แอปเครื่องคิดเลข? ใครๆ ก็ทำได้ไม่ใช่เหรอ?

"แอปเครื่องคิดเลข? ใครๆ ก็ทำได้ไม่ใช่เหรอ" → ที่จริงไม่ใช่เลย

• เครื่องคิดเลขต้องแสดงผลลัพธ์ของนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ให้ถูกต้อง และเรื่องนี้ยากกว่าที่คิดมาก
• ในเครื่องคิดเลขของ iOS นั้น (10^100) + 1 − (10^100) ถูกคำนวณผิดเป็น 0
• แต่ Android แสดงผลถูกต้องเป็น 1 ซึ่งวิธีที่ทำได้นั้นเหลือเชื่อจริงๆ

Google และ Hans-J. Boehm

• Google จ้าง Hans-J. Boehm โปรแกรมเมอร์ชื่อดัง
• Boehm เป็นผู้เชี่ยวชาญที่นิยาม semantics ของตัวแปรที่ใช้ร่วมกันใน C++
• แต่ภารกิจที่เขาได้รับกลับเป็นการพัฒนาแอปเครื่องคิดเลขอย่างคาดไม่ถึง

ปัญหาของ floating-point

• ตัวเลขแบบ floating-point ไม่สามารถแทนค่าบางอย่างอย่างแม่นยำได้ เช่น 0.3 หรือ 10^100
• นั่นหมายความว่าเครื่องคิดเลขที่อิงกับ floating-point เพียงอย่างเดียวเชื่อถือไม่ได้
• หากต้องการการคำนวณที่แม่นยำ จำเป็นต้องใช้แนวทางอื่น

วิธีแก้ด้วย Bignum

• ปัญหาการคำนวณจำนวนเต็มแก้ได้ด้วย Bignum (จำนวนเต็มไม่จำกัดขนาด)
• Bignum คือชนิดข้อมูลจำนวนเต็มที่ขยายขนาดแบบไดนามิกตามหน่วยความจำที่มี
• ปัญหา (10^100) + 1 - (10^100) แก้ได้ด้วย Bignum
• แต่ยังไม่สามารถแก้ปัญหาการคำนวณเศษส่วนได้

เศษส่วนและจำนวนพีชคณิต

• เศษส่วน (ค่าอย่าง 3/4) แก้ได้โดยใช้ Bignum เก็บตัวเศษและตัวส่วน
• แต่จำนวนอตรรกยะอย่าง π หรือรากที่สองของ 2 (√2) ยังไม่สามารถแทนค่าได้
• Boehm จึงลองใช้การแทนค่าบนพื้นฐานของพหุนาม
  • ตัวอย่าง: √2 สามารถแทนได้ด้วยสมการ x² - 2 = 0
  • แต่ π ก็ยังแทนด้วยวิธีนี้ไม่ได้

จำนวนจริงเชิงสร้างสรรค์ (Constructive Real Numbers)

• Boehm ศึกษาแนวคิด "Recursive Real Arithmetic (RRA)"
• วิธีนี้คือเมื่อผู้ใช้ระบุความแม่นยำที่ต้องการ ระบบจะคำนวณค่าให้อยู่ภายในขอบเขตความแม่นยำนั้น
• ตัวอย่าง: หากต้องการแทนค่า π ภายในความคลาดเคลื่อน 0.01 ระบบจะคืนค่า 3.14
• แต่แนวทางนี้ทำให้การเปรียบเทียบค่าอย่างแม่นยำเป็นเรื่องยาก

ปัญหาการแทนค่า 0 ที่แน่นอน

• วิธีแบบ RRA อาจแทน 1 - 1 ไม่ใช่เป็น 0 แต่เป็น 0.0000000001
• ซึ่งเป็นปัญหาในมุมมองประสบการณ์ผู้ใช้ (UX)
• Boehm จึงเริ่มร่วมมือกับนักวิจัยคนอื่นเพื่อหาทางแก้

อัลกอริทึม Richardson-Fitch

• ในปี 1994 Dan Richardson และ John Fitch แก้ปัญหาการเปรียบเทียบตัวเลขในชุดปฏิบัติการบางประเภทได้
• แต่อัลกอริทึมนี้ช้าเกินไปจนใช้งานจริงไม่ได้
• ตัวอย่างเช่น การตัดสินว่า 1 ≠ 1 - e^(-e^1000) ต้องใช้การคำนวณมากกว่าจำนวนอะตอมทั้งหมดในจักรวาล

การผสาน RRA กับการคำนวณจำนวนตรรกยะ

• Boehm เกิดไอเดียที่จะรวมข้อดีของ RRA และการคำนวณจำนวนตรรกยะเข้าด้วยกัน
• การคำนวณแบบง่าย (เช่น 6 × 9 หรือ 8 / 3) ใช้การคำนวณจำนวนตรรกยะ
• จะใช้ RRA เฉพาะเมื่อมีจำนวนอตรรกยะเข้ามาเกี่ยวข้อง
• สุดท้ายจึงแทนตัวเลขในรูป จำนวนตรรกยะ × จำนวนจริง

การแทนค่าเชิงสัญลักษณ์ (Symbolic Representation)

• ตัวเลขพิเศษอย่าง π และ √2 ใช้การแทนค่าเชิงสัญลักษณ์แทน RRA
• ตัวอย่าง: π ถูกเก็บเป็นสัญลักษณ์ "π" และจะแปลงเป็นตัวเลขเมื่อจำเป็นเท่านั้น
• ไม่ใช่แค่การบวก ลบ คูณ หารเท่านั้น แต่ยังรวมถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติ (sin, cos, tan), ลอการิทึม และฟังก์ชันเลขยกกำลังที่ใช้การแทนค่าเชิงสัญลักษณ์ด้วย

วิธีแก้สุดท้าย

• ตัวเลขทั้งหมดถูกเก็บในรูป จำนวนตรรกยะ × จำนวนจริง (การแทนค่าเชิงสัญลักษณ์หรือ RRA)
• ใช้การคำนวณจำนวนตรรกยะเมื่อทำได้เพื่อรักษาความแม่นยำ
• ใช้การแทนค่าเชิงสัญลักษณ์ให้มากที่สุดเพื่อลดการคำนวณแบบ RRA
• ผลลัพธ์คือระบบเครื่องคิดเลขที่สมบูรณ์แบบ ซึ่งสร้างสมดุลระหว่างความเร็วและความแม่นยำได้

บทสรุป

• เครื่องคิดเลข Android ที่ Boehm และทีมของเขาสร้างขึ้นไม่ใช่โปรแกรมธรรมดา
• มันใช้อัลกอริทึมที่รวดเร็วและมีประสิทธิภาพ พร้อมให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง
• มันไม่ใช่ "ก็แค่แอปเครื่องคิดเลข" แต่เป็นระบบที่ประณีตลึกซึ้งในเชิงคณิตศาสตร์

"ครั้งหน้าที่คุณใช้เครื่องคิดเลข Android ลองนึกถึงความพยายามนี้ดู!"

[street62]

พูดนอกเรื่องนิดหนึ่ง แต่ก็น่าสนใจที่ AI อย่าง neo แปลออกมาเป็น "ก็ทำได้กันทุกคนไม่ใช่เหรอ" ต้นฉบับคือ "Anyone could make that" ซึ่งจริง ๆ ไม่ได้มีน้ำเสียงขี้เล่นแบบนั้นนะ 555 แต่กลับเข้ากันได้ดีมากเลย

[gurugio]

ตอนที่ผมยังเป็นนักศึกษาปริญญาตรี มีวิชาหนึ่งที่ให้บัดกรีบอร์ด 8086 ด้วยมือเอง แล้วต่อแป้นตัวเลขกับ Text LCD จากนั้นก็ต้องทำเครื่องคิดเลขด้วยภาษาแอสเซมบลีของ 8086 ขึ้นมาเครื่องหนึ่ง (ที่ทำได้แค่สี่การคำนวณพื้นฐาน)
ผมทำบอร์ดเสร็จ ต่อคีย์แพดกับ LCD จนใช้งานได้แล้ว แต่ทำเครื่องคิดเลขไม่สำเร็จ
ตอนนั้นผมเลยคิดว่าตัวเองคงไม่มีพรสวรรค์ด้านซอฟต์แวร์ ก็เลยไปหางานเป็นวิศวกรฮาร์ดแวร์ แต่สุดท้ายก็กลายมาเป็นนักพัฒนาซอฟต์แวร์อยู่ดี
เครื่องคิดเลขนี่ ยากจริง ๆ ครับ

[yunsub2]

น่าจะเป็น 거자나 -> 거잖아 ครับ/ค่ะ 😃

[carnoxen]

จะปรับเลขทศนิยมลอยตัวยุ่งหัวเอาเรื่องเลยนะ? 555555

[tribela]

พอพูดถึงแอปเครื่องคิดเลข ผมก็นึกถึงเครื่องคิดเลขพื้นฐานของ Windows เลยครับ ถ้าคำนวณ 2+2*2 จะได้ 8 ไม่ใช่ 6 เหมือนเขาตั้งใจทำให้เป็นแบบนี้ แต่ผมก็ไม่เข้าใจเอาเสียเลย เพราะเมื่อก่อนผมเคยคำนวณปริมาณแอลกอฮอล์ในค็อกเทล แล้วผลออกมาว่าปริมาณแอลกอฮอล์มากกว่าปริมาณเครื่องดื่มทั้งหมดเสียอีก เลยตกใจมาก

[khrad]

แอปเครื่องคิดเลขเหรอ? ใคร ๆ ก็ทำได้ไม่ใช่เหรอ?

มันเป็นการทำงานแบบเครื่องคิดเลขอิเล็กทรอนิกส์ทั่วไปที่ทุกครั้งที่กดตัวดำเนินการ ระบบจะคำนวณสมการก่อนหน้าทันที หรือว่าคุณเคยใช้แต่เครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์?

[ned0909]

เห็นด้วยอย่างยิ่งครับ เริ่มทำเครื่องคิดเลขเพราะคิดว่าดีตรงไม่ต้องมีเซิร์ฟเวอร์ แต่กลับต้องเหนื่อยมากกับการไล่แก้ข้อผิดพลาดในการคำนวณและบั๊กที่โผล่ออกมาไม่หยุด

[ganadist]

ภาพรวมการติดตั้งใช้งานในซอร์สโค้ด

คำอธิบายตรรกะการคำนวณของเครื่องคิดเลขในซอร์สโค้ด

โค้ดสำหรับจัดการจำนวนเต็ม

โค้ดสำหรับจัดการจำนวนจริง

[aer0700]

"แอปเครื่องคิดเลข? ใคร ๆ ก็ทำได้อยู่แล้วไม่ใช่เหรอ" → จริง ๆ แล้วไม่ใช่
ดูเหมือนว่าจะเอาไปประยุกต์ใช้ต่อได้อีกไม่รู้จบเลยนะ 555

"Python? ง่ายจะตายไม่ใช่เหรอ" → จริง ๆ แล้วไม่ใช่

[tsboard]

ผมก็คิดเหมือนกันตอนดูอยู่ครับ 555

"JavaScript เหรอ? ชิลมาก" → ที่จริงไม่ใช่

[joyfui]

"(10^100)+1−(10^100)"
โอ้ จริงด้วย เครื่องคิดเลขบน iPhone แสดงเป็น 0 ส่วนเครื่องคิดเลขบน Android แสดงเป็น 1
แต่พอค้นหาใน Google กลับแสดงเป็น 0 แฮะ...

[GN⁺]

ความคิดเห็นจาก Hacker News

• เป็นเรื่องที่น่าสนใจ วิธีที่ทรงพลังกว่าในการแทนตัวเลขคือการใช้เศษส่วนต่อเนื่อง ซึ่งสามารถแทนจำนวนจริงและจำนวนตรรกยะได้อย่างมีประสิทธิภาพ
  • เกร็ดน่าสนใจคือ ตามหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ที่ไม่ได้เก่ามาก มีความเป็นไปได้สูงว่าอัลกอริทึมสำหรับการบวก/คูณของเศษส่วนต่อเนื่องอาจไม่มีอยู่จริง แต่ในปี 1972 Bill Gosper ได้พิสูจน์ว่าเศษส่วนต่อเนื่องเหมาะกับการคำนวณเลขคณิตอย่างสมบูรณ์แบบ
  • ฉันกำลังพัฒนาไลบรารี Python ชื่อ reals อยู่ ไลบรารีนี้ถูกออกแบบมาเพื่อใช้แทนชนิด Decimal หรือ Fraction โดยจัดการเศษส่วนต่อเนื่องด้วยเทคนิคของ Bill Gosper
• น่าเสียดายที่ลิงก์ถูกย่อจนกดไม่ได้ นี่คือลิงก์จริงไปยังบทความ
• แค่อ่านชื่อเรื่องก็หลุดขำแล้ว IEEE 754 แย่มาก แต่ก็ยังดีกว่าทางเลือกอื่นทั้งหมด พอเห็นตัวอย่างก็คิดทันทีว่าน่าจะเป็น Kahan summation หรือไม่ก็ระบบพีชคณิตเชิงคอมพิวเตอร์เต็มรูปแบบ ไม่เคยได้ยิน Recursive Real Arithmetic มาก่อน
  • ทำให้ได้มุมมองเกี่ยวกับหนึ่งในฮีโร่ยุคแรกของ C++ และเตือนใจว่าสิ่งที่ดูเรียบง่ายนั้นลึกซึ้งได้แค่ไหน
• ค่าโดยสารรถไฟใต้ดิน NYC คือ $2.90 ตอนใช้ PCalc บน iOS คำนวณยอดคงเหลือใน MetroCard ที่เหลือ กลับได้ค่า -8.881784197E-16 แทนที่จะเป็น 0 เรื่องแบบนี้ไม่เกิดเวลาฉันใช้เครื่องคิดเลขของ Apple
  • ฉันติดต่อผู้พัฒนาแล้วได้รับคำตอบว่า Apple ใช้ไลบรารีคณิตศาสตร์ของตัวเอง และพวกเขาจำเป็นต้องหาไลบรารีอื่นมาแทน
• แทบไม่มีใครสร้างแอปเครื่องคิดเลขแบบสมบูรณ์จริง ๆ หมายถึงเครื่องคิดเลขเต็มรูปแบบอย่าง TI-89
  • ฉันใช้โปรแกรมจำลองเครื่องคิดเลข TI-89 บน Android อยู่ มันมีฟังก์ชันไม่ถึงครึ่งของแอป Android ทั่วไป และยังทำงานได้ไม่ค่อยดี
• ข้อเสียของการเปลี่ยนไปใช้ RRA ไม่ได้มีแค่ประสบการณ์ผู้ใช้เท่านั้น เมื่อผลลัพธ์เป็น 0.0000000... เครื่องคิดเลขจะไม่สามารถตัดสินใจได้ว่าสามารถคำนวณค่ากลับกันของจำนวนนั้นได้หรือไม่
  • ตัวอย่างเช่น 1/(atan(1/5)-atan(1/239)-pi/4) จะแสดงว่า "คำนวณไม่ได้" และแม้จะลอง 1/(atan(1/5)-atan(1/239)-pi/4+10^(-100000)) ก็ยังแสดงว่า "คำนวณไม่ได้" อยู่ดี
• แทบทุกจำนวนไม่สามารถแทนได้ด้วย IEEE floating point และมีโอกาสเกือบ 100% ที่จำนวนสุ่มหนึ่งจำนวนจะอธิบายได้ไม่ได้ในเชิงทฤษฎี
  • ปัญหาบางอย่างหลีกเลี่ยงได้ด้วยการใช้ bignums ความวิตกเชิงภาวะตัวตนชั่วขณะจึงคลี่คลายลง
• มีใครรู้บ้างว่าเครื่องคิดเลข TI ระดับสูงอย่าง TI-92 ใช้ระบบนี้หรือเปล่า? มันมีโหมด "จำนวนตรรกยะ" และอาจใช้ RRA ก็ได้
• วิธีใช้ "recursive real arithmetic" (RRA) ทำให้นึกถึงบทสนทนาดี ๆ กับ Conal Elliot เกี่ยวกับการเปลี่ยนจากการแทนสิ่งต่าง ๆ แบบไม่ต่อเนื่องไปเป็นแบบต่อเนื่อง
  • ตัวอย่างเช่น เมื่อก่อนเราแทนฟอนต์เป็นบล็อกพิกเซล แต่ตอนนี้มองเป็นเส้น/เวกเตอร์ วิทยาการคอมพิวเตอร์ไม่ควรเป็นแค่การเรียนรู้เครื่องมือเชิงพาณิชย์ล่าสุดเท่านั้น แต่ควรเป็นการแสวงหาความจริงด้วย
• ฉันเคยลองเล่นกับซอร์สโค้ดเครื่องคิดเลขของ Android Open Source Project แล้ว Google ย้ายมันไปไว้ใน Google Play Services แต่ซอร์สเก่ายังหาใช้ได้อยู่
  • มันแก้ปัญหาจริงได้บางอย่าง และหวังว่าจะใช้ได้จากในไลบรารี มีการพูดถึงไลบรารีบางตัวไว้ในบทความก่อนหน้า