คู่มือ Maxwell’s equations แบบเข้าใจง่าย (2020)
(photonlines.substack.com)- บทความของ James Clerk Maxwell ในปี 1865 จัดการการเปลี่ยนแปลงของ สนามแม่เหล็กไฟฟ้า ในเชิงคณิตศาสตร์ และเสนอความเชื่อมโยงว่าความเร็วการแพร่กระจายของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าเท่ากับความเร็วแสง
- เดิมทีทฤษฎีนี้ไม่เป็นที่เข้าใจอย่างกว้างขวางนานกว่า 20 ปี เนื่องจากมี สมการ 20 สมการ และภาษาฟิสิกส์ที่ซับซ้อน ก่อนจะถูกจัดระเบียบเป็นรูปสมการ 4 สมการในปัจจุบันผ่านยุคของ Oliver Heaviside, Hertz, Lorentz และ Einstein
- สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กไม่ได้เป็นกลไกเชิงเครื่องจักร แต่สามารถอ่านได้ในฐานะ สนามสเกลาร์·สนามเวกเตอร์ ที่ครอบคลุมอวกาศและเวลา โดย divergence แสดงแหล่งกำเนิด·แหล่งดูดกลืน และ curl แสดงการหมุน
- สมการทั้งสี่บีบอัดและแสดงให้เห็นว่าประจุ ฟลักซ์แม่เหล็ก สนามที่เปลี่ยนตามเวลา และกระแสไฟฟ้าสร้าง divergence และ circulation ต่อกันอย่างไร
- ในสุญญากาศและบริเวณที่ไม่มีประจุ สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กเป็นไปตาม สมการคลื่น และถูกรวมเป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าหนึ่งเดียวที่แพร่กระจายด้วยความเร็วแสง
เหตุผลที่ทฤษฎีของ Maxwell กลายเป็นเรื่องสำคัญในภายหลัง
- ในปี 1865 James Clerk Maxwell ตีพิมพ์ “A dynamical theory of the electromagnetic field” ใน Philosophical Transactions ของ Royal Society
- บทความนี้อธิบายการเปลี่ยนแปลงของ สนามแม่เหล็กไฟฟ้า และมีความหมายอย่างมากทางฟิสิกส์ เพราะแรงส่วนใหญ่ที่เราพบในชีวิตประจำวันมีต้นกำเนิดจากแม่เหล็กไฟฟ้า ยกเว้นแรงโน้มถ่วง
- Maxwell’s equations ทำนายการมีอยู่ของ คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า และเชื่อมโยงคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ากับแสงที่มองเห็นได้ว่าเป็นปรากฏการณ์เดียวกัน เนื่องจากความเร็วการแพร่กระจายเท่ากับความเร็วแสง
- แต่ผลงานของ Maxwell ไม่ได้ถูกยอมรับทันที
- รูปแบบดั้งเดิมไม่ใช่สมการ 4 สมการที่เราคุ้นเคยในปัจจุบัน แต่เป็น สมการ 20 สมการ
- สำหรับนักฟิสิกส์ในเวลานั้น ความซับซ้อนทางพีชคณิตมีมาก และสำหรับนักคณิตศาสตร์ ภาษาคำอธิบายทางฟิสิกส์ของ Maxwell ก็เข้าถึงได้ยาก
- โลกทัศน์ในยุคนั้นมีแนวโน้มมองโครงสร้างเชิงเครื่องจักรอย่าง “ล้อและเฟือง” ที่อยู่เบื้องล่างว่าเป็นพื้นฐานมากกว่าสนาม (field)
- เมื่อ Oliver Heaviside ทำให้สมการเรียบง่ายขึ้น และต่อเนื่องผ่านยุคของ Hertz, Lorentz และ Einstein สมการสนามและกฎคณิตศาสตร์จึงเข้ามาเป็นคำอธิบายพื้นฐานของจักรวาล
สัญชาตญาณพื้นฐานในการอ่านสนาม
- สนาม (field) สามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันที่ทำงานครอบคลุมทั่วทั้งอวกาศและเวลา
- สนามยากที่จะลดทอนให้เป็นสสารในชีวิตประจำวันหรืออุปมาเชิงเครื่องจักรได้อย่างสมบูรณ์
- คำอธิบายอย่างอนุภาคแลกเปลี่ยน อนุภาคเสมือน หรือความโค้งของกาลอวกาศ สุดท้ายก็สามารถจัดการได้ในฐานะนามธรรมทางคณิตศาสตร์
- อินเทอร์เฟซพื้นฐานในการเข้าใจสนามคือสัญชาตญาณว่ามันเป็นฟังก์ชันคณิตศาสตร์ที่แผ่กระจายอยู่ในอวกาศและเวลา
- สนามสเกลาร์ รับจุดหนึ่งในอวกาศเป็นอินพุต แล้วให้ตัวเลขหนึ่งตัวเป็นเอาต์พุต
- ในตัวอย่างที่อุณหภูมิเปลี่ยนไปตามความสูงเมื่อปีนภูเขา
T(x, y, z)จะ map ตำแหน่งไปเป็นค่าอุณหภูมิ - หากพิจารณาการกระจายอุณหภูมิบนแผ่นโลหะโดยรวมเวลาเข้าไปด้วยเป็น
T(x, y, t)หรือในความเป็นจริงเป็นT(x, y, z, t)สมการความร้อนจะจำลองการเปลี่ยนแปลงของสนามอุณหภูมิ
- ในตัวอย่างที่อุณหภูมิเปลี่ยนไปตามความสูงเมื่อปีนภูเขา
- สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรหลายตัวกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของมัน
- อุณหภูมิของแผ่นโลหะต้องพิจารณาทั้งการเปลี่ยนตามตำแหน่ง
dT/dxและการเปลี่ยนตามเวลาdT/dt - อนุพันธ์แต่ละตัวแสดงเพียงส่วนหนึ่งของการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด จึงเป็น อนุพันธ์ย่อย และถูกใช้ในการจัดการวิวัฒนาการตามเวลาของสนาม
- อุณหภูมิของแผ่นโลหะต้องพิจารณาทั้งการเปลี่ยนตามตำแหน่ง
- สนามเวกเตอร์ รับจุดหนึ่งในอวกาศเป็นอินพุต แล้วให้เวกเตอร์ที่มีขนาดและทิศทางเป็นเอาต์พุต
- ในสนามความเร็วของของไหล เวกเตอร์ที่แต่ละตำแหน่งแสดงทิศทางและขนาดความเร็วขององค์ประกอบของไหล
- สนามโน้มถ่วงและสนามแม่เหล็กก็สามารถจำลองเป็นสนามเวกเตอร์ได้
- ในสนามแม่เหล็กไฟฟ้า แม้จะไม่มีของไหลจริงไหลอยู่ แต่ใช้คำศัพท์ของการไหลของของไหล เช่น ฟลักซ์ แหล่งกำเนิด และแหล่งดูดกลืน ในเชิงอุปมา
ภาษาของสมการเมื่ออ่านผ่าน divergence และ curl
- divergence แสดงว่าสนามรอบจุดหนึ่งพุ่งออกไปเหมือนแหล่งกำเนิด หรือพุ่งเข้ามาเหมือนแหล่งดูดกลืน
- เมื่อวาดวงกลมเล็ก ๆ รอบจุดหนึ่ง หากมีลูกศรพุ่งออกมากกว่า จะเป็น divergence บวก
- หากมีลูกศรพุ่งเข้ามากกว่า จะเป็น divergence ลบ
- หากไม่ใช่ทั้งสองกรณี divergence จะเป็น 0 หรือใกล้ 0
- ในสนามไฟฟ้า ประจุบวกสามารถมองเป็นแหล่งกำเนิด และประจุลบเป็นแหล่งดูดกลืน
- กฎของ Gauss สำหรับสนามไฟฟ้ากล่าวว่า divergence ของสนามไฟฟ้าที่จุดหนึ่งแปรผันตาม ความหนาแน่นประจุ ณ จุดนั้น
- curl แสดงว่าสนามรอบจุดหนึ่งหมุนมากเพียงใด
- การหมุนทวนเข็มนาฬิกาสามารถมองเป็น curl บวก และการหมุนตามเข็มนาฬิกาเป็น curl ลบ
- สัญชาตญาณของขนาด curl คือ หากวางกังหันน้ำสมมติไว้ที่จุดหนึ่ง สนามจะทำให้กังหันน้ำนั้นหมุนเร็วเพียงใด
- ในสามมิติ curl ให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ที่แสดงทิศทางการหมุนตามกฎมือขวาแบบหนึ่ง
- Maxwell’s equations สามารถเขียนได้ทั้งรูปเชิงอนุพันธ์และรูปเชิงปริพันธ์
- รูปเชิงอนุพันธ์ แสดงสนามแม่เหล็กไฟฟ้าโดยเน้น divergence และ curl ที่แต่ละจุด
- รูปเชิงปริพันธ์ จัดการเนื้อหาเดียวกันผ่านฟลักซ์รวมและ circulation ที่ผ่านพื้นผิวปิดหรือเส้นทางปิด
- ปริพันธ์เริ่มจากกระบวนการแบ่งช่วงออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าความกว้างเล็ก ๆ
Δxแล้วนำมาบวกกัน เพื่อหาพื้นที่ใต้เส้นโค้ง- ยิ่ง
Δxเข้าใกล้ 0 การประมาณพื้นที่ก็ยิ่งแม่นยำขึ้น - ในรูปเชิงปริพันธ์ของ Maxwell’s equations จะรวมองค์ประกอบพื้นที่เล็ก ๆ ของพื้นผิวปิดเพื่อคำนวณฟลักซ์หรือ circulation ทั้งหมด
- ยิ่ง
สิ่งที่ Maxwell’s equations ทั้งสี่บอกเรา
- กฎของ Gauss สำหรับสนามไฟฟ้า แสดงว่า ประจุสร้างสนามไฟฟ้า โดยอธิบายผ่าน divergence และฟลักซ์
- ในรูปเชิงอนุพันธ์ divergence ของสนามไฟฟ้าแปรผันตามความหนาแน่นประจุ
- ในรูปเชิงปริพันธ์ ฟลักซ์ไฟฟ้าที่ผ่านพื้นผิวปิดเท่ากับประจุรวมที่อยู่ภายในพื้นผิวนั้น
- เส้นสนามไฟฟ้าถูกวาดในทิศทางที่ออกจากประจุบวกและเข้าสู่ประจุลบ
- ความเข้มของสนามไฟฟ้าจะอ่อนลงตาม กฎกำลังสองผกผัน เป็น
1/r²เมื่ออยู่ไกลจากประจุจุดมากขึ้น - ค่าคงที่สภาพยอมทางไฟฟ้าของอวกาศว่าง
ε0เป็นค่าคงที่ที่แสดงว่าสุญญากาศยอมให้เส้นสนามไฟฟ้าผ่านได้มากเพียงใด
- กฎของ Gauss สำหรับสนามแม่เหล็ก กล่าวเสมอว่า divergence ของสนามแม่เหล็กเป็น 0
- ตีความได้ว่าในสนามแม่เหล็กไม่มีขั้วแม่เหล็กเดี่ยวที่เทียบเท่าประจุ
- ฟลักซ์แม่เหล็กรวมที่ผ่านพื้นผิวปิดจะเป็น 0 เสมอ
- เส้นสนามแม่เหล็กไม่ได้เริ่มต้นหรือสิ้นสุดที่ประจุเหมือนเส้นสนามไฟฟ้า แต่จะสร้าง ลูปปิด ที่ย้อนกลับมาหาตัวเองเสมอ
- บนพื้นผิวปิดใด ๆ ไม่ว่าจะเป็นทรงกลม ลูกบาศก์ หรือทอรัส ฟลักซ์แม่เหล็กที่ออกไปและฟลักซ์แม่เหล็กที่เข้ามาจะหักล้างกัน
- กฎของ Faraday กล่าวว่า สนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนตามเวลาจะเหนี่ยวนำสนามไฟฟ้าแบบหมุนวน
- เมื่อฟลักซ์แม่เหล็กเพิ่มขึ้น จะเกิดสนามไฟฟ้าแบบหมุนวนในทิศทางที่ต่อต้านการเปลี่ยนแปลงนั้น
- เมื่อฟลักซ์แม่เหล็กลดลง จะเกิดสนามไฟฟ้าแบบหมุนวนในทิศทางตรงข้าม
- ทิศทางที่ต่อต้านการเปลี่ยนแปลงนี้เรียกว่า กฎของ Lenz
- สนามไฟฟ้าเหนี่ยวนำต่างจากสนามไฟฟ้าที่เริ่มต้นหรือสิ้นสุดที่ประจุ เพราะเส้นสนามจะปิดเป็นลูปกลับมาหาตัวเอง
- กฎนี้ทำให้สามารถเคลื่อนประจุในวงจรปิดเพื่อสร้างกระแสไฟฟ้า และทำให้การแปลงพลังงานกลเป็นพลังงานไฟฟ้าในเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเป็นไปได้
- กฎของ Ampere-Maxwell กล่าวว่า กระแสไฟฟ้าหรือสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนตามเวลาจะเหนี่ยวนำสนามแม่เหล็กแบบหมุนวน
- พจน์ด้านซ้ายแสดง curl ของสนามแม่เหล็ก
- พจน์ด้านขวาประกอบด้วยความหนาแน่นกระแสและอัตราการเปลี่ยนแปลงตามเวลาของสนามไฟฟ้า
- กระแสไฟฟ้าถูกนิยามเป็นอัตราการไหลของประจุที่ผ่านพื้นที่หน้าตัดหนึ่ง แต่ไม่ได้หมายถึงเพียงการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนในสายไฟ
- ความหนาแน่นกระแส
Jแสดงปริมาณประจุที่ผ่านพื้นที่หน้าตัดหนึ่งหน่วยซึ่งตั้งฉากกับทิศทางของกระแส - แม้ไม่มีกระแสไหล สนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนตามเวลาก็สามารถสร้างสนามแม่เหล็กได้
- กฎของ Ampere-Maxwell ในรูปเชิงปริพันธ์ แสดงปริพันธ์ตามเส้นของเส้นทางแม่เหล็กปิดด้วยกระแสสุทธิที่ทะลุผ่านพื้นผิวปิดและอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ไฟฟ้า
- กระแสที่ทะลุพื้นผิวในทิศทางหนึ่งจะมีส่วนต่อกระแสสุทธิ
- หากกระแสเดียวกันทะลุพื้นผิวทั้งสองทิศทาง กระแสสุทธิอาจเป็น 0 ได้
- ค่าคงที่สภาพยอมทางไฟฟ้าของอวกาศว่าง
ε0และค่าคงที่สภาพซึมผ่านทางแม่เหล็กของอวกาศว่างμ0มีความสัมพันธ์ε0 μ0 = 1/c²และในระบบหน่วย Gaussian จะถูกจัดการเป็นค่าคงที่เชิงมิติที่หายไป
การรวมสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก
- สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กไม่ใช่สนามอิสระสองชนิด แต่สามารถมองเป็น สนามแม่เหล็กไฟฟ้า หนึ่งเดียวได้
- ในคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า เวกเตอร์สนามไฟฟ้า เวกเตอร์สนามแม่เหล็ก และทิศทางการแพร่กระจายถูกจัดเรียงร่วมกันในสามมิติ
- เวกเตอร์สนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กตั้งฉากกัน
- มีโครงสร้างที่การเปลี่ยนแปลงของสนามหนึ่งเติมเต็มอีกสนามหนึ่ง
- สนามแม่เหล็กสามารถอธิบายได้ด้วยสนามไฟฟ้าที่รวมผลเชิงสัมพัทธภาพ
- หากมองจากกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกับอิเล็กตรอนข้างสายไฟที่มีกระแสไหล อิเล็กตรอนจะอยู่นิ่ง จึงไม่เกิดแรงแม่เหล็ก
- เนื่องจากการหดสั้นตามทิศทางการเคลื่อนที่ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ไอออนบวกที่เคลื่อนที่จะถูกบีบอัดตามทิศทางการเคลื่อนที่ ทำให้มีความหนาแน่นประจุบวกสูงขึ้น
- ในกรอบอ้างอิงนี้ สายไฟจะดูเหมือนมีประจุบวกสุทธิ และอิเล็กตรอนจะถูกดึงเข้าหาสายไฟด้วยแรงดึงดูดทางไฟฟ้า
- ปรากฏการณ์เดียวกันถูกอธิบายว่าเป็นแรงแม่เหล็กสำหรับผู้สังเกตที่อยู่นิ่ง และเป็นแรงไฟฟ้าสำหรับผู้สังเกตที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกับอิเล็กตรอน
- ในสุญญากาศและบริเวณที่ไม่มีประจุ Maxwell’s equations สามารถทำให้ง่ายลงได้ และสนามไฟฟ้ากับสนามแม่เหล็กเป็นไปตาม สมการคลื่น
- เนื่องจาก
1 / μ0 ε0 = c²คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าจึงแพร่กระจายด้วยความเร็วแสง - Maxwell มองว่าแสงและปรากฏการณ์แม่เหล็กเป็นสภาวะของสสารเดียวกัน และเชื่อมโยงแสงเข้ากับการรบกวนทางแม่เหล็กไฟฟ้าที่แพร่ผ่านสนามตามกฎแม่เหล็กไฟฟ้า
- เนื่องจาก
- Feynman เห็นว่าสามารถสรุปกฎพื้นฐานของฟิสิกส์คลาสสิกที่รู้จักจนถึงปี 1905 ได้ในตารางเดียว โดยรวม Maxwell’s equations, การอนุรักษ์ประจุ, กฎแรงของ Lorentz, กฎการเคลื่อนที่ และกฎแรงโน้มถ่วงของ Newton
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นจาก Hacker News
ถ้ามีสื่อแบบนี้ตอนที่ผมเรียนปริญญาด้านฟิสิกส์คงดีมาก แผนภาพสวยงาม และชี้ตรงไปที่ แนวคิดหลักของเวกเตอร์แคลคูลัส ที่จำเป็นต่อแม่เหล็กไฟฟ้า
จำได้ว่าตอนอ่าน Jackson[1] ต้องฝ่าฟันกันเหมือนพิธีผ่านด่าน แต่ไม่มีเหตุผลที่คนรุ่นต่อไปต้องลำบากแบบเดิมอีก เว็บน่าจะมีไว้เพื่อสิ่งแบบนี้นี่แหละ
[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_Electrodynamics_(boo...
ถ้ามันมีประโยชน์ก็อยากขอให้ช่วยแชร์และติดตามกัน ผมพยายามจะอธิบายหัวข้อซับซ้อนอย่างสมการ Schrödinger, หลุมดำ, กลศาสตร์ควอนตัม ให้เข้าใจได้แบบใช้สัญชาตญาณ และสุดท้ายก็อยากเขียนหนังสือที่อธิบายคณิตศาสตร์กับฟิสิกส์ให้ชัดเจนและเข้าใจเชิงสัญชาตญาณกว่านี้ คณิตศาสตร์ไม่ควรจะเข้าใจยาก ที่ระดับลึกที่สุดมันเรียบง่ายมาก แต่ก็ยอมรับว่าการนำเสนอให้ชัดและเข้าใจได้แบบสัญชาตญาณนั้นยากจริง ๆ เนื้อหาส่วนใหญ่ได้รับอิทธิพลจาก Grant Sanderson (3Blue1Brown) และแผนภาพส่วนมากทำด้วย Vexlio: https://vexlio.com/
Jackson เป็น ตำราแม่เหล็กไฟฟ้าระดับบัณฑิตศึกษา เลยเขียนยากทางคณิตศาสตร์อยู่แล้ว ถึงตอนที่จะอ่านหนังสือเล่มนั้นก็ควรจะมีพื้นเรื่องแม่เหล็กไฟฟ้าและฐานความคิดเชิงมโนทัศน์มาแล้ว 3-4 ปี และเป้าหมายของมันก็อยู่ที่การแก้สมการในสถานการณ์ที่ยากสำหรับนักศึกษาปริญญาตรี อยากรู้เหมือนกันว่าตอนเรียนปริญญาตรีเรียนจากอะไร
เลยมีคำพูดกันว่าหนังสือที่ดีที่สุดในหัวข้อหนึ่งคือ “หนังสือเล่มที่สองที่คุณอ่าน” เพราะพออ่านรอบสองมันจะดูเข้าใจง่ายเชิงสัญชาตญาณกว่ามาก
ข้อสอบปลายภาคของวิชานั้นเป็นประโยคที่สั้นที่สุดเท่าที่เคยเห็นในข้อสอบ: “จงอนุมาน Maxwell’s Equations” หนังสือของ Kraus ก็น่าพอใจดี
หนึ่งในส่วนที่ดีที่สุดของการเรียนคือการค่อย ๆ ผ่านแม่เหล็กไฟฟ้าไปจนถึง ความงามของสมการ Maxwell
ต่อมาถึงได้รู้ว่าถ้าอัดย่อมันลงอีกด้วยเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ก็จะดึงความงามนั้นออกมาได้ยิ่งกว่าเดิม
http://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handou...
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_descriptions_of_t...
“ทฤษฎีของ Maxwell จะเรียบง่ายและสง่างามได้ก็ต่อเมื่อมองว่าสนาม (field) ซึ่งเป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์นั้นเป็นสิ่งพื้นฐาน และมองความเค้นแม่เหล็กไฟฟ้ากับแรงทางกลว่าเป็นผลที่เกิดจากสนามนั้น ไม่ใช่กลับกัน”
มีการถกเถียงที่น่าสนใจมากมายเกี่ยวกับคำถามว่า สนามมีอยู่จริงหรือไม่ และบทสนทนานั้นก็ย้อนกลับไปได้หลายศตวรรษ: https://youtu.be/j2oSyAfPzWg?si=BHRv8lodGhqZBtbl
เวลาเขาพูดเรื่องสนาม เขามักจะโยงไปสู่งานวิทยาศาสตร์ “กึ่ง” วิทยาศาสตร์เกี่ยวกับโทรจิตอยู่บ่อย ๆ แต่การบรรยายที่ผมชอบที่สุดของเขาคืออันนี้: https://www.youtube.com/watch?v=GS1Drlyr37Q
คำอธิบายนั้นยอดเยี่ยมจริง ๆ ทุกอย่างเรียบง่ายแต่รายละเอียดแน่นมาก จนถ้าจะจำและเข้าใจก็ต้องใช้ความพยายามกับสมาธิพอสมควร
พอมีการ อธิบายให้เห็นเหตุผลที่เชื่อมโยงกัน แบบนี้ ภาพรวมทั้งหมดก็ดูน่าหลงใหลมาก ตอนเรียนวิศวะปี 2 ผมเคยต่อสู้กับเนื้อหานี้ แต่ตอนนั้นเข้าใจได้ไม่ถึงครึ่งด้วยซ้ำ ถ้ามีคำอธิบายแบบนี้คงเรียนได้สนุกกว่านี้มาก เหมือนตอนนั้นผมไม่ฉลาดพอจะเข้าใจผลลัพธ์ในตำราและสูตรต่าง ๆ เลยพลาดโอกาสที่จะหลงใหลในตัววิชาไป
ฉันชอบบทความแนวนี้ แต่ทุกคนมักทำพลาดแบบเดิมคือเริ่มจาก พีชคณิตเวกเตอร์ แทนที่จะเป็นพีชคณิตเรขาคณิต
ในปริภูมิสามมิติ พีชคณิตเวกเตอร์ทำงานได้ดี แต่ในกรณีสองมิติและสี่มิติมันพังทลายโดยสิ้นเชิง ความรู้สึกว่าเข้าใจได้ด้วยสัญชาตญาณจะหายไปทันทีในจุดหนึ่ง อยากเห็นบทความสไตล์เดียวกันนี้ แต่ใช้สิ่งอย่าง bivector ในจุดที่เหมาะสม เพื่อให้ทั้งเรื่องขยายไปสู่กาลอวกาศ 4 มิติได้อย่างสวยงาม ไม่ได้จำกัดอยู่แค่ปริภูมิ 3 มิติ
เวกเตอร์แคลคูลัสนั้นค่อนข้างเป็นธรรมชาติและเรียนรู้ได้ง่าย แถมยังฝังรากลึกในโลกวิศวกรรมและฟิสิกส์ไปแล้ว ผ่านมา 100 ปี คนที่ใช้งานจริงในสายอาชีพก็คงไม่เปลี่ยนสัญกรณ์ เพียงเพื่อเขียนสมการของ Maxwell 4 สมการให้กลายเป็นสมการพีชคณิตเรขาคณิต 1 สมการ เวกเตอร์แคลคูลัสของ Gibbs ยังถูกใช้ในกลศาสตร์ของไหลและสาขาวิศวกรรมอื่น ๆ ด้วย และผมก็แทบไม่เห็นกระแสที่พยายามขายข้อดีของพีชคณิตเรขาคณิตให้แก่นักวิจัยด้านกลศาสตร์ของไหลเลย ใครสักคนอาจยกตัวอย่างนักวิจัยผู้เดียวดายที่เขียนสมการ Navier-Stokes ด้วย geometric product ก็ได้ แต่แล้วมันเปลี่ยนอะไรขึ้นมาจริง ๆ หรือ? เวกเตอร์แคลคูลัสแบบดั้งเดิมคือภาษาที่ทุกคนพูดได้ ส่วนพีชคณิตเรขาคณิตก็เป็นแค่อีกวิธีหนึ่งในการพูดเรื่องเดิม แล้วจะเปลี่ยนไปทำไม
ถ้าใครมีไอเดียว่าจะนำเสนอเรื่องพวกนี้ต่อคนทั่วไปอย่างไร ก็ยินดีมากถ้าจะบอกมา และผมก็พร้อมปรับแนวทาง
สรุปสั้น ๆ คือ geometric product ในพีชคณิตเรขาคณิตเป็นดิฟเฟอเรนเชียลฟอร์มที่มีหลายลำดับปนกันอยู่ ซึ่งค่อนข้างประหลาด พอมองแบบนี้แล้ว ทำไมไม่คิดมันเป็นดิฟเฟอเรนเชียลฟอร์มไปตรง ๆ เลย? สมการของ Maxwell สรุปอย่างสวยมากได้เป็น dF=0, d*F = J
ผู้สอนเวกเตอร์แคลคูลัสทุกคนควรสอนนักศึกษาให้เข้าใจความหมายเชิงสัญชาตญาณ หรือก็คือเชิงภาพและเชิงกายภาพ ของ gradient, divergence, curl
เช่นเดียวกับสัญชาตญาณเบื้องหลังผลลัพธ์อย่างทฤษฎีบทของ Stokes และทฤษฎีบทของ Gauss ต่อให้เป็นนักศึกษาวิศวกรรมที่ไม่สนใจพิสูจน์ ก็ควรเข้าใจสัญชาตญาณนั้นได้
สมการดั้งเดิมของ Maxwell เชื่อมโยงแสงกับไฟฟ้า เดิมมีสมการ 20 สมการกับตัวไม่ทราบค่า 20 ตัว และใช้ สัญกรณ์ฐานควอเทอร์เนียน ที่ไม่มีใครเข้าใจ
Heaviside เขียนสมการ 20 สมการของ Maxwell ใหม่เป็น 4 สมการด้วยเวกเตอร์แคลคูลัส ซึ่งช่วยให้เรียบง่ายขึ้น แต่ก็อาจต้องแลกมาด้วยบางอย่าง โลกสมัยใหม่ก็ยังมีอีกหลายเรื่องที่ยังอธิบายไม่ได้ โดยเฉพาะเรื่องที่เกี่ยวกับประสบการณ์ความเป็นมนุษย์ของแต่ละคน ระหว่างทำงานเป็นคนขับแท็กซี่ก็มีโอกาสได้เห็นแวบ ๆ ของเรื่องเหล่านี้ และได้พบคนที่ช่วยคลายข้อสงสัยที่ผมมีอยู่ น่าจะต้องมีความเชื่อมโยงบางอย่างระหว่างแม่เหล็กไฟฟ้ากับแรงโน้มถ่วง แต่เรายังหาไม่เจอ Bing CoPilot อ้างบทความ Wikipedia นี้เพื่อตอบคำถามของผม แต่เกินระดับความเข้าใจของผมไปหน่อย ถ้าใครช่วยอธิบายให้เข้าใจง่าย ๆ ได้ก็คงดี: https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitoelectromagnetism
เกร็ด Heaviside ที่ไม่มีใครถามถึงอีกอย่างคือ เขายังเป็นคนคิดวิธี “ปิดบัง” สำหรับแยกเศษส่วนย่อยแบบเร็วด้วย[2]
[1] https://www.thp.uni-koeln.de/gravitation/mitarbeiter/hehl/Ma...
[2] https://math.mit.edu/~jorloff/suppnotes/suppnotes03/h.pdf
เขาตัดควอเทอร์เนียนออกไปแน่ ๆ แต่ Maxwell เองก็ไม่ได้ใช้ควอเทอร์เนียนมากนัก และมักแยกเป็นส่วนสเกลาร์กับส่วนเวกเตอร์อยู่เสมอ จึงดูเหมือนความต่างในจุดนี้จะเล็กกว่า ความต่างที่ใหญ่กว่าคือ Maxwell เขียนในรูปศักย์สเกลาร์และศักย์เวกเตอร์ ซึ่งเป็นวิธีที่จำเป็นต้องทำใน QED ขณะที่ Heaviside ตัดสิ่งเหล่านี้ทิ้งและเหลือไว้แค่สนามไฟฟ้ากับสนามแม่เหล็ก ผมยืนยันได้ว่าต้องมีสมการของ Maxwell 7 สมการจึงจะอนุมานสมการ 4 สมการแบบ Heaviside ได้ ถ้าจะเอาควอเทอร์เนียนอย่างจริงจัง ก็สามารถใช้หน่วยธรรมชาติและเขียนสมการ 4 สมการอันโด่งดังให้เหลือเพียง 2 สมการได้:
∇E + dB/dt = -ρ
∇B - dE/dt = J
เพียงแต่ลักษณะเชิงรูปแบบบางอย่างของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปพอจะสอดคล้องอย่างคร่าว ๆ กับโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ใช้พูดถึงในแม่เหล็กไฟฟ้า และมีข้อแม้ว่าสมมาตรที่เป็นฐานของทั้งสองทฤษฎีนั้นต่างกัน
ครั้งหนึ่ง Terence Tao เคยตอบคำถามว่าทำไมถึงยังไม่มีใครพิสูจน์สมมติฐานรีมันน์ได้ โดยบอกว่าตอนนี้เรายังไม่มีเครื่องมือที่เหมาะกับการพิสูจน์ ผมไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ แต่รู้สึกแรงมากว่าควอเทอร์เนียนอาจเป็นหนึ่งในเครื่องมือทรงพลังสำหรับพิสูจน์สมมติฐานรีมันน์ ต่างจากคลื่นชนิดอื่นอย่างคลื่นเสียง คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้ามีคุณสมบัติเรื่องโพลาไรซ์ที่เป็นเอกลักษณ์ ถ้าจะสร้างแบบจำลองปรากฏการณ์ที่อิงแม่เหล็กไฟฟ้าให้ครบถ้วนและถูกต้อง ก็จำเป็นต้องมีการฟอร์มัลไลซ์และการแทนค่าแบบควอเทอร์เนียน เหตุผลหนึ่งที่การมอดูเลตไร้สายแบบเดิมส่วนใหญ่ไม่ใช้โพลาไรซ์ ก็เพราะวิศวกรไมโครเวฟและวิทยุส่วนมากไม่คุ้นกับควอเทอร์เนียน น่าขันที่อคติแบบนี้คล้ายกับท่าทีของนักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ยุคแรกที่ต่อต้านจำนวนเชิงซ้อนอย่างหนัก ทั้งที่ทุกวันนี้การมอดูเลตไร้สายสมัยใหม่จำนวนมากอย่าง OFDM ก็ใช้จำนวนเชิงซ้อน มีบทความที่ใช้พีชคณิตเรขาคณิตและควอเทอร์เนียนเพื่ออนุมานสมการ Maxwell อยู่ที่นี่ และสามารถสรุปได้เป็นสมการงดงามเพียงสมการเดียว[1][2]
[1] Maxwell’s eight equations as one quaternion equation:
https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article/46/4/430/1050887/Maxwe...
[2] A derivation of the quaternion Maxwell’s equations using geometric algebra:
https://peeterjoot.com/2018/03/05/a-derivation-of-the-quater...
ถ้าไม่เป็นไร อยากฟังต่ออีกหน่อย ต่อให้เป็นเรื่องออกแนวลึกลับหน่อยก็ได้ ไม่มีใครอ่านอยู่แล้ว ทำเป็นไม่เห็นก็พอ
เรื่อง ความสมมูลเชิงสัมพัทธภาพ ของสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก ลองดูที่นี่เพิ่มเติมได้:
https://physics.stackexchange.com/questions/489291/how-did-e...
Sussman และ Wisdom เขียนหนังสือชื่อ Structure and Interpretation of Classical Mechanics ตามรอยหนังสือ SICP Scheme แบบคลาสสิก เลยสงสัยว่ามีใครพยายามใช้แนวทางคล้ายกันกับแม่เหล็กไฟฟ้าหรือไม่
ดังนั้นสมการ Maxwell จึงเป็นเพียงหนึ่งในทฤษฎีที่อยู่ภายใต้กรอบใหญ่ของกลศาสตร์คลาสสิก ถ้าต้องการ ก็สามารถเขียนความหนาแน่นลากรางจ์หรือแฮมิลโทเนียนสำหรับการจัดการทดลองต่าง ๆ เช่น อนุภาคมีประจุในสนาม แล้วอนุมานสมการ Maxwell ออกมาได้ มีงานวิจัยแนวนี้อยู่บ้าง และก็ไม่มีเหตุผลว่าทำไมจะใช้ฟอร์มัลลิซึมของ SICM ไม่ได้ เพียงแต่ไม่แน่ใจว่าจะเป็นแบบฝึกหัดที่มีประโยชน์แค่ไหน
น่าจะเป็นบทที่ 6
กำลังขว้างเงินใส่หน้าจออยู่แต่ก็ไม่มีอะไรเกิดขึ้น
อยากให้ช่วยทำเป็นหนังสือในหัวข้อนี้และหัวข้อที่เกี่ยวข้องจริง ๆ เขียนได้ดีมาก