ค่าคงที่ Lemniscate (ϖ): ฝาแฝดด้านมืดของ π

 (mathstodon.xyz)
1 คะแนน โดย GN⁺ 2024-12-25 | 1 ความคิดเห็น | แชร์ทาง WhatsApp
  • ϖ (varpi) เป็นค่าคงที่ที่เชื่อมโยงกับ lemniscate รูป ∞ และฟังก์ชันตรีโกณมิติแบบดัดแปลง sl, cl คล้ายกับที่ π เชื่อมโยงกับวงกลมและฟังก์ชันตรีโกณมิติ
  • lemniscate เป็นกรณีพิเศษของ Cassini oval ซึ่งผลคูณของระยะทางไปยังจุดสองจุดคงที่ และเขียนในพิกัดเชิงขั้วได้เป็น r² = cos2θ
  • เช่นเดียวกับที่เส้นรอบวงของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ 2π เส้นรอบรูปของ lemniscate นี้คือ 2ϖ และ ϖ ≈ 2.62205755... เคยถูกคำนวณมากกว่า 1 ล้านล้านหลักแล้ว
  • sl และ cl เป็น lemniscatic elliptic functions ที่สอดคล้องกับ sin, cos และมีเอกลักษณ์แบบดัดแปลง เช่น sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1
  • ϖ ยังเชื่อมโยงกับ Gaussian elliptic curve และค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต โดยอัตราส่วน AGM(1, √2) = π/ϖ ถูกเรียกว่าค่าคงที่ของ Gauss

ค่าคงที่ ϖ ที่คล้ายกับ π

  • ϖ เป็นจำนวนที่มีสมบัติและสูตรจำนวนมากคล้ายกับ π ราวกับเป็น “evil twin” ของ π
  • เช่นเดียวกับที่ π เชื่อมโยงกับวงกลมและฟังก์ชันตรีโกณมิติ sin, cos, ϖ เชื่อมโยงกับ lemniscate ซึ่งเป็นเส้นโค้งรูป ∞ และฟังก์ชัน sl, cl
  • ϖ เรียกว่า lemniscate constant
  • สัญลักษณ์ Unicode ϖ เป็นรูปแบบตัวเขียนของอักษรกรีก pi และเรียกอีกอย่างว่า varpi หรือ pomega

สูตรอินทิกรัลและสูตรผลคูณที่คล้ายกัน

  • π และ ϖ ถูกเปรียบเทียบกันได้ด้วยรูปแบบที่คล้ายกันในสูตรอินทิกรัล
    • π = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x²) ≈ 3.14159
    • ϖ = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x⁴) ≈ 2.622057
  • ค่าคงที่ทั้งสองยังเชื่อมโยงกับสูตรผลคูณในรูปกรณฑ์ซ้อนกัน
    • สูตรฝั่ง π แสดงค่า 2/π
    • สูตรฝั่ง ϖ ยังคงโครงสร้างคล้ายกัน แต่บางพจน์เปลี่ยนเป็น รูปแบบการหาร

lemniscate และความยาวเส้นรอบรูป

  • กลุ่มเส้นโค้งที่ผลคูณของระยะทางไปยังจุดสองจุดคงที่คือ Cassini oval
  • ในบรรดานั้น เส้นโค้งพิเศษที่มีรูป ∞ คือ lemniscate และเชื่อมโยงโดยตรงกับ ϖ
  • สมการพิกัดเชิงขั้วของ lemniscate นี้เป็นดังนี้
    • r² = cos2θ
  • เช่นเดียวกับที่เส้นรอบวงของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ 2π เส้นรอบรูปของเส้นโค้งนี้คือ 2ϖ
    • ϖ ≈ 2.62205755...
    • จำนวนนี้เคยถูกคำนวณไปแล้ว มากกว่า 1 ล้านล้านหลัก

ฟังก์ชัน sl, cl และตรีโกณมิติแบบดัดแปลง

  • เช่นเดียวกับที่สามารถนิยาม sin และ cos บนวงกลมได้ บน lemniscate ก็สามารถนิยามฟังก์ชันที่เรียกว่า sl และ cl ได้
  • เอกลักษณ์ตรีโกณมิติทั่วไปจำนวนมากมีเวอร์ชันแบบดัดแปลงที่สอดคล้องกับ sl และ cl
  • ความสัมพันธ์ที่เป็นตัวแทนมีดังนี้
    • ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั่วไป: sin²θ + cos²θ = 1
    • ฟังก์ชัน lemniscate: sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1
  • กราฟของ sl และ cl ดูได้ที่ Lemniscate elliptic functions

เส้นโค้งวงรีและค่าคงที่ของ Gauss

  • ϖ และฟังก์ชันตรีโกณมิติแบบดัดแปลงของมันเชื่อมโยงกับ Gaussian elliptic curve
  • หากแบ่งระนาบเชิงซ้อนด้วยกริดสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะได้เส้นโค้งวงรีนี้
    • กริดใด ๆ บนระนาบเชิงซ้อนสร้างเส้นโค้งวงรีและฟังก์ชันวงรี
    • สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีสมมาตรมากกว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานแบบอื่น ๆ จึงเป็นตัวอย่างที่ดีเป็นพิเศษในกรณีนี้
  • Gauss ค้นพบว่าเส้นโค้งวงรีนี้เชื่อมโยงกับ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต
  • ค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิตของ 1 และ √2 คือ π/ϖ และจำนวนนี้เรียกว่า ค่าคงที่ของ Gauss
  • คำอธิบายที่เกี่ยวข้องอยู่ที่ Lemniscate constant
  • ยังมีลำดับที่ทั่วไปยิ่งขึ้น ϖₙ ด้วย
    • π คือ ϖ₂
    • ϖ คือ ϖ₄
    • ϖₙ ดูเหมือนจะเกี่ยวข้องกับ hyperelliptic functions แบบสมมาตรบางอย่าง
    • บทความที่เกี่ยวข้องอยู่ที่ June 2022 diary entry

บทความที่เกี่ยวข้อง

1 ความคิดเห็น

 
GN⁺ 2024-12-25
ความคิดเห็นจาก Hacker News

  • จากการถกเถียงนี้ ทำให้ผมเจอแผนที่ที่ชอบใหม่: Peirce quincuncial projection
    [https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projec...](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projection_1879.jpg)

    • มี projection แผนที่อีกมากใน PDF ที่เป็นมิตรชื่อ “An Album of Map Projections” และ projection ข้างต้นอยู่หน้า 190
      ถ้าอยากได้ตัวอย่างที่ดูเป็นงานเทศกาลกว่านี้ ให้ดู Berghaus star projection ที่หน้า 156
      [1]: https://pubs.usgs.gov/pp/1453/report.pdf (1989)
    • อันนี้ดูค่อนข้างคล้ายกับ Penrose diagram แบบขยายสูงสุด
    • เหมือนเคยเห็นว่ามีม็อด Quake 3 ใช้ projection แบบเดียวกันเพื่อ เพิ่มมุมมองภาพอย่างมาก

  • ยังใช้เครื่องรางโคลเวอร์สี่แฉกนำโชคเพื่อป้องกันมันได้ด้วย กราฟพิกัดเชิงขั้วคือ r=cos(2theta)
    https://www.wolframalpha.com/input?i=+plot+r%3Dcos%282theta%...
    เส้นรอบรูปของมันสามารถนิยามได้ด้วยค่าคงที่ 4*E(-3) ≈ 4 * 2.4221
    [https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+r%3Dcos%282theta%29+from+theta+%3D+-pi%2F4+to+pi%2F4\)" class="ud link">https://wolframalpha.com/input/…

  • ผมสับสนกับประโยคว่า “เส้นโค้งรูป ∞ นี้เรียกว่า 'leminscate' และ ϖ เรียกว่า 'lemniscate constant' ในบทความถัดไปผมจะแสดง leminiscate” เลยไปตรวจดู พบว่าสะกดที่ถูกต้องคือ lemniscate

  • π มาจากวงกลมที่นิยามด้วยระยะห่างจากจุดหนึ่ง ส่วน ϖ มาจาก lemniscate ของ Bernoulli ที่นิยามด้วยระยะห่างจากสองจุด
    ถ้าอย่างนั้นจะมีค่าคงที่คล้ายกันที่มาจากรูปทรงซึ่งนิยามด้วยระยะห่างจากสามจุดไหม?

    • มีอยู่ π คือเส้นรอบวงของวงกลม และ ϖ คือเส้นรอบรูปของ lemniscate ถ้าใช้สามจุดจะเกิดรูปหยดน้ำ 3 อัน และสามารถคำนวณเส้นรอบรูปได้
      ขอเรียกมันว่า trilemniscate ไปก่อน ;)
      นี่คือกราฟ 3D เมื่อมองลงมาจาก +Z จะเห็น trilemniscate ตรงบริเวณที่ระนาบ XY ตัดกับปริมาตร ผมลบ 1 ออกจากผลคูณเพื่อให้เห็นภาพการตัดของระนาบ และยังสามารถปิดเวอร์ชัน 3 จุดแล้วเปิดเวอร์ชัน 2 จุดเพื่อเปรียบเทียบได้
      https://www.desmos.com/3d/dl9v2vqbqb
      ที่น่าสนใจคือ สำหรับ 2 จุดและ 3 จุด พื้นที่ภายใน lemniscate กับ trilemniscate เท่ากัน ถ้าจุดต่าง ๆ ถูกวางอย่างสม่ำเสมอบนวงกลม เรื่องนี้ยังจริงสำหรับจำนวนจุดที่มากขึ้นด้วย แน่นอนว่าเส้นรอบรูปจะลู่ไปอนันต์เมื่อเพิ่มจำนวนจุด
    • แนวคิดเรื่องระยะห่างจากสามจุดซับซ้อนขึ้น เพราะเกี่ยวพันกับ ฟังก์ชันระยะทาง หรือแม้แต่ทฤษฎีการวัด
      สองจุดมีเส้นทางที่สั้นที่สุดเชื่อมกันเสมอ ดังนั้นค่าคงที่จึงเกี่ยวกับข้อเท็จจริงนั้น แต่ตั้งแต่สามจุดขึ้นไปต้องจัดการกับรูปสามเหลี่ยมที่เป็นไปได้ทั้งหมด

  • สำหรับส่วนที่ว่า “ผมไม่ใช่นักสัมพัทธนิยมทางวัฒนธรรมถึงขั้นเชื่อว่ามีอารยธรรมที่ให้ความสำคัญกับรูป ∞ มากกว่ารูป ◯” สิ่งมีชีวิตแบบนั้นอาจเป็น สิ่งมีชีวิตเชิงลอการิทึม ไม่ใช่สิ่งมีชีวิต “เชิงเส้น” แบบเรา
    lemniscate อิงกับค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ซึ่งโดยสาระแล้วคือค่าเฉลี่ยเชิงการคูณ หรือค่าเฉลี่ยในปริภูมิลอการิทึม ตรงข้ามกับค่าเฉลี่ยเลขคณิตในปริภูมิเชิงเส้น
    ถ้าเราเป็นสิ่งมีชีวิตเชิงเส้นที่ถนัดการบวกเชิงสัญชาตญาณแต่ไม่ถนัดการคูณเชิงสัญชาตญาณ ก็อาจมีสิ่งมีชีวิตที่อาศัยอยู่ในปริภูมิลอการิทึมและมีความคิดตั้งอยู่บนการคูณ สำหรับพวกเขา วงกลมก็คือ lemniscate

    • จริง ๆ แล้วมนุษย์มีแนวโน้มคิดแบบ สเกลลอการิทึม โดยสัญชาตญาณ คนที่ไม่ได้รับการศึกษาคณิตศาสตร์พื้นฐานแบบตะวันตกมักคิดโดยยึดอัตราส่วนมากกว่าความแตกต่าง และมีทฤษฎีว่ามันปรับตัวได้ดีกว่าในเชิงวิวัฒนาการ
      https://www.scientificamerican.com/article/a-natural-log/
    • มนุษย์มี การตอบสนองเชิงลอการิทึม อยู่ไม่น้อย เช่น ความสว่างของแสง ความดังของเสียง อ็อกเทฟและระดับเสียงสัมพัทธ์ในดนตรี

  • อย่างที่ศาสตราจารย์ชี้ไว้ อัตราส่วนของ π กับแฝดชั่วร้ายของมันอยู่ที่ประมาณ 1.198 และนี่คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต ของ sqrt(2) กับ 1
    ฝั่งเรขาคณิตมีรากที่สองเข้ามาเกี่ยว และรากที่สองมีต้นทุนสูง ผมเลยคิดว่าถ้าค่าเฉลี่ยเลขคณิตลู่เข้าไปหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิต ตามอสมการค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต-ฮาร์มอนิก ก็ควรจะลู่เข้าหาค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกด้วย และค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกไม่ต้องใช้รากที่สองราคาแพง
    https://imgur.com/a/UkxkPzW
    การลู่เข้าของค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิตแทบจะเกิดขึ้นทันที ใช้ 2 ขั้นก็พอ แต่ค่อนข้างน่าทึ่งที่ถ้าใช้ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกเพื่อให้ได้การลู่เข้าที่ใช้ได้สำหรับค่าคงที่ของ Gauss จะต้องใช้ราว 15 ขั้น เรากำจัดตัวดำเนินการราคาแพงอย่างรากที่สองได้ แต่ต้องจ่ายต้นทุนด้วยจำนวนรอบการวนซ้ำแทน

    • ค่า c ที่คำนวณขึ้นอยู่กับการคำนวณค่า b ดังนั้นมันไม่ได้ทำเป็น รีเคอร์ชันที่หลีกเลี่ยงรากที่สอง
      แค่คำนวณลำดับค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิตชุดเดิม แล้วนำค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกแบบถ่วงน้ำหนักเฉพาะบางอย่างบนลำดับนั้นเท่านั้น และเมื่อลำดับเดิมลู่เข้า สิ่งนี้ก็ลู่เข้าด้วย
      อนึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิต-ฮาร์มอนิกที่ตั้งใจไว้ก็คือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตธรรมดา ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต แต่เป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตล้วน ๆ: https://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-HarmonicMean.html

  • ค่าคงที่เด่นอื่น ๆ และที่ที่มันปรากฏ: ค่าคงที่ Euler–Mascheroni ปรากฏในอินทิกรัลและผลบวกที่เกี่ยวกับอนุกรมฮาร์มอนิกและฟังก์ชันแกมมา, ค่าคงที่ Catalan อยู่ในอนุกรมตรีโกณมิติบางชนิดและฟังก์ชัน Green บนแลตทิซ, ค่าคงที่ Feigenbaum อยู่ใน logistic map และความโกลาหลของระบบพลวัต, ค่าคงที่ Khinchin อยู่ในผลหารย่อยของเศษส่วนต่อเนื่องอย่างง่าย, ค่าคงที่ Glaisher–Kinkelin อยู่ในการขยายเชิงเส้นกำกับของฟังก์ชัน Barnes G ขีดจำกัดเชิงจัดหมู่ และการขยายผลคูณบางชนิด, ค่าคงที่ Ramanujan อยู่ในการคูณเชิงซ้อนของเส้นโค้งวงรี, ค่าคงที่ Omega ปรากฏใน Ωe^Ω=1, ฟังก์ชัน Lambert W และ x^x^x^...=2

    • ไม่เข้าใจว่า x^x^x^... = 2 หมายความว่าอะไร คำตอบของมันไม่ใช่ sqrt(2) เหรอ?
    • ต้องมีคำอธิบายว่า ค่าคงที่ Ramanujan เกี่ยวข้องกับการดำเนินการบนเส้นโค้งวงรีอย่างไร

  • ดูชัดเจนว่าสิ่งเหล่านี้ไม่ใช่ฝาแฝดกัน พูดได้แค่ว่า π และ ϖ เป็นเพียงสองตัวในบรรดาพี่น้อง ϖₙ ที่มีอนันต์จำนวน

  • ทำไมมีแค่ 2 ตัว? ทำไม 3 จุดไม่ได้? จะหารูปทรงที่น่าสนใจจากเส้นโค้งที่ผลคูณของระยะห่างจากจุด N จุดคงที่ได้ไหม?
    ในมิติที่สูงขึ้น จุดเดียวก็ได้ทรงกลม แล้วถ้าเป็นสองจุดจะเป็นรูปอะไร? จะใกล้กับ หยดน้ำคู่ แบบนาฬิกาทรายมากกว่าไหม?

    • มีการทำให้เป็นกรณีทั่วไปอยู่ ก่อนที่ Twitter จะกลายเป็นบาร์นาซี เคยมีคนโพสต์ความท้าทายให้ลองหาตัวเลขคล้าย pi เป็นซีรีส์ โดยแต่ละตัวมีชุดสูตรเฉพาะของตัวเอง แล้ว @duetosymmetry รับคำท้านั้นและสร้าง ϖₙ ขึ้นมา
    • เรื่อง 3 จุดนั้น จุดเดียวกับสองจุดเป็นกรณีพิเศษ ในสองกรณีนี้ หากไม่นับการเลื่อนตำแหน่งและการย่อ-ขยายอย่างสม่ำเสมอ จะมีการจัดวางได้เพียงแบบเดียว
      แต่ตั้งแต่สามจุดขึ้นไป จะมีการจัดวางมากเท่ากับจำนวนรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน คุณอาจได้ตัวเลขหนึ่งค่าจากแต่ละคลาสความคล้ายของสามเหลี่ยม แต่ไม่ควรคาดหวังว่าจะได้ค่าคงที่เดียวกันสำหรับทุกคลาสความคล้าย

  • ในประโยค “เส้นโค้งรูป ∞ นี้เรียกว่า 'leminscate' และ ϖ เรียกว่า 'lemniscate constant' ในบทความถัดไปผมจะแสดง leminiscate” ดูเหมือนว่าสองจากสามคำสะกดผิด