เรียนพีชคณิตเชิงเส้นให้ถูกต้อง ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 4, Linear Algebra Done Right

• เป็น ตำราสำหรับวิชาที่สอง สำหรับผู้อ่านที่เคยเรียนพีชคณิตเชิงเส้นมาแล้ว โดยเข้าถึงได้สะดวกมากผ่านฉบับอิเล็กทรอนิกส์ฟรีและฉบับแปล
• ฉบับอิเล็กทรอนิกส์เผยแพร่ภายใต้สัญญาอนุญาต Creative Commons BY-NC และสามารถใช้งาน PDF ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 4, PDF ฉบับแปลบางภาษา, และเวอร์ชัน Kindle ได้ฟรี
• ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 4 ขยายจากฉบับเดิมด้วย แบบฝึกหัดใหม่มากกว่า 250 ข้อ และตัวอย่างใหม่มากกว่า 70 ตัวอย่าง รวมถึงหัวข้อใหม่และการปรับปรุงโดยรวม
• แกนสำคัญของหนังสือคือการเลื่อนเรื่องดีเทอร์มิแนนต์ไปไว้ทีหลัง และจัดโครงสร้างให้เข้าใจ โครงสร้างของตัวดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด ก่อน
• มีรายการสถาบัน 429 แห่งที่ใช้หนังสือเล่มนี้เป็นตำรา พร้อมวิดีโอประกอบ, รายการแก้คำผิด, และรีวิวลูกค้า Amazon จึงเหมาะทั้งสำหรับการเรียนในชั้นและการศึกษาด้วยตนเอง

---

ฉบับอิเล็กทรอนิกส์ฟรีและฉบับพิมพ์

• Linear Algebra Done Right ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 4 เป็นหนังสือ Open Access ที่มีให้ในภาษาอังกฤษ, จีน, กรีก, เปอร์เซีย, และโปรตุเกส
• ฉบับอิเล็กทรอนิกส์อยู่ภายใต้สัญญาอนุญาต Creative Commons BY-NC และสามารถใช้งานเอกสารต่อไปนี้ได้ฟรี
  • Linear Algebra Done Right 4th edition PDF: ฟรี, 18 มิถุนายน 2026
  • Linear Algebra Done Right 4th edition Kindle version: ฟรี, 2024
  • Chinese translation 4th edition PDF: แปลโดย Oliver Wu และ Yang He, ฟรี, 1 มิถุนายน 2026
  • Persian translation 4th edition PDF: แปลโดย Alireza Takrimi, Rabert Khamounejad, Illatra Khamounejad, ฟรี, 20 มิถุนายน 2026
• ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 4 มี แบบฝึกหัดใหม่มากกว่า 250 ข้อ และตัวอย่างใหม่มากกว่า 70 ตัวอย่าง รวมถึงหัวข้อใหม่หลายรายการและการปรับปรุงทั้งเล่ม
  • สามารถดูรายการการปรับปรุงและสิ่งที่เพิ่มเข้ามาหลัก ๆ ของฉบับพิมพ์ครั้งที่ 4 ได้ที่หน้า xvi ของ PDF ภาษาอังกฤษ
• ฉบับพิมพ์ปกแข็งมีจำหน่ายเป็น Amazon's 4th edition print edition
• ฉบับแปลภาษากรีกและโปรตุเกสของฉบับพิมพ์ครั้งที่ 4 แบบเล่มพิมพ์ สามารถหาซื้อได้จากร้านหนังสือในแต่ละประเทศ
• มีฉบับแปลแบบเล่มพิมพ์ของฉบับพิมพ์ครั้งที่ 3 ด้วย
  • Basque 3rd edition print edition
  • Chinese 3rd edition print edition

การออกแบบการเรียนรู้ที่เลื่อนดีเทอร์มิแนนต์ไปไว้ทีหลัง

• หนังสือเล่มนี้เป็น ตำราสำหรับวิชาพีชคณิตเชิงเส้นลำดับที่สอง สำหรับนักศึกษาคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรีและนักศึกษาบัณฑิตศึกษา
• วิธีการนำเสนอจะย้ายเรื่องดีเทอร์มิแนนต์ไปไว้ช่วงท้ายของหนังสือ และมุ่งเน้นที่ ความเข้าใจโครงสร้างของตัวดำเนินการเชิงเส้น ซึ่งเป็นเป้าหมายหลักของพีชคณิตเชิงเส้น
• นอกจากวุฒิภาวะทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมแล้ว ไม่ได้ต้องการความรู้ตั้งต้นเพิ่มเติมเป็นพิเศษ
  • เริ่มจากปริภูมิเวกเตอร์, ความเป็นอิสระเชิงเส้น, สแปน, ฐาน, และมิติ
  • จากนั้นกล่าวถึงการแปลงเชิงเส้น, ค่าลักษณะเฉพาะ, และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ
  • หลังจากแนะนำปริภูมิผลคูณภายในแล้ว จะต่อยอดไปสู่ผลลัพธ์อย่างทฤษฎีบทสเปกตรัมในมิติจำกัดและการแยกค่าเอกฐาน
  • ใช้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแบบทั่วไปเพื่อศึกษาความลึกของโครงสร้างตัวดำเนินการเชิงเส้นมากขึ้น
  • ดีเทอร์มิแนนต์ถูกนำเสนอผ่าน alternating multilinear forms
• รีวิวต่าง ๆ ประเมินว่าจุดเด่นสำคัญคือความสมบูรณ์เชิงการสอน ความสง่างามและความเป็นธรรมชาติของบทพิสูจน์ที่ไม่พึ่งดีเทอร์มิแนนต์ และความชัดเจนผ่านตัวอย่าง

การใช้เป็นตำราและสื่อประกอบ

• มีสื่อเสริมสำหรับใช้ทั้งในการสอนและการศึกษาด้วยตนเอง
  • Amazon customer reviews
  • รายการการใช้เป็นตำรา: รายชื่อมหาวิทยาลัยและวิทยาลัย 429 แห่งที่ใช้ Linear Algebra Done Right เป็นตำรา
  • วิดีโอประกอบหนังสือ
  • รายการแก้คำผิด
• หนังสือเล่มนี้มีพื้นฐานบางส่วนจากแนวคิดในบทความของ Sheldon Axler เรื่อง Down with Determinants! และบทความดังกล่าวได้รับรางวัล Lester R. Ford Award จาก Mathematical Association of America
• สามารถส่งคำถามหรือความคิดเห็นไปที่ [e-mail] ได้

[GN⁺]

ความเห็นจาก Hacker News

• หนังสือเล่มนี้เหมาะในฐานะ วิชา linear algebra วิชาที่สอง
  ถ้าเป็นวิชาแรก ผมไม่ได้ล้อเล่นนะ แนะนำ Linear Algebra Done Wrong ของ Sergei Treil
  https://www.math.brown.edu/streil/papers/LADW/LADW.html

  • ชื่อเรื่องตลกดี
    ลองไล่ดูสารบัญแล้ว รู้สึกว่านี่คงประมาณวิธีที่ผมเรียน linear algebra ตอนปริญญาตรีเมื่อนานมาแล้ว
    ทำให้คิดว่าคงต้องกลับไปเรียนใหม่
  • ลองดูคร่าว ๆ แล้ว หนังสือเล่มนี้เหมือนรวมทุกอย่างที่ผม ไม่ชอบในวงการคณิตศาสตร์และแวดวงวิชาการคณิตศาสตร์ ไว้หมด
    โยนทั้งนิยามแบบสุ่ม ๆ หมายเหตุ สัจพจน์ และระบบสัญลักษณ์ใหม่ใส่มาเป็นกอง ตั้งแต่ต้นแทบไม่แนะนำเลยว่าสิ่งเหล่านี้จะใช้ทำอะไร อธิบายอะไร หรือช่วยอะไร
    มีแต่สร้างความซับซ้อนเพื่ออวดภูมิ ไม่มีสัญชาตญาณหรือการทำให้ง่ายขึ้นเลย ทำให้สงสัยว่าไม่มีคนแบบ Feynman แห่ง linear algebra บ้างหรือไง

• ผมไล่ดูหนังสือ linear algebra มาแทบทุกเล่ม และรีวิวใน Amazon ก็พูดกันมากว่าเล่มของ Axler ดีที่สุด ซึ่งถ้าวัดจากหนังสือกระดาษที่ขายกันอยู่ก็อาจเป็นอย่างนั้น
  แต่ผมบังเอิญเห็น สไลด์บรรยาย linear algebra แบบ PDF ที่ Terence Tao ลงไว้ในเว็บไซต์ของเขาเอง และมันดีกว่าหนังสือทุกเล่มที่ผมเคยไล่ดูมาก
  งานเขียนชัดเจนมาก และค่อย ๆ สร้างทุกอย่างขึ้นจากหลักการพื้นฐาน
  อนึ่ง หนังสือ real analysis ของ Terry ก็เป็นแบบนั้นสำหรับผมเหมือนกัน ชัดเจนและตามง่ายกว่าตำราคลาสสิกมาก

  • น่าจะหมายถึงโน้ตชุดนี้
    https://terrytao.files.wordpress.com/2016/12/linear-algebra-...
  • โน้ตของ Tao ดูเหมือนอ้างอิงจากหนังสือ Linear Algebra ของ Friedberg, Insel, Spence
    ผมมองว่าเป็นหนึ่งในหนังสือ linear algebra ที่ดีที่สุด และดีกว่า Hoffman/Kunze ด้วย
    พิสูจน์ได้ชัดเจนมาก มีตัวอย่างอย่าง PageRank, Markov chain, principal component analysis และเฉลยแบบฝึกหัดเกือบทั้งหมดอยู่ใน Quizlet
  • ทั้งที่มีผลงานต่อคณิตศาสตร์และการอธิบายคณิตศาสตร์มากขนาดนั้น แต่ชื่อยังถูกสะกดผิดไปทั่ว จึงขอเสริมว่า ไม่ใช่ Terrance แต่เป็น Terence
  • ผมไม่แน่ใจว่าเล่มของ Axler เหมาะเป็นหนังสือ linear algebra เล่มแรกหรือไม่
    ถ้าเป็นเล่มแรก ผมน่าจะเลือกเล่มที่ดั้งเดิมกว่านี้อย่าง Strang
    อย่างไรก็ดี จนกระทั่งได้เรียน algebra จาก Artin ผมถึงรู้สึกว่าเข้าใจ linear algebra จริง ๆ ถ้ามอง linear algebra แยกเดี่ยว ๆ มันเหมือนชุดสูตรอาหารที่กระจัดกระจายแบบสุ่ม แต่ในบริบทของ algebra แล้วมันสมเหตุสมผลกว่ามาก
  • เคยดู Linear and Geometric Algebra ของ Macdonald ไหม? ผมชอบเล่มนี้มากกว่าเยอะในฐานะหนังสือปูพื้นของหัวข้อนี้

• Linear Algebra Done Right เป็นหนังสือที่ดีสำหรับคนที่อยากเรียน linear algebra แบบ อิงการพิสูจน์ และมีความเข้มงวดทางคณิตศาสตร์
  ที่นี่ [1] มีวิดีโอในช่อง YouTube ที่ Sheldon Axler อธิบายหัวข้อของหนังสือด้วยตัวเอง
  ที่นี่ [2] มีเฉลยแบบฝึกหัดของหนังสือ
  [1] https://www.youtube.com/playlist?list=PLGAnmvB9m7zOBVCZBUUmS...
  [2] http://linearalgebras.com/

  • ถ้าเฉลยแบบฝึกหัดไม่ได้อยู่ในหนังสือ ก็ยากจะเชื่อว่าผู้เขียนคิดถึงประโยชน์ของนักศึกษาอย่างจริงใจ
    ทำไมถึงไม่อยู่ในหนังสือล่ะ? จากมุมมองของนักศึกษาแล้วไม่สมเหตุสมผลเลย
    ผมรู้ว่ามีกรณีที่ตำราไม่ให้เฉลยเลยอยู่บ่อย ๆ แต่ไม่เข้าใจว่าทำไมการไม่ใส่ไว้ในที่ที่ควรอยู่จึงกลายเป็นเหมือนมาตรฐานไปได้ รู้สึกค่อนข้างเป็นปฏิปักษ์ทีเดียว

• สำหรับแนวทางแบบหนังสือเล่มนี้ที่เลี่ยง determinant ผมเห็นว่าการเลื่อนการแนะนำออกไปนั้นสมเหตุสมผล แต่เป้าหมายควรเป็นความชัดเจน ไม่ใช่การหลบเลี่ยง
  วิธีที่ผู้เขียนต้องอ้อมไปไกลขนาดนี้ตอนพูดถึง eigenvalue ก็ไม่ค่อยดีนัก
  ถ้าอยากได้การ扱 determinant อย่างสมดุล แนะนำ Strang

  • การเลี่ยง determinant ของ Axler ถึงขั้นเหมือนเป็นพยาธิสภาพ
    เท่าที่ได้ยินมา มีครั้งหนึ่งหลังบรรยาย เขาพาผู้ได้รับรางวัล Fields Medal คนหนึ่งแยกไปในห้องเรียนแล้วถามว่า “คุณชอบ determinant ไหม?” ผมนึกภาพว่าเขาคงปิดม่านก่อน แล้วตรวจว่ามีเครื่องดักฟังหรือเปล่า
    ผมเคยเข้าร่วมสัมมนาออนไลน์ของเขาที่พูดถึงหนังสือเล่มนี้ และโดยรวมความรู้สึกแบบนั้นดูจะถูกต้อง นักคณิตศาสตร์นี่เป็นคนแปลก ๆ
    ว่ากันว่าคำตอบที่เขาได้รับในเรื่องนั้นคือ “คล้าย ๆ กับความรู้สึกที่ผมมีต่อมะเขือเทศครับ ผมชอบกิน แต่除此之外ก็ไม่ได้ชอบ”
  • ผมอ่าน Axler หลังจากอ่าน Strang
    Strang ยอดเยี่ยมด้านการคำนวณเชิงตัวเลข แต่ค่อนข้างอ่อนในการนำเสนอ ภาพเชิงนามธรรม
    ถ้าไม่ได้อ่าน LADR แล้วไปเรียนวิชาอย่าง finite element method ทันทีหลัง Strang ซึ่งเป็นวิชาที่ก่อนจะลดรูปเป็นมิติจำกัดต้องให้ความสำคัญกับภาพเชิงนามธรรมและมิติอนันต์อย่างจริงจัง ผมคงเตรียมตัวมาไม่พออย่างมาก
  • พูดตรง ๆ ผมคิดว่า Strang ถูกยกย่องเกินจริง
    ใน HN การพูดแบบนี้คงเหมือนการวิจารณ์ Lisp การปกป้องคริปโตที่ทำเอง หรือการค้านว่ารถไฟแก้ได้ทุกปัญหา แต่ก็ยังคิดอย่างนั้น
    ผมซื้อหนังสือ Introduction to Linear Algebra ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 6 ของเขา และยังไม่ทันพ้นสองหน้าคำนำ ก็หลุดไปเป็นการร่ายยาวแบบไม่มีหลักฐานเกี่ยวกับสิ่งที่เรียกว่า “column spaces” ซึ่งผมไม่เคยเห็นในหนังสืออ้างอิงเล่มอื่น
    ในหนังสือคณิตศาสตร์ การทำตัวหนาทุกสองวลีก็ไม่ได้ทำให้ข้อความมีเหตุผลหรืออธิบายได้มากขึ้น มีแต่ทำให้รก ผมไล่ดูบทแรก ๆ หลายบทแล้วก็ไม่รู้สึกว่าดีขึ้น
    เมื่อเทียบกันแล้ว โน้ตบรรยายของ Terence Tao ที่อีกคนพูดถึงดูยอดเยี่ยม
  • ในชั้นเรียน linear algebra ส่วนใหญ่ determinant แทบไม่มีแรงจูงใจรองรับเลย
    นิยามเหมือน “ลอยลงมาจากฟ้าท่ามกลางรัศมีอันลี้ลับ” แล้วก็บอกว่าบังเอิญวัตถุเหล่านั้นมีสมบัติดี ๆ มากมาย
    ในความเป็นจริง ถ้าไม่ใช่ชั้นเรียนที่มีองค์ประกอบของ elimination theory ก็ไม่ได้ใช้มันมากนัก แต่แปลกที่ชั้นเรียนส่วนใหญ่กลับไม่ใส่ส่วนนั้นเข้าไป ทั้งที่ดูเหมือนจะเป็นความรู้คณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์ไม่น้อย
  • ถ้าชอบแนวทางเชิงนามธรรม determinant ก็เป็นแค่ ยกกำลัง exterior algebra ลำดับที่ n ของ linear transformation เท่านั้นเอง :) ตามหลักแล้วไม่จำเป็นต้องนำ basis เข้ามาด้วยซ้ำ

• หนังสือเล่มนี้เป็นแบบ โอเพนแอ็กเซส จึงดาวน์โหลดได้จากลิงก์นี้ [0]
  [0]: https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/978-3-031-4102...

• แม้ดูจากชื่อเรื่องอย่างเดียวจะไม่ชัดเลย แต่ข่าวสำคัญคือหนังสือเล่มนี้ ฟรี
  สามารถดาวน์โหลด PDF ได้จากลิงก์แรก

• Axler ตั้งใจให้หนังสือเล่มนี้เป็น การอ่านพีชคณิตเชิงเส้นรอบที่สอง หลังจากเรียนวิชาแรกมาแล้ว แต่ก็ใช้เป็นการอ่านครั้งแรกได้เช่นกัน
  ถ้าอยากไปแบบกล้าขึ้นอีก อาจดู A (Terse) Introduction to Linear Algebra ของ Katznelson & Katznelson ได้ด้วย

  • เทอมที่แล้วผมเรียนพีชคณิตเชิงเส้นระดับปริญญาตรีกับลูกสาว และ Strang กับ Axler เป็นคู่ผสมหนึ่ง-สองที่ดี
    Strang เหมาะกับการคำนวณ ส่วน Axler เหมาะกับการบ้านพิสูจน์
  • ยังจำได้ว่าตอนปริญญาตรี ทุกคนไม่ค่อยสนุกกับวิชาพีชคณิตเชิงเส้นของ Katznelson เท่าไร
    ผมตามได้ค่อนข้างโอเค แต่รู้สึกว่าเน้นเรื่องอย่างอัลกอริทึมการกำจัดแถวมากกว่าทำไมมันถึงทำงาน
    เพิ่งมาเข้าใจหลังจากได้ทำงานกับนักเรขาคณิตระดับปริญญาเอกคนหนึ่ง ซึ่งโดยทั่วไปหยิบมาจาก Linear Algebra Done Right เยอะ
    หวังว่าหนังสือจะดีกว่าคอร์สที่สอนนักศึกษาปริญญาตรีสาย STEM ทั่วไป
  • เราใช้ตำราเล่มนี้ตอนปีหนึ่งวิทยาการคอมพิวเตอร์ระดับปริญญาตรี
    แต่ใช้คู่กับหนังสืออีกเล่มที่เน้นผู้เริ่มต้นมากกว่า
  • ถ้าเป็นสื่อสำหรับวิชาแรก จะแนะนำอะไร? Strang ไหม?
    ผมใช้หนังสือของ Howard Anton

• ไม่ชอบ การเปลี่ยนรูปแบบการจัดพิมพ์ หลังฉบับพิมพ์ครั้งที่ 2
  เดิมทีเป็นหนังสือที่สง่างามมาก เหมือนคลาสสิกเล่มอื่น ๆ ใน Springer Undergraduate Mathematics Series
  มีการเพิ่มสีสัน การไฮไลต์ และกล่องต่าง ๆ ที่รบกวนสายตาเข้ามามาก และผมคิดว่ากลับทำให้หนังสือชัดเจนน้อยลง
  แน่นอนว่าเนื้อหายังยอดเยี่ยมอยู่

  • ขอบคุณผู้เขียนมากที่เปิดให้เข้าถึง แต่ PDF มีสีสดและรูปภาพมาก เลยรู้สึกค่อนข้างรบกวนสายตา
    ในตำราวิทยาศาสตร์ ยิ่งตัดทอนออกได้มากเท่าไรก็ยิ่งดี
    ลองเทียบกับหนังสือแคลคูลัส Stewart รุ่นใหม่ ๆ ตอนนี้แผนภาพใช้โทนพาสเทลมากขึ้นและสีที่สงบลง
  • พลังอันยิ่งใหญ่ของ tcolorbox มาพร้อมความรับผิดชอบอันใหญ่ยิ่ง

• เหมือนกับแทบทุกคน ผมก็ใช้หนังสือเล่มนี้สอนอยู่ และดีใจที่มีฉบับพิมพ์ใหม่ออกมา
  อยากรู้ว่าอะไรเปลี่ยนและมีอะไรเพิ่มบ้าง ตอนนี้ก็สอนทั้งเล่มให้จบในหนึ่งเทอมไม่ทันอยู่แล้ว
  นักศึกษาที่สถาบันของเราต้องเรียนวิชาพีชคณิตเชิงเส้นเชิงคำนวณที่มีการลดรูปแถวเยอะก่อน ผมเลยช้าลงนิดหน่อยเพราะต้องคอยช่วยให้เห็นว่าเนื้อหาที่เรียนสองรอบนั้นจริง ๆ แล้วเป็นเรื่องเดียวกัน
  อยากให้หนังสือของ Axler มีการเชื่อมโยงแบบนั้นมากขึ้นอีกหน่อย

  • เคยเรียนจากหนังสือเล่มนี้
    เห็นว่าสอนด้วยหนังสือเล่มนี้ เลยอยากรู้ว่าเคยอ่านหนังสือของ Strang ไหม และคิดอย่างไรกับมัน
    ชอบเลกเชอร์ของเขามากจริง ๆ :)

• หนังสือเล่มนี้ใกล้เคียงกับ พีชคณิตเชิงเส้นสำหรับนักศึกษาปริญญาตรีสาขาคณิตศาสตร์ มากกว่า แต่ถ้าต้องการเพียงความเข้าใจพื้นฐานที่เน้นการประยุกต์เชิงคำนวณ Linear Algebra: A Modern Introduction ของ Poole อาจเหมาะกว่า
  มีการประยุกต์มากมาย เช่น โซ่มาร์คอฟ โค้ดแก้ไขข้อผิดพลาด ทิศทางในปริภูมิของวิทยาการหุ่นยนต์ การคำนวณ GPS ฯลฯ
  https://www.physicsforums.com/threads/linear-algebra-a-moder...