นักคณิตศาสตร์วัยทีนค้นพบปมทุกแบบภายในแฟรกทัลอันน่าพิศวง

• Malors Espinosa ซึ่งขณะนั้นเป็นนักศึกษาปริญญาโทที่มหาวิทยาลัยโตรอนโต กำลังมองหาปัญหาวิจัยที่แม้แต่นักเรียนมัธยมก็สามารถลองพิสูจน์ได้ จึงตั้งคำถามว่าปมทุกแบบสามารถอยู่ภายใน Menger sponge ได้หรือไม่
• Menger sponge เป็นแฟรกทัลที่เกิดจากการคว้านลูกบาศก์ออกซ้ำ ๆ และ Karl Menger ได้พิสูจน์ไว้ในปี 1926 ว่าโครงสร้างนี้เป็น universal curve ที่บรรจุเส้นโค้งทุกเส้นได้
• Joshua Broden, Noah Nazareth และ Niko Voth ได้แปลงปมให้อยู่ในรูปตารางด้วย arc presentation และสร้างวิธีหลบรูของ sponge โดยใช้พิกัดของ Cantor set
• หลังจากประชุมผ่าน Zoom ทุกสัปดาห์กันอยู่หลายเดือน นักเรียนทั้งสามก็พิสูจน์ได้ว่า ปมทุกแบบ สามารถอยู่ภายใน Menger sponge ได้ และเผยแพร่บทความลงบน arXiv
• ในเวอร์ชันแบบ tetrahedral พวกเขายังแสดงได้ว่าสามารถจัดวางได้ตั้งแต่ trefoil knot ไปจนถึงตระกูล pretzel knot ที่กว้างกว่า แต่การขยายผลไปสู่ปมทุกแบบยังคงเป็นปัญหาที่เปิดอยู่

---

ทฤษฎีบทปม-แฟรกทัลที่เริ่มจากโจทย์วิจัยสำหรับนักเรียนมัธยม

• ในฤดูใบไม้ร่วงปี 2021 Malors Espinosa กำลังมองหาปัญหาคณิตศาสตร์ที่นักเรียนมัธยมสามารถพิสูจน์ได้ด้วยตนเอง ขณะเดียวกันก็ยังมีคุณค่าทางวิจัย
• เขาเคยสอนแนวคิดพื้นฐานของการวิจัยทางคณิตศาสตร์และการเขียนบทพิสูจน์ในเวิร์กช็อปฤดูร้อนสำหรับนักเรียนมัธยมในพื้นที่ และนักเรียนบางคนก็พร้อมแล้วที่จะทำโจทย์ที่ไม่มีเฉลยตายตัว
• หลังจากได้พบ Menger sponge อีกครั้งในตำราทฤษฎีความโกลาหล คำถามที่เชื่อมแฟรกทัลนี้เข้ากับทฤษฎีปมก็เกิดขึ้น

Menger sponge และ universal curve

• Menger sponge สร้างขึ้นโดยแบ่งลูกบาศก์เหมือน Rubik’s cube จากนั้นนำลูกบาศก์เล็กตรงกลางและลูกบาศก์เล็กตรงกลางของทั้งหกหน้าทิ้ง แล้วทำกระบวนการเดียวกันซ้ำอย่างไม่สิ้นสุดกับลูกบาศก์ที่เหลืออีก 20 ก้อน
• ยิ่งทำซ้ำมากขึ้น จำนวนรูก็เพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ และหลังจากทำซ้ำไม่สิ้นสุด ปริมาตรจะลดลงเป็น 0 ขณะที่พื้นที่ผิวเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์
• Karl Menger ให้นิยาม sponge นี้ในปี 1926 และพิสูจน์ว่าเส้นโค้งใด ๆ ก็สามารถถูกดัดแปลงให้เข้าไปอยู่ ณ ที่ใดที่หนึ่งบน sponge ได้โดย ไม่ตัดตัวเอง
  • เส้นตรงและวงกลมธรรมดา
  • โครงสร้างที่ดูเหมือนต้นไม้หรือเกล็ดหิมะ
  • เส้นโค้งคล้ายฝุ่นแฟรกทัล
• เพราะคุณสมบัตินี้ Menger จึงเรียก sponge ว่า universal curve

ปมทุกแบบที่สมนัยกับวงกลมก็ใส่เข้าไปได้หรือไม่

• คำถามของ Malors เริ่มจากข้อเท็จจริงที่ว่าทฤษฎีบทของ Menger ไม่ได้แยกความต่างระหว่างเส้นโค้งที่ สมนัย (homeomorphic) กัน
• ปมในทางคณิตศาสตร์คือวงปิดที่เกิดจากการนำปลายทั้งสองของเชือกที่พันกันอยู่มาต่อเข้าด้วยกัน และสำหรับมดที่เดินอยู่บนมัน สุดท้ายก็จะกลับมาที่จุดเริ่มต้นเหมือนวงกลม
• ในความหมายนี้ ปมทุกแบบล้วนสมนัยกับวงกลม แต่บทพิสูจน์ของ Menger รับประกันเพียงว่าวงกลมสามารถเข้าไปอยู่ใน sponge ได้
• เป้าหมายคือการแสดงให้เห็นว่าสามารถหาปม ทุกแบบ ภายใน Menger sponge ได้ โดยยังคงลูปและการพันเกี่ยวของปมไว้เหมือนเดิม

ทำให้ปมเป็นตารางด้วย arc presentation

• นักเรียนทั้งสาม Joshua Broden, Noah Nazareth และ Niko Voth จัดการปัญหานี้โดยเขียนปมให้อยู่ในรูป arc presentation บนตารางระนาบ
• arc presentation เปลี่ยนข้อมูลว่าชิ้นส่วนของปมเส้นใดผ่านหน้าและผ่านหลังกัน ให้กลายเป็นการจัดเรียงจุดบนตาราง โดยในแต่ละแถวและแต่ละคอลัมน์จะมีจุดอยู่พอดีสองจุด
• จากนั้นเชื่อมจุดเหล่านี้ด้วยเส้นแนวนอนและแนวตั้ง และเมื่อเส้นสองเส้นตัดกัน ก็ให้เส้นแนวตั้งผ่านด้านหน้าเส้นแนวนอน
• ปมทุกแบบสามารถแทนด้วยรูปแบบตารางเช่นนี้ได้ จึงทำให้ศึกษาคุณสมบัติสำคัญของปมได้ง่ายขึ้น

ใช้พิกัด Cantor set เพื่อหลบรูของ sponge

• นักเรียนใช้แนวคิดวางเส้นแนวนอนของ arc presentation ไว้บนหน้าด้านหนึ่งของ Menger sponge และวางเส้นแนวตั้งไว้บนหน้าด้านตรงข้าม
• ส่วนที่ยากที่สุดคือการเชื่อมสองหน้านี้ผ่านภายใน sponge ที่มุมแต่ละจุดของ arc presentation โดยต้องทำให้เส้นทางไม่ตกลงไปใน รู
• เพื่อทำเช่นนั้น พวกเขาใช้ Cantor set ซึ่งเป็นแฟรกทัลหนึ่งมิติ
  • แบ่งเส้นตรงออกเป็น 3 ส่วนเท่า ๆ กัน แล้วลบส่วนกลางหนึ่งในสามออก
  • ทำแบบเดียวกันซ้ำอย่างไม่สิ้นสุดกับเส้นสองส่วนที่เหลือ
  • ผลลัพธ์คือเซตของจุดที่กระจัดกระจายเหลืออยู่
• หากมองว่า Menger sponge และ Cantor set ผ่านขั้นตอนการลบมาเท่ากัน จุดบนหน้าของ sponge ที่พิกัดทั้งสองแกนอยู่ใน Cantor set ทั้งคู่ก็ควรจะไม่มีรู
• และเพราะโครงสร้างแบบทำซ้ำของ sponge ด้านหลังจุดเหล่านั้นลงไปโดยตรงก็ควรจะไม่มีรูเช่นกัน ทำให้ปมสามารถผ่านไปได้โดยไม่ออกนอกเนื้อของ sponge

บทพิสูจน์ที่ใส่ปมทุกแบบลงใน Menger sponge ได้

• โจทย์ที่เหลือคือการแสดงว่า arc presentation ของปมใด ๆ สามารถถูกบีบหรือยืดให้ทุกมุมไปอยู่ตรงกับ พิกัดของ Cantor set ได้
• การบีบและยืดเช่นนี้ไม่เปลี่ยนโครงสร้างโดยรวมของ arc presentation ดังนั้นปมที่มันแทนอยู่ก็ไม่เปลี่ยนไป
• Broden, Nazareth และ Voth พิสูจน์ได้ว่าสามารถดัดแปลง arc presentation ใด ๆ ให้จุดตัดของเส้นแนวตั้งและแนวนอนอยู่ภายใน Cantor set ได้
• ผลลัพธ์นี้ยังรับประกันว่าสามารถจัดให้มุมจำนวนมากขึ้นไปตรงกับ Cantor set ได้ด้วย และท้ายที่สุดก็ทำให้สามารถวางปมที่กำหนดไว้ภายในขั้นใดขั้นหนึ่งของการทำซ้ำของ Menger sponge ได้
• นักเรียนทั้งสามได้แสดงว่า ปมทุกแบบสามารถอยู่ภายใน Menger sponge ได้

ขยายปัญหาไปยัง tetrahedral sponge

• หลังจากแก้คำถามดั้งเดิมได้แล้ว นักเรียนก็เริ่มศึกษาต่อว่าปมทุกแบบจะสามารถอยู่ใน Menger sponge เวอร์ชัน tetrahedral ได้ด้วยหรือไม่
• ในกรณีนี้ วิธีเดิมที่อาศัยหน้าซึ่งหันตรงข้ามกันพอดีใช้ไม่ได้อีกต่อไป ทำให้ปัญหาซับซ้อนขึ้นมาก
• ครั้งหนึ่ง Malors เคยคิดว่า trefoil knot อาจไม่สามารถอยู่ใน tetrahedron ได้ แต่ทั้งสามคนไม่เห็นด้วยและค้นพบวิธีจัดวางแบบใหม่
• ต่อมาพวกเขายังพิสูจน์ได้ว่าสิ่งเดียวกันนี้เป็นไปได้กับตระกูลปมที่ทั่วไปกว่า ซึ่ง trefoil สังกัดอยู่ด้วย นั่นคือ pretzel knot
• ปมประเภทอื่นจะสามารถอยู่ใน tetrahedral sponge ได้หรือไม่นั้น ยังเป็นปัญหาที่เปิดอยู่

ความเป็นไปได้ในการมองความซับซ้อนของแฟรกทัลผ่านปม

• Malors มองว่าวิธีของนักเรียนอาจกลายเป็นแนวทางที่กว้างขึ้นสำหรับการวัดความซับซ้อนของแฟรกทัล
• ไม่ใช่ว่าแฟรกทัลทุกแบบจะบรรจุปมได้ทุกชนิด ดังนั้นการดูว่าแบบใดบรรจุปมชนิดใดได้ และแบบใดบรรจุไม่ได้ อาจเป็นเกณฑ์หนึ่งในการทำความเข้าใจโครงสร้างของแฟรกทัล
• ในปี 2014 กลุ่มคนรักคณิตศาสตร์เคยสร้าง Menger sponge แบบจำกัดขนาดหนัก 200 ปอนด์จากนามบัตร ในโครงการระดับโลกชื่อ MegaMenger
• Allison Moore มองว่าผลลัพธ์นี้อาจนำไปสู่ศิลปะคณิตศาสตร์รูปแบบใหม่ที่สร้างขึ้นจากวัสดุจริง
• นักเรียนทั้งสามเรียนจบมัธยมแล้ว โดยมีเพียง Broden ที่ยังคงทำโจทย์ tetrahedron ต่อไปควบคู่กับการเรียนมหาวิทยาลัย และทั้งสามคนต่างก็กำลังพิจารณาเส้นทางอาชีพด้านคณิตศาสตร์

[GN⁺]

ความคิดเห็นบน Hacker News

• เป็นปริศนาบนเบราว์เซอร์ที่สร้างจากพื้นฐานของ ทฤษฎีปม ไม่แน่ใจว่าได้เรียนรู้อะไรจากการเล่น แต่สนุกดี
  https://brainteaser.top/knot/index.html

  • ทำให้นึกถึง https://www.jasondavies.com/planarity/ อย่างบอกไม่ถูก

• Quanta น่าจะเป็นนิตยสารที่ยอดเยี่ยมจริง ๆ เพิ่งรู้จักครั้งนี้เป็นครั้งแรก

  • มีพอดแคสต์ดี ๆ อยู่หลายรายการด้วย ส่วนตัวค่อนข้างชอบ Joy of Wh(y)

• มีคำอธิบายเรื่อง “ปมทุกปม เป็นโฮมีโอมอร์ฟิก (homeomorphic) กับวงกลม” อยู่ที่นี่
  https://math.stackexchange.com/questions/3791238/introductio...

  • อันนี้ไม่ถูกต้องนัก ปมไม่ใช่ปริภูมิเชิงทอพอโลยี แต่เป็น การฝัง (embedding) กล่าวคือ K:S^1 -> S^3 และโดยทั่วไปกว่านั้นคือ S^n -> S^n+2 ดังนั้นแนวคิดเรื่องโฮมีโอมอร์ฟิซึมจึงใช้ตรง ๆ ไม่ได้
    สิ่งที่บทความต้นฉบับชี้ถึงคือ หากจำกัดอยู่ที่ภาพของมัน จะได้โฮมีโอมอร์ฟิซึมจากวงกลมไปยังภาพนั้น เพราะมันเป็นการฝังของวงกลม
    หากมองเป็นฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี และโดยปกติมักเลือกในหมวดเรียบหรือหมวดเชิงเส้นเป็นชิ้น ๆ จึงมีข้อจำกัดเพิ่มขึ้น การตีความที่ใกล้เคียง “สมสัณฐาน” อย่างเป็นธรรมชาติที่สุดคือคู่ของโฮมีโอมอร์ฟิซึม f:S^1 -> S^1, g:S^3 -> S^3 ที่ทำให้ Kf=gK เป็นจริง กล่าวคือเทียบได้กับ natural transformation หรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสสลับที่สับเปลี่ยนได้
    แบบนี้เกือบจะได้สิ่งที่ต้องการ แต่โฮมีโอมอร์ฟิซึมสามารถกลับทิศทางของปริภูมิหรือทิศทางของปมได้ ซึ่งไม่สอดคล้องกับปรากฏการณ์ปมทางกายภาพ ดังนั้นจึงต้องกำหนดทิศทางให้ปริภูมิ และเพื่อการนั้นก็มักไปใช้หมวดเชิงเส้นเป็นชิ้น ๆ/หมวดเรียบ หรือใช้โฮโมโทปี/ไอโซโทปี
  • ในเชิงสัญชาตญาณ ให้คิดว่าเลือกจุดเริ่มต้นหนึ่งจุดบนวงกลมและบนปมอย่างละจุด แล้วเดินด้วยความเร็วต่างกันเพื่อกลับมาถึงจุดเริ่มต้นในเวลาเดียวกัน
    จริง ๆ แล้วปมคือ ฟังก์ชันต่อเนื่องแบบหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง จากวงกลมไปยังภาพของฟังก์ชันนั้น หรือก็คือไปยังปมนั่นเอง คำตอบที่ลิงก์ไว้ก็พูดแบบนั้น
    แก้ไข: กลับไปดูบทความอีกครั้ง พบว่ามีคำอธิบายเชิงสัญชาตญาณนี้อยู่แล้วผ่านอุปมาเรื่องมด

• ชอบ Quanta มากจริง ๆ อยากให้มี ฉบับพิมพ์

  • เห็นด้วย ยินดีจ่ายค่าสมัครสมาชิกฉบับพิมพ์ และอาจบริจาคเพิ่มอีกหนึ่งฉบับให้โรงเรียนมัธยมใกล้บ้านด้วย
    แต่เด็กวัยรุ่นสมัยนี้อาจไม่ไปห้องสมุดกันแล้วก็ได้ เลยอาจต้องเอานิตยสารไปวางกระจายตามห้องน้ำ ทางเดิน และคาเฟ่
  • ทำให้นึกถึง Leonardo ของ MIT เป็นหนึ่งในสิ่งที่ผมเคยหลงใหลอยู่ช่วงสั้น ๆ ตอนปีสอง: https://direct.mit.edu/leon
  • ในทางกลับกัน ผมชอบ สื่อสมัยใหม่ มากกว่า เพราะใส่อนิเมชันและอย่างอื่นได้

• “Menger sponge เวอร์ชันทรงสี่หน้า” โดยทั่วไปเป็นที่รู้จักกันมากกว่าในชื่อ Sierpiński tetrahedron และเป็นเวอร์ชันสามมิติของ Sierpiński triangle

• ไม่เข้าใจว่าทำไมต้องใช้ แฟร็กทัล ด้วย ใช้กริดสามมิติธรรมดาไม่ได้หรือ? กริดที่มีความละเอียดเหมาะสมก็น่าจะทำหน้าที่เดียวกันได้ไม่ใช่หรือ?
  หรือกำลังพยายามแสดงให้เห็นว่าสามารถทำทุกอย่างได้แม้ภายในสับเซตของกริดสามมิติที่ถูกจำกัดแบบนี้?

  • ผลลัพธ์สำหรับกริดสามมิติเป็นที่รู้จักกันดี และน่าจะเรียกได้ว่าแทบจะชัดเจนในตัวเองด้วยซ้ำ ในมิติหนึ่งสามารถเหลือไว้แค่ 2 ชั้นแล้วทิ้งส่วนที่เหลือได้
    อย่างที่พูด Menger sponge เป็นสับเซตของกริดสามมิติ ดังนั้นนักเรียนเหล่านี้ต้องหาการจัดวางที่หลบรูต่าง ๆ ให้ได้ โดยส่วนตัวผลลัพธ์ไม่ได้ทำให้ประหลาดใจ แต่ดูดี
    อย่างไรก็ตาม ส่วนที่เจ๋งจริง ๆ ในบทความผมคิดว่าเป็นปัญหาเปิดท้ายเรื่อง: สามารถฝังปมทุกปมไว้ใน Sierpiński tetrahedron ได้หรือไม่?

• ชอบตรงที่บทพิสูจน์เป็นแบบ พื้นฐานและเข้าใจง่าย มันทำให้นึกถึงบทพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอยู่ไม่น้อย แต่ก็ดูเหมือนว่าอาจมีความหมายค่อนข้างมาก

• เจ๋งมาก อยากให้แสดงด้วยภาพแบบคล้ายกันด้วยว่าเขาแก้ใน Sierpiński gasket อย่างไร