ค่าคงที่เลมนิสเกต (ϖ) : คู่แฝดมืดของ π (Evil Twin)

• เช่นเดียวกับ π, ϖ ก็เป็นค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ
  • π เกี่ยวข้องกับวงกลมและฟังก์ชันตรีโกณ (sin, cos)
  • ϖ เกี่ยวข้องกับเลมนิสเกต (lemniscate) รูปร่างคล้ายสัญลักษณ์อนันต์ และฟังก์ชันตรีโกณชนิดใหม่ (sl, cl)
• เลมนิสเกตเป็นกรณีพิเศษของเส้นโค้งทรงรีของคาสซินี (Cassini oval) ที่ทำให้ผลคูณของพิกัดจากจุดสองจุดคงที่ และมีรูปทรงเป็น ∞
• ϖ เรียกว่า "ค่าคงที่เลมนิสเกต" และมีค่าประมาณ 2.62205755

เลมนิสเกตและ ϖ

นิยามเลมนิสเกต

• ในพิกัดเชิงขั้ว เลมนิสเกตสามารถแสดงได้ว่า "กำลังสองของรัศมีเท่ากับค่าโคไซน์ของสองเท่าของมุม"
• เส้นรอบวงของวงกลมที่สอดคล้องกับ (2π) เช่นเดียวกัน เส้นรอบวงเลมนิสเกตสอดคล้องกับ (2ϖ)

ฟังก์ชันตรีโกณของ ϖ: sl และ cl

• เช่นเดียวกับฟังก์ชันตรีโกณของวงกลม (sin, cos) เลมนิสเกตก็มีฟังก์ชัน sl และ cl
• ตัวอย่างเช่น สูตรในฟังก์ชันตรีโกณว่า "ไซน์ยกกำลังสองบวกโคไซน์ยกกำลังสองเท่ากับ 1" ในกรณีเลมนิสเกตจะแปลงเป็นดังนี้ใกล้เคียง:
  • sl ยกกำลังสองบวก cl ยกกำลังสองบวกผลคูณของ sl และ cl ยกกำลังสองเท่ากับ 1

ความเชื่อมโยงระหว่าง π และ ϖ

• π และ ϖ มีสูตรและรูปแบบที่คล้ายกัน โดย π เป็นหนึ่งในชุดค่าคงที่ ϖ
• π เป็น ϖ₂ และ ϖ เป็น ϖ₄ โดยระหว่าง π กับ ϖ มีค่าคงที่อีกตัวคือ ϖ₃
• ค่าคงที่ลำดับนี้สะท้อนโครงสร้างคณิตศาสตร์เฉพาะตัว และเกี่ยวข้องกับเส้นโค้งและฟังก์ชันที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น

ϖ และการค้นพบของเกาส์ส

• เกาส์สค้นพบว่าเลมนิสเกตคงที่เกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต (Arithmetic-Geometric Mean)
  • ค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิตคือขั้นตอนการคำนวณค่าเฉลี่ยเชิงเลขคณิตและค่ากลางเรขาคณิตของจำนวนสองตัวอย่างต่อเนื่องจนถึงค่าใกล้เคียงแน่นอน
  • ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิตของ 1 กับ √2 คืออัตราส่วนของ π กับ ϖ และได้รับความรู้จักว่าเป็น "ค่าคงที่เกาส์ส"

ค่าคงที่ลำดับสูง ϖₙ

• ϖₙ เชื่อมโยงกับฟังก์ชันและเส้นโค้งไฮเปอร์เอลลิปติก
  • เส้นโค้งไฮเปอร์เอลลิปติกนิยามเป็นการปกคลุมสองชั้นของทรงกลมรีมันน์ และมีจุดกิ่งที่มีสมมาตรอันดับ n (จุดเฉพาะรากที่ n ของหน่วย)
  • ค่าคงที่เหล่านี้สะท้อนสมมาตรและคุณสมบัติอันเป็นเอกลักษณ์ของเส้นโค้งอันดับสูง

แหล่งข้อมูลและลิงก์

• ค่าคงที่เลมนิสเกต (ϖ) - Wikipedia
• ฟังก์ชันตรีโกณเลมนิสเกต (sl, cl)

[GN⁺]

ความคิดเห็นจาก Hacker News

• ฉันสับสนเรื่องการสะกดคำว่า "lemniscate" จึงลองเช็กดู จากการสนทนานี้ทำให้ฉันพบแผนที่ใหม่ที่ชอบ
  • แผนที่นี้คือ Peirce Quincuncial Projection
• สามารถใช้เครื่องรางดอกโคลเวอร์นำโชคเพื่อการป้องกันได้
  • แสดงด้วยกราฟขั้ว r=cos(2θ)
  • เส้นรอบรูปสามารถนิยามได้ด้วยค่าคงที่ 4*E(-3) ~ 4 * 2.4221
• π มาจากวงกลม โดยถูกกำหนดโดยระยะทางจากจุดเดียว
• ϖ มาจาก lemniscate ของ Bernoulli โดยถูกกำหนดโดยระยะทางจากสองจุด
• ฉันสงสัยว่ามีค่าคงที่คล้ายๆ กันที่เกิดจากรูปทรงที่ถูกกำหนดจากสามจุดหรือไม่
• อัตราส่วนของ π กับตัวประกอบฝาแฝดของมันประมาณ 1.198 และเป็นค่าเฉลี่ยอาร์ทิเมติก-จีโอเมตริกของ sqrt(2) กับ 1
  • เมื่อ AM เข้าใกล้ GM แล้ว โดยอสมการ AM-GM-HM จึงควรจะเข้าใกล้ HM ด้วย
  • HM ไม่ต้องใช้การคำนวณรากที่มีต้นทุนสูง
• AM และ GM เข้าหาค่าคงที่เกือบทันที
  • การเข้าใกล้ HM ของค่าคงที่ Gauss ต้องใช้ประมาณ 15 ขั้น
  • แม้จะหลีกเลี่ยงตัวดำเนินการที่หนักหน่วงได้ แต่ก็ต้องวนซ้ำหลายครั้ง
• ค่าคงที่ที่น่าสนใจอื่นๆ:
  • Euler–Mascheroni Constant: อนุกรมฮาร์โมนิก, อินทิกรัลและผลรวมที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันแกมมา
  • Catalan’s Constant: อนุกรมตรีโกณบางประเภท, ฟังก์ชัน Green บนตะแกรง
  • Feigenbaum Constants: แผนที่โลจิสติก, ความโกลาหลของระบบพลวัต
  • Khinchin’s Constant: ค่าเศษส่วนย่อยของ continued fraction แบบง่าย
  • Glaisher–Kinkelin Constant: การขยายแบบอนุกรมอะซิมพอตอติกของ Barnes G-function, ขีดจำกัดเชิงการจัดวาง, และการขยายผลคูณบางประเภท
  • Ramanujan’s Constant: การคูณเชิงซ้อนบนเส้นโค้งเอลลิปติก
  • Omega Constant: Omega * e^Omega = 1, ฟังก์ชัน Lambert W, x^x^x^... = 2
• แม้ฉันไม่ใช่นักสัมพันธ์นิยมทางวัฒนธรรม แต่ไม่เชื่อว่ามีอารยธรรมใดที่ให้ความสำคัญกับ ∞ มากกว่า ◯
  • อาจมีสิ่งมีชีวิตที่อาศัยอยู่ในปริภูมิลอการิทึม
  • วงกลมของพวกเขาอาจเป็น lemniscate
• π และ ϖ เป็นเพียงสองตัวในเครือญาติที่มีไม่สิ้นสุด
• ทำไมมีแค่สองจุด? ทำไมไม่ใช่สามจุด?
  • มีเส้นโค้งที่น่าสนใจใดๆ ที่เกิดจากผลคูณคงที่ของระยะทางจาก N จุดหรือไม่
  • ในมิติสูงขึ้น มีทรงกลมสำหรับหนึ่งจุด
  • แล้วสำหรับสองจุดล่ะ? เป็นเหมือนหยดน้ำสองหยดคล้ายนาฬิกาทรายหรือไม่
• สิ่งนี้อาจเป็นไอเดีย SF ที่น่าสนใจ ที่ทำให้รูปทรงนี้สำคัญกับอารยธรรมมากกว่ากลม