Claude Fable สร้างตัวอย่างโต้แย้งของข้อคาดการณ์ Jacobian

 (xcancel.com)
2 คะแนน โดย GN⁺ 16 시간 전 | 1 ความคิดเห็น | แชร์ทาง WhatsApp
  • แผนที่พหุนามที่ระบุว่า Claude Fable เป็นผู้สร้าง มีดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ Jacobian เป็นค่าคงที่ -2 และส่งจุดที่ต่างกันสามจุดไปยังจุดเดียวกัน จึงเป็น ตัวอย่างโต้แย้งของข้อคาดการณ์ Jacobian
  • แผนที่นี้นิยามบน ℂ³ → ℂ³ และองค์ประกอบทั้งสามล้วนประกอบด้วยพหุนามใน x, y, z
  • (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2), (-1, 3/2, 13/2) ซึ่งต่างกัน ล้วนถูกส่งไปเป็น (-1/4, 0, 0) จึงไม่เป็นฟังก์ชันเชิงหนึ่งต่อหนึ่ง
  • สามารถตรวจสอบ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ Jacobian และค่าฟังก์ชันของจุดอินพุตสองจุดได้จากการคำนวณ Wolfram|Alpha ที่ลิงก์ไว้
  • เนื่องจากมีดีเทอร์มิแนนต์ของ Jacobian ที่เป็นค่าคงที่และไม่เป็น 0 แต่ยังไม่เป็นฟังก์ชันเชิงหนึ่งต่อหนึ่ง นิพจน์ที่นำเสนอนี้จึง หักล้างข้อคาดการณ์ Jacobian บน ℂ³

แผนที่พหุนามและดีเทอร์มิแนนต์ของ Jacobian

  • แผนที่ ℂ³ → ℂ³ ประกอบด้วยองค์ประกอบพหุนามสามตัวดังนี้
    • องค์ประกอบที่หนึ่ง: (1+xy)^3z + y^2(1+xy)(4+3xy)
    • องค์ประกอบที่สอง: y + 3x(1+xy)^2z + 3xy^2(4+3xy)
    • องค์ประกอบที่สาม: 2x - 3x^2y - x^3z
  • ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ Jacobian ของแผนที่นี้คือ -2
  • สามารถตรวจสอบค่าดีเทอร์มิแนนต์ได้จากการคำนวณของ Wolfram|Alpha

จุดอินพุตสามจุดที่ทำให้ความเป็นหนึ่งต่อหนึ่งพังลง

  • จุดสามจุดต่อไปนี้ต่างกัน แต่ทั้งหมดถูกส่งไปเป็น (-1/4, 0, 0)
    • (0, 0, -1/4)
    • (1, -3/2, 13/2)
    • (-1, 3/2, 13/2)
  • ค่าฟังก์ชันของจุดอินพุตจุดแรกและจุดที่สองก็ตรวจสอบได้จากการคำนวณของ Wolfram|Alpha
  • ดังนั้นแผนที่พหุนามนี้ ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงหนึ่งต่อหนึ่ง และเมื่อประกอบกับเงื่อนไขที่ว่ามีดีเทอร์มิแนนต์ของ Jacobian เป็นค่าคงที่และไม่เป็น 0 จึงกลายเป็นตัวอย่างโต้แย้งของข้อคาดการณ์ Jacobian

บทความที่เกี่ยวข้อง

1 ความคิดเห็น

 
GN⁺ 16 시간 전
ความคิดเห็นจาก Hacker News

  • เมื่อราว 10 กว่าปีก่อน เคยพบ postdoc คนหนึ่งที่เชื่อว่าตนเจอสิ่งที่ใกล้เคียงกับตัวอย่างโต้แย้งของ Jacobian conjecture เขากับเพื่อนร่วมงานกำลัง brute force พหุนามที่มี ตัวแปรราว 16 ตัว และแต่ละพจน์มี 80~700 เทอม โดยใช้ binary tree กับการแมปสัมประสิทธิ์
    ตอนนั้นคาดกันว่าค่าขอบล่างของ (\max(\deg(P),\deg(Q))) สำหรับตัวอย่างโต้แย้ง ((P,Q)) น่าจะขึ้นไปถึง 200 ดังนั้นพอได้ยินว่า Claude Fable เจอ ตัวอย่างโต้แย้งดีกรี 7 ก็แทบไม่น่าเชื่อ รู้สึกเหมือนเป็นยุคใหม่จริง ๆ

    • ดูเหมือนจะสับสนระหว่างกรณี 2 ตัวแปรกับ 3 ตัวแปร แบบแรกนั้นตรวจไปจริง ๆ เกินดีกรี 150 แล้ว และตัวอย่างโต้แย้งครั้งนี้เป็นกรณี 3 ตัวแปร
    • ก็เลยสงสัยว่าตัวอย่างโต้แย้งนี้อาจอยู่ใน search space ตอนนั้นด้วยหรือเปล่า

  • นักคณิตศาสตร์ผู้เหลือเชื่อ Yitang Zhang ทุ่มเวลา 7 ปีเพื่อพิสูจน์ conjecture นี้ อาจารย์ที่ปรึกษา Moh เขียนไว้ว่า Zhang “ล้มเหลวอย่างย่อยยับ” ในการพิสูจน์ Jacobian conjecture และหลังออกจาก Purdue ก็ “ไม่ได้ตีพิมพ์บทความด้านพีชคณิตเรขาคณิตแม้แต่ฉบับเดียว” อีกทั้ง “ทำให้ 7 ปีในชีวิตของตัวเองและเวลาของผมสูญเปล่า”
    https://newyorker.com/magazine/2015/02/02/pursuit-beauty
    https://x.com/aminkarbasi/status/2079129649830137989
    https://en.wikipedia.org/wiki/Yitang_Zhang

    • นี่คือบันทึก ช่วงที่ Zhang อยู่ Purdue ที่ T.T. Moh เขียนไว้: https://www.math.purdue.edu/~ttm/ZhangYt.pdf
      แค่การที่เอกสารแบบนี้มีอยู่จริงก็น่าตกใจแล้ว

  • เป็นกรณีหายากที่เอาข้อมูลพลิกวงการใส่เข้าไปใน LLM แล้วกลับกลายเป็นฝั่ง LLM เองที่เกิดความสับสนทางจิตใจ พอเอาเข้า Claude Code มันพยายามยืนยันให้ได้ 100% โดย ตรวจสอบ 7 วิธี ก่อนจะแสดงอาการช็อกออกมา ซึ่งน่าประทับใจทีเดียว

    • ลองให้ ChatGPT ดูเพียง mapping โดยไม่ให้บริบท แล้วบอกว่า “ช่วยอธิบายฟังก์ชันนี้หน่อย” มันคำนวณ Jacobian และอื่น ๆ ไปเรื่อย ๆ ก่อนจะตระหนักถึงนัยของผลลัพธ์ที่กำลังเห็น หลังเช็กเลขคณิตซ้ำ 4 รอบ มันถึงขั้นสงสัยว่า SymPy อาจถูกดัดแปลง จึงตัดสินใจทำ ตัวตรวจสอบเชิงสัญลักษณ์แบบสด ๆ เพื่อยืนยันด้วยมือ
    • ยืนยันได้ว่า Claude มีอาการช็อก ส่วน Gemini ค้นเว็บก่อนแล้วอ้างข่าวนี้อยู่แล้ว ขณะที่ Kimi ยังเชื่อไม่ค่อยลง
    • ใครจะคิดว่า “DOES NOT COMPUTE” จะกลายเป็นสถานการณ์จริง
    • มันเหมือนปรากฏการณ์ อีโมจิยูนิคอร์น ฉบับคณิตศาสตร์ เวลาที่ LLM ได้รับหลักฐานหักล้างที่ปฏิเสธไม่ได้ต่อข้อความที่มัน “เชื่ออย่างลึกซึ้ง”
    • เคยได้ยินว่าพวกนักคณิตศาสตร์ก็ผ่านกระบวนการคล้ายกัน เมื่อเจอคำพิสูจน์แปลก ๆ จากแหล่งที่ไม่น่าไว้ใจหรือแม้แต่จากตัวเอง แต่สุดท้ายมันกลับถูกต้อง เพราะพวกเขาได้รับคำพิสูจน์มั่ว ๆ จากมือสมัครเล่นไม่หยุดจนโอกาสที่จะมีข้อบกพร่องร้ายแรงนั้นสูงลิ่ว และกับคำพิสูจน์ของตัวเองก็มีจุดบอดที่ทำให้วิจารณ์การกระโดดข้ามเหตุผลของตัวเองได้ยาก
      เลยต้องคอยสงสัยซ้ำแล้วซ้ำเล่าว่าพลาดอะไรไปหรือไม่ ตรวจทานหลายแบบจนแทบพัง ก่อนจะค่อย ๆ เอ่ยถึง ความเป็นไปได้ของความก้าวหน้าครั้งใหม่ อย่างระมัดระวังในที่สาธารณะ

  • ข้อดีของการเก็บกวาดทางคณิตศาสตร์แบบนี้คือ ตอนนี้จะไม่มีใครต้องเสียเวลาพิสูจน์ว่ามันจริงอีกแล้ว หวังว่าคราวหน้า LLM จะไปจัดการ Collatz conjecture ต่อ เพื่อช่วยประหยัดมหาศาลของ man-years ที่เหยื่อซึ่งไม่รู้ตัวทุ่มลงไป

    • เหตุผลที่ปัญหานี้ “ง่าย” ก็เพราะ conjecture มันเป็นเท็จ ถ้า Collatz conjecture เป็นจริงอย่างที่นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่คาด มันก็น่าจะพิสูจน์ยากกว่า ปัญหาของ Erdős โดยเฉลี่ยมาก
    • มันไม่ได้จบแค่นั้น ขั้นต่อไปคือต้องระบุให้ได้ว่าในพหุนามแบบไหน Jacobian conjecture เป็นจริง และในแบบไหนมันเป็นเท็จ
    • ตอนปลายศตวรรษก่อนผมยังเป็นนักคณิตศาสตร์หนุ่มอยู่ คำว่า “เสียเวลาไปกับการพยายามพิสูจน์” เป็นวิธีคิดแบบ MBA ที่มองว่าต้องผลิตผลงานและบทความออกมาเรื่อย ๆ
      ถ้าไปลุยปัญหายาก ต่อให้ล้มเหลวก็ยังเข้าใจผลลัพธ์และเครื่องมือต่าง ๆ ลึกขึ้น และนำไปใช้กับปัญหาอื่นได้ จึงไม่ใช่การเสียเวลาเลย กรณีสุดโต่งที่ทุ่มหลายปีให้ปัญหาเดียวมีบ้างแต่เป็นข้อยกเว้น

  • แน่นอนว่าการใช้ LLM สร้างโค้ดหรือคำพิสูจน์คุณภาพน่าสงสัยจำนวนมากมีปัญหาอยู่ จึงเข้าใจว่าทำไมถึงถกเถียงกันไม่จบ แต่ในการค้นหาตัวอย่างโต้แย้งนั้น brute force เป็นเรื่องปกติอยู่แล้ว ดังนั้นการใช้ LLM เป็น brute force ที่ล้ำหน้ากว่าจึงดูเป็นแนวทางที่เหมาะมาก และยากจะเข้าใจว่าทำไมถึงมีความเป็นปฏิปักษ์กันมากขนาดนี้

    • เมื่อเครื่องจักรเก่งขึ้นเรื่อย ๆ ในพื้นที่ที่เคยมีแต่สมองมนุษย์เท่านั้นที่มีประโยชน์ นี่คงเป็นเรื่องหนักมากสำหรับหลายคน ผมคิดว่าความเป็นปฏิปักษ์นี้ปะปนทั้งท่าทีแบบ “ก่อนมีคำพิสูจน์ ทุกอย่างอาจเป็นเรื่องเหลวไหล” และความกลัวว่า “เราจะสูญเสียสิ่งที่เคยมองว่าทำให้มนุษย์น่าทึ่งไปมาก”
      ในอีกไม่กี่ปีข้างหน้า ความเห็นอกเห็นใจ จะสำคัญอย่างยิ่ง และหลายคนจะทุกข์ทั้งภายในและภายนอก
    • การฟันธงว่าเป็นแค่ brute force ขั้นสูง โดยยังไม่ได้ดู trace การให้เหตุผลของ Fable ที่สร้างผลลัพธ์นี้ ดูเป็นการกระโดดสรุปเกินไป

  • ผมทำ vibe coding ด้านคณิตศาสตร์กับ AI มาหลายเดือนแล้ว และทำได้ง่ายอย่างน่าตกใจ ส่วนที่ยากคือการตรวจผลลัพธ์ด้วยตัวเองและยืนยันความสมเหตุสมผล โดยผมได้เขียนบทความแรกจากการค้นพบเล็ก ๆ ที่หักล้าง conjecture ได้
    การค้นพบถัด ๆ ไปอยู่ในสาขา quantum topology กับฟิสิกส์และมีเนื้อหาค่อนข้างมาก จึงกำลังตรวจอย่างเข้มงวดมากและเตรียมเผยแพร่ เวลาที่ใช้ไปกับการตรวจสอบ นานกว่าตอนค้นพบเสียอีก
    ถ้าสนใจ number theory บทความแรกอยู่ที่นี่: https://arxiv.org/abs/2607.09793

    • ผมเรียนฟิสิกส์มาและเคยตีพิมพ์งานมาก่อน แต่ก็ออกจากวงการวิชาการมานานแล้ว พอลองใช้ Claude แก้ปัญหาฟิสิกส์ที่ปนทั้งคณิตศาสตร์และการจำลอง ผลคือมันค่อนข้างพันกันไปหมด
      ความสามารถในการตั้งโจทย์และเสนอแนวทางที่เราไม่ได้นึกถึงนั้นน่าทึ่งมาก แต่ ความสามารถในการตีความผลลัพธ์ แย่กว่ามาก
    • อยากรู้ว่าตอนทำงานคุณพยายามเข้าใจด้วยตัวเองลึกแค่ไหน เมื่อเทียบกับการทำไปแบบจับทางที่ผิวหน้า อยากรู้ว่าคุณกดระดับความเข้าใจของตัวเองลงไปได้กี่ชั้นของ abstraction
    • ผมก็ทำแบบเดียวกันอยู่ใน type theory

  • ผู้โพสต์ทำงานที่ Anthropic จึงมีโอกาสสูงว่าอาจมีสิทธิ์เข้าถึง Fable รุ่นถัดไปภายใน โมเดลภายในนั้นเก่งคณิตศาสตร์มาก และน่าจะทำสถิติใหม่ด้านความสามารถทางคณิตศาสตร์ใน benchmark ที่กำลังจะออกเร็ว ๆ นี้
    นี่อาจเป็นเหตุผลที่เขาไม่อยากเปิดเผย prompt จริงและ trace การให้เหตุผล และอาจยังอยู่ภายใต้ ข้อตกลงไม่เปิดเผยข้อมูล จนกว่าโมเดลจะเปิดตัวอย่างเป็นทางการ

  • ดูเหมือนจะกระโดดไปสู่ข้อสรุปที่ใหญ่เกินไป เพราะ Sol ก็สามารถหาตัวอย่างโต้แย้งแบบเดียวกันได้อย่างอิสระ จึงไม่มีเหตุผลที่จะสรุปว่ามี Fable 6 ที่เหนือกว่าเบนช์มาร์กอย่างถล่มทลาย
    [1]: https://x.com/aaron_lou/status/2079218392452530249

    • ก็ไม่ได้ตื่นเต้นขนาดนั้น ฉันไม่ได้รับเชิญไปงานเลี้ยงที่คนมีสิทธิ์เข้าถึง AI ที่ดีที่สุด และก็ไม่แน่ใจด้วยว่าคนที่ได้รับเชิญจะเป็นตัวแทนผลประโยชน์ของฉันได้ดีนัก

  • น่าแปลกที่คนไม่ค่อยถามว่า Fable หาตัวอย่างโต้แย้งนี้ได้อย่างไร? เดา family ของพหุนามหลายแบบแล้วหาคำตอบที่เป็นไปได้ในแต่ละ family หรือใช้การค้นหาอย่างชาญฉลาด หรือเป็นวิธีอื่นกันแน่

    • มีข้อคาดเดาอยู่บ้างในบทสนทนา Claude นี้: https://claude.ai/share/22abed98-d9af-43c5-9881-b19e009a07b0
      ที่มาคือที่นี่: https://x.com/b_shrir/status/2079094004885668003?s=20
      สรุปสั้น ๆ คือ ในวรรณกรรมเดิมมีตัวอย่างโต้แย้งที่ผิดอยู่ตัวหนึ่งซึ่งใช้ได้เกือบทุกจุดยกเว้นจุดเอกฐานจุดเดียว ดูเหมือนว่า Fable จะใช้พหุนามนี้เป็นฐาน แล้ว ขยายมันเพื่อกำจัดจุดเอกฐาน โดยคงโครงสร้างไว้
    • กำลังย้ายทุกขั้นของตรรกะไปสู่การ พิสูจน์เชิงรูปนัยด้วย Lean วงจรป้อนกลับที่รวดเร็วระหว่างคำอธิบายที่ AI เขียนกับข้อผิดพลาด·คำเตือนจากการตรวจสอบของ Lean สามารถช่วยรับประกันความสอดคล้องทางตรรกะได้
      ปัญหาที่ยังเหลือคือ แนวคิดของบทพิสูจน์นั้นพิสูจน์ข้อความที่ต้องการจริงหรือไม่ และควรตีความผลลัพธ์ที่ได้อย่างไร นอกเหนือจากนั้น ทุกอย่างภายในโค้ดที่เคอร์เนลตรวจสอบแล้วมีความสอดคล้องทางตรรกะ

  • การที่ตัวอย่างโต้แย้งนี้เล็กเพียงนี้ แสดงให้เห็นชัดว่าเป็นพื้นที่ที่จะมีการค้นพบที่น่าสนใจอีกมาก ไม่ใช่เพราะปัญหายากสุดขั้ว แต่เพราะ การขยายสติปัญญาทำได้ยาก และก่อนที่คอมพิวเตอร์จะเข้ามารับช่วง ก็มีคนไม่มากที่ขุดคุ้ยปัญหาแบบนี้อย่างจริงจัง
    ฉันคาดหวังมากกับผลกระทบที่ปรากฏการณ์นี้จะมีต่อวิทยาศาสตร์ การแพทย์ และสาขาอื่น ๆ

  • ฉันไม่ค่อยรู้คณิตศาสตร์นัก ดังนั้นความเข้าใจ ระดับเด็ก 5 ขวบ ของฉันอาจช่วยได้หรืออาจต้องให้คนแก้ให้ ข้อคาดเดานี้หมายความว่า กระบวนการบางอย่างสามารถย้อนกลับได้เสมอเพื่อหาอินพุตเดิม และบทพิสูจน์ครั้งนี้แสดงว่ามีหลายอินพุตที่สร้างเอาต์พุตเดียวกัน
    ดังนั้นจึงไม่สามารถย้อนจากเอาต์พุตกลับไปหาอินพุตได้ ทำให้ข้อคาดเดานี้เป็นเท็จ

    • การจะมีฟังก์ชันผกผันได้ ต้องมีเงื่อนไขตั้งต้นคือ Jacobian เป็นค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ และฟังก์ชันผกผันนั้นก็ต้องอยู่ในรูปพหุนามด้วย ตัวอย่างโต้แย้งนี้เป็นไปตามเงื่อนไขตั้งต้น แต่ส่งอินพุตที่ต่างกันสองค่าไปยังเอาต์พุตเดียวกัน จึงทำให้ไม่อาจมีฟังก์ชันผกผันใด ๆ ได้ ไม่ว่าจะเป็นพหุนามหรือไม่ก็ตาม
      ถึงตรงนี้อาจจะเป็นคำอธิบายระดับ 7 ขวบแล้ว
    • ข้อคาดเดานี้ว่าด้วยกระบวนการเฉพาะบางชนิดเท่านั้น Fable พบทั้งกระบวนการที่เป็นรูปธรรมหนึ่งตัวซึ่งอยู่ในกลุ่มนั้น และอินพุตที่เป็นรูปธรรมสามค่าซึ่งให้เอาต์พุตเดียวกัน แน่นอนว่าสองค่าก็พอแล้ว
      คำว่า “เป็นรูปธรรม” ในที่นี้หมายถึงสามารถเขียนแทนได้เป็นสตริงที่มีความยาวจำกัด
    • เป็นที่รู้กันอยู่แล้วว่าในกรณีทั่วไปมันเป็นเท็จ โดยทั่วไปแล้วมันเป็นเท็จ แต่ก็มีปัญหาหลายข้อที่ เมื่อจำกัดให้เป็นพหุนามแล้วกลับเป็นจริง