ขอบเขตของ Ingham ที่ติดค้างมานานกว่า 80 ปี
σ=3/4เป็นค่าหลักในปัญหานี้- Ingham ได้ขอบเขต
N(3/4,T) ≪ T^{3/5+o(1)}ตั้งแต่ปี 1940 - ตลอดกว่า 80 ปีหลังจากนั้น ขอบเขตนี้แทบไม่ได้รับการปรับปรุงอย่างมีสาระสำคัญ และมีเพียงการขัดเกลาพจน์คลาดเคลื่อน
o(1)เล็กน้อยเป็นหลัก - ข้อจำกัดนี้ได้จำกัดปัญหาหลายอย่างในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์
- เป็นเวลานานที่การได้ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะที่ดีสำหรับช่วงสั้นเกือบทั้งหมด
(x, x+x^θ)ต้องอยู่ในช่วงθ > 1/6 - อุปสรรคสำคัญคือ การขาดการปรับปรุงขอบเขตของ Ingham
- เป็นเวลานานที่การได้ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะที่ดีสำหรับช่วงสั้นเกือบทั้งหมด
ค่าตัวเลขใหม่ที่นำไปสู่ผลลัพธ์เรื่องช่วงสั้นของจำนวนเฉพาะ
- Guth–Maynard ปรับปรุงขอบเขตของ Ingham จาก
3/5=0.6เป็น13/25=0.52 - งานนี้มีการประมาณความหนาแน่นของจุดศูนย์ในรูป
N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)} - สำหรับช่วงสั้นของจำนวนเฉพาะ พวกเขาได้สูตรเชิงอสมมาตรในช่วงยาว
x^{17/30+o(1)} - ช่วงของทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะสำหรับช่วงสั้นเกือบทั้งหมด
(x, x+x^θ)ก็ได้รับการปรับปรุงด้วย- เดิม:
θ > 1/6 = 0.166... - ปรับปรุงแล้ว:
θ > 2/15 = 0.133...
- เดิม:
- หากสมมติฐานรีมันน์เป็นจริง ช่วงนี้จะขยายได้ถึงทั้งหมด
θ > 0
เทคนิคที่คาดไม่ถึงในบทพิสูจน์
- โดยรวมแล้ว เหตุผลพิสูจน์มีลักษณะเป็น การวิเคราะห์ฟูริเยร์
- บางส่วนในช่วงแรกเป็นมาตรฐาน จึงมีรูปแบบคุ้นเคยสำหรับนักทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ที่เคยพยายามเจาะขอบเขตของ Ingham
- แต่หลังจากนั้น การเลือกที่ไม่เป็นธรรมชาติหลายอย่างกลับมีบทบาทสำคัญ
- ควบคุมเมทริกซ์เฟส
n^{it}=e^{it log n}โดยยกเป็น กำลังหก - สำหรับอินทิกรัลฟูริเยร์ที่ซับซ้อนบางตัว ไม่ได้ทำให้ง่ายลงด้วย stationary phase แต่ยอมเสียในชี้กำลังเพื่อรักษา รูปแบบการแยกตัวประกอบ ที่ภายหลังกลับมีประโยชน์
- แยกกรณีตาม additive energy ของตำแหน่งที่อนุกรม Dirichlet มีค่ามาก ว่ามีน้อย ปานกลาง หรือมาก แล้วใช้เหตุผลต่างกันในแต่ละกรณี
- ควบคุมเมทริกซ์เฟส
- รูปแบบที่แม่นยำของฟังก์ชันเฟส
t log nที่แฝงอยู่ในอนุกรม Dirichlet กลายเป็นสิ่งสำคัญมาก - นี่ไม่ใช่ผลรวมเชิงชี้กำลังแบบทั่วไปในฮาร์มอนิกอะนาลิซิส แต่เป็นการใช้ประโยชน์จากความพิเศษของผลรวมเชิงชี้กำลังที่เกิดจากทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์
ความหนาแน่นของจุดศูนย์ไม่ใช่บริเวณปลอดศูนย์
- ผลลัพธ์นี้ช่วยลดความเป็นไปได้ของ “การละเมิดสมมติฐานรีมันน์ที่ค่อนข้างแย่จำนวนมาก”
- การปรับปรุงแบบนี้มีประโยชน์เป็นพิเศษต่อการทำความเข้าใจจำนวนเฉพาะในช่วงสั้น
- อย่างไรก็ตาม มันไม่ได้ตัดความเป็นไปได้ใหม่ของ “การละเมิดที่แย่มากแบบจุดเดียว”
- สิ่งนั้นเป็นหน้าที่ของ บริเวณปลอดศูนย์
- ในการทำความเข้าใจจำนวนเฉพาะในช่วงยาว บริเวณปลอดศูนย์มีบทบาทสำคัญเป็นศูนย์กลาง
- บริเวณปลอดศูนย์เชิงอสมมาตรที่ดีที่สุดที่รู้จักยังคงเป็น Vinogradov–Korobov zero-free region
- ในสัญกรณ์นี้ หาก
σ ≥ 1 - log^{-2/3-o(1)} Tแล้วN(σ,T)จะหายไปโดยสิ้นเชิง - ผลลัพธ์นี้เองก็แทบไม่ขยับเลยนับตั้งแต่ปี 1958
- ในสัญกรณ์นี้ หาก
- ใน q-aspect การกำจัด Siegel zero ของ L-ฟังก์ชันก็เป็นความก้าวหน้าครั้งใหญ่ในมิติของบริเวณปลอดศูนย์เช่นกัน
- หากมองในเชิงภาพ ยิ่งชี้กำลัง
θ(σ)ที่รู้จักต่ำเท่าไร ขอบเขตก็ยิ่งดี- เส้นโค้งใหม่ของ Guth–Maynard ปรับปรุงเหนือขอบเขตที่ดีกว่าระหว่าง Ingham และ Huxley ใกล้
σ=3/4 - แต่ในช่วงนี้ก็ยังไปไม่ถึง density conjecture
- สมมติฐานรีมันน์เทียบได้กับการกดแผนภาพทั้งหมดลงมาบนแกน x
- เส้นโค้งใหม่ของ Guth–Maynard ปรับปรุงเหนือขอบเขตที่ดีกว่าระหว่าง Ingham และ Huxley ใกล้
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นจาก Hacker News
มี การแสดงภาพฟังก์ชันซีตา ที่สร้างด้วย JavaScript ซึ่งซูมเข้าได้ไม่จำกัด และลองปรับพารามิเตอร์ได้ด้วย: https://amirhirsch.com/zeta/index.html
อาจช่วยให้เข้าใจเชิงสัญชาตญาณได้ว่าทำไมสมมติฐานนี้จึงมีแนวโน้มสูงที่จะเป็นจริง โดยเรนเดอร์ผลรวมย่อยและติดตามเส้นทางของซีตา
ในการเรนเดอร์จะรวมผลรวมย่อยทั้งหมดจนถึง N-critical ที่คำนวณอัตโนมัติ ซึ่งเป็นจุดที่ความต่างเฟสของสองพจน์น้อยกว่า π หรือก็คือขีดจำกัดไนควิสต์ หลังจากนั้นพฤติกรรมของผลรวมย่อยจะเป็นแบบโมโนโทนิก
คลัสเตอร์ดูเหมือนโหมด aliasing ที่เคลื่อนที่ไปมาเมื่อความถี่ชั่วขณะของพจน์อยู่ระหว่าง kπ กับ (k+1)π และช่วง random walk คือบริเวณที่มีจุดเพียงจุดเดียวต่อหนึ่งโหมด aliasing เส้นสีเขียวเน้นสมมาตรของผลรวมย่อย และคลัสเตอร์ยังคงสมมาตรกับช่วง random walk สมมาตรนี้สรุปไว้อย่างดีในบทความนี้: https://arxiv.org/pdf/1507.07631
zeta(s) คือการแปลงลาปลาซของ sum(delta(t-ln n)) ที่สุ่มตัวอย่าง ณ เวลา t=(ln n) สำหรับจำนวนเต็ม n>0 และอัตราการสุ่มตัวอย่างเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว
จินตนาการได้ว่านี่เป็น impulse response ที่ออกมาจากกล่องดำ และขึ้นกับพารามิเตอร์ส่วนจริง impulse response อาจเป็นสัญญาณพลังงานจำกัดหรืออาจเป็นสัญญาณกำลังก็ได้ ถ้าสมมติว่าพลังงาน sum(|1/s|^2) มีค่าจำกัด กล่าวคือ real(s) > 1/2 สมมติฐานรีมันน์ก็เท่ากับบอกว่าผลรวมนั้นไม่เป็นศูนย์ คล้ายกับการบอกว่าตัวสุ่มตัวอย่างแบบลอการิทึมไม่สามารถทำลายข้อมูลได้ทั้งที่ไม่ได้ต่อไฟไว้ด้วยซ้ำ
ผมคิดว่าการดูแบบสามมิติช่วยได้: https://github.com/atonalfreerider/riemann-zeta-visualization
ถึงอย่างนั้นก็น่าสนุกดีที่มีคนพยายามทำสิ่งนี้กันเยอะขนาดนี้ ผลลัพธ์ก็ดูดี และเป็นโจทย์ฝึกเขียนโปรแกรมที่สนุก
James Maynard ออกรายการ Numberphile บ่อย ดังนั้นถ้าอยากฟังคำอธิบายคณิตศาสตร์ที่เข้าถึงง่ายจากหนึ่งในผู้เขียนบทความนี้ ก็น่าลองดู: https://www.youtube.com/playlist?list=PLt5AfwLFPxWJdwkdjaK1ogByEGiVHdEnM
ที่มา: https://www.youtube.com/watch?v=eupAXdWPvX8&list=PLt5AfwLFPxWJdwkdjaK1ogByEGiVHdEnM&index=3&t=10m
ถ้ากำลังมองหาสื่อปูพื้นฐานสมมติฐานรีมันน์ที่ลงลึกกว่าวิดีโอส่วนใหญ่ แต่ยังเข้าถึงได้สำหรับคนที่เรียนสาย STEM ซีรีส์วิดีโอนี้ของ zetamath ดีมากจริง ๆ
ผมเข้าใจต้นฉบับของศาสตราจารย์ Tao ได้ทั้งหมดจนถึงส่วนที่ว่า “ควบคุมเมทริกซ์หลักของเฟส” ดังนั้นวิดีโอเหล่านี้คงสอนอะไรผมได้แน่ ๆ
[1] https://www.youtube.com/watch?v=oVaSA_b938U&list=PLbaA3qJlbE93DiTYMzl0XKnLn5df_QWqY
ลองจินตนาการดูว่ารู้สึกอย่างไรถ้า Terence Tao สรุปข้อโต้แย้งของคุณ โดยบอกว่าเขาเองก็เคยลองทำอะไรคล้าย ๆ กันแต่ล้มเหลว
“ข้อโต้แย้งนี้โดยรวมมีลักษณะเชิงการวิเคราะห์ฟูเรียร์ ขั้นตอนแรก ๆ เป็นมาตรฐาน และนักทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์หลายคนที่เคยพยายามทำลายขอบเขตของ Ingham รวมถึงตัวผมเอง จะจำได้ แต่พวกเขาทำการพลิกแพลงที่ชาญฉลาดและคาดไม่ถึงหลายอย่าง”
อีกทั้งยังเขียนถึงเครื่องมือและข้อจำกัดของมันอยู่บ่อย ๆ โดยทั่วไป แนะนำอย่างยิ่งให้อ่านบล็อกของเขา
[0]: https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth
[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/James_Maynard_(mathematician)
ยิ่งไปกว่านั้น มันอาจหมายถึงรากฐานและความเข้าใจที่มั่นคงว่าไม่ควรคาดหวังว่าการกระทำของใครจะสัมพันธ์กับชื่อเสียงเสมอไป โดยเฉพาะเมื่อการสร้างผลงานไม่ใช่การแข่งขันด้านความนิยม แต่เป็นความพยายามของปัจเจกหรือทีมที่เข้มงวด
คนที่ทำงานอยู่ในสภาพแวดล้อมธุรกิจทั่วไป บริษัทใหญ่ VC และแวดวงวิชาการ ที่การเมืองครอบงำ คุณธรรมนิยมเป็นเพียงวลีสร้างแรงจูงใจที่ฟังดูดี และความนิยมกลายเป็นสกุลเงินจริง อาจรู้สึกว่าสิ่งนี้แปลกแยก
บทความนี้ซึ่งอธิบายความสำคัญที่เป็นไปได้เกี่ยวกับบทพิสูจน์ที่เสนอในปี 2018 เป็นแหล่งข้อมูลเบื้องต้นที่มีประโยชน์
[1] https://www.sciencenews.org/article/why-we-care-riemann-hypothesis-math-prime-numbers
เกร็ดน่าสนใจ: หนึ่งในผู้เขียนคือ Larry Guth เป็นลูกชายของ Alan Guth นักฟิสิกส์ทฤษฎีผู้มีชื่อเสียงจากทฤษฎีเอกภพเงินเฟ้อ (https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth)
สงสัยว่าคิดอย่างไรกับทฤษฎีบททั้งหมดที่อาศัย กฎตัดทางเลือกกลาง/กฎว่าด้วยกรณีที่สามที่เป็นไปไม่ได้ โดยใช้ Riemann hypothesis เป็นฐาน
นักสร้างสรรค์นิยมมองว่าการพิสูจน์ “A หรือ B” ต้องมีบทพิสูจน์ของ A หรือบทพิสูจน์ของ B อยู่จริง ๆ และปฏิเสธกฎดังกล่าว แต่ตอนนี้ยังไม่มีใครมีทั้งบทพิสูจน์ของ RH หรือบทพิสูจน์ของ ~RH
เรื่องนี้สำคัญในระบบตรรกะที่เรียกว่าไม่สมบูรณ์ ซึ่งบางทฤษฎีบทไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้ และในระบบแบบนั้น กฎนี้เป็นสัจพจน์ที่ยอมรับไม่ได้
ถ้า RH ไม่สามารถพิสูจน์ได้ไม่ว่าทางใด ก็ย่อมไม่มี counterexample ต่อ RH อย่างแน่นอน เพราะถ้ามี counterexample เราก็หาเจอแล้วพิสูจน์ได้ว่า RH เป็นเท็จ
ดังนั้นถ้า RH พิสูจน์ไม่ได้ ก็ต้องเป็นจริง เพียงแต่นี่ดูเหมือนใช้ตรรกะจากนอกระบบตรรกะที่ RH ทำงานอยู่
ช่องคอมเมนต์นี้เต็มไปด้วยคนที่ไม่ได้เข้าใจหัวข้อนี้จริง ๆ แต่พยายามจะดูฉลาด แล้วกลับได้ผลตรงกันข้ามอย่างประหลาด
อยากให้ปล่อยวางความกังวลลงบ้าง บางเรื่องยอมรับตรง ๆ ว่าไม่เข้าใจก็ไม่เป็นไร ทุกคนมีเรื่องที่ไม่เข้าใจมากกว่าเรื่องที่เข้าใจอยู่แล้ว
https://news.ycombinator.com/item?id=40571995#40576767
กลับกัน คอมเมนต์ของคุณดูค่อนข้างกดคนอื่น และให้ความรู้สึกเหมือนเป็นการฉายภาพมากกว่าจะเป็นการมีส่วนร่วมที่มีความหมาย
ช่วยอธิบายให้คนที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ฟังได้ไหม?
zeta(z)=0ทั้งหมดมีรูปแบบเฉพาะบางอย่างแทบทุกนักคณิตศาสตร์ที่ยังมีชีวิตอยู่เคยลองแก้มันในช่วงใดช่วงหนึ่งของชีวิต สมมติฐานนี้มีนัยลึกซึ้งต่อทฤษฎีจำนวน เช่น การกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ
ในบทความล่าสุด นักคณิตศาสตร์บางคนอ้างว่าได้ให้ขอบเขตที่แข็งแรงขึ้นเกี่ยวกับตำแหน่งที่คำตอบเหล่านั้นอาจอยู่ได้ ในบทความที่ลิงก์ Terrence Tao หนึ่งในนักคณิตศาสตร์ชั้นนำที่สุดที่ยังมีชีวิตอยู่ ประเมินบทความนั้นไว้สูงมาก
โดยส่วนตัวผมคิดว่ายังไม่ถึงขั้นเป็นเรื่องที่คนที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ต้องสนใจมากนัก มันเป็นผลลัพธ์ที่มีเทคนิคสูงมาก และอาจถูกพบว่าผิดหรือไม่สมบูรณ์ในกระบวนการตรวจสอบเพิ่มเติมก็ได้
มีแหล่งให้อ่านมากมายเกี่ยวกับ Riemann hypothesis นัยของมัน และความพยายามในการแก้ปัญหานี้
ถ้า Riemann hypothesis เป็นจริง เราจะรู้ว่าความคลาดเคลื่อนของการประมาณนี้ถูกควบคุมได้ดีและมีขนาดเล็ก แล้วก็จะพิสูจน์ผลการประมาณอื่น ๆ ได้อีกมาก มีผลลัพธ์จำนวนมากในรูปแบบ “ถ้า Riemann hypothesis เป็นจริง…”
จังหวะดีเลย ตอนนี้กำลังฟัง The Humans ของ Matt Haig อยู่ ซึ่งเรื่องเริ่มหลังจากมีใครบางคนพิสูจน์ Riemann hypothesis ได้