บทนำของ ‘Calculus Made Easy’: แคลคูลัสเรียนรู้ได้ง่ายกว่าที่คิด

 (calculusmadeeasy.org)
3 คะแนน โดย GN⁺ 2024-04-19 | 1 ความคิดเห็น | แชร์ทาง WhatsApp
  • บทนำนี้เริ่มจากข้อเท็จจริงที่ว่ามีผู้คนจำนวนมากที่สามารถทำ การคำนวณแคลคูลัส ได้ แล้วกล่าวว่าการเรียนรู้เทคนิคแบบเดียวกันไม่จำเป็นต้องยากหรือน่าเบื่อเสมอไป
  • ในแคลคูลัสมีทั้ง เทคนิคที่ง่ายมาก และส่วนที่ยากมากอยู่ร่วมกัน จึงแยกให้เห็นว่าไม่จำเป็นต้องมองทุกอย่างว่ายากตั้งแต่แรก
  • วิจารณ์ว่าตำราคณิตศาสตร์ขั้นสูงมักอธิบายการคำนวณที่ง่ายให้ดูซับซ้อน ราวกับต้องการแสดง ความเฉลียวฉลาด ของผู้เขียน มากกว่าจะทำให้เข้าใจง่าย
  • ผู้เล่าเรื่องถ่อมตัวว่าเป็น “remarkably stupid fellow” และบอกว่าจะนำ ส่วนที่ไม่ยาก ซึ่งตนเองได้ปัดความยุ่งยากออกไปแล้ว มาแสดงให้ผู้อ่านที่อยู่ในสถานะเดียวกันเห็น
  • เมื่อฝึกฝนส่วนที่ง่ายจนเพียงพอ ส่วนที่เหลือก็จะตามมาได้ และเน้นความเป็นไปได้ในการเรียนรู้ด้วยทัศนคติว่า “What one fool can do, another can”

ความยากของแคลคูลัสตามที่บทนำกล่าวถึง

  • แคลคูลัส ไม่ใช่วิชาที่ทุกส่วนยากเท่ากัน แต่มีทั้งเทคนิคที่ง่ายและเทคนิคที่ยากมากอยู่ร่วมกัน
  • ข้อเท็จจริงที่ว่ามีผู้คนจำนวนมากสามารถคำนวณได้ เป็นหลักฐานว่าคนอื่นก็สามารถเรียนรู้เทคนิคการคำนวณแบบเดียวกันได้เช่นกัน
  • ตำราคณิตศาสตร์ขั้นสูงถูกวิจารณ์ว่ามีแนวโน้มอธิบายส่วนที่ง่ายให้ซับซ้อน แทนที่จะอธิบายให้ง่าย

ทัศนคติในการเรียนรู้ที่แนะนำแก่ผู้อ่าน

  • ผู้เล่าเรื่องบอกว่าตนเองได้ผ่าน กระบวนการปัดเป่าความยาก มาด้วยตัวเอง
  • หนังสือเล่มนี้มีจุดยืนว่าให้เรียนรู้ส่วนที่ไม่ยากก่อน และเมื่อพื้นฐานนั้นเพียงพอแล้ว ส่วนที่เหลือก็จะตามมาได้
  • ประโยคสุดท้าย “What one fool can do, another can” สรุปแนวคิดเรื่องความเป็นไปได้ในการเรียนรู้ว่า สิ่งที่คนคนหนึ่งทำได้ คนอื่นก็ทำได้เช่นกัน

บทความที่เกี่ยวข้อง

1 ความคิดเห็น

 
GN⁺ 2024-04-19
ความเห็นจาก Hacker News

  • หลังจากออกจากโรงเรียนมาได้ราว 10 ปี ผมก็กลับมาสนใจการบรรยายฟิสิกส์อีกครั้ง เลยหยิบหนังสือกลศาสตร์คลาสสิกขึ้นมาอ่าน และได้กลับไปทบทวนพีชคณิตเชิงเส้นพื้นฐานด้วย
    แต่ก็น่าประหลาดใจที่ตำราหลายเล่มพูดถึงแค่ขั้นตอนการคำนวณ dot product ของเวกเตอร์ โดยแทบไม่อธิบายเลยว่าทำไมมันสำคัญ—เช่นการที่มันมีประโยชน์ในการตัดสินความคล้ายกันของเวกเตอร์สองตัว
    ผมเพิ่งเข้าใจจริง ๆ หลังจากคุยกับ ChatGPT เรื่องความหมายของมัน และทุกวันนี้ก็ดีที่เรียนได้ช้ากว่าตอนมหาวิทยาลัย ทำให้มีเวลาจับแก่นของแนวคิดให้แน่นก่อนค่อยไปต่อ
    หนังสือคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ที่ผมอ่านดูจะเน้นแสดงกระบวนการเชิงกลมากกว่าความหมายโดยรวม เลยสงสัยว่ามีหนังสือเล่มไหนที่อธิบาย ความหมายเชิงมโนทัศน์ ได้ดีกว่านี้บ้าง

    • ผมว่ามันไม่ใช่ปัญหาเฉพาะของหนังสือ แต่เป็นเรื่องของ วิธีการสอนโดยรวม มากกว่า
      จำได้ว่าเคยเรียนวิธีคำนวณ eigenvector แต่ไม่เคยได้ยินเลยสักคำว่าทำไมเราถึงอยากได้มัน
      ถ้าจะอธิบายให้ดีจริง ๆ เป้าหมายของวิชาคงต้องถ่อมตัวกว่านี้ แทนที่จะตั้งไว้แบบ “สอนแคลคูลัส พีชคณิตเชิงเส้น และกลศาสตร์ควอนตัมทั้งหมด”
    • ตอนเรียนคอร์สเกริ่นนำอนุพันธ์กับปริพันธ์ในมัธยม ผมเคยถามว่า “ปริพันธ์มีไว้ทำอะไร” แล้วครูก็ตวาดว่าคำถามโง่ ๆ แบบนั้นให้ไปถามพ่อแม่
      หลังจากวันนั้นผมก็หมดไฟกับคณิตศาสตร์ไปเลย และพอมารู้ภายหลังว่าปริพันธ์เกี่ยวข้องกับ พื้นที่ใต้เส้นโค้ง และมีประโยชน์มากแค่ไหน ก็ยิ่งโกรธเข้าไปอีก
      ครูส่วนใหญ่อาจตั้งใจดีและพยายามเต็มที่ แต่ก็มีบางคนที่แย่ถึงขั้นไม่ควรกลับเข้าไปในห้องเรียนอีกเลยจริง ๆ
    • ตอนเรียนตรีโกณมิติในมัธยม ผมรู้ว่า sine กับ cosine สร้างวงกลมได้ แต่กว่าจะตระหนักได้ว่าหนึ่งปีต่อมาฟังก์ชันพวกนี้ใช้วาดวงกลมบนหน้าจอได้ ก็ถึงค่อยรู้สึกถึงความหมายและผลต่อเนื่องของข้อเท็จจริงง่าย ๆ นั้นอย่างลึกซึ้ง
      ก่อนหน้านั้นมันเป็นแค่อีกแนวคิดนามธรรมหนึ่งที่เชื่อมกับแนวคิดนามธรรมอื่น ๆ ซึ่งต้องท่องจำเพื่อสอบให้ผ่าน
      ทุกวันนี้เวลาอ่านงานวิจัยเรื่องความสัมพันธ์ในพีชคณิตนามธรรม ถ้ามีแต่การไล่ ความสัมพันธ์ของสัญลักษณ์ โดยไม่มีแม้แต่หนึ่งหรือสองประโยคว่าควรนึกภาพแนวคิดนั้นแบบสัญชาตญาณอย่างไร ผมก็ยังรู้สึกอึดอัด
      ภายในเกมที่ชื่อว่าคณิตศาสตร์ มุมมองแบบนั้นอาจกลายเป็นเรื่องธรรมชาติได้ แต่คนจำนวนมากเรียนคณิตศาสตร์ด้วยแรงจูงใจเพิ่มเติม และอยากได้มุมมองที่แสดงให้เห็นประโยชน์จริงหรือความเชื่อมโยงกับโลกจริง
      แค่ยก ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม ของแนวคิดนามธรรมสักหนึ่งตัวอย่าง ก็จะช่วยให้ผู้อ่านที่ฉลาดและเกี่ยวข้องอีกมากเข้าใจงานวิจัยคณิตศาสตร์ได้ดีขึ้นมาก
    • การไม่สอนว่า ทำไมถึงเป็นแบบนั้น เป็นบาปใหญ่จริง ๆ
      ผมเพิ่งเข้าใจแคลคูลัสอย่างแท้จริงหลังจากอ่านหนังสือชั้นยอดของ Steven Strogatz ชื่อ Infinite Powers ซึ่งอธิบายไม่ใช่แค่ว่าทำไม แต่รวมถึงประวัติของเหตุผลนั้นด้วย
      สำหรับผมให้ 10 เต็ม 10
      https://www.stevenstrogatz.com/books/infinite-powers
    • ฟังดูค่อนข้างน่าแปลกใจ
      หนังสือฟิสิกส์ระดับต้นที่ผมเคยเห็นมักแนะนำ dot product ทั้งในแบบ นิยามเชิงเรขาคณิต และนิยามเชิงพีชคณิต แล้วก็แสดงให้เห็นว่าทั้งสองแบบเหมือนกันใน 2–3 มิติ
      ถ้าแบบพีชคณิตคือ “อย่างไร” แบบเรขาคณิตก็คือ “ทำไม”
      ในฟิสิกส์ dot product สำคัญไม่ใช่เพราะใช้วัดความคล้ายกัน แต่เพราะมันบอกความยาวและมุมได้ และในปริภูมิที่นามธรรมกว่านั้น dot product ก็อาจกลายเป็นตัวนิยามความยาวและมุมเองด้วย
      ใน machine learning จำเป็นต้องมีนิยามของความคล้ายกัน และก็สามารถกำหนดได้เป็นทำนองว่ามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวเล็ก จึงเกิดมุมมองแบบนั้นขึ้นมา
      ตัวชี้วัดความคล้ายกันที่ดั้งเดิมกว่าคือความยาวของความต่าง หรือก็คือระยะทาง และสิ่งนี้ก็คำนวณจาก dot product เช่นกัน

  • ผมอยู่กับแคลคูลัสมา 20 ปี ทั้งในโรงเรียน ในงาน และเป็นงานอดิเรก เวลาเห็นบทความแบบนี้ก็ทั้งสนุกและอดยิ้มไม่ได้เสมอ
    ถ้าคลี่มันออกอย่างถูกต้อง ความรู้สึกเหมือนสัญชาตญาณที่สั่งสมมาหลายปีถูกถ่ายทอดให้กันได้ในไม่กี่นาที
    คำอธิบายอย่าง “(dx)^2 คือชิ้นเล็กมากของ x ที่ยังมีชิ้นเล็กลงไปอีก” กลายเป็นเสาหลักสำคัญ แม้แต่กับความพยายามล่าสุดของผมที่ใช้เวลาไปหลายสิบชั่วโมงเพื่อให้พอเข้าใจ stochastic calculus ในระดับพื้นฐาน
    พอเห็นสื่อแบบนี้ก็รู้สึกว่ามนุษยชาติกำลังก้าวหน้า เพราะคนรุ่นใหม่เข้าถึงข้อมูลแบบนี้ได้และเรียนได้เร็วขึ้น

    • ปัญหาไม่ใช่ว่าเมื่อก่อนไม่มีสื่อแบบนี้ แต่คือมัน ไม่ได้เป็นที่รู้จักแพร่หลาย ทั้งที่ Calculus Made Easy ถูกเขียนมาตั้งแต่ปี 1910 แล้ว
      และทุกวันนี้ก็ดูไม่ง่ายเลยที่เรื่องนั้นจะเปลี่ยนไปมากนัก
    • ผมคิดว่าสัญกรณ์และการทำให้เป็นมโนทัศน์นั้นสับสนเกินจำเป็น
      ส่วนหนึ่งเกี่ยวข้องกับข้อถกเถียงเก่าแก่เรื่องสถานะเชิงภววิทยาของ infinitesimal ซึ่งมักเป็นทั้งประเด็นปรัชญาและเทววิทยา
      อัตราส่วนผลต่างกลายเป็นการทำให้ดิฟเฟอเรนเชียลแคลคูลัสเป็นทางการในเชิงรูปนัย แต่ในทางปฏิบัติแทบไม่มีใครใช้แบบนั้น ทั้งที่แคลคูลัสในโลกจริงก็ถูกใช้งานในลักษณะนั้น
      ในงานจริงคนก็ยังใช้สัญกรณ์ infinitesimal แบบเฉพาะกิจอยู่ดี แต่มันเป็นวัตถุประหลาดที่มีกฎของตัวเอง และจริง ๆ แล้วก็มีไม่กี่คนที่รู้กฎเหล่านั้น
      non-standard analysis ทำให้เราจัดการ infinitesimal ได้แทบจะตามกฎพีชคณิตปกติ แต่ผมไม่แน่ใจว่าที่มันไม่ค่อยถูกใช้เป็นเพราะมีปัญหาเชิงเทคนิคและเชิงปรัชญาพื้นฐานจริง ๆ หรือแค่เพราะความอนุรักษนิยม
      stochastic calculus นั้นประหลาดมากจริง ๆ ตัวอย่างเช่นผมไม่เคยเข้าใจ “การทำให้เป็นรูปนัยที่ถูกต้อง” ของ Kalman filter แบบเวลาต่อเนื่องเลย
      ถ้ามองเป็นการส่งช่วงเวลาให้เข้าใกล้ 0 ก็เหมือนว่าถ้าปรับแต่งพอสมควรก็จะได้คำตอบที่ถูกต้อง แต่ความเข้าใจของผมคือในเชิงรูปนัยมันไม่ได้แม่นตรงนัก

  • สำหรับคนที่ต้องเรียนแคลคูลัสเพื่อเข้ามหาวิทยาลัย แผ่นพับแนว เรียนแคลคูลัสให้ง่าย แบบนี้อาจรู้สึกเชยจนน่ารำคาญ
    ส่วนที่ยากไม่ใช่แนวคิดระดับสูงที่สุด แต่เป็นความรู้พื้นฐานที่จำเป็นต่อการแก้โจทย์แคลคูลัสจริง ๆ
    สำหรับฉัน ส่วนที่ยากที่สุดคือ อย่างแรก ต้องมีความรู้ตั้งต้นให้แน่นพอจะรับมือกับปัญหาที่ไม่คาดคิดได้ ตั้งแต่การทำกำลังสองสมบูรณ์ การหารพหุนามแบบยาว ไปจนถึงสมการที่มีอนุพันธ์
    อย่างที่สอง คือการเข้าใจและใช้อย่างถูกต้องทั้งสัญกรณ์และเทคนิคการเขียนกราฟ ตั้งแต่สัญกรณ์ของ Leibniz ไปจนถึงการสเก็ตช์เส้นโค้ง
    นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมถึงมีทั้งหนังสือหนา ๆ และคอร์สเรียนที่พูดถึงแค่แคลคูลัสระดับเริ่มต้น และยังแทบไม่ได้แตะผิวของคณิตศาสตร์ขั้นสูงกว่านั้นเลย

    • สิ่งที่ลิงก์ไว้ไม่ใช่แผ่นพับ
      ถ้าไม่ได้อ่านแค่หน้า HTML มันคือหนังสือเล่มเดียวที่ Silvanus P. Thompson ตีพิมพ์ในปี 1910 ได้รับการยอมรับมากพอที่ Martin Gardner จะนำมาเรียบเรียงใหม่ในปี 1998 และอาสาสมัครก็ช่วยกันจัดพิมพ์ใหม่ด้วย TeX อย่างตั้งใจจนกลายเป็นเว็บไซต์
      มันตอบโจทย์ความต้องการที่ชัดเจน และไม่ใช่แค่แผ่นพับ “เชย ๆ”
      ถึงอย่างนั้น ก็มีคนที่ไม่แนะนำฉบับ Gardner เพราะมองว่าเป็นการปะทะกันของบุคลิกที่เด่นชัดสองแบบ
    • ปัญหาที่กำลังเจออยู่ตอนนี้โดยมากดูจะเป็นเรื่องของ พีชคณิต
      ส่วนตัวแนะนำ Khan Academy และคิดว่าควรไล่ทำคณิตระดับมัธยมปลายใหม่ทั้งชุด
      ตอนฉันอยู่ในสถานการณ์คล้ายกันก็ใช้สื่อ Khan บน YouTube และแม้เกรดมัธยมจะไม่แย่ แต่เพราะโรงเรียนไม่ค่อยดี เลยข้ามพื้นฐานไปเยอะมากจนแทบไม่พร้อมสำหรับการเรียนคณิตจริง ๆ
      ทุกครั้งที่อาจารย์หรือผู้ช่วยสอนโชว์ “ลูกเล่นพื้นฐานทางพีชคณิตที่ควรรู้อยู่แล้ว” จากนิพจน์ซับซ้อน มักเป็นครั้งแรกในชีวิตที่ฉันเห็นมัน
      นอกจากเรียนแคลคูลัสไปพร้อมกับกลับไปทบทวนพีชคณิต เรขาคณิต และตรีโกณมิติด้วยตัวเองแล้ว ก็แทบไม่มีทางอื่น
    • ส่วนใหญ่ของข้อแรกก็น่าจะเป็นพีชคณิตไม่ใช่หรือ
      ถ้า ทักษะพีชคณิต อ่อน ก็รับมือกับสมการแคลคูลัสไม่ได้ และทางแก้ก็ต้องไปหาใน “เรียนพีชคณิตให้ง่าย” ไม่ใช่ “เรียนแคลคูลัสให้ง่าย”
    • ฉันกลับรู้สึกตรงกันข้ามมากกว่า
      ตอนมัธยมฉันทำโจทย์แคลคูลัสได้ค่อนข้างดี แต่แทบไม่เข้าใจเลยว่า ลิมิต คืออะไรจริง ๆ
      พอเข้าเรียนมหาวิทยาลัยและได้เข้าใจนิยามของลิมิตกับทฤษฎีบทพื้นฐานที่สร้างอยู่บนมัน ฉันรู้สึกเหมือนโดนเขย่าอย่างแรง
      สำหรับคนส่วนใหญ่ที่ไม่ได้ต้องแก้ปัญหาคณิตซับซ้อนทุกวัน แก่นของการเรียนคณิตไม่ใช่ความสามารถในการแก้โจทย์แบบกลไก แต่เป็นการเข้าใจแนวคิดและไอเดียทางคณิตศาสตร์ที่หล่อหลอมความสามารถในการคิดโดยรวม
    • ถ้าอยากทำแคลคูลัส ก็ต้องมีพีชคณิต
      ถามว่าส่วนไหนของพีชคณิตที่ต้องใช้? คุณต้องค่อย ๆ หาเอาเอง
      นี่คืออุปสรรคใหญ่ของการเรียนคณิตแบบย้อนทาง เพราะทุกหัวมุมจะเจอชิ้นส่วนที่ขาดหาย และชิ้นส่วนนั้นก็พาไปสู่ชิ้นส่วนที่ขาดหายอีก
      การไต่จากพื้นฐานขึ้นไปสู่ขั้นสูงก็น่าอึดอัดเพราะกล้ามเนื้อคณิตโตช้าเกินไป ส่วนการไล่จากข้างบนลงมาก็ช้าและน่าอึดอัดเหมือนกัน
      การเข้าใจแค่แนวคิดไม่ได้ทำให้เก่งคณิต และก่อนจะลองทำโจทย์สักหลายข้อ คนเราหลอกตัวเองได้ง่ายมากว่า “เข้าใจแล้ว”
      คุณต้องฝึกโจทย์ระดับล่างให้มากพอจนกลายเป็น ความจำของกล้ามเนื้อ แล้วค่อยขยับขึ้นระดับถัดไป
      ถึงอย่างนั้น ก็จะมีจุดเปลี่ยนที่ความเจ็บปวดและความรู้สึกเหมือนหลงอยู่ในโพรงกระต่ายลดลงค่อนข้างเร็ว การฝึกซ้ำจะเริ่มให้ผลตอบแทน และชุดถัดไปก็จะง่ายขึ้นนิดหน่อย
      การเขียนโปรแกรมก็เหมือนกัน ต่อให้รู้แนวคิดของลูป ก็ไม่ได้แปลว่าจะเขียนโค้ดจัดเรียงอาร์เรย์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ คุณต้องใช้ไวยากรณ์และลูปให้คล่องก่อน แล้วค่อยฝึกอัลกอริทึมการเรียงลำดับซ้ำ ๆ จนซึมเข้าไปในตัว
      เมื่อผ่านกระบวนการนี้ไป คุณจะเริ่มเห็นแนวคิดเดิมกลับมาในรูปแบบดัดแปลงต่าง ๆ และใช้เวลาจับทางมันน้อยลงเรื่อย ๆ
      นี่ก็เป็นเหตุผลว่าทำไมหลายคนถึงยอมแพ้ไปเลยและเชื่อว่าตัวเองไม่มี “ยีนคณิตศาสตร์”

  • หนังสืออีกเล่มสำหรับอ่านเรื่องแคลคูลัสคือ The Calculus: A Genetic Approach ของ Otto Toeplitz
    มันเดินตามเส้นทางคล้ายกัน และฉันอ่านอย่างเพลิดเพลิน
    https://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/C/bo548572...

    • ไม่ใช่ “Generic” แต่เป็น “Genetic”

  • ฉัน “รู้จัก” แคลคูลัสดีพอจะได้คะแนนดีในวิชาคณิตสมัยมัธยมและวิศวกรรม แต่เพิ่งรู้สึกว่า รู้แคลคูลัสจริง ๆ หลังจากได้อ่านหนังสืออย่าง “A Course of Pure Mathematics” ที่ออกในปี 1908
    เท่าที่จำได้ หนังสือเล่มนั้นเริ่มจากทฤษฎีจำนวนแล้วค่อย ๆ สร้างขึ้นไปสู่แคลคูลัส และกว่าทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสจะโผล่มาก็ราวกลางเล่ม
    ถ้าเรียนแบบนั้น มันลืมยากมาก
    ฉันคิดว่าที่ทุกวันนี้ไม่ได้สอนแบบนี้ เพราะระบบสอบและห้องเรียนขนาดใหญ่สนับสนุนการท่องสูตรหลักแบบชั่วคราวและรู้ว่าจะเอาไปใช้อย่างเป็นกลไกตรงไหน มากกว่าความเข้าใจความหมายที่ลึกและอยู่กับเราได้นาน
    การที่ครูคณิตเปลี่ยนทุกปี จนความเข้าใจความรู้พื้นฐานสำหรับวิชาปีถัดไปของนักเรียนแต่ละคนไม่เท่ากัน และต้องใช้ช่วงต้นของแต่ละบทไปกับการทบทวนและเชื่อมเนื้อหา ก็เป็นอีกสาเหตุหนึ่ง
    ที่จริงแล้ว การจะได้ความเข้าใจที่ลึกและติดตัวไปตลอดชีวิต อาจใช้เวลาเพิ่มแค่ราว 10~20% แต่ระบบกลับให้ความสำคัญกับการบีบอัดและผลลัพธ์ที่วัดได้ทันทีมากกว่าการเรียนรู้จริง
    เวลาเจอสื่อแบบนี้ฉันดีใจมาก แต่ก็ขมขื่นเหมือนกัน เพราะมันทำให้ตระหนักว่าสภาพทั่วไปของวิธีการศึกษาสมัยใหม่ช่างน่าเศร้าพอสมควร

  • ตลอดหลายเดือนที่ผ่านมา ฉันกำลังเรียนพื้นฐาน พีชคณิต จากช่อง YouTube ของ Professor Leonard[0]
    เป้าหมายคืออุดช่องโหว่ในความรู้ก่อนจะกลับไปดูแคลคูลัสอีกครั้ง
    ถ้าจะทำให้จริงจังก็กินเวลาพอสมควร แต่ตอนนี้ฉันมั่นใจในฝีมือตัวเองมากกว่าเมื่อก่อนมาก และแค่นั้นก็คุ้มค่าและเป็นแรงจูงใจแล้ว
    ก่อนเริ่ม ฉันไม่รู้เลยว่าความรู้พีชคณิตของตัวเองมีรูโหว่มากขนาดนี้
    เป้าหมายสุดท้ายคือการตาม “Neural Networks: Zero to Hero” ของ Andrej Karpathy[1] ให้ทันโดยไม่มีปัญหาใหญ่
    การต้องเริ่มแทบจาก “0” เพื่อเรียนความรู้พื้นฐานก่อนจะไปศึกษาสิ่งที่อยากเรียนจริง ๆ ด้วยตัวเองนั้นหนักเอาการ แต่ฉันรู้สึกว่าถ้าเลือกทางลัด สุดท้ายคงลงเอยด้วยความท้อแท้
    นั่นจึงเป็นเหตุผลว่าทำไมตอนอายุ 38 ฉันถึงกำลังนั่งดูเลกเชอร์พีชคณิตบน YouTube
    [0] https://youtube.com/@ProfessorLeonard?si=0kiGvmbZv4b9Sgf9
    [1] https://youtube.com/playlist?list=PLAqhIrjkxbuWI23v9cThsA9Gv...

  • มักจะสับสนหนังสือเล่มนี้กับ Calculus for the Practical Man ที่ Feynman เคยเรียนอยู่เสมอ
    https://archive.org/details/calulusforthepra000526mbp

    • Feynman เริ่มจาก Calculus Made Easy ก่อน และเพิ่งไปอ่าน Calculus for the Practical Man หลังจากอ่านเล่มนั้นจบแล้ว

  • ตอนแรกก็รู้สึกว่าน่าจะต้องเอ่ยถึงผู้เขียน Silvanus P. Thompson[1] โดยตรงก่อนหรือเปล่า
    [1] https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_Made_Easy

    • https://calculusmadeeasy.org/
      ลิงก์ไม่ได้พาไปยังหน้าแรกที่มีชื่อผู้เขียน
    • อ้อ นี่เป็นงานเขียนจากปี 1910 จริง ๆ สินะ
      ตอนแรกนึกว่าเป็นแค่ผู้เขียนจงใจใช้สำนวนที่น่ารักเกินเหตุ

  • ชื่อหนังสือบอกว่าจะทำให้แคลคูลัสเป็นเรื่องง่าย แต่กลับไม่มี category theory
    เหมือนจะได้ยินเสียงถามว่า “เป็นไปได้ยังไง?!”
    หนังสือเล่มนี้เขียนในปี 1910 และ category theory เกิดขึ้นหลังจากนั้นอีก 50 ปี จึงช่วยไม่ได้
    แต่ก็ไม่ต้องกังวล
    มีหนังสือที่พัฒนาเรื่องอนุพันธ์และปริพันธ์แบบปกติโดยใช้ category อยู่
    อะไรจะง่ายไปกว่านี้อีกก็ไม่แน่ใจ แต่ถ้าเจอจะมาบอก
    https://books.google.com/books?id=gaE5EAAAQBAJ&newbks=1&newb...

  • ขอบคุณสำหรับความพยายาม แต่พออ่านไปไม่กี่หน้าก็รู้สึกว่า ถ้าเป็นคนที่กำลังเรียนแคลคูลัสครั้งแรก นี่ไม่ใช่สื่อที่ฉันอยากได้
    แม้จะใช้ทบทวนก็ไม่ได้สมบูรณ์แบบนัก
    ผู้เขียนชี้ปัญหาของหนังสือ “จริงจัง” ส่วนใหญ่ได้ตรงจุด แต่กลับชดเชยมากเกินไปจนทำให้ความเข้าใจซับซ้อนโดยไม่จำเป็น และอาจยากกว่าตำราแบบเป็นทางการบางเล่มเสียอีก
    เนื้อหายืดยาว ไม่เป็นทางการเกินไป และค่อนข้างอ่านตามได้ยาก
    ฉันไม่ต้องการการอ้างถึงบทกวีของ Dean Swift หรือ “ยุคของ Queen Elizabeth”; ฉันแค่อยากรู้ว่าแคลคูลัสคืออะไร ทำไมถึงจำเป็น และในทางปฏิบัติต้องทำอย่างไร
    ถึงจะใช้ แนวทางแบบวิศวกรรม ที่ดูง่ายกว่า หรือจะใช้แนวทางที่ออกคณิตศาสตร์ขึ้นมาอีกนิด ฉันก็ยังคิดว่าจำเป็นต้องมีความเป็นแบบแผนอยู่พอสมควร
    คณิตศาสตร์เป็นสาขาที่ทำให้เราคิดผิดได้ง่ายมากว่าตัวเองเข้าใจแล้ว ทั้งที่จริงยังไม่เข้าใจ และพอเจอข้อพิสูจน์ปลอมแบบย้อนแย้งหรือโจทย์ที่ให้พิสูจน์เองก็อาจไปต่อไม่ถูก
    สุดท้ายแล้ว ถ้าจะจำแนกการอนุมานที่ใช้ได้กับที่ใช้ไม่ได้ ก็จำเป็นต้องมีนิยามเชิงแบบแผน
    ที่จริงแล้วรากฐานเชิงแบบแผนเองก็ไม่ได้เข้าใจยากอะไรเลย
    ใคร ๆ ก็ยอมรับได้ไม่ยากว่า x² โตเร็วกว่่า x และเมื่อแนะนำแนวคิดเรื่อง ลิมิต ก็จะเห็นได้ว่าทำไมจึงละเลย (dx)² เมื่อเทียบกับ dx ได้
    ไม่จำเป็นต้องเอาสัปดาห์กับนาทีมาเปรียบเทียบเพื่ออธิบายเรื่องนี้ และอุปมาแบบนั้นกลับอาจทำให้ไขว้เขวได้
    รู้สึกว่าการอ่านนิยามเชิงแบบแผนไม่กี่ข้อใช้ความอดทนน้อยกว่าการอ่านสำนวนยืดยาวแบบ “อังกฤษโบราณ” หลายหน้าเสียอีก
    แก้ไข: อ้อ ไม่ใช่แค่ “ทำให้ดูเป็นสไตล์เก่า” แต่เป็นงานเขียนเก่าจริง ๆ
    ถึงอย่างนั้น ประเด็นสำคัญที่ว่ายังมีสื่อสมัยใหม่ที่ดีกว่านี้มากสำหรับการเรียนแคลคูลัสก็ไม่ได้เปลี่ยนไป