กลยุทธ์ Kelly ที่ไม่มีวันล้มเหลว

• ใน Next Card Bet ที่คอยติดตามสัดส่วนสีของสำรับ 52 ใบอย่างต่อเนื่อง กลยุทธ์ Kelly จบด้วยเงินทุนเริ่มต้น $1 ที่ประมาณ $9.08 เสมอ ต่างจากภาพจำทั่วไปที่เป็นกลยุทธ์ความผันผวนสูง
• กติกาการเดิมพันเรียบง่าย: ถ้าไพ่สีแดงที่เหลือ r กับไพ่สีดำที่เหลือ b เท่ากันก็ไม่ต้องเดิมพัน แต่ถ้าสีใดเหลือมากกว่า ให้ลงเงิน |r - b| / (r + b) ของเงินทุนปัจจุบันกับสีนั้น
• แม้จะรันสำรับที่สับด้วย Python 10,000 ชุด เงินทุนสุดท้ายก็ยังอยู่ในช่วง 9.081329549427776~9.081329549427803 ให้ผลตอบแทนสูงกว่ากลยุทธ์ คูณ 2 ที่เดิมพันเฉพาะไพ่ใบสุดท้าย โดยไม่มีความผันผวน
• การพิสูจน์ทำโดยกระจายเงินทุนตั้งต้นอย่างเท่า ๆ กันไปยังลำดับแดง/ดำที่เป็นไปได้ทั้งหมด (52 choose 26) = 495,918,532,948,104 แบบ แล้วสร้างพอร์ตโฟลิโอที่มีเพียงกลยุทธ์ย่อยหนึ่งเดียวซึ่งตรงกับสำรับจริงและได้คูณ 2 ติดต่อกัน 52 ครั้ง
• เพราะการเปลี่ยนแปลงของเงินรวมในพอร์ตโฟลิโอนี้มีรูปแบบอนุรักษ์นิยมเหมือนกับกลยุทธ์ Kelly พอดี กลยุทธ์ Kelly ที่ปกติอาจขาดทุนได้จึงกลายเป็นกลยุทธ์ที่มี ความแปรปรวนเป็น 0 ในเกมนี้

---

กติกาและสัญชาตญาณของ Next Card Bet

• Kelly bet allocation strategy คือวิธีกำหนดสัดส่วนการเดิมพันในสถานการณ์พนันโดยใช้ข้อมูลหรืออคติที่มีอยู่
• โดยทั่วไป กลยุทธ์ Kelly เป็นที่รู้จักว่าเป็น กลยุทธ์เชิงรุกที่มีความผันผวนสูง และหากเดิมพันมากกว่าสัดส่วน Kelly ความเสี่ยงล้มละลายก็อาจเพิ่มขึ้น
• แต่ใน “Next Card Bet” จากหนังสือ Mathematical Puzzles ของ Peter Winkler กลยุทธ์นี้กลับทำงานแบบไร้ความเสี่ยงและมีความแปรปรวนเป็น 0
• เกมเริ่มด้วยสำรับมาตรฐาน 52 ใบ
  • มีไพ่แดง 26 ใบและไพ่ดำ 26 ใบ
  • สับสำรับแล้วเปิดไพ่ทีละใบ โดยไพ่ที่เปิดแล้วจะไม่นำกลับเข้าไป
  • ผู้เล่นสามารถเดิมพันสัดส่วนใดก็ได้ของเงินทุนปัจจุบันว่าไพ่ใบถัดไปจะเป็นสีแดงหรือสีดำ
  • อัตราจ่ายคือ 1:1 และเงินทุนเริ่มต้นคือ $1
• เมื่อดูไพ่ที่ออกไปแล้ว เราจะรู้จำนวนสีที่เหลืออยู่ในสำรับที่ยังมองไม่เห็น
  • หากไม่เดิมพันจนถึงไพ่ใบสุดท้าย ก็จะรู้สีของไพ่ที่เหลืออย่างแน่นอน
  • กลยุทธ์ง่าย ๆ นี้ทำให้สามารถเดิมพันทั้งหมดกับไพ่ใบสุดท้ายและเพิ่มเงินทุนเป็น 2 เท่า ได้อย่างปลอดภัย

สัดส่วนการเดิมพันแบบ Kelly

• กลยุทธ์ Kelly เลือกการเดิมพันที่ทำให้ค่าคาดหวังของลอการิทึมของเงินทุนสุดท้ายสูงสุด
• หากให้จำนวนไพ่แดงที่เหลือเป็น r และไพ่ดำเป็น b และ r > b ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบถัดไปจะเป็นสีแดงคือ r / (r + b)
• ค่าคาดหวังของลอการิทึมของเงินทุนจะถูกทำให้สูงสุดตามสมการต่อไปนี้
  • P[draw red] * log(1 + bet_fraction) + P[draw black] * log(1 - bet_fraction)
• จุดที่อนุพันธ์ของสมการนี้เท่ากับ 0 จะให้สัดส่วนการเดิมพันเป็น (r - b) / (r + b)
• กลยุทธ์โดยรวมคือรับความเสี่ยงเฉพาะส่วนต่างระหว่างจำนวนไพ่สองสีที่เหลืออยู่
  • ถ้า r = b ก็ไม่ต้องเดิมพัน
  • ถ้า r > b ให้เดิมพันสัดส่วน |r - b| / (r + b) ของเงินทุนปัจจุบันกับ “red”
  • ถ้า b > r ให้เดิมพันสัดส่วน |r - b| / (r + b) ของเงินทุนปัจจุบันกับ “black”

ผลการจำลองด้วย Python

• ตัวอย่าง Python ใช้ฟังก์ชัน run_bets(is_red) เพื่อรันกลยุทธ์ Kelly
  • เริ่ม stake ที่ 1.0
  • อัปเดตจำนวนไพ่แดงและไพ่ดำที่เหลือในทุกใบ
  • เดิมพันสัดส่วน abs(n_red_remaining - n_black_remaining) / (n_red_remaining + n_black_remaining) กับสีที่เหลือมากกว่า
  • ถ้าทายถูก เงินเดิมพันส่วนนั้นจะกลับมาเป็น 2 เท่า ถ้าทายผิดก็เสียไป
• ตัวสร้างเลขสุ่มใช้ np.random.default_rng(2024)
• เมื่อสร้างสำรับ 10,000 ครั้งโดยมีไพ่แดง 26 ใบจาก 52 ใบ ผลลัพธ์จะไปรวมอยู่ที่ค่าเดียวกันแทบทั้งหมด
  • ค่าต่ำสุด: 9.081329549427776
  • ค่าสูงสุด: 9.081329549427803
• ความต่างของผลลัพธ์น้อยกว่า 1e-8 และทุกครั้งให้ผลตอบแทนประมาณ 9.08 เท่า ของเงินทุนตั้งต้น
• ผลตอบแทน 9.08 เท่านี้สูงกว่ากลยุทธ์เดิมพันเฉพาะไพ่ใบสุดท้ายเพื่อเอากำไร 2 เท่าแบบปลอดภัยอย่างมาก

การพิสูจน์ด้วยพอร์ตโฟลิโอที่ทำให้ความแปรปรวนเป็น 0

• จำนวนลำดับที่เป็นไปได้ของไพ่แดงและไพ่ดำคือ (52 choose 26) = 495,918,532,948,104 แบบ
• ในสำรับที่สับอย่างถูกต้อง ใช้ผลมาตรฐานที่ว่าลำดับแดง/ดำเหล่านี้ทั้งหมดมีโอกาสเกิดเท่ากัน
• กลยุทธ์พอร์ตโฟลิโอจะกำหนดให้ทุกลำดับแดง/ดำที่เป็นไปได้เป็นกลยุทธ์ย่อยหนึ่งชุด
  • จัดสรรเงินทุนตั้งต้น 1 / (52 choose 26) ให้กับแต่ละกลยุทธ์ย่อยของแต่ละลำดับ
  • แต่ละกลยุทธ์ย่อยบริหารเฉพาะเงินของตัวเองและไม่มีการโยกย้ายกันใหม่
  • แต่ละกลยุทธ์ย่อยสมมติว่าลำดับที่ได้รับมอบหมายคือสำรับจริง และเดิมพันทั้งหมดกับสีนั้นในทุกใบ
• กลยุทธ์ย่อยทั้งหมดที่ไม่ตรงกับสำรับจริงจะต้องเดิมพันผิดเต็มจำนวนในบางจุดและล้มละลาย
• จะมีเพียงกลยุทธ์ย่อยหนึ่งเดียวที่ตรงกับสำรับจริงพอดี และทายถูกครบ 52 ใบจนกลายเป็น 2^52 เท่า
• ดังนั้นผลตอบแทนสุดท้ายของพอร์ตโฟลิโอรวมจึงเป็นค่าคงที่เสมอ ไม่ขึ้นกับลำดับไพ่
  • $1 / (52 choose 26) * 2^52
  • ประมาณ $9.08

ความเป็นอันหนึ่งอันเดียวกันของพอร์ตโฟลิโอกับกลยุทธ์ Kelly

• ในพอร์ตโฟลิโอ กลยุทธ์ย่อยที่ยังไม่ล้มละลายจะคาดเดาว่าไพ่ใบถัดไปเป็นสีแดงหรือสีดำ
• เมื่อไพ่ที่เหลือมีสีแดง r ใบ และสีดำ b ใบ สัดส่วนการคาดเดาของกลยุทธ์ย่อยจะเป็นไปตามสัดส่วนของสีที่เหลืออยู่
• เมื่อไพ่ใบถัดไปถูกเปิด กลุ่มที่ทายผิดจะล้มละลาย และกลุ่มที่ทายถูกจะมีเงินเพิ่มเป็น 2 เท่า
• ในจังหวะนี้ การเปลี่ยนแปลงของเงินรวมในพอร์ตโฟลิโอตรงกับ รูปแบบอนุรักษ์นิยมของกลยุทธ์ Kelly ที่เดิมพัน |r - b| / (r + b) กับสีที่เหลือมากกว่าอย่างพอดี
• เหตุผลที่กลยุทธ์ Kelly มีความแปรปรวนเป็น 0 ก็คือมันเคลื่อนไหวเหมือนกับกลยุทธ์พอร์ตโฟลิโอที่มีความแปรปรวนเป็น 0 อยู่แล้วทุกประการ

จุดที่ต่างจากกลยุทธ์ Kelly ทั่วไป

• โดยปกติ กลยุทธ์ Kelly มีเป้าหมายเพื่อเพิ่มอัตราการเติบโตคาดหวังของลอการิทึมเงินทุนให้สูงสุดพร้อมลดโอกาสล้มละลาย
• แต่โดยทั่วไปแล้ว Kelly ไม่ได้การันตีอย่างอื่นมากนัก และในทางปฏิบัติก็อาจขาดทุนได้รวมถึงมักมี ความผันผวนสูง
• ในเกมไพ่เกมนี้ ต่อให้เกิดการขาดทุนขึ้น สัดส่วนสีในสำรับก็จะยิ่งไม่สมดุลมากขึ้น ทำให้เงื่อนไขในภายหลังยิ่งได้เปรียบ
• หากเดิมพันเล็กพอ ทุนที่เสียจากการเดิมพันผิดจะถูกชดเชยด้วยความได้เปรียบที่มากขึ้นในอนาคต
• โครงสร้างนี้ชวนให้นึกถึงช่วง สำรวจและใช้ประโยชน์ ในปัญหาอย่าง A/B testing

แหล่งอ้างอิง

• การพิสูจน์อิงจากเฉลยใน Winkler Mathematical Puzzles
• การพิสูจน์นี้เกี่ยวข้องกับสไตล์ของ Thomas Cover ซึ่งต่อมาได้สร้างกลยุทธ์การลงทุน universal portfolio
• เดโมและซอร์สที่เกี่ยวข้อง
  • Kelly_cant_fail.ipynb: โน้ตบุ๊กของตัวอย่างในบทความ
  • card_count_fns.py: ฟังก์ชันสำหรับนับไพ่และรันการเดิมพัน
  • dyn_prog.ipynb: โน้ตบุ๊ก dynamic programming สำหรับกรณีที่หน่วยเงินแบ่งย่อยไม่ได้
  • Demonstrating Kelly Betting with Chips: คำอธิบายการสาธิตด้วยชิป

[GN⁺]

ความคิดเห็นบน Hacker News

• เพื่อให้กลยุทธ์นี้เป็นจริงได้เสมอ เงินเดิมพันต้อง แบ่งย่อยได้ละเอียดอย่างไร้ขีดจำกัด
  เช่น หากไพ่แดง 26 ใบไปรวมอยู่ด้านบนของสำรับ เงินเดิมพันเริ่มต้น $1.00 จะลดลงไปถึง 0.000000134 แล้วกลับขึ้นมาเป็น 9.08

  • ถ้าเงินเดิมพันเริ่มต้นคือ $1e12 แม้ในกรณีเลวร้ายที่สุดก็จะหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดจากการปัดเศษที่ร้ายแรงได้ อาจมีบทเรียนชีวิตอยู่ในนี้ก็ได้
  • ชี้ได้ดีมาก ลองทดลองดูแล้วพบว่าระบบนี้ไวต่อ การทำให้จำนวนเงินเดิมพันเป็นควอนตัมหรือการปัดเศษ มาก
    ค่าคาดหมายออกมาอยู่ในตำแหน่งที่ประมาณว่าถูกต้อง แต่ความแปรปรวนเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว ดังนั้นนอกจากกรณีสำคัญนี้แล้ว โดยรวมก็ค่อนข้างไม่เสถียร
  • ผมได้เพิ่มบันทึกต่อเนื่องเกี่ยวกับกรณีเงินเดิมพันแบบไม่ต่อเนื่องไว้ที่นี่: https://win-vector.com/2024/12/21/kelly-betting-with-discret...
    เป็นที่รู้กันว่ามี กลยุทธ์แบบ dynamic programming ที่รับประกันกำไร $8.08 จากการเดิมพัน $1 การปัดเศษกลยุทธ์ Kelly แบบง่าย ๆ ไม่ได้ให้ผลลัพธ์นี้
  • คนส่วนใหญ่มาถึงจุดนี้ ต้องปฏิบัติกับการโยนเหรียญเหมือนเป็นการโยนทุกครั้งตลอดช่วงเวลาที่ยาวมาก และเพื่อให้กลยุทธ์ทำงานตามเดิม ห้ามข้ามแม้แต่ครั้งเดียว
    ถ้าพลาดไปครั้งหนึ่ง ก็อาจพลาดช่วงต่อเนื่องที่ทำกำไรได้ หรือการทำกำไรครั้งใหญ่เพียงครั้งเดียว หากวาดกราฟราคาเทียบเวลาเหมือนกราฟ Renko มันจะดูคล้ายกราฟสินค้าตัวใดก็ได้
    ในการเทรดหุ้น/คริปโต/ฟอเร็กซ์จริง หมายความว่าต้องทำแทบทุกดีล ไม่เช่นนั้นประสิทธิภาพของกลยุทธ์จะลดลง เหมือนในการทดลองที่ไม่เปลี่ยนเหรียญ ในการเทรดก็ห้ามเปลี่ยนสินทรัพย์หรือพลาดดีล และต้องทำต่อเนื่องไปนานมาก
    ไม่ต้องบอกก็รู้ว่าต้องใช้ความสม่ำเสมอมหาศาล และเมื่อมีเงินเกี่ยวข้อง ความเครียดก็สูงขึ้นด้วย หากทำซ้ำทุกวัน จะกินแรงทั้งใจและกายมากจนทำต่อได้นานยาก
  • คู่ตรงข้ามของมันก็เหมือนกับการบอกว่า ถ้ามี เงินไม่จำกัด Martingale ก็ไม่มีทางล้มเหลว

• ประเด็นแยกที่น่าสนใจเกี่ยวกับ Kelly คือ ปฏิทรรศน์ของ Proebsting
  ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ปฏิทรรศน์ของ Proebsting เป็นข้อโต้แย้งที่ดูเหมือนจะแสดงว่าเกณฑ์ Kelly อาจนำไปสู่การล้มละลายได้ ในเชิงคณิตศาสตร์สามารถแก้ได้ แต่ก็ทำให้เกิดคำถามที่น่าสนใจ โดยเฉพาะเมื่อนำ Kelly ไปใช้จริงในการลงทุน Edward O. Thorp กล่าวถึงเรื่องนี้ครั้งแรกในปี 2008 และตั้งชื่อตาม Todd Proebsting ผู้คิดค้น
  https://en.wikipedia.org/wiki/Proebsting%27s_paradox

  • ถ้าอ้างจากหน้าเดียวกัน วิธีหักล้างปฏิทรรศน์นี้แบบง่าย ๆ คือดูว่า Kelly สมมติว่าความน่าจะเป็นไม่เปลี่ยนแปลง
    กล่าวคือ Kelly จะดีเมื่อเรารู้ความน่าจะเป็น และความน่าจะเป็นนั้นไม่เปลี่ยน
    หากไม่รู้ความน่าจะเป็นหรือมันอาจเปลี่ยนได้ ผมคิดว่าวิธีที่ถูกต้องคงต้องซับซ้อนกว่า Kelly

• เนื้อหาสวยงาม แต่ ข้อโต้แย้งแบบพอร์ตโฟลิโอ ดูเหมือนเป็นทางอ้อมที่ไม่จำเป็น สามารถพิสูจน์ด้วยอุปนัยได้ในสองบรรทัด

  1. กรณีฐานคือผลตอบแทนของ (0,1) หรือ (1,0) คือ 2
  2. ในสถานะ (r,b), r >= b หากมีเงิน $X แล้วแทงแดงเป็นสัดส่วน (r-b)/(r+b) เมื่อจั่วได้แดงแล้วชนะ ผลตอบแทนคือ X * (1+(r-b)/(r+b)) * 2^(r+b-1) / (r+b-1 choose r-1) = X * 2^(r+b) * r / ((r+b) * (r+b-1 choose r-1)) = X * 2^(r+b) / (r+b choose r)
     ในทำนองเดียวกัน เมื่อจั่วได้ดำแล้วแพ้ ผลตอบแทนคือ X * (1-(r-b)/(r+b)) * 2^(r+b-1) / (r+b-1 choose r) = X * 2^(r+b) * b / ((r+b) * (r+b-1 choose r)) = X * 2^(r+b) / (r+b choose r) เช่นกัน QED
  • แล้วบทพิสูจน์ด้วยอุปนัยนั้นทำไมถึงไม่ใช่ทางอ้อมที่ไม่จำเป็นล่ะ?

• มีเกมไพ่ที่คล้ายกันมากในโจทย์ข้อ #14 จากหนังสือสัมภาษณ์สาย quantitative finance ของ Timothy Falcon คือพลิกไพ่จากสำรับแล้วตัดสินใจว่าจะหยุดเมื่อไร ไพ่แดงนับเป็น $1 ไพ่ดำเป็น −$1
  Gwern อธิบายเรื่องนี้และเขียนโค้ดยืนยัน กลยุทธ์การหยุดที่เหมาะที่สุด ไว้ด้วย: https://gwern.net/problem-14

  • ถ้าจะทำตามธรรมเนียมมาตรฐานของการเงิน ไพ่ดำควรเป็น +$1 และไพ่แดงควรเป็น -$1 กล่าวคือต้องสอดคล้องกับธรรมเนียม “ตัวเลขดำ” กับ “ตัวเลขแดง”

• ตอนเป็นวัยรุ่น ผมค้นพบจากการนับไพ่ว่า ถ้าทายสีที่เหลืออยู่ในสำรับมากกว่า ก็จะทายถูกมากกว่าครึ่งเสมอ
  https://en.wikipedia.org/wiki/TRS-80_Model_100
  ผมเขียนซิมูเลชันบนเครื่องนั้น และมันไม่เคยล้มเหลวเลย ช่วงหลังนึกขึ้นมาได้อีกครั้ง เลยรันด้วยสคริปต์ Python 30 ล้านครั้ง ก็ยังไม่ล้มเหลวเหมือนเดิม
  พอคิดว่าจะเอาไปใช้อะไรได้บ้าง ก็คิดถึง (i) การพนัน, (ii) มายากล แต่ทั้งสองอย่างก็ดูไม่ค่อยมีอนาคตนัก
  ถ้าเป็นการพนัน อาจเดิมพัน $1000 ต่อ $10 ของอีกฝ่ายได้ แต่มันไม่ใช่ทางทำกำไรก้อนใหญ่ และถ้าพลาดหรือถูกหลอกก็อาจเสียเงินก้อนโตได้ คิดดูอีกที บางทีอาจดีกว่าถ้าจัดรูปใหม่เป็นการเดิมพันแบบทบต่อเนื่อง (parlay)
  ถ้าเป็นมายากล มันช้าเกินไป ผมเคยคิดคำพูดทำนองว่า “นักจิตศาสตร์ไม่สามารถพิสูจน์พลังหยั่งรู้ล่วงหน้าด้วยไพ่ Zener สุดเท่ได้อย่างน่าเชื่อถือ แต่ผมสร้างโปรโตคอลที่พิสูจน์ได้ทุกครั้ง!” แต่ตัดสินว่ามันยังไม่สนุกพอ การเปิดไพ่ทั้งสำรับใช้เวลา และก็ดูไม่เหมือนปาฏิหาริย์ อีกทั้งถ้าจะตัดสมมติฐานว่างที่ p=0.01 ต้องทำติดกัน 7 ครั้ง คนที่คุมเวทีเก่งกว่านี้อาจทำได้ก็ได้ แต่ผมยอมแพ้

  • นี่ทำให้ผมนึกถึงอัลกอริทึมที่ผมชอบ ในลิสต์ที่มีรายการต่างกันกี่ชนิดก็ได้ หากมี สมาชิกเสียงข้างมาก อยู่จริง จะหาได้ในเวลา O(N) และใช้พื้นที่ O(1)
    บางครั้งผมเอาอัลกอริทึมนี้ไปให้ลองอนุมานเป็นปริศนา แต่ไม่มีใครแก้ได้ ผมเองก็แก้ไม่ได้เหมือนกัน
    https://en.m.wikipedia.org/wiki/Boyer%E2%80%93Moore_majority...
  • ลำดับไพ่ที่เป็นไปได้มีมากพอ จนอาจต้องกังวลว่าต้นทางเลขสุ่มเทียมจะสำรวจพื้นที่ทั้งหมดได้ไม่ดีพอ ในกรณีนั้น ซิมูเลชันอาจทำให้เข้าใจผิดได้มาก
    ต่อให้มีเอนโทรปีพอ 30 ล้านครั้ง ก็ยังไม่พอแน่นอน

• เกณฑ์ Kelly เป็นหนึ่งในแนวคิดทฤษฎีเกมที่ผมชอบ และถูกใช้กันมากในการบริหารเงินทุนของนักพนันมืออาชีพ โดยเฉพาะผู้เล่นโป๊กเกอร์
  มันเป็นวิธีที่ดีในการทำให้เข้าใจว่าควรบริหารการเงินและเงินเดิมพันอย่างไรเพื่อเดินหน้าไปได้เรื่อย ๆ โดยหลีกเลี่ยงความเสี่ยงใหญ่เกินไปหรือการล้มละลาย แต่ในวงการนั้นก็มักถูกนำไปใช้ผิดอยู่บ่อย ๆ Kelly จัดการกับผลลัพธ์แบบทวิภาค แต่ถ้าเอาไปใช้กับสถานการณ์ที่ผลลัพธ์ไม่ใช่ทวิภาค ก็อาจได้คำตอบที่ดูเหมือนเกือบถูกแต่คลาดเคลื่อนเล็กน้อย ขึ้นอยู่กับว่ามองคณิตศาสตร์อย่างไร

  • เกณฑ์ Kelly ดูยอดเยี่ยมสำหรับการพนันหลายรูปแบบ แต่ โป๊กเกอร์ อาจเป็นข้อยกเว้น
    โป๊กเกอร์เล่นกับผู้เล่นคนอื่น ดังนั้นอรรถประโยชน์ของการกระจายชิปแบบใดแบบหนึ่งน่าจะซับซ้อนกว่าจำนวนชิปที่ถืออยู่เฉย ๆ
    ผมไม่ใช่ผู้เล่นโป๊กเกอร์
  • คำกล่าวว่า “Kelly จัดการกับผลลัพธ์แบบทวิภาค” นั้นผิด https://entropicthoughts.com/the-misunderstood-kelly-criteri...
    เกณฑ์ Kelly ขยายทั่วไปไปยังการจัดสรรที่ต่อเนื่อง พร้อมกัน และซับซ้อนได้ดี
    สิ่งที่ต้องมีมีเพียงรายการการกระทำที่เลือกได้ และ การแจกแจงความน่าจะเป็นร่วม ของผลลัพธ์ด้านความมั่งคั่งหลังจากแต่ละการกระทำเท่านั้น การกระทำอาจเป็นการกระทำเชิงประกอบที่มีผลลัพธ์ต่อเนื่องก็ได้
  • ประเด็นที่ว่าเกณฑ์ Kelly จัดการกับผลลัพธ์แบบทวิภาคนั้นถูกแล้ว และเพราะแบบนั้นจึงไม่เหมาะกับโป๊กเกอร์
    ในโป๊กเกอร์ ผลแพ้ชนะไม่ใช่ทวิภาค เพราะจำนวนเงินที่ชนะหรือแพ้ต่างกัน จึงใช้ ค่าคาดหมาย แทน หลังคำนวณค่าคาดหมายคร่าว ๆ แล้ว ก็ใช้เครื่องคำนวณความแปรปรวน เช่น https://www.primedope.com/poker-variance-calculator/ ควบคู่ไปด้วย เพื่อดูว่าในระยะยาว ตลอดจำนวนมือหนึ่ง ๆ มีแนวโน้มจะชนะบ่อยแค่ไหนและได้เงินเท่าไร
  • วิธีนี้จะใช้ได้กับการแทงสีในรูเล็ตไหม?
    ดูเหมือนจะใช้เวลาไปมากโดยไม่ได้ชนะหรือแพ้เลย

• ถ้าย่อให้เป็นตัวเลขที่จัดการง่ายกว่า เช่นสำรับที่มี ไพ่ดำ 2 ใบและไพ่แดง 2 ใบ น่าจะเป็นเดโมที่ดีกว่า
  เทิร์นที่ 1 r = b จึงไม่เดิมพัน
  เทิร์นที่ 2 เดิมพัน 1/3 กับสีที่ไม่ออกมาในเทิร์นที่ 1
  เทิร์นที่ 3 ถ้าทายผิดในเทิร์นที่ 2 จะเหลือเงินเดิมพันเพียง 2/3 แต่เพราะรู้สีของไพ่สองใบถัดไป จึงทำให้เงินเพิ่มเป็นสองเท่าทุกครั้ง และหลังเทิร์นที่ 3 จะกลายเป็น 4/3 ของเงินเดิมพันเดิม ถ้าทายถูก เงินเดิมพันจะเป็น 4/3 แต่เพราะเหลือแดงกับดำอย่างละหนึ่งใบ จึงไม่เดิมพันในเทิร์นนี้
  เทิร์นที่ 4 เพราะรู้สีของไพ่ใบสุดท้าย จึงทำให้เงินเพิ่มเป็นสองเท่า กลายเป็น 8/3 ของเงินเดิมพันเดิม
  และแบบฝึกหัดที่ทิ้งไว้ให้ผู้อ่านคือการพิสูจน์ความเหมาะที่สุด ซึ่งก็ค่อนข้าง straightforward แต่ผมไม่เชื่อว่าจะมีบทพิสูจน์สั้น ๆ

  • ใช่ แต่สำรับ 4 ใบมีเพียง จุดแตกแขนงที่ไม่ชัดแจ้ง จุดเดียวในเทิร์นที่ 3
    ดังนั้นถ้าเริ่มจากตัวอย่าง 4 ใบ แล้วแสดงแผนภาพต้นไม้ของกรณี 5 ใบและ 6 ใบ ก็จะยังเป็นตัวเลขที่จัดการง่าย และช่วยสร้างสัญชาตญาณสำหรับการอุปนัยไปสู่กรณีทั่วไปได้ดี
  • ผมตามเหตุผลทั่วไปได้ แต่ยังไม่ถึงขั้นเชื่อได้ว่าทำไมผลลัพธ์ถึงออกมาเท่ากันพอดีโดยไม่ขึ้นกับลำดับไพ่

• ในความเป็นจริง มีหลายปัจจัยที่ทำให้ การใช้ Kelly ยากขึ้น กว่าตัวอย่างของเล่น
  ขนาดเงินทุนคืออะไร? เงินสดที่ถืออยู่หรือ? มูลค่าสุทธิทั้งหมดหรือ? มูลค่าสุทธิสภาพคล่องหรือ? รายได้จากแรงงานในอนาคตหรือ?
  มีหลายปัจจัยเข้ามาเกี่ยวข้องตามขนาดเงินทุน เช่น ถ้าเงินทุนคือ $100 ต่อให้เสียหมดโดยทั่วไปก็ไม่ใช่เรื่องใหญ่ แต่ถ้าเงินทุนคือ $1 million ก็จะลังเลกว่ามากที่จะนำมันไปเสี่ยง
  ค่าคาดหมายคืออะไร? ทราบแน่ชัดหรือไม่? คงที่หรือไม่? เกมซื่อสัตย์หรือไม่?
  ต้องปรับแนวทางขนาดการเดิมพันอย่างมากตามคุณสมบัติทางสถิติของค่าคาดหมาย ในพื้นที่ที่ทำได้แค่ประมาณค่าคาดหมายและมีคนโกงจำนวนมาก เช่นโป๊กเกอร์ ต้องกำหนดขนาดเดิมพันภายใต้ความไม่แน่นอนสูง
  ใช้จำนวนเงินเดิมพันแบบใดได้บ้าง?
  ในโลกจริงไม่มีช่วงจำนวนเงินเดิมพันแบบต่อเนื่อง โดยทั่วไปทำได้แค่ จำนวนเงินแบบไม่ต่อเนื่อง เช่น ตั้งแต่ $5 ถึง $500 โดยเพิ่มทีละ $5 หรือ $25 หากเงินทุนต่ำเกินไปก็จะถูกบีบออกจากเกม และถ้าสูงเกินไปก็จะไม่สามารถเพิ่มกำไรให้สูงสุดได้อีก
  สุดท้ายแล้ว นักพนันมืออาชีพจึงมักเดิมพันแบบครึ่ง Kelly หรือหนึ่งในสี่ Kelly เพราะความซับซ้อนเหล่านี้

  • ในความเป็นจริง ไม่เพียงแต่สร้างจำนวนเงินเดิมพันแบบต่อเนื่องไม่ได้เท่านั้น แต่สิทธิในการวางเดิมพันเองก็อาจมีต้นทุนด้วย
    ในการเทรดมี สเปรดและค่าคอมมิชชัน ส่วนที่โต๊ะคาสิโนก็มีเรก

• สิ่งที่เจ๋งมากคือผลลัพธ์ ไม่มีความแปรปรวน แต่เพราะแบบนั้นจึงรู้สึกว่า ด้วยโครงสร้างพิเศษของปัญหานี้ น่าจะมีกลยุทธ์ที่ให้ผลตอบแทนคาดหวังสูงกว่านี้อยู่
  มีใครรู้ไหมว่ากลยุทธ์ Kelly เป็นกลยุทธ์ที่เหมาะที่สุดหรือเปล่า?

  • รู้สึกว่าน่าจะเป็นค่าคาดหวังที่สูงที่สุด ผมลองใช้กลยุทธ์เปิดไพ่ทั้งหมดไปจนเหลือแค่สีเดียว แล้วจากนั้นทุ่มทั้งหมดทุกครั้ง รันหนึ่งล้านครั้งได้ 9.08
    ตอนแรกผมคิดว่ากลยุทธ์เหล่านี้ต่างกันมาก แต่จริง ๆ ก็ไม่เชิง กลยุทธ์ Kelly ก็ทำเหมือนกันเมื่อเหลือแค่สีเดียว ความต่างคือกลยุทธ์นี้ไม่ทำอะไรเลยก่อนหน้านั้น
    ถึงอย่างนั้น ทั้งสองก็ดูเหมือนเป็นกรณีสุดโต่ง การทุ่มทั้งหมดเมื่อเหลือแค่สีเดียวเป็นการเล่นที่ถูกต้องเพียงแบบเดียว และสุดท้ายคำถามคือก่อนหน้านั้นจะทำอะไร การไม่ทำอะไรเลยกับ Kelly ดูเหมือนเป็นกลยุทธ์เดียวที่ดูดี
  • คำว่าเหมาะที่สุดหมายความว่าอะไร? หมายถึงยอมรับ ความเสี่ยงล้มละลาย เพื่อค่าคาดหวังที่สูงขึ้นได้หรือ?
  • ในหนังสืออ้างว่าเหมาะที่สุดสำหรับชุดกลยุทธ์ที่เรียกว่า “สมเหตุสมผล”
    อย่างไรก็ตาม เหตุผลนั้นไม่ได้ไหลลื่นเป็นธรรมชาติเหมือนบทพิสูจน์ที่แสดงว่าความแปรปรวนเป็น 0 เลยไม่ได้ใส่ไว้ ต้นฉบับเองก็ดูเหมือนจะเรียกกลยุทธ์ย่อยภายในพอร์ตโฟลิโอว่า “กลยุทธ์บริสุทธิ์” และบอกเป็นนัยถึงการพิสูจน์เชิงทฤษฎีเกม
  • ในเกมนี้ หากทำตามกฎแค่ว่า เมื่อสำรับที่เหลือเป็นสีเดียวกันทั้งหมด ต้องเดิมพันทั้งหมดที่มีลงสีนั้น ค่าคาดหวังของทุกกลยุทธ์จะเท่ากัน
  • เกณฑ์ Kelly เป็นกลยุทธ์ที่ให้ผลตอบแทนดีกว่าได้ก็เพราะโครงสร้างเฉพาะตัวของปัญหานี้พอดี

• ดูเหมือนว่าปัญหาและวิธีแก้นี้มาจาก Thomas Cover
  ผมจำตัวอย่างเฉพาะนี้ไม่ได้ แต่เคยเรียนเกณฑ์ Kelly ในคลาสที่ Thomas Cover สอน เขาเป็นหนึ่งในอาจารย์ที่ผมชอบที่สุด และการสนทนาใด ๆ กับเขาก็น่าสนใจและมีคุณค่า RIP

  • เขายังทิ้งงานวิจัยที่น่าสนใจไว้มากมายในสาขานี้ด้วย และบางส่วนในนั้นก็เป็นเนื้อหาสำคัญของหนังสือเกี่ยวกับเกณฑ์ Kelly