จากวงกลมสู่อีพีไซเคิล (ภาค 1) - แนะนำแอนิเมชันเกี่ยวกับอนุกรมฟูเรียร์
สารบัญ
- วงกลม
- จำนวน π
- เรเดียน
- ไซน์และโคไซน์
- โคไซน์นำหน้าไซน์
- สมมาตรของโคไซน์และไซน์
- จำนวนเชิงซ้อนและวงกลมหนึ่งหน่วย
- การคูณด้วย i คือการหมุน π/2
- อัตลักษณ์ของออยเลอร์
- สูตรของออยเลอร์ ความเชื่อมโยงของ e, π, i
- รูปเลขชี้กำลังของไซน์และโคไซน์
- คลื่นไซน์
- ความยืดหยุ่นของคลื่นไซน์
- คลื่นไซน์เชิงซ้อน
- การหักล้างกันของคลื่นไซน์
- ผลรวมของคลื่นไซน์สร้างความซับซ้อน
- บวกคลื่นไซน์เล่น ๆ
- Tetris ด้วยคลื่นไซน์
- คลื่นไซน์และคลื่นสี่เหลี่ยม
- อีพีไซเคิล - การพบกันครั้งแรก
- อีพีไซเคิล - ความเข้าใจเชิงสัญชาตญาณ
- อีพีไซเคิล - ดอกไม้
- อนุกรมฟูเรียร์
- รูปเลขชี้กำลังของอนุกรมฟูเรียร์
- ตัวอย่าง: อนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันกล่อง
- ตัวอย่าง: อนุกรมฟูเรียร์ของคลื่นสามเหลี่ยม
- ตัวอย่าง: อนุกรมฟูเรียร์ของคลื่นฟันเลื่อย
- เครื่องจักรอนุกรมฟูเรียร์
วงกลม
- วงกลมเป็นรูปเรขาคณิตที่มีจุดศูนย์กลาง P(a, b) และรัศมี r
- วงกลมหนึ่งหน่วยคือวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ (0, 0) และมีรัศมี 1
- วงกลมคือจุดสูงสุดของความสมมาตร
จำนวน π
- π คืออัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม
- π มีค่าประมาณ 3.14 และใช้ในการคำนวณเส้นรอบวงและพื้นที่
- π เป็นทั้งจำนวนอตรรกยะและจำนวนอติพจน์
เรเดียน
- เรเดียนเป็นหน่วยจริงสำหรับการวัดมุม
- หากต้องการแปลงองศาเป็นเรเดียน ให้นำค่าองศาคูณด้วย π แล้วหารด้วย 180
ไซน์และโคไซน์
- ไซน์และโคไซน์ถูกนิยามบนวงกลมหนึ่งหน่วย
- ไซน์แทนพิกัด y และโคไซน์แทนพิกัด x
- ฟังก์ชันทั้งสองเป็นฟังก์ชันคาบ โดยมีคาบเท่ากับ 2π
โคไซน์นำหน้าไซน์
- โคไซน์นำหน้าไซน์อยู่ π/2
- sin(x + π/2) = cos(x)
สมมาตรของโคไซน์และไซน์
- โคไซน์เป็นฟังก์ชันคู่ ดังนั้น cos(x) = cos(-x)
- ไซน์เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้น sin(-x) = -sin(x)
จำนวนเชิงซ้อนและวงกลมหนึ่งหน่วย
- ในระนาบเชิงซ้อน จุดบนวงกลมถูกนิยามเป็น z = cos(θ) + i*sin(θ)
การคูณด้วย i คือการหมุน π/2
- เมื่อคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วย i จะเป็นการหมุนทวนเข็มนาฬิกาไป π/2
อัตลักษณ์ของออยเลอร์
- ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลธรรมชาติเขียนเป็น e^x โดยที่ e มีค่าประมาณ 2.71828
- มีความเชื่อมโยงอย่างแน่นแฟ้นระหว่าง e กับวงกลม
- e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
สูตรของออยเลอร์ ความเชื่อมโยงของ e, π, i
- สูตรของออยเลอร์: e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
- เมื่อ x = π, e^(iπ) + 1 = 0
รูปเลขชี้กำลังของไซน์และโคไซน์
- cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2
- sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)
คลื่นไซน์
- คลื่นไซน์นิยามเป็น A*sin(2πft + φ)
- A คือแอมพลิจูด, f คือความถี่, ω คือความถี่เชิงมุม, และ φ คือออฟเซ็ตของเฟส
ความยืดหยุ่นของคลื่นไซน์
- คลื่นไซน์สามารถปรับได้ด้วยแอมพลิจูด ความถี่ และเฟสที่หลากหลาย
คลื่นไซน์เชิงซ้อน
- คลื่นไซน์เชิงซ้อนจับพฤติกรรมของคลื่นไซน์สองตัว (โคไซน์และไซน์)
- ส่วนจริงทำงานเป็นโคไซน์ และส่วนจินตภาพทำงานเป็นไซน์
การหักล้างกันของคลื่นไซน์
- คลื่นไซน์สองตัวที่มีแอมพลิจูดเท่ากันแต่มีความถี่ตรงข้ามกันจะหักล้างกัน
ผลรวมของคลื่นไซน์สร้างความซับซ้อน
- เมื่อบวกคลื่นไซน์สองตัวเข้าด้วยกัน จะเกิดรูปแบบที่ซับซ้อนขึ้น
บวกคลื่นไซน์เล่น ๆ
- เมื่อบวกคลื่นไซน์หลายตัวเข้าด้วยกัน จะเกิดรูปแบบที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น
Tetris ด้วยคลื่นไซน์
- สามารถสร้างเกม Tetris โดยใช้คลื่นไซน์ได้
คลื่นไซน์และคลื่นสี่เหลี่ยม
- หากเลือกคลื่นไซน์อย่างเหมาะสม ก็สามารถสร้างรูปแบบที่คาดเดาได้
- เมื่อนำคลื่นไซน์หลายตัวมารวมกัน จะสร้างคลื่นสี่เหลี่ยมได้
อีพีไซเคิล - การพบกันครั้งแรก
- คลื่นไซน์สอดคล้องกับวงกลมที่กำลังหมุน
- เมื่อรวมคลื่นไซน์หลายตัวเข้าด้วยกัน จะสามารถวาดรูปทรงที่ซับซ้อนได้
อีพีไซเคิล - ความเข้าใจเชิงสัญชาตญาณ
- อีพีไซเคิลแต่ละตัวสอดคล้องกับคลื่นไซน์เฉพาะตัว
- การรวมคลื่นไซน์สามารถย่อให้เหลือเป็นการบวกเวกเตอร์ได้
อีพีไซเคิล - ดอกไม้
- หากเลือกคลื่นไซน์อย่างเหมาะสม ก็จะวาดรูปร่างที่ต้องการได้
อนุกรมฟูเรียร์
- อนุกรมฟูเรียร์เป็นกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการขยายฟังก์ชันคาบให้อยู่ในรูปผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
- แสดงฟังก์ชัน f(x) ให้อยู่ในรูปผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
รูปเลขชี้กำลังของอนุกรมฟูเรียร์
- โดยใช้สูตรของออยเลอร์ เราสามารถแสดงอนุกรมฟูเรียร์เป็นผลรวมของคลื่นไซน์เชิงซ้อนได้
ตัวอย่าง: อนุกรมฟูเรียร์ของฟังก์ชันกล่อง
- สามารถประมาณคลื่นสี่เหลี่ยมด้วยผลรวมของคลื่นไซน์ได้
- y(x) = (4/π) * Σ (sin((2k-1)ωx) / (2k-1))
ความเห็นของ GN⁺
- อนุกรมฟูเรียร์มีประโยชน์อย่างมากในการวิเคราะห์และสังเคราะห์สัญญาณคาบ
- หากเข้าใจแนวคิดพื้นฐานของคลื่นไซน์และโคไซน์ ก็จะช่วยอย่างมากต่อการประมวลผลสัญญาณที่ซับซ้อน
- จำนวนเชิงซ้อนและสูตรของออยเลอร์มีบทบาทสำคัญในการวิเคราะห์สัญญาณ
- อนุกรมฟูเรียร์ถูกใช้ในงานประยุกต์หลากหลาย เช่น การประมวลผลสัญญาณเสียง และการบีบอัดภาพ
- บทความนี้อธิบายแนวคิดพื้นฐานของอนุกรมฟูเรียร์ได้เข้าใจง่าย จึงเป็นประโยชน์ต่อวิศวกรมือใหม่
1 ความคิดเห็น
ความเห็นบน Hacker News
ใช้เวลานานมากกว่าจะเข้าใจ Fourier transform พอเข้าใจ Discrete Fourier Transform (DFT) แล้ว ก็เข้าใจ inverse FFT, ทฤษฎีบทของ Plancherel, และ ทฤษฎีบทของ Parseval ได้อย่างเป็นธรรมชาติ หลังจากเข้าใจ พีชคณิตเชิงเส้น แล้ว การขยายไปสู่ Fourier transform แบบต่อเนื่องก็เป็นเรื่องง่าย สำหรับฉัน การดู สมการ ง่ายกว่าการดู สื่อภาพ
ลิงก์ซอร์สโค้ดผิด ลิงก์ที่ถูกต้องคือ ที่นี่ ดูเหมือนว่าจะทำแอนิเมชันด้วย Processing
คำอธิบายเกี่ยวกับ Fourier transform หาได้ใน Feynman Lectures ด้วย ลิงก์
เพื่อจะเข้าใจ FFT ฉันไปเรียนคอร์ส
Introduction to Graduate Algorithmsของ Georgia Tech แล้วก็ลงมือเขียนทุกอย่างด้วย Python เอง เป็นคอร์สที่ดีมากจริง ๆ ลิงก์ฉันพอเข้าใจ Fourier transform อยู่บ้าง และมีคนอธิบายเรื่องนี้กันเยอะแล้ว แต่อยากให้มีคนทำเรื่อง Laplace transform ด้วย เคยใช้มันในการวิเคราะห์วงจรอิเล็กทรอนิกส์ แต่ตอนนี้ลืมไปหมดแล้ว ลิงก์
แอนิเมชัน epicycle ช่วยมากในการทำความเข้าใจการแทนค่าเชิงซ้อนของ อนุกรมฟูเรียร์ และโพสต์นี้ก็เหนือกว่าหน้านั้นไปไกลมาก ต่อไปฉันคงจะแชร์ให้คนอื่นดู
บทสอนนี้ยอดเยี่ยมมากถ้าใช้ควบคู่กับตำรา ฉันชอบทั้งแอนิเมชันและแอนิเมชันแบบอินเทอร์แอ็กทีฟ เพียงแต่ว่ายังต้อง พิสูจน์อักษร
ขอบคุณสำหรับตัวอย่างที่ยอดเยี่ยมและเว็บไซต์ที่ดีมาก เว็บนี้ใช้งานได้ลื่นไหล แต่ เว็บไซต์ข่าวแบบสแตติก ส่วนใหญ่กลับทำให้เบราว์เซอร์แครชอยู่บ่อย ๆ
มีบทนำเรื่อง การประมวลผลสัญญาณ ที่ดีมากอยู่ชิ้นหนึ่ง แนะนำสำหรับคนที่ชอบ การทำภาพให้เห็นแนวคิด ลิงก์
คนนี้ยังมีงานอื่นที่ยอดเยี่ยมอีก ลิงก์