นักคณิตศาสตร์วัยรุ่น ผูกปมผ่านแฟรกทัลอันน่าทึ่ง

บทนำ

• ในฤดูใบไม้ร่วงปี 2021 Malors Espinosa ต้องการสร้างปัญหาคณิตศาสตร์ที่นักเรียนมัธยมปลายสามารถพิสูจน์ได้
• พิสูจน์ได้ว่าสามารถพบปมทุกแบบได้ผ่านแฟรกทัลที่เรียกว่า Menger sponge

Menger sponge

• Menger sponge สร้างขึ้นโดยการนำลูกบาศก์ขนาดเล็กลงเรื่อย ๆ ออกจากลูกบาศก์
• แฟรกทัลนี้เมื่อทำซ้ำอย่างไม่สิ้นสุดจะมีปริมาตรลดลงเหลือ 0 และมีพื้นที่ผิวเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์

ปมและแฟรกทัล

• Menger เคยพิสูจน์ว่าสามารถบรรจุเส้นโค้งทุกเส้นไว้ในสปันจ์ได้ แต่ยังไม่เคยมีการพิสูจน์ว่าสามารถบรรจุปมทุกแบบได้ด้วยหรือไม่
• Malors และนักเรียนมัธยมปลายอีกสามคนพิสูจน์ได้ว่าปมทุกแบบสามารถบรรจุอยู่ใน Menger sponge ได้

วิธีใหม่ในการมองปม

• แทนปมด้วยไดอะแกรมพิเศษที่เรียกว่า arc presentation
• พบวิธีวางเส้นแนวนอนและแนวตั้งของ arc presentation ลงบนพื้นผิวของ Menger sponge เพื่อขยายปมออกไปในสามมิติ

การวัดด้วยปม

• นักเรียนพิสูจน์ได้ว่าปม "pretzel" ทุกแบบ รวมถึง trefoil knot สามารถบรรจุอยู่ในเวอร์ชันทรงสี่หน้าของ Menger sponge ได้
• งานวิจัยนี้อาจนำเสนอวิธีใหม่ในการวัดความซับซ้อนของแฟรกทัล

บทสรุป

• งานวิจัยนี้มอบมุมมองใหม่เกี่ยวกับทฤษฎีแฟรกทัลและทฤษฎีปม และเป็นงานที่มีความหมายซึ่งช่วยเพิ่มพูนความจริงทางคณิตศาสตร์