80 ปีของวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ (2022)

 (link.springer.com)
1 คะแนน โดย GN⁺ 2024-11-04 | 1 ความคิดเห็น | แชร์ทาง WhatsApp
  • วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ (FEM) เริ่มต้นจากการทำให้เป็นดิสครีตที่อาศัยโครงตาข่าย อนุบริเวณรูปสามเหลี่ยม และแคลคูลัสเชิงแปรผันในช่วงต้นทศวรรษ 1940 ก่อนจะกลายเป็นวิธีแกนหลักของวิศวกรรมการคำนวณ และครบรอบ 80 ปีของการคิดค้นในปี 2021
  • FEM ขยายจากกลศาสตร์วัสดุและโครงสร้างไปสู่ฐานการคำนวณสำหรับการไหลของของไหล การนำความร้อน แม่เหล็กไฟฟ้า การออกแบบวงจรและชิปเซมิคอนดักเตอร์ การผลิตแบบเติมเนื้อ การวินิจฉัยทางการแพทย์และการวางแผนผ่าตัด ตลอดจน ปัญหาทั้งหมดที่อธิบายได้ด้วย PDE
  • มีการสานต่อผลงานจาก Hrennikof, Courant, Argyris, Turner, Clough, Zienkiewicz, Kang Feng และคนอื่น ๆ โดยในปี 1960 Clough ได้ตั้งชื่อว่า Finite Element Method ทำให้คำนี้กลายเป็นคำที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย
  • ในช่วงปี 1966–1991 ทฤษฎีการลู่เข้า หลักการแปรผันแบบผสม การอินทิเกรตตามเวลา วิธีแก้ Navier–Stokes การสร้างเมช กลศาสตร์โครงสร้างไม่เชิงเส้น ปฏิสัมพันธ์ของไหล-โครงสร้าง FEM เชิงความน่าจะเป็น และการวิเคราะห์การสัมผัส ได้พัฒนาขึ้นจนขยายไปเป็น เครื่องมือจำลองสำหรับภาคอุตสาหกรรม
  • หลังปี 1992 จุดเน้นได้เคลื่อนไปสู่ การคำนวณแบบเรียลไทม์และขับเคลื่อนด้วยข้อมูล ผ่านการผสาน error estimation, hp FEM, X-FEM, phase-field fracture, isogeometric analysis, multiscale FEM, VEM, ซอฟต์แวร์เชิงพาณิชย์และโอเพนซอร์ส ตลอดจนแมชชีนเลิร์นนิงและ reduced-order models

ขอบเขตของ FEM และการแบ่งพัฒนาการตลอด 80 ปี

  • ปี 2021 เป็นวาระครบรอบ 80 ปีของการคิดค้น finite element method (FEM)
  • FEM ได้กลายเป็นฐานการคำนวณในสาขาต่อไปนี้
    • กลศาสตร์วัสดุและโครงสร้าง
    • การไหลของของไหลและการนำความร้อน
    • กระบวนการทางชีวภาพเพื่อการวินิจฉัยทางการแพทย์และการวางแผนผ่าตัด
    • แม่เหล็กไฟฟ้า
    • การออกแบบและวิเคราะห์วงจรและชิปเซมิคอนดักเตอร์
    • การผลิตแบบเติมเนื้อ
    • ปัญหาทั้งหมดที่อธิบายได้ด้วย สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDE)
  • FEM ได้เปลี่ยนแปลงแนวทางของการสร้างแบบจำลองทางวิทยาศาสตร์และการออกแบบทางวิศวกรรมอย่างมาก ในงานอย่างรถยนต์ อากาศยาน โครงสร้างทางทะเล สะพาน ทางหลวง และอาคารสูง
  • พร้อมกับการพัฒนาของ FEM สาขาวิทยาศาสตร์วิศวกรรมที่เรียกว่า computational mechanics หรือ computational science and engineering ก็เติบโตขึ้นเช่นกัน
  • ประวัติการพัฒนาแบ่งได้เป็นสี่ช่วง
    • 1941–1965: ระยะเริ่มต้น
    • 1966–1991: ยุคทอง
    • 1992–2017: การประยุกต์ใช้ในอุตสาหกรรมขนาดใหญ่และความก้าวหน้าในการสร้างแบบจำลองวัสดุ
    • ตั้งแต่ปี 2018 เป็นต้นไป: เทคโนโลยี FEM สมัยใหม่ทั้งปัจจุบันและอนาคต
  • จุดเน้นหลักอยู่ที่การประยุกต์ใช้ใน กลศาสตร์ของแข็งและโครงสร้าง กับพัฒนาการที่เกี่ยวข้องเป็นหลัก ส่วนพลศาสตร์ของไหล การถ่ายเทความร้อน และปฏิสัมพันธ์ของไหล-โครงสร้าง จะกล่าวถึงอย่างจำกัด
  • พัฒนาการของ FEM มีความเกี่ยวพันกันข้ามหลายช่วงเวลา จึงยากที่จะจัดเรียงด้วยลำดับเวลาอย่างเคร่งครัดเพียงอย่างเดียว

1941–1965: การถือกำเนิดของโครงตาข่าย แคลคูลัสเชิงแปรผัน และเอลิเมนต์สามเหลี่ยม

  • จุดกำเนิดของกระบวนทัศน์การสร้างแบบจำลองเชิงตัวเลขของ FEM ย้อนกลับไปได้ถึง ต้นทศวรรษ 1940
  • ในปี 1941 A. Hrennikof แห่ง University of British Columbia ได้เผยแพร่บทความที่จัดการแบบจำลองเมมเบรนและแผ่นด้วย lattice framework
    • ทำให้โดเมนของคำตอบเป็นดิสครีตด้วยเมชของโครงสร้างแบบ lattice
    • งานนี้เป็นรูปแบบแรกเริ่มของการทำ mesh discretization
  • ในปีเดียวกัน R. Courant ได้เผยแพร่วิธีประมวลผลเชิงตัวเลขสำหรับ PDE อันดับสองที่เกิดจากปัญหาการบิดทรงกระบอกแบบ Saint–Venant โดยใช้แคลคูลัสเชิงแปรผัน
    • มีการใช้งาน trial function บน finite triangle subdomains และ Rayleigh–Ritz method อย่างเป็นระบบ
    • เนื้อหานี้ได้รับการตีพิมพ์เป็นบทความในปี 1943
  • ในเอกสารของ McHenry, Prager and Synge และ Synge and Rheinboldt ก็ยังพบงานลักษณะคล้ายกันเกี่ยวกับการทำให้เป็นดิสครีตและการจัดรูปแบบเชิงแปรผัน
  • ช่วงต้นทศวรรษ 1950 วิศวกรและนักวิชาการหลายคนได้พัฒนาแนวทางแรกเริ่มเหล่านี้ต่อ เพื่อเริ่มแก้ปัญหาจริงในวิศวกรรมอากาศยานและวิศวกรรมโยธา
  • J.H. Argyris และ M.J. Turner ดำเนินการพัฒนาแบบขนานกันโดยมีจุดเน้นต่างกัน และทาง Turner ก็มี R.W. Clough กับ H.C. Martin เข้าร่วม
    • วิธีที่พวกเขาพัฒนาขึ้นเป็นที่รู้จักในปัจจุบันว่าเป็นรูปแบบเริ่มแรกของ FEM
    • ในเวลานั้นเรียกว่า Matrix Stiffness Method
  • R.W. Clough ได้บัญญัติคำว่า Finite Element Method ในบทความที่เผยแพร่เมื่อปี 1960 และชื่อนี้ก็ได้รับการยอมรับอย่างรวดเร็ว
  • Turner, Clough, Martin และ Topp ได้พัฒนา FEM interpolants สำหรับ triangular elements ที่เหมาะกับชิ้นส่วนโครงสร้างที่มีรูปร่างตามอำเภอใจ
    • การคิดค้น triangle element ถูกเรียกจากบางมุมมองว่าเป็น “quantum leap”
    • ในชุมชนวิศวกรรมจำนวนมาก บทความปี 1956 ของ Turner et al. ถูกมองว่าเป็นจุดเริ่มต้นของ FEM

Berkeley, Boeing, Norfork Dam และการแพร่กระจายในระยะแรก

  • M. Jon Turner แห่ง Boeing ต้องการวิธีที่เชื่อถือได้ในการตัดสินล่วงหน้าว่าแบบออกแบบอากาศยานจะทนต่อความเค้นจริงได้หรือไม่ จึงเชิญ Ray Clough และ Harold Martin มาเป็น Boeing summer faculty internships
  • ความร่วมมือของ Turner, Clough และ Martin นำไปสู่วิธีวิเคราะห์โครงสร้างที่ใช้คอมพิวเตอร์คำนวณจำนวนมากเพื่อทำนายสมรรถนะจริง
  • Clough ได้จัดตั้งกลุ่มวิจัย FEM ที่ UC Berkeley และใช้ FEM ในการวิเคราะห์และการทดลองหลากหลายรูปแบบ
    • การออกแบบอาคารและโครงสร้างให้ทนต่อการระเบิดนิวเคลียร์หรือแผ่นดินไหว
    • การวิเคราะห์ข้อกำหนดด้านโครงสร้างของยานอวกาศ
    • การวิเคราะห์โครงสร้างขุดเจาะทางทะเลน้ำลึก
  • ในฤดูใบไม้ร่วงปี 1957 Clough ได้ติดประกาศหานักศึกษาที่สนใจทำ finite element research สำหรับการวิเคราะห์เมมเบรน แผ่น shell และโครงสร้างของแข็ง
    • แม้ขณะนั้นจะยังไม่มีทุนวิจัย แต่นักศึกษาบัณฑิตศึกษาที่มีแหล่งทุนอื่นได้ตอบรับ
  • คอมพิวเตอร์ดิจิทัลรุ่นแรกของ Berkeley คือ IBM 701 ที่ใช้หลอดสุญญากาศและผลิตในปี 1951 โดยจำนวนสมการเชิงเส้นสูงสุดที่แก้ได้มีเพียง 40 สมการ
  • ในปี 1959 มีการติดตั้ง IBM 704 ที่ Berkeley Campus
    • มีหน่วยความจำ 32K 32-bit และหน่วย floating-point arithmetic ที่เร็วกว่า IBM 701 ราว 100 เท่า
    • ทำให้สามารถใช้เมชละเอียดเพื่อแก้ปัญหาโครงสร้างที่ใช้งานได้จริง
  • การวิเคราะห์ Norfork Dam ของ Clough ในปี 1962 แสดงให้เห็นถึงการใช้งานจริงในระยะแรกของ FEM
    • เขื่อน Norfork สูง 250 ฟุตในรัฐ Arkansas เกิดรอยร้าวแนวตั้งระหว่างการก่อสร้างในปี 1942
    • การวิเคราะห์ด้วย FEM ทำนายตำแหน่งและขนาดของรอยร้าวจากการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิได้อย่างถูกต้อง
    • ให้ผลการกระจัดและความเค้นภายในเขื่อนและฐานรากที่สมจริง ภายใต้แรงโน้มถ่วงและเงื่อนไขแรงดันสถิตของน้ำหลายแบบ
  • Clough ได้เผยแพร่ FORTRAN listing ของโปรแกรมคอมพิวเตอร์สำหรับการวิเคราะห์ไฟไนต์เอลิเมนต์เพื่อประเมินการกระจัดและความเค้นของโครงสร้างระนาบสองมิติให้ใช้งานได้อย่างเสรี
    • สามารถใช้กับโครงสร้างระนาบ 2D ที่มีเรขาคณิต วัสดุ และเงื่อนไขการรับแรงต่างกัน
    • ทำให้วิศวกรมืออาชีพสามารถนำ FEM ไปใช้หาการกระจายความเค้นในปัญหาวิศวกรรมโครงสร้างได้โดยง่าย
  • R.W. Clough ได้รับ National Medal of Science จากรองประธานาธิบดีสหรัฐในขณะนั้น Al Gore ในปี 1994 จากผลงานด้านการริเริ่มและพัฒนา FEM

บุคคลยุคแรกและรากฐานทางทฤษฎี

  • ตามฉันทามติในปัจจุบัน หลังจากการวางรากฐานทางคณิตศาสตร์ของ R. Courant แล้ว J.H. Argyris, R.W. Clough และ O.C. Zienkiewicz มีบทบาทสำคัญยิ่งต่อการถือกำเนิดและการพัฒนาในระยะแรกของ FEM
  • ช่วงต้นทศวรรษ 1960 Kang Feng แห่ง Chinese Academy of Science ได้เสนอ discretization numerical method ที่อิงกับ variational principles เพื่อแก้ elliptic PDE โดยอิสระ
    • Peter Lax ประเมินว่า Kang Feng ได้สร้างทฤษฎี FEM ขึ้นอย่างเป็นอิสระจากพัฒนาการคู่ขนานในโลกตะวันตก
    • งานของ Kang Feng ถูกยกให้เป็นหนึ่งในการศึกษา convergence studies ยุคแรกของ FEM
  • E.L. Wilson ถูกกล่าวถึงว่าเป็นผู้พัฒนา finite element open-source software คนแรก
    • ในปี 1958 ภายใต้การกำกับของ Clough เขาเริ่มพัฒนา finite element program แบบอัตโนมัติที่ Boeing โดยอิงจาก rectangular plane stress finite element
  • J.T. Oden และ G.C. Best ได้เขียน general purpose FEM computer codes ยุคแรกชุดหนึ่ง
    • รวมถึง elements สำหรับ 3D elasticity, 2D plane elasticity, 3D beam and rod elements, composite layered plate and shell elements และ elements สำหรับ general composite materials
    • ถูกใช้งานเป็นเวลาหลายปีในการ aircraft analysis and design ของอุตสาหกรรมการบินและอวกาศกับการป้องกันประเทศ
  • ภายในปี 1965 งานวิจัย FEM ได้กลายเป็นสาขาที่มีความเคลื่อนไหวอย่างมากทั่วโลก และจำนวนบทความที่ตีพิมพ์ในเอกสารวิชาการมีมากกว่า 1000 เรื่อง
  • Hellinger–Reissner variational principle และ Hu-Washizu variational principle ได้กลายเป็นรากฐานของการพัฒนา mixed FEM ในเวลาต่อมา
  • ในปี 1964 Pian ตระหนักถึงความเป็นไปได้ในการใช้ mixed variational principles กับ FE formulations ที่อิง Galerkin weak form และเสนอ assumed stress FEM

1966–1991: ทฤษฎีการลู่เข้า พลวัต ของไหล และการวิเคราะห์ไม่เชิงเส้น

  • ตั้งแต่ปลายทศวรรษ 1960 เป็นต้นมา ได้มีการพัฒนา ทฤษฎีการประมาณค่า ที่เข้มงวดเพื่อรองรับ FEM
    • Cea lemma และ Bramble-Hubert lemma ถูกยกให้เป็นผลลัพธ์สำคัญในการพิสูจน์การลู่เข้าของ FEM
    • งานศึกษาการประมาณค่า L∞ ของ Nitsche สำหรับปัญหาเชิงวงรีเชิงเส้นทั่วไปเป็นหนึ่งในคุณูปการสำคัญต่อรากฐานทางคณิตศาสตร์ของ FEM ในทศวรรษ 1970
  • วิศวกรภาคปฏิบัติใช้งานตัวประมาณค่า nonconforming FEM หรือ numerical quadrature ที่ละเมิดรูปแบบแปรผันมาตรฐานอยู่แล้ว
    • G. Strang เรียกเทคนิคเชิงตัวเลขเหล่านี้ว่า variational crimes
    • B. Iron และ R. Melosh ได้สร้าง FEM patch test ยุคแรก ซึ่งมีบทบาทสำคัญในการรับประกันการลู่เข้าสู่คำตอบที่ถูกต้อง
  • ใน FEM ที่อิงหลักการแปรผันแบบผสม Babuska-Brezzi condition หรือ LBB condition ได้กลายเป็นผลลัพธ์หลัก
    • ให้เงื่อนไขเพียงพอเพื่อให้ปัญหา saddle point มีคำตอบเอกฐานที่ขึ้นต่อข้อมูลนำเข้าอย่างต่อเนื่อง
    • กลายเป็นแนวทางในการสร้าง shape functions ของ FEM ที่อิงหลักการแปรผันแบบผสม
  • การพัฒนา FEM ในทศวรรษ 1970 ได้ย้ายจุดสนใจไปสู่การจำลองพฤติกรรมพลวัตของโครงสร้าง รวมถึง crashworthiness ในอุตสาหกรรมยานยนต์
    • มีการพัฒนา Newmark-beta method, Wilson-theta method, Hilbert-Hughes-Taylor alpha method, Houbolt integration algorithm และ explicit time integration algorithm เป็นต้น
  • explicit time integration ได้กลายเป็น game changer สำหรับอุตสาหกรรมยานยนต์ และทำให้ FEM กลายเป็นเครื่องมือหลักสำหรับการออกแบบรถยนต์นั่งและการวิเคราะห์ความปลอดภัยจากการชน
    • ภายในปลายทศวรรษ 1980 ผู้ผลิตรถยนต์รายใหญ่ 3 รายของสหรัฐฯ มีเวิร์กสเตชันหลายพันเครื่องที่รัน FEM code บนพื้นฐาน explicit time integration
  • หนึ่งในหัวข้อวิจัยหลักของ FEM ในทศวรรษ 1980 คือการแก้สมการ Navier–Stokes ด้วย FEM
    • Hughes และผู้ร่วมวิจัยได้พัฒนา streamline upwind/Petrov Galerkin method, Stabilized Galerkin FEM, space–time FEM และ variational multiscale FEM
    • ระหว่างปี 1986–1991 Hughes และ L.P. Franca เป็นต้น ได้เขียนชุดบทความ 10 ตอนว่าด้วย FEM formulation สำหรับ computational fluid dynamics
  • ช่วงกลางทศวรรษ 1980 การผสาน interactive computer graphics, adaptive mesh generator และเทคนิค solid modeling ทำให้ FEM mesh generation ขั้นสูงพัฒนาขึ้น
  • ผลงานของ J. Simo เป็นหนึ่งในไฮไลต์สำคัญของความก้าวหน้าทางเทคนิค FEM ในทศวรรษ 1980
    • consistent tangent operator สำหรับ computational plasticity
    • geometrically exact beam and shell theories
    • assumed strain หรือ enhanced strain methods

ปฏิสัมพันธ์ของไหล-โครงสร้าง, probabilistic FEM และการวิเคราะห์การสัมผัส

  • ตั้งแต่กลางทศวรรษ 1970 ถึงต้นทศวรรษ 1990 อุตสาหกรรมการบินและอวกาศกับวิศวกรรมโยธามีความต้องการเทคโนโลยีสำหรับแก้ปัญหา fluid–structure interaction(FSI) ขนาดใหญ่สูงมาก
  • Hughes-Liu-Zimmermann Arbitrary Lagrangian–Eulerian(ALE) fluid–structure FEM formulation ใช้จัดการปัญหาขอบเขตเคลื่อนที่
    • ใน ALE mesh สำหรับการคำนวณภายในโดเมนสามารถเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระเพื่อปรับรูปทรงขององค์ประกอบให้เหมาะสม
    • mesh ของขอบเขตโดเมนและ interface จะเคลื่อนที่ไปพร้อมกับวัสดุ ทำให้ติดตามขอบเขตและ interface ของ multi-material system ได้อย่างแม่นยำ
  • C. Farhat ถูกกล่าวถึงว่าเป็นผู้แรกที่คำนวณปัญหา FSI โดยใช้ large-scale parallel ALE-FEM solver
    • กลุ่มของ Farhat ได้พัฒนา finite element tearing and interconnecting method เพื่อแก้ระบบสมการขนาดใหญ่ได้อย่างปรับขยายได้
  • งานวิจัย FEM ด้าน FSI ได้วางรากฐานให้กับการสร้างแบบจำลองเฉพาะผู้ป่วยของโรคหลอดเลือดและ predictive medicine บนพื้นฐาน FEM ในช่วงกลางทศวรรษ 1990
  • W.K. Liu และ T. Belytschko ได้พัฒนา probabilistic FEM หรือ random field FEM เป็นครั้งแรกในช่วงปลายทศวรรษ 1980
    • พิจารณาความไม่แน่นอนของเงื่อนไขการรับแรง พฤติกรรมของวัสดุ โครงสร้างเรขาคณิต และเงื่อนไขรองรับหรือขอบเขต
    • สามารถประยุกต์ใช้กับการวิเคราะห์ความน่าเชื่อถือของโครงสร้างได้
  • ช่วงต้นทศวรรษ 1980 กลุ่มของ M.E. Botkin แห่ง General Motors Research Lab และกลุ่มของ N. Kikuchi แห่ง University of Michigan ได้พัฒนา structural shape optimization FEM สำหรับอุตสาหกรรมยานยนต์
  • บทความปี 1976 ของ Hughes, Taylor, Sackman, Curnier และ Kanoknukulchai เป็นหนึ่งในงานวิเคราะห์ FEM ที่เก่าแก่ที่สุดของ computational contact mechanics
    • ถูกยกให้เป็นงานศึกษาแรก ๆ ว่าด้วย FEM modeling ของ dynamic contact and impact problems
    • มีการยกตัวอย่างเช่น sheet metal forming, target impact and penetration และปฏิสัมพันธ์ระหว่าง pavement กับ tire
  • งานวิจัยด้าน contact algorithm ยังคงเป็นหัวข้อวิจัยที่คึกคักต่อเนื่องจนถึงปลายทศวรรษ 1990

1992–2017: การประเมินความคลาดเคลื่อน รอยร้าว และวิธีไร้เมช

  • เหตุการณ์สำคัญลำดับแรกของพัฒนาการ FEM ในช่วงปี 1992–2017 คือการทำให้ ตัวประมาณความคลาดเคลื่อนภายหลังของ Zienkiewicz-Zhu เป็นรูปแบบที่ชัดเจน
    • ช่วยควบคุมคุณภาพของคำตอบ FEM พร้อมใช้ทรัพยากรการคำนวณอย่างเหมาะสมที่สุดผ่านการทำ adaptive mesh refinement
    • ปัจจุบัน การปรับปรุงคุณภาพผ่านการประเมินความคลาดเคลื่อนภายหลังได้ขยายไปถึงระดับของ Bayesian inference และ Bayesian update
    • หัวข้อนี้เชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับ validation and verification
  • Szabo และ Babuska พัฒนา hp FEM ที่ใช้ทั้ง h และ p ร่วมกัน
    • เมื่อผสาน h-refinement และ p-refinement อย่างเหมาะสม จะให้การลู่เข้าแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลระหว่างการทำ mesh refinement
    • แตกต่างจาก FEM ส่วนใหญ่อื่น ๆ ที่ลู่เข้าด้วยอัตราแบบพีชคณิต
  • ในปี 1994 Xu และ Needleman พัฒนา FEM cohesive zone model(CZM) ที่สามารถจำลองการเติบโตของรอยร้าวได้โดยไม่ต้อง remeshing
  • Belytschko และ W.K. Liu พัฒนา meshfree particle method เพื่อลดปัญหา mesh bias ในการจำลองการแตกหักและความเสียหายของวัสดุ
    • ตัวอย่างสำคัญคือ element-free Galerkin method และ reproducing kernel particle method
    • RKPM ให้ consistency และปรับปรุงการลู่เข้าเมื่อเทียบกับ SPH method
  • ในปี 2001 J.S. Chen และผู้ร่วมวิจัยเสนอ stabilized conforming nodal integration method สำหรับ meshfree RKPM
    • วิธีนี้เรียบง่าย เสถียร และมีความ consistent เชิงแปรผันกับการทำให้เป็นรูปแบบ weak form ของ Galerkin
  • partition of unity finite element method ต่อมาถูกเรียกว่า generalized finite element method
    • เป็นการทำให้ FEM แบบ h, p และ hp เป็นแบบทั่วไป
    • สามารถฝังคำตอบเชิงวิเคราะห์ลงในการทำให้ FEM เป็นแบบไม่ต่อเนื่องได้
  • ในช่วงปลายทศวรรษ 1990 Belytschko, Black, Moes, Dolbow และคนอื่น ๆ พัฒนา X-FEM
    • ใช้ enriched discontinuous shape function เพื่อจับรูปร่างของวัตถุที่มีรอยร้าวได้โดยไม่ต้อง remeshing
    • กลายเป็นความก้าวหน้าสำคัญของ computational fracture mechanics และเทคนิค FEM refinement
  • ราวปี 2000 Bourdin, Francfort และ Marigo พัฒนา phase-field approach สำหรับการจำลองการแตกหักของวัสดุ
    • สามารถใช้ Galerkin FEM แก้สมการการเคลื่อนที่ของคอนทินิวอัมและ phase equation ไปพร้อมกัน เพื่อหาคำตอบของรอยร้าวได้โดยไม่เกิด stress singularity และไม่ต้อง remeshing

การบูรณาการกับ CAD มัลติสเกล และองค์ประกอบเสมือน

  • เหตุผลสำคัญที่ FEM ประสบความสำเร็จอย่างมาก คือสามารถประยุกต์ใช้ได้อย่างกว้างขวางกับการวิเคราะห์และการออกแบบทางวิศวกรรมในสาขาวิทยาศาสตร์โดยรวม
  • T.J.R. Hughes, J.A. Cottrell, Y. Bazilevs และคนอื่น ๆ พัฒนา isogeometric analysis(IGA) FEM
    • ใช้ฟังก์ชัน NURBS เป็น FEM shape function
    • ทำให้ FEM ถูกรวมเข้ากับเครื่องมือ CAD แบบ NURBS ที่มีอยู่เดิมได้ โดยไม่ต้องแปลงข้อมูลระหว่างแพ็กเกจ CAD และ FEA
  • การเกิดขึ้นของนาโนเทคโนโลยีนำไปสู่การพัฒนา multiscale method ที่ผสานวิธีเชิงอะตอมเข้ากับ FEM ระดับคอนทินิวอัม
    • มีการกล่าวถึง molecular dynamics, density functional theory และ ab initio method
    • hand-shake method, quasi-continuum FEM และ bridging scale method เป็นผลงานสำคัญ
  • ในปี 2007 Gavini, Bhattacharya และ Ortiz พัฒนา quasi-continuum orbital-free DFT FEM สำหรับการคำนวณ DFT ระดับหลายล้านอะตอม
  • ตั้งแต่ปลายทศวรรษ 1990 เป็นต้นมา computational homogenization method พัฒนาอย่างรวดเร็ว
    • แบ่งเป็น multiscale computational homogenization สำหรับวัสดุผสมที่มีโครงสร้างจุลภาคแบบคาบ
    • และ computational micromechanics method ที่มุ่งเป้าไปที่วัสดุผสมซึ่งมีโครงสร้างจุลภาคแบบสุ่มเป็นหลัก
  • ในปี 2013 ทีมนักวิจัยอิตาลีที่นำโดย L. Beirão da Veiga และ F. Brezzi เสนอ virtual element method(VEM)
    • เป็นการขยาย FEM แบบเดิมสำหรับรูปทรงองค์ประกอบตามอำเภอใจ
    • รองรับ polytopal discretization เช่น polygon แบบ 2D หรือ polyhedron แบบ 3D
    • ได้ชื่อว่า virtual เพราะไม่จำเป็นต้องคำนวณ local shape function basis อย่างชัดแจ้ง
    • มีคุณสมบัติได้เปรียบกว่า FEM แบบเดิมในปัญหารูปทรงซับซ้อนที่ได้เมชคุณภาพดีได้ยาก และในปัญหาที่ต้องการ local refinement

การศึกษาและอุตสาหกรรมซอฟต์แวร์

  • ในปี 1957 R. Clough เปิดสอนวิชา FEM ระดับบัณฑิตศึกษาเป็นครั้งแรกที่ UC Berkeley
  • หลังจากนั้น ได้มีการเพิ่มวิชา FEM ระดับบัณฑิตศึกษาและปริญญาตรีเข้าไปในหลักสูตรวิศวกรรมของมหาวิทยาลัยและสถาบันวิศวกรรมสำคัญทั่วโลก
  • ภายในสิ้นปี 2015 มีหนังสือและตำรา FEM แบบเล่มเดี่ยวตีพิมพ์ออกมามากกว่าหลายร้อยเล่มในหลายสิบภาษา
  • ตำรา FEM ของ Zienkiewicz and Taylor หรือ Zienkiewicz et al. น่าจะมีอิทธิพลอย่างมากต่อการทำให้เทคโนโลยี FEM แพร่หลาย
    • โค้ดโปรแกรมคอมพิวเตอร์สำหรับงานวิจัย FEM FEAP ที่ Taylor เขียนถูกรวมไว้ในภาคผนวกของหนังสือ
    • ให้แนวทางโดยตรงสำหรับการนำ FEM ไปใช้งานบนคอมพิวเตอร์
  • การพัฒนาเทคโนโลยีซอฟต์แวร์ FEM เริ่มต้นขึ้นในช่วงต้นทศวรรษ 1960
    • ในปี 1963 E.L. Wilson และ R. Clough พัฒนา Symbolic Matrix Interpretive System(SMIS)
    • Wilson เริ่มและพัฒนา Structural Analysis Program(SAP) โดยอิงจาก SMIS
    • K.J. Bathe พัฒนาโค้ด FEM แบบไม่เชิงเส้น ADINA โดยอิงจาก SAP IV และ NONSAP
  • NASA พัฒนาโค้ด FEM ของตนเองคือ NASTRAN
    • เวอร์ชันแรก COSMIC Nastran ปรากฏขึ้นในปี 1969
    • ในปี 1971 MSC Software เปิดตัว MSC Nastran ซึ่งเป็นเวอร์ชันเชิงพาณิชย์ของ Nastran
  • J.A. Swanson พัฒนาโค้ด FEM รุ่นแรกของ ANSYS
    • ปัจจุบัน ANSYS กลายเป็นหนึ่งในซอฟต์แวร์ FEM เชิงพาณิชย์หลักของโลก
  • DYNA3D ถูกพัฒนาโดย J.O. Hallquist แห่ง Lawrence Livermore National Laboratory
    • ถูกใช้อย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์แรงกระแทก การสัมผัสแบบพลวัต และความเสียหายของโครงสร้าง
    • ต่อมาพัฒนาเป็น LS-DYNA
    • ในปี 2018 หลังจาก Livermore Software Technology ถูก ANSYS เข้าซื้อกิจการ LS-DYNA ก็กลายเป็นส่วนหนึ่งของ ANSYS ในชื่อ ANSYS LS-DYNA
  • ABAQUS เป็นซอฟต์แวร์ FEM เชิงพาณิชย์ขนาดใหญ่ที่เปิดตัวโดย HKS ซึ่งก่อตั้งโดย Hibbitt, Karlsson และ Sorenson
    • อนุญาตให้ใช้ user-defined subroutine ทำให้นักวิจัยนำ standard FEM solver ไปใช้กับงานวิจัยได้ง่าย
  • ตั้งแต่ปลายทศวรรษ 1990 ถึงต้นทศวรรษ 2000 อุตสาหกรรมซอฟต์แวร์ FEM กลายเป็นธุรกิจขนาด หลายพันล้านดอลลาร์
  • ANSYS, ABAQUS, ADINA, LS-DYNA, NASTRAN, COMSOL Multiphysics และ CSI ถูกกล่าวถึงว่าเป็นซอฟต์แวร์ FEM ที่เป็นที่รู้จัก
  • ยังมีซอฟต์แวร์ FEM แบบโอเพนซอร์ส เช่น FreeFEM, OpenSees, Elmer, FEBio, FEniCS Project และ DUNE

หลังปี 2018: แมชชีนเลิร์นนิง, FEM ที่ขับเคลื่อนด้วยข้อมูล, และแบบจำลองลำดับลดรูป

  • FEM ยุคใหม่สามารถแก้ปัญหาอุตสาหกรรมที่มีขนาดใหญ่และซับซ้อนได้เป็นกิจวัตร และทำให้เกิดทั้งการวิเคราะห์เชิงคาดการณ์เพื่อการออกแบบผลิตภัณฑ์และความเข้าใจเชิงพื้นฐาน
  • เมื่อมีการสร้างข้อมูลจำนวนมากจากสิ่งประดิษฐ์ใหม่ ๆ ครอบคลุมทั้งปริภูมิของเวลา พื้นที่ และพารามิเตอร์การออกแบบ บางครั้งการพัฒนาหลักการทางวิทยาศาสตร์ก็ไม่ทันความเร็วของการประดิษฐ์
  • นักวิจัย FEM จึงศึกษาการประยุกต์ใช้ FEM ที่อาศัย machine learning และ deep learning
  • Mechanistic Data Science (MDS) FEM ผสานหลักการทางวิทยาศาสตร์ที่ทราบอยู่แล้วเข้ากับข้อมูลที่เก็บรวบรวมใหม่ และเป็นทิศทางการวิจัยสำคัญสำหรับการประดิษฐ์ใหม่
    • ใช้วิธีอย่าง active deep learning และ hierarchical neural network
    • ทำหน้าที่ประมวลผลข้อมูลขาเข้า, สกัดคุณลักษณะเชิงกลไก, ลดมิติ, ถดถอยและจัดประเภท, รวมถึงให้บริการฐานข้อมูลความรู้
  • ความก้าวหน้าล่าสุดของ machine learning และ deep learning ทำให้แนวทางการสร้าง deep neural network เพื่อแก้ FEM กลายเป็นเทคโนโลยีล้ำสมัย
  • Physics-Informed Neural Networks ใช้แก้ PDE มิติสูงใน strong form และใช้ข้อจำกัดที่รองรับทั้งเงื่อนไขขอบเขตแบบธรรมชาติและเงื่อนไขขอบเขตแบบจำเป็น
  • มีการวิจัยวิธีที่ผสานโครงสร้าง FEM เข้ากับโครงข่ายประสาท เช่น Deep Ritz Method, Deep Galerkin Method, physics-constrained deep learning และ partition of unity network
  • Zhang et al. ตีพิมพ์งานวิจัยว่าด้วยการสร้าง FEM shape function บนพื้นฐานของคุณลักษณะเชิงลำดับชั้นของ DNN และเรียกสิ่งนี้ว่า HiDeNN
    • แสดงการสร้าง interpolation function แบบ deep learning หลายแบบ เช่น RKPM, NURBS และ IGA
  • HiDeNN-AI สามารถบูรณาการเครื่องมือแบบ data-driven ได้หลายชนิด และมอบแนวทางทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมที่แทบไม่มีหรือไม่มีความรู้ทางฟิสิกส์ และมีความต้องการด้านการคำนวณสูง
  • มีการเสนอวิธี data-driven แบบสองขั้นตอน โดยสร้าง FEM database ในขั้น offline และคำนวณคำตอบสุดท้ายในขั้น online เพื่อลดต้นทุนการคำนวณของ FEM
  • FE-SCA ใช้ unsupervised machine learning เพื่อจัดกลุ่ม material point และแก้ reduced-order Lippmann–Schwinger micromechanics equation เพื่อลดต้นทุนการคำนวณของการวิเคราะห์หลายสเกล
  • Reduced order modeling สอดคล้องกับความต้องการของภาคอุตสาหกรรมสำหรับการจำลองที่รวดเร็วและเกือบเรียลไทม์
    • การควบคุมระบบพลวัตแบบออนไลน์
    • การติดตามสภาพโครงสร้าง
    • การติดตามสภาพยานพาหนะ
    • การควบคุมป้อนกลับของการผลิตขั้นสูงแบบออนไลน์
    • การควบคุมและการตัดสินใจสำหรับการขับขี่อัตโนมัติ
  • การควบคุมเหมาะที่สุดเชิงปฏิบัติอาจต้องการการคาดการณ์ที่เชื่อถือได้ภายในช่วงระดับมิลลิวินาทีหรือย่อยกว่ามิลลิวินาที
  • reduced order machine learning method อาจทำให้เกิด physics-data combined model ที่ก้าวข้ามคอขวดของทั้งการลดรูปแบบจำลองและแนวทาง machine learning แบบ data-driven ล้วน ๆ

บทความที่เกี่ยวข้อง

1 ความคิดเห็น

 
GN⁺ 2024-11-04
ความคิดเห็นบน Hacker News

  • ผมทำงานเต็มเวลาในฐานะ นักวิเคราะห์ FEM มา 15 ปีแล้ว ตัวบทความเองก็โอเค แต่รู้สึกอย่างแรงว่ามันวาดภาพ 20 ปีที่ผ่านมาให้สดใสเกินจริงมาก
    ในงานปฏิบัติจริง การใช้งาน FEM ค่อนข้างหยุดนิ่งมานาน มีการปรับปรุงเสถียรภาพของอัลกอริทึมเชิงตัวเลขที่ทำให้ปัญหา nonlinearity สูงง่ายขึ้นเล็กน้อย มี solver ที่ปรับแต่งดีขึ้น ฮาร์ดแวร์ที่ดีขึ้นมาก และโดยเฉพาะ flash storage ที่ช่วยได้มาก
    แต่เทคโนโลยีขั้นสูง/รุ่นถัดไปที่บทความชูขึ้นมานั้น เมื่อนำไปใช้กับปัญหาจริง แทบทั้งหมดล้มเหลว ในโจทย์ทดลองในห้องแล็บที่เรียบง่ายมาก ๆ อาจได้ผลดี แต่ในปัญหาโลกจริง ความแม่นยำมักแย่มาก เช่น ทรงกระบอกภายใต้แรงดึงอย่างเดียวอาจตรงดี แต่พอเพิ่มการดัดเข้าไปก็พังหนัก
    ตอนนี้ยังไม่มีอะไรดีกว่า FEM แต่เมื่อมองย้อนกลับไปก็น่าประหลาดใจที่ผมยังทำงานแทบจะด้วยวิธีเดียวกับสมัยเป็น Engineer 1 ไม่ใช่ว่าไม่เคยลอง และผมก็ผ่านโครงการพัฒนามานับไม่ถ้วนที่ดูมีความหวัง แต่ไม่ผ่านการพิสูจน์ในโลกจริง
    จุดสนใจของอุตสาหกรรมกลับหันไปที่ การตรวจสอบและการยืนยันความถูกต้อง (ASME V&V 10/20/40) มากกว่ามาก และทำให้กับดักกับข้อจำกัดหลายอย่างถูกเปิดเผย งานวิจัยในมหาวิทยาลัยและผู้ผลิตซอฟต์แวร์ไม่ค่อยกระตือรือร้นที่จะกลับมาดูปัญหาที่เราพบ ซึ่ง supposedly ถือกันว่า “แก้ได้แล้ว”

    • ผมเป็นวิศวกรเครื่องกล และอยากเข้าใจ แง่มุมด้าน computational science ของเครื่องมือที่ใช้ทุกวันให้ดีขึ้น ถ้าอยาก “เรียน FEA ใหม่” จากมุมมองวิทยาการคอมพิวเตอร์ มีแหล่งเรียนรู้อะไรแนะนำไหม?
    • ถ้าหมายความว่าเทคโนโลยีขั้นสูง/รุ่นถัดไปที่บทความชูขึ้นมาแทบทั้งหมดล้มเหลวกับปัญหาจริง ผมสงสัยว่ารวมถึง งานของ Arnold ด้วยหรือไม่
      FEEC ดูมีความหวังค่อนข้างมากตอนที่ผมอ่านครั้งล่าสุด แต่ดูเหมือนจะไม่ได้แพร่หลายในโลก FEM ที่กว้างขึ้นเท่าไร
    • จากงานช่วงหลังอย่างการทำแบบจำลองสภาพอากาศหรือแบบจำลองผ้า ผมคิดว่า neural operator กำลังเข้าไปในบางพื้นที่ของปัญหาที่เคยใช้ FEM และมีสายวิวัฒนาการจาก FEM ไปสู่ neural operator ผมเข้าใจผิดไปทั้งหมดหรือเปล่า?
    • ผมสงสัยนะถ้าจะบอกว่า 15 ปีที่ผ่านมาหยุดนิ่ง
      มีความก้าวหน้าทั้ง contact element, bolt preload, การทำโมเดลเส้นใยคอมโพสิตแยกเส้น, delamination และ progressive ply failure, การทำโมเดลชั้นวัสดุหนาระดับหนึ่งในพันนิ้ว ไปจนถึง design optimization
      ANSYS Workbench ใกล้เคียงกับ FEA สำหรับมือใหม่ และยังมีตัวอย่างมากกว่านี้อีก
    • อยากรู้ว่าเคยได้ยินเรื่อง physics-informed neural networks ไหม
      ดูเหมือนเป็นตัวเต็งที่กำลังมาแรงและมีโอกาสให้ผลลัพธ์ที่ดีขึ้นในอนาคต

  • ช่วงต้นอาชีพผมเคยทำ finite element modeling และ analysis ด้วย ANSYS กับ NASTRAN และบางครั้งก็คิดถึงช่วงนั้น
    การคิดว่าจะลดทอนปัญหาโลกจริงให้เรียบง่ายพอจะแก้ได้ด้วยทรัพยากรคำนวณที่มีอยู่นั้นสนุกเสมอ อีกอย่าง การนั่งขยับองค์ประกอบสี่เหลี่ยมไปมาเป็นชั่วโมง ๆ จนกว่า mesh จะดีขึ้นก็มีผลเกือบเหมือนการทำสมาธิ แม้จะไม่ได้มีแรงจูงใจล้นเหลือที่จะเรียนซอฟต์แวร์หรือภาษาใหม่ก็ตาม
    น่าแปลกที่ดูเหมือนสาขานี้ไม่ได้เปลี่ยนแปลงใหญ่อะไรมาก ANSYS ยังคงดูเป็นผู้นำด้าน simulation ทั่วไปและ multiphysics และ NASTRAN ก็ยังถูกใช้กันมาก ยังไม่มีทางเลือกโอเพนซอร์สที่ใช้งานจริงได้
    ผู้เล่นใหม่ก็ดูเหมือนจะมีแค่ COMSOL อยากรู้ว่ามีใครเคยใช้ไหม สำหรับคนที่รู้จัก ANSYS กับ NASTRAN ดี คุ้มที่จะลองไหม?

    • ผมใช้ ANSYS ทุกวันมามากกว่า 10 ปี สิ่งที่เปลี่ยนไปมีแค่ ชื่อระดับไลเซนส์ เท่านั้น เหมือนขบวนเดินหน้าสู่ความตายที่ช้าและเหนียวหนืด
      ทุกปีผมต้องสู้กับซอฟต์แวร์มากขึ้นเรื่อย ๆ และชัดเจนว่าฝ่ายขายเป็นคนจับพวงมาลัย
      พวกเขาซื้อซอฟต์แวร์ “vertical integration” เข้ามา ผนวกรวม แล้วปล่อยให้ค่อย ๆ ตาย ปีหน้าพวกเขาประกาศจะยุติผลิตภัณฑ์หนึ่งที่ซื้อมาเมื่อ 10 ปีก่อน เพื่อดันผลิตภัณฑ์คู่แข่งที่มีฟังก์ชันแค่ 20%
      ผมเคยใช้ NASTRAN ประมาณครึ่งหนึ่งของช่วงเวลานั้น แต่ก็ไม่ได้ดีกว่ามาก ทุกอย่างขับเคลื่อนด้วยฝ่ายขาย
      เคยใช้ Abaqus นิดหน่อยและดูโอเคดี อาจเป็นเพราะใช้แค่นิดหน่อยก็ได้
      ผมแค่อยากทำงาน แต่บริษัทพวกนี้ก็แค่ย้ายฟีเจอร์ไปมาระหว่างระดับไลเซนส์ และ ต้มกบ ให้เร็วเท่าที่พวกเขาทำได้
    • สำหรับงานระดับต่ำลงมา มี FEniCS project[1] เป็นเครื่องมือสำหรับแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยด้วยโค้ด Python[2] ที่ค่อนข้างเข้าใจได้แบบนี้
      ที่ว่าเข้าใจได้ หมายถึงมันตามคณิตศาสตร์อย่างค่อนข้างใกล้ชิด ไม่ได้หมายความว่าอยู่ในระดับนักเรียนมัธยม
      [1]: https://fenicsproject.org/
      [2]: https://jsdokken.com/dolfinx-tutorial/chapter2/linearelastic...
    • จุดเด่นใหญ่ของ COMSOL คือช่วยให้รวม โดเมนทางฟิสิกส์ หลายด้านเข้าด้วยกันและเชื่อมโยงกันได้ง่าย
      ถ้าอยากทำ coupling ระหว่างโครงสร้าง-ของไหล หรือแม่เหล็กไฟฟ้า-กลศาสตร์ ก็น่าจะอยู่ในกลุ่มที่ใช้ง่ายที่สุด
      ถ้าดูทีละโดเมนทางฟิสิกส์อย่างเดียว ก็ไม่ได้โดดเด่นเป็นพิเศษ มี solver ด้านกลศาสตร์, CFD, แม่เหล็กไฟฟ้าที่ดีกว่ามาก แต่ทั้งหมดเป็นผลิตภัณฑ์จากคนละเจ้าและไม่ค่อยเชื่อมกันได้ดี
    • การเห็น COMSOL ถูกเรียกว่า “ผู้เล่นใหม่” นี่เจ็บนิด ๆ ผมเรียน Comsol ในคณะวิศวะเมื่อ 15 ปีก่อนแล้ว ดังนั้นถ้ามันยังถูกจัดว่าเป็นผู้เล่นใหม่ ก็แสดงให้เห็นดีว่าสาขานี้เคลื่อนไหวช้าแค่ไหน
    • ผมหวังว่าไลบรารี FEM โอเพนซอร์สนี้จะตั้งหลักได้: https://www.dealii.org/
      deal ใน deal.II ย่อมาจาก Differential Equation Analysis Library
      เขียนด้วย C++ ใช้ template เยอะ และพัฒนามาตั้งแต่ปี 2000 ไม่ใช่สำหรับ solid mechanics หรือ fluid mechanics โดยเฉพาะ แต่เป็นไลบรารีสำหรับคำตอบแบบ FEM ของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยทั่วไป
      เอกสารมีจำนวนมาก มีตัวอย่างเยอะ และทำงานร่วมกับไลบรารีอื่นอย่าง Petsc, Trilinos ได้ด้วย ผลลัพธ์ก็ส่งออกได้หลายรูปแบบ
      เท่าที่ผมทราบ การรองรับองค์ประกอบสามเหลี่ยมและทรงสี่หน้าเพิ่งถูกเพิ่มเข้ามาเมื่อไม่นานนี้เอง ถึงอย่างนั้น สิ่งแปลกอย่างหนึ่งของไลบรารีนี้คือมันเรียก mesh ว่า “triangulations”

  • ระหว่างเรียนปริญญาเอกภาคอุตสาหกรรม ผมได้สร้างเฟรมเวิร์กการเขียนโปรแกรมเชิงวัตถุสำหรับการจำลอง มลพิษทางอากาศขนาดใหญ่ (LSAP)
    เฟรมเวิร์กนี้อิงกับ Petrov-Galerkin FEM และรองรับทั้ง 2D ที่แท้จริงกับ 3D แบบ “เป็นชั้นๆ”
    ก่อนเรียนปริญญาเอก คนที่ผมทำงานด้วยใช้วิธีสเปกตรัมกับ FEM แบบทิศทางสลับ หรือก็คือวิธีประมาณ 2D ด้วย 1D
    ในงานประชุมและการสัมภาษณ์บางครั้ง นักวิทยาศาสตร์บางคนมักบอกว่าการเขียนโปรแกรม FEM สำหรับ LSAP นั้นง่าย ผมก็มักเห็นด้วยโดยรวม แล้วถามว่าพวกเขาเคยทำมาแล้วกี่ครั้ง ไม่เคยได้คำตอบ ไม่ว่าจะเป็น LSAP หรืออย่างอื่น
    การนำ FEM ไปใช้กับปัญหาในโลกจริงอาจต้องแก้ กับดักและบั๊ก เล็กๆ ที่ทั้งใช้งานจริงและมีเชิงทฤษฎีอยู่ไม่น้อย

    • แก่นของ FEM สุดท้ายแล้วคือเทคนิคสำหรับหาคำตอบโดยประมาณของปัญหาที่แสดงด้วย สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย
      การหาคำตอบของปัญหาเชิงปฏิบัติที่เป็นไปตามทั้งเงื่อนไขขอบเขตและโดเมนทั้งหมดด้วยวิธีวิเคราะห์นั้นแทบเป็นไปไม่ได้ FEM แลกความแม่นยำกับการประมาณค่า โดยอาจแม่นยำได้ในเงื่อนไขขอบเขตที่กำหนด แต่ทั้งการแทนโดเมนและคำตอบล้วนเป็นการประมาณ
      ในทางกลับกัน หากทำให้การประมาณละเอียดขึ้น ก็มีคุณสมบัติที่ดีคือความคลาดเคลื่อนจากการประมาณจะลู่เข้าหาคำตอบที่ถูกต้อง แต่สิ่งที่ต้องจ่ายคือค่าใช้จ่ายในการคำนวณจะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ

  • ผมเรียน FEM ทั้งในระดับปริญญาตรีและบัณฑิตศึกษา กระบวนการที่แบ่งปัญหาในโลกจริงที่แก้ยากออกเป็นความจริงจำลองที่ถูกทำให้ง่ายลงเป็นหน่วยจำกัด แล้วได้คำตอบที่แม้จะไม่สมบูรณ์อย่างชัดเจนแต่มีประโยชน์นั้น ให้ความพึงพอใจไม่น้อย
    ผมนึกถึงแนวทางนี้อยู่บ่อยๆ

  • ตอนนั้นมีเธรดที่มี 45 ความคิดเห็น: https://news.ycombinator.com/item?id=33480799

  • การ ทำนายว่าสิ่งต่างๆ วิวัฒน์ไปอย่างไรในปริภูมิ-เวลา เป็นความจำเป็นพื้นฐาน
    วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์สมควรได้รับเกียรติให้ขึ้นไปอยู่บนสุดของรายการ HN เมื่อก่อนผมเลือกใช้ “orthogonal collocation” ในโมเดลของตัวเอง เพราะเร็วกว่าและเหมาะกับปัญหาตอนนั้นมากกว่า นักวิจัยร่วมงานของผมหลายคนใช้ FEM และในยุค 90 มันเป็นกระแสใหญ่อย่างแน่นอน

  • เป็นการสรุปจาก “Chaos researchers can now predict perilous points of no return” (2022) https://news.ycombinator.com/item?id=32862414
    FEM: Finite Element Method: https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method
    FEM คือ วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ สำหรับแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่เชื่อมโยงกัน ส่วน FEA คือ การวิเคราะห์ไฟไนต์เอลิเมนต์ ที่นำ FEM ไปใช้
    Finite Element Analysis ของ awesome-mecheng: https://github.com/m2n037/awesome-mecheng#fea
    นอกจากนี้ยังมีเธรดเกี่ยวกับ “relaxation technique” จาก “Learning quantum Hamiltonians at any temperature in polynomial time” (2024) https://arxiv.org/abs/2310.02243: https://news.ycombinator.com/item?id=40396171

  • เป็นมุมมองที่น่าสนใจ ผมเพิ่งไปงานประชุม การวิเคราะห์ไอโซจีโอเมตริก (IGA) ซึ่งถูกกล่าวถึงสั้นๆ ในบทความนี้ด้วย
    Tom Hughes ที่ถูกกล่าวถึงหลายครั้ง ตอนนี้ถือเป็นผู้นำโดยพฤตินัยของชุมชนวิจัย IGA แล้ว IGA มีศักยภาพสูงในการแก้จุดเจ็บปวดหลายอย่างของ FEM โดยทั่วไปมีอัตราการลู่เข้าที่ดีกว่า อนุญาตให้ใช้ช่วงเวลาในการวิเคราะห์แบบชัดแจ้งได้ดีกว่า และให้วิธีที่ดีกว่าในการรับประกันเสถียรภาพในปัญหาอย่างของแข็งที่ไม่อัดตัว
    จุดที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือมันทำให้แนวทางแบบฝังตัวเป็นไปได้ ทำให้ปัญหาการสร้างเมชแทบหายไป เพราะเพียงใส่รูปทรงเรขาคณิตลงในกริดพื้นหลังที่สร้างเมชได้ง่ายก็พอ ยังมีงานต้องทำอีกมากกว่าจะถูกนำไปใช้ในอุตสาหกรรม แต่มีโอกาสสูงที่จะเป็นอนาคตของ FEM

    • แก่นของ IGA ไม่ใช่การแทนที่ฟังก์ชันรูปร่างแบบคลาสสิกด้วย สปลายน์ ที่ใช้กำหนดรูปทรงเรขาคณิตหรอกหรือ?
      ถ้าผมจำไม่ผิด อัตราการลู่เข้าเท่ากันพอดี และแนวทางนี้สะท้อนข้อเท็จจริงได้ไม่ดีว่า นอกเหนือจากขอบเขตแล้ว รูปทรงเรขาคณิตกับสนามของปริมาณทางฟิสิกส์ที่สนใจไม่ได้มีการกระจายเชิงพื้นที่แบบเดียวกัน
      IGA มีมานานแล้ว แต่ไม่เคยเป็นรูปเป็นร่างไปไกลกว่าลูกเล่น “เอาฟังก์ชัน CAD มาใช้ซ้ำกันเถอะ” สุดท้ายแล้วมันทำให้ปัญหาซับซ้อนขึ้นโดยแทบไม่มีประโยชน์จริงเมื่อเทียบกับการทำ P-refinement ธรรมดา ถ้าอย่างนั้นก็สงสัยว่าศักยภาพที่เหลืออยู่คืออะไร
      ผมจำชื่อ Tom Hughes ได้ ผมมีหนังสือ FEM ของเขาด้วย และเขาเป็นแทบคนเดียวที่ผลักดันแนวคิดนั้นมาอย่างยาวนาน อาจเป็นหลายสิบปี เหตุผลก็คือชุมชนกลศาสตร์เชิงคำนวณทั้งหมดมองมันแล้วเห็นว่าน่าสนใจ แต่สุดท้ายเห็นว่าไม่คุ้มกับความพยายาม มีไอเดียใน FEM อีกมากที่น่าสนใจและมีอนาคตกว่าการใช้สปลายน์มาสร้างเอลิเมนต์

  • ผมเคยเรียนวิชาหนึ่งตอนปริญญาตรี และได้เจออีกครั้งตอนบัณฑิตศึกษา แต่จนถึงตอนนี้ก็ยังไม่อาจเข้าใจการอนุมานแบบ Galerkin หรือการอนุมานเชิงแปรผันได้เลย

    • ผมเรียนจากมุมมองวิศวกรรมโครงสร้าง เลยสงสัยว่าคุณติดตรงไหน
      ลำดับในหัวผมเป็นแบบนี้: 1. สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยในรูปแบบเข้ม, 2. รูปแบบอ่อน, 3. รูปแบบอ่อนที่ถูกดิสครีไทซ์, 4. คำนวณอินทิกรัลในแต่ละเอลิเมนต์ด้วยวิธีเชิงตัวเลข, 5. ประกอบระบบเชิงเส้น, 6. แก้ระบบเชิงเส้น

  • หากสนใจการใช้งานสมัยใหม่ SELF เป็นไลบรารีสเปกตรัมเอลิเมนต์ที่สร้างด้วย Fortran เชิงวัตถุ[1]
    นักพัฒนาของ Fluid Numerics จะเผยแพร่ผล benchmark บนระบบ MI300A และฮาร์ดแวร์อื่นๆ ที่น่าสนใจในเร็วๆ นี้
    [1] https://github.com/FluidNumerics/SELF