สถิติใหม่ของการจัดเรียงทรงกลมที่มาจากแหล่งที่ไม่มีใครคาดคิด
(quantamagazine.org)- ในปัญหา การจัดเรียงทรงกลม ในมิติสูง Boaz Klartag ได้เผยแพร่ต้นฉบับสั้นทางออนไลน์ในเดือนเมษายน ซึ่งปรับปรุงประสิทธิภาพได้มากที่สุดนับตั้งแต่ Claude Ambrose Rogers ในปี 1947
- วิธีใหม่นี้เริ่มจากแลตทิซใดก็ได้ แล้วสร้าง เอลลิปซอยด์ ที่ใหญ่ขึ้น ก่อนใช้ขั้นตอนของ Rogers เพื่อสร้างการจัดเรียงทรงกลมอย่างหนาแน่น เป็นการชุบชีวิตแนวทางเชิงเรขาคณิตที่เคยถูกลดความสำคัญไปพักใหญ่
- โครงสร้างของ Klartag ทำให้ในมิติ d สามารถจัดเรียง ทรงกลมได้มากกว่าผลงานก่อนหน้าส่วนใหญ่ราว d เท่า ซึ่งเท่ากับประมาณ 100 เท่าใน 100 มิติ และประมาณ 1 ล้านเท่าใน 1 ล้านมิติ
- ต่างจากการถกเถียงเรื่องความเป็นไปได้ของ การจัดเรียงแบบไร้ระเบียบ ที่รุนแรงขึ้นหลังสถิติแบบไม่ใช่แลตทิซในปี 2023 ผลลัพธ์ครั้งนี้ชี้ว่า ระเบียบและความสมมาตรอาจยังเป็นตัวเก็งสำคัญในการจัดเรียงที่เหมาะที่สุดในมิติสูง
- แม้ปัญหาการจัดเรียงทรงกลมจะสำคัญต่อการประยุกต์ใช้ในคริปโตกราฟีและการสื่อสาร แต่ผลลัพธ์นี้ยังไม่สามารถนำไปใช้ได้ทันที และอาจเป็นจุดเริ่มให้ เรขาคณิตนูนและทฤษฎีแลตทิซ กลับมาเชื่อมโยงกันอีกครั้ง
ความก้าวหน้าครั้งใหญ่ในการจัดเรียงทรงกลมมิติสูง
- ปัญหาการจัดเรียงทรงกลม คือการหาวิธีเติมลูกบอลลงในปริภูมิมิติสูงให้มีประสิทธิภาพมากที่สุด
- ปัญหานี้ดึงดูดนักคณิตศาสตร์มาหลายศตวรรษ และยังมีโอกาสนำไปใช้สำคัญในคริปโตกราฟีและการสื่อสารระยะไกล
- ในต้นศตวรรษที่ 17 Johannes Kepler แสดงให้เห็นว่า การเรียงทรงกลมสามมิติซ้อนกันเหมือนส้มในร้านขายของชำ จะเติมพื้นที่ได้ประมาณ 74% และคาดว่านี่คือค่าที่ดีที่สุด
- กว่าที่ข้อคาดเดานี้จะได้รับการพิสูจน์ก็ต้องรอเกือบ 400 ปี
- ในมิติที่สูงกว่านั้น เรายังไม่รู้คำตอบที่เหมาะที่สุด ยกเว้นใน 8 มิติและ 24 มิติ
- นักคณิตศาสตร์พยายามหาการจัดเรียงที่ดีกว่ามาโดยตลอด แต่ความก้าวหน้ามักเล็กน้อยและเกิดขึ้นไม่บ่อย
- ใน ต้นฉบับสั้น ที่เผยแพร่ในเดือนเมษายน Boaz Klartag ได้ทำลายสถิติเดิมอย่างมาก และนักวิจัยบางคนมองว่าผลลัพธ์นี้อาจเข้าใกล้ค่าที่เหมาะที่สุดแล้ว
แนวคิดเก่าที่เชื่อมจากแลตทิซไปสู่เอลลิปซอยด์
- ในปี 1905 Hermann Minkowski วางรากฐานวิธีคิดเรื่องการจัดเรียงทรงกลมผ่าน แลตทิซ (lattice)
- วิธีนี้คือการสร้างรูปแบบจุดที่ทำซ้ำในอวกาศ แล้ววาดทรงกลมรอบแต่ละจุด
- ปัญหาการหาการจัดเรียงทรงกลมที่ดีที่สุดในมิติหนึ่งจึงกลายเป็นปัญหาการหาแลตทิซที่จัดจุดได้มีประสิทธิภาพที่สุด
- ใน 2 มิติ แลตทิซแบบหกเหลี่ยมคือคำตอบที่ดีที่สุด
- ในปี 1947 Claude Ambrose Rogers เสนออีกมุมมองหนึ่ง
- เขาสามารถเริ่มจากแลตทิซใดก็ได้ แม้จะไม่ใช่แลตทิซที่ดีที่สุด
- แทนที่จะวาดทรงกลมรอบแต่ละจุด เขาวาด เอลลิปซอยด์ รอบจุดหนึ่ง โดยให้ผิวของมันสัมผัสจุดอื่นในแลตทิซได้แต่ไม่ล้ำเข้าไป
- จากเอลลิปซอยด์นี้ เขาเสนออัลกอริทึมสำหรับสร้างการจัดเรียงทรงกลมอย่างหนาแน่น
- ข้อดีของวิธี Rogers คือ แลตทิซตั้งต้นไม่จำเป็นต้องมีประสิทธิภาพเป็นพิเศษ
- หากเลือกเอลลิปซอยด์ที่เหมาะสม ก็สามารถสร้างการจัดเรียงทรงกลมที่มีประสิทธิภาพได้
- แต่เอลลิปซอยด์จัดการยากกว่าทรงกลม
- ทรงกลมกำหนดได้ด้วยรัศมีเพียงค่าเดียว แต่เอลลิปซอยด์กำหนดด้วยหลายแกนที่มีความยาวต่างกัน
- ยิ่งมิติสูงขึ้น ทิศทางที่ยืดออกได้และรูปร่างที่เป็นไปได้ก็เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว
- ในที่สุดนักคณิตศาสตร์ก็หันกลับไปใช้แนวทางแบบแลตทิซของ Minkowski และให้ความสำคัญกับทฤษฎีแลตทิซมากขึ้น จนค่อย ๆ ห่างจากแนวทางเชิงเรขาคณิตของ Rogers
- แม้กลยุทธ์นี้จะช่วยปรับปรุงการจัดเรียงทรงกลมมิติสูงได้ แต่ส่วนใหญ่ก็ยังเป็นการปรับปรุงที่เล็กกว่าผลงานของ Rogers
นักวิจัยเรขาคณิตนูนที่ชุบชีวิตแนวทางของ Rogers
- Klartag เป็นนักคณิตศาสตร์จาก Weizmann Institute of Science และศึกษาด้าน เรขาคณิตนูน (convex geometry) เป็นหลัก
- รูปทรงนูนคือรูปทรงที่ไม่มีส่วนเว้าเข้าไปด้านใน
- ในมิติสูง รูปทรงเหล่านี้มีสมมาตรหลากหลายแบบ และ Klartag มองว่าสิ่งเหล่านี้เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลัง
- เขาสนใจแลตทิซและการจัดเรียงทรงกลมอยู่แล้ว แต่ยังไม่มีเวลาศึกษาสาขานี้อย่างลึกซึ้ง
- หลังจบโปรเจกต์หลักในเดือนพฤศจิกายนปีที่แล้วและมีเวลาว่าง เขาจึงขอให้ Barak Weiss จาก Tel Aviv University ช่วยเป็นพี่เลี้ยงเพื่อเรียนรู้สาขาใหม่
- Weiss เริ่มจัดสัมมนาขนาดเล็กให้ Klartag และคนอีกไม่กี่คนอ่านงานวิจัยร่วมกัน
- Klartag จึงได้อ่านวิธีการจัดเรียงทรงกลมของ Minkowski และ Rogers อย่างละเอียด
- หลังอ่านวิธีที่ Rogers ใช้เปลี่ยนเอลลิปซอยด์ให้เป็นการจัดเรียงทรงกลม Klartag ก็สงสัยว่าทำไมนักคณิตศาสตร์ถึงละทิ้งแนวทางนี้
- เอลลิปซอยด์เป็นรูปทรงนูน ดังนั้นสำหรับ Klartag แล้ว เขามีวิธีที่ซับซ้อนในการจัดการกับมันอยู่แล้ว
- เขามองว่าเอลลิปซอยด์ตั้งต้นที่ Rogers ใช้นั้นแม้จะเข้าใจง่าย แต่ไม่มีประสิทธิภาพ
- หากสร้างเอลลิปซอยด์ที่มีปริมาตรมากกว่าได้ ก็จะสามารถใช้ขั้นตอนเดิมของ Rogers สร้างสถิติใหม่ของการจัดเรียงได้
ใช้การเติบโตแบบสุ่มสร้างเอลลิปซอยด์ที่ใหญ่ขึ้น
- Klartag เริ่มจากวิธีที่เขาคุ้นเคย คือให้ขอบของเอลลิปซอยด์ขยายและหดตัวตามแต่ละแกนด้วยกระบวนการสุ่ม
- เมื่อขอบขยายไปไกลพอจนแตะจุดใหม่ในแลตทิซ ก็จะหยุดการเติบโตในทิศทางนั้น
- จุดดังกล่าวจึงไม่เข้าไปอยู่ภายในเอลลิปซอยด์
- ส่วนทิศทางอื่นยังคงพองตัวต่อไปจนกว่าจะไปแตะจุดอื่นอีก
- ในกระบวนการนี้ เอลลิปซอยด์จะเคลื่อนแบบกระตุกหยุดสลับกันไป พร้อมค่อย ๆ สำรวจพื้นที่รอบตัว
- เมื่อเวลาผ่านไป โดยเฉลี่ยแล้วปริมาตรของเอลลิปซอยด์จะเพิ่มขึ้น
- คำถามสำคัญของ Klartag คือ การเพิ่มขึ้นของปริมาตรนี้มากพอจะเหนือกว่าเอลลิปซอยด์แบบใช้งานง่ายของ Rogers หรือไม่
- เนื่องจากกระบวนการสุ่มจะสร้างเอลลิปซอยด์ที่ต่างกันในแต่ละครั้ง Klartag จึงประเมินช่วงของปริมาตรเอลลิปซอยด์ที่เป็นไปได้
- ในตอนแรก เขายังหาเอลลิปซอยด์เดี่ยวที่ใหญ่กว่าเอลลิปซอยด์ของ Rogers ได้ไม่มากพอ
- แต่หลังจากปรับรายละเอียดของกระบวนการเติบโตแบบสุ่ม เพียง 1–2 สัปดาห์ เขาก็พิสูจน์ได้ว่า บางครั้งจะได้เอลลิปซอยด์ที่ใหญ่พอจะสร้างสถิติใหม่
ความหมายทางคณิตศาสตร์ของการปรับปรุงราว d เท่า
- งานพิสูจน์ของ Klartag ได้รับการตรวจสอบแล้ว และเมื่อนำเอลลิปซอยด์ตั้งต้นแบบใหม่ไปแปลงเป็นการจัดเรียงทรงกลม ก็ให้การปรับปรุงด้านประสิทธิภาพครั้งใหญ่ที่สุดนับตั้งแต่งานของ Rogers ในปี 1947
- ในมิติที่กำหนด d วิธีของ Klartag สามารถจัดเรียง ทรงกลมได้มากกว่าผลงานก่อนหน้าส่วนใหญ่ราว d เท่า
- ในปริภูมิ 100 มิติ สามารถจัดเรียงทรงกลมได้มากขึ้นราว 100 เท่า
- ในปริภูมิ 1 ล้านมิติ สามารถจัดเรียงทรงกลมได้มากขึ้นราว 1 ล้านเท่า
- Klartag ศึกษาสาขาการจัดเรียงทรงกลมเพียงไม่กี่เดือน และใช้เวลาเขียนงานพิสูจน์ไม่กี่สัปดาห์ ก่อนจะผลักดันหนึ่งในปัญหาแกนกลางของวงการให้ก้าวหน้าอย่างมาก
- ประสบการณ์ด้านเรขาคณิตนูนของเขาช่วยโดยตรงในการนำเทคนิคที่มักถูกมองว่าเป็นคนละสาขา มาประยุกต์ใช้กับปัญหาการจัดเรียงทรงกลม
- Gil Kalai ประเมินผลลัพธ์นี้ว่าเป็น “การทะลุทะลวงที่น่าทึ่งจริง ๆ” และมองว่าเกี่ยวข้องกับปัญหาที่ทำให้นักคณิตศาสตร์ตื่นเต้นมาเกือบ 100 ปี
ข้อถกเถียงเรื่องระเบียบและความไร้ระเบียบ
- ผลลัพธ์ของ Klartag ทำให้ข้อถกเถียงเกี่ยวกับธรรมชาติของการจัดเรียงที่เหมาะที่สุดในมิติสูงกลับมามีชีวิตอีกครั้ง
- อยู่ช่วงหนึ่ง นักคณิตศาสตร์เชื่อว่า การจัดเรียงแบบอิงแลตทิซ ที่มีความสมมาตรสูง คือวิธีที่ดีที่สุดในการเรียงทรงกลมให้หนาแน่นที่สุด
- ในปี 2023 มีการค้นพบการจัดเรียงที่ไม่ได้พึ่งพาแลตทิซแบบซ้ำอย่างเรียบร้อย และกลายเป็นสถิติก่อนหน้าของ Klartag
- นักคณิตศาสตร์บางคนมองว่านี่เป็นหลักฐานว่า การตามหาการจัดเรียงทรงกลมที่เหมาะที่สุดอาจต้องอาศัยความไร้ระเบียบมากขึ้น
- งานของ Klartag กลับมาสนับสนุนแนวคิดว่า ระเบียบและความสมมาตร อาจยังเป็นตัวเลือกที่มีน้ำหนักมาก
- แต่การจัดเรียงทรงกลมจะหนาแน่นได้แค่ไหนยังคงเป็นประเด็นถกเถียง
- นักคณิตศาสตร์บางคนมองว่าการจัดเรียงของ Klartag ใกล้เคียงค่าที่เหมาะที่สุดมากแล้ว
- คนอื่นยังมองว่ายังมีช่องให้ปรับปรุงต่อ
- Marcus Michelen จาก University of Illinois, Chicago กล่าวว่าตอนนี้เขายังไม่รู้ว่าควรเชื่ออะไร และทุกความเป็นไปได้ยังเปิดอยู่
การเชื่อมโยงระหว่างสาขาที่สำคัญกว่าการประยุกต์ใช้ทันที
- คำตอบของปัญหาการจัดเรียงทรงกลมมีความสำคัญเพราะอาจนำไปใช้ใน คริปโตกราฟีและการสื่อสาร
- Or Ordentlich นักทฤษฎีสารสนเทศจาก Hebrew University กล่าวว่า ปัญหานี้สำคัญมากต่อวิศวกร แต่ที่ผ่านมาความก้าวหน้ามีน้อย จึงทำให้ผลลัพธ์ครั้งนี้น่าตื่นเต้น
- อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ของ Klartag ยังไม่สามารถนำไปใช้กับงานประยุกต์เหล่านั้นได้ในทันที
- Klartag หวังว่างานของเขาจะเป็นจุดเริ่มให้วงการหวนกลับไปสู่ยุคแบบสมัย Rogers ที่ เรขาคณิตนูนและทฤษฎีแลตทิซ เชื่อมโยงกันมากกว่านี้
- เขามองว่าความเข้าใจปัจจุบันเกี่ยวกับวัตถุนูนอาจมีประโยชน์ต่อปัญหาแลตทิซ นอกเหนือจากปัญหาการจัดเรียงทรงกลม
- เป้าหมายของ Klartag คือทำให้สองสาขานี้แยกขาดจากกันน้อยกว่าที่เป็นอยู่ตอนนี้
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นบน Hacker News
แค่อธิบายให้พ่อแม่เข้าใจว่างานของฉันเป็น งานจริงๆ ก็ยากแล้ว ลองนึกภาพว่าต้องอธิบายว่า “ฉันศึกษาเฉพาะรูปทรงที่ไม่มีส่วนยื่นออกมาแล้วเว้าเข้าไปข้างใน” คงยากกว่านั้นอีก
จริงๆ แล้วมีแค่สามทางเลือกเท่านั้น ถ้าอธิบายสั้นๆ ด้วยภาษาที่อีกฝ่ายเข้าใจ งานก็จะดูง่าย แล้วเขาจะคิดว่า “แบบนี้ได้เงินได้ยังไง?”
ถ้าอธิบายด้วยภาษาที่อีกฝ่ายเข้าใจว่าทำอะไรและทำไมถึงสำคัญ ก็จะยาวเกินไปจนชวนเบื่อ และทำให้เขาเสียใจที่ถาม
หรือไม่ก็อธิบายสั้นๆ ด้วยศัพท์เฉพาะที่อีกฝ่ายไม่รู้จัก ทำให้น่าเบื่อแต่ก็น่าทึ่งได้ ซึ่งในบรรดาตัวเลือกแย่ๆ นี่คือตัวเลือกที่ดีที่สุด
ยังหาวิธีอธิบายว่าธุรกิจของผมคืออะไรให้คนทั่วไปพอเข้าใจได้แม้แต่นิดเดียวไม่ได้เลย ทุกอย่างล้วนเข้าใจยากมากและห่างจากชีวิตประจำวันไปหลายชั้น
ไม่ใช่ว่ามันซับซ้อนเสมอไป แต่มีรายละเอียดมากเกินไปที่คนทั่วไปไม่เคยคุ้นเคย และแทบไม่มีอุปมาอุปไมยในชีวิตประจำวันให้ใช้เลย
ส่วนเรื่องรูปทรงนูนนั้นไม่ค่อยรู้
น้ำเสียงที่ดูลงรายละเอียดมากเกินไปอาจมีความเป็นพิษที่ผลักคนออกห่างได้
ควรอธิบายจากมุมมองประมาณว่า “อยากทำ XYZ แต่มันยากมากจนหงุดหงิด เลยลองตั้งสมมติฐานง่ายๆ การมองปัญหานี้แบบหยาบๆ อย่างนี้ทำให้จัดการได้ง่ายกว่า และเพราะเรารู้ ABC อยู่แล้ว เราจึงสร้าง ABC ขึ้นมา แล้วพอใช้มัน ก็เข้าใกล้การทำงานที่ดีกว่าสิ่งที่เคยลองมาจนถึงตอนนี้ เลยตื่นเต้น”
สำหรับคนที่ไม่ใช่สายเทคนิค คำอธิบายที่มีอารมณ์ร่วมก็ใช้ได้เพียงพอ พวกเขาอาจคุ้นเคยกับการคิดเชิงอารมณ์มากกว่า ส่วนเรามักจมลึกอยู่กับตรรกะของงาน และบางครั้งก็กับคณิตศาสตร์ ดังนั้นต้องใส่อารมณ์กลับเข้าไปในคำอธิบาย
ลองอธิบายให้ครอบครัวแบบนั้นแล้วพวกเขาตามทันและเข้าใจจริงๆ
ในบทความบอกว่า “ในปริภูมิ 100 มิติ วิธีของเขาเติมทรงกลมได้มากขึ้นราว 100 เท่า และในปริภูมิหนึ่งล้านมิติ เติมได้มากขึ้นราว 1 ล้านเท่า” ซึ่งเป็นตัวอย่างที่ดีว่าปริภูมิมิติสูงนั้นแปลกแค่ไหน
น่าจะหมายความว่า เมื่อคนฉลาด ๆ พยายามใส่ส้ม 100 มิติลงในกล่อง 100 มิติให้ได้มากที่สุด จนถึงตอนนี้พวกเขายังเติมปริภูมิได้ไม่ถึง 1% และแม้ค้นหามาหลายสิบปีก็ยังหาที่ใส่เพิ่มอีกลูกไม่ได้
ถ้าคิดถึง n-sphere หน่วยที่ถูกล้อมด้วยลูกบาศก์หน่วย เมื่อ n เพิ่มขึ้น สัดส่วนที่ทรงกลมครอบครองจะหายไป กล่าวเพิ่มอีกนิดคือ แปลกตรงที่ความสัมพันธ์นี้ไม่ได้เป็นแบบโมโนโทนิก และมีค่าสูงสุดที่ n=6
ที่ n=100 ปริมาตรของ 100-sphere หน่วยอยู่ราว 10^-40 และแน่นอนว่าใส่ทรงกลมลูกที่สองลงในลูกบาศก์นี้ไม่ได้ ดังนั้นจึงไม่น่าแปลกที่กำไรจากการปรับปรุงการเติมจะใหญ่ได้ขนาดนั้น
มีหลายคนบอกว่าสามารถมองภาพ 4 มิติได้ แต่ผมยังไม่เคยเห็นใครทำได้จริง รวมถึงนักคณิตศาสตร์จำนวนมากด้วย แม้คนที่อ้างแบบนั้นมักไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ก็ตาม
ผมชอบแอนิเมชัน[0] ในโพสต์ Math Overflow นี้ เพราะมันมีความซับซ้อนที่ซ่อนอยู่มากมายซึ่งคนส่วนใหญ่ไม่ได้นึกถึง แอนิเมชันนั้นจริง ๆ แล้วเป็นภาพลวงตา และเรากำลังเห็น “ภาพหลอน” อยู่ รูปด้านบนฉายลูกบาศก์ลงบนระนาบอย่างนั้นหรือ? จริง ๆ แล้วนั่นไม่ใช่ลูกบาศก์ มันเป็นลูกบาศก์ที่ถูกฉายลงมาเป็น 2 มิติแล้ว ในเชิงเทคนิคเป็น 3 มิติ แต่แกนมิติที่สามไม่ใช่มิติของปริภูมิ หากเป็นมิติของเวลา สิ่งนี้เองเป็นบทเรียนที่ดีในการเรียนรู้ความเป็นนามธรรมของมิติ
ดังนั้นเราจึงเกิดภาพหลอนว่าเห็นลูกบาศก์หมุนอยู่ แล้วหลังจากเห็นภาพฉายบนระนาบ ก็เกิดภาพหลอนอีกว่ามันมีความลึก ไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ไม่บิดเบี้ยว แค่นี้ก็ประหลาดพอสมควรแล้ว
จริง ๆ แล้วเราแม้แต่ การจินตนาการแบบ 2 มิติ ก็ยังทำได้ยาก คนส่วนใหญ่อ้างว่าสามารถนึกภาพ 2 มิติได้ และคำอ้างนั้นมักไม่ถูกโต้แย้ง
ถ้ายังไม่เคยอ่าน Flatland[1] ผมอยากแนะนำให้ทุกคนอ่าน หลายคนอ่านผิด มักอ่านเป็นอุปมาแบบลดลงหนึ่งมิติ คือเราในฐานะสิ่งมีชีวิต 3 มิติเทียบได้กับสิ่งมีชีวิต 2 มิติ และสิ่งมีชีวิต 4 มิติก็คงทำให้เราฉงนพอ ๆ กับที่สิ่งมีชีวิต 3 มิติทำให้ชาว Flatlander ฉงน นั่นถูกต้อง แต่มีเล่ห์อยู่ตรงนั้น เราคิดว่าการเข้าใจ 2 มิตินั้นง่ายมาก แต่ผมรับรองว่าสิ่งที่คุณกำลังวาดในหัวตอนนี้ผิด พูดตรง ๆ หนังสือเองก็ไม่ได้ถูกต้องสมบูรณ์แบบเช่นกัน
เราต้องลองเข้าไปอยู่ในมุมมองของ Flatlander จริง ๆ ไม่ใช่ในหนังสือ แต่เป็นมุมมองของ Flatlander จริง ๆ ถ้าคุณจินตนาการว่าเป็น Flatlander รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้วมองสามเหลี่ยม คุณจะเห็นอะไร? คุณอาจนึกถึงเส้น แต่นั่นผิด คุณให้ความหนาแก่มัน และใส่มิติที่สามเข้าไปแล้ว ลองใหม่อีกครั้ง และท้าทายตัวเองให้เพิ่มความลึกลงไปอีกเพื่อจินตนาการ Flatland จริง ๆ แล้วคุณจะพบว่าทำไม่ได้
แทนที่จะเป็นเช่นนั้น เราสามารถมองภาพและให้เหตุผลกับปริภูมิ 2 มิติที่ฝังอยู่ใน 3 มิติได้ บางคนอาจบอกว่านี่เป็นการจับผิด แต่ถ้าไม่ใช่เช่นนั้น เราก็ควรยอมรับได้เต็มที่ที่จะเรียกสิ่งนี้[2,3] ว่าเป็นไฮเปอร์คิวบ์ 4 มิติ ไม่ใช่การแทนภาพของไฮเปอร์คิวบ์ 4 มิติ
ผมคิดว่าการเข้าใจเรื่องนี้ช่วยได้มากในการเข้าใจมิติที่สูงมาก ๆ เมื่อเผชิญกับความยากมหาศาลของการมองภาพการเพิ่มหรือลดมิติหนึ่งมิติอย่างถูกต้อง เราจะมีโอกาสหลอกตัวเองน้อยลงเวลาพยายามให้เหตุผลเกี่ยวกับมิติที่สูงกว่ามาก
อย่างที่ Feynman กล่าวไว้ หลักการข้อแรกคืออย่าหลอกตัวเอง และคนที่หลอกได้ง่ายที่สุดก็คือตัวเราเอง
[0] https://math.stackexchange.com/a/2286226
[1] http://www.geom.uiuc.edu/~banchoff/Flatland/
[2] [https://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract#/media/File:8-cell-s...](https://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract#/media/File:8-cell-simple.gif)
[3] เป็นวิดีโอดี ๆ ที่ Carl Sagan อธิบายโดยถือภาพฉาย 3 มิติของไฮเปอร์คิวบ์ หรือก็คือเงาของมัน ไม่ว่าจะโชว์อะไร มันก็จำเป็นต้องฝังอยู่ใน 2 มิติอยู่ดี เขาหยิบขึ้นมาตั้งแต่นาที 6:20 https://www.youtube.com/watch?v=UnURElCzGc0
น่าสนใจ ผมเคยลองใช้แนวทางการเติมทรงกลมอยู่หนึ่งเดือนเพื่อสร้าง อัลกอริทึมบีบอัด ที่ดีกว่า
มีเวกเตอร์จำนวนมากและถูกจัดกลุ่มด้วย clustering แต่สรุปได้ว่าแนวทางเชิงทฤษฎีทำงานได้ดีเฉพาะกับข้อมูลที่สม่ำเสมอเท่านั้น และไม่ค่อยเข้ากับข้อมูลโลกจริง
เช่น สมมติว่าข้อมูลมีโครงสร้างมิติสูง แต่ในระดับเฉพาะที่มีความสม่ำเสมอ เรื่องนี้พบได้บ่อย และเกิดจากกระบวนการที่ก่อให้เกิดสัญญาณรบกวน หากคำนวณและจัดเก็บจุดศูนย์กลาง ข้อมูลนั้นจะสม่ำเสมอกว่าข้อมูลดิบ และจำนวนก็ไม่มากอยู่แล้ว จึงไม่ใช่ปัญหาใหญ่
แต่ละเวกเตอร์จัดเก็บเป็นดัชนีของจุดศูนย์กลางและออฟเซ็ตของเวกเตอร์ โดยตรงนี้เป็น SoA ไม่ใช่ AoS ดัชนีสามารถบีบอัดด้วยวิธีจำนวนเต็มแบบอิงเอนโทรปีที่คุณชอบได้ และถ้าไม่จำเป็นต้องรักษาลำดับไว้ ก็อาจทำได้ดีกว่านั้นอีก
ตามสมมติฐานแล้ว ออฟเซ็ตตอนนี้มีความสม่ำเสมอโดยประมาณ ดังนั้นจึงใช้กลยุทธ์ทรงกลมที่คุณชอบจากเอกสารวิชาการได้
แน่นอนว่า ถ้ากรณีใช้งานจริงแตกต่างกันมากเกินไปจนเทคนิคทั่วไปใช้ไม่ได้ผล ก็อาจไม่ใช่
นักคณิตศาสตร์ควรจะสามารถทำปริญญาระดับเอกใบที่สองได้ในสาขาที่ไม่ใช่สาขาเดิมของตน แต่เป็น สาขาใกล้เคียง หลังจากได้ปริญญาเอกใบแรกไปแล้วไม่กี่ปี
นักวิจัยจำนวนมากฝึกใหม่หรือเพิ่มความสนใจด้านวิจัยไปยังสาขาใกล้เคียงในช่วงหลังปริญญาเอกหรือหลังจากนั้น จากจุดนั้นเป็นต้นไปมันก็เป็นแค่งานวิจัย
แต่ถ้าจะลองทำแบบนั้นในสภาพแวดล้อมวิชาการสมัยใหม่คงไม่ง่าย
โดยเฉพาะการเชื่อมโยงสาขาต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์เข้าด้วยกันอาจทรงพลังมาก
อย่างน้อยในเยอรมนีก็ค่อนข้างคล้ายกับที่อธิบายไว้
สำหรับมิติ d ที่กำหนด Klartag บอกว่าสามารถบรรจุทรงกลมได้มากกว่าผลลัพธ์ก่อนหน้าส่วนใหญ่ d เท่า
นั่นหมายความว่าใน 100 มิติก็บรรจุทรงกลมได้มากขึ้นประมาณ 100 เท่า และในหนึ่งล้านมิติก็มากขึ้นประมาณหนึ่งล้านเท่า ฟังดูเป็นตัวเลขมหาศาล นี่หมายความว่า ระบบสื่อสาร หลายแบบจะมีแบนด์วิดท์เพิ่มขึ้นหลายหลัก หรือใช้พลังงานลดลงหรือเปล่า?
ดังนั้นมันจึงช่วยได้เฉพาะกับวัตถุที่มีมิติสูงโดยธรรมชาติเท่านั้น สำหรับวัตถุดิจิทัลไม่มีมิติตามธรรมชาติ หรือก็คือความยาวเป็นไบต์ จึงเลือกมิติต่ำ ๆ ได้
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing
Klartag ไม่ได้เป็นผู้เชี่ยวชาญด้านการบรรจุทรงกลมตามพื้นฐานการฝึกฝนของเขา แต่เขาเป็นหนึ่งใน นักแก้ปัญหา ที่โดดเด่นที่สุดคนหนึ่งในวงการ
เมื่อต้นปีนี้เขาแก้ Hyperplane Conjecture ได้ และที่ผ่านมาได้มีส่วนช่วยให้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีความนูนอย่าง KLS Conjecture, Mahler Conjecture และทฤษฎีบทลิมิตกลางสำหรับวัตถุนูนคืบหน้า
งานของ Eldan นักศึกษาของเขาเกี่ยวกับ Stochastic Localization ก็พิสูจน์แล้วว่าเป็นแกนสำคัญในอัลกอริทึมการสุ่มตัวอย่างแบบ log-concave ซึ่งเกี่ยวข้องกับ KLS Conjecture และยังได้นำไปบรรยายใน ICM ด้วย
อีกทั้งเครื่องมือที่ใช้ในเรขาคณิตเชิงนูน โดยเฉพาะเครื่องมือบางอย่างจากการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก ก็มีประโยชน์มากทีเดียวต่องานวิจัยการบรรจุทรงกลม
ดังนั้นจึงพูดได้ยากว่า “เหนือความคาดหมาย”
เห็นด้วยกับมุมมองของ Klartag ที่ว่า รูปทรงนูน เป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ถูกประเมินค่าต่ำไป ผมไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ แต่เคยเห็นอัลกอริทึม convex hull แก้ปัญหาในที่ที่คาดไม่ถึงเลย
ตัวอย่างเช่น คงนึกไม่ถึงว่าจะมีการใช้อัลกอริทึม convex hull ในงานวิจัยเรื่องการแยกพาเลตต์ของภาพโดยอัตโนมัติ
https://www.rose-hulman.edu/class/cs/csse451/Papers/DILvGRB....
คำถามมือใหม่: การ บรรจุทรงกลม ที่เหมาะที่สุดมีความสัมพันธ์กับแลตทิซปกติหรือไม่? ใน 2 มิติและ 3 มิติก็เป็นแบบนั้นไม่ใช่หรือ? ถ้าใช่ จะขยายไปยัง n มิติได้ไหม?
เรื่องนี้ Maryna Viazovska พิสูจน์ไว้ในปี 2017 และบทความที่สองมีผู้ร่วมวิจัยร่วมด้วย https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.7 https://doi.org/10.4007/annals.2017.185.3.8
อันนี้ก็น่าอ้างอิง: https://www.ams.org/journals/notices/201702/rnoti-p102.pdf
ในมิติอื่น ๆ ยังเป็นปัญหาเปิด และโดยทั่วไปดูไม่น่าจะเป็นจริง ในบางมิติ การบรรจุแบบไม่ปกติที่หนาแน่นที่สุดเท่าที่ทราบ หนาแน่นกว่าการบรรจุแบบปกติที่หนาแน่นที่สุดเท่าที่ทราบ
เพียงแต่ทั้งหมดมีความหนาแน่นเท่ากับ FCC lattice การบรรจุเหล่านี้สร้างได้โดยเลื่อนชั้นแนวนอนของ FCC ในแนวนอนเมื่อเทียบกัน
ในมิติสูง ๆ มีข้อสันนิษฐานว่าการบรรจุที่หนาแน่นที่สุดจะเป็นแบบไม่ใช่แลตทิซเสมอ เหตุผลคือในปริภูมิเช่นนั้นไม่มีสมมาตรเพียงพอ
วันนี้ก่อนหน้านี้มีโพสต์เรื่องที่มนุษย์นีแอนเดอร์ทัลทำการ render ไขมัน
มีการพูดกันว่านักมานุษยวิทยาไม่รู้ว่าการต้มเป็นไปได้แม้ก่อนการประดิษฐ์เครื่องปั้นดินเผา และก็มีคนบอกว่าครูวิทยาศาสตร์รู้ว่ามันเป็นไปได้ เพราะเป็นสิ่งที่ทำกันในชั้นเรียน
สุดท้าย กระแสการสนทนาคือเรื่องที่สิ่งเดียวกันถูกค้นพบซ้ำในต่างสาขา เช่น คนที่ศึกษากลูโคสค้นพบสูตรสี่เหลี่ยมคางหมูสำหรับการอินทิเกรตขึ้นมาใหม่
นี่ก็เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งที่ความเชี่ยวชาญจากอีกด้านช่วยได้
แค่ดูวิดีโอ YouTube สักคลิปที่แสดงวิธีที่ใช้ในสถานการณ์เอาตัวรอดก็พอแล้ว น่าจะมีคล้าย ๆ กันอีกมาก: https://www.youtube.com/shorts/0zun_UxO2vU
จริงอยู่ว่าผมไม่รู้บริบท แต่ถ้าข้อกล่าวอ้างที่น่าประหลาดใจแบบนั้นไม่มีแหล่งอ้างอิง ก็ไม่สมเหตุสมผล แม้แต่ “การทดสอบด้วยเสียงหัวเราะ” ก็ยังไม่ผ่าน