- Erdős #281 เป็นปัญหาที่ตั้งอยู่บนสมมติฐานของสถานการณ์ที่ไม่ว่าจะเลือกสมการคองกรูเอนซ์จำนวนอนันต์อย่างไร สุดท้ายก็แทบไม่เหลือจำนวนเต็มที่ไม่เข้าเงื่อนไขของสมการคองกรูเอนซ์ใดเลย
- หากสถานการณ์นี้เป็นจริง คำถามคือในทางปฏิบัติจะสามารถกล่าวได้หรือไม่ว่า ต่อให้ไม่ต้องใช้สมการคองกรูเอนซ์อนันต์ทั้งหมด ใช้เพียงไม่กี่ข้อแรกก็เพียงพอที่จะคัดกรองจำนวนเต็มได้เกือบทั้งหมด
- Neel Somani ใช้ GPT-5.2 Pro เพื่อนำเสนอวิธีพิสูจน์สำหรับคำถามนี้ และนักคณิตศาสตร์หลายคนได้ร่วมกันตรวจสอบและเสริมความสมบูรณ์ โดยเน้นที่ขั้นตอนหลักของตรรกะ
- แทนที่จะคำนวณจำนวนเต็มทีละตัว แนวทางนี้มองจำนวนเต็มทั้งหมดเป็นหนึ่งปริภูมิ แล้วใช้คุณสมบัติของความหนาแน่นและลิมิตในการจัดการปัญหา
- ต่อมาพบว่าข้อสรุปเดียวกันสามารถอนุมานได้จากการผสมผสานทฤษฎีบทที่เป็นที่รู้จักมาก่อน และมีการถกเถียงต่อว่าทำไมความเชื่อมโยงนี้จึงไม่เป็นที่สังเกตมาเป็นเวลานาน
Erdős Problem #281 — ทฤษฎีบทแกนกลางของการถกเถียง
- Erdős #281 เป็นปัญหาที่ถามว่า เมื่อกำหนดสมการคองกรูเอนซ์จำนวนอนันต์มาให้แล้ว ไม่ว่าจะเลือกสมการเหล่านั้นอย่างไร สุดท้ายจะเกิดสถานการณ์ที่จำนวนเต็มเกือบทั้งหมดต้องอยู่ในอย่างน้อยหนึ่งสมการนั้นหรือไม่
- ตั้งต้นจากสมมติฐานที่รู้อยู่แล้วว่า หากใช้สมการคองกรูเอนซ์ทั้งหมด จำนวนเต็มที่ไม่อยู่ในสมการใดเลยจะเหลืออยู่น้อยมาก
- หากสมบัตินี้เป็นจริง ก็เกิดคำถามว่าจำเป็นต้องใช้สมการคองกรูเอนซ์จำนวนอนันต์ไปจนสุดหรือไม่ หรือเพียงใช้ไม่กี่ข้อแรกก็ให้ผลเกือบเหมือนกันแล้ว
- โครงสร้างของคำถามคือ ผลที่เป็นจริงในขั้นอนันต์จะได้รับการรับประกันโดยอัตโนมัติในขั้นจำกัดด้วยหรือไม่
- ภายใต้เงื่อนไขที่อนุญาตให้เลือกคลาสเศษเหลือที่เลวร้ายที่สุดได้เสมอ จึงมีความยากอยู่ที่ว่าจะกล่าวได้หรือไม่ว่าใช้สมการคองกรูเอนซ์จำนวนจำกัดก็เพียงพอ
แนวทางของวิธีพิสูจน์โดย Neel Somani และ GPT-5.2 Pro
- แทนที่จะพิจารณาจำนวนเต็มทีละตัว วิธีนี้มองจำนวนเต็มทั้งหมดเป็นหนึ่งปริภูมิ แล้วจัดการปัญหาด้วยแนวคิดเรื่องความหนาแน่น
- กำหนดเซตของจำนวนเต็มที่หลีกเลี่ยงสมการคองกรูเอนซ์ k ข้อแรกไว้เป็นวัตถุหนึ่งชิ้นสำหรับการวิเคราะห์
- เมื่อ k เพิ่มขึ้น เซตนี้จะค่อย ๆ เล็กลง และใช้โครงสร้างที่ลู่เข้าสู่ผลในขั้นอนันต์
- จากสมมติฐานที่ว่าจำนวนเต็มที่หลีกเลี่ยงสมการคองกรูเอนซ์อนันต์ทั้งหมดมีอยู่แทบไม่เหลือ นำไปสู่ตรรกะว่าที่ขั้นจำกัดเซตก็ย่อมต้องเล็กลงมากพอเช่นกัน
- กระแสการพิสูจน์โดยรวมอาศัยลิมิต ค่าเฉลี่ย และสมบัติการเลื่อน
กระบวนการตรวจสอบและพัฒนาของการถกเถียง
- มีการตรวจสอบอย่างเข้มข้นต่อความชอบธรรมของลำดับการนำลิมิตและกระบวนการจัดการค่าเฉลี่ยในวิธีพิสูจน์ที่นำเสนอ
- มีข้อสังเกตว่าบางขั้นตอนยังต้องการคำอธิบายเพิ่มเติมและการเสริมให้สมบูรณ์
- นักคณิตศาสตร์หลายคนได้ร่วมกันตรวจสอบตรรกะอย่างเปิดเผย พร้อมทำให้ความหมายของแต่ละขั้นตอนชัดเจนขึ้นทีละส่วน
- ท้ายที่สุด โครงสร้างแกนกลางของการให้เหตุผลยังคงอยู่ และถูกขัดเกลาให้อยู่ในรูปที่ชัดเจนยิ่งขึ้น
ความเชื่อมโยงกับทฤษฎีบทคลาสสิก
- มีการยืนยันว่าข้อสรุปเดียวกันสามารถได้มาจากการผสมผสานทฤษฎีบทที่รู้จักกันมาก่อน
- เป็นการประกบกันระหว่างผลลัพธ์ที่ว่าด้วยการลู่เข้าของความหนาแน่นภายใต้เงื่อนไขอนันต์ กับทฤษฎีบทที่อธิบายกรณีเลวร้ายที่สุดภายใต้เงื่อนไขจำกัด
- ความเชื่อมโยงนี้เผยให้เห็นโครงสร้างที่สมบัติในขั้นอนันต์สะท้อนอย่างเข้มแข็งไปยังขั้นจำกัดด้วย
- จึงเกิดการถกเถียงต่อว่าทำไมความเชื่อมโยงเช่นนี้จึงไม่ถูกจัดวางให้ชัดเจนมาเป็นเวลานาน
ทำไมกรณีนี้จึงได้รับความสนใจ
- เป็นกรณีที่ปัญหาซึ่งถูกตั้งขึ้นมานานแล้วกลับมาได้รับความสนใจอย่างมากอีกครั้ง จากแรงกระตุ้นของข้อเสนอวิธีพิสูจน์ที่อาศัย AI
- สิ่งที่เกิดขึ้นไม่ใช่ว่า AI นำเสนอคำตอบสำเร็จรูปได้เพียงลำพัง แต่เป็นการจุดประกายการถกเถียงด้วยมุมมองใหม่
- กรณีนี้ยืนยันว่าความยากของปัญหาสามารถเปลี่ยนไปได้มาก ขึ้นอยู่กับว่าจะย้ายมันไปคิดในภาษาและกรอบแบบใด
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นจาก Hacker News
ดังนั้นบทพิสูจน์ที่ LLM สร้างขึ้นจึงถูกย้ายไปยัง วิกิส่วนที่ 2 ของ Terence Tao
การพูดคุยที่เกี่ยวข้องอยู่ในโพสต์ฟอรัม erdosproblems
ที่แปลกยิ่งกว่าคือ บทพิสูจน์นั้นอยู่ในงานเขียนของ Erdős เอง แต่เขาก็ยังปล่อยให้ปัญหานี้คงสถานะเป็นปัญหาที่ยังไม่แก้
ที่มีคำตอบอยู่แล้วแต่ไม่มีใครรู้ เป็นเพราะคนไม่ค่อยสนใจมัน
การแค่ค้นเอกสารเก่าแล้วเรียกว่าเป็น ‘ความก้าวหน้าใหม่’ อาจเป็น ความก้าวหน้าที่เข้าใจผิด
หลายส่วนของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์จึงให้ความรู้สึกเหมือน การเล่นปริศนาทางปัญญา
ตาม คำอธิบายในวิกิ ของ Tao
ปัญหา Erdos มีระดับความยากหลากหลายมาก และบางข้อถูกจัดเป็น ปัญหาระดับต่ำที่ AI เหมาะจะแก้
โจทย์ง่าย ๆ ก็ยังอยู่ในระดับ “นักคณิตศาสตร์ชั้นนำก็ไม่ได้แก้ได้ทันที” จึงเหมาะใช้เป็นตัวชี้วัดความสามารถของ AI
เมื่อ AI พัฒนาขึ้นก็น่าจะค่อย ๆ ไต่บันไดความยาก ไปสู่ปัญหาที่ยากขึ้น
และยังไม่รู้ด้วยซ้ำว่าบทพิสูจน์นั้นอยู่ในงานของ Erdos เอง
แต่ใน Fediverse และ Twitter กลับพูดกันเหมือนเป็นความก้าวหน้าครั้งใหญ่ของ LLM
เขาประทับใจที่ LLM หลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดเรื่องการสลับลิมิตหรือการจัดการ quantifier ได้
เขาบอกว่าถ้าเป็นโมเดลรุ่นก่อนก็น่าจะพลาดตรงนี้
และระบุว่าได้บันทึกผลนี้ไว้ใน ส่วนที่ 1 ของวิกิ
ได้พิสูจน์ผลเดียวกันนี้ไว้แล้ว
Tao จึงคอมเมนต์ว่า “บทพิสูจน์ใหม่นี้ต่างจากของเดิม แต่จะย้ายไปส่วนที่ 2”
โมเดลรุ่นใหม่ชอบพูดอย่างมั่นใจว่าโค้ด “สมบูรณ์แบบ 100%” แต่พอใช้จริงกลับ ล่ม
แม้แต่ตอนพยายามจ่ายเงินให้ z.ai ก็ยังมีข้อผิดพลาดจนซื้อไม่ได้
LLM เป็นเทคโนโลยีที่น่าทึ่ง แต่ขณะเดียวกันก็เป็น เทคโนโลยีที่ถูกประเมินสูงเกินจริง
ต้องมีหลักฐานเชิงประจักษ์อย่างล็อกหรือผลการรัน
โมเดลมีหน้าที่แค่สร้างข้อความ ส่วนแอปต้องเป็นผู้ตรวจสอบ
แต่การสร้างข้อความที่สมบูรณ์แบบนั้นตอนนี้ เป็นไปไม่ได้
เพราะเคยเห็น LLM ตอบผิดอย่างมั่นใจมาหลายครั้ง
นโยบาย memory และข้อจำกัดการเข้าถึงโมเดลของ OpenAI ก็เป็นประเด็นที่น่าสนใจ
ส่วนกรณีนี้คือ ChatGPT 5.2 ให้คำตอบได้ภายใน 1 ชั่วโมง
แต่ยังไม่ชัดว่าทำซ้ำได้หรือไม่ ทำไมถึงได้วิธีแก้แบบนั้น และ มันพิสูจน์อะไรแน่
การตรวจสอบของ Tao ช่วยเพิ่มความน่าเชื่อถือ แต่สุดท้ายก็ยังเหลือคำถามว่า “โมเดลถูกฝึกมาให้เหมาะกับคณิตศาสตร์บริสุทธิ์มากขึ้นหรือเปล่า?”
ดู กรณีก่อนหน้า และ ลิงก์เซสชัน ChatGPT
ลิงก์ที่เกี่ยวข้อง
Tao จะดูก่อนว่าบทพิสูจน์ถูกต้องหรือไม่ แล้วจึงตรวจ ความใหม่ ด้วยการค้นวรรณกรรม
ตอนนี้บทพิสูจน์ที่ใหม่จริงทั้งหมดแทบยังไม่มี แต่ แนวทางใหม่ เริ่มปรากฏแล้ว
กรณีนี้เองตอนแรกก็ดูเหมือนเป็นบทพิสูจน์ใหม่ แต่สุดท้ายก็เป็น ผลที่ Erdos รู้อยู่แล้ว
พอเอาบทพิสูจน์ทั้งสองไปให้ Opus ดู ก็มีการบอกว่า ยืนยันได้ว่าทั้งคู่สมมูลกัน
โดยยกตัวอย่างเซต (U_k) เพื่อชี้ความเป็นไปได้ของตัวอย่างโต้แย้ง
ดูการถกเถียงที่ คอมเมนต์นี้
ความแม่นยำทางคณิตศาสตร์ต่ำกว่า ChatGPT หรือ Gemini Pro
เลยอดสงสัยไม่ได้ว่านักคณิตศาสตร์มืออาชีพบางคนอาจ ใช้ AI แต่ไม่ได้เปิดเผย หรือเปล่า
คล้ายกับ การแข่งขันโด๊ปในกีฬา ที่ทุกคนต้องใช้เพื่อไม่ให้ตามหลัง
ยิ่งไปกว่านั้น การใช้ AI ก็ ไม่ได้ผิดกติกา
แต่ LLM ยังสร้างความคืบหน้าที่มีสาระจริงไม่ได้
ส่วนตัวคิดว่าแค่ บรรทัดขอบคุณหนึ่งบรรทัด ก็น่าจะเหมาะสม
ในฐานะ postdoc ด้านคณิตศาสตร์ พอลองใช้ GPT 5.2 แล้วรู้สึกว่า โกหกน้อยลงและยอมรับตรง ๆ เวลาไปไม่รอด
ตรงกันข้าม Gemini 3 ถ้าตอบผิดมักจะ สร้างทฤษฎีปลอมขึ้นมาเอง
หรือเป็น ผลงานวิจัยที่สร้างสรรค์จริง ๆ
ปัญหา Erdos มีความยากกระจายกว้างมาก และมี กลุ่มปัญหาระดับต่ำที่ AI แก้ได้ง่าย อยู่จริง
เพราะถ้าเป็นปัญหาที่อยู่ในรายการของ Erdos อย่างน้อยก็น่าจะมีใคร เคยลองทำดูสักครั้ง