คณิตศาสตร์ที่ยังตามความอัจฉริยะของรามานุชันไม่ทัน
(quantamagazine.org)- เอกลักษณ์ Rogers-Ramanujan และเอกลักษณ์การแบ่งจำนวนที่ Srinivasa Ramanujan ทิ้งไว้ ยังคงปรากฏซ้ำในหลายสาขาของคณิตศาสตร์แม้เวลาจะผ่านมากว่า 100 ปี และกลายเป็นจุดเริ่มต้นของงานวิจัยใหม่
- แม้อยู่ท่ามกลางความยากจนและการศึกษาตามระบบที่ขาดตอน Ramanujan ก็ได้เริ่มต้นทำวิจัยที่ Cambridge จากการติดต่อทางจดหมายกับ G.H. Hardy ในปี 1912 และทิ้งผลลัพธ์ไว้หลายพันรายการก่อนเสียชีวิตในปี 1920 ขณะมีอายุ 32 ปี
- เอกลักษณ์ Rogers-Ramanujan แสดงความเชื่อมโยงที่คาดไม่ถึง โดยผ่านโครงสร้างที่ทำให้ ผลบวกอนันต์ และ ผลคูณอนันต์ ที่ซับซ้อนมีค่าเท่ากัน จนนำไปสู่ข้อเท็จจริงว่าการแบ่งจำนวนเต็มภายใต้เงื่อนไขที่ต่างกันกลับมีจำนวนเท่ากัน
- Hussein Mourtada และเพื่อนร่วมงานค้นพบโครงสร้างแบบเดียวกันระหว่างการแบ่ง arc space ของภาวะเอกฐานออกเป็นชั้น ๆ แล้วนับจำนวนในแต่ละชั้น ขณะที่ Pooneh Afsharijoo ก็กำลังค้นหาเอกลักษณ์การแบ่งจำนวนแบบใหม่ในภาวะเอกฐานที่ซับซ้อนกว่า
- สูตรตรวจจำนวนเฉพาะ ของ Ken Ono, William Craig และ Jan-Willem van Ittersum เผยว่ายังมีความสัมพันธ์เชิงลึกที่อธิบายไม่ได้ทั้งหมดหลงเหลืออยู่ระหว่างการแบ่งจำนวนกับทฤษฎีจำนวนเชิงคูณ
ความต่อเนื่องของปัญหาที่ Ramanujan ทิ้งไว้
- Srinivasa Ramanujan มักถูกมองเป็นสัญลักษณ์ของ อัจฉริยะผู้เรียนรู้ด้วยตนเอง
- เขาทำงานวิจัยจำนวนมากอย่างโดดเดี่ยวในอินเดียตอนใต้ และยากจนถึงขั้นหาอาหารได้ลำบาก
- ในปี 1912 ตอนอายุ 24 ปี เขาส่งจดหมายที่บรรจุผลลัพธ์ของตนไปยังนักคณิตศาสตร์ชื่อดังหลายคน ส่วนใหญ่เพิกเฉย แต่ G.H. Hardy ตอบกลับ
- หลังจากติดต่อกันทางจดหมายราว 1 ปี Hardy ก็ช่วยให้ Ramanujan เดินทางมาอังกฤษได้
- ก่อนเสียชีวิตในปี 1920 ขณะอายุ 32 ปี เขาสร้างผลลัพธ์ที่งดงามและน่าทึ่งไว้หลายพันรายการ และหลายรายการไม่มีบทพิสูจน์
- สูตรของเขายังคงกลับมาปรากฏอีกครั้งในสาขาที่ดูห่างไกลกัน แม้เวลาจะผ่านไปแล้วกว่า 100 ปี
- กลศาสตร์สถิติและการเปลี่ยนสถานะ
- ทฤษฎีปมและทฤษฎีสตริง
- ทฤษฎีจำนวนและทฤษฎีการแทน
- การศึกษาความสมมาตร
- การศึกษาเส้นโค้งและพื้นผิวในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต
จุดเริ่มต้นของเอกลักษณ์ Rogers-Ramanujan
- Ramanujan อ่านตำราขั้นสูงตั้งแต่สมัยมัธยม และศึกษาคุณสมบัติของจำนวนกับรูปแบบต่าง ๆ อย่างอิสระ
- ในปี 1904 เขาได้รับทุนการศึกษาเต็มจำนวนที่ Government Arts College ใน Kumbakonam แต่เพราะละเลยวิชาอื่นนอกจากคณิตศาสตร์ เขาจึงเสียทุนภายใน 1 ปี
- หลังจากนั้นเขาเข้าเรียนที่มหาวิทยาลัยใน Madras ด้วย แต่เรียนไม่จบ และยังคงทำคณิตศาสตร์ต่อไปขณะทำงานเป็นเสมียนที่ Madras Port Trust ในปี 1912
- จดหมายที่ส่งถึง Hardy มีผลลัพธ์เกี่ยวกับ เศษส่วนต่อเนื่อง รวมอยู่ด้วย
- ภายหลัง Hardy เล่าว่าสูตรเหล่านั้นทำให้เขาตะลึงอย่างสิ้นเชิง และถ้าสูตรเป็นเท็จ ก็ไม่น่ามีใครจินตนาการสิ่งเช่นนั้นขึ้นมาได้
- สูตรที่ยังไม่ได้พิสูจน์เหล่านี้เป็นแรงผลักดันให้ Hardy เสนอ fellowship ที่ Cambridge แก่ Ramanujan
- Ramanujan พยายามพิสูจน์ข้อความทั่วไปเกี่ยวกับเศษส่วนต่อเนื่องของตนเอง แต่สุดท้ายก็พิสูจน์ข้อความสำคัญสองข้อที่จำเป็นไม่ได้
- Hardy และเพื่อนร่วมงานก็พิสูจน์ไม่สำเร็จเช่นกัน
- ต่อมาจึงพบว่าข้อความทั้งสองข้อนั้น L.J. Rogers เคยพิสูจน์ไว้แล้วเมื่อ 20 ปีก่อน แต่แทบไม่มีใครสนใจ
- ต่อมาข้อความทั้งสองจึงถูกเรียกรวมว่า เอกลักษณ์ Rogers-Ramanujan
เอกลักษณ์การแบ่งจำนวนที่เผยให้เห็นความเท่ากันอย่างคาดไม่ถึง
- เอกลักษณ์ Rogers-Ramanujan แต่ละข้อทำให้ ผลบวกอนันต์ ที่ซับซ้อนเท่ากับ ผลคูณอนันต์ ที่ซับซ้อน
- เอกลักษณ์นี้เผยให้เห็นความเชื่อมโยงระหว่างโครงสร้างที่ดูแยกจากกันอย่างการบวกและการคูณ
- Percy MacMahon สังเกตว่าทั้งสองข้างของสูตรสามารถตีความได้ว่าเป็นวิธีการนับ การแบ่งจำนวนเต็ม
- การแบ่งจำนวนเต็ม 4 คือ 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1 รวมทั้งหมด 5 แบบ
- จำนวนการแบ่งของจำนวนเต็ม 200 มีเกือบ 4 ล้านล้านแบบ
- Leonhard Euler พิสูจน์เอกลักษณ์การแบ่งจำนวนข้อแรกในศตวรรษที่ 18
- สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ จำนวนการแบ่งที่ทุกส่วนเป็นจำนวนคี่ จะเท่ากับจำนวนการแบ่งที่ทุกส่วนไม่ซ้ำกัน
- เอกลักษณ์ Rogers-Ramanujan ข้อแรกแสดงให้เห็นว่า สำหรับจำนวนเต็มหนึ่งจำนวน เงื่อนไขสองแบบที่ต่างกันโดยสิ้นเชิงกลับให้จำนวนเท่ากันเสมอ
- ด้านหนึ่งนับการแบ่งที่ไม่มีส่วนซ้ำและไม่มีส่วนที่เป็นจำนวนติดกัน
- อีกด้านหนึ่งนับการแบ่งที่มีเฉพาะส่วนที่เมื่อหารด้วย 5 แล้วเหลือเศษ 1 หรือ 4
- Shashank Kanade มองว่า “ทำไมถึงเป็น 5” คือส่วนที่แปลกเป็นพิเศษ
เอกลักษณ์ที่กลับมาปรากฏซ้ำในหลายสาขา
- ช่วงปลายทศวรรษ 1970 Rodney Baxter สร้างแบบจำลองก๊าซอย่างง่ายเพื่อทำความเข้าใจการเปลี่ยนสถานะ และค้นพบ เอกลักษณ์ Rogers-Ramanujan อีกครั้งจากมุมมองของกลศาสตร์สถิติ
- ในช่วงเวลาใกล้กัน James Lepowsky และ Robert Wilson พิสูจน์ว่าเอกลักษณ์นี้ยังปรากฏใน ทฤษฎีการแทน ด้วย
- ผลลัพธ์นี้กลายเป็นจุดเริ่มต้นของสาขาใหม่ชื่อทฤษฎี vertex operator algebra
- ปัจจุบันทฤษฎี vertex operator algebra ถูกใช้ในทฤษฎีสตริง
- ทฤษฎีนี้ยังมีบทบาทสำคัญในการพิสูจน์ข้อคาดเดา “monstrous moonshine” ในทฤษฎีกลุ่มด้วย
- ในทศวรรษ 1990 และ 2000 เอกลักษณ์นี้ยังคงปรากฏต่อในหลายสาขา
- การศึกษา modular forms ในทฤษฎีจำนวน
- ทฤษฎีความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับ Markov chain
- ปริพันธ์เชิงพหุนามในโทโพโลยีที่ใช้แยกแยะและจัดหมวดหมู่ปม
- ในแต่ละสาขา นักวิจัยสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์นี้ซ้ำด้วยเทคนิคของสาขาตนเอง และยังใช้ความเชื่อมโยงเหล่านั้นสร้างเอกลักษณ์ใหม่ได้ด้วย
งานวิจัยภาวะเอกฐานและ arc space ของ Mourtada
- หลังเรียนจบปริญญาเอก Hussein Mourtada มุ่งเน้นไปที่ เรขาคณิตเชิงพีชคณิต
- เรขาคณิตเชิงพีชคณิตศึกษารูปร่างที่นิยามด้วยสมการพหุนาม หรือที่เรียกว่า variety เชิงพีชคณิต
- เส้นตรงอาจเขียนเป็น
x + y = 0, วงกลมเป็นx² + y² = 1, และรูปเลข 8 เป็นx⁴ = x² − y²
- จุดที่รูปทรงตัดกับตัวเองอย่างในรูปเลข 8 คือ ภาวะเอกฐาน
- ภาวะเอกฐานของรูปทรงที่วาดบนกระดาษมองเห็นได้ง่าย
- แต่ภาวะเอกฐานของ variety เชิงพีชคณิตในมิติสูงนั้นมองภาพได้ยาก
- ในทศวรรษ 1960 John Nash ศึกษาวัตถุที่เกี่ยวข้องชื่อ arc space เพื่อทำความเข้าใจภาวะเอกฐาน
- เขานิยามวิถีสั้น ๆ จำนวนอนันต์ที่ผ่านจุดหนึ่งหรือผ่านภาวะเอกฐาน
- เมื่อพิจารณาวิถีสั้นเหล่านี้ร่วมกัน จะใช้ทดสอบได้ว่า variety ณ จุดนั้นเรียบเพียงใด
- ในทางปฏิบัติ arc space ให้ชุดของสมการพหุนามอนันต์จำนวนมาก
- Bernard Teissier มองว่า Mourtada มีความเชี่ยวชาญในการทำความเข้าใจว่าสมการเหล่านี้หมายถึงอะไร
- แม้สมการจะซับซ้อน แต่ก็ยังมีโครงสร้างมากมายที่ควบคุมสมบัติของมันอยู่
Rogers-Ramanujan ที่ถูกค้นพบอีกครั้งภายในภาวะเอกฐาน
- Mourtada, Jan Schepers และ Clemens Bruschek ศึกษา arc space ของภาวะเอกฐานแบบง่าย และแบ่งปริภูมินั้นออกเป็นชั้น ๆ
- ระหว่างการนับจำนวนพหุนามในแต่ละชั้น Mourtada สังเกตว่าลำดับตัวเลขนั้นดูคุ้นเคย
- ในปี 2010 เขาแบ่ง arc space ของภาวะเอกฐานอย่างง่ายที่เรียกว่า fat point ออกเป็นชั้น ๆ และระหว่างนับจำนวนพหุนามในแต่ละชั้น ก็พบโครงสร้างแบบเดียวกับด้านผลบวกของเอกลักษณ์ Rogers-Ramanujan
- เขากำลังนับวัตถุคนละชนิดกับการแบ่งจำนวน แต่ตระหนักได้ว่าจริง ๆ แล้วกำลังนับสิ่งเดียวกัน
- เป็นที่รู้กันมานานแล้วว่าสามารถเชื่อมสมการพหุนามเข้ากับการแบ่งจำนวนใด ๆ ได้
- แต่ละชิ้นของ arc space ในงานของ Mourtada มีเพียงบางส่วนย่อยของพหุนามเท่านั้น และจึงสอดคล้องกับบางส่วนย่อยของการแบ่งจำนวนด้วย
- Mourtada, Bruschek และ Schepers พิสูจน์ได้ว่าโครงสร้าง arc space ของพวกเขาอธิบายได้ด้วยเอกลักษณ์นี้
- หลังจากกรณีเรียบง่ายนี้ Mourtada ใช้เวลากว่า 10 ปีขยายงานไปสู่รูปแบบที่ทั่วไปยิ่งขึ้น
Afsharijoo และเอกลักษณ์การแบ่งจำนวนแบบใหม่
- Pooneh Afsharijoo เริ่มงานวิจัยระดับบัณฑิตศึกษาในฝรั่งเศสภายใต้การดูแลของ Mourtada ในปี 2015
- ทั้งสองศึกษาภาวะเอกฐานที่ซับซ้อนกว่าและ arc space ของมัน พร้อมค้นพบเอกลักษณ์ใหม่จำนวนมาก
- Afsharijoo ยังพบส่วนขยายของเอกลักษณ์ Rogers-Ramanujan ด้วย
- เอกลักษณ์ดั้งเดิมกล่าวว่าการแบ่งจำนวนจำนวนเท่ากันจะสอดคล้องกับเงื่อนไขสองแบบที่แตกต่างกันมาก
- Afsharijoo พบเงื่อนไขแบบที่สามเพิ่มเข้าไป จึงขยายขอบเขตของเอกลักษณ์ที่มีอายุกว่า 100 ปีนี้
- ปัจจุบันนักวิจัยทั้งสองใช้ กราฟ ที่ประกอบด้วยจุดและเส้นเชื่อมเพื่อแทนข้อมูลของ arc space
- วิธีนี้ช่วยให้นำเครื่องมือจากทฤษฎีกราฟมาใช้ได้
- และกำลังถูกใช้เพื่อค้นหาเอกลักษณ์การแบ่งจำนวนแบบใหม่เพิ่มเติม
การใช้เอกลักษณ์การแบ่งจำนวนเพื่อตรวจจำนวนเฉพาะ
- Ken Ono, William Craig และ Jan-Willem van Ittersum เผยแพร่อีกหนึ่งการประยุกต์ใช้เอกลักษณ์การแบ่งจำนวนในเดือนกันยายน
- พวกเขาสร้าง สูตรตรวจจำนวนเฉพาะ โดยใช้ฟังก์ชันที่นับการแบ่งจำนวน
- เมื่อนำจำนวนเฉพาะใส่เข้าไปในสูตร จะได้ค่า 0
- เมื่อนำจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะใส่เข้าไป จะได้ค่าบวก
- วิธีนี้จึงใช้คัดแยกเซตของจำนวนเฉพาะออกจากจำนวนเต็มทั้งหมดได้
- Ono ตั้งคำถามว่าเหตุใดการแบ่งจำนวน ซึ่งเป็นวัตถุเกี่ยวกับการบวกและการนับ จึงสามารถตรวจสมบัติเชิงคูณอย่างความเป็นจำนวนเฉพาะได้อย่างแม่นยำ
- นักวิจัยใช้ทฤษฎี modular forms เพื่อพบว่าสูตรนี้เป็นส่วนหนึ่งของตระกูลที่ใหญ่กว่า
- ฟังก์ชันตรวจจำนวนเฉพาะลักษณะนี้มีอยู่อีกอนันต์จำนวน
- ผลลัพธ์นี้กระตุ้นให้เกิดการสำรวจความสัมพันธ์ที่ลึกยิ่งขึ้นระหว่างการแบ่งจำนวนกับ ทฤษฎีจำนวนเชิงคูณ
เหตุใดมรดกของ Ramanujan จึงยังขยายต่อไป
- George Andrews มองว่าทฤษฎีการแบ่งจำนวนเป็นเรื่องพื้นฐานมาก เพราะการนับและการบวกเกิดขึ้นแทบทุกสาขาของคณิตศาสตร์
- แต่การระบุลักษณะที่แน่นอนของความเชื่อมโยงเหล่านั้นทำได้ยาก และ Ken Ono มองว่าการได้มุมมองที่ถูกต้องคือสิ่งสำคัญ
- สำหรับ Shashank Kanade งานของ Ramanujan ไม่ใช่ทางตันที่จบลงด้วยเอกลักษณ์เพียงข้อเดียว แต่เป็นเพียง ยอดของภูเขาน้ำแข็ง เสมอ
- Mourtada กล่าวว่า Ramanujan สามารถจินตนาการสิ่งที่คนอย่างเขาไม่อาจจินตนาการได้
- ด้วยความก้าวหน้าของสาขาคณิตศาสตร์ใหม่ ๆ ทุกวันนี้นักวิจัยจึงยังคงค้นพบเอกลักษณ์การแบ่งจำนวนแบบใหม่ ที่ Ramanujan อาจเคยพบได้จากสัญชาตญาณล้วน ๆ
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นบน Hacker News
เป็นบทความที่น่าสนใจ และจุดที่สะดุดตาเป็นพิเศษคือ Ramanujan ล้มเหลวในหลายวิชานอกเหนือจากคณิตศาสตร์ เพราะเขาไม่สนใจ
สังคมและบรรทัดฐานคาดหวังให้นักเรียนเรียนหลากหลายวิชา แต่สำหรับบางคน วิชาเหล่านั้นอาจไม่น่าสนใจเลยแม้แต่น้อย
ผมสงสัยว่าเราพลาด อัจฉริยภาพ ไปมากแค่ไหน เพราะแรงงานท่องจำเพื่อให้ได้เกรด A ระหว่างอดทนทำการบ้านและนั่งเรียนคาบที่น่าเบื่อ
คนส่วนใหญ่มักแทบจำเนื้อหาวิชาเหล่านั้นไม่ได้ และแม้แต่นักเรียนระดับหัวกะทิก็ดูเหมือนจะมีผลสัมฤทธิ์ดีกว่าค่าเฉลี่ยเพียงเล็กน้อยเป็นส่วนใหญ่
คนอย่าง Ramanujan หากไม่ได้รับโอกาสอันโชคดี ก็คงถูกกลืนหายไปในทะเลของความธรรมดา โดยมีพรสวรรค์ถูกปิดกั้นไว้เพราะบรรทัดฐาน
บุคคลพิเศษที่ผมเคยอ่านมาแทบทั้งหมดดูเหมือนจะได้พบ โอกาส ครั้งใหญ่บางอย่างในจังหวะที่เกือบจะถูกลืม แล้วจึงก้าวกระโดดขึ้นมา
การศึกษาภาคบังคับที่ทำให้เด็กได้สัมผัสหลายวิชาเป็นเรื่องดี เพราะนั่นทำให้พวกเขาค้นพบว่าอะไรเหมาะกับตัวเอง
ความเสี่ยงที่แท้จริงคือการไม่ได้ลองสัมผัสบางวิชาเลย และผมมองว่ามหาวิทยาลัยต่างหากคือที่สำหรับทำให้สาขาแคบลง
ถ้าปรับโรงเรียนให้เหมาะกับคนอย่างเขา ก็มีโอกาสสูงว่าจะใช้ไม่ได้ผลกับอีก 99,999,999 คนที่เหลือ
ยิ่งไปกว่านั้น แม้แต่กับคน 1 คนนั้นก็ยังยากที่จะปรับให้ตรงพอดี และกรณีสุดโต่งมักแทบไม่มีรูปแบบที่นำไปสรุปใช้ทั่วไปได้
การศึกษาที่เหมาะที่สุดสำหรับ Ramanujan ตอนหนุ่ม อาจต่างจากการศึกษาที่เหมาะที่สุดสำหรับ Von Neumann ตอนหนุ่มก็ได้
ในอุดมคติ ถ้าให้การศึกษาที่ปรับเฉพาะตัวอย่างยิ่งแก่เด็กทุกคนได้ก็คงดี แต่พูดง่ายกว่าทำ และอย่างน้อยวิธีค้นหาอัจฉริยะสุดโต่งแล้วลงทุนกับพวกเขาก็เป็นสิ่งที่กำลังพยายามทำกันอยู่แล้ว
เพียงแต่โดยทั่วไปมักมีคนธรรมดา ๆ ที่อ้างว่า “จริง ๆ แล้วฉันคงเป็นอัจฉริยะ ถ้าไม่ใช่เพราะระบบกดทับความคิดสร้างสรรค์ของฉัน” อยู่มาก
ผมเชื่อยากว่าเด็กที่เป็นอัจฉริยะจริง ๆ จะผ่านการศึกษาระดับประถมและมัธยมมากกว่า 10 ปีไปโดยไม่พบช่องทางแสดงความคิดสร้างสรรค์เลย ดังนั้นผมจึงมองว่ากรณีที่พลาดไปนั้นมีไม่มาก หรือแทบไม่มี
แต่ผมไม่คิดว่านั่นคือสิ่งที่เราควรปรับระบบให้มุ่งไปหา
สำหรับคนส่วนใหญ่ หากไม่ถูกบังคับในระดับหนึ่งให้เรียนสิ่งที่ไม่ได้ชอบด้วย ความสามารถในการมีงานทำ อาจลดลงอย่างมาก
ถ้าชอบวิศวกรรมหรือวิทยาศาสตร์ก็ถือว่าโชคดี แต่ถ้าสนใจแค่ศิลปะและวรรณกรรม ก็ถือว่าโชคน้อยกว่าเมื่อเทียบกัน
หากจะไปถึงระดับหนึ่ง ต้องสอบผ่านหรือพิสูจน์ทักษะเฉพาะบางอย่าง
เด็กแต่ละคนเลือกเองว่าจะไปกับวิชาใดและถึงระดับไหน แต่ต้องมีหน้าที่พยายามเลือกอะไรสักอย่างแล้วก้าวไปสู่ระดับถัดไป
อาจส่งเสริมให้สำรวจหลายวิชาและบรรลุระดับขั้นต่ำบางอย่างด้วยก็ได้
นอกจากนี้ ให้จัดกลุ่มเด็กตามระดับในแต่ละวิชา ไม่ใช่ตามอายุ และให้เด็กที่มีระดับต่างกันเล็กน้อยฝึกร่วมกัน
เด็กในระดับสูงควรช่วยเด็กในระดับต่ำ และเด็กในระดับต่ำควรเรียนรู้ที่จะเคารพเด็กในระดับสูง
เธรดนี้แสดงให้เห็นได้ดีว่าทำไมการถกเรื่อง การศึกษา ในสังคมของเราจึงเป็นเรื่องยาก
พอพยายามหยิบยกประเด็นทั่วไปหรือการสังเกตเชิงเมตาขึ้นมา เรื่องเล่าส่วนตัวที่แต่ละคนเคยเจอในกระบวนการศึกษาก็จะทะลักเข้ามาจำนวนมากและกลืนประเด็นไปทันที
ปรากฏการณ์คล้ายกันอาจเกิดกับหัวข้ออื่นได้ แต่พอพูดถึงโรงเรียน ก็แทบไม่นึกออกว่ามีกรณีไหนที่เรื่องเล่ายาว ละเอียด และเต็มไปด้วยอารมณ์จะไหลทะลักออกมาเร็วขนาดนี้
ผมเคยคิดว่าทำไมโครงสร้างการศึกษาถึงทำให้ผู้คนอยากระบายกันมากขนาดนี้ และโดยรวมดูเหมือนว่าจะมี ความไม่สบายใจ ที่รุนแรงและฝังอยู่นาน
มันคล้ายความสัมพันธ์แบบทารุณกรรม จนงานทางอารมณ์เพื่อก้าวไปสู่ความสัมพันธ์ที่ดีกว่า หรือก็คือโครงสร้างการศึกษาแบบอื่น อาจใหญ่เกินไปในบางจุด และสุดท้ายจึงไปจดจ่อแค่กับการ “ทนให้ได้”
เสริมว่าอ่านบทความทั้งหมดแล้ว และชอบ Ramanujan แต่พอได้รู้จักการมีอยู่ของเขา คลาสคณิตศาสตร์ในมหาวิทยาลัยก็ดูห่างไกลจากสิ่งที่เขาทำมากเสียจนยิ่งเรียนยากขึ้นมาก
เมื่อพยายามขยายสิ่งที่ใหญ่ขนาดนั้น ก็ต้องเอาผู้คนใส่ลงในกล่องภายในระบบ และย่อมต้องมองข้ามความแตกต่างเล็ก ๆ น้อย ๆ ระหว่างมนุษย์อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้
แต่จากมุมมองของแต่ละคน วิธีที่มองข้ามความแตกต่างเล็ก ๆ เหล่านั้นไม่ค่อยได้ผล และเพราะส่วนนั้นไปกระทบตัวตนของเรา จึงยินดีเมื่อมีโอกาสได้พูดถึงความคับข้องใจ
เวลามีโพสต์หัวข้อเฉพาะทางมาก ๆ บน HN หลายคนชอบตรงที่ในคอมเมนต์จะมีคนที่มีประสบการณ์จริงโผล่มาเล่าและคุยกัน แต่การศึกษาเป็นหนึ่งในหัวข้อหายากที่ทุกคนสามารถเป็นคนนั้นได้
เพื่อให้ชัดเจน Ramanujan ไม่ใช่ผลผลิตของระบบการศึกษาอินเดีย และตรงกันข้าม ระบบนั้นค่อนข้างโหดร้ายและชวนให้เขาหมดศรัทธา
เขาเป็น อัจฉริยะคณิตศาสตร์ที่เรียนด้วยตัวเอง และนอกจากภาพยนตร์ชีวประวัติฟอร์มใหญ่ที่เป็นที่รู้จักสองเรื่องแล้ว ซีรีส์ทีวีในหลายภาษาอินเดียก็ย้ำประเด็นนี้ซ้ำ ๆ
เขาเรียนด้วยตัวเองเป็นหลักจาก Inequalities ของ G.H. Hardy และหนังสือหลายเล่ม ซึ่งตอนนี้เข้าถึงได้ฟรีด้วยการคลิกเพียงครั้งเดียว
ไม่มีใครขัดขวางการเรียนคณิตศาสตร์ และผมคิดว่าการมีหรือไม่มีการศึกษาก็ไม่ได้เกี่ยวข้องกับประเด็นนี้เท่าไร
เมื่อรวมกับวิธีวัด “คุณภาพ” ครู จึงเกิดกรณีที่ครูในโรงเรียนทั่วไปใช้กลยุทธ์และวิธีการที่แทบจะเป็นการกลั่นแกล้งนักเรียนต่อหน้า เพื่อสร้าง “ผลงาน”
ครูกับนักเรียนไม่ได้ผ่านกระบวนการเลือกกันและกัน และโดยเฉพาะอย่างยิ่งไม่มีขั้นตอนจัดการกับคู่ที่เข้ากันแย่
แค่ถูกจัดสรรมาแล้วถูกผูกติดกัน และความล้มเหลวทางจริยธรรมของวิชาชีพครูก็ปรากฏให้เห็นอยู่ทั่ว
เริ่มจาก Why Don’t Students Like School ของ Daniel Willingham แล้วอ่านบทความ Ask the Cognitive Scientist ของ American Federation of Teachers กับงานวิจัยที่เกี่ยวข้องอย่างจริงจัง ได้รู้จัก ทฤษฎีภาระทางปัญญา ผ่านบล็อกและพอดแคสต์ของ Greg Ashman และต่อยอดไปถึงงานวิจัยของ Dylan Wiliam กับ Robert และ Elizabeth Bjork
เนื้อหาบอกว่าโดยไม่รู้ตัวเขาอ่านหนังสือและบทความวิชาการไปแล้วกว่า 200 ชิ้น และมักตื่นขึ้นมากลางดึกเพราะหัวเต็มไปด้วยไอเดีย
MVP ตัวจริงในเรื่องของ Ramanujan คือ G.H. Hardy
เขาอ่านจดหมายจากคนนิรนามที่อยู่อีกฟากโลก ยิ่งไปกว่านั้นเป็นคนที่ตามมุมมองในยุคนั้นถูกมองว่าเป็น “native” แล้วรับอย่างจริงจัง และยังจัดหาทรัพยากรเพื่อพาเขามาอังกฤษ
คนอื่น ๆ ที่ Ramanujan ส่งจดหมายไปให้ ต่างก็เพิกเฉยกันหมด ซึ่งก็พอเข้าใจได้
การที่เขาจากไปตั้งแต่อายุยังน้อยขนาดนั้นเป็นโศกนาฏกรรม
ชีวิตอันสั้นของ Ramanujan เองก็เป็นความสูญเสียของโลกอยู่แล้ว แต่ก็ทำให้นึกว่า Ramanujan อีกกี่คนที่ถูกเพิกเฉยเพราะไม่มี G.H. Hardy และ Ramanujan ในอีก 95% ที่เหลือจะเป็นอย่างไร
น่าสนใจเมื่อเปรียบเทียบท่าทีแบบเลี้ยงดูสนับสนุนที่ G.H. Hardy มีต่อ Ramanujan กับท่าทีเล็กน้อยแต่แทงข้างหลังที่ Arthur Eddington มีต่อ Subrahmanyan Chandrasekhar ในอีกหลายทศวรรษต่อมา
มีการถกเถียงพร้อมลิงก์ที่เกี่ยวข้องจำนวนมากที่ https://news.ycombinator.com/item?id=41284239
เขามาจากวัฒนธรรมที่มี ประเพณีทางปัญญา ยาวนานและมั่งคั่ง
โลกมีสิ่งมีค่ามากมาย แต่ต้องมีใครสักคนค้นพบและผลักดันมัน
ประโยคที่ว่า “ทฤษฎีบทเหล่านั้นเคยถูกพิสูจน์ไว้เมื่อ 20 ปีก่อนโดย L.J. Rogers นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษที่ไม่ค่อยมีใครรู้จัก… Rogers พอใจกับการทำวิจัย เล่นเปียโน ทำสวน และใช้เวลาว่างไปกับกิจกรรมหลายอย่าง โดยค่อนข้างไม่เป็นที่รู้จัก” ให้แรงบันดาลใจราวกับสิ่งศักดิ์สิทธิ์
สำหรับวิศวกรซอฟต์แวร์จำนวนมากที่ยังทำงานอยู่ นั่นก็เป็น ความฝันหลังเกษียณ เช่นกัน
เรื่องราวของนักคณิตศาสตร์ที่บอกว่าได้พาร์ทิชันและเอกลักษณ์ที่ซับซ้อนจากความฝัน เหมือน Srinivasa Ramanujan นั้นน่าหลงใหลเสมอ
ราวกับว่าจิตใจเชื่อมต่อเข้ากับคลังความรู้ที่ซ่อนอยู่
ผมสงสัยว่าอะไรเป็นตัวขับเคลื่อน การกระโดดเชิงสัญชาตญาณ แบบนี้
สมองของ Ramanujan ยังคงประมวลผลรูปแบบอย่างเงียบ ๆ ระหว่างหลับ โดยอาศัย default mode network ที่เรายังเข้าใจได้ยากอยู่หรือไม่ หรือมันเป็นคุณสมบัติอุบัติใหม่ของโครงข่ายประสาทที่ซับซ้อน หรือเป็นการเหลือบเห็นจิตไร้สำนึกร่วมของ Jung กันแน่
อยากรู้ว่าความก้าวหน้าล่าสุดในประสาทวิทยา, AI และจิตวิทยาการรู้คิด ช่วยอธิบายได้ไหมว่านักนวัตกรรมอย่าง Ramanujan เข้าถึงอินไซต์ที่ซ่อนอยู่ได้อย่างไร หรือมันยังคงอยู่ในขอบเขตของ “อัจฉริยะนั้นลึกลับ” อยู่
ทั้งในเชิงส่วนตัวและเชิงจิตวิญญาณ เขาหมกมุ่นกับคณิตศาสตร์ และมองว่าคณิตศาสตร์เป็นการสำแดงของสิ่งศักดิ์สิทธิ์
ดังนั้นความทรงจำส่วนใหญ่ของเขาก็น่าจะเป็นเรื่องคณิตศาสตร์อยู่แล้ว และสิ่งที่ผุดขึ้นมาแบบสุ่มก็น่าจะเป็นคณิตศาสตร์เช่นกัน
ตอนอยู่ในอินเดีย เขาก็สื่อสารกับนักคณิตศาสตร์คนอื่น อ่านบทความวิจัย และส่งงานไปยังวารสาร ไม่ใช่ฤๅษีที่ปลีกวิเวกอยู่ในถ้ำ
ผมมองว่าคำกล่าวที่ว่าเขาได้ผลลัพธ์จากความฝันเฉย ๆ เป็นส่วนหนึ่งของ ตำนาน รอบตัวเขา
จากที่เคยอ่านมา เขาทำงานหนักมากในการอนุมานสูตรต่าง ๆ แต่เผยแพร่เฉพาะผลลัพธ์สุดท้าย จึงดูเหมือนว่าเรียกมันออกมาจากความว่างเปล่า
เขาคงไม่สามารถส่งจดหมายหนาเท่าหนังสือทั้งเล่มที่บรรจุทุกขั้นตอนในการอนุมานผลลัพธ์เหล่านั้นให้ Hardy ได้
ในภาษาจิตวิทยาที่เคร่งครัด การที่คนเรา “รู้” หมายถึง “ค้นพบ” หรือ “เปิดเผยออกมา” และการที่คนเรา “เรียนรู้” หมายถึงการ “ค้นพบ” โดยเปิดผ้าคลุมออกจากจิตวิญญาณของตนเอง ซึ่งเป็นเหมืองแห่งความรู้อันไร้ขอบเขต
เมื่อบอกว่า Newton ค้นพบแรงโน้มถ่วง คำอธิบายคือมันไม่ได้ไปนั่งรออยู่ตามมุมไหนสักแห่ง แต่มีอยู่ในจิตใจของเขา และเมื่อถึงเวลาก็ถูกค้นพบ
ความรู้ทั้งหมดที่โลกได้รับล้วนออกมาจากจิตใจ ห้องสมุดอันไร้ขอบเขตของจักรวาลอยู่ในจิตใจของตนเอง และโลกภายนอกเป็นเพียงคำใบ้และเหตุปัจจัยที่ทำให้จิตใจศึกษาตัวเองเท่านั้น
ทุกครั้งที่อ่านเรื่องว่า Ramanujan ได้รับการเปิดเผยสูตรจากสิ่งศักดิ์สิทธิ์ในความฝัน ผมจะนึกถึงข้อความนี้ของ Vivekananda เกี่ยวกับ สำนึกและจิตใจ
อีกทั้งใน Mundaka Upanishad 2.2.9 ก็มีข้อความในทำนองว่า “Self ที่ซ่อนอยู่ในสรรพสิ่งทั้งปวงนั้นไม่ปรากฏออกมาให้ส่องสว่าง แต่จะมองเห็นได้แก่ผู้ที่เห็นสิ่งละเอียดอ่อน ผู้มีปัญญาเฉียบคมและละเอียดลึกซึ้ง”
ความหมายคือความรู้หรือสัจธรรมสูงสุดซ่อนอยู่ในสรรพสิ่ง และเผยออกมาผ่านการรับรู้ภายในที่ละเอียดอ่อน ความรู้นั้นแฝงอยู่ในจิตใจ ไม่ได้เป็นสิ่งที่ไปค้นหาจากภายนอก แต่เป็นสิ่งที่ถูกค้นพบ
ไม่ใช่ปรากฏการณ์ที่หายากนัก
แน่นอนว่าทางแก้นั้นอาจเป็นแค่ลูป
forก็ได้ จึงไม่ได้จะเทียบกับ Ramanujan แต่ก็ไม่ใช่เรื่องที่หายากสุดขั้วถ้ามีคนหนึ่งเข้าถึงความรู้แบบนี้ในความฝันได้ นั่นก็เป็นสัญญาณว่ามันเป็นไปได้
ตอนนี้ผมสงสัยว่าจะทำให้สิ่งนี้เป็นค่าเริ่มต้นสำหรับทุกคนได้อย่างไร
เหมือนกับการพบสายพันธุ์ข้าวสาลีที่ต้านทานแบคทีเรียได้ในเม็กซิโกแล้วนำไปทำซ้ำทั่วโลก ผมก็คิดว่าเราจะทำสิ่งคล้ายกันกับมนุษย์ได้หรือไม่
ผมไม่ค่อยชอบสำนวนนี้นัก แต่หวังว่าจะสื่อความรู้สึกได้
สำหรับคนที่อยากรู้จัก Ramanujan และผลงานของเขาเพิ่มเติม มีแหล่งข้อมูลอยู่หลายอย่าง
เพิ่มเติมคือในบทความที่ส่งมา George Andrews สวม เนกไท Ramanujan อยู่
https://en.wikipedia.org/wiki/The_Man_Who_Knew_Infinity
ในบทความบอกว่างานวิจัยล่าสุด[1] ของหนึ่งในผู้ให้สัมภาษณ์ ใช้ ฟังก์ชันพาร์ทิชันของ McMahon ในการทดสอบจำนวนเฉพาะ
ผมสงสัยว่าเวลารันเมื่อเทียบกับการทดสอบจำนวนเฉพาะแบบ AKS หรือ BPSW[2] ที่ใช้งานจริงมากกว่านั้นเป็นอย่างไร
และสงสัยด้วยว่าจะนำไปใช้กับวิทยาการเข้ารหัสลับเชิงปฏิบัติได้หรือไม่
เรื่องราวของ Ramanujan น่าสนใจมาก แต่ก็อยากให้ นักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ชาวอินเดีย อีกมากมายเป็นที่รู้จักในวงกว้างมากขึ้น
มีทั้งนักคณิตศาสตร์อย่าง Harish Chandra, C. R. Rao, Manjul Bhargava, Narendra Karmakar และนักฟิสิกส์อย่าง C. V. Raman, Satyendra Nath Bose, Meghnad Saha รวมถึงบุคคลอย่าง Har Gobind Khorana และ Venkatraman Ramakrishnan ด้วย
ชาวอินเดียบางคนไม่ได้รับการยอมรับเท่าที่ควร แต่ถ้าจะพอปลอบใจได้บ้าง แม้ในบรรดานักคณิตศาสตร์หรือนักวิทยาศาสตร์ “ตะวันตก” เอง ชื่อที่เป็นที่รู้จักกว้างขวางก็มีไม่มากนัก
ผมไม่ใช่นักคณิตศาสตร์หรือนักฟิสิกส์ และคนอื่น ๆ ก็ไม่ค่อยรู้จักนัก แต่รู้ดีว่าชาวอินเดียมีผลงานสำคัญต่อคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ และน่าจะรวมถึงสาขาอื่น ๆ ด้วย
คนรุ่นปัจจุบันแทบไม่รู้จักบุคคลผู้ยิ่งใหญ่ของอินเดียเหล่านี้
ถ้าจะแก้สถานการณ์ปัจจุบัน 1) ทุกคนควรสมัครอ่าน Science Reporter นิตยสารรายเดือนที่ออกโดย NIScPR ภายใต้ CSIR ที่ New Delhi ประเทศอินเดีย เพื่อได้สัมผัสภาพรวมของวิทยาศาสตร์อินเดีย - https://sciencereporter.niscpr.res.in/
2) หนังสือสองเล่มชุด The Mind of an Engineer ของ Purnendu Ghosh และคณะ ที่ออกโดย Springer มีบทความของนักวิทยาศาสตร์ นักวิจัย และวิศวกรยุคใหม่อยู่ - https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-10-0119-2
3) หนังสือเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์อินเดียของผู้เขียนหลายคนมีอยู่ใน Amazon India และน่าหามาอ่าน
4) หนังสือของ Jayant Narlikar นักฟิสิกส์ดาราศาสตร์และนักจักรวาลวิทยาผู้ยิ่งใหญ่ (https://en.wikipedia.org/wiki/Jayant_Narlikar) โดยเฉพาะ The Scientific Edge: The Indian Scientist From Vedic To Modern Times - https://www.penguin.co.in/book/the-scientific-edge/ และ Science and Mathematics: From Primitive to Modern Times - https://www.routledge.com/Science-and-Mathematics-From-Primi... ก็น่าอ่านเช่นกัน
แต่ทุกคนคงเคยได้ยินคำว่า boson ดังนั้นเขาก็ถือว่าถูกทำให้เป็นอมตะในระดับหนึ่ง และจะคงอยู่ยาวนานกว่าคนส่วนใหญ่
https://universitiespress.com/books?id=0&sid=161
National Book Trust ก็มีหนังสือเกี่ยวกับนักวิทยาศาสตร์อินเดียหลายเล่ม
Ramanujan เป็นผู้ที่สร้างแรงบันดาลใจให้นักคณิตศาสตร์หลายรุ่นทั่วโลก
ชีวิตของเขาเป็นโศกนาฏกรรมที่งดงาม ทิ้งไว้ทั้งความรู้สึกเคารพยำเกรงและความเศร้าลึก ๆ
หากมาจากครอบครัวพราหมณ์แบบเคร่งครัดตามประเพณี แค่การขึ้นเรือข้ามทะเลก็เสี่ยงต่อการถูก ขับออกจากชุมชน แล้ว
ภูมิหลังทางวัฒนธรรมที่เขามาจากยิ่งทำให้เรื่องราวทั้งหมดเป็นตำนานมากขึ้น
ตั้งแต่การตัดจุกผม ไปจนถึงการเลิกนุ่ง dhoti แล้วสวมสูทแบบตะวันตก เราไม่อาจเข้าใจได้เลยว่าเขาต้องผ่านอะไรและต้องสละอะไรไปเพื่อมอบคณิตศาสตร์ของเขาให้เรา
มีการเสียสละที่เขาต้องยอมรับเพื่อปฏิบัติศิลปะของตนและเพื่อดำรงอยู่
ขอแนะนำอย่างยิ่งให้อ่าน A Mathematician's Apology ของ G.H. Hardy
ผมคิดว่านี่เป็นหนึ่งในงานเขียนที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์ที่ดีที่สุดสำหรับทำความเข้าใจว่าสมองของนักคณิตศาสตร์ทำงานอย่างไร
https://en.wikipedia.org/wiki/A_Mathematician%27s_Apology
ค่อนข้างสั้นและเขียนได้งดงาม