ทำไมเมื่อความเร็วเพิ่มขึ้น พลังงานจลน์จึงไม่ได้เพิ่มแบบเชิงเส้น แต่เพิ่มตามกำลังสอง? (2011)
(physics.stackexchange.com)- พลังงานจลน์ของวัตถุที่ไม่หมุน $\frac{1}{2}mv^2$ ไม่ใช่แค่สูตรที่ต้องท่องจำ แต่เป็น ปัญหาเชิงสัญชาตญาณ ว่าทำไมการเร่งจาก $1\to2\ \mathrm{m/s}$ จึงต้องใช้พลังงานมากกว่าการเร่งจาก $0\to1\ \mathrm{m/s}$
- คำอธิบายหลักอาศัย ความไม่แปรภายใต้การแปลงแบบกาลิเลโอ และการอนุรักษ์พลังงาน โดยเมื่อมองการชนเดียวกันจากกรอบอ้างอิงที่ต่างกัน จะได้ว่า $E(2v)=4E(v)$ ทำให้เห็นการขึ้นกับกำลังสองของความเร็ว
- โมเมนตัม $p=mv$ เพิ่มตามความเร็วแบบเชิงเส้น แต่เมื่อหยุดวัตถุด้วยแรงเท่ากัน วัตถุที่มีความเร็วเป็น 2 เท่าจะมีทั้งเวลาและความเร็วเฉลี่ยระหว่างการเบรกเป็น 2 เท่า ทำให้ ระยะเบรกและงาน เป็น 4 เท่า
- ตัวอย่างการตกและการขว้างแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความสูง พลังงานศักย์ และความเร็ว โดยลูกบอลที่ตกจาก 2 เมตรไม่ได้มีความเร็วเป็น 2 เท่าของลูกบอลที่ตกจาก 1 เมตร
- $\frac{1}{2}mv^2$ เป็น การประมาณแบบกลศาสตร์นิวตัน สำหรับความเร็วต่ำ และในสัมพัทธภาพพิเศษจะเป็น $K=mc^2(1/\sqrt{1-v^2/c^2}-1)$ ซึ่งให้ค่าเกือบเท่ากันเฉพาะที่ความเร็วต่ำเท่านั้น
แก่นของคำถาม
- ในกลศาสตร์คลาสสิก พลังงานจลน์ของวัตถุที่ไม่หมุนกำหนดโดย $\frac{1}{2}mv^2$
- จุดสำคัญของคำถามไม่ใช่ตัวสูตรเอง แต่คือเหตุใดมันจึงเพิ่มตามความเร็วแบบ กำลังสอง แทนที่จะเป็นแบบ เชิงเส้น ซึ่งขัดกับสัญชาตญาณ
- ตัวอย่างที่พบบ่อยคือ เหตุใดการเพิ่มความเร็วจาก $1\ \mathrm{m/s}$ เป็น $2\ \mathrm{m/s}$ จึงต้องใช้พลังงานมากกว่าการเพิ่มจาก $0\ \mathrm{m/s}$ เป็น $1\ \mathrm{m/s}$
มองความสัมพันธ์กำลังสองผ่านความไม่แปรภายใต้การแปลงแบบกาลิเลโอ
- คำอธิบายหนึ่งนิยามพลังงานจลน์เป็น “ปริมาณความร้อน ที่เกิดขึ้นเมื่อก้อนดินเหนียวมวล $m$ พุ่งชนกำแพงด้วยความเร็ว $v$”
- ถ้านำก้อนดินเหนียวมวลเท่ากันสองก้อนมาชนพร้อมกัน ความร้อนจะเพิ่มเป็น 2 เท่า ดังนั้นพลังงานจึงแปรตามมวล
- $E(m,v)=mE(v)$
- ถ้าก้อนดินเหนียวมวล $m$ สองก้อนเคลื่อนเข้าชนกันตรง ๆ ด้วยความเร็ว $v$ เท่ากัน ด้วยความสมมาตร ทั้งคู่จะหยุดนิ่งและเกิดความร้อนรวม $2mE(v)$
- ในกรอบอ้างอิงของรถไฟที่เคลื่อนที่ไปพร้อมกับลูกบอลลูกหนึ่ง เหตุการณ์เดียวกันจะถูกมองต่างออกไป
- ลูกแรกเริ่มต้นอยู่นิ่ง
- ลูกที่สองเคลื่อนเข้ามาด้วยความเร็ว $2v$
- หลังชน ระบบที่ลูกบอลสองลูกติดกันจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $v$
- พลังงานจลน์เริ่มต้นในกรอบนี้คือ $mE(2v)$ และหลังชนจะเหลือความร้อน $2mE(v)$ กับพลังงานจลน์ของก้อนมวลรวมสองเท่า $2mE(v)$
- เมื่อใช้การอนุรักษ์พลังงาน จะได้ความสัมพันธ์
- $mE(2v)=2mE(v)+2mE(v)$
- $E(2v)=4E(v)$
- เมื่อเพิ่มความเร็วเป็น 2 เท่า พลังงานจะเป็น 4 เท่า ดังนั้นพลังงานจลน์จึงแปรตาม กำลังสองของความเร็ว
ความต่างระหว่างโมเมนตัมกับพลังงาน
- คำถามนี้สำคัญมากเมื่อแยกความต่างระหว่าง โมเมนตัม กับ พลังงาน
- ปริมาณเชิงการเคลื่อนที่ที่แปรตามความเร็วแบบเชิงเส้นคือโมเมนตัม
- $p=mv$
- การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมแปรตามอิมพัลส์
- $F\Delta t=\Delta p$
- ซึ่งเชื่อมโยงกับกฎข้อที่สองของนิวตัน $F=ma$
- หากหยุดวัตถุ A และ B ด้วยแรงเท่ากัน $F$:
- A มีความเร็ว $v$
- B มีความเร็ว $2v$
- โมเมนตัมของ B เป็น 2 เท่าของ A
- เมื่อชะลอด้วยแรงเท่ากัน B จะใช้เวลาหยุดเป็น 2 เท่าของ A
- และเพราะ B มีทั้งความเร็วต้นและความเร็วเฉลี่ยมากกว่า 2 เท่า ระยะเบรกจึงเป็น $2 \times 2=4$ เท่า
- งานคือผลคูณของแรงกับระยะทาง $W=Fs$ ดังนั้นเมื่อใช้แรงเท่ากันและระยะเบรกมากขึ้น 4 เท่า งานที่ต้องใช้ก็เป็น 4 เท่า เช่นกัน
- พลังงานจลน์คือปริมาณที่แทนงานนี้ จึงทำให้ที่ความเร็ว 2 เท่า พลังงานจลน์เป็น 4 เท่า
สัญชาตญาณจากการตกและแรงโน้มถ่วง
- เราอาจเปลี่ยนคำถามจาก “ทำไมพลังงานจลน์จึงไม่เพิ่มตามความเร็วแบบเชิงเส้น แต่เพิ่มตามกำลังสอง” เป็น “ทำไมความเร็วจึงเพิ่มเหมือนรากที่สองของพลังงานจลน์”
- แม้ลูกบอลที่ปล่อยตกจากความสูง 1 เมตรจะกระทบพื้นด้วยความเร็ว $v$ ลูกบอลที่ปล่อยจาก 2 เมตรก็ไม่ได้กระทบด้วยความเร็ว $2v$
- ในช่วง 1 เมตรหลัง ลูกบอลลูกที่สองกำลังเคลื่อนที่อยู่แล้ว จึงผ่านช่วงนั้นในเวลาที่สั้นกว่า และมีเวลารับความเร็วเพิ่มน้อยลง
- ใกล้พื้นผิวโลก พลังงานศักย์โน้มถ่วงแปรตามความสูง และความสูงที่วัตถุตกลงมาแปรตาม กำลังสอง ของความเร็ว
- ถ้าพลังงานต้องอนุรักษ์ พลังงานจลน์ก็ต้องแปรตาม $v^2$ ด้วย
- กรณีขว้างขึ้นด้านบนก็ให้ข้อสรุปเดียวกัน
- ภายใต้ความหน่วงจากแรงโน้มถ่วงเท่าเดิม หากความเร็วต้นเป็น 2 เท่า เวลาจนหยุดก็เป็น 2 เท่า
- ความเร็วเฉลี่ยก็เป็น 2 เท่า
- ความสูงสูงสุดจึงเป็น 4 เท่า
- เมื่อเชื่อมกับพลังงานศักย์ $mgh$ จะได้ว่าพลังงานจลน์เริ่มต้นเท่ากับพลังงานศักย์ขณะหยุด และได้รูป $\frac{1}{2}mv^2$
ทฤษฎีบทงาน-พลังงานและปริมาณอนุรักษ์
- ในทางคณิตศาสตร์ รูปของพลังงานจลน์เกิดจากกฎข้อที่สองของนิวตันและนิยามของงาน
- กฎข้อที่สองของนิวตัน:
- $\sum \vec F=m\vec a$
- นิยามของงาน:
- $W=\int d\vec s\cdot \vec F$
- เมื่ออินทิเกรตตามเส้นทาง จะได้ความสัมพันธ์
- $\sum W=m\int d\vec s\cdot \vec a$
- $=m\int dt,\vec v\cdot \frac{d\vec v}{dt}$
- $=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)$
- ดังนั้นนิยามของงานจึงเชื่อมโยงโดยตรงกับ การขึ้นกับกำลังสอง ของความเร็ว
- สำหรับแรงอนุรักษ์ $\int d\vec s\cdot\vec F$ จะขึ้นกับเพียงจุดต้นและจุดปลาย ไม่ได้ขึ้นกับเส้นทาง และสามารถเขียนเป็นฟังก์ชันศักย์ได้
- หากไม่มีแรงไม่อนุรักษ์อย่างแรงเสียดทาน ผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์จะคงที่เป็นปริมาณอนุรักษ์
เหตุใดแค่ “นิยาม” จึงยังไม่พอ
- ในกลศาสตร์คลาสสิก พลังงานจลน์ถูก นิยาม เป็น $\frac{1}{2}mv^2$ และมีประโยชน์เพราะเมื่อกฎฟิสิกส์คงที่ตามเวลา ผลรวมของปริมาณนี้กับพจน์ที่ขึ้นกับตำแหน่งจะถูกอนุรักษ์
- หากความเร่งเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งและไม่เปลี่ยนตามเวลา เช่นในกฎแรงโน้มถ่วง กฎของคูลอมบ์ และกฎของฮุก เราสามารถรู้ความเร็วที่ตำแหน่งอื่นได้จากการอนุรักษ์พลังงาน เพียงรู้ความเร็วที่ตำแหน่งหนึ่ง
- แต่การตอบว่า “ก็เพราะนิยามไว้แบบนั้น” เพียงอย่างเดียว ยังไม่ตอบว่าทำไมนิยามนี้จึงมีประโยชน์
- คำอธิบายหลายแบบมองว่าประโยชน์นั้นเชื่อมโยงกับ ปริมาณอนุรักษ์, ความสมมาตร และ ความไม่แปรภายใต้การแปลงแบบกาลิเลโอ
มุมมองจากลากรางเจียนและความสมมาตร
- หากใช้ความสม่ำเสมอของอวกาศ ความสม่ำเสมอของเวลา และความเป็นไอโซทรอปิกของอวกาศ ลากรางเจียนของอนุภาคอิสระไม่ควรขึ้นกับตำแหน่งหรือเวลาอย่างชัดเจน
- เมื่ออวกาศเป็นไอโซทรอปิก ลากรางเจียนจึงควรขึ้นกับขนาดของความเร็วหรือกำลังของมัน ไม่ใช่ทิศทางของเวกเตอร์ความเร็ว
- หากเขียนลากรางเจียนของอนุภาคอิสระเป็น $\mathcal{L}=\alpha v^n$ แล้วคำนวณโมเมนตัมจาก $p=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial v}$ จะได้ $p=\alpha nv^{n-1}$
- เมื่อใส่เงื่อนไขว่าในขีดจำกัดไม่สัมพัทธภาพ โมเมนตัมต้องแปรตามความเร็วแบบเชิงเส้น จะได้ $n=2$ และดังนั้นพลังงานจลน์จึงแปรตาม $v^2$
- ข้อความที่ว่าโมเมนตัมแปรตามความเร็วแบบเชิงเส้นนั้นใช้ได้เฉพาะใน ขีดจำกัดไม่สัมพัทธภาพ เท่านั้น
ขีดจำกัดเชิงสัมพัทธภาพและเงื่อนไขความเป็นสเกลาร์
- พลังงานจลน์ไม่ได้แปรตาม $v^2$ อย่างแม่นยำเสมอไป และในสัมพัทธภาพพิเศษจะใช้สมการ
- $K=mc^2(1/\sqrt{1-v^2/c^2}-1)$
- ที่ความเร็วต่ำ สมการนี้ให้ค่าเกือบเท่ากับ $\frac{1}{2}mv^2$
- อีกเหตุผลที่ตัดความเป็นไปได้ของการขึ้นกับความเร็วแบบเชิงเส้นคือ พลังงานจลน์เป็นสเกลาร์ แต่ความเร็วเป็นเวกเตอร์
- ถ้าพลังงานจลน์แปรตามความเร็วแบบเชิงเส้น เมื่อเปลี่ยน $\mathbf{v}$ เป็น $-\mathbf{v}$ ค่าจะเปลี่ยนไป ทำให้ขึ้นกับทิศทาง
- พจน์ $v^2$ ในกลศาสตร์นิวตันและพจน์แก้ไขเชิงสัมพัทธภาพอย่าง $v^4$, $v^6$ เป็นต้น จึงสอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่าพลังงานจลน์เป็นสเกลาร์และไม่แปรเมื่อ $\mathbf{v}\to-\mathbf{v}$
การทดลองทางความคิดและตัวอย่างในชีวิตประจำวัน
- การทดลองทางความคิดด้วยสปริงและกล่องสองใบใช้สถานการณ์ที่พลังงานศักย์ในสปริงที่ถูกอัดถูกเปลี่ยนเป็นพลังงานจลน์ของวัตถุสองชิ้น
- ในกรอบอ้างอิงหนึ่ง สปริงทำให้กล่องใบหนึ่งหยุดนิ่งและอีกใบหนึ่งมีความเร็ว $2v$ ขณะที่ในอีกกรอบหนึ่ง กล่องทั้งสองเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $v$ ในทิศตรงข้ามกัน
- เมื่อพลังงานศักย์ไม่แปรภายใต้การแปลงแบบกาลิเลโอ และพลังงานจลน์รวมกันตามมวล จะได้ว่า $KE(m,2v)=4KE(m,v)$
- ตัวอย่างรถชนอธิบายว่าในครึ่งแรกของเวลาที่รถกำลังชะลอ รถจะเคลื่อนที่ไปแล้วถึง 3/4 ของระยะหยุดทั้งหมด จึงชี้ว่าความเสียหายสัมพันธ์กับ ระยะทางที่เคลื่อนที่ มากกว่ากับเวลา
- การทดลองทางความคิดที่ใช้สปริงซ้ำ ๆ เพื่อเพิ่มความเร็วของลูกบอลลูกหนึ่งเป็น $0,1,2,3,4$ แสดงให้เห็นว่าพลังงานจลน์เพิ่มเป็น $0,1,4,9,16$
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นจาก Hacker News
ถ้ามองว่าเป็น การแปลงพลังงานศักย์ จะเข้าใจง่ายที่สุด
ลูกบอลบนบันไดสูง 20 ฟุตมีพลังงานศักย์เป็น 2 เท่าของลูกบอลบนบันไดสูง 10 ฟุต และเมื่อถึงพื้น ก็เปลี่ยนเป็นพลังงานจลน์เท่านั้น
แต่ความเร็วตอนชนของลูกบอลที่ตกจากที่สูงกว่า 2 เท่า กลับห่างไกลจากการเร็วกว่า 2 เท่ามาก แรงโน้มถ่วงเป็นแรงที่ให้ความเร่งคงที่ในการตกอิสระโดยไม่ขึ้นกับความเร็ว และความเร็วเพิ่มขึ้น “ต่อเวลา” ไม่ใช่ “ต่อระยะทาง”
สมมติว่าลูกบอลตกจาก 10 ฟุต ผ่านไป 1 วินาทีมีพลังงานจลน์ 10 และความเร็ว 100 ลูกบอลที่ตกจาก 20 ฟุตก็เช่นกัน ตอนที่ผ่าน 10 ฟุตแรก จะมีพลังงานจลน์ 10 และความเร็ว 100 เหมือนกัน
ประเด็นสำคัญคือช่วง 10 ฟุตที่เหลือ เพราะมันเข้าสู่ช่วงนั้นด้วยความเร็ว 100 อยู่แล้ว จึงผ่านไปในเวลาสั้นกว่า 10 ฟุตแรก และความเร็วที่แรงโน้มถ่วงเพิ่มให้ก็ลดลงตามไปด้วย ดังนั้นจึงเห็นได้ว่าความสัมพันธ์ไม่เป็นเชิงเส้น
ถ้าคำนวณหรือทดลองจริง จะพบว่าถ้าลูกบอลลูกหนึ่งต้องถึงพื้นด้วย ความเร็วเป็น 2 เท่า ของอีกลูก ต้องปล่อยจาก ความสูง 4 เท่า และพลังงานจลน์ก็จะเป็น 4 เท่าด้วย
คำถามเองก็เริ่มจากสัญชาตญาณที่ว่าพลังงานจลน์น่าจะเพิ่มแบบเชิงเส้นตามความเร็ว แต่จริง ๆ แล้วเป็นสัญชาตญาณที่ผิด
https://www.omnicalculator.com/physics/free-fall
แต่ท้ายที่สุดก็เป็นเรื่องของว่าเราตกลงจะวัดหน่วยและปริมาณแบบใด เช่น ถ้าสร้าง “Squenergy” วัดเป็น Sqoules และกำหนดให้ 1Sq² = 1J พลังงาน squenergy ก็จะเพิ่มแบบเชิงเส้นตามความเร็วขึ้นมาทันที
แน่นอนว่าแบบนั้นพลังงานศักย์แบบ Squenergy จะกลายเป็น sqrt(MgH) และจะเกิดความซับซ้อนในส่วนอื่น ๆ เช่นเอามาบวกกันไม่ได้
การปล่อยตกจาก 1 ฟุต 10 ครั้ง ไม่ได้มีพลังงานมากหรือทำลายล้างเท่ากับการปล่อยตกจาก 10 ฟุตครั้งเดียว
คำอธิบายที่ผมรู้สึกตรงกับสัญชาตญาณที่สุดคือแบบนี้: แรง = การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมตามเวลา, พลังงาน = แรง × ระยะทาง
ถ้าดูว่า ณ ความเร็ว v เราสามารถสลายพลังงานได้เท่าไรจากการเปลี่ยนโมเมนตัมเล็ก ๆ ในระยะทางเล็ก ๆ dx จะได้ dE = Fdx = (dp/dt)dx = m(dv/dt)dx = mdv(dx/dt) = mv*dv
หากต้องออกแรงตลอดระยะทางหนึ่ง ก็ต้องเปลี่ยนความเร็วของวัตถุไป dv แต่ระยะทางที่เคลื่อนที่ระหว่างนั้นก็ขึ้นกับความเร็วปัจจุบัน v ด้วย ดังนั้นพลังงานรวมจึงไม่ได้แปรผันตรงกับความเร็วแบบง่าย ๆ
เมื่อนำการเปลี่ยนแปลงความเร็วทั้งหมดตั้งแต่ความเร็วเริ่มต้นจนถึง 0 มารวมเป็น dE เล็ก ๆ ก็จะได้ สูตรพลังงานจลน์
อย่างไรก็ตาม สัญชาตญาณนี้ก็เริ่มจาก “แรง = การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมตามเวลา” อยู่ดี นิยามของ “แรง”, “โมเมนตัม” และ “พลังงาน” แม้จะชัดเจนทางคณิตศาสตร์และเรามีความจริงร่วมกัน แต่ก็อาจรู้สึกวนเป็นวงจนน่าหงุดหงิดได้
“เร็วกว่า 2 เท่า” ฟังแล้วเข้ากับความหมายว่าโมเมนตัมเป็น 2 เท่าได้ดี แต่พลังงานจลน์คือโมเมนตัม × ความเร็ว จึงเป็นนามธรรมกว่า
มีเกร็ดเล็ก ๆ เรื่องหนึ่ง
รถสีน้ำเงินวิ่งด้วยความเร็ว 70 และรถสีแดงรุ่นเดียวกันกำลังไล่ตามมาด้วยความเร็ว 100 เมื่อทั้งสองคันมาอยู่ข้างกัน ก็มีสิ่งกีดขวางปิดสองเลนปรากฏขึ้นหลังโค้ง และรถทั้งสองเบรกด้วยแรงและอัตราหน่วงเท่ากัน
รถสีน้ำเงินหยุดพอดีก่อนถึงสิ่งกีดขวาง รถสีแดงวิ่งเร็วกว่า ดังนั้นถึงจะเบรกในอัตราเดียวกันก็หยุดไม่ทัน ตอนชนสิ่งกีดขวางจะมีความเร็วเท่าไร?
รถสีน้ำเงินสูญเสียพลังงานประมาณ 70² = 4900 หน่วย ตาม ½mv² รถสีแดงเริ่มต้นมีพลังงานจลน์ 100² = 10000 หน่วย และถ้าสูญเสียไปเท่ากันคือ 4900 ก็จะเหลือ 5100 ดังนั้นความเร็วตอนชนคือ √5100 ≈ 71
Numberphile: https://www.youtube.com/watch?v=i3D7XYQExt0
นี่คือเหตุผลที่รถ F1 ทำแรงหน่วงได้ถึง 4G ตอนเบรก รถคัสตอมปีศาจคันสุดท้ายของ Ken Block หรือรถอย่าง Valkyre ก็ใช้เบรกอากาศพลศาสตร์แบบแอคทีฟได้มากขึ้น
สำหรับการทดลองรถยนต์เสมือนพื้นฐานแบบนี้ BeamNG.drive เป็นซิมูเลเตอร์ฟิสิกส์ที่ค่อนข้างดี เปิดเครื่องมือในตัวแล้วลองรันการทดสอบเบรกเองได้
รถทั้งสองอาจเบรกด้วยอัตราหน่วงเท่ากัน คือในแง่ความเร่ง หรือด้วยความเข้มเท่ากัน คือในแง่อัตราที่เปลี่ยนพลังงานจลน์เป็นความร้อน แต่เพราะความเร็วต่างกัน ค่าสองอย่างนี้จึงเท่ากันพร้อมกันไม่ได้
การคำนวณข้างต้นเป็นในแง่ความเข้ม ไม่ใช่ในแง่แรงหรือความเร่ง ความต่างถูกขยายให้ดูเกินจริงเพราะกำลังสองในสูตรพลังงานจลน์ ถ้าคำนวณในแง่แรง ความต่างจะออกมาเป็นเชิงเส้นที่นุ่มนวลกว่า
คำว่า “เบรกในอัตราเดียวกัน” ก็เป็นถ้อยคำที่แฝงเล่ห์ โดยทั่วไป “อัตรา” หมายถึงแรงหรือความเร่ง แต่ในที่นี้คำนวณจาก อัตราการเปลี่ยนพลังงานจลน์เป็นความร้อน
การที่อัตราการแปลงพลังงานเท่ากันหมายความว่า รถที่เร็วกว่าได้รับแรงเบรกจริงน้อยกว่ามาก คณิตศาสตร์เดียวกับเวลาขับลงเขาด้วยความเร็วต่ำแล้วใช้แรงเบรกเท่าเดิมยังพอได้ แต่ถ้าใช้แรงเท่าเดิมที่ความเร็วสูง เบรกจะสุกไหม้
โดยพื้นฐานแล้ว นี่คือการนำการคำนวณแบบรถบรรทุกลงเขา ซึ่งข้อจำกัดอยู่ที่เบรกระบายความร้อนได้แค่ไหน ไม่ใช่แรงเสียดทาน มาเรียบเรียงใหม่เป็นปัญหาการหยุดรถเพื่อทำเป็นคำถามหลอก
Ron Maimon เขียนข้อโต้แย้งที่อาศัย สมมาตร ล้วน ๆ เป็นวิธีที่ข้ามคำอธิบายมาตรฐานจำนวนมากในเธรดนี้ และเท่าที่ผมเข้าใจ มันเหมือนทฤษฎีบท Noether เวอร์ชันที่ทำให้ง่ายลง
นอกเรื่องเล็กน้อย เท่าที่ผมรู้ บัญชีของ Ron Maimon ถูกระงับเพราะตั้งคำถามเรื่องอุปนิสัยของคนที่กำลังหาเสียงขอคะแนนในการเลือกตั้งผู้ดูแล จุดยืนของเขาคือ ถ้าคนลงสมัครตำแหน่งที่มาจากการเลือกตั้ง ก็ย่อมวิจารณ์อุปนิสัยได้
เว็บไซต์ในเครือ Stack Overflow มีนโยบายเข้มงวดว่าให้วิจารณ์คำถาม แต่อย่าวิจารณ์ตัวบุคคล และผู้ดูแลก็ใช้เรื่องนั้นเป็นเหตุผลในการแบนถาวร
ผมจำได้ว่าเคยเห็นบทความที่ Ron เขียนว่าเว็บไซต์ SO เสื่อมเสียเพราะนโยบาย และอีกไม่นานจะไม่สามารถให้คุณค่าได้อีก น่าจะช่วงปลายทศวรรษ 2000 หรือต้นทศวรรษ 2010 มองย้อนกลับไปแล้วรู้สึกว่าค่อนข้างมองการณ์ไกลทีเดียว
ตอนนี้ยังมีการตัดสินใจทางธุรกิจที่แปลกขึ้นเรื่อย ๆ เพื่อรีดเงินให้ได้มากที่สุดก่อนที่ AI จะทำให้ SE ไร้ประโยชน์โดยสิ้นเชิง แต่ความก้าวร้าวและความเป็นปฏิปักษ์นั้นอยู่ในระดับที่ทนได้ยากมาตั้งแต่ต้น
ผมเคยเข้า StackOverflow แค่จะดูอะไรสัก 10 วินาทีแล้วออก แต่กลับนั่งเหม่อดูคอมเมนต์อยู่หลายนาทีเป็นสิบ ๆ ครั้ง เพราะไม่อยากเชื่อว่าวิธีที่ผู้คนปฏิบัติต่อกันเป็นแบบนั้น
อ่านคำตอบไปหลายอันแล้วก็ยังรู้สึกว่ายังไม่เห็นคำตอบที่เข้าใจได้โดยสัญชาตญาณ ทำไมการไปจาก 0 เป็น 1 ถึงต้องใช้พลังงานน้อยกว่าการไปจาก 1 เป็น 2 มากนัก?
ตอนอยู่นิ่ง เราสามารถใช้สภาพแวดล้อมรอบตัวช่วยเพิ่มความเร็วได้ เช่น ผลักกำแพง
แต่เมื่อมีความเร็วอยู่แล้ว สภาพแวดล้อมก็เหมือนกำลังเคลื่อนที่สวนทางกับเรา ดังนั้นทุกครั้งที่ต้องการเพิ่มความเร็วอีกหนึ่งหน่วย จึงต้องออกแรงมากขึ้น
ลองเปลี่ยนสมมติฐานตั้งต้นจะช่วยได้
วัตถุที่ถูกกระทำด้วยแรงคงที่จะมีระยะทางที่เคลื่อนที่เพิ่มขึ้นแบบ กำลังสอง เมื่อเวลาผ่านไป
พลังงานคือ แรง × ระยะทาง เหมือนสัญชาตญาณที่ว่าพลังงานที่ใช้ยกวัตถุแปรผันตามความสูงที่ยกขึ้น
ดังนั้นเมื่อออกแรงคงที่ ก็จะเกิดความเร่งคงที่ และผลคือระยะทางเพิ่มขึ้นแบบกำลังสอง
ถ้ายอมรับว่าพลังงานคือ แรง × ระยะทาง พลังงานที่ต้องใช้ในการเคลื่อนวัตถุในสถานการณ์นี้ก็เพิ่มขึ้นแบบกำลังสองเช่นกัน
กล่าวคือ เมื่อออกแรง F เป็นเวลา 1 วินาที ปริมาณพลังงานที่แรงนั้นถ่ายทอดขึ้นอยู่กับว่าวัตถุนั้นเคลื่อนที่เร็วอยู่แล้วแค่ไหน การออกแรงกับวัตถุที่เร็วอยู่แล้วต้องใช้พลังงานมากกว่ามาก สัญชาตญาณคือ ต้องใช้พลังงานก่อนเพื่อเร่งตัวเองให้ขึ้นไปถึงความเร็วของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่นั้น แล้วจึงค่อยเริ่มออกแรงได้
มองในแบบสมมติฐานโต้ข้อเท็จจริงก็เข้าใจได้
สมมติว่าพลังงานจลน์ขึ้นกับความเร็ว |v| แบบเชิงเส้น เป็น E = m|v| แล้วจักรวาลจะเป็นอย่างไร?
ลากรางเจียนแบบดั้งเดิมคือ L = 1/2 mv^2 - V(x) ถ้าใช้พลังงานจลน์แบบนี้ จะได้สูตรอีกแบบ: L = m|v|ln|v|-V(x)
เมื่ออนุมานสมการการเคลื่อนที่ที่สอดคล้องกัน จะได้ p = m(1+ln|v|)sgn(v), ma = |v|F
จากสูตรเหล่านี้เห็นได้หลายอย่าง อย่างแรก สัมพัทธภาพแบบกาลิเลโอ จะพังลง ไม่มีความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การบูสต์ จักรวาลจำเป็นต้องมีกรอบอ้างอิงพิเศษที่อยู่นิ่ง หรือก็คืออีเทอร์ และพลวัตทั้งหมดต้องเข้าใจเทียบกับกรอบนั้น
อย่างที่สอง กฎข้อที่หนึ่งของนิวตันจะมีการตีความที่ผิดปกติเมื่อเกี่ยวข้องกับกรอบอ้างอิงนั้น เพราะ ma = |v|F และถ้า |v| = 0 ไม่ว่าจะออกแรง F ใด ๆ ก็จะได้ a = 0 วัตถุที่อยู่นิ่งเทียบกับอีเทอร์จะเคลื่อนที่ไม่ได้ไม่ว่าจะถูกแรงใดกระทำ
วัตถุที่เคลื่อนที่เทียบกับอีเทอร์จะยังคงเคลื่อนที่ต่อไปถ้าไม่มีแรงภายนอก และกฎข้อที่สามของนิวตันก็ยังเป็นจริง แต่จักรวาลแบบนี้แทบจะไม่สมเหตุสมผลเลย
ถ้ามองด้วยหลักมนุษยนิยมเชิงมานุษยวิทยา ก็อาจพูดได้ว่าจักรวาลแบบนี้มีพลวัตที่ผิดปกติเกินกว่าจะเอื้อให้เกิดชีวิต ดังนั้นเราจึงไม่อาจสังเกตเห็นมันได้
ถ้าข้อโต้แย้งของ StackExchange คือ “เมื่อให้สัมพัทธภาพแบบกาลิเลโอมา จะได้กฎการสเกลแบบกำลังสอง” ข้อโต้แย้งนี้ก็คือบทกลับเชิงตรรกะว่า “ถ้าไม่มีกฎการสเกลแบบกำลังสอง ก็ไม่มีสัมพัทธภาพด้วย”
ประเด็นของสมมติฐานโต้ข้อเท็จจริงนี้คล้ายกับข้อโต้แย้งเรื่อง “ทำไม” ของ Richard Feynman https://www.youtube.com/watch?v=36GT2zI8lVA
ไม่มีเหตุผลพื้นฐานใดที่ทำให้พลวัตแบบนี้ดำรงอยู่ไม่ได้ เราทำได้เพียงลดคำอธิบายลงไปสู่สัญชาตญาณที่พื้นฐานกว่าเกี่ยวกับจักรวาลเดียวกับที่เราอาศัยอยู่ เช่น จากกฎการสเกลของพลังงานจลน์ไปสู่สัมพัทธภาพแบบกาลิเลโอ หากไม่มีการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ว่าทางเลือกอื่นขัดแย้งกันแม้ในเชิงหลักการ การจินตนาการถึงจักรวาลทางเลือกที่มีพลวัตแบบอื่นก็เป็นเรื่องสมเหตุสมผลอย่างสมบูรณ์ เพียงแต่มันไม่ใช่จักรวาลของเรา
คำตอบแบบลูกเล่น: ความเร็วเป็นเวกเตอร์จึงอาจเป็นลบได้ แต่พลังงานจลน์เป็นสเกลาร์จึงต้องเป็นบวก ดังนั้นต้องยกกำลังสอง v เพื่อลบเครื่องหมายลบออก
ถ้าถามว่าใช้ค่าสัมบูรณ์ไม่ได้หรือ คำตอบคือธรรมชาติไม่ชอบของแบบนั้น อาจเป็นเพราะที่ 0 อนุพันธ์ไม่ถูกนิยาม ก็เลยกลายเป็นกำลังสอง
เป็นความต่างระหว่างชามพาราโบลาเรียบ ๆ กับปลายกรวยแหลมที่ดูไม่เป็นธรรมชาติ เรื่องนี้ก็ปรากฏในสิ่งอย่างส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานด้วย
นอกเรื่อง ผมสงสัยว่าในโครงข่ายประสาทค่าเชิงซ้อน ถ้ากำหนดฟังก์ชันกระตุ้นเป็น sum(inputs)*conj(sum(inputs)) แล้วทำ threshold ให้เป็นปกติด้วย sqrt(num_inputs) มันอาจเป็นแบบที่ทั่วไปที่สุดหรือไม่ อินพุตที่ไม่สอดคล้องกันจะมีค่าเฉลี่ยของค่าสัมบูรณ์เป็น sqrt(N) ส่วนอินพุตที่สอดคล้องกันจะเป็น N เหมือนเลเซอร์ แอมพลิจูดยกกำลังสองจะกลายเป็น N ต่อ N^2 ระหว่างกลุ่มที่ไม่ถูกปรับเทียบกับกลุ่มที่มีสหสัมพันธ์กัน
และวิธีจัดการภาวะเอกฐานที่ 0 ก็สำคัญมากต่อโครงสร้างของอันตรกิริยานั้น
ถ้าเพิ่มความเร็วเป็น 2 เท่า ก็จะไปได้ไกลขึ้น 2 เท่าในเวลาเท่ากัน ไม่ใช่แค่เร็วขึ้น 2 เท่า แต่ทั้งสองอย่างนี้ล้วนส่งผลต่อ งาน
หนังสือ Physics for Mathematicians ของ Michael Spivak มีข้อโต้แย้งมากมายที่อธิบายว่าทำไมคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์คลาสสิกจึงมีรูปแบบเช่นนั้น คล้ายกับคำตอบอันดับต้น ๆ ที่นี่