แนะนำแอนิเมชันเรื่องอนุกรมฟูริเยร์
(andreinc.net)- เริ่มจาก ความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การหมุน ของวงกลมและวงกลมหนึ่งหน่วย แล้วเชื่อมโยงลำดับแนวคิดจากไซน์·โคไซน์ จำนวนเชิงซ้อน สูตรของ Euler คลื่นไซน์ และ epicycle ไปสู่ Fourier Series ในเชิงภาพ
- การหมุนบนวงกลมหนึ่งหน่วยทำให้ตีความ $\sin$ เป็นพิกัด y และ $\cos$ เป็นพิกัด x โดยฟังก์ชันทั้งสองมีคาบ $2\pi$ และมี ความต่างเฟส $\frac{\pi}{2}$
- บนระนาบเชิงซ้อน $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ คือการหมุนบนวงกลมหนึ่งหน่วย และ คลื่นไซน์เชิงซ้อน รวมโคไซน์กับไซน์ไว้เป็นวัตถุที่หมุนชิ้นเดียว
- เมื่อนำคลื่นไซน์หลายตัวมาบวกกัน จะเกิดการเสริมและการหักล้างกัน และเมื่อผสม ความถี่คี่ กับแอมพลิจูดที่ลดลง ก็จะประมาณรูปไม่ต่อเนื่องอย่างคลื่นสี่เหลี่ยมได้ใกล้ขึ้นเรื่อย ๆ
- Epicycle แสดงคลื่นไซน์แต่ละตัวในรูปวงกลมที่หมุนและการบวกเวกเตอร์ โดยรัศมีสอดคล้องกับแอมพลิจูด $A$, ความเร็วการหมุนสอดคล้องกับความถี่เชิงมุม $\omega$, และมุมเริ่มต้นสอดคล้องกับเฟส $\varphi$
การหมุนที่เริ่มจากวงกลม, $\pi$, และเรเดียน
- วงกลมกำหนดด้วยจุดศูนย์กลาง $P(a,b)$ และรัศมี $r$ และในเชิงพีชคณิตเขียนได้เป็น $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
- ถ้าวางจุดศูนย์กลางไว้ที่จุดกำเนิดและให้รัศมีเท่ากับ 1 จะได้ วงกลมหนึ่งหน่วย และสมการจะเรียบง่ายเป็น $x^2+y^2=1$
- จุดบนวงกลมกับจุดสะท้อนฝั่งตรงข้ามยังคงรักษาความสัมพันธ์ไว้แม้ถูกหมุน และ ความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การหมุน แบบนี้ถูกใช้เป็นสัญชาตญาณหลักของคณิตศาสตร์ฟูริเยร์
- $\pi$ คืออัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และมีค่าคงที่ $\pi \approx 3.14159...$ สำหรับวงกลมทุกวง
- เส้นรอบวงคือ $P=2\pi r$
- พื้นที่คือ $A=\pi r^2$
- $\pi$ ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ และยังเป็น จำนวนอดิศัย ที่ไม่เป็นรากของพหุนามไม่เป็นศูนย์ใด ๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ
- เรเดียนเป็นหน่วยมาตรฐานสำหรับวัดมุมในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ หากต้องการแปลงองศาเป็นเรเดียน ให้คูณมุมด้วย $\pi$ แล้วหารด้วย 180
- ในคณิตศาสตร์ฟูริเยร์ การใช้เรเดียนทำให้จัดการฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ในฐานะ ฟังก์ชันของจำนวนจริง ไม่ใช่แค่มุมธรรมดา ทำให้แคลคูลัสของคลื่นและการสั่นสะเทือนสะอาดขึ้น
การตีความไซน์และโคไซน์ด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย
- $\sin$ และ $\cos$ สามารถมองเป็นตัวติดตามพิกัดของจุดที่เคลื่อนที่รอบวงกลมหนึ่งหน่วยได้
- $\theta$ คือมุมระหว่างรัศมีกับแกน x ด้านบวก
- $\sin$ คือ การกระจัดแนวดิ่ง ของจุด หรือพิกัด y
- $\cos$ คือ การกระจัดแนวนอน ของจุด หรือพิกัด x
- เนื่องจากจุดกลับมายังตำแหน่งเริ่มต้น $\sin$ และ $\cos$ จึงเป็น ฟังก์ชันคาบ ที่มีคาบ $2\pi$
- $\cos$ มีรูปคลื่นเหมือนกับ $\sin$ แต่เลื่อนไป $\frac{\pi}{2}$ หรือ $90^\circ$
- $\sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos(x)$
- ในเชิงเทคนิค $\cos$ นำหน้า $\sin$ อยู่ $\frac{\pi}{2}$
- เพราะความต่างเฟสนี้ ฟังก์ชันทั้งสองจึงมีความสัมพันธ์แบบ quadrature
- ในการวิเคราะห์ฟูริเยร์ การใช้ส่วนประกอบไซน์และโคไซน์ร่วมกันทำให้สามารถแสดงสัญญาณคาบใด ๆ ได้โดยไม่ขึ้นกับตำแหน่งเริ่มต้น หรือเฟส
- จากมุมมอง parity ซึ่งเป็นสมมาตรของฟังก์ชัน $\cos$ เป็นฟังก์ชันคู่ ส่วน $\sin$ เป็นฟังก์ชันคี่
- $\cos(x)=\cos(-x)$
- $\sin(-x)=-\sin(x)$
จำนวนเชิงซ้อน, $i$, สูตรของ Euler
- บนระนาบเชิงซ้อน จุดทุกจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยสอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อนที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1
- สำหรับมุมจริง $\theta$ ค่า $z=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ คือจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย และแสดงสถานะที่หมุนจากแกนจริงด้านบวกไปเป็นมุม $\theta$
- การคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วย $i$ จะหมุนบนระนาบเชิงซ้อนทวนเข็มนาฬิกาไป $\frac{\pi}{2}$ หรือ 90 องศา
- ค่าสัมบูรณ์ $r=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ ยังคงเดิม
- มีเพียงอาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้น $\frac{\pi}{2}$
- หากคูณจำนวนเชิงซ้อนตัวเดิมด้วย $i$ ซ้ำ ๆ จะเคลื่อนผ่านควอดแรนต์ต่าง ๆ ตามลำดับ และหลังจากสี่ครั้งจะกลับสู่ตำแหน่งเดิม
- ค่าคงที่ธรรมชาติ $e \approx 2.71828$ เป็นทั้งจำนวนอตรรกยะและจำนวนอดิศัย และสามารถนิยามได้ด้วยอนุกรมและลิมิต
- $e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}$
- $e=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$
- $e=\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}$
- ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลธรรมชาติเป็น ฟังก์ชันเฉพาะของการหาอนุพันธ์ ซึ่งเมื่อหาอนุพันธ์แล้วจะได้ฟังก์ชันเดิมคูณด้วยค่าคงที่
- $\frac{d}{dx}e^{ax}=ae^{ax}$
- $f(x)=e^{ix}$ จะถูกคูณด้วย $i$ ทุกครั้งที่หาอนุพันธ์ และเมื่อหาอนุพันธ์สี่ครั้งจะกลับมาเป็นฟังก์ชันเดิม
- $\frac{d}{dx}f(x)=ie^{ix}$
- $\frac{d^2}{dx^2}f(x)=-e^{ix}$
- $\frac{d^3}{dx^3}f(x)=-ie^{ix}$
- $\frac{d^4}{dx^4}f(x)=e^{ix}$
- รูปแบบนี้เหมือนกับการคูณจำนวนเชิงซ้อนด้วย $i$ ซ้ำ ๆ จนเกิดการหมุน และนำไปสู่สัญชาตญาณว่า $e^{ix}$ วาดวงกลมบนระนาบเชิงซ้อน
- สูตรของ Euler คือ $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ และเมื่อแทน $x=\pi$ จะได้ $e^{i\pi}+1=0$
- เมื่อใช้สูตรของ Euler จะเขียนไซน์และโคไซน์ในรูปเอ็กซ์โพเนนเชียลได้
- $\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$
- $\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
- พารามิเตอร์เดียวกันอย่าง $x$, $t$, $\theta$ อาจถูกตีความเป็นมุมหรือเวลาได้ตามบริบท และรูปแบบทางคณิตศาสตร์ยังคงเหมือนกัน
คลื่นไซน์และคลื่นไซน์เชิงซ้อน
- คลื่นไซน์คือการสั่นที่เรียบและซ้ำเป็นคาบ โดยเมื่อเป็นฟังก์ชันของเวลา $t$ จะเขียนได้เช่น $y(t)=A\sin(2\pi ft+\varphi)=A\sin(\omega t+\varphi)$
- แต่ละพจน์กำหนดรูปร่างและการเคลื่อนไหวของรูปคลื่น
- $A$ คือ แอมพลิจูด หมายถึงค่าเบี่ยงเบนสูงสุดจากค่ากลาง 0
- $f$ คือความถี่ปกติที่บอกจำนวนการสั่นครบหนึ่งรอบต่อวินาที และวัดเป็น Hz
- $\omega=2\pi f$ คือความถี่เชิงมุม วัดเป็นเรเดียนต่อวินาทีแทนที่จะเป็นรอบต่อวินาที
- $\varphi$ คือออฟเซ็ตเฟสหรือการเลื่อนเฟส ซึ่งเลื่อนคลื่นไซน์ไปทางซ้ายหรือขวาตามแกน x
- $\sin$ และ $\cos$ เป็นกรณีพิเศษของคลื่นไซน์ และคลื่นโคไซน์เทียบเท่ากับการเลื่อนคลื่นไซน์ไปทางซ้าย $\frac{\pi}{2}$ เรเดียน
- เมื่อปรับ $A$, $\omega$, $\varphi$ จะสามารถแสดงการสั่นได้หลากหลาย ตั้งแต่เสียงกีตาร์เบสไปจนถึงกระแสสลับในบ้าน
- หากเปลี่ยนมุมคงที่ $\theta$ ในสูตรของ Euler ให้เป็น $\omega t+\varphi$ ที่เปลี่ยนตามเวลา ก็จะได้ คลื่นไซน์เชิงซ้อน
- $s(t)=Ae^{i(\omega t+\varphi)}$
- $s(t)=A\cos(\omega t+\varphi)+iA\sin(\omega t+\varphi)$
- คลื่นไซน์เชิงซ้อนรวมคลื่นสองตัวไว้เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์เดียว
- ส่วนจริงทำงานเหมือนคลื่นโคไซน์
- ส่วนจินตภาพทำงานเหมือนคลื่นไซน์
- ส่วนประกอบทั้งสองขึ้นกับมุมหมุนเดียวกัน $\theta=\omega t+\varphi$ จึงซิงก์กัน
- เมื่อฉายคลื่นไซน์เชิงซ้อนลงบนระนาบ Y-Z จะได้คลื่นไซน์ และเมื่อฉายลงบนระนาบ X-Z จะได้คลื่นโคไซน์
- เงาที่วัตถุหมุนชิ้นเดียวสร้างขึ้นบนระนาบที่ตั้งฉากกันจะปรากฏเป็นคลื่นไซน์ค่าจริงที่เราคุ้นเคย
ผลรวมของคลื่นไซน์และการแทรกสอด
- เมื่อนำคลื่นไซน์หลายตัวมาบวกกัน ค่าฟังก์ชันในแต่ละจุดจะถูกรวมเข้าด้วยกัน และจะเสริมหรือหักล้างกันตามการเรียงตัวของยอดคลื่นกับท้องคลื่น
- หากยอดคลื่นและท้องคลื่นของคลื่นไซน์สองตัวประกบกันพอดี ทั้งสองอาจหักล้างกันจนผลรวมเข้าใกล้ 0
- ปรากฏการณ์นี้เข้าใจได้ว่าเป็น การแทรกสอดของคลื่น
- ตัวอย่างเช่น เมื่อนำคลื่นไซน์สองตัว $y_1(x)=\frac{9}{10}\sin(7x+\frac{\pi}{2})$ และ $y_2(x)=\frac{12}{10}\sin(3x-2)$ มาบวกกัน จะได้ $y(x)=y_1(x)+y_2(x)$ ซึ่งสร้างแพตเทิร์นที่ซับซ้อน
- รูปคลื่นที่มีความถี่และออฟเซ็ตเฟสต่างกันจะสลับไปมาระหว่างการซิงก์และไม่ซิงก์อยู่เรื่อย ๆ และยิ่งเพิ่มคลื่นไซน์มากขึ้น แพตเทิร์นก็ยิ่งซับซ้อนขึ้น
สร้างคลื่นสี่เหลี่ยมจากคลื่นไซน์
- หากเลือกคลื่นไซน์บางชุดอย่างระมัดระวัง จะสามารถสร้างแพตเทิร์นเรขาคณิตที่คาดเดาได้
- คลื่นสี่เหลี่ยมประกอบขึ้นจากผลรวมอนันต์ดังนี้
- $y(x)=\frac{4}{\pi}\sin(\omega x)+\frac{4}{3\pi}\sin(3\omega x)+...+\frac{4}{(2k-1)\pi}\sin((2k-1)\omega x)+...$
- นิพจน์นี้มีโครงสร้างที่บวกเฉพาะ ความถี่คี่ และแอมพลิจูดของแต่ละพจน์จะค่อย ๆ ลดลง
- เมื่อนำเส้นโค้งต่อเนื่องที่เรียบมารวมกัน การแทรกสอดของยอดคลื่นและท้องคลื่นจะสร้างคลื่นสี่เหลี่ยมที่มีส่วนบนแบนราบ
- ยิ่งมีคลื่นไซน์รวมอยู่ในผลรวมมากเท่าไร การประมาณก็ยิ่งคมชัดขึ้น
- คลื่นไซน์เดี่ยวสอดคล้องกับจุดที่เคลื่อนรอบวงกลม ดังนั้นกระบวนการบวกคลื่นไซน์จึงมองได้เป็น epicycle ที่เชื่อมวงกลมหมุนหลายวงเข้าด้วยกัน
- ใน epicycle จุดศูนย์กลางของวงกลมที่สองอยู่บนขอบของวงกลมแรก และจุดศูนย์กลางของวงกลมที่สามอยู่บนขอบของวงกลมที่สอง ต่อกันไปในลักษณะนี้
- epicycle แต่ละตัวสอดคล้องกับคลื่นไซน์หนึ่งตัว และการรวมพวกมันเข้าด้วยกันตีความได้เป็น การบวกเวกเตอร์ แบบลำดับต่อกัน
- ตัวอย่างคลื่นไซน์สามตัวรวมกันดังนี้
- $y_1(x)=1.4\sin(x+1)$
- $y_2(x)=0.8\sin(2x)$
- $y_3(x)=0.5\sin(3x)$
- $y(x)=1.4\sin(x+1)+0.8\sin(2x)+0.5\sin(3x)$
- ณ เวลาใด ๆ เวกเตอร์ตำแหน่งรวมเขียนได้เป็น $\vec{u}=\vec{u_1}+\vec{u_2}+\vec{u_3}$
- หากเลือกคลื่นไซน์ที่เหมาะสม วงกลมที่เคลื่อนที่สามารถประมาณรูปทรงที่ต้องการอย่างรูปดอกไม้ได้ และหากต้องการหาคลื่นไซน์แต่ละตัว ต้องใช้ Fourier Analysis
รูปแบบพื้นฐานของ Fourier Series
- Fourier Series คือกระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่ขยายฟังก์ชันคาบที่มีคาบ $P$ ให้เป็นผลรวมอนันต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สั่นหลายตัว
- ในอุปมาอัลบั้ม Dark Side of The Moon ของ Pink Floyd ฟังก์ชันคาบ $f(x)$ คือแสง ปริซึมคือ Fourier Mathematics และสีที่ถูกแยกออกมาสอดคล้องกับส่วนประกอบคลื่นไซน์แบบง่าย
- สูตรพื้นฐานเป็นดังนี้
- $f(x)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}[A_n\cos(\frac{2\pi nx}{P})+B_n\sin(\frac{2\pi nx}{P})]$
- $A_0$, $A_n$, $B_n$ คือ Fourier coefficients ซึ่งบอกว่าต้องใช้ความถี่หนึ่ง ๆ มากเพียงใดในการประกอบรูปคลื่นเดิมกลับขึ้นมา
- สัมประสิทธิ์คำนวณด้วยอินทิกรัล
- $A_0=\frac{1}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{+\frac{P}{2}}f(x)dx$
- $A_n=\frac{2}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{+\frac{P}{2}}f(x)\cos(\frac{2\pi nx}{P})dx$
- $B_n=\frac{2}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{+\frac{P}{2}}f(x)\sin(\frac{2\pi nx}{P})dx$
- ไซน์และโคไซน์เข้าใจได้ง่ายในเชิงภาพ แต่อาจยุ่งยากในการจัดรูปพีชคณิต จึงสามารถใช้สูตรของ Euler แปลงเป็นรูปเอ็กซ์โพเนนเชียลได้
- Fourier Series ในรูปเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นดังนี้
- $f(x)=\sum_{n=-N}^{N}C_ne^{i2\pi\frac{n}{P}x}$
- ในรูปเอ็กซ์โพเนนเชียล ดัชนี $n$ ขยายไปถึงค่าลบ ซึ่งนำแนวคิด ความถี่ลบ ที่แสดงทิศทางการหมุนของเวกเตอร์เชิงซ้อนเข้ามา
- สูตรสัมประสิทธิ์แบบรวมเป็นดังนี้
- $C_n=\frac{1}{P}\int_{-\frac{P}{2}}^{\frac{P}{2}}e^{-i2\pi\frac{n}{P}x}f(x)dx$
การคำนวณสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันกล่องและคลื่นสี่เหลี่ยม
- การประมาณคลื่นสี่เหลี่ยมที่ใช้ก่อนหน้านี้เป็นดังนี้
- $y(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(2\pi(2k-1)fx)}{2k-1}$
- เมื่อใช้ $\omega=2\pi f$ จะได้ $y(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin((2k-1)\omega x)}{2k-1}$
- ฟังก์ชันคลื่นสี่เหลี่ยมสามารถเขียนบนช่วง $[0,2L]$ โดยใช้ Heaviside Step Function เป็น $f(x)=2[H(\frac{x}{L})-H(\frac{x}{L}-1)]-1$
- $A_0$ คือค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันบนช่วง $[0,2L]$ และกลายเป็น 0 เพราะพื้นที่บวกกับพื้นที่ลบหักล้างกัน
- $A_n$ คือสัมประสิทธิ์ที่ควบคุมพจน์ $\cos$ และเนื่องจาก $f(x)$ เป็นฟังก์ชันคี่ ส่วน $\cos$ เป็นฟังก์ชันคู่ ผลคูณจึงเป็นฟังก์ชันคี่
- เมื่ออินทิเกรตตลอดหนึ่งคาบ พื้นที่จะหักล้างกัน
- สัมประสิทธิ์ $A_n$ ทั้งหมดจึงเป็น 0
- $B_n$ คือสัมประสิทธิ์ที่ควบคุมพจน์ $\sin$
- เมื่อ $n$ เป็นเลขคู่ พื้นที่สีแดงกับพื้นที่สีเขียวจะหักล้างกัน ทำให้ค่าอินทิกรัลเป็น 0
- ในพจน์คี่ พื้นที่จะถูกรวมกัน
- ผลการคำนวณได้ $B_n=\frac{2}{n\pi}(1-(-1)^n)$
- สิ่งที่เหลืออยู่มีเพียงพจน์ $B_n$ ที่เป็นเลขคี่ ดังนั้นคลื่นสี่เหลี่ยมจึงอยู่ในรูปต่อไปนี้
- $f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=1,3,5...}^{+\infty}(\frac{1}{n}\sin(\frac{\pi nx}{L}))$
- เมื่อเปลี่ยน $n\rightarrow2k-1$ จะได้ $f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{\sin(\frac{\pi(2k-1)x}{L})}{2k-1}$
- เมื่อแทน $L\rightarrow\frac{1}{2f}$, $2\pi f\rightarrow\omega$ จะได้ $f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin((2k-1)\omega x)}{2k-1}$
- ในทางปฏิบัติไม่สามารถบวกได้ถึงอนันต์ จึงใช้ผลรวมย่อย $s(x)$ ที่หยุดที่ $n$ จำกัด
- $s(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin((2k-1)\omega x)}{2k-1}\approx f(x)$
- เมื่อเพิ่ม $n$ ความแม่นยำของการประมาณจะดีขึ้น และช่องว่างที่เหลือจากการประมาณจะค่อย ๆ ลดลง
- ห้าพจน์แรกประกอบด้วยคลื่นไซน์เรียบง่ายที่แอมพลิจูดลดลงอย่างรวดเร็วและความถี่เพิ่มขึ้น
ตัวอย่างคลื่นสามเหลี่ยมและคลื่นฟันเลื่อย
- การประมาณ Fourier Series ของคลื่นสามเหลี่ยมเป็นดังนี้
- $s(x)=\frac{8}{\pi^2}\sum_{k=1}^{N}\frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^2}\sin((2k-1)x)$
- คลื่นสามเหลี่ยมเรียบและลู่เข้าอย่างรวดเร็ว และเมื่อ $n$ เข้าใกล้ 6 รูปสามเหลี่ยมจะชัดเจนขึ้น
- ในการขยายคลื่นสามเหลี่ยม พจน์ลำดับคู่ เช่น $s_2(x)$, $s_4(x)$, $s_6(x)$ มีค่าเป็นลบ
- แอมพลิจูดลบไม่เป็นสัญชาตญาณทางฟิสิกส์นัก จึงสามารถเขียนใหม่ได้สองวิธี
- ใช้ $\sin(-x)=-\sin(x)$ เพื่อทำให้ความถี่เป็นลบ
- คงแอมพลิจูดให้เป็นบวก แล้วเพิ่มเฟส $\pi$
- ในทางปฏิบัติ วิธีที่สองใช้งานได้จริงกว่าและควบคุมเชิงเรขาคณิตได้ดีกว่า
- $-\frac{8}{3^2\pi^2}\sin(3x)$ เขียนได้เป็น $\frac{8}{3^2\pi^2}\sin(3x+\pi)$
- ฟังก์ชันคลื่นฟันเลื่อยย้อนทิศทางมีรูปแบบดังนี้
- $s(x)=\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{N}(-1)^k\frac{\sin(kx)}{k}$
อุปกรณ์ที่มอง Fourier Series เป็น epicycle
- หากมองเป็นการเคลื่อนไหวทางกายภาพแทนสมการนิ่ง ๆ พจน์ Fourier จะทำงานเหมือนวงกลมหมุนหลายวงที่เชื่อมปลายต่อปลายอยู่บนแท่ง
- ในอุปกรณ์แสดงภาพ สามารถเลือก sawtooth wave, triangle wave, square wave เป็นรูปสัญญาณที่ต้องการได้
- องค์ประกอบภาพแต่ละอย่างสอดคล้องโดยตรงกับตัวแปรในสูตร Fourier
- รัศมีของแต่ละวงคือแอมพลิจูด $A$
- ความเร็วการหมุนของแต่ละวงคือความถี่เชิงมุม $\omega$
- มุมเริ่มต้นของแท่งในวงกลมที่ $t=0$ คือออฟเซ็ตเฟส $\varphi$
- แม้แต่รูปคลื่นที่ซับซ้อน แหลม และคม ก็สามารถถูกแยกย้อนกลับเป็นการรวมกันของวงกลมที่หมุนอย่างราบรื่นได้
- แอนิเมชันทำหน้าที่แสดงความเชื่อมโยงระหว่างวงกลม คลื่นไซน์ จำนวนเชิงซ้อน epicycle และ Fourier Series ทีละขั้นตอน
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นใน Hacker News
การแปลง Fourier แบบไม่ต่อเนื่องเป็นแค่ เมทริกซ์ตั้งฉากที่คูณกับเวกเตอร์ และ inverse FFT, ทฤษฎีบท Plancherel, ทฤษฎีบท Parseval ก็ล้วนตามมาอย่างเป็นธรรมชาติจากการที่เมทริกซ์นั้นเป็น orthonormal
วิธีนี้อาจใช้ได้ก็ต่อเมื่อเข้าใจพีชคณิตเชิงเส้นอยู่แล้ว แต่หลังจากจับมุมมองแบบไม่ต่อเนื่องได้แล้ว การย้ายไปสู่การแปลง Fourier แบบต่อเนื่องก็ง่ายขึ้นด้วย
โดยส่วนตัวแล้ว การดูสมการโดยตรงง่ายกว่าการดูวงกลมกับแอนิเมชันมาก
[1] https://www.youtube.com/watch?v=spUNpyF58BY
[2] https://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to...
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform
ที่เหลือแทบจะตามมาจากตรงนั้น ในสัญกรณ์หนึ่ง การแปลง Fourier คือการคูณ f(x) ด้วย e^{-ikx} แล้วอินทิเกรต ซึ่งการอินทิเกรตคือ inner product ขนาดใหญ่ และ e^{-ikx} ก็เหมือน “ทรานสโพส” ของเวกเตอร์ฐาน e^{ikx} ดังนั้นสุดท้ายก็เป็นการแสดง f_i ในรูปขององค์ประกอบฐานนั้น
คนส่วนใหญ่ที่เข้าใจพีชคณิตเชิงเส้นน่าจะเรียนการแปลง Fourier แบบเดียวกับที่เรียนคณิตศาสตร์ขั้นสูง คือจากตำราเรียนหรือเลกเชอร์มหาวิทยาลัย ในบริบทแบบนั้น คำอธิบายอย่าง “เมทริกซ์ตั้งฉากที่คูณกับเวกเตอร์” เป็นจุดตั้งต้นพื้นฐาน แต่ก็อาจดูขาดสัญชาตญาณ และวิดีโอ YouTube ก็มักพยายามมาเติมช่องว่างตรงนั้น
เช่น วิดีโอของ 3b1b ค่อย ๆ อธิบายใหม่ด้วยซ้ำว่าทำไมจำนวนเชิงซ้อนจึงมีประโยชน์ ซึ่งหมายความว่ากลุ่มผู้อ่าน/ผู้ชมเป้าหมายต่างกันตั้งแต่แรก
ดังนั้นหัวข้อคณิตศาสตร์ผมยังคงลองพิสูจน์เอง และตรวจว่าตัวเองอนุมานออกมาได้หรือไม่
คงดีถ้าแค่ดู visualization สวย ๆ แล้วแนวคิดก็เข้าหัวมาอย่างมหัศจรรย์ แต่สำหรับผมมันรู้สึกเหมือน โดปามีนทางปัญญา อย่างหนึ่ง
มันเหมือนคำว่า “monoid ในหมวดหมู่ของ endofunctor” ในสายสัญญาณและระบบ
/ไปหนึ่งตัว และลิงก์จริงน่าจะเป็นอันนี้https://www.andreinc.net/2024/04/24/assets/js/2024-04-24-fro...
ดูเหมือนแอนิเมชันจะใช้ Processing
https://github.com/nomemory/andreinc-site/tree/main/assets/j...
ตอนเขียนบทความนี้กำลังหัดใช้ p5.js อยู่ เลยเริ่มด้วยวิธีที่ค่อนข้างไม่มีประสิทธิภาพ และไม่ได้ภูมิใจกับมันเป็นพิเศษ
ถ้ามีเวลาจะปรับบทความแล้วใส่ลิงก์ที่ถูกต้อง
เคยมีแผนจะทำ visualization ของพีชคณิตเชิงเส้นพื้นฐานทั้งหมดด้วย Processing เพื่อฟื้นตัวจากภาวะซึมเศร้าแบบ atypical แต่พักหนึ่งไม่สามารถเขียนโปรแกรมด้วยคอมพิวเตอร์ได้เลย
คำอธิบายอื่น ๆ บางครั้งยัดจำนวนเชิงซ้อนเข้ามาแบบฝืน ๆ ตอนท้าย
ถ้าสนใจหัวข้อนี้ visualization การแปลง Fourier เศษส่วน ที่ผมทำ [1] และ visualization ระนาบเชิงซ้อน [2] ก็น่าดูเช่นกัน
[1]: https://static.laszlokorte.de/frft-cube/
[2]: https://static.laszlokorte.de/complex-plane/
ถ้าใครชอบทำสื่ออธิบาย อยากให้ช่วยทำเรื่อง การแปลง Laplace ด้วย [1]
เมื่อก่อนเคยรู้วิธีใช้มันในการวิเคราะห์วงจรอิเล็กทรอนิกส์ แต่ตอนนี้แทบลืมหมดแล้ว ก็เลยขอแบบขี้เกียจนิดหนึ่ง
1: https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform
แต่บทความนี้เหนือกว่าหน้านั้นไปมาก ต่อไปน่าจะแชร์ให้คนอื่นได้ดี
Introduction to Graduate Algorithmsของ Georgia Tech และลองนำเนื้อหาเลกเชอร์ทั้งหมดไป implement ด้วย Pythonเป็นคอร์สที่ดีมาก:
https://edstem.org/us/courses/47529/lessons/80063/slides/440...
เพิ่งเคยได้ยิน Ed และก็สนใจอยู่ แต่ส่วน “see how it works” ก็ไม่ได้บอกจริง ๆ ว่ามันทำงานอย่างไร น่าเสียดายที่ดูเหมือนต้องสมัครก่อนตามกระแสสมัยนี้
ยังมีเว็บไซต์ที่มีประโยชน์ซึ่งรวบรวมวิดีโอและหนังสือเกี่ยวกับอนุกรม Fourier และการแปลง Fourier ไว้:
https://howthefouriertransformworks.com/