ภาพการสร้างภาพข้อมูลจากความสนใจเกี่ยวกับเกลียวทรงกลม

• นี่คือการแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับวิธีแสดง การเคลื่อนที่ของวัตถุในพื้นที่ 3 มิติ ด้วยฟังก์ชันพาราเมตริก
• อธิบายกระบวนการสร้างเส้นทางเชิงคณิตศาสตร์ที่ค่อย ๆ ซับซ้อนขึ้น ตั้งแต่วงกลม เกลียว ไปจนถึง เส้นทางเกลียวทรงกลม
• สามารถสร้างการเคลื่อนไหวได้หลากหลายด้วยการกำหนดแต่ละแกนพิกัด (x, y, z) ให้เป็นฟังก์ชันของเวลา
• โดยเฉพาะในกรณีของ เกลียวทรงกลม สามารถสร้างเส้นทางเกลียวสามมิติได้ด้วยการคูณฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่อทำให้รัศมีเปลี่ยนแปลง
• เป็นตัวอย่างเชิงสร้างสรรค์ที่แสดงให้เห็นว่าวิธีนี้สามารถใช้ย้ายวัตถุไปตามเส้นทางใดก็ได้

---

สำรวจการเคลื่อนที่ของวัตถุในพื้นที่ 3 มิติ

บทความนี้เป็นผลจากการสำรวจส่วนตัวเกี่ยวกับวิธีต่าง ๆ ในการทำให้วัตถุเคลื่อนที่ในพื้นที่ 3 มิติ และโดยเฉพาะการนิยามและสร้างเส้นทาง เกลียวทรงกลม (spherical helix) ในเชิงคณิตศาสตร์

พื้นฐานของเฮลิกซ์และการเคลื่อนที่สามมิติ

• เฮลิกซ์ หมายถึงโครงสร้างสามมิติที่พันเป็นเกลียวคล้ายสปริง

• เกลียวทรงกลม คือแนวคิดของการหมุนเป็นเกลียวไปตามผิวของทรงกลม

• ตำแหน่งของวัตถุในพื้นที่ 3 มิติถูกกำหนดด้วย พิกัดบน 3 แกน x, y, z

  • แกน x: รับผิดชอบการเคลื่อนที่ซ้ายขวา
  • แกน y: เป็นการเคลื่อนที่ขึ้นลง
  • แกน z: การเปลี่ยนแปลงในทิศหน้า–หลัง (ความลึก)

• หากนิยามตำแหน่งของวัตถุด้วยฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ตาม เวลา (t) ก็จะสามารถสร้างเส้นทางการเคลื่อนที่ได้

ฟังก์ชันพาราเมตริกและตัวอย่างเส้นทางอย่างง่าย

• ตัวอย่าง: หากกำหนดตำแหน่ง x เป็น 10 * cos(πt/2) จะได้ การเคลื่อนที่แบบคลื่นโคไซน์ ที่ไปกลับระหว่าง -10 ถึง 10 ทุก ๆ 2 วินาที

• ในทำนองเดียวกัน หากกำหนดตำแหน่ง y เป็น 10 * cos(πt/2) ก็สามารถสร้างการเคลื่อนที่ขึ้นลงแบบไปกลับได้เช่นกัน

• หากใช้ฟังก์ชันต่างกันกับ x และ y (เช่น x = 10 * cos(πt/2), y = 10 * sin(πt/2)) จะได้การเคลื่อนที่ที่มีเฟสต่างกัน และเมื่อรวมกันจะเกิดเป็น เส้นทางวงกลม

• หากคูณฟังก์ชันด้วยพจน์ที่แปรผันตามเวลา (เช่น x = 0.03 * t * cos(πt/2)) ก็จะสร้างรูปแบบที่รัศมีค่อย ๆ ใหญ่ขึ้น หรือก็คือเส้นทางแบบ เกลียว (spiral) ได้

การสร้างเส้นทางเกลียวทรงกลม (spherical helix)

• ต่างจากเกลียวบนระนาบทั่วไป เกลียวทรงกลม ต้องใช้เส้นทางสามมิติ

  • สำหรับค่า z สามารถใช้ 10 * cos(0.02 * πt) เป็นต้น เพื่อค่อย ๆ เปลี่ยนตำแหน่งในแนวหน้า–หลัง

• สำหรับ x และ y ใช้ การคูณฟังก์ชันตรีโกณมิติ อย่าง sin(0.02 * πt) เพื่อสร้างเอฟเฟกต์ที่รัศมีใหญ่ที่สุดตรงกลางและเล็กลงที่ปลายทั้งสองด้าน

• เมื่อนำการคูณลักษณะนี้ไปใช้กับทั้ง x และ y ก็จะสามารถสร้างเส้นทางที่เคลื่อนที่เป็นวง พร้อมกับไล่ไปตามเกลียวบนผิวของทรงกลม (คือในแบบสามมิติ) ได้

• การผสมฟังก์ชันในลักษณะนี้ทำให้สามารถสร้าง เส้นทางเกลียวทรงกลม ในเชิงคณิตศาสตร์ได้อย่างสมบูรณ์

สรุปและการนำไปใช้

• ทุกเส้นทางใน 3 มิติสามารถสร้างได้ด้วยการนิยาม x, y, z ให้เป็น ฟังก์ชันพาราเมตริกของเวลา แยกจากกัน
• นั่นหมายความว่าสามารถระบุเส้นทางได้ทางคณิตศาสตร์ ตั้งแต่วงกลม เกลียว ไปจนถึงเส้นทางที่ซับซ้อน
• แนวทางนี้ช่วยให้มองเห็นได้อย่างชัดเจนว่า แม้การเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนจะดูวุ่นวาย แต่จริง ๆ แล้ว เป็นเส้นทางคณิตศาสตร์ที่นิยามไว้อย่างชัดเจน ไม่ใช่ความโกลาหล

---

visualrambling.space คือโปรเจกต์ส่วนตัวของ Damar ที่ใช้เรียนรู้หัวข้อต่าง ๆ และเล่าเรื่องผ่านงานภาพ

[GN⁺]

ความคิดเห็นจาก Hacker News

• ในการเดินเรือสมัยก่อน เส้นโค้งแบบนี้ (rhumb line, loxodrome) มีความสำคัญมาก
  เพราะการรักษาทิศทางเดิมระหว่างการเดินเรือนั้นง่ายกว่ามาก
  ดังนั้นกะลาสีจึงพยายามเดินทางตามเส้นทางแบบนี้ให้มากที่สุด
  แนวคิดของ rhumb line จึงเกิดขึ้นจากเรื่องนี้
  ดูเพิ่มเติมที่ วิกิพีเดีย Rhumb line
  แผนที่ Mercator ทำให้การคำนวณทิศทางแบบนี้ง่ายขึ้น
  ดูเพิ่มเติมที่ วิกิพีเดีย Mercator projection
  การตั้งโจทย์ลักษณะนี้เองก็นำไปสู่การค้นพบทางคณิตศาสตร์ใหม่ ๆ อยู่เสมอ
  ตัวอย่างเช่น เมื่อมองใน polar projection มันจะกลายเป็น logarithmic spiral
  เมื่อมองจากด้านข้าง มันจะกลายเป็น wave packet
  ความน่าสนใจทางคณิตศาสตร์นี้ถึงขั้นทำให้ Paul Erdos อยากลองศึกษาด้วย
  บทความอ้างอิง: Spiraling the Earth with C. G. J. Jacobi. Paul Erdös
  พูดนอกเรื่องนิดหน่อย แต่วันนี้ดูเหมือนจะเป็นวันที่ Hacker News มีเรื่อง spherical geometry ขึ้นมาเยอะเป็นพิเศษ
  ลิงก์กระทู้ที่เกี่ยวข้อง:
  1
  2
  3

  • แต่เส้นเกลียวในโพสต์ต้นฉบับไม่ได้เป็น rhumb line (loxodrome, rhumb line)
    เส้นโค้งนี้มีลักษณะที่ระยะห่างบนผิวดูคงที่ แต่ rhumb line ตามนิยามจะตัดเส้นเมริเดียนด้วยมุมคงที่เสมอ จึงมีลักษณะเส้นถี่ขึ้นเมื่อเข้าใกล้บริเวณขั้วโลก
    ในเชิงสมการด้วย
    x = 10 · cos(π·t/2) · sin(0.02·π·t)
    y = 10 · sin(π·t/2) · sin(0.02·π·t)
    z = 10 · cos(0.02·π·t)
    ถ้าแปลงสมการนี้เป็นพิกัดทรงกลม (R=10) จะได้ว่า
    λ(t) = π/2 · t (longitude)
    φ(t) = π/2 - 0.02·π·t (latitude)
    เมื่อหาอนุพันธ์จะได้ d(λ)/d(φ) = -25 (ค่าคงที่)
    แต่ rhumb line จริงจะมี d(λ)/d(φ) ในรูป tan(α) · sec(φ) ซึ่งเปลี่ยนไปตามละติจูด
    ดังนั้นเส้นโค้งนี้จึงไม่ใช่ rhumb line
    ถ้าสนใจเส้นโค้งที่มุมตัดเปลี่ยนไป แนะนำให้ดู ลิงก์ภาพจำลองนี้

• เห็นแล้วนึกสนุก เลยอยากแนะนำโปรเจกต์เกี่ยวกับทรงกลมที่เคยทำไว้เมื่อปี 2022
  โปรเจกต์ spheredisksample
  คิดว่าเป็นโปรเจกต์ที่เข้ากับกระแสวันนี้พอดี
  และขอแนะนำ โปรเจกต์ sphere-resample ที่คนก็น่าจะชอบด้วย

• อย่าลืมดู โพสต์นี้ ที่มีคอมเมนต์พูดถึง rhumb line และเรื่องที่เกี่ยวข้องด้วย

• คิดว่างานภาพนี้สวยมาก
  อีกอย่างที่อยากเห็นเพิ่มเติมคือเรื่อง “จะทำให้มันเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ได้ไหม?”
  ถ้าแค่ต้องการวางจุดตามเส้นทางก็คงไม่เป็นไร แต่พอดูการเคลื่อนไหวจริงจะเห็นว่ามันช้าลงมากตรงช่วงต้นกับช่วงท้าย (แทบจะถูกกำหนดด้วยรัศมีเลย)
  ถ้าต้องการให้มันเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ หรือถึงขั้นใส่ easing function แบบช้าลงแล้วเร็วขึ้นด้วย จะทำได้อย่างไรบ้างก็น่าสนใจ
  เดาว่าน่าจะมีทริกทางคณิตศาสตร์ที่สวยงามอยู่
  คร่าว ๆ ผมคิดว่าคงต้องหาอนุพันธ์ของสมการเพื่อสร้างฟังก์ชันความเร็ว จากนั้นใช้ทฤษฎีพีทาโกรัสจัดการกับ dx, dy, dz แล้วใช้ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันความเร็วเพื่อ reparameterization กลับเป็น t'
  แต่ผมไม่ค่อยชำนาญคณิตศาสตร์เท่าไร เลยรู้สึกเหมือนพูดลอย ๆ มากกว่า

  • ถ้าจะให้เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ต้องใช้ “Euclidean parameterization”
    กล่าวคือ ต้องปรับค่า t ให้แปรผันตามระยะทางแบบ Euclidean ที่เคลื่อนที่ไป
    นี่เป็นแนวคิดที่จำเป็นเสมอเวลาให้วัตถุเคลื่อนที่ตามเส้นทางในงานแอนิเมชัน
    แต่ส่วนใหญ่แล้วมักไม่มี closed-form solution จึงต้องแก้แบบเชิงตัวเลข
    ในทางปฏิบัติ สำหรับแต่ละค่า t เราจะหาค่า dt ที่สอดคล้องกับระยะทางที่ต้องการ (ds) ด้วยวิธีอย่าง binary search หรือ interpolation search
    แล้วบันทึกผลลัพธ์เหล่านั้นไว้เพื่อสร้าง polyline จากจุดที่มีระยะห่างเท่า ๆ กัน ซึ่งเป็นวิธีที่ใช้งานได้จริง (ตราบใดที่เส้นโค้งไม่เปลี่ยนไปตามเวลา)

  • ทริกทางคณิตศาสตร์ที่พูดถึงในคำถามนั้นก็คือ “arc length parameterization”
    เป็นการประกอบกับฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันความยาวส่วนโค้ง (arc length) ของเส้นโค้ง
    ยกเว้นเพียงบางตระกูลของเส้นโค้ง ส่วนใหญ่แล้วจะไม่มีรูปปิด จึงต้องคำนวณเชิงตัวเลข

  • สัญชาตญาณที่ว่าให้ขยับ t ช้าลงนั้นถูกต้อง
    เพราะแม้ความเร็วเชิงมุมจะคงที่ตาม t แต่รัศมีก็เปลี่ยนไปตาม t เช่นกัน
    เป็นแนวคิดแบบ Archimedean spiral ชนิดหนึ่ง
    ถ้าทำการ parameterization ให้ขนาดของความเร็วเป็นค่าคงที่ ก็จะได้การเคลื่อนที่ที่สม่ำเสมอขึ้น
    แต่เพราะมันเริ่มต้นที่รัศมี 0 จึงจำเป็นต้องจัดการกับค่า limit ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง
    ถ้าต้องการให้วัตถุวิ่งตามเส้นทางในเกม เป็นต้น วิธีที่เรียบง่ายและใช้งานได้จริงก็คือเล็งวัตถุให้ตามเส้นทางและเส้นสัมผัสโดยอิงแกน Z แล้วค่อย ๆ ลากมันไปพร้อมจำกัดความเร็วซ้ำ ๆ คล้ายของเล่นลูกปัดเลื่อนตามลวด

• สำหรับประโยคที่ว่า “...จริง ๆ แล้วมันไม่ใช่สิ่งที่ chaotic แต่อย่างใด เป็นเพียงเส้นทางที่นิยามด้วยฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์”
  แม้จะยังไม่แน่ใจว่าฟังก์ชันที่ยกมานั้นแสดงพฤติกรรมแบบ chaos จริงหรือไม่ แต่แนวคิดเรื่อง chaos เองก็เป็นปรากฏการณ์ที่เกิดขึ้นจากฟังก์ชันคณิตศาสตร์แบบกำหนดแน่นอนโดยเนื้อแท้ (คือไวอย่างยิ่งต่อเงื่อนไขตั้งต้น)
  เดาว่าผู้เขียนน่าจะเลือกใช้คำว่า “chaotic” แทน “random” หรือ “non-deterministic”

  • คิดว่าการทักท้วงเชิงเทคนิคแบบนี้สำคัญมาก
    สำหรับผู้อ่าน Hacker News เรื่องการแยกความต่างแบบนี้น่าจะน่าสนใจ
    ในทางคณิตศาสตร์ chaos คือระบบกำหนดแน่นอนที่ไวอย่างยิ่งต่อเงื่อนไขตั้งต้น
    ผลลัพธ์อาจดูเหมือนสุ่ม แต่ในเชิงแนวคิดแล้วต่างจาก randomness โดยสิ้นเชิง

  • เห็นด้วยว่าคำว่า chaos เป็นคุณสมบัติที่เกิดจากฟังก์ชันคณิตศาสตร์แบบกำหนดแน่นอน
    แต่ในความหมายตามพจนานุกรมทั่วไป มันอาจหมายถึง “ความไร้ระเบียบและความสับสนอย่างสิ้นเชิง”, “สภาวะที่โอกาสและความบังเอิญครอบงำ”, หรือ “ความคาดเดาไม่ได้ของระบบธรรมชาติที่ซับซ้อน”
    ถ้าจะเขียนให้สอดคล้องกับความคาดหวังและภาษาที่ผู้อ่านทั่วไปใช้กัน การอธิบายด้วยภาษาที่เข้าใจง่ายมากกว่าความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์ก็มีความหมายในแบบของมันเช่นกัน

• ขอให้ฟีดแบ็กอย่างหนึ่งคือ บนมือถือวิธีนำทางไม่เป็นไปตามที่คาดไว้
  ตอนแรกผมลองเลื่อนหน้าจอเพราะไม่รู้ว่าต้องควบคุมอย่างไร
  พอแตะหน้าจอแล้วมันไปหน้าถัดไป ผมก็เข้าใจว่า “อ้อ แบบนี้นี่เอง”
  พอแตะด้านขวาแล้วไปหน้าถัดไป พอครั้งต่อมาผมเลยแตะด้านซ้ายเพื่อหวังจะย้อนกลับ แต่กลับกลายเป็นว่ามันข้ามไปอีกสองหน้า
  เลยพลาดบางหน้าจอไป น่าเสียดายนิดหน่อย
  ไม่ใช่ปัญหาใหญ่ แต่ถ้ามีคำแนะนำเพิ่มอีกสักหน่อยก็น่าจะช่วยลดความสับสนและทำให้โฟกัสกับเนื้อหาได้มากขึ้น

  • มีคำแนะนำการใช้งานอยู่ในสไลด์แรก
    แต่ก็น่าจะดีถ้ามีการรองรับการ swipe เพิ่มด้วย (แม้ส่วนตัวผมจะชอบการแตะมากกว่า)
    ถ้าต้องการให้คล้ายอินเทอร์เฟซแบบ “card stack” ของแอปโซเชียลมีเดีย การ swipe ก็ดูเป็นธรรมชาติเหมือนกัน

• เนื้อหาอยู่ในระดับพื้นฐาน จึงดูเหมาะให้เด็ก ๆ ใช้ประกอบการเรียนคณิตศาสตร์
  ถ้ามีการพูดถึงแนวคิดอย่างสูตรวงกลม (x = r cos t, y = r sin t) แทรกไว้บ้างก็น่าจะดีขึ้น
  หัวข้อที่ต่อยอดเพิ่มได้ดีคือ polar coordinate และ linear algebra (เวกเตอร์, การแปลง, การแปลงในปริภูมิ 3D ฯลฯ)
  ถ้าผู้เขียนยังไม่คุ้นกับหัวข้อเหล่านี้ ขอแนะนำวิดีโอ YouTube ของ 3blue1brown
  ในมุมของโปรแกรมเมอร์ เนื้อหายังไม่ได้พูดถึงเรื่องการเขียนโค้ด, การใช้ไลบรารี หรือการจัดการ 3D object จริง ๆ (vertex, deformation ฯลฯ) ดังนั้นถ้าครอบคลุมส่วนนั้นด้วยก็น่าจะดียิ่งขึ้น

• ผมสงสัยเรื่อง “ความถูกต้อง” ของการเลื่อนตามแกน z ใน spherical helix
  z = c * t อาจใช้เป็นการเลื่อนแบบง่าย ๆ ได้หลายแบบ และแต่ละฟังก์ชันก็จะให้ความหนา ความสม่ำเสมอ และความคงที่ของ “เปลือก” ต่างกัน
  ฟังก์ชันที่ใช้ที่นี่ดูสวยในเชิงภาพ แต่ถ้าคิดในมุมของการคงระยะห่างระหว่างเกลียวให้สม่ำเสมอ (หรือการแบ่งพื้นที่อย่างสม่ำเสมอ) ก็น่าสนใจว่าควรตั้งเป้าหมายอย่างไร
  อยากรู้ว่าฟังก์ชันนี้ถูกเลือกมาด้วยกระบวนการแบบไหน หรือแค่เลือกเพราะดูสวยเท่านั้น

  • ผมเดาว่าฟังก์ชันนี้น่าจะถูกเลือกเพราะเขียนโปรแกรมสะดวกและดูดีด้วยตา
    ถ้าจะเอาแบบ “ถูกต้อง” จริง น่าจะต้องให้จุดเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในปริภูมิ 3D (เช่นเดียวกับเรือที่แล่นอยู่บนโลกจริง)
    ในกรณีนั้น สมการจะเป็นประมาณนี้ (ดูตัวอย่างโค้ด)
    const degrees = Math.PI / 180
    const bearing = 5 * degrees
    const k = Math.tan(bearing)
    const v = 0.001
    const phi = (t) => vt/Math.sqrt(1 + kk)
    const theta = (t) => k*Math.ln(Math.tan(phi(t)/2))
    แล้วค่อยแปลงเป็นพิกัด x, y, z
    const x = (t) => Math.sin(phi(t)) * Math.cos(theta(t))
    const y = (t) => Math.sin(phi(t)) * Math.sin(theta(t))
    const z = (t) => Math.cos(phi(t))
    ในทางปฏิบัติจะต้องใช้ถึงลอการิทึมของ tan(phi/2) ด้วย ซึ่งเป็นรูปที่ได้จากการแก้สมการเชิงอนุพันธ์
    ผมคิดว่าผู้เขียนคงไม่ได้ใช้วิธีที่ซับซ้อนถึงระดับ ln(tan(phi/2)) แบบนี้

  • ประเด็นสำคัญคือการทำให้ความเร็วตามเส้นทางคงที่
    สามารถตั้งอนุพันธ์ให้ความเร็วเป็นค่าคงที่ แล้วแก้หา z หรือทำ reparameterization เป็น t' ก็ได้
    การเลือก z = c * t มีผลทั้งต่อ parameterization ของเส้นทางและวิถีจริงที่ได้

• แอนิเมชันลื่นไหลมาก น่าประทับใจ
  เมื่อไม่นานมานี้ผมต้องทำงานกับปัญหาการกระจายจุดจำนวน N จุดบนผิวทรงกลม และระหว่างนั้นก็เจออัลกอริทึมง่าย ๆ ชื่อ “fibonacci-sphere”
  วิธีนี้ก็ใช้สร้างเกลียวบนทรงกลมเพื่อวางจุดได้เหมือนกัน
  บทความที่เกี่ยวข้อง: PDF งานวิจัย fibonacci-sphere

• แปลกใจที่ยังไม่มีใครพูดถึง Acko.net
  มีบล็อกโพสต์ยอดเยี่ยมที่ใช้เครื่องมือคล้ายกันอธิบายจำนวนเชิงซ้อนและ fractal โดยเฉพาะ Julia fractal แบบเห็นภาพมาก
  ถ้าสนใจเรื่องนี้แนะนำให้อ่านอย่างยิ่ง
  How to fold a julia fractal - บล็อก Acko.net

• สามารถลองปรับสมการเส้นโค้งนี้ได้โดยตรงใน Desmos 3D ลิงก์ภาพจำลอง Desmos 3D
  สิ่งที่น่าสนใจคือสมการพาราเมตริกของเกลียวนี้มีความเป็นเชิงเส้นในระบบพิกัดทรงกลม
  ดูเพิ่มเติมที่ วิกิพีเดียการแปลงพิกัด

• ขอบคุณที่แชร์ อ่านแล้วน่าสนใจมาก