ค้นพบรูปทรงแรกที่ไม่สามารถผ่านทะลุตัวเองได้

• นักคณิตศาสตร์ค้นพบเป็นครั้งแรกว่า มีรูปทรงสามมิติที่ไม่สามารถผ่านทะลุตัวเองได้ ซึ่งเป็นการค้นพบที่สั่นคลอนสัญชาตญาณทางเรขาคณิตแบบเดิม
• โดยทั่วไปแล้วทรงหลายหน้าเกือบทั้งหมดสามารถให้สำเนาของตัวเองผ่านทะลุได้ด้วยการหมุนและการเลื่อนตำแหน่งแบบเฉพาะที่เรียกว่า Rupert passage แต่รูปทรงที่ค้นพบครั้งนี้ได้รับการยืนยันว่าเป็นไปไม่ได้ในทุกทิศทาง
• นักวิจัยได้ สร้างและตรวจสอบทรงหลายหน้าจำนวนนับร้อยล้านแบบด้วยอัลกอริทึม และพบทางผ่านได้ในแทบทุกกรณี แต่ก็มีข้อยกเว้นจำนวนน้อยมาก
• นักคณิตศาสตร์สองคน ได้แรงบันดาลใจจากวิดีโอ YouTube ก่อนพัฒนาอัลกอริทึมของตนเอง และในงานวิจัยปี 2021 ได้คาดว่าทรงหลายหน้าบางชนิดอาจผ่านทะลุไม่ได้ ซึ่งงานวิจัยครั้งนี้ยิ่งเสริมความเป็นไปได้นั้น
• การค้นพบนี้ชี้ทิศทางใหม่ให้กับการวิจัยด้าน สมมาตรเชิงเรขาคณิตและอัลกอริทึมการสำรวจปริภูมิ และถูกมองว่าเป็นกรณีที่เผยให้เห็นขีดจำกัดพื้นฐานของรูปทรงทางคณิตศาสตร์

---

ความหายากของรูปทรง Nopert และกระบวนการค้นหา

• นักวิจัยยืนยันว่าผู้สมัครของ Nopert (รูปทรงที่ไม่สามารถผ่านทะลุตัวเองได้) นั้นพบได้ยากอย่างยิ่ง
  • Murphy เริ่มการทดลองตั้งแต่ปี 2023 โดยสร้างทรงหลายหน้าจำนวนนับร้อยล้านแบบ
  • รวมถึงทรงหลายหน้าแบบสุ่ม การจัดวางจุดยอดบนทรงกลม ทรงหลายหน้าที่มีโครงสร้างสมมาตร และรูปทรงที่จงใจปรับเปลี่ยนจุดยอดบางส่วน
• อัลกอริทึมของเขาสามารถค้นหา Rupert passage ได้อย่างง่ายดายในแทบทุกกรณี แต่สำหรับรูปทรงบางแบบก็ยังหาทางผ่านไม่พบจนถึงที่สุด
  • ยังไม่แน่ชัดว่ารูปทรงข้อยกเว้นเหล่านี้เป็น Nopert ที่แท้จริง หรือเป็นเพียงกรณีที่ค้นหาทางผ่านได้ยาก
• ผลลัพธ์เหล่านี้บ่งชี้อย่างหนักแน่นในหมู่นักคณิตศาสตร์ว่า มีความเป็นไปได้ที่จะมี Nopert จริงอยู่
  • อย่างไรก็ตาม ก่อนเดือนสิงหาคม 2024 ก็ยังไม่มีหลักฐานยืนยันที่แน่ชัด

“No Passage” — การค้นพบรูปทรงที่ไม่มีทางผ่าน

• Steininger (30 ปี) และ Yurkevich (29 ปี) เป็น เพื่อนและคู่หูวิจัยที่มาจากเครือข่ายศิษย์เก่าคณิตศาสตร์โอลิมปิก และยังคงสำรวจปัญหาที่ยังไม่ถูกแก้ร่วมกันแม้ออกจากแวดวงวิชาการแล้ว
  • พวกเขาแสดงความหลงใหลผ่านคำให้สัมภาษณ์ว่า “เมื่อ 3 ชั่วโมงก่อนเรายังกินพิซซ่าและคุยกันแทบจะมีแต่เรื่องคณิตศาสตร์”
• เมื่อ 5 ปีก่อน ทั้งสองคนได้เห็น วิดีโอ YouTube ที่ลูกบาศก์หนึ่งผ่านทะลุอีกลูกบาศก์หนึ่ง และหลงใหลในปัญหา Rupert
  • หลังจากนั้นพวกเขาจึงพัฒนา อัลกอริทึมค้นหา Rupert passage ของตนเอง และเชื่อมั่นว่ารูปทรงบางชนิดไม่สามารถผ่านทะลุได้
• ในบทความวิจัยปี 2021 พวกเขาคาดว่า rhombicosidodecahedron (ทรงสิบสองเหลี่ยมสี่สิบหน้าแบบขนมเปียกปูน) อาจไม่ใช่ Rupert shape
  • สิ่งนี้ถูกประเมินว่าเป็นข้อเสนอสมมติฐานครั้งแรกเกี่ยวกับ “ของแข็งที่ผ่านทะลุไม่ได้” ซึ่งเกิดขึ้นก่อนงานวิจัยล่าสุดของ Murphy และ Grimmer
• Steininger กล่าวไว้ว่า “งานของเราเป็นงานแรกที่คาดว่าอาจมีของแข็งที่ไม่มีคุณสมบัติแบบนี้”

เงื่อนไขทางคณิตศาสตร์ในการพิสูจน์ Nopert

• การพิสูจน์ว่ารูปทรงใดเป็น Nopert ต้องแสดงให้เห็นว่า ไม่มี Rupert passage สำหรับทุกทิศทางและทุกชุดของการหมุนที่เป็นไปได้
  • แต่ละทิศทางสามารถแสดงได้เป็นชุดของมุมการหมุน
  • และชุดของมุมเหล่านี้สามารถแทนได้เป็นจุดหนึ่งใน parameter space มิติสูง
• ดังนั้นกระบวนการพิสูจน์จึงสรุปได้ว่าเป็น ปัญหาของการสำรวจ parameter space ทั้งหมดเพื่อตรวจยืนยันการไม่มีทางผ่าน
  • เรื่องนี้มีความซับซ้อนสูงในเชิงการคำนวณ และสำหรับการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์จำเป็นต้องพิจารณา ชุดค่าทิศทางที่เป็นอนันต์
• ผลลัพธ์จนถึงตอนนี้ยังคงอาศัย การตรวจสอบกรณีจำนวนจำกัดที่ทำได้ด้วยการสำรวจด้วยคอมพิวเตอร์ และการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์อย่างสมบูรณ์ยังอยู่ระหว่างดำเนินการ

[GN⁺]

ความคิดเห็นบน Hacker News

• น่าสนใจที่แทนที่จะทดสอบได้ทุกกรณี พวกเขาเลือกกรณีหนึ่งแล้วใช้วิธี ตัดความเป็นไปได้ทิ้ง จำนวนมากรอบ ๆ กรณีนั้น
  ไม่นานมานี้ฉันเพิ่งดูวิดีโอเจ๋ง ๆ เกี่ยวกับหัวข้อ Rupert/Nopert แล้วรู้สึกว่าจังหวะมันมาใกล้กับงานวิจัยนี้พอดี เลยเหมือนเป็นเรื่องบังเอิญที่น่าสนุก
  • ที่จริงก็ไม่ค่อยบังเอิญเท่าไร ในบทความก็พูดถึง tom7 อยู่แล้ว และช่วงท้ายวิดีโอของเขาก็กล่าวถึงงานวิจัยฉบับนี้โดยตรงด้วย หมายความว่า tom7 เองก็พยายามพิสูจน์ปัญหาเดียวกันนี้อยู่เหมือนกัน
• ชื่อเรื่องค่อนข้าง ชวนให้เข้าใจผิด เล็กน้อย โดยเฉพาะเพราะรูปร่างอื่นอย่างทรงกลม (sphere) นั้นเป็นที่รู้กันมานานแล้วว่าทำไม่ได้ ส่วนความใหม่ครั้งนี้คือมันเป็น พหุภาค (polyhedron) ชนิดแรกที่ทะลุตัวเองไม่ได้
  • ถ้าจะให้แม่นยำกว่านั้นคือหมายถึงพหุภาค นูน (convex) ถึงอย่างนั้นข้อทักท้วงเรื่องชื่อก็ยังสมเหตุสมผล
  • ทรงกลมสามารถประมาณได้ด้วยพหุภาค โดยทั่วไปพหุภาคแบบนั้นก็น่าจะมีคุณสมบัติ Rupert แต่ Nopert ครั้งนี้ต่างออกไปตรงที่จุดยอดใกล้ระนาบบนและล่างมี มุมที่เอียงน้อยกว่าต่อแกนตั้ง
    เลยอดสงสัยไม่ได้ว่าชิ้น T-tetromino จะทะลุตัวเองได้หรือไม่
  • สำหรับคนที่ไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญ ฉันว่าถ้าพาดหัวประมาณว่า “ค้นพบรูปทรงแรกที่ไม่มีเส้นโค้ง” น่าจะชัดเจนกว่า
  • สงสัยว่าทำไมทรงกลมถึงทะลุตัวเองไม่ได้ ตอนฉายเป็นเงามันก็มีขนาดเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลาง เลยรู้สึกว่าเหมือนน่าจะทำได้
• เพราะมีหน้าราบอยู่สองหน้า เลยคงใช้เป็น ลูกเต๋า D&D ไม่ได้ ฉันยังคงเชียร์ rhombicosidodecahedron เหมือนเดิม
• ฉันชอบ ระดับความละเอียดของคำอธิบาย ในบทความ มันไม่จมลงไปในรายละเอียดทางคณิตศาสตร์ แต่ก็ให้มากพอที่จะเข้าใจว่างานวิจัยพูดถึงอะไรจริง ๆ
• ฉันรู้จัก Prince Rupert แค่จาก “Prince Rupert’s drops” ที่ตั้งชื่อตามเขาเท่านั้น แต่เพิ่งรู้ว่าเขาเป็นคนที่ทำงานหลากหลายมาก
  ดูเพิ่มเติมได้ที่วิกิพีเดีย
• ไม่น่าเชื่อว่ายังไม่มีคำศัพท์อย่าง anisotransient สำหรับคุณสมบัติแบบนี้
• ถ้าการหาเพียงตัวอย่างเดียวก็ยากขนาดนี้ ผลลัพธ์ถัดไปคงจะเป็นประมาณว่า “พหุภาคนูนเกือบทั้งหมดไม่สามารถทะลุตัวเองได้”
• จำเป็นไหมว่าต้อง ทะลุผ่านเป็นเส้นตรง? ฉันนึกภาพแบบหมุนไปพร้อมกับทะลุผ่านได้ เหมือนพวกบล็อกพัซเซิลหรือการหมุนโซฟาผ่านมุมห้อง
  ในบทความจำกัดไว้ที่การทะลุผ่านแบบเส้นตรง และการวิเคราะห์ส่วนใหญ่ก็ใช้เทคนิคการฉายเงาเลยอิงกับเส้นตรง แต่เงื่อนไขเดิมพันดั้งเดิมมีแค่ว่า “ทำให้สำเนาหนึ่งทะลุผ่านได้” ดังนั้นฉันคิดว่าการหมุนก็น่าจะเป็นแนวทางที่ยอมรับได้
  • แต่เพราะปัญหานี้จำกัดอยู่ที่ พหุภาคนูน การหมุนก็คงไม่น่าจะช่วยอะไร
• สงสัยว่าทำไมถึงใช้เวลากับงานวิจัยแบบนี้ เป็นเพียง ความอยากรู้อยากเห็น ล้วน ๆ หรือสุดท้ายจะมีคุณค่าเชิงปฏิบัติขึ้นมาได้กันแน่ มันให้ความรู้สึกใกล้กับงานศิลปะมากกว่า
  • ตัวปัญหาเองอาจไม่ใช่เรื่องที่ใช้ประโยชน์ได้โดยตรง แต่ เทคนิค ที่พัฒนาขึ้นเพื่อแก้มันอาจนำไปประยุกต์ใช้ในสาขาอื่นได้
    ยิ่งไปกว่านั้น การทำวิจัยด้วยแรงขับจากความอยากรู้อย่างบริสุทธิ์ก็มีคุณค่าในตัวมันเองอยู่แล้ว
  • ตัวอย่างเช่น มีการศึกษาคณิตศาสตร์เชิงนามธรรมอย่าง การแปลงเมทริกซ์ และ surface normals มานานหลายสิบปี ก่อนที่มันจะกลายเป็นเทคโนโลยีหลักใน คอมพิวเตอร์กราฟิกส์ ช่วงทศวรรษ 1980
  • บางครั้งงานวิจัยแบบนี้ก็อาจนำไปสู่สิ่งประดิษฐ์ที่ใช้งานได้จริง เช่น Velcro หรือ กลไกล็อกตัวเอง ถ้ามีใครมองเห็นจุดเชื่อมโยง ก็อาจค่อย ๆ เปลี่ยนโลกได้
• ในมุมของคนทั่วไป ผู้สมัคร Nopert ดูเหมือนเป็น รูปทรงที่ค่อย ๆ เข้าใกล้ทรงกลม มากขึ้นเรื่อย ๆ ไม่ใช่หรือ เพราะทรงกลมไม่มี Rupert tunnel อยู่แล้ว
  • ใช่ ยิ่งมีหน้ามากขึ้นก็ยิ่งดูคล้ายทรงกลมมากขึ้น แต่ทรงกลมนั้นเป็น non-Rupert แบบชัดเจนอยู่แล้ว และคำถามที่น่าสนใจกว่าคือ พหุภาคนูนสามารถเป็น non-Rupert ได้หรือไม่
  • ฉันสงสัยว่าถ้าเพิ่มจำนวนหน้าไปเรื่อย ๆ จะยังทะลุผ่านกันได้ถึงเมื่อไร อาจทำได้ไปจนไม่สิ้นสุด หรืออาจมี Nopert โผล่มาเป็นช่วง ๆ ก็ได้ หรือไม่ก็อาจยิ่งมี Nopert มากขึ้นเรื่อย ๆ จนหาได้ยากขึ้น อยากลองทดลองเองดู
  • แต่ประเด็นสำคัญคือ พวกมัน ไม่เหมือนทรงกลม