ลำดับที่มองผ่านภาพในทฤษฎีหมวดหมู่

• เมื่อ ความสัมพันธ์แบบทวิภาค บนเซตของสมาชิกเป็นไปตามกฎอย่าง สภาพสะท้อน, สภาพถ่ายทอด, และ สภาพปฏิสมมาตร ก็จะเกิดโครงสร้างของลำดับ
• ลำดับเชิงเส้น คือโครงสร้างที่สมาชิกทุกคู่สามารถเปรียบเทียบกันได้ และเมื่อตัดเงื่อนไขความเป็นลำดับทั้งหมดออก ก็จะกลายเป็น ลำดับบางส่วน
• ในลำดับบางส่วน เราสามารถทำความเข้าใจโครงสร้างผ่าน chain, greatest element·least element, join·meet, และ Hasse diagram
• การผสมสี, การหารลงตัว, และความสัมพันธ์การเป็นสับเซตของเซต เป็นตัวอย่างของลำดับบางส่วน และเมื่อมีทั้ง join และ meet ครบ ก็จะเกิดเป็น lattice
• preorder คือโครงสร้างที่มีเพียงสภาพสะท้อนและสภาพถ่ายทอด และ preorder ทุกอันสามารถตีความเป็น หมวดหมู่ ที่มีมอร์ฟิซึมได้มากสุดหนึ่งตัวระหว่างวัตถุสองตัว

---

ลำดับ

• ลำดับ ประกอบด้วยเซตของสมาชิกและ ความสัมพันธ์แบบทวิภาค บนเซตนั้น และจะเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ได้เมื่อเป็นไปตามกฎบางอย่าง
  • ประเด็นสำคัญไม่ได้อยู่ที่เกณฑ์การจัดลำดับเอง แต่อยู่ที่ความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกมีคุณสมบัติแบบใด
  • ความสัมพันธ์แบบทวิภาคคือความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกสองตัวในเซต และสามารถแสดงเป็นลูกศรได้ด้วย
• ในเชิงทฤษฎีเซต ลำดับสามารถแสดงเป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตกับตัวเองได้ ส่วนในเชิงการเขียนโปรแกรมอาจแสดงเป็นฟังก์ชันที่ใช้เปรียบเทียบวัตถุสองตัว
  • แต่ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันเปรียบเทียบหรือทุกเซตของคู่สมาชิกที่จะนิยามลำดับได้ หากต้องการให้ผลลัพธ์สอดคล้องกันโดยไม่ขึ้นกับการจัดวางเริ่มต้น ก็ต้องมีกฎบางอย่างรองรับ

ลำดับเชิงเส้น

• ลำดับเชิงเส้นคือลำดับที่สมาชิกทุกตัวมีตำแหน่งเมื่อเทียบกัน และเป็นโครงสร้างที่ไม่กำกวมว่าองค์ประกอบใดมาก่อนอีกองค์ประกอบหนึ่ง

  • ตัวอย่างเช่น ลำดับของสีตามความยาวคลื่นของแสง หรือการเรียงตัวของสีในสายรุ้ง
  • ลำดับเชิงเส้นนิยามด้วยความสัมพันธ์แบบทวิภาคที่เป็นไปตาม สภาพสะท้อน, สภาพถ่ายทอด, สภาพปฏิสมมาตร, และ ความเป็นลำดับทั้งหมด
  • กฎทั้งสี่ข้อนี้คือเงื่อนไขที่ประกอบกันเป็นความสัมพันธ์เชิงลำดับ

• สภาพสะท้อน

  • สมาชิกทุกตัวต้องมากกว่าหรือเท่ากับตัวเอง กล่าวคือ สำหรับทุก $a$ จะมี $a \le a$
  • นี่คือกฎที่ใช้จัดการกรณีฐาน และหากนิยามในทางกลับกันว่าไม่ให้สัมพันธ์กับตัวเอง ก็จะได้โครงสร้างอีกแบบที่คล้าย strict order

• สภาพถ่ายทอด

  • ถ้า $a \le b$ และ $b \le c$ แล้วต้องมี $a \le c$
  • นี่เป็นกฎที่กำหนดแก่นสำคัญของลำดับอย่างมาก

• สภาพปฏิสมมาตร

  • เป็นกฎที่ ห้ามผลการเปรียบเทียบที่ขัดแย้งกัน โดยหาก $x \le y$ และ $y \le x$ จะอนุญาตได้เฉพาะเมื่อ $x = y$ เท่านั้น
  • สรุปได้ว่าไม่ยอมให้มีการเสมอกันระหว่างสมาชิกที่ต่างกัน

• ความเป็นลำดับทั้งหมด

  • สมาชิกทุกคู่ต้อง เปรียบเทียบกันได้ กล่าวคือ สำหรับสมาชิกใด ๆ สองตัว ต้องมี $a \le b \lor b \le a$
  • ไม่ว่าหยิบสมาชิกคู่ไหนมา ตัวหนึ่งต้องมากกว่าหรือเท่ากับอีกตัวเสมอ
  • เพราะความเป็นลำดับทั้งหมดครอบคลุมกรณีที่ $a$ และ $b$ เท่ากันอยู่แล้ว จึงรวมสภาพสะท้อนเป็นกรณีพิเศษด้วย
  • เมื่อตัดเงื่อนไขนี้ออก จะได้ ลำดับบางส่วน และลำดับเชิงเส้นยังเรียกได้ว่า total order

• ลำดับของจำนวนธรรมชาติ

  • จำนวนธรรมชาติสร้างลำดับเชิงเส้นภายใต้ความสัมพันธ์ มากกว่าหรือเท่ากับ
  • ลำดับเชิงเส้นจำกัดทุกอันมี สมสัณฐาน กับสับเซตของจำนวนธรรมชาติ โดยจับคู่องค์ประกอบตัวแรกกับ 1 ตัวที่สองกับ 2 เป็นต้น
  • ดังนั้นลำดับเชิงเส้นจำกัดทุกอันที่มีขนาดเท่ากันจึงสมสัณฐานกัน
  • ในมุมมองของทฤษฎีหมวดหมู่ ยังกล่าวได้ด้วยว่าแผนภาพของลำดับเชิงเส้นจำกัดทั้งหมดและลำดับเชิงเส้นอนันต์ส่วนใหญ่นั้นดูเหมือนกัน

ลำดับบางส่วน

• ลำดับบางส่วน คือโครงสร้างที่ได้จากลำดับเชิงเส้นโดยตัด ความเป็นลำดับทั้งหมด ออก และเหลือเพียง สภาพสะท้อน, สภาพถ่ายทอด, และ สภาพปฏิสมมาตร
  • ใช้ชื่อว่า partially-ordered set หรือ poset ด้วย
• ลำดับเชิงเส้นทุกอันเป็นลำดับบางส่วน แต่ลำดับบางส่วนไม่จำเป็นต้องเป็นลำดับเชิงเส้น
• ลำดับบางส่วนยังเชื่อมโยงกับ ความสัมพันธ์สมมูล ได้ด้วย โดยเป็นโครงสร้างที่แทน สมมาตร ของความสัมพันธ์สมมูลด้วย ปฏิสมมาตร
• ในตัวอย่างการเปรียบเทียบทักษะฟุตบอล หากมีเฉพาะบางคนที่เปรียบเทียบกันได้โดยตรงหรือโดยอ้อม ก็อาจเกิดลำดับเชิงเส้นได้ แต่ถ้ามีคนที่ไม่เคยแข่งกันเลยรวมอยู่ด้วย ก็จะกลายเป็น โครงสร้างไม่เชิงเส้น และเกิดเป็นลำดับบางส่วน
  • ลำดับบางส่วนอาจไม่สามารถให้คำตอบที่ชี้ขาดได้เสมอสำหรับคำถามว่าใครดีกว่าใคร

• chain

  • ลำดับบางส่วนอาจประกอบด้วย สับเซตเชิงเส้น หลายชุด และสับเซตเชิงเส้นลักษณะนี้เรียกว่า chain
  • มีตัวอย่าง chain สองชุดคือ $m \to g \to f$ และ $d \to o$
  • chain ไม่จำเป็นต้องแยกจากกันอย่างสิ้นเชิง ตราบใดที่การเชื่อมต่อทั้งหมดไม่ได้ต่อกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งจนรวมเป็น chain เดียว ก็ยังคงเป็นลำดับบางส่วนได้
  • ในตัวอย่าง เราทราบได้ว่า $d \le g$ และ $f \le g$ แต่ ความสัมพันธ์ระหว่าง $d$ กับ $f$ ยังไม่ถูกกำหนด

• greatest element และ least element

  • ถ้าสมาชิกใด $a$ เป็นไปตาม $x \le a$ สำหรับสมาชิกอื่นทุกตัว $x$ สมาชิกนั้นจะเป็น greatest element
  • ลำดับบางส่วนบางอันมีสมาชิกเช่นนี้ และในแผนภาพตัวอย่าง $m$ คือ greatest element
  • แม้จะมีหลายสมาชิกที่มากกว่าสมาชิกอื่นทั้งหมด แต่หากพวกมันไม่ใช่ตัวเดียวกัน ก็จะไม่มี greatest element
  • เช่นเดียวกัน เราสามารถนิยาม least element ได้

• join

  • least upper bound ของสมาชิกสองตัวที่เชื่อมโยงกันเรียกว่า join
  • เงื่อนไขมีสองข้อ
    • ต้องมี $A \le G$ และ $B \le G$
    • สำหรับสมาชิกอื่นใด $P$ ที่มากกว่า $A$ และ $B$ ต้องมี $G \le P$
  • หากสมาชิกตัวหนึ่งมากกว่าอีกตัวอยู่แล้ว join ก็คือสมาชิกที่มากกว่านั้นเอง
  • ในลำดับเชิงเส้น join ของสมาชิกคู่ใด ๆ ก็คือสมาชิกที่มากกว่า
  • หากมี upper bound หลายตัวที่มีขนาดเท่ากัน join จะไม่มีอยู่ เพราะ join ต้องมีเอกลักษณ์

• meet

  • ในบรรดาสมาชิกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับสมาชิกสองตัวพร้อมกัน สมาชิกที่มากที่สุดเรียกว่า meet
  • ใช้กฎเดียวกับ join แต่กลับทิศทางกัน

• Hasse diagram

  • แผนภาพที่ใช้ในส่วนนี้คือ Hasse diagrams
  • มีกฎเพิ่มเติมว่าต้องวางสมาชิกที่มากกว่าไว้ด้านบนเสมอ
  • หากมีลูกศร จุดปลายทางของลูกศรจะอยู่สูงกว่าเสมอ
  • ด้วยการจัดวางแบบนี้ เราสามารถดูความสัมพันธ์บน-ล่างของจุดสองจุดเพื่อเปรียบเทียบได้ และยังหา join ได้โดยมองหาสมาชิกที่เชื่อมร่วมกันแล้วอยู่ต่ำที่สุด

• ลำดับบางส่วนของการผสมสี

  • มีการยกตัวอย่าง color-mixing partial order ที่นิยามให้แต่ละสีชี้ไปยังสีที่รวมสีนั้นอยู่
  • join ของสีสองสีใด ๆ คือสีที่ได้จากการผสมสองสีนั้น

• ลำดับบางส่วนของจำนวนตามการหารลงตัว

  • ถ้าจัดลำดับจำนวนไม่ตามขนาด แต่ตาม การหารลงตัว ก็จะได้ลำดับบางส่วน
  • นิยามว่า $a$ มาก่อน $b$ หาก $a$ หาร $b$ ลงตัว
  • ตัวอย่างเช่น $2 \times 5 = 10$ ดังนั้น 2 และ 5 มาก่อน 10 แต่ 3 ไม่มาก่อน 10
  • ในลำดับนี้ join คือ ค่าน้อยร่วมมาก และ meet คือ ค่ามากร่วมมาก

• ลำดับบางส่วนจากการรวมอยู่

  • เมื่อมีหลายเซตที่มีสมาชิกบางส่วนร่วมกัน เราสามารถนิยาม inclusion order ได้
  • หากเซต $a$ ครอบคลุม $b$ หรือพูดอีกแบบว่า $b$ เป็นสับเซตของ $a$ ก็ถือว่า $a$ มาก่อน $b$
  • ในกรณีนี้ join คือ ยูเนียน และ meet คือ อินเตอร์เซกชัน
  • ถ้านำสีที่อยู่ในแต่ละเซตมาผสมกัน ก็จะได้โครงสร้างเดียวกับลำดับบางส่วนของการผสมสีที่กล่าวไปก่อนหน้า
  • ลำดับการหารลงตัวของจำนวนมีสมสัณฐานกับลำดับการรวมอยู่ของ เซตของจำนวนเฉพาะ หรือ prime powers ที่อนุญาตให้ซ้ำได้
  • ข้อนี้ยืนยันได้จากทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตที่บอกว่าจำนวนทุกตัวเขียนเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้อย่างแน่นอนเพียงแบบเดียว

ทฤษฎีบทการแทนค่าของ Birkhoff

• ทั้งลำดับบางส่วนของการผสมสีและลำดับบางส่วนของการหารลงตัวของจำนวน สามารถแทนได้เป็นลำดับการรวมอยู่ของการจัดชุดที่เป็นไปได้ของ สมาชิกพื้นฐาน บางอย่าง
  • ในกรณีแรก สมาชิกพื้นฐานคือแม่สี ส่วนกรณีหลังคือจำนวนเฉพาะหรือกำลังของจำนวนเฉพาะ
• ทฤษฎีบทที่กำหนดว่าลำดับบางส่วนจำกัดใดสามารถแทนในรูปแบบนี้ได้คือ Birkhoff’s representation theorem
  • มีเงื่อนไขสองข้อ
    • สำหรับสมาชิกทุกคู่ ต้องมีทั้ง join และ meet
    • join และ meet ต้อง แจกแจงกันได้ หากใช้สัญลักษณ์ $∨$, $∧$ จะได้ว่า $x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)$
• ลำดับบางส่วนที่สมาชิกทุกตัวมี join และ meet เรียกว่า lattice
• หากการดำเนินการสองอย่างนั้นแจกแจงกันได้ ก็เรียกว่า distributive lattice
• สมาชิก “เชิงจำนวนเฉพาะ” ที่ใช้สร้างลำดับการรวมอยู่ คือสมาชิกที่ไม่สามารถเขียนเป็น join ของสมาชิกอื่นได้ และเรียกว่า join-irreducible elements
• ทฤษฎีบทนี้ยังกล่าวได้อีกแบบว่า distributive lattice ทุกอันสมสัณฐานกับ inclusion order ของ join-irreducible elements ของมันเอง
• ลำดับบางส่วนที่ไม่ใช่ distributive lattice ก็อาจสมสัณฐานกับ inclusion order ได้เช่นกัน แต่ในกรณีนั้นจะสอดคล้องกับ inclusion order ที่ ไม่ได้รวมทุกชุดผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมด

แลตทิซ

• lattice คือลำดับบางส่วนที่สมาชิกทุกคู่มีทั้ง join และ meet
  • lattice ทุกอันเป็นลำดับบางส่วน แต่ไม่ใช่ทุกลำดับบางส่วนจะเป็น lattice
• ลำดับบางส่วนจำนวนมากที่สร้างจากกฎบางอย่างเป็น distributive lattice และตัวอย่างในส่วนก่อนหน้าหากวาดให้สมบูรณ์ก็จะกลายเป็น distributive lattice ด้วย
• ในตัวอย่างการผสมสี มีการเพิ่มลูกบอลสีดำไว้ด้านบนและลูกบอลสีขาวไว้ด้านล่าง
  • หากไม่ทำเช่นนั้น สมาชิกสามตัวด้านบนจะไม่มี join และสมาชิกสามตัวด้านล่างจะไม่มี meet

• bounded lattice

  • lattice ที่มีทั้ง greatest element และ least element เรียกว่า bounded lattice
  • ใน color-mixing lattice ลูกบอลสีดำคือ greatest element และลูกบอลสีขาวคือ least element
  • ยังมีการกล่าวด้วยว่า lattice จำกัดทุกอันเป็น bounded

สมสัณฐานเชิงลำดับ

• สมสัณฐานเชิงลำดับ คือฟังก์ชัน ผกผันได้ ระหว่างเซตรองรับของลำดับสองอัน และเป็นฟังก์ชันที่รักษาลูกศรของลำดับไว้
• หากใช้ลำดับการหารลงตัวของจำนวนกับลำดับการรวมอยู่ของจำนวนเฉพาะเป็นตัวอย่าง จะประกอบด้วยฟังก์ชันสองตัว
  • ฟังก์ชันจากลำดับการรวมอยู่ของจำนวนเฉพาะไปยังลำดับของจำนวนคือ การคูณ สมาชิกในเซตเข้าด้วยกัน
  • ฟังก์ชันจากลำดับของจำนวนไปยังลำดับการรวมอยู่ของจำนวนเฉพาะคือ prime factorization ที่แยกจำนวนออกเป็นผลคูณ
• เงื่อนไขสำคัญของสมสัณฐานเชิงลำดับคือ สำหรับสมาชิกสองตัว $a$, $b$ ต้องมี $a \le b$ ก็ต่อเมื่อ $F(a) \le F(b)$
• ฟังก์ชันแบบนี้เรียกว่า order-preserving

พรีออร์เดอร์

• preorder คือโครงสร้างที่ได้จากลำดับเชิงเส้นโดยตัด สภาพปฏิสมมาตร ออก และเหลือเพียง สภาพสะท้อน กับ สภาพถ่ายทอด
• หากมองตามเกณฑ์การเปรียบเทียบ
  • ลำดับเชิงเส้นคือ $a \le b$ หรือ $b \le a$
  • ลำดับบางส่วนคืออาจเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง หรือไม่เป็นทั้งคู่ก็ได้
  • พรีออร์เดอร์คืออาจเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง, ไม่เป็นทั้งคู่, หรือ เป็นจริงทั้งคู่ ก็ได้
• พรีออร์เดอร์ไม่เหมือน “ลำดับ” ในความหมายทั่วไป และอาจมีลูกศรจากจุดใดก็ได้ไปยังอีกจุดหนึ่ง
  • มีตัวอย่างการจำลองว่า “ใครชนะใคร” ในฟุตบอล โดยรวมทั้งชัยชนะทางตรงและทางอ้อม
• เพราะสภาพถ่ายทอด ชัยชนะทางอ้อมจะถูกเติมเข้าไปเหมือนเป็นความสัมพันธ์ทางตรง และเมื่อเกิดความสัมพันธ์แบบวนรอบ ผลลัพธ์คือวัตถุหลายตัวเชื่อมถึงกันได้ทั้งหมด

• พรีออร์เดอร์และความสัมพันธ์สมมูล

  • พรีออร์เดอร์เป็นโครงสร้างกึ่งกลางระหว่าง ลำดับบางส่วน กับ ความสัมพันธ์สมมูล
  • เพราะส่วนที่ต่างกันคือเรื่อง (ปฏิ)สมมาตร เท่านั้นที่หายไป
  • ภายในพรีออร์เดอร์ สมาชิกที่เชื่อมกันได้สองทางจะเป็นไปตาม สมมาตร จึงก่อเป็นความสัมพันธ์สมมูล
  • เมื่อนำสมาชิกเหล่านี้มาจัดกลุ่ม จะได้ equivalence classes ของพรีออร์เดอร์
  • หากย้ายไปพิจารณาเฉพาะการเชื่อมต่อระหว่างคลาสสมมูล การเชื่อมต่อนั้นจะเป็นไปตาม ปฏิสมมาตร และก่อเป็นลำดับบางส่วน
  • ดังนั้นสำหรับพรีออร์เดอร์ทุกอัน เราสามารถนิยาม ลำดับบางส่วนบนคลาสสมมูลของพรีออร์เดอร์นั้น ได้

พรีออร์เดอร์กับทฤษฎีหมวดหมู่

• สภาพถ่ายทอด ของพรีออร์เดอร์คือกฎที่เมื่อมี $a \le b$ และ $b \le c$ แล้วจะได้ $a \le c$ ซึ่งตีความได้เป็น การประกอบ ของความสัมพันธ์
• นิยามของหมวดหมู่มีสองเงื่อนไขต่อไปนี้
  • มี มอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ สำหรับแต่ละวัตถุ
  • สามารถ ประกอบ มอร์ฟิซึมที่เหมาะสมสองตัวได้ และการประกอบนั้นต้องเป็นสมบัติการเปลี่ยนหมู่
• ในพรีออร์เดอร์ สภาพถ่ายทอดทำหน้าที่เป็นการประกอบ และ สภาพสะท้อน ทำหน้าที่เป็นมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์
• ดังนั้น พรีออร์เดอร์ทุกอันคือหมวดหมู่
• หมวดหมู่ทั่วไปอาจมีมอร์ฟิซึมได้หลายตัวระหว่างวัตถุสองตัว แต่ในพรีออร์เดอร์จะมี ได้มากสุดหนึ่งมอร์ฟิซึม ระหว่างวัตถุใด ๆ สองตัว
  • เพราะมีเพียงกรณีที่ $a \le b$ หรือไม่มี เท่านั้น
• เช่นเดียวกับที่โมนอยด์เป็นหมวดหมู่ที่มีวัตถุเพียงตัวเดียว ลำดับก็สามารถสรุปได้ว่าเป็นหมวดหมู่ที่มีมอร์ฟิซึมได้มากสุดหนึ่งตัวระหว่างวัตถุสองตัว
• ด้วยคุณสมบัตินี้ แผนภาพทุกอันในพรีออร์เดอร์จึงสลับที่ได้

• คุณสมบัติเชิงหมวดหมู่ของลำดับบางส่วนและพรีออร์เดอร์

  • ทั้งลำดับบางส่วนและพรีออร์เดอร์ต่างก็เป็นกรณีพิเศษของพรีออร์เดอร์ จึงเป็นหมวดหมู่เช่นกัน
  • พรีออร์เดอร์ถูกกล่าวถึงในทฤษฎีหมวดหมู่ว่าเป็น skeletal categories ซึ่งเป็นหมวดหมู่ที่ไม่มีวัตถุสมสัณฐานกันหลายตัวแยกกันอยู่ร่วมกัน

• product และ coproduct

  • นิยามของ coproduct ในหมวดหมู่ประกอบด้วยมอร์ฟิซึมสองตัว $A \to A + B$, $B \to A + B$ และสมบัติสากล
  • รูปแบบนี้ตรงกับนิยามของ join ในลำดับทุกประการ
  • ในลำดับ มอร์ฟิซึมทุกตัวมีเอกลักษณ์อยู่แล้ว ดังนั้น “มากกว่า” จึงสอดคล้องกับ “มีมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์อยู่”
  • ดังนั้น coproduct เชิงหมวดหมู่ในหมวดของพรีออร์เดอร์ก็คือ join
  • ด้วยหลักภาวะคู่กัน product จึงสอดคล้องกับ meet

• นิยามเชิงรูปนัย

  • ในทฤษฎีหมวดหมู่ หมวดหมู่ที่เหมือนลำดับ คือมีมอร์ฟิซึมได้มากสุดหนึ่งตัวระหว่างวัตถุสองตัว เรียกว่า thin categories
  • พรีออร์เดอร์ทุกอันมองได้ว่าเป็น thin category และในทางกลับกัน หมวดหมู่แบบนั้นก็ตีความเป็นพรีออร์เดอร์ได้
  • thin category เป็นบริบทที่เข้าใจง่ายกว่าหมวดหมู่ทั่วไป จึงใช้สำรวจแนวคิดเรื่องหมวดหมู่ได้ดี
  • การเข้าใจ meet และ join ยังช่วยให้เข้าใจแนวคิดทั่วไปกว่าอย่าง product และ coproduct ได้ด้วย
  • นอกจากนี้ยังเป็นกรอบที่มีประโยชน์เมื่อเราไม่สนใจความแตกต่างระหว่างมอร์ฟิซึมหลายตัวระหว่างวัตถุ และต้องการเพียงโครงสร้างอย่างง่าย

[GN⁺]

ความคิดเห็นจาก Hacker News

• ถ้าอยากเรียน category theory แบบ สายดั้งเดิม มากขึ้น หลายคนแนะนำ Basic Category Theory ของ Tom Leinster ที่อ่านได้ฟรี ฉันเองก็ตั้งใจว่าจะค่อย ๆ อ่านเหมือนกัน และจากที่ลองพลิกดูคร่าว ๆ รู้สึกว่ามัน เป็นคณิตศาสตร์มากกว่า แหล่งแบบ TFA แต่ก็ดีทีเดียว โดยเฉพาะตรงที่อธิบายได้น่าเชื่อกว่าว่าทำไม category theory ถึงตั้งตัวเป็นสาขาวิจัยหนึ่งได้
  • แต่ทั้งเล่มนี้และหนังสือ category theory โดยรวม ดูจะเขียนโดยสมมติว่าผู้อ่าน คุ้นกับคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรี อยู่แล้ว ถ้าไม่คุ้นกับ algebraic structures, linear algebra, topology ก็มีโอกาสสูงที่จะต้องคอยหาแหล่งอื่นมาอ่านประกอบเป็นระยะ ๆ และ category theory จะน่าประทับใจกว่ามากเมื่อคุณพอรู้บริบทเชิงความหมายที่มันพยายามรวมเข้าด้วยกันอยู่บ้าง ตัวอย่างเช่น หนังสืออาจแนะนำ initial property แบบทำให้ดูเหมือนเป็นเรื่อง очевидent ในตอนแรก แต่ประเด็นสำคัญคือคุณต้องสังเกตให้ได้ว่ามันไม่ได้เป็นจริงเองโดยอัตโนมัติสำหรับทุกโครงสร้าง
• ต่อให้ตั้งใจอ่านบทความด้วยความปรารถนาดีโดยไม่คิดจะไล่ตรวจคณิตศาสตร์ทีละบรรทัด แค่ตัวอย่าง JavaScript ในบทความก็ทำให้ความเชื่อมั่นสั่นคลอนแล้ว: [1, 3, 2].sort((a, b) => { if (a > b) { return true } else { return false } }) โค้ดแบบนี้ ไม่ใช่ comparator ที่ถูกต้อง API คาดหวังค่าเป็นลบ, 0, หรือค่าบวก แต่โค้ดนี้คืนค่า boolean และบน Chrome ของฉันมันได้ผลลัพธ์เป็น [1, 3, 2] เหมือนเดิม ในสายตาฉัน ความถูกต้องทางคณิตศาสตร์ของบทความก็อยู่ระดับใกล้เคียงกัน และฉันสรุปข้อทักท้วงแบบละเอียดไว้ในคอมเมนต์นี้
  • ฉันสงสัยว่าทำไมถึงต้องสมมติว่าโค้ดนั้นเป็น JavaScript ด้วย เท่าที่ฉันเห็น ต้นฉบับไม่ได้ระบุภาษาไว้ตรงไหนเลย
• สำหรับฉัน อุปสรรคจริงของคณิตศาสตร์เชิงนามธรรมโดยรวม โดยเฉพาะ category theory ไม่ใช่การที่คนไม่เข้าใจ "linear order" แต่เป็นความรู้สึกว่ามัน ดูไม่มีประโยชน์ เพราะอยู่ไกลจากชีวิตประจำวันเกินไป มันเหมือนเทน้ำลงบนกระจกที่เรียบลื่นสุด ๆ
  • เลยอยากรู้ว่าใน category theory มีอะไรแบบ ข้อเท็จจริงที่ทำให้หัวหมุน ตอนฟังครั้งแรกบ้างไหม สมัยก่อนตอนฉันได้ยินครั้งแรกว่า group theory ใช้พิสูจน์ได้ว่าสมการพหุนามดีกรีเกิน 5 ไม่มีสูตรคำตอบเชิงวิเคราะห์ทั่วไป ฉันตกใจมาก เลยอยากถามว่า category theory มีอะไรเทียบเคียงกันแบบนั้นไหม
  • ฉันรู้สึกว่าคำวิจารณ์นี้ถูกต้องยิ่งกว่าที่คิด ถ้าจุดมุ่งหมายของคณิตศาสตร์คือการคิดอย่างแม่นยำ บทความนั้นก็ ไม่แม่นยำ เกินไป ฉันกลับแปลกใจที่เหมือนไม่มีใครสนใจหรือสังเกตเห็น และในคอมเมนต์อื่นของฉัน ฉันก็ลิสต์ข้อผิดพลาดไว้แบบยังไม่ครบถ้วนดีนัก สรุปของฉันคือบทความแนวนี้ไม่ได้ช่วยผู้อ่านทั่วไปมากนัก ถ้า คณิตศาสตร์ที่ผิด ถูกบริโภคได้คล้ายกับคณิตศาสตร์ที่ถูก ความมีประโยชน์ของมันก็น่าสงสัยยิ่งขึ้น
  • ฉันมองว่านี่เป็นปัญหาเรื่องวิธีสอน order theory มีประโยชน์มาก ในการเขียนโปรแกรม แก่นคือการเลิกติดนิสัยมองโลกผ่าน comparator แบบ totally ordered และฉันรู้สึกว่า preorder มีพลังมากเป็นพิเศษ เช่น การเปลี่ยนสถานะของ state machine ในบางกรณีมองเป็น preorder ได้ และถ้าสร้างแบบนั้นได้ การทดสอบที่ซับซ้อนก็ย่อให้เหลือแค่การตรวจว่า <= เป็นจริงหรือไม่ แน่นอนว่าต้องใช้เวลาคิดมากกว่าจะคุ้น แต่ในทางกลับกัน ยิ่งดึงมันเข้ามาใช้กับงานประจำวันบ่อย ๆ มันก็จะยิ่งคุ้นมือ แล้วเวลามองเทสต์ คุณจะเริ่มมีสัญชาตญาณแบบว่า "เงื่อนไขนี้คงโมเดลเป็น preorder แบบหนึ่งได้"
  • ฉันเพิ่งตระหนักเรื่องนี้แบบชัด ๆ ตอนผ่านปริญญาเอกไปประมาณ 2 ปี และในวินาทีนั้นเองก็รู้ทันทีว่าพอเรียนจบ ฉันก็ อยากออกจากวงการนี้
• สไตล์การเขียนของผู้เขียนกับการ ใช้วงเล็บพร่ำเพรื่อ ทำให้ฉันทรมานมาก จริง ๆ แล้ว parenthetic material ที่จำเป็นมีไม่บ่อยนัก และฉันคิดว่างานเขียนเชิงเทคนิคที่ดีควรใช้วงเล็บอย่างยับยั้งชั่งใจมากกว่านี้
  • ฉันรู้สึกว่าทั่วทั้งอินเทอร์เน็ต โดยเฉพาะคอมเมนต์ใน HN มี การใช้วงเล็บ มากเกินไป ฉันเองก็เป็นบ้างเหมือนกัน แต่ถ้ามีส่วนขยายเบราว์เซอร์ที่พับหรือขีดทับวงเล็บซ้อนเมื่อเกินระดับที่กำหนดได้ก็น่าจะมีประโยชน์มาก
  • ฉันชอบล้อเล่นว่าพอจะเดา แนวโน้ม ADHD ของคนได้จากปริมาณวงเล็บที่เขาใช้ แน่นอนว่า Lisp programmer อาจเป็นข้อยกเว้น
• ฉันไม่ได้อ่าน category theory ลึกมาก แต่รู้สึกว่ามันเหมือนเวอร์ชันที่ อธิบายสิ่งที่โปรแกรมเมอร์ทำกันอยู่แล้วในเชิงคณิตศาสตร์ มากกว่า เป็นวิธีคิดที่คล้ายกับการขยับระดับนามธรรมขึ้นลง การจัดการกราฟ และการจัดการฟังก์ชันที่เปลี่ยน object ชนิดหนึ่งไปเป็นอีกชนิดหนึ่ง
• ฉันคิดว่ายังอธิบาย category theory ได้แทบจะเป็น ทฤษฎีของลูกศรล้วน ๆ ด้วยซ้ำ เพราะตามนิยาม object ทุกตัวมี identity arrow อยู่แล้ว ดังนั้นถ้าจับ identity arrow นั้นมาแทน object เอง ก็จะดูเหมือนว่า object เป็นแค่ syntactic sugar ชนิดหนึ่ง
  • ฉันเปิดบทความมาแล้วเห็นแต่รูป M&M สีต่าง ๆ เต็มไปหมด ก็รู้สึกว่าประเด็นนี้แทบจะชัดเจนในทันที แล้วก็ปิดเลย
• ฉันเคยเห็นใครบางคนวาดไดอะแกรมแบบนี้ด้วยสมุดกับดินสอ เมื่อก่อนฉันนึกว่าเป็น graph theory และก็เสียดายที่พลาดจังหวะเข้าไปคุย เขาดูเหมือนทำมันเป็นงานอดิเรกด้วย เลยยิ่งสงสัยว่ามี ปริศนา อะไรบ้างไหมที่สร้างได้ง่ายจากทฤษฎีหรือคณิตศาสตร์แนวนี้ อยากถามคนที่ทำงานหรือวิจัยด้านนี้ว่ามีอะไรแนะนำไหม
  • ฉันเคยทำงานด้าน algebraic graph theory เกี่ยวกับ s-arc transitive graphs ซึ่งน่าแปลกที่แทบไม่ต้องวาดกราฟจริง ๆ เลย ส่วนใหญ่เป็นการให้เหตุผลด้วย group actions, automorphisms, arc-stabilisers อะไรพวกนั้น สำหรับคนที่อยากเห็นภาพคร่าว ๆ ว่ามันเป็นอย่างไร ฉันเขียนโน้ตสั้น ๆ ไว้ที่นี่ มันไม่ได้พูดถึง s-arc-transitivity ที่ฉันวิจัยโดยตรง แต่พอช่วยให้เห็นบรรยากาศของสาขาได้ graph theory จำนวนมากดำเนินไปได้โดยไม่ต้องวาดกราฟที่เป็นรูปธรรมเลย
• ตอนเรียนปริญญาโทในปี 2015 ฉันเรียน category theory แล้วเห็นว่า ความสัมพันธ์เชิงลำดับ มีผลกับหลายอย่างมาก ตั้งแต่ data structures ไปจนถึง algorithms มันให้ความรู้สึกว่าเป็นเรื่องที่ พื้นฐานมากแต่ก็เป็นแกนสำคัญ
• สิ่งนี้ทำให้ฉันนึกถึง type classes ใน Haskell มันดูคล้ายกันตรงที่นิยามแนวคิดเรื่อง order ได้อย่างสง่างามด้วยชุดกฎของตัวเอง และจับความสัมพันธ์ต่าง ๆ ได้อย่างเรียบร้อย
• ฉันรู้สึกว่าเนื้อหาชิ้นนี้อธิบาย order relations ได้ชัดเจนมาก การทำโครงสร้างให้มองเห็นภาพช่วยให้แนวคิดนามธรรมย่อยง่ายขึ้นมาก