กริดตัวต้านทานอนันต์

• ในกริดสี่เหลี่ยมจัตุรัสอนันต์ที่โหนดข้างเคียงทุกคู่เชื่อมต่อกันด้วยตัวต้านทาน R ความต้านทานสมมูลระหว่างโหนดข้างเคียงสองจุดจะเป็น R/2 จากสมมาตรและการซ้อนทับ
• การคำนวณนี้อาศัยการบวกสนามที่ป้อนกระแสเข้าโหนดหนึ่งกับสนามที่ดึงกระแสออกจากโหนดข้างเคียง และใช้ สมการลาปลาซแบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งแรงดันที่แต่ละโหนดเท่ากับค่าเฉลี่ยของแรงดันที่โหนดรอบข้างทั้งสี่
• แต่คำอธิบายว่า “กระแสไหลออกไปสู่อนันต์” นั้นไม่เคร่งครัดนัก และความต้านทานจากโหนดหนึ่งไปถึงอนันต์จะแตกต่างแบบ อนุกรมฮาร์มอนิกคี่ ซึ่งลู่ออก
• ดังนั้นหากต้องการกำหนดคำตอบให้แน่นอน จำเป็นต้องมี เงื่อนไขขอบเขตเชิงอสมการ เช่น ลิมิตของกริดขนาดจำกัดที่ใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ และในกริดอนันต์จริงที่ไม่มีเงื่อนไขดังกล่าว คำตอบอาจไม่เป็นเอกฐาน
• ความต้านทานระหว่างสองโหนดทั่วไปคำนวณได้จากการซ้อนทับของสมการผลต่างและอนุกรมฟูเรียร์ โดยสำหรับตัวต้านทานหน่วย ความต้านทานของโหนดแนวทแยงที่อยู่ติดกันคือ 2/π

---

การคำนวณแบบสมมาตรเพื่อหาความต้านทานของโหนดข้างเคียง

• สมมติว่ามีตัวต้านทาน R อยู่ระหว่างทุกคู่ของโหนดข้างเคียงในกริดสี่เหลี่ยมจัตุรัส และกริดทอดยาวออกไปไม่สิ้นสุดในทุกทิศทาง
• คำถามสำคัญคือจะหาค่า ความต้านทานสมมูล ระหว่างโหนดข้างเคียงสองจุด หรือโดยทั่วไปคือระหว่างโหนดใด ๆ สองจุดในกริดได้อย่างไร
• วิธีมาตรฐานสำหรับโหนดข้างเคียงคือแบ่งสนามกระแสออกเป็นสองส่วนแล้วนำมาบวกกัน
  • กริดที่ป้อนกระแสเข้าโหนดหนึ่ง
  • กริดที่ดึงกระแสขนาดเท่ากันออกจากอีกโหนดข้างเคียงหนึ่ง
• แรงดันที่แต่ละโหนดเป็นไปตาม สมการลาปลาซแบบไม่ต่อเนื่อง ซึ่งเท่ากับค่าเฉลี่ยของแรงดันที่โหนดรอบข้างทั้งสี่ และเพราะระบบเป็นเชิงเส้นจึงสามารถซ้อนทับคำตอบได้
• ตัวอย่างเช่น ถ้าป้อนกระแส 4A เข้าโหนดหนึ่ง ด้วยสมมาตรสามารถมองได้ว่ามีกระแส 1A ไหลผ่านตัวต้านทานในแต่ละทิศจากสี่ทิศ
• เมื่อนำสนามกระแสที่ดึง 4A ออกจากโหนดข้างเคียงมาบวกเข้าไป ลิงก์ที่เชื่อมสองโหนดโดยตรงจะมีกระแสรวมไหล 2A
• เส้นทางอื่น ๆ ในกริดนอกเหนือจากลิงก์ตรงก็ช่วยแบกรับกระแสเดียวกันโดยแบ่งกันไหล ทำให้ความต้านทานสมมูลของลิงก์ตรงเท่ากับความต้านทานสมมูลของกริดส่วนที่เหลือ
• เนื่องจากลิงก์ตรงกับกริดส่วนที่เหลืออยู่แบบขนานกัน ความต้านทานสมมูลรวมจึงเป็น R/2

กับดักที่เกิดจากเงื่อนไขขอบเขตที่อนันต์

• เหตุผลแบบสมมาตรนั้นเข้าใจง่ายและวิธีอื่นก็ให้คำตอบเดียวกัน แต่ไม่ได้จัดการอย่างชัดเจนว่ากระแสที่ป้อนเข้าโหนดหนึ่งจะไหลไปที่ใดในกริดอนันต์
• คำอธิบายว่า “ต่อลงกราวด์ที่อนันต์” เพียงอย่างเดียวยังไม่เพียงพอ
  • หากพิจารณาเส้นทางสี่เหลี่ยมร่วมศูนย์กลางที่ล้อมรอบโหนดกลาง จำนวนลิงก์จะเพิ่มเป็น 4, 12, 20, 28, … เมื่อออกไปด้านนอก
  • ดังนั้นความต้านทานรวมไปจนถึงอนันต์จะมีรูปโดยประมาณเป็น อนุกรมฮาร์มอนิกคี่ และลู่ออก
• หากต้องการให้กระแสไหลจากโหนดหนึ่งไปถึงอนันต์ จะต้องมี แรงดันอนันต์ ระหว่างโหนดนั้นกับ “อนันต์”
• วิธีที่เคร่งครัดกว่าคือเริ่มจากกริดขนาดจำกัดที่มีขนาดใหญ่มากก่อน แล้วตรวจสอบว่าผลลัพธ์เข้าใกล้ค่าที่ต้องการหรือไม่เมื่อเพิ่มขนาดกริดไปเรื่อย ๆ
• ขอบเขตของกริดจำกัดที่มีโหนดกระแสบวกเป็นศูนย์กลางและกริดจำกัดที่มีโหนดกระแสลบเป็นศูนย์กลาง ต้องลู่เข้าไปยังเงื่อนไขขอบเขตที่สอดคล้องกัน และในกรณีนั้นกระแสสุทธิที่ไหลสู่อนันต์ต้องเป็น 0
• มีการอภิปรายที่เกี่ยวข้องในบันทึกอื่น และกริดอนันต์จริงจะยังคง ไม่กำหนดแน่ชัด หากไม่มีเงื่อนไขขอบเขตเชิงอสมการ

การทำให้เป็นอุดมคติทางฟิสิกส์และความไม่กำหนดของคำตอบ

• สมมติฐานที่ว่าสนามกระแสของกริดอนันต์ได้ก่อตัวสมบูรณ์ไปจนถึงอนันต์แล้วนั้น ไม่สามารถสร้างขึ้นได้ด้วยกระบวนการทางฟิสิกส์จริงภายในเวลาจำกัด
• กริดในปัญหานี้ถือว่ามีเพียงตัวต้านทานอุดมคติ ไม่มีความจุไฟฟ้าหรือความเหนี่ยวนำ จึงไม่ได้พิจารณาพลวัตของวงจร
• หากผลักการทำให้เป็นอุดมคตินี้ไปจนสุด ก็จะได้ข้อสรุปในทำนองที่ว่าสนามกระแสสามารถก่อตัวไปถึงอนันต์ได้ทันที ซึ่งไม่สอดคล้องกับ ความเร็วการแพร่กระจายที่มีขีดจำกัด ของวงจรจริง
• วงจรจริงทุกวงจรมีทั้งความจุไฟฟ้าและความเหนี่ยวนำ ดังนั้นความเร็วการแพร่กระจายจึงไม่อาจเป็นอนันต์ได้
• เหตุที่เรารู้สึกว่าคำตอบควรถูกกำหนดได้ค่าเดียว เป็นเพราะโดยนัยเราได้ใส่ พฤติกรรมเชิงอสมการ ที่สมเหตุสมผลทางกายภาพ เช่น ลิมิตของกริดขนาดจำกัดที่ใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ ซึ่งมีแหล่งกำเนิดเฉพาะที่

การทำให้ทั่วไปด้วยสมการผลต่าง

• ความต้านทานระหว่างสองโหนดทั่วไปมากกว่านี้หาได้โดยการซ้อนทับคำตอบของ สมการผลต่าง พื้นฐาน
• ในกริดหนึ่งมิติที่มีตัวต้านทานหน่วย หากดึงกระแส 1A ออกจากจุดกำเนิดและกำหนดให้กระแสสุทธิที่โหนดอื่นเป็น 0 คำตอบของแรงดันจะแปรผันตามค่าสัมบูรณ์ของระยะทาง
• ผลคือในหนึ่งมิติ ความต้านทานสมมูลระหว่างสองโหนดที่ห่างกันเท่ากับตัวต้านทานจำนวน k ตัว จะเป็น kR ตามที่คาดไว้
• ในกริดสองมิติ กระแสสุทธิที่โหนด (m,n) แสดงได้จากผลต่างของแรงดันกับเพื่อนบ้านทั้งสี่ และโหนดที่มีกระแสสุทธิเป็น 0 จะต้องเป็นไปตามสมการผลต่างสองมิติ
• คำตอบสามารถสร้างได้จากการซ้อนทับพจน์ในรูป μ^m ν^n และมีสมการลักษณะเฉพาะที่เชื่อม μ กับ ν
• หากกำหนด μ = exp(iα), ν = exp(iβ) ก็สามารถสร้างคำตอบแบบฟูเรียร์โดยการซ้อนทับเชิงอินทิกรัลได้
• เพื่อสร้างคำตอบที่ดึงกระแส 1A ออกจากจุดกำเนิด สามารถใช้ค่าสัมบูรณ์ของดัชนีได้ ซึ่งทำให้ใกล้จุดกำเนิดมี V(1,0) = 1/4 และสอดคล้องกับความต้านทานของโหนดข้างเคียง 1/2Ω
• เพื่อตัดกระแสที่ไม่ต้องการบนแนวแกนออก จึงนำคำตอบหลายตัวมาอินทิเกรตตาม α และกำหนดฟังก์ชันถ่วงน้ำหนักด้วยอนุกรมฟูเรียร์

สูตรความต้านทานของโหนดแนวทแยงและโหนดทั่วไป

• ความต้านทานระหว่างจุดกำเนิดกับ (m,n) เขียนได้เป็นสองเท่าของผลต่างศักย์อ้างอิงจากจุดกำเนิด และจัดรูปเป็นนิพจน์เชิงอินทิกรัลได้
• สำหรับโหนด (1,1) ที่อยู่ห่างออกไปหนึ่งช่องตามแนวทแยง ความต้านทานเมื่อใช้ตัวต้านทานหน่วยคือ 2/π
• ผลลัพธ์นี้สามารถหาได้ด้วยพีชคณิตล้วนโดยไม่ต้องใช้อ อนุกรมฟูเรียร์เช่นกัน และมีรายละเอียดในบันทึกแยกต่างหาก
• เมื่อทราบความต้านทานของโหนดข้างเคียง 1/2 และของโหนดข้างเคียงแนวทแยง 2/π แล้ว ก็สามารถคำนวณความต้านทานของโหนดรอบ ๆ อีกหลายตำแหน่งได้ด้วยสมการผลต่างพื้นฐานเพียงอย่างเดียว
• สูตรทั่วไปสามารถทำให้ง่ายลงได้โดยเขียน cos(mα) เป็นตรีโกณพหุนามของ s = cos(α)
• หากสนใจเฉพาะทิศตามแกน R(0,n) จะสามารถลดรูปอินทิกรัลลงได้อีก และใช้การแทนตัวแปรเพื่อคำนวณค่าหลาย ๆ ค่าได้
• การแทนตัวแปรอีกแบบหนึ่งคือให้ α = r+s, β = r-s แล้วใช ้ความสัมพันธ์ cos(r)cos(s)=1 เพื่อเขียนอินทิกรัลใหม่
• ความต้านทานของโหนดแนวทแยง (m,m) เมื่อใช้ตัวต้านทานหน่วย จะเขียนได้เป็นค่า 2/π คูณกับ 1 + 1/3 + ... + 1/(2m-1)
• ความต้านทานของโหนดที่เหลือสามารถคำนวณต่อได้จากความสัมพันธ์เวียนเกิดพื้นฐาน

[GN⁺]

ความคิดเห็นบน Hacker News

• จากมุมมองของคนที่เป็นทั้งนักคณิตศาสตร์และวิศวกรไฟฟ้า วิศวกรไฟฟ้าจะบอกว่าถ้าไม่ปล่อยกระแสก็วัดไม่ได้ และแม้หลังจากปล่อยกระแสแล้ว ก็ยังต้องถามว่า “จะวัดเมื่อไหร่” เพราะมี อินดักแตนซ์และคาปาซิแตนซ์แบบกระจายตัว รวมถึงความเร็วการแพร่ของสนาม
  นักคณิตศาสตร์ได้ยินแบบนั้นแล้วก็ต้องไปบาร์ดื่มเหล้าแรงๆ

  • สุดท้ายก็ต้องเรียกนักฟิสิกส์มาด้วย และนักฟิสิกส์จะบอกว่าเมื่อระยะไกลพอ ผลเชิงควอนตัม จะครอบงำ
    เพราะเมื่อไกลพอ จำนวนอิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ต่อวินาทีที่บางโหนด หรือก็คือการไหลของกระแส จะเป็น 0 หรือ 1 ตัว
  • ช่างไฟฟ้ารู้ว่าแค่ กริด 10x10 บนโต๊ะทำงานก็ให้คำตอบระดับ 99% ได้แล้ว
    จากนั้นวิศวกรก็แค่เพิ่มตัวต้านทานรอบนอกไปเรื่อยๆ จนกว่าเงินทุนวิจัยจะหมด หรือนักฟิสิกส์ใกล้ถึงเส้นตายส่งเปเปอร์
    คำถามที่ยากจริงๆ คือ ในแต่ละระยะ จะยอมให้มีความผิดพลาดจากการบัดกรีในกริดได้กี่เปอร์เซ็นต์ โดยที่มิเตอร์ Fluke คร่อมสี่เหลี่ยมกลางยังตรวจพบความเสียหายได้
    เคยได้ยินเรื่องการตรวจจับรอยร้าวระยะไกลในโครงสร้างนำไฟฟ้า เช่น ตัวเรือดำน้ำคาร์บอนไฟเบอร์ ด้วยการเปลี่ยนแปลงความต้านทานเฉพาะจุด ดังนั้นนี่อาจเป็นปัญหาที่มีความหมายจริงๆ ก็ได้
  • ผมมองว่าแผนผังวงจรมีการตีความได้สองแบบ
    แบบหนึ่งคือชิ้นส่วนในแผนผังแทนวัตถุทางกายภาพ ซึ่งตัวต้านทานก็จะมีอินดักแตนซ์เล็กน้อย ความไม่เป็นเชิงเส้น คาปาซิแตนซ์ต่อระนาบกราวด์ ฯลฯ แผนผังวงจรเวลาใช้เครื่องมืออย่าง OrCad มักมีความหมายแบบนี้
    อีกแบบคือมองว่าตัวต้านทานเป็นองค์ประกอบในอุดมคติตาม กฎของโอห์ม และสายไฟไม่มีทั้งอินดักแตนซ์ ความหน่วงการแพร่ หรือความต้านทาน การเอาสายไฟไปต่อคร่อมแหล่งจ่ายแรงดันก็จะคล้ายกับการหารด้วยศูนย์
    บางครั้งเราย้ายการตีความแบบแรกไปเป็นแบบที่สอง โดยเพิ่มตัวต้านทานและตัวเหนี่ยวนำ ฯลฯ อย่างชัดเจนเพื่อจำลองพฤติกรรมของสายไฟจริง ถ้าไม่ทำเอง SPICE ก็อาจทำแทนให้
    กริดตัวต้านทานอนันต์มีอยู่ได้เฉพาะในการตีความแบบที่สองเท่านั้น
  • แค่รอเป็น เวลาอนันต์ จนกว่าการตอบสนองชั่วครู่ทั้งหมดจะหายไปก็พอ
    จากนั้นกริดจะเข้าสู่สภาวะคงตัว และกลายเป็นสิ่งจริงตามแผนผังวงจร

• อาจคิดได้ง่ายๆ ว่าไม่เกี่ยวกับปัญหาในโลกจริง แต่จริงๆ แล้วเกี่ยวข้อง เพียงแต่การคำนวณเองไม่ได้มีประโยชน์ทั้งหมด
  ถ้ามองจากจุดเฉพาะที่ในวงจรรวม ความต้านทานของซับสเตรตซิลิคอน แทบจะคล้ายกริดตัวต้านทานหน่วยขนาดอนันต์
  ซับสเตรตซิลิคอนมักเป็นชนิด p ที่โดปอย่างแรง และข้อมูลที่ได้จากฟาวน์ดรีมักมีแค่ค่าความต้านทานจำเพาะ ซึ่งโดยมากอยู่ระหว่าง 1~100Ω·cm ในโหนดกระบวนการล้ำสมัยมักเป็น 10Ω·cm
  ถ้าต้องการกะภาพการคัปปลิงสัญญาณรบกวนผ่านซับสเตรต ไม่ควรคำนวณแค่ความต้านทานระหว่างจุด A กับ B แต่ควรคิดเป็นกริด และยังต้องกระจายวาง กริดหน้าสัมผัสซับสเตรต เพื่อรวบรวมกระแสรบกวนด้วย สุดท้ายกริดก็กลับมาอีกครั้ง

  • กรณีที่อธิบายตรงนี้กลับเป็น คอนตินิวอัม จึงคิดว่าทางคณิตศาสตร์ง่ายกว่า
  • หน่วยของความต้านทานจำเพาะไม่ใช่ ohm/cm แต่เป็น ohm * cm ผมเคยทำงานที่ Fairchild เมื่อนานมาแล้ว

• ในเชิงการศึกษา ผมคิดว่าถามหา ความต้านทานสมมูล ระหว่างมุมยอดตรงข้ามกันของลูกบาศก์ที่ทำจากตัวต้านทาน 1Ω จะมีประโยชน์กว่ามาก
  ช่วยสร้างสัญชาตญาณเรื่องสมมาตรของวงจร กฎกระแสของเคอร์ชอฟฟ์ และอื่นๆ
  กริดอนันต์ดูเหมือนจะแก้ได้ในวิชาวงจรเบื้องต้น แต่จริงๆ แล้วใกล้กับปัญหาคณิตศาสตร์ที่ยากเกินไปมากกว่า

• นี่แหละเป็นโจทย์ที่ผมเกลียดตอนเรียนปริญญาวิศวกรรมไฟฟ้า
  เป็นการทดลองทางความคิดที่พวกอาจารย์ชอบกันมาก

  • เคยเห็นแค่ครั้งเดียว เป็นข้อแรกจาก 4 ข้อในข้อสอบปลายภาคของวิชาปูพื้นฐานวิศวกรรมไฟฟ้าครั้งแรก
    ในชั้นเรียนเคยเรียนโครงข่ายตัวต้านทานแบบบันไดอนันต์ แต่ตอนนั้นการนำความรู้นั้นมาใช้กับโจทย์นี้รู้สึกเหมือนเป็นการกระโดดที่ค่อนข้างใหญ่

• ส่วนที่ผมไม่เข้าใจในวิธีแก้แบบอาศัยสมมาตรง่ายๆ คือสมมติฐานที่ว่า “ถ้ายอมรับว่าสามารถพิจารณาสนามกระแสของโหนดบวกและโหนดลบแยกกันได้”
  ผมสงสัยว่าทำไมกระแสของคำตอบแบบสองโหนด หรือคำตอบที่ไม่สมมาตร จึงกลายเป็นผลบวกง่ายๆ ของคำตอบแบบโหนดเดี่ยวสองชุด หรือคำตอบที่สมมาตรได้
  แน่นอนว่าคำตอบแบบสองโหนดก็มีสมมาตรบางส่วน แต่ไม่ใช่สมมาตรดั้งเดิมที่ทำให้เราสรุปได้ว่ากระแสทุกทิศทางเท่ากัน

  • สมการของแมกซ์เวลล์ เป็นเชิงเส้นต่อสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก ดังนั้นจึงสามารถบวกและลบสนามกับศักย์ได้
    เป็นตรรกะเดียวกับเหตุผลที่การแทรกสอดหรือกริดเชิงแสงทำงานได้

• มีสิ่งหนึ่งที่ผมไม่เข้าใจในคำอธิบายเรื่องสมมาตรและ หลักการซ้อนทับ
  ไม่เข้าใจว่าโหนดข้างเคียงทำไมเป็น alpha-beta-alpha ไม่ใช่ alpha-alpha-alpha กล่าวคือสงสัยว่าทำไมจึงแยกแยะทิศทางเดียว และถือว่าสองทิศทางที่เหลือเหมือนกัน

  • ตอนแรกให้สมมติว่าทั้งหมดอาจต่างกัน แล้วแทนกระแสเป็น i_1 ถึง i_12 ก็ได้
    แต่โจทย์มีสมมาตรตามแกนตั้ง จึงพลิกรูปได้ และกระแสที่ผ่านเส้นทางหลังพลิกต้องเท่ากับก่อนพลิก ดังนั้นก็จดไว้ได้ว่า i ตัวไหนเท่ากันบ้าง
    ทำแบบเดียวกันกับแกนนอน และทำแบบเดียวกันกับสมมาตรการหมุน 90 องศา
    สุดท้ายจะมี i หลายตัวที่เท่ากัน และสามารถจัดพวกมันเป็นสองกลุ่มที่แยกกันได้ เรียกกลุ่มนั้นว่า alpha กับ beta ก็พอ
    มองอีกแบบคือ ด้วยการดำเนินการสมมาตรที่กำหนดให้เท่านั้น เราไม่สามารถย้ายจาก alpha หนึ่งไปยัง beta ได้ ต่างจากการย้ายระหว่าง alpha ด้วยกันหรือ beta ด้วยกันที่ทำได้

• ตอนเรียนปริญญาตรีฟิสิกส์ เคยทำโปรเจกต์ทีมทดลอง ทฤษฎีเพอร์โคเลชัน
  เราสร้างกริดหลายแบบด้วยหมึกนำไฟฟ้า แต่เว้นลิงก์จำนวนหนึ่ง หรือก็คือเส้นเชื่อมของกราฟ ให้หายไป
  การทำหมึกนำไฟฟ้าที่ไหลสม่ำเสมอเป็นเรื่องยาก และผมเขียนซอฟต์แวร์สำหรับ XY plotter ทั้งหมด เพื่อส่งคำสั่งให้วาดกริดสี่เหลี่ยมผืนผ้าและกริดสามเหลี่ยม
  จากนั้นก็วัดความต้านทานจากด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่ง

• คณิตศาสตร์ผมไม่แข็งพอจะตามทั้งบทความได้ แต่ในฐานะคนทำงานอิเล็กทรอนิกส์ สัญชาตญาณของผมคือเมื่อระบบที่ถูกควอนไทซ์มีปฏิสัมพันธ์กับอนันต์ อนันต์นั้นจะถูกจำกัดโดยขนาดขององค์ประกอบที่ถูกควอนไทซ์
  ประจุถูกควอนไทซ์อยู่แล้ว โหนดหนึ่งไม่อาจมีอิเล็กตรอนน้อยกว่าหนึ่งตัวผ่านไปได้ ดังนั้นผมรู้สึกว่า กริดตัวต้านทานอนันต์ ทำงานเหมือนกริดตัวต้านทานจำกัดขนาด ที่ขนาดเปลี่ยนไปตามปริมาณประจุที่ใส่เข้าไปในระบบ

  • ตอนแรกผมก็คิดแบบนั้น แต่พอคิดใหม่แล้วรู้สึกว่าผิด
    อิเล็กตรอนก็เป็นคลื่นด้วย และคลื่นนั้นสามารถแผ่ไปทั่วทั้งกริดได้
    อีกจุดที่น่าสนใจคือในกริดอนันต์ จะมี แรงดันสูง ที่เกิดขึ้นเองอยู่ที่ไหนสักแห่งเสมอ อาจจะไกลมากๆ แต่ก็ยังแปลกอยู่ดี
  • จะสำคัญเฉพาะตอนวัดสัญญาณรบกวนจากตัวพาประจุรายตัวในโดเมนเวลาเท่านั้น
    ในหลายกรณี เราสนใจแค่ค่าเฉลี่ยในเวลาและพื้นที่บางช่วง ตัวอย่างเช่น การไหลเชิงมหภาคของน้ำทำงานค่อนข้างต่างจากความเร็วของโมเลกุลแต่ละตัว
  • เอาคำว่า “สัญชาตญาณ” กับ “อนันต์” มาไว้ในประโยคเดียวกันนี่น่าสนุกดี
    คนที่มีโอกาสสร้างสัญชาตญาณเกี่ยวกับอนันต์ได้โดยที่ความเป็นไปได้ไม่ต่ำจนหมดหวัง คงมีแต่นักคณิตศาสตร์เท่านั้น

• นี่คือกรณีแบบไม่ต่อเนื่องของ ความต้านทานแผ่น [1]
  ในกรณีนี้ ความต้านทานระหว่างจุดสองจุดใดๆ ซึ่งในที่นี้คือโหนด จะเท่ากัน
  เมื่อก่อนหลักสูตรมหาวิทยาลัยด้านวิศวกรรมไฟฟ้าเคยสอนเรื่องนี้ แต่ตอนนี้จำการอนุมานวิธีแก้ไม่ได้แล้ว
  [1] https://en.m.wikipedia.org/wiki/Sheet_resistance

• นอกเรื่องนิดหนึ่ง Veritasium เคยมีวิดีโอดีๆ ที่คล้ายกับเรื่องนี้เกี่ยวกับเส้นทางที่แสงเดินทางผ่าน
  ผมลิงก์ไปยังช่วงที่มีการสาธิตฟิสิกส์ที่ดีที่สุดเท่าที่ผมเคยเห็น
  https://www.youtube.com/watch?v=qJZ1Ez28C-A&t=1500

  • น่าเสียดายที่การสาธิตนั้นไม่ได้ชวนทึ่งเท่าที่ในวิดีโอพูดไว้ แสงที่ดูเหมือนเป็นเส้นทางเพิ่มเติมเกิดจาก การเลี้ยวเบนที่ช่องออก ของแหล่งกำเนิดแสง
    แน่นอนว่าทฤษฎีพื้นฐานเดียวกันก็อธิบายด้วยว่าเมื่อมีขอบเขตจำกัด ย่อมเกิดการเลี้ยวเบนเสมอ และผลคือความเป็นจริงที่แยกไม่ออกจากโลกที่แสงเดินทางผ่านทุกเส้นทางที่เป็นไปได้จริงๆ
    แต่การอ้างว่าแสงทำเช่นนั้นจริงๆ อาจมองได้ว่าใกล้กับอภิปรัชญามากกว่าฟิสิกส์
    อีกทั้งประสิทธิภาพการเลี้ยวเบนของเลเซอร์ก็น่าจะยังห่างไกลจากขีดจำกัดทางกายภาพ ทำให้พลังโน้มน้าวของการสาธิตลดลงไปอีก
    ผู้สังเกตการณ์ที่มองอย่างเย้ยหยันอาจพูดว่า “ก็แค่มีแสงบางส่วนจากเลเซอร์หลุดออกนอกแกนไม่ใช่เหรอ?” ซึ่งจริงๆ แล้วก็ถูก กฎฟิสิกส์ทำให้มีแสงบางส่วนหลุดออกนอกแกนเสมอ แต่การสาธิตนั้นไม่ได้พิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้