แฟร็กทัลที่แขวนอยู่บนผนังของฉันมา 12 ปี

• ตอนอยู่มัธยมต้น ผู้เขียนวาดแพตเทิร์นการคัดลอกสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนกระดาษกราฟแล้วติดไว้บนผนังนาน 12 ปี ก่อนจะนำมาวิเคราะห์เป็นแฟร็กทัลชื่อ wallflower และเชื่อมโยงไปถึง L-System, พีชคณิตเชิงเส้น, ระบบจำนวน และการวางนัยทั่วไปในมิติสูง
• เริ่มจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งรูป แล้วคัดลอกรูปปัจจุบันไปไว้ด้านบน ล่าง ซ้าย และขวา จากนั้นในขั้นถัดไปคัดลอกไปในทิศทางที่หมุนไปประมาณ 27 องศา กระบวนการนี้สร้างแฟร็กทัลที่เติมเต็มระนาบได้
• กฎ L-System แบบง่าย R → RLR, L → RLL สร้างเค้าโครงที่คล้ายกัน แต่ไม่ใช่รูปเดียวกัน โดยรูปแบบที่พบได้บ่อยกว่าถูกบันทึกไว้ในชื่อ Quadratic von Koch island, Quadratic Flake, Minkowski Sausage เป็นต้น
• wallflower สามารถตีความเป็น ระบบจำนวนที่ใช้เมทริกซ์เป็นฐาน โดยใช้เมทริกซ์ (M=\begin{bmatrix}-2&1\1&2\end{bmatrix}) เป็นฐาน และใช้เวกเตอร์ทิศทางเป็นตัวเลข โดย (\det(M)=-5) ทำให้ทิศทางกลับด้านในทุกรอบการทำซ้ำ
• การวางนัยทั่วไปเป็น 3D ดูขัดตาเพราะปัญหาความสมมาตรและการซ้อนทับ ส่วนใน 4D สามารถสร้าง orthotopeflower ด้วยเมทริกซ์ที่ตรงเงื่อนไขได้ แต่ภายใต้ข้อจำกัดเดียวกันดูเหมือนว่าจะเป็นไปได้เฉพาะ 1D, 2D และ 4D

---

จุดเริ่มต้นของแฟร็กทัลที่ติดอยู่บนผนัง

• ตอนมัธยมต้น ผู้เขียนเคยขีดเขียนรูปที่รวมและคัดลอกสี่เหลี่ยมจัตุรัสซ้ำ ๆ บนกระดาษกราฟ แล้วติดไว้บนผนังเพื่อวิเคราะห์ภายหลัง
• เนื่องจากมีโครงสร้างแผ่ออกเหมือนกลีบดอกไม้ และมีเรื่องราวที่ติดอยู่บนผนังมานาน จึงเรียกแฟร็กทัลนี้ว่า wallflower
• ขั้นตอนที่วาดเดิมมีดังนี้
  • เริ่มจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งรูป
  • วางสำเนาของสถานะปัจจุบัน 4 ชุดไว้ทางซ้าย ขวา บน และล่าง
  • จากนั้นวางสำเนาของสถานะปัจจุบัน 4 ชุดในสี่ทิศเดียวกัน แต่เอียงไปตามเข็มนาฬิกาประมาณ 27 องศา
  • ทำซ้ำสองวิธีการวางนี้สลับกันไปจนกระดาษกราฟเต็ม
• กระบวนการนี้ หากทำซ้ำเหมือน Gosper Curve จะสามารถครอบคลุมบริเวณใด ๆ บนระนาบได้ และสถานะระหว่างทางแต่ละขั้นก็สามารถปูกระเบื้องระนาบได้เช่นกัน

เค้าโครงที่เกือบเหมือน L-System แต่ไม่เหมือนกัน

• ราว 1 ปีก่อน ผู้เขียนพบว่าเค้าโครงนี้สามารถสร้างด้วย L-System ได้
• กฎที่ใช้ประกอบด้วยการหมุนขวา 90 องศา (R) และหมุนซ้าย (L) เท่านั้น
  • สตริงเริ่มต้นคือ (RRRR)
  • ในแต่ละรอบ แทนที่ (R \rightarrow RLR), (L \rightarrow RLL)
• ช่วงไม่กี่ขั้นแรกดูเหมือนเค้าโครงเดียวกับ wallflower แต่เมื่อทำแอนิเมชันจึงยืนยันได้ว่าตั้งแต่ การทำซ้ำครั้งที่ 4 เป็นต้นไป สองวิธีนี้เริ่มคลาดกัน
• ความแตกต่างมาจากวิธีวางสำเนา
  • วิธี “drag and drop” วางสำเนาของการทำซ้ำครั้งที่ 3 ไว้ด้านบน ล่าง ซ้าย และขวาโดยตรงจากจุดศูนย์กลาง
  • วิธี L-System วางสำเนาในทิศทแยง
• รูปที่ L-System สร้างขึ้นมีการบันทึกไว้แล้วในหลายแห่ง
  • “Quadratic von Koch island” ใน List of fractals
  • “Quadratic Flake” ใน Koch snowflake
  • Minkowski Sausage
  • Mandelbrot’s Quartet ของ Jeffrey Ventrella
• สำหรับรูปแปรผันแบบ drag and drop ที่ติดอยู่บนผนัง ไม่พบรูปแบบเดียวกันจากการค้นรูป Google และการไล่ดู Wikipedia
• ผู้เขียนพบกฎที่เข้ากับ wallflower คือ (L \rightarrow RLR), (R \rightarrow LLR) แต่กฎนี้ทำให้เกิดผลที่ทิศทางการวาดเค้าโครง กลับด้าน ในแต่ละขั้น

วิธีนับแฟร็กทัล

• wallflower ขยายออกจากจุดกำเนิด จึงมองได้ว่าเป็นวิธีจับคู่จำนวนธรรมชาติกับพิกัดบนกริด
• ให้สี่เหลี่ยมจัตุรัสตรงกลางเป็น 0 แล้วกำหนดหมายเลขให้สี่เหลี่ยมรอบ ๆ 4 รูปที่เพิ่มเข้ามาในการทำซ้ำครั้งแรกเป็น 1, 2, 3, 4 ตามเข็มนาฬิกา
• ในการทำซ้ำครั้งถัดไป อาจไล่หมายเลขจากบนลงล่าง ซ้ายไปขวาได้ แต่วิธีนี้ไม่เข้ากับโครงสร้างแบบเรียกซ้ำมากนัก
• หากใช้ข้อเท็จจริงว่ากลีบดอกแต่ละกลีบเป็นสำเนาของการทำซ้ำก่อนหน้า จะสามารถนำเลขหมายกลับมาใช้ซ้ำได้ทั้งภายในกลีบและระหว่างกลีบ โดยนับ จากศูนย์กลางออกไปด้านนอก
• ในการกำหนดหมายเลขแบบนี้ พหุคูณของ 5, (5n+1), พหุคูณของ 25 เป็นต้น จะก่อเป็นแพตเทิร์นกริดเอียง
• เหตุผลคือจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสในแต่ละรอบเพิ่มเป็น (1, 5, 25, 125, ...)
  • แต่ละรอบเพิ่มสำเนา 4 ชุดให้กับสถานะก่อนหน้า 1 ชุด รวมเป็น 5 เท่า
  • ดังนั้นกำลังของ 5 และการเขียนในฐาน 5 จึงเข้ากับโครงสร้างนี้ได้ดี

ระบบจำนวนที่ใช้เมทริกซ์เป็นฐาน

• หากแยกจำนวนหนึ่งออกเหมือนค่าประจำหลักในฐาน 5 ก็สามารถหาตำแหน่งบนกริดแฟร็กทัลได้โดยบวกเวกเตอร์ที่สอดคล้องกับค่าประจำหลักแต่ละตัว
• ตัวอย่างเช่น 231 มองเป็น (200 + 30 + 1) แล้วนำเวกเตอร์ตำแหน่งของแต่ละส่วนมาบวกกันเพื่อหาตำแหน่งของ 231
• ค่าหลักเดียวถูกนิยามเป็นเวกเตอร์ทิศทาง
  • (\vec{0}=(0,0))
  • (\vec{1}=(1,0))
  • (\vec{2}=(0,1))
  • (\vec{3}=(-1,0))
  • (\vec{4}=(0,-1))
• ค่าประจำหลักในรูป (10^n) เดิมทีเขียนเป็นเงื่อนไขแยกตามคู่/คี่ แต่หากใช้เมทริกซ์หนึ่งตัวซ้ำ ๆ ก็สามารถคำนวณได้โดยไม่ต้องมีเงื่อนไข
• เมทริกซ์ที่ใช้มีดังนี้

[ M=\begin{bmatrix} -2 & 1 \ 1 & 2 \end{bmatrix} ]

• เมทริกซ์นี้ทำให้ (M^2=5I) จึงจัดสเกลให้ใหญ่ขึ้น 5 เท่าทุกสองขั้น
• ดังนั้นจึงเขียนได้ดังนี้

[ \overrightarrow{(10^n)}=M^n\vec{1} ]

• โครงสร้างนี้มองได้ว่าเป็นระบบจำนวนที่ใช้ เมทริกซ์เป็นฐาน และใช้ เวกเตอร์เป็นตัวเลข แทนระบบฐานทั่วไปที่ใช้ฐานสเกลาร์และตัวเลขสเกลาร์

determinant ที่แยกแฟร็กทัลทั้งสองออกจากกัน

• ดีเทอร์มิแนนต์ของ (M) คือ (\det(M)=-5) และเพราะดีเทอร์มิแนนต์เป็นลบ ทิศทางของพื้นที่จึงกลับด้านในทุกรอบการทำซ้ำ
• การกลับด้านนี้ทำให้ตำแหน่งของค่าอย่าง 20 และ 40 ดูเหมือนสลับกันเมื่อเทียบกับการกำหนดหมายเลขเดิม
• หากต้องการหลีกเลี่ยงการกลับด้าน สามารถเลือกเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็นบวกได้

[ M'=\begin{bmatrix} 2 & 1 \ -1 & 2 \end{bmatrix} ]

[ \det(M')=5 ]

• (M') ไม่กลับทิศทาง แต่หมุนเวกเตอร์ตัวเลขตามเข็มนาฬิกาต่อเนื่อง และเมื่อใช้เมทริกซ์นี้เป็นฐาน จะได้ เวอร์ชัน L-System ที่กล่าวไปก่อนหน้า
• ความแตกต่างของแฟร็กทัลทั้งสองคือ
  • wallflower มาจาก (M) ที่มี (\det(M)=-5)
  • กลุ่ม quadratic flake ที่พบบ่อยกว่า มาจาก (M') ที่มี (\det(M')=5)
• ค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ 5 สอดคล้องกับโครงสร้างที่ขนาดแฟร็กทัลเพิ่มขึ้น 5 เท่าในแต่ละรอบ
  • หากดีเทอร์มิแนนต์ใหญ่กว่านี้ สำเนาจะโตเร็วเกินไปจนเกิดช่องว่าง
  • หากดีเทอร์มิแนนต์เล็กกว่านี้ สำเนาจะโตช้าเกินไปจนการทำซ้ำซ้อนทับกัน
• มุมประมาณ 27 องศา เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์ (\langle1,2\rangle) ที่เกิดจากเงื่อนไขพิกัดจำนวนเต็ม ดีเทอร์มิแนนต์ (\pm5) และความยาวเวกเตอร์ (\sqrt5)
  • มุมของเวกเตอร์นี้คือ (\arctan(2/1)\approx63.43^\circ)
  • เมื่อเทียบกับแกน y จะห่างประมาณ 27 องศา

กฎการบวกและการทด

• การบวกเวกเตอร์เข้ากับค่าประจำหลักที่ขยายแล้วได้ดี แต่ทำงานต่างจากการบวกตัวเลขทั่วไป เช่น (\vec{2}+\vec{2}\neq\vec{4})
• ตัวเลข 1 ถึง 4 จึงควรมองเป็นทิศทางบน ขวา ล่าง ซ้าย มากกว่าเป็นตัวเลขจริง ๆ
• ทิศทางตรงข้ามหักล้างกัน
  • (\vec{1}+\vec{3}=\vec{0})
  • (\vec{2}+\vec{4}=\vec{0})
• เมื่อนำชุดของเวกเตอร์หน่วยมาทำเป็นตาราง ผลลัพธ์การบวกบางส่วนจะกลายเป็นค่าสองหลัก
• ด้วยเหตุนี้ เวลาบวกจำนวนมาก ๆ ต้องจัดการ การทด เหมือนการบวกยาวทั่วไป
• ตัวอย่างเช่น เมื่อคำนวณ (\vec{22}+\vec{1}) ผลลัพธ์จะออกมาเป็น 133 เพราะกฎ (\vec{2}+\vec{1}=\vec{13})
• ผู้เขียนไม่ได้พิสูจน์ว่าระบบการบวกนี้ทำงานได้โดยทั่วไปหรือไม่ และทิ้งไว้ให้ผู้อ่านตรวจสอบ

ระบบจำนวนและงานวิจัยที่เกี่ยวข้อง

• ระบบจำนวนของแฟร็กทัล wallflower เชื่อมโยงกับระบบฐานอื่น ๆ ที่ไม่ได้ใช้เฉพาะจำนวนธรรมชาติเป็นตัวเลข
• Balanced Ternary ใช้ (-1,0,1) เป็นตัวเลข และใช้ 3 เป็นฐาน ส่วน wallflower สามารถมองเป็น อนาล็อกสองมิติ ของระบบนี้ที่เพิ่มตัวเลขทิศทางบวก/ลบของแกน y เข้าไป
• generalized balanced ternary ถูกวางนัยทั่วไปสู่มิติใด ๆ ด้วยกริดเพอร์มูโตฮีดรอน และใน 2 มิติจะกลายเป็นกริดหกเหลี่ยม
• Quater-imaginary Base เป็นระบบที่ใช้ (2i) เป็นฐาน และใช้ 0, 1, 2, 3 เป็นตัวเลข
• (M') สามารถมองเป็นฐานที่สอดคล้องกับจำนวนเชิงซ้อน (2+i) และบทความ Balanced base 2+i (and some gratuitous fractals) ของ Timothy James McKenzie Makarios กล่าวถึงแนวคิดนี้
• ผู้เขียนพบแหล่งข้อมูลที่เกี่ยวข้องดังนี้
  • Project BinSys: โปรเจกต์ค้นหาเมทริกซ์ฐานที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็น 2
  • Replicating Tesselations ของ Andrew Vince: อธิบายแฟร็กทัล การปูกระเบื้อง พีชคณิตเชิงเส้น และระบบจำนวนอย่างเข้มงวดขึ้น และขยายจาก (\mathbb{Z}^2) ไปสู่กริดทั่วไป

ขยายไปสู่ 3D และ 4D

• ใน 3D ผู้เขียนคิดถึงโครงสร้าง “3D plus” ที่เริ่มจากลูกบาศก์หนึ่งก้อนแล้วคัดลอกไปในหกทิศทาง
• เงื่อนไขที่ต้องการสำหรับเมทริกซ์ 3x3 มีดังนี้
  • สมาชิกทั้งหมดต้องเป็นจำนวนเต็ม
  • เวกเตอร์แต่ละคอลัมน์ต้องมีระยะ Hamming จากจุดกำเนิดเท่ากับ 3
  • เพราะแต่ละรอบเพิ่มสำเนา 6 ชุด ขนาดจึงต้องเพิ่มเป็น 7 เท่า และดีเทอร์มิแนนต์ต้องเป็น (\pm7)
• ผู้เขียนพบเมทริกซ์ 3x3 ที่ตรงเงื่อนไข แต่ผลการแสดงภาพออกมาเป็นรูปที่เหมือนถูก บีบอัด และมีปัญหาที่การทำซ้ำก่อนหน้ายังโผล่ให้เห็น
• เมื่อเพิ่ม 3D plus อีกสองชุด สามารถเติมส่วนที่ว่างได้ และจุดศูนย์กลาง 8 จุดเรียงตัวเหมือนจุดยอดของลูกบาศก์ที่บิดเบี้ยว
• เพื่อให้การจัดวางสมมาตรกว่านี้ เงื่อนไขที่เวกเตอร์แต่ละคอลัมน์ตั้งฉากกันและมีขนาดเท่ากันอาจเพียงพอ แต่ใน 3D ดูเหมือนเป็นไปไม่ได้เพราะไม่เข้ากับเงื่อนไขพิกัดจำนวนเต็ม
• ใน 4D เงื่อนไขเข้ากันได้พอดี
  • ผลรวมกำลังสองขององค์ประกอบในเวกเตอร์แต่ละคอลัมน์ต้องเป็น 3
  • สามารถกำหนดให้องค์ประกอบ 3 ตัวจากทั้งหมด 4 ตัวเป็น (\pm1) และอีกหนึ่งตัวเป็น 0 ได้
• สร้างแฟร็กทัล 4D ด้วยเมทริกซ์ 4x4 ต่อไปนี้

[ \begin{bmatrix} 0 & -1 & -1 & -1 \ 1 & 0 & -1 & 1 \ 1 & 1 & 0 & -1 \ 1 & -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} ]

• แฟร็กทัล 4D นี้เรียกว่า orthotopeflower
• การแสดงภาพ 4D ทำโดยดูเป็นสไลซ์ 3D ที่ตรึงค่า (w) หรือแสดงหน้าต่างสี่มิติด้วยการวางกริด 7x7 ซ้อนอยู่ภายในกริด 7x7
• ในหน้าต่างมุมมอง 31x31x31x31 ดูเหมือนขยายออกไปด้านนอกโดยไม่มีการบีบอัดมากเกินไปแบบที่เห็นใน 3D

มิติที่สูงขึ้นและการหักมุมสุดท้าย

• เมื่อขยายข้อจำกัดเดียวกันไปยังมิติสูงขึ้น ดูเหมือนว่ามิติที่ตรงเงื่อนไขจะมีเพียง 1D, 2D และ 4D
  • 1D คือ balanced ternary
  • 2D คือ wallflower หรือ quadratic flake
  • 4D คือ orthotopeflower
• เมทริกซ์ที่เลือกใน 4D เข้ารหัสควอเทอร์เนียน (i+j+k) และจากสิ่งนี้สามารถคิดถึง balanced nonary quaternion base ที่มีฐานเป็น (i+j+k) และมีตัวเลขเป็น (0,\pm1,\pm i,\pm j,\pm k)
• ผู้เขียนยังไม่แน่ใจว่าระบบควอเทอร์เนียนนี้ใช้งานได้จริงหรือไม่ จึงฝากไว้ให้ตัวเองในอนาคตที่รู้คณิตศาสตร์มากกว่านี้
• ความพยายามที่จะจุดความสนใจด้านคณิตศาสตร์และการเขียนโปรแกรมขึ้นมาใหม่หลังภาวะหมดไฟ ได้เปลี่ยนภาพขีดเขียนเก่า ๆ ให้กลายเป็นการสำรวจที่เชื่อมจากแฟร็กทัล ระบบจำนวน พีชคณิตเชิงเส้น ไปจนถึงมิติสูง
• หักมุมสุดท้ายคือ ภาพประกอบในบทความไม่ตรงกับแฟร็กทัลจริงบนผนังที่เห็นในภาพตัวอย่าง
  • การทำซ้ำครั้งที่ 4 ของของจริงบนผนังคัดลอกไปใน ทิศตรงข้าม กับมุมประมาณ 27 องศา
  • ตอนนั้นผู้เขียนคิดว่าหากเอียงไปทิศเดิมต่อไปเรื่อย ๆ จะหลุดออกจากแกน จึงพยายามแก้ชดเชย แต่โครงสร้างของ (M) นั้นชดเชยตัวเองอยู่แล้วในแต่ละขั้น
  • ปิดท้ายด้วยข้อสังเกตว่า Donald Knuth ก็เคยเลี้ยว ผิดทาง ตอนติดแฟร็กทัลบนผนังเช่นกัน

[GN⁺]

ความคิดเห็นจาก Hacker News

• เป็นบทความที่มีมุมมองลึกซึ้งและใส่ใจมาก และ การแสดงภาพ 3D ดีเป็นพิเศษ
  ทำให้นึกถึงสิ่งที่เคยทำตอนลองปรับแต่ง recursive decimation เพื่อสร้างเอฟเฟกต์คล้ายแฟร็กทัลจากภาพใด ๆ
  ลองเล่นได้ที่นี่: https://jsfiddle.net/nicobrenner/a1t869qf/
  กด Blursort 2x2 สองสามครั้งเพื่อสร้างเฟรม แล้วกด Animate ก็พอ สามารถคัดลอก/วางรูปภาพได้ด้วย และทั้งหมดทำงานในเบราว์เซอร์โดยไม่มีแบ็กเอนด์ ไม่แนะนำให้ใช้บนมือถือ

  • สงสัยว่าสิ่งนี้จะทำงานใน 3D ได้ไหม

• เหมือนผมจะติดใจเรื่องนี้จนทำรูปแบบเติม “wallflower” ด้วย L-system ขึ้นมา
  https://onlinetools.com/math/l-system-generator?draw=AB&skip...
  พอมาคิดอีกที อันนี้น่าจะสร้างแฟร็กทัลอีกแบบหนึ่ง แต่ก็ไม่แน่ใจ

  • เจอเส้นโค้งเติมพื้นที่สำหรับ wallflower แล้ว
    https://onlinetools.com/math/l-system-generator?draw=ABCD&sk...
    อันก่อนหน้านี้เติม Koch island

• ตอนแรกคิดว่าจะเป็นบทความอ่านเบา ๆ แต่ลึกกว่าที่คิด เลยต้องอ่านแบบกวาด ๆ ไปบางส่วนเพราะต้องทำงาน
  ตั้งใจว่าจะกลับมาเล่นโน่นนี่ทีหลัง เป็นบทความที่ทำออกมาได้ดีจริง ๆ

• เป็นบทความที่ลึกและหนักกว่าที่คาดไว้มาก รู้สึกได้ถึง ความทุ่มเท
  อยากถามผู้เขียนว่า ตอนนี้จะแนะนำให้แขวนอะไรไว้บนผนังห้องลูกดี

  • ผมไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญด้านการเลี้ยงลูกเลย แต่คิดว่าอะไรก็ได้ที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่เด็กกำลังรู้สึก หลงใหลหรือพิศวง ในช่วงเวลานั้นน่าจะดี
    ผมใส่ย่อหน้าเกี่ยวกับภาวะหมดไฟไว้เล็กน้อยช่วงท้ายบทความ ในกรณีของผม รากของปัญหาคือการสูญเสียความหลงใหลและความอยากรู้อยากเห็นที่เคยมีต่อคณิตศาสตร์และการเขียนโปรแกรม และระหว่างเขียนบทความนี้ ผมก็ได้กลับไปสัมผัสความรู้สึกพิศวงแบบเด็ก ๆ ที่เมื่อก่อนเคยรู้สึกได้ง่ายอีกครั้ง

• ลองตรวจเลขคณิตของจำนวนสองหลักสองตัวแล้ว มันใช้งานได้จริง
  คิดไว้ว่า 41+14 จะได้ 12 เพราะการบวกช่องทางขวาสองช่องกับช่องด้านบนสองช่อง จะได้ช่องทางขวาสองช่องกับช่องด้านบนสองช่อง
  ในการบวกยาวด้านล่าง ใช้ = เมื่อแสดงว่าเทียบเท่ากัน เช่น การสลับพจน์ (1+2=2+1), การแยกจำนวน (41=40+1), การบวกเลขหลักเดียว (1+4=22); ใช้ -> เมื่ออัลกอริทึมให้ค่าหลัก และใช้ < เมื่อย้ายไปคอลัมน์ถัดไป
  41+14 = (40+1)+(10+4) = 40 + 10 + (1+4) = 40 + 10 + 22 -> 1s digit = 2 < 4 + 1 + 2 = 22 + 2 = 20 + 2 + 2 = 20 + 41 -> 10s digit = 1 < 2 + 4 = 0 -> done == 12
  ในบทความมี ระบบฐาน สองแบบที่ต่างกัน แบบหนึ่งคือ 10, 20, 30, 40 เรียงตามเข็มนาฬิกา และอีกแบบเรียงทวนเข็มนาฬิกา ทั้งสองแบบมี 1, 2, 3, 4 เรียงตามเข็มนาฬิกา การบวกข้างบนอิงตามระบบที่สองที่ใช้ในตารางบวก คือระบบที่หลักสิบเรียงทวนเข็มนาฬิกา
  ในอีกระบบหนึ่งก็ทำงานได้เช่นกัน 14+21 ควรได้ 12
14+21 =10+20+42 ->2 <1+2+4 =13+4 =10+3+4 =10+31 ->1 <1+3 =0 ==12

• สงสัยว่าคิดระบบเลขแบบ “middle out” ขึ้นมาได้อย่างไร
  เวลานั่งแก้โจทย์คณิตศาสตร์คนเดียว ผมแทบไม่เคยคิดไอเดียที่เหมือนได้แรงบันดาลใจแบบนี้ออกเลย

  • ในบทความลำดับอาจดูต่างไปเล็กน้อย แต่สุดท้ายมันเริ่มจากจุดหนึ่งที่ผมตระหนักว่าวิธีที่แฟร็กทัล เติบโตขึ้น 5 เท่า, ระบบเลขฐาน 5 และ “เกลียว” ที่พูดถึงในบทความ สามารถเข้ากันได้
    ผมคิดเยอะมากด้วยว่าจะวาดแฟร็กทัลนี้ด้วยโปรแกรมอย่างไร วิธีที่เป็นธรรมชาติคือเริ่มจากตรงกลางแล้วขยายออกไปด้านนอก
    มีเกร็ดเล่าว่า Richard Feynman จะเก็บปัญหาแบบสุ่มไว้หลังฉากในหัวราวสิบกว่าข้อ แล้วค่อย ๆ เดินหน้าทีละนิดเมื่อเห็นความเชื่อมโยง และพอแก้ข้อหนึ่งได้ในที่สุด ผู้คนก็คิดว่าเขาคิดออกสด ๆ ราวกับใช้เวทมนตร์ ครั้งนี้ก็คล้ายกันนิดหน่อย แต่ผมห่างไกลจากระดับนั้นมาก และทำได้แค่กับปัญหาเดียว ไม่ใช่สิบกว่าข้อ

• ที่ทำงานเก่าของผมเคยแขวนสิ่งนี้เป็น งานพิมพ์ขนาดใหญ่ ไว้บนผนัง
  https://raw.githubusercontent.com/cies/haskell-fractal/refs/... [17MB, ขอโทษที่เป็น Github]
  มีโค้ด Haskell ที่ใช้สร้างอยู่ด้วย: https://github.com/cies/haskell-fractal
  โดยเฉพาะกระบวนการคิดฟังก์ชัน sharpen น่าสนใจมาก สำหรับการฟิตเส้นโค้ง ใช้เครื่องมือที่ตอนนี้หายไปแล้ว: https://github.com/cies/haskell-fractal/blob/master/fractal....
  เป็นโปรเจกต์เล็ก ๆ ที่สนุกดี

• เข้าใจความรู้สึกตรงประโยค “ตัดสินใจมอบหมายให้ตัวผมในอนาคตที่รู้คณิตศาสตร์มากกว่านี้”
  รายการปัญหาที่ควรต้องแก้ แต่แก้ไม่ได้เพราะมีแผนที่และการเชื่อมต่ออินเทอร์เน็ตไม่พอ มีอิทธิพลอย่างมากต่อการตัดสินใจว่าจะเรียนปริญญาอะไร ส่วนใหญ่เป็นปัญหา พีชคณิตเชิงเส้น

• ดูเหมือนมีพิมพ์ผิดในสูตรของแพตเทิร์น สมการถัดจาก “Looking closely you might pick up on the pattern” ควรเป็น 5**(n/2) ไม่ใช่ 5**n และควรเป็น 5**((n-1)/2) ไม่ใช่ 5**(n-1)
\overrightarrow{10*4} คือ [0, 25] แต่ตามสูตรเดิมจะได้ [0, 625]
  อีกอย่าง เรื่อง ข้อผิดพลาดของ Knuth นั้น ในคอมเมนต์ YouTube บอกว่าแฟร็กทัลของเขาจริง ๆ แล้วถูกต้อง เพียงแต่เขาสับสนจุดเริ่มต้นกับจุดสิ้นสุด พูดแบบคร่าว ๆ แฟร็กทัลนั้นสมมาตรตามการหมุนรอบศูนย์กลาง และการหมุนนั้นเองที่ Knuth คิดว่าผิด อย่างไรก็ดี ก็ถือว่าเขาพลาดเรื่องแฟร็กทัลอยู่ดี ดังนั้นข้อสรุปยังคงเดิม

  • จับได้ดีมาก และผมแก้ สูตร แล้ว