คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง – ตำราเปิดฉบับปูพื้นฐาน พิมพ์ครั้งที่ 4
(discrete.openmathbooks.org)- Discrete Mathematics: An Open Introduction พิมพ์ครั้งที่ 4 ซึ่งสามารถใช้ได้ทันทีในรายวิชาคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องระดับต้นของมหาวิทยาลัย เปิดให้ใช้งานแล้ว โดยมีทั้ง ตำราออนไลน์ฟรี และ PDF
- ฉบับใหม่เสริมลำดับการเรียนให้เริ่มจาก ตรรกะและการพิสูจน์ จากนั้นฝึกพิสูจน์ผ่านทฤษฎีกราฟ แล้วต่อด้วยการนับและลำดับ
- ตั้งแต่ฤดูใบไม้ผลิปี 2013 ถูกใช้เป็นตำราหลักหรือเอกสารเสริมในมหาวิทยาลัยกว่า 200 แห่งทั่วโลก และได้รับการแนะนำจาก AIM Open Textbook Initiative รวมถึงมีรีวิวใน Open Textbook Library
- มีทั้ง ebook ออนไลน์, PDF, ฉบับพิมพ์, ซอร์สบน GitHub และชุดการบ้านของ Runestone Academy, Edfinity และ WeBWorK ทำให้ การนำไปใช้ในชั้นเรียน มีอุปสรรคต่ำ
- เวอร์ชันออนไลน์จะยังคงให้ใช้ฟรีต่อไป และพิมพ์ครั้งที่ 4 ใช้ไลเซนส์ CC BY-NC-SA 4.0 อนุญาตให้ใช้งาน พิมพ์ และแก้ไขเพื่อวัตถุประสงค์ที่ไม่ใช่เชิงพาณิชย์ได้
การเปิดตัวพิมพ์ครั้งที่ 4 และลักษณะของตำรา
- Discrete Mathematics: An Open Introduction พิมพ์ครั้งที่ 4 ใช้งานได้ทาง ออนไลน์ และ Runestone Academy
- พิมพ์ครั้งที่ 3 ยังคงให้ใช้งานต่อไป
- ตำรานี้เป็น ตำราโอเพนซอร์สฟรี สำหรับรายวิชาคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องที่เหมาะกับนักศึกษาชั้นปีที่ 1–2 ในสาขาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์
- เหมาะเป็นพิเศษกับชั้นเรียนที่มีการเรียนรู้แบบสืบเสาะ
- ตั้งแต่ฤดูใบไม้ผลิปี 2013 ถูกใช้เป็นตำราหลักหรือเอกสารเสริมในมหาวิทยาลัยกว่า 200 แห่งทั่วโลก
- ได้รับการแนะนำจาก Open Textbook Initiative ของ American Institute of Mathematics และมีรีวิวใน Open Textbook Library
โครงสร้างที่เปลี่ยนไปในพิมพ์ครั้งที่ 4
- ฉบับใหม่ปรับลำดับเนื้อหาใหม่อย่างมาก
- เริ่มต้นด้วย ตรรกะและการพิสูจน์
- จากนั้นฝึกการพิสูจน์ด้วยทฤษฎีกราฟ
- ช่วงท้ายจัดวางหัวข้อการนับและลำดับ
- หน่วยการนับมีส่วน การประยุกต์ใช้ความน่าจะเป็น ใหม่รวมอยู่ด้วย
- สะท้อนประสบการณ์ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา ที่นักศึกษาทำผลงานได้ดีขึ้นกับการจัดลำดับแบบนี้
- การเน้น โครงสร้างไม่ต่อเนื่อง ก็ชัดเจนขึ้นด้วย
- รวมถึงเซต ฟังก์ชัน และความสัมพันธ์
- ทำให้มีประโยชน์มากขึ้นสำหรับนักศึกษาวิทยาการคอมพิวเตอร์ ขณะเดียวกันยังคงรักษาความเข้าใจแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นสำหรับนักศึกษาคณิตศาสตร์และว่าที่ครูคณิตศาสตร์
การโต้ตอบและการรองรับการบ้าน
- พิมพ์ครั้งที่ 4 มีองค์ประกอบแบบโต้ตอบมากขึ้น
- หากสร้างคอร์สที่อิงจากตำราบน Runestone Academy จะสามารถใช้ แบบฝึกหัดโต้ตอบ ที่ให้คะแนนนักศึกษาได้
- มีโค้ดโต้ตอบ Sage และ Python สำหรับสำรวจบางหัวข้อ
- ชุดการบ้านออนไลน์มีให้ผ่านหลายช่องทาง
- Runestone Academy ให้ใช้ฟรี
- Edfinity เป็นตัวเลือกราคาย่อมเยา
- ชุด WeBWorK สามารถขอจากผู้เขียนได้ และรวมอยู่ในโฟลเดอร์ Contrib ของ OPL ด้วย
- สามารถส่งข้อผิดพลาดหรือคำผิดได้ผ่าน GitHub issue
รูปแบบที่ให้บริการและการเข้าถึง
- ตำราทั้งเล่มให้บริการเป็น ebook ออนไลน์แบบโต้ตอบ ฟรี
- ออกแบบให้ทำงานได้ดีบนหน้าจอทุกขนาด รวมถึงสมาร์ทโฟน
- คำนึงถึงการใช้งาน screen reader สำหรับนักศึกษาที่มีความบกพร่องทางการมองเห็นด้วย
- คำใบ้และเฉลยของตัวอย่างและแบบฝึกหัดถูกซ่อนไว้ และสามารถดูได้โดยคลิกลิงก์
- แบบฝึกหัดบางข้อสามารถป้อนคำตอบและตรวจสอบได้ ทำให้ลองได้หลายครั้งโดยไม่ต้องดูคำตอบที่ถูกต้องทันที
- มี PDF ฟรี สำหรับใช้งานออฟไลน์ด้วย
- เหมาะสำหรับอ่านบนแท็บเล็ตหรือคอมพิวเตอร์
- สามารถค้นหาและนำทางผ่านลิงก์ในเอกสารได้
- คำใบ้และเฉลยเข้าถึงได้โดยคลิกหมายเลขแบบฝึกหัด และเมื่อคลิกหมายเลขคำใบ้หรือเฉลยจะกลับไปยังแบบฝึกหัดนั้น
- ฉบับพิมพ์ จัดพิมพ์โดย CRC Press
- เวอร์ชันออนไลน์จะยังคงให้ใช้ฟรีต่อไป
ซอร์ส เอกสารประกอบการสอน และชุมชน
- ไฟล์ซอร์ส PreTeXt และ LaTeX ของตำรามีให้บน GitHub
- มีสื่อวิดีโอที่ใช้ประกอบตำราด้วย
- Mathematical Visual Proofs: วิดีโอที่แสดงแนวคิดในตำราด้วยแอนิเมชัน
- Dr. Trevor Bazett's Course: คอร์สบรรยายเต็มรูปแบบที่อิงจากตำรานี้
- ผู้สอนที่ใช้ตำราในชั้นเรียนสามารถขอเอกสารสำหรับผู้สอนได้
- หากมีสิทธิ์เข้าถึงเซิร์ฟเวอร์ WeBWorK ก็สามารถขอชุดการบ้าน WeBWorK ได้เช่นกัน
- มี Google Group สำหรับผู้สอนคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง
เนื้อหาตำราและการใช้ในชั้นเรียน
- ตำรานี้เริ่มต้นจากบันทึกการสอนรายวิชาคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องของ University of Northern Colorado
- รายวิชาดังกล่าวเป็นทั้งบทนำสู่หัวข้อคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง และทำหน้าที่เป็นรายวิชา บทนำสู่การพิสูจน์ สำหรับนักศึกษาคณิตศาสตร์ด้วย
- ชั้นเรียนมีการสืบเสาะของนักศึกษาเป็นจำนวนมาก และตำราก็เขียนขึ้นเพื่อรองรับสิ่งนี้
- เดิมออกแบบมาเพื่อสนับสนุนว่าที่ครูคณิตศาสตร์ และใช้โทนที่เป็นมิตร ไม่เป็นทางการมากนัก
- เน้น ความเข้าใจ แนวคิดที่อยู่ในเนื้อหา มากกว่าการท่องจำขั้นตอน
- ถูกใช้ในรายวิชาสำหรับนักศึกษาวิทยาการคอมพิวเตอร์ด้วย และมุ่งช่วยให้เกิดความเข้าใจที่ลึกขึ้น
- หัวข้อหลักสี่ด้านคือ ตรรกะ ทฤษฎีกราฟ การนับ และลำดับ
- วิธีพิสูจน์ที่รวมอยู่มีการพิสูจน์โดยขัดแย้ง การพิสูจน์โดยอุปนัย และการพิสูจน์เชิงจัดหมู่
- หัวข้อเพิ่มเติมมีฟังก์ชันก่อกำเนิดและทฤษฎีจำนวนด้วย
- ยังมีฟีเจอร์ที่ช่วยให้ใช้เป็นตำราหลักได้
- แบบฝึกหัดมากกว่า 750 ข้อ
- มีปัญหาจำนวนมากที่มีเฉลยและคำใบ้
- ครอบคลุมตั้งแต่โจทย์ง่ายไปจนถึงโจทย์ที่ค่อนข้างซับซ้อน
- มีโจทย์จำนวนมากที่เหมาะสำหรับการบ้าน
- กิจกรรม Investigate! และกิจกรรมพรีวิวที่สนับสนุนการเรียนรู้เชิงรุกและแบบสืบเสาะ
- ดัชนีเต็มรูปแบบและรายการสัญลักษณ์
- เลย์เอาต์และรูปแบบหน้าอย่างสม่ำเสมอ เช่น การระบุตัวอย่าง กล่องนิยามและทฤษฎีบท
ไลเซนส์
- Discrete Mathematics: an Open Introduction, 4th edition เผยแพร่ภายใต้ไลเซนส์ CC BY-NC-SA 4.0
- สำหรับวัตถุประสงค์ที่ไม่ใช่เชิงพาณิชย์ สามารถดาวน์โหลด ใช้งาน และพิมพ์ได้
- อนุญาตให้แก้ไขข้อความได้ด้วย
- สามารถสร้างฉบับปรับแต่งสำหรับนักศึกษาได้
- ต้องระบุผู้เขียนของส่วนที่นำไปใช้
- ฉบับแก้ไขต้องเผยแพร่ภายใต้ไลเซนส์ที่เข้ากันได้
- หากต้องการนำไปใช้ร่วมกับข้อความที่มีไลเซนส์คล้ายกันแต่แตกต่าง เช่น GFDL สามารถขออนุญาตแก้ไขไลเซนส์ได้
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นจาก Hacker News
ในฐานะคนที่เรียนด้วยตัวเองโดยไม่มีปริญญา CS “อย่างเป็นทางการ” คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง ดูเหมือนเป็นกุญแจสำหรับก้าวไปสู่หัวข้อที่สูงขึ้นและแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติในการเขียนโปรแกรม และมันก็ช่วยได้จริงหลายครั้ง
ผมก็ชอบ “A Primer of Discrete Mathematics” ของ Finkbeiner II และ Lindstrom ที่ออกในปี 1987 https://archive.org/details/isbn_0716718154 ด้วย แม้จะค่อนข้างเก่าและไม่ฟรี แต่ก็ยังใช้ได้ดี มีแบบฝึกหัดดี ๆ และมีเฉลยบางส่วน
ตั้งใจว่าจะดูหนังสือเล่มนี้ด้วยแน่นอน และดูน่าสนใจเพราะเป็นแนวทางที่ทันสมัยกว่า มี แบบฝึกหัดแบบโต้ตอบ แถมฟรีทั้งหมด
หนังสือค่อนข้างหนา แต่เนื้อหาเข้าถึงง่ายพอสมควร ผมก็เป็นสายเรียนเองเหมือนกัน และตอนนี้พอเข้าวัย 30 ก็ลงเรียนวิชาคณิตศาสตร์/ฟิสิกส์แบบทางการเพื่อเติมส่วนที่ขาดอยู่
California Community Colleges ก็เป็นแหล่งทรัพยากรที่ยอดเยี่ยม ครูคณิตศาสตร์ที่เจอมาจนถึงตอนนี้ทุกคนมีความกระตือรือร้นอย่างน่าทึ่ง และวิชาคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่มีเซกชันแบบ asynchronous/ออนไลน์ ทำให้ผู้ใหญ่ลงเรียนเพื่อความสนุกหรือพัฒนาตัวเองกันเป็นเรื่องปกติ
ผมถูกดึงดูดด้วยส่วน “ตรรกะ” และมันก็ไม่ทำให้ผิดหวัง ดาวน์โหลดได้ฟรีจากเว็บไซต์
ที่บอกว่า “ค่อนข้างเก่าและน่าเสียดายที่ไม่ฟรี” ถ้ามีคนหาอยู่ ใน Anna's Archive ก็มีเหมือนกัน
อยากให้ตำรา โดยเฉพาะตำราฟรีแบบแหล่งข้อมูลที่ลิงก์ไว้ ให้ เฉลย มากกว่านี้ หนังสือที่มีเฉลยน้อยทำให้ผมเจอปัญหาวนลูป
ถ้าจะรู้ว่าคำตอบของตัวเองถูกไหม ก็ต้องเข้าใจแนวคิดจริง ๆ แต่ถ้าเข้าใจแนวคิดจริง ๆ แล้ว ก็ไม่จำเป็นต้องทำโจทย์นั้นตั้งแต่แรก ผมไม่รู้ว่าจะเรียนรู้ได้อย่างไรถ้า ไม่มีฟีดแบ็ก
ด้วย PreTeXt ผมใช้ แบบฝึกหัดแบบโต้ตอบ จำนวนมากที่ใส่ไว้ในเนื้อหาได้ง่าย และให้นักศึกษากรอกคำตอบเพื่อรับฟีดแบ็กว่าถูกหรือไม่ เหมาะกับโจทย์คำนวณ
สำหรับโจทย์ที่เน้นการพิสูจน์หรือเชิงทฤษฎี ผมพยายามให้ตัวอย่างที่มีคำอธิบายครบถ้วนเพียงพอ และใส่แบบฝึกหัดที่มีเฉลยไว้บ้าง ขณะเดียวกันก็อยากเหลือโอกาสไว้ให้คนที่ต้องการโจทย์ปลายเปิดมากขึ้นโดยไม่มีเฉลย
ถ้าอาจารย์คนอื่นจะใช้หนังสือนี้ในชั้นเรียนให้เป็นประโยชน์ โจทย์ที่ไม่มีเฉลย สำหรับใช้ให้คะแนนเป็นงานเก็บคะแนนก็สำคัญเช่นกัน อย่างไรก็ดี หวังว่าแหล่งข้อมูลนี้จะเป็นประโยชน์
ถ้าจะเรียนจากตำรานอกห้องเรียนโดยไม่มีฟีดแบ็กภายนอก คุณต้องอ่านเนื้อหาอย่างกระตือรือร้นกว่านั้นมาก
ให้ถือว่าทุกข้อความในเนื้อหาเป็นแบบฝึกหัดไม่เป็นทางการ เมื่อมีประพจน์ใด ๆ ปรากฏขึ้น ไม่ว่าจะเป็นทฤษฎีบทหรือข้ออ้างในคำอธิบาย ก่อนอ่านต่อควรพยายามพิสูจน์หรือให้เหตุผลด้วยตัวเอง
เช่น Theorems 2.3.1 และ 2.3.2 คล้ายกันมาก ถ้าเข้าใจการพิสูจน์ของ 2.3.1 แล้ว ก็ลองทำ 2.3.2 เองได้ ถ้าติดก็อ่านบางประโยคจากการพิสูจน์ที่ให้ไว้เหมือนเป็นคำใบ้ และเมื่อพิสูจน์เสร็จก็เทียบกับการพิสูจน์ในเนื้อหา
ถ้าอ่านอย่างกระตือรือร้นพอ คุณก็เรียนเนื้อหาได้ค่อนข้างดีแม้ไม่ทำโจทย์ หลายคนบอกว่าการเรียนคณิตศาสตร์ต้องมีการทำโจทย์แบบเป็นทางการ แต่นั่นไม่จริง ตำราคณิตศาสตร์ระดับสูงจำนวนมากไม่มีแบบฝึกหัดหรือโจทย์อย่างเป็นทางการเลย แต่ผู้คนก็ยังเรียนรู้ได้ดี
แน่นอนว่า การอ่านคณิตศาสตร์เองเป็นทักษะอีกอย่างหนึ่ง จึงไม่ควรคาดหวังว่าจะง่ายตั้งแต่แรก ถ้ามีครูสอนตัวต่อตัวจะดีที่สุด แต่คนที่โชคดีแบบนั้นมีไม่มาก
ก่อนอื่นทำด้วยมือ แล้วค่อยใช้เครื่องมืออย่าง Mathematica หรือ OR-Tools มาสร้างโมเดลเพื่อตรวจว่าผลลัพธ์ตรงกันหรือไม่
วิธีนี้ใช้ได้ดียิ่งขึ้นกับคณิตศาสตร์ระดับต่ำกว่าอย่างพีชคณิตหรือแคลคูลัส สำหรับโจทย์จำนวนมาก หากใช้ฟังก์ชัน
Solve[]ของ Mathematica ก็จะรู้ได้ว่าถูกหรือผิดในวิชาอัลกอริทึมก็ใช้แนวทางเดียวกันได้ เขียน โปรแกรมแบบตรงไปตรงมา ที่แก้กรณีทดสอบได้อย่างง่ายแต่แน่นอนขึ้นมาเอง แล้วเปรียบเทียบกับผลลัพธ์จากอัลกอริทึมที่ซับซ้อนกว่า หรือจะใช้ implementation อ้างอิงจากไลบรารีอื่นก็ได้ เช่น เปรียบเทียบคำตอบของอัลกอริทึมกราฟที่คุณทำเองกับผลลัพธ์ที่ Neo4j ส่งกลับมา
ถ้าน้อยกว่านั้นก็ใช้ได้แค่เป็นหนังสืออ้างอิงสำหรับครูเท่านั้น เพราะครูต้องตรวจว่าวิธีทำครบถ้วนและถูกต้องจริงหรือไม่
หลายสิบปีก่อนตอนเรียนวิศวกรรมและเศรษฐศาสตร์ ถ้าไม่มีคำอธิบายเฉลย วิธีทำของผมมักจะไม่สมบูรณ์ และคงพลาดรายละเอียดหรือกรณีเฉพาะบางอย่างไป
คุณอาจสนใจ PreTeXt ซึ่งเป็นเทคโนโลยีบน XML ที่ใช้สร้างหนังสือเล่มนี้ด้วย: https://pretextbook.org/
ดีใจที่ได้เห็นแหล่งข้อมูลยอดเยี่ยมแบบนี้ โดยเฉพาะอยากขอบคุณผู้เขียนทุกคน รวมถึงผู้เขียนตำราเล่มนี้ ที่นำผลงานของตนมา เผยแพร่ทางออนไลน์ฟรี
ความทุ่มเทของพวกเขาปรากฏชัดเจนมาก ด้วยแหล่งข้อมูลที่ฟรีหรือแทบไม่เสียค่าใช้จ่ายแบบนี้ ทำให้ผู้คนจำนวนมาก รวมถึงผู้ที่เรียนด้วยตนเองหรือมีทรัพยากรจำกัด สามารถศึกษาต่อไปได้
หวังว่าผู้เขียนจะรู้ว่าความพยายามของพวกเขาได้รับการยอมรับอย่างมากจริง ๆ
อาจจะช้าไปนิด แต่ขอแนะนำ Discrete mathematics with applications ของ Susanna Epp อย่างยิ่ง
มีหนังสือชื่อคล้าย ๆ กันอยู่หลายเล่ม แต่หนังสือของ Epp เขียนได้ดีอย่างน่าทึ่ง เป็นตำราที่ใส่ความตั้งใจและความใส่ใจในรายละเอียดอย่างมหาศาล และสิ่งนั้นก็เห็นได้ชัด เหมาะมากสำหรับการเรียนด้วยตนเองด้วย
The Math Sorcerer ก็มีวิดีโอที่พูดถึงฉบับเก่าอยู่ ซึ่งแทบจะเป็นบทสดุดีอันน่ารักที่มอบให้หนังสือเล่มนี้ ดูเหมือนจะหลงรักจริง ๆ: https://www.youtube.com/watch?v=FPr5-X9nZc4
เช่นเดียวกับตำรา Discrete Mathematics หลายเล่ม ส่วน เทคนิคสมการลักษณะเฉพาะสำหรับรากซ้ำ ไม่ได้ให้พิสูจน์ของสูตรไว้
rให้ขยายx^2 - 2r + r^2แล้วเทียบพจน์ จะได้a = 2r,b = -r^2นั่นคือความสัมพันธ์เวียนเกิดจะเป็นa(n) = 2r a(n-1) - r^2 a(n-2)เมื่อหารด้วย
r^nจะได้รูปที่สมมูลกันคือc(n) = 2c(n-1) - c(n-2)โดยที่c(n) = a(n)/r^nนี่คือความสัมพันธ์เวียนเกิดที่มีผลต่างคงที่
c(n) - c(n-1) = c(n-1) - c(n-2)ดังนั้น
c(n)จึงเป็นลำดับเลขคณิตc(n) = x*n + yสำหรับx,yบางค่าที่กำหนดโดยเงื่อนไขเริ่มต้น ลำดับเดิมคือa(n) = c(n) r^n = (x*n + y) r^nตัวอย่างเช่น ถ้าใช้ พีชคณิตเชิงเส้น จะมีพิสูจน์ที่ค่อนข้างกระชับ ลองถ่ายทอดบางส่วนได้แบบนี้ ผมชอบพิสูจน์นี้เพราะไม่ได้เริ่มจากรูปที่สมมติไว้ แต่อนุมานสมการจากหลักการพื้นฐาน
สมมติว่ามีลำดับ
x_nที่นิยามด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดx_{n+1} = a * x_{n-1} + b * x_nหากนิยามลำดับเวกเตอร์ของสมาชิกที่อยู่ติดกันสองตัวเป็น
[x_0; x_1],[x_1; x_2],[x_2; x_3], ... ก็สามารถสร้างความสัมพันธ์ด้วยการคูณเมทริกซ์/เวกเตอร์ได้[x_1; x_2] = [[0 1], [a b]] [x_0; x_1]ถ้าเรียกลำดับเวกเตอร์ว่า
y_nและเรียกเมทริกซ์ว่าMจะได้y_1 = M * y_0พจน์ถัดไปได้จาก
y_2 = M * y_1 = M * (M * y_0) = M^2 * y_0และโดยอุปนัยจะได้y_n = M^n * y_0พหุนามลักษณะเฉพาะของ
Mคือr^2 - br - a = 0และรากคือr_1 = (b - c)/2,r_2 = (b + c)/2,c = √(b^2 + 4a)ดังนั้นจากการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม จะได้
y_n = S * [[r_1^n 0], [0 r_2^n]] * S^(-1) * y_0โดยที่Sคือเมทริกซ์ของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะจากตรงนี้สามารถใช้การมีอยู่และเอกลักษณ์ของค่าลักษณะเฉพาะของ
Mเพื่อปิดพิสูจน์เรื่องการมีอยู่และเอกลักษณ์ได้Knuth หา closed form ของลำดับแบบเรียกซ้ำด้วย ฟังก์ชันก่อกำเนิด และถ้าจำไม่ผิด แทบไม่ได้พูดถึงวิธีอื่นเลย คาบเรียนที่ผมเรียนไม่ได้แตะฟังก์ชันก่อกำเนิด และตำราอื่น ๆ ส่วนใหญ่ที่เคยอ่านก็เป็นแบบเดียวกัน
น่าสนใจที่หนังสือเล่มนี้ครอบคลุมหัวข้อนั้นด้วย ดูเหมือนว่า “Discrete Mathematics” จะเป็นอะไรได้หลายแบบจริง ๆ
เห็นคนที่เขียนตำราฟรีเล่มนี้รักสาขาของตัวเองขนาดนั้น ก็หวังว่าผมจะชอบสาขาของตัวเองได้บ้างเหมือนกัน
เป็นวิชาที่ผมชอบที่สุดในมหาวิทยาลัย ตอนปี 1 ผมชอบ Discrete Mathematics มากจนตัดสินใจเรียนเอกคู่คณิตศาสตร์กับ AI และที่เลือกคณิตศาสตร์ก็เพราะการพิสูจน์ยืนยันเชิงรูปนัย
มีบอกว่า “PDF จะพร้อมให้บริการภายในวันที่ 15 สิงหาคม” แต่ในแถบด้านข้างเขียนแค่ว่า “PDF coming soon” :(
ถ้าสนใจวิทยาการเข้ารหัสลับ Discrete Mathematics เป็นจุดเริ่มต้นที่ดีไหม? อย่างน้อยก็น่าจะดีกว่าแคลคูลัสแน่ ๆ ใช่ไหม?