ทุกสิ่งคือ log

• หากมอง log ไม่ใช่เป็นฟังก์ชันเชิงตัวเลข แต่เป็นอัตราส่วนของวัตถุเชิงนามธรรมที่เรียกว่า log ที่ไม่มีฐาน แล้ว (\log_b N = \log N / \log b) จะอ่านได้คล้ายการแปลงหน่วย
• (\log 2) กลายเป็นหน่วยวัดอย่าง bits และ (\log e) เป็นหน่วยอย่าง nats โดยสูตรเปลี่ยนฐานมีลักษณะคล้ายกับการเขียนปริมาณเดียวกันด้วยคนละหน่วย
• การให้ค่าแบบ (p)-adic, อันดับของศูนย์และโพล, และการดึงองค์ประกอบของอนุพันธ์ ล้วนตีความได้ว่าเป็น การฉายองค์ประกอบของ log
• มีความสอดคล้องกันหลายแบบ เช่น มองเวกเตอร์เป็น log ของตัวดำเนินการเลื่อน มองมิติเป็น log ของขนาดปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์จำกัด และมองฐานเป็นวัตถุที่ log ส่งกลับ
• การอภิปรายทั้งหมดนี้ไม่ใช่ทฤษฎีเอกภาพที่เข้มงวด แต่เป็นการสำรวจเพื่อติดตาม ความซ้ำซ้อนของสัญกรณ์และโครงสร้าง โดยมุมมองทางคณิตศาสตร์ที่แยกพิกัดออกจากหน่วยอาจช่วยจัดระเบียบรูปแบบเหล่านี้ได้

---

log ที่ไม่มีฐานและการแปลงหน่วย

• log แบบทั่วไปเขียนเป็น (\log_b x) โดยระบุฐาน (b) เพื่อแทนคำตอบของ (b^y=x)
• สูตรเปลี่ยนฐาน (\log_b x = \log_a x / \log_a b) สามารถตีความได้คล้าย การแปลงหน่วย
  • มีโครงสร้างแบบเดียวกับ (2 \text{ km} = 2000 \text{ m} / (1000 \text{ m}/1 \text{ km}))
  • “มี (b) อยู่ใน (x) กี่หน่วย” มองได้ว่าเป็น “จำนวน (a) ใน (x)” หารด้วย “จำนวน (a) ใน (b)”
• หากให้ (\log N) เป็น วัตถุเชิงนามธรรม แทนที่จะเป็นตัวเลข log ที่มีฐานก็จะเป็นอัตราส่วนของ log ที่ไม่มีฐานสองตัว
  • (\log_2 N = \log N / \log 2)
  • (\log 2) ถูกมองเสมือนหน่วย “bits”
  • (\log e) ถูกมองเสมือนหน่วย “nats”
• ในมุมมองนี้ (\log N) ไม่มีความหมายเชิงตัวเลขโดยตรง และจะกลายเป็นค่าตัวเลขในหน่วยใดหน่วยหนึ่งเมื่อหารด้วย (\log b)
• ส่วนสิ่งคู่กันอย่างเลขชี้กำลังไร้ฐาน เช่น ((*)^{\log N}) ดูเหมือนจะไม่มีทางทำให้มีความหมายได้จริง
  • (\log_b N) แบบเดิมจึงสรุปได้ว่าเป็นอัตราส่วนของวัตถุไร้หน่วยสองตัวคือ (\log N) และ (\log b)

ความคล้ายกันระหว่าง log กับเวกเตอร์

• เช่นเดียวกับที่แยก เวกเตอร์เชิงเรขาคณิต ซึ่งไม่ขึ้นกับพิกัด ออกจากเวกเตอร์พิกัดในระบบพิกัดหนึ่ง ๆ ได้ (\log N) ก็อาจมองเป็นวัตถุก่อนจะเลือกฐานเฉพาะได้เช่นกัน
• สัญกรณ์นอกมาตรฐานที่วัดองค์ประกอบของเวกเตอร์ (\mathbf{v}) โดยหารด้วยเวกเตอร์อ้างอิง (\mathbf{x}) มีโครงสร้างแบบเดียวกับการหาค่าเป็นหน่วย bits ผ่าน (\log N / \log 2)
  • (\mathbf{v}/\mathbf{x}=v_x)
  • (\log N / \log 2=\log_2 N)
• การเขียน log เดียวกันในคนละหน่วยสอดคล้องกับการเขียนเวกเตอร์เดียวกันในคนละฐาน
  • (\log N = \log_2(N)\text{ bits} = \ln(N)\text{ nats})
  • (\mathbf{v}=v_x\mathbf{x}=v_{x'}\mathbf{x'})
• สูตรเปลี่ยนฐานจึงมีบทบาทเหมือน การแปลงพิกัด ของเวกเตอร์
  • (\log_2 N = \log_2(e)\ln N)
  • (v_x = (\mathbf{x'}/\mathbf{x})v_{x'})

การดำเนินการที่ดึงองค์ประกอบของ log ออกมา

• สำหรับ log ทั่วไป ไม่มีสัญกรณ์ การฉายบางส่วน แบบเดียวกับอนุพันธ์ย่อยที่ใช้ดึงเฉพาะองค์ประกอบหนึ่งออกมา
  • เมื่อ (N=2^a3^b), (\log N/\log 2 = a + b\log_2 3) จึงเป็นการวัดทั้งก้อนในหน่วยเดียว
  • ไม่มีสัญกรณ์มาตรฐานของ log ที่ดึงองค์ประกอบ (\log 2) และ (\log 3) ออกมาแยกกัน
• p-adic valuation ในทฤษฎีจำนวนสามารถตีความได้เหมือนตัวดำเนินการที่ดึงสัมประสิทธิ์ขององค์ประกอบ (\log p) ออกจากการแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนธรรมชาติ
  • (\log n = n_2\log2+n_3\log3+n_5\log5+\cdots)
  • (\nu_p(n)=n_p)
  • อัตลักษณ์เชิง log เช่น (\nu_p(m/n)=\nu_p(m)-\nu_p(n)) ก็ยังคงอยู่
• หากขยายไปยังจำนวนตรรกยะหรือจำนวนที่มีราก สัมประสิทธิ์จะเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะ และวัตถุที่ได้จะใกล้กับปริภูมิเวกเตอร์จริงมากขึ้น
• อันดับของศูนย์หรือโพลใน complex analysis ก็เขียนได้ในรูป ลิมิตของอัตราส่วน log ที่คล้ายกัน
  • (\text{ord}a f(z)=\lim{z\to a}\log f(z)/\log(z-a))
  • เป็นการดึงอันดับของพจน์ที่เด่นที่สุดออกมาจากอนุกรมลอรองต์
• (p)-adic valuation, อนุพันธ์ย่อย และการดึงอันดับใน complex analysis มีความคล้ายกัน แต่ยังไม่มีทฤษฎีเอกภาพที่ชัดเจนมาผูกเข้าด้วยกัน

กรณีที่เวกเตอร์เองก็มองเป็น log ได้

• ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ เวกเตอร์ถูกใช้เป็นฐานของตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อย และเมื่อยกกำลังเชิงเอ็กซ์โปเนนเชียลจะได้ ตัวดำเนินการเลื่อน
  • (T^{\mathbf{v}}=e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y})
  • (e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y}f(x,y)=f(x+v_x,y+v_y))
• ในปริภูมิแบน ตัวดำเนินการเลื่อนสามารถแยกเป็นผลคูณของการเลื่อนตามแต่ละพิกัดได้
  • (T^{\mathbf{v}}=T_x^{v_x}T_y^{v_y})
  • แต่ในปริภูมิไม่แบน การเลื่อนตามพิกัดต่าง ๆ อาจสลับที่กันไม่ได้ จึงซับซ้อนกว่า
• ในมุมนี้ เวกเตอร์จึงเขียนได้ว่าเป็น log ของตัวดำเนินการเลื่อน
  • (\ln T^{\mathbf{v}}=v_x\partial_x+v_y\partial_y)
• แทนที่จะยึดกับฐานธรรมชาติ (e) ของ natural log การวางฐานทั่วไปของการเลื่อนเป็น (T) แล้วเขียน (\mathbf{v}=\log_T T^{\mathbf{v}}) ดูจะเหมาะสมกว่า
• การคูณทั่วไปเองก็มองได้ว่าเป็นการเลื่อนในพิกัด (\ln a) แต่ยังไม่ชัดว่าการตีความนี้มีประโยชน์จริงเพียงใด

ความสัมพันธ์ระหว่าง log กับอนุพันธ์

• natural log นิยามได้ด้วย (\ln x=\lim_{a\to0}(x^a-1)/a)
  • หากขยาย (x^a=e^{a\ln x}) แบบเทย์เลอร์ จะได้ (\ln x) โผล่ออกมา
• เมื่อนำ ((1+x)) ไปแทน ก็จะได้อนุกรมเทย์เลอร์ของ (\ln(1+x)) กลับมา
  • (x-\frac12x^2+\frac13x^3-\cdots)
• สมการนี้ดูคล้ายอนุพันธ์ และเขียนได้ว่า (\ln x=\partial_y x^y|_{y=0})
• (\ln x) ทำงานในหลายแง่คล้าย (x^0)
  • (\ln x\sim (x^0-1)/0)
  • ในเชิงรูปแบบ (\partial_x\ln x=\partial_x((x^0-1)/0)=1/x)
• ส่วนนี้ไม่ได้เชื่อมตรงกับประเด็นอื่นในบทความ แต่เพิ่มมุมมองที่เห็น log เป็นการเปลี่ยนแปลงอันดับหนึ่งรอบ ๆ (x^0)

มิติทำงานคล้าย log

• ในปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด (\dim_K) มีอัตลักษณ์คล้าย log
  • (\dim_K K^n=n)
  • (\dim_K(U\oplus V)=\dim_KU+\dim_KV)
  • (\dim_K(U/V)=\dim_KU-\dim_KV)
  • (\dim_K(U\otimes V)=\dim_KU\times\dim_KV)
• สำหรับปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด (V\simeq K^n) เหนือฟิลด์จำกัด (K) จะมีความสัมพันธ์แบบ log จริง ๆ ระหว่างขนาดกับมิติ
  • เวกเตอร์มองได้ว่าเป็นฟังก์ชันที่กำหนดสัมประสิทธิ์ใน (K) ให้กับสมาชิกแต่ละตัวของฐาน
  • (|V|=|K|^{\dim_K V})
  • ดังนั้น (\dim_K V=\log_{|K|}|V|)
• สำหรับกรณีมิติอนันต์หรือฟิลด์อนันต์ การตีความนี้ไม่แข็งแรงเท่าเดิม และอาจต้องใช้แนวคิดเรื่องขนาดแบบอื่น เช่น numerosity) แทน cardinality
• หากใช้สัญกรณ์มิติแบบไร้ฐาน ก็จะเขียนได้ว่า (\dim K^n=n\dim K), (\dim_K V=\dim V/\dim K)
• สำหรับ tensor product หากคูณมิติตรง ๆ จะมี (\dim K) เกิดขึ้นมาอีกหนึ่งครั้ง จึงตีความว่า tensor product เหนือ (K) คือ (\otimes_K) ช่วยตัดปัจจัยนั้นออกผ่านการหารด้วยสัมประสิทธิ์สเกลาร์

มองฐานและ span เป็นเหมือน log และ exponential

• หากมิติคือ cardinality ของฐาน ก็อาจมองว่า log ไม่ได้คืนค่า cardinality แต่คืน ตัวฐานเอง
  • ถ้า (V\simeq K^3) มีฐานเป็น ((\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})) ก็อาจเขียน (\log_K V=(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}))
  • (\dim_KV=|\log_KV|)
• เพราะมีปัญหาเรื่องการเลือกฐานหนึ่งชุดโดยเฉพาะ (\log_KV) จึงอาจเหมาะกว่าหากมองเป็นวัตถุที่ชี้ไปยังฐานที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ (V)
  • สำหรับกรอบอ้างอิงใด ๆ (X_0) และ (\Lambda\in GL(V)), ให้ (X={\Lambda X_0\mid \Lambda\in GL(V)})
  • วัตถุนี้มองได้เป็น (GL(V))-torsor
• การดำเนินการย้อนกลับของ log จึงตีความได้เป็น span ซึ่งใช้สร้างปริภูมิเวกเตอร์กลับจากฐาน
  • (\span_K(X)=K^X=V)
• การตีความนี้มีการใช้สัญกรณ์เกินความหมายอยู่มาก และยังไม่แน่ว่าเป็นวิธีที่ดีที่สุด แต่ก็ชวนให้คิดว่า (\dim) และ (\span) เป็นสิ่งคล้าย (\log) และ (\exp) ในพีชคณิตเชิงเส้น
• จากมุมมองของ log ที่ไม่มีฐาน ยังอาจตีความ (\log K) เองว่าเป็น “ฐานของ (K)” ได้ด้วย แต่ประเด็นนี้ถูกทิ้งไว้เป็นการอภิปรายที่เป็นนามธรรมยิ่งขึ้นในภายหลัง

ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันกับ log

• บทความมองขั้นตอนการยกระดับการคำนวณเชิงเลขไปเป็นการคำนวณบนเซตว่าใกล้เคียงกับสิ่งที่เรียกว่า “setification”
  • การบวก การคูณ และการยกกำลังของจำนวนธรรมชาติ สอดคล้องกับ disjoint union, ผลคูณของเซต และเซตของฟังก์ชันตามลำดับ
  • สำหรับเซตจำกัด cardinality รักษาการดำเนินการเหล่านี้ได้ดี
• เช่น เมื่อ (A={a,b}), (X={x,y}) แล้วขยาย ((a+b)^{x+y}) จะสามารถลิสต์ฟังก์ชัน 4 ตัวจาก (X\to A) ออกมาเป็นแต่ละพจน์ได้
  • (a^xb^y) ตีความได้เหมือนฟังก์ชันที่ (x\mapsto a), (y\mapsto b)
  • ถ้ากำหนดตัวแปรบางตัวเป็น (0) หรือ (1) ก็จะทำงานคล้ายการประเมินค่าฟังก์ชันหรือการจำกัดโดเมน
• แฟกทอเรียลและการจัดหมู่ก็สามารถมองคล้ายกันได้ โดยแจกแจง permutation และ combination ออกมาเป็นพจน์
• ปกติฟังก์ชัน (f:X\to A) ถูกจำลองเป็นความสัมพันธ์ ({(x,f(x))\mid x\in X}) แต่ (a^xb^y) เองเป็นฟังก์ชันหนึ่งตัว จึงมี cardinality เท่ากับ 1
• (\log f ? x\log a+y\log b) ดูคล้ายการแทนฟังก์ชันในรูปความสัมพันธ์ แต่ส่วนนี้ยังอธิบายได้ไม่เป็นระบบพอ

ความเป็นโคแวเรียนต์ทั่วไปและบทสรุป

• การอภิปรายทั้งหมดมุ่งที่กรณีง่ายซึ่งมอง log เป็น isomorphism ที่เปลี่ยนการเขียนแบบคูณให้เป็นแบบบวก
  • กรณีที่ซับซ้อนกว่า เช่น complex logarithm หรือ matrix logarithm ไม่ได้อยู่ในขอบเขตของการอภิปรายนี้
• การดำเนินการทางคณิตศาสตร์หลายอย่าง เช่น (\dim), (\nu_p), และอนุพันธ์รวม มีโครงสร้างที่เหมือนหรือใกล้เคียงกับ log
• ความเชื่อมโยงเหล่านี้มีด้านที่คล้าย “numerology” อยู่บ้าง แต่ก็เป็นระเบียบสวยงามเกินกว่าจะมองข้ามได้
• โครงสร้างคล้ายกันนี้ยังปรากฏในคณิตศาสตร์ของฟิสิกส์ โดยเฉพาะรูปแบบตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม และฟิสิกส์เองก็เป็นข้อจำกัดต่อสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์และการเลือกพิกัด
• general covariance คือแนวคิดที่ว่าคุณสมบัติของวัตถุต้องไม่ขึ้นกับการเลือกพิกัด และ log ที่ไม่มีฐานก็อาจมองได้ว่าเป็นตัวอย่างของความพยายามแยก isomorphism ระหว่างรูปแบบเชิงคูณกับเชิงบวก ออกจากการเลือกหน่วย

[GN⁺]

ความเห็นจาก Hacker News

• ลอการิทึมที่ไม่มีฐาน ตรงนี้ก็คือ torsor เฉยๆ [0]
  สิ่งอย่างตำแหน่ง มูลค่าสกุลเงิน หรือวันที่ในปฏิทิน ก็อาจมองเป็น torsor ได้เช่นกัน ตัวค่าเองเป็นสิ่งที่กำหนดขึ้นตามอำเภอใจ และต่อให้เลื่อนขนานไปเท่าใดหรือเปลี่ยนสเกล ก็ไม่ทำให้หน้าที่เชิงการใช้งานเปลี่ยนไป การใช้ torsor ทำให้เราพูดถึงสิ่งเหล่านี้ได้โดยไม่ต้องเลือกสิ่งกำหนดตามอำเภอใจเหล่านี้ล่วงหน้า
  สำหรับลอการิทึมที่ไม่มีฐาน เซตฐานคือ “หน่วยของข้อมูล” โดย log 2 คือ bit, log e คือ nat, log 10 คือ digit และตัวคูณแปลงหน่วยจะก่อเป็นกรุปของ torsor การเลือกหน่วยใดหน่วยหนึ่งให้พิเศษ ก็เป็นเพียงการทำให้ torsor กลายเป็นแบบ trivial เท่านั้น
  สัญกรณ์การหารเวกเตอร์ก็ encode g-torsor ในแบบเดียวกับหน่วยความยาวทุกประการ
  ตัวอย่างทั้งหมดจนถึงตอนนี้เป็น torsor ของกรุปอาเบเลียน แต่ถ้าจะระบุตำแหน่ง ต้องเลือกทั้งจุดกำเนิดและหน่วยความยาว กรูปของ torsor นี้จึงเป็น semidirect product ที่เหมาะสมของการเลื่อนขนานกับการสเกล และกลายเป็นกรุปไม่อาเบเลียน
  คนส่วนใหญ่มักเลือก trivialization แบบปริยายแล้วใช้งาน จึงเกิดความสับสนที่เอาวัตถุกับการดำเนินการบนวัตถุนั้นไปปะปนกัน เช่น เอาเวกเตอร์ในฐานะตำแหน่งไปปนกับเวกเตอร์ในฐานะการเลื่อนขนาน จุดนี้ผู้เขียนก็พูดถึงไว้ในบทความเรื่องปัญหาของ geometric algebra [1]
  [0]:https://math.ucr.edu/home/baez/torsors.html
  [1]:https://alexkritchevsky.com/2024/02/28/geometric-algebra.htm...

  • การตั้งชื่อแนวคิดคณิตศาสตร์นี้ว่า torsor เป็นการตัดสินใจที่แย่มาก ไม่ได้เห็นชัดเลยว่ามันเกี่ยวอะไรกับความหมายดั้งเดิมของคำ และในกลศาสตร์ดั้งเดิม คำนี้ก็ถูกใช้มานานแล้วในความหมายที่ต่างออกไปโดยสิ้นเชิง คือปริมาณที่ต้องเป็นศูนย์เพื่อให้วัตถุแข็งเกร็งคงสมดุลได้ (คู่ของแรงลัพธ์รวมกับทอร์กรวม)
    น่าเสียดายที่คณิตศาสตร์มีธรรมเนียมยาวนานในการนำคำทั่วไปมาใช้ซ้ำเป็นชื่อของแนวคิดที่ไม่เกี่ยวกับความหมายเดิมเลย จึงทำให้แม้แต่หนังสือหรือบทความคณิตศาสตร์ที่พูดเรื่องพื้นๆ ก็ยังอ่านประโยคไม่รู้เรื่องได้ ถ้าไม่คุ้นกับศัพท์เฉพาะของสาขาย่อยนั้น
  • ผมรู้จัก torsor อยู่แล้ว แต่ไม่เคยนึกเชื่อมโยงมาถึงตรงนี้ จริงๆ ก็ไม่ได้รู้สึกว่าคำนี้มีประโยชน์มากนัก ถึงจะรู้ว่า torsor คืออะไรก็ยังรู้สึกว่าคิดตามได้ยากอยู่ดี แต่ก็ดูเหมือนว่าผมควรทำความคุ้นเคยกับแนวคิดนี้ให้มากขึ้น
    ในคอมเมนต์อื่นตรงนี้ มีคนเรียก ลอการิทึมเชิงฐาน ของผมว่า “GL(V)-torsor” ซึ่งกระชับกว่าวิธีที่ผมพยายามเขียนอธิบายยืดยาวด้วยตัวเองมาก
    ไม่ว่าจะเรียกด้วยศัพท์อะไร ผมไม่เคยเห็นการคิดเรื่องลอการิทึมในมุมนี้มาก่อน จึงรู้สึกว่าน่าสนใจ

• ลอการิทึม ยอดเยี่ยมมาก เมื่อก่อนผมเริ่มเปิดดูตำราคณิตศาสตร์ยุคทศวรรษ 1920 แล้วพบว่าการคำนวณทั้งหมดพึ่งพาตารางลอการิทึม ทุกอย่างทำโดยแปลงตัวเลขเป็นลอการิทึมจากตาราง เพื่อลดลำดับของการคำนวณ แล้วค่อยแปลงกลับเป็นรูปปกติ
  แม้แต่การหาค่าอย่างรากที่สามก็ลดให้กลายเป็นการหารได้ และถ้าแปลงเป็น log-log ก็ย่อลงไปเป็นการลบได้อีก ก่อนจะแปลงกลับเป็นสัญกรณ์เดิม ถ้าลองทำด้วยมือจะรู้สึกเหมือนใช้วาร์ปโฮลวิเศษ มันเจ๋งมากจริงๆ

  • เวอร์ชันทางกายภาพของวาร์ปโฮลวิเศษนั้นก็คือ ไม้บรรทัดคำนวณ
  • ถ้ามี PDF ก็คงดี ผมชอบหนังสือเก่าๆ แบบนี้
  • อยากรู้ว่าจะบอกชื่อหนังสือเล่มนั้นได้ไหม
  • จนถึงช่วงปี 2010 โรงเรียนก็ยังใช้การคำนวณด้วยมือและ ตารางลอการิทึม ในการสอบอยู่ เพราะไม่อนุญาตให้ใช้เครื่องคิดเลข
    ในการสอบมักมีโจทย์สักหนึ่งหรือสองข้อที่จำเป็นต้องใช้ตารางลอการิทึม เช่น เปลี่ยนการหารให้เป็น lookup(a)-lookup(b) แล้วค่อยหาค่า antilog ของผลลัพธ์นั้นอีกที กล่าวคือไปเปิดจากตาราง exp

• The Lost Art of Logarithms ของ Charles Petzold อ่านสนุกมาก เป็นงานที่ยังเขียนไม่เสร็จ
  https://www.lostartoflogarithms.com/

  • งานเขียนของ Charles Petzold ชัดเจนและลุ่มลึกเสมอ

• แนวคิดเดียวกันนี้ยังปรากฏใน ฟิสิกส์ ด้วย ในฟิสิกส์ควอนตัม แอ็กชัน S ปรากฏเป็นปริมาณคล้ายลอการิทึมที่อยู่เบื้องหลังแอมพลิจูด e^iS/(h^bar)
  ในกลศาสตร์สถิติ เอนโทรปีคือค่าลอการิทึมของจำนวนไมโครสเตตที่เป็นไปได้ Omega: S = log(Omega)
  แม้จะเป็นแนวคิดที่มาจากสาขาฟิสิกส์คนละแขนง แต่ทั้งคู่สะท้อนหลักการเดียวกัน คือใช้ลอการิทึมเพื่อเปลี่ยนความสัมพันธ์แบบคูณให้เป็นความสัมพันธ์แบบบวก

• สำหรับคำถามว่า “ถ้ามีลอการิทึมแบบไม่มีฐาน log(N) แล้วจะมี ‘เลขยกกำลังแบบไม่มีฐาน’ ด้วยไหม?” คำตอบคือในพีชคณิตแบบตรงไปตรงมาก็พอเป็นไปได้
  ถ้าเอา base ออกจาก log(x,base) ได้ ก็เอา base ออกจาก pow(base,x) ได้เหมือนกัน เนื่องจาก bits=log(2) จึงได้ว่า pow(bits)=2 ด้วย ดูเหมือนจะเชื่อมโยงกับแนวคิดแบบย้อนกลับอย่างอินทิกรัลได้ด้วย
  ถ้าลองเล่นกับสัญลักษณ์สนุก ๆ จะได้ว่า:
  log(freq) = pitch
freq = pow(pitch)
octave = log(2)
400*Hz = 100*Hz*4 // ความถี่ 400 Hz เป็น 4 เท่าของ 100 Hz
log(400*Hz) = log(100*Hz) + log(4)
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*log(2)
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octave
log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octave // ระดับเสียงของ 400 Hz สูงกว่า 100 Hz อยู่ 2 อ็อกเทฟ
cent = log(2)/1200
A4 = log(440*Hz)
B4 = A4 + 200*cent // ระดับเสียงของ B4 สูงกว่า A4 อยู่ 200 เซนต์
B4 = log(440*Hz) + 200*log(2)/1200
B4 = log(440*Hz) + log(2^(2/12))
B4 = log(440*Hz * 2^(2/12))
pow(B4) = 493.883 Hz // ความถี่ของ B4 คือ 493.883 Hz
  ผมชอบสัญชาตญาณที่สัญกรณ์ลอการิทึมแบบไม่มีฐานให้ออกมา และมันยังช่วยเลี่ยงการต้องเลือกจุดอ้างอิงเฉพาะด้วย จะเลือกฐานใดฐานหนึ่งเพื่อคำนวณตรง ๆ ก็ได้เช่นกัน:
  pow(log(440*Hz) + 200*log(2)/1200)
exp(ln(440) + 200*ln(2)/1200)

  • ถ้าใช้แบบนี้ ก็น่าจะใส่หน่วยจริงให้กับ เดซิเบล ได้ด้วย
    dB_P = log(10)/10
dB_F = log(10)/20
log(10*V) = log(V) + 20*dB_F // ระดับของ 10 V สูงกว่าระดับกำลังของ 1 V อยู่ 20 dB
SPL = 20*10^-6 * Pa
hearing_damage = log(SPL) + 90*dB_F // ความเสียหายต่อการได้ยินเกิดขึ้นที่เกิน SPL ไป 90 dB_F (ละเลย A-weighting)
pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*dB_F))
pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*log(10)/20))
pow(hearing_damage) = SPL*pow(90*log(10)/20))
pow(hearing_damage) = SPL*31622.7766 // ความดันที่ทำให้เกิดความเสียหายต่อการได้ยินสูงกว่า SPL อยู่ 31622 เท่า
pow(hearing_damage) = 0.632455532 Pa // ความดันที่ทำให้เกิดความเสียหายต่อการได้ยินมากกว่า 0.632 Pa
    มีประโยชน์มากจริง ๆ ลองจินตนาการได้เลยว่าจะรวมรายชื่อคำต่อท้ายเดซิเบลที่ชวนปวดหัวให้เป็นสัญกรณ์แบบเดียวกันได้อย่างไร ถ้าเขียน log ก่อน ตำแหน่งของ + หรือ - ก็ยังคงเดิม
    log(reference_unit) + value*dB_F (or dB_P)
log(reference_unit) - value*dB_F (or dB_P)
    https://en.wikipedia.org/wiki/Decibel#List_of_suffixes
  • ใช่เลย เราน่าจะ เคอร์รีฟาย การยกกำลัง แล้วเรียกมันว่าเลขยกกำลังแบบไม่มีฐานได้เหมือนกัน แต่ผมยังหาสัญกรณ์ที่ดูสะอาดตาไม่ได้

• โพสต์นี้ต้องการ ระบบชนิดข้อมูล ทุกครั้งที่เขียนว่า “log” คุณต้องบอกว่ามันเป็นลอการิทึมของอะไร และลอการิทึมไปยังที่ไหน
  คล้ายกับเวลาคนในวงการออดิโอพูดแค่ว่า “dB” แล้วทำเหมือนตอบคำถามต่อไปนี้ครบแล้ว ทั้งที่ยังไม่ได้บอกว่ามันอ้างอิงกับอะไร วัดอย่างไร หรือใช้การถ่วงน้ำหนักที่ปรับให้เข้ากับใคร
  ผู้เขียนควรกลับไปอ่าน https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_theory อีกรอบ

  • คุณสมบัติสำคัญของลอการิทึมเป็นเรื่องของ โครงสร้าง มากกว่า เว้นแต่เวลาคำนวณค่าจริง ๆ โดยปกติเราจึงไม่ค่อยสนใจหน่วยหรือฐานเท่าไร
    อย่างที่ในบทความคลี่คลายแบบไม่เป็นทางการแต่ก็พอเพียงอยู่บ้าง สูตรเปลี่ยนฐานแสดงให้เห็นว่าการเลือกฐานมักไม่สำคัญนัก ลอการิทึมที่ใช้ฐานต่างกันถือว่าเทียบเท่ากันได้ถึงระดับคูณด้วยค่าคงที่
    อนุกรมเทย์เลอร์ของ exp ให้คำนิยามของฟังก์ชันยกกำลังที่เป็นเนื้อแท้และทั่วไปกว่าด้วย ดังนั้นเมื่อเงื่อนไขการลู่เข้าที่เหมาะสมเป็นจริง เราจึงขยาย exp ไปเชิงโครงสร้างยังสภาพแวดล้อมเชิงพีชคณิตหลายแบบได้ เช่น เลขยกกำลังเชิงซ้อนกับลอการิทึมหลายค่าแบบต่าง ๆ ของมัน หรือเลขยกกำลังของเมทริกซ์
  • ผมยังไม่เข้าใจอยู่ดีว่าทำไมในงานออดิโอ dB ถึงเป็นค่าติดลบ มันอ้างอิงกับอะไร? ที่ 0dB เกิดอะไรขึ้น?
  • ในย่อหน้าแรกผู้เขียนอธิบายไว้อย่างละเอียดว่ามอง log N แบบไม่มีฐานเป็น วัตถุเชิงนามธรรม ไม่ใช่ตัวเลข หรือคุณกำลังหมายถึงส่วนอื่น?

• สิ่งที่เกิดขึ้นใน ลอการิทึมเชิงซ้อน ดูจะโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับลอการิทึมที่ให้ผลลัพธ์เป็นเซตของฐานทั้งหมดที่เป็นไปได้ของปริภูมิเวกเตอร์
  ลอการิทึมเชิงซ้อนสร้าง Z-torsor ส่วนลอการิทึมของฐานสร้าง GL(V)-torsor น่าจะมีวิธีอธิบายว่าการเลือก branch cut เป็นส่วนหนึ่งของการเลือกฐานของลอการิทึมเชิงซ้อน และในทำนองเดียวกัน การเลือกฐานเฉพาะก็น่าจะมองได้ว่าเป็นส่วนหนึ่งของการเลือกฐานในลอการิทึมของฐานปริภูมิเวกเตอร์

  • น่าสนใจ ผมไม่เคยคิดเลยว่าทั้งสองอย่างเป็นเพียงสองกรณีของปรากฏการณ์เดียวกัน ถึงอย่างนั้นฝั่งการวิเคราะห์เชิงซ้อนก็ยังรู้สึกว่าเข้าใจได้ยากอยู่ดี

• คำว่า "ลอการิทึมไร้ฐาน" นั้นจริง ๆ แล้วฟังไม่เข้าท่า และการใช้มันถือเป็นความผิดพลาดใหญ่
  ถึงอย่างนั้น ผู้เขียนต้นฉบับก็พูดถูกในส่วนที่ว่าลอการิทึมเป็นปริมาณทางกายภาพชนิดหนึ่งเหมือนความยาว พื้นที่ หรือปริมาตร และการเลือกสิ่งที่เรียกว่า "ฐาน" ก็คือการเลือกหน่วยวัดของลอการิทึม
  ลอการิทึมปรากฏอยู่ในสมการมิติของปริมาณทางกายภาพที่อนุมานได้หลายชนิด ตัวอย่างเช่น เมื่อต้องอธิบายการลดทอนหรือการขยายของคลื่นระหว่างการแพร่กระจาย ก็จะใช้ปริมาณอย่างลอการิทึมต่อความยาว หรือลอการิทึมต่อเวลา
  หากเปลี่ยน "ฐาน" ของลอการิทึม ค่าตัวเลขของปริมาณอนุมานทั้งหมดก็จะเปลี่ยนไปในแบบเดียวกับการเปลี่ยนหน่วยวัดพื้นฐานอย่างความยาวหรือเวลาอย่างตรงตัว
  สำหรับปริมาณทางกายภาพใด ๆ ก็ตาม ค่าที่สมบูรณ์ของลอการิทึมเป็นอิสระจากหน่วยวัดเสมอ เพราะมันคือผลคูณของค่าตัวเลขกับหน่วยวัด เมื่อเปลี่ยนหน่วยวัด ค่าตัวเลขและหน่วยก็จะเปลี่ยนไปพร้อมกัน แต่ผลคูณยังคงเดิม กล่าวคือ ไม่ว่าจะคำนวณค่าตัวเลขด้วยฐานใด ลอการิทึมก็ยังสอดคล้องกับอัตราส่วนเดียวกัน
  ปัจจุบัน หน่วยของลอการิทึมมักเลือกจาก octave (ลอการิทึมฐานสอง), neper (ลอการิทึมไฮเพอร์โบลิก), หรือ bel (ลอการิทึมฐานสิบ)
  หน่วยวัดของลอการิทึมไม่ใช่ตัวฐานเอง แต่เป็นลอการิทึมของฐานนั้น ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ค่า "e" ซึ่งเป็นฐานของลอการิทึมไฮเพอร์โบลิก จึงไม่จำเป็นต่อการคำนวณใด ๆ เลย ค่าที่จำเป็นมีเพียง "ln 2" หรือค่ากลับกันของมันคือ "log2 e" ซึ่งใช้แปลงค่าตัวเลขของลอการิทึมระหว่างหน่วยวัดที่สอดคล้องกับลอการิทึมฐานสองและลอการิทึมไฮเพอร์โบลิก (ที่มักเรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติ แต่ลอการิทึมไฮเพอร์โบลิกก็ไม่ได้ "เป็นธรรมชาติ" มากกว่าลอการิทึมแบบอื่น)

  • จะบอกว่า "ลอการิทึมไร้ฐาน" ไม่มีความหมายก็ไม่ถูกนัก เมื่อมีสิ่งต่อไปนี้กำหนดไว้:
    d(logₐx)/dx = 1/(x log(a))
    ลอการิทึมไร้ฐานก็เป็นเพียงตระกูลของฟังก์ชันที่มีสมบัติคล้ายกัน ผู้เขียนอาจจะสื่อชัดกว่านี้ถ้าใช้คำว่า "สมบัติของลอการิทึม" แทน "ลอการิทึมไร้ฐาน" แต่การไปจับผิดจุดนี้ก็ค่อนข้างเป็นการหาเรื่องและชวนถกเถียงเกินไป
    ส่วนประเด็นที่ว่าพอเปลี่ยนฐานแล้วตัวเลขเปลี่ยนไป ก็อดสงสัยไม่ได้ว่าได้เรียนพีชคณิตเชิงเส้นขั้นสูง หรือให้เฉพาะเจาะจงกว่านั้นคือ เทนเซอร์ มาหรือไม่ แก่นของเทนเซอร์คือมันกระทำต่อวัตถุในลักษณะเดียวกันโดยไม่ขึ้นกับฐาน กล่าวอีกอย่างคือ ถ้า a และ b เป็นตัวแทนของวัตถุเดียวกันภายใต้ฐานที่ต่างกัน เมื่อ T(x) เป็นเทนเซอร์ T(a) และ T(b) ก็ย่อมสมมูลกัน
    ประเด็นสำคัญคือ ตัวเลขใด ๆ ล้วนเป็นสิ่งที่เลือกขึ้นมาโดยพลการ และมันไม่ได้เป็นตัวกำหนดโครงสร้างพื้นฐาน ผู้เขียนกำลังพูดถึง โครงสร้างของลอการิทึม อยู่ตรงนี้
    นั่นจึงเป็นเหตุผลที่ในพีชคณิตเชิงเส้นเราต้องเรียนเรื่องฐานที่ต่างกันและการแปลงระหว่างฐาน ด้วยเหตุผลเดียวกัน พิกัดเชิงขั้วและพิกัดคาร์ทีเซียนที่เรียนกันในมัธยมก็เช่นกัน มันคือกระบวนการเตรียมให้เรียนรู้เรื่องโครงสร้าง และเมื่อไปถึงทฤษฎีกลุ่ม ก็จะได้เรียนว่าถ้ากลุ่ม A และ B เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน ก็แปลว่ามีโครงสร้างทางคณิตศาสตร์เดียวกัน
    แม้ว่าตัวเลขจะเปลี่ยนไปก็ตาม

• ไม่อยากเชื่อเลยว่ามีการเรียกลอการิทึมทั่วไปว่า "based"

• ถ้าทั้งหมดนี้ช่วยแสดงข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์ใหม่ ๆ ได้จริง มันคงน่าสนใจกว่านี้มาก ตอนนี้มันใกล้เคียงกับ การเล่นกับสัญกรณ์ มากกว่า

  • ผมมองว่าข้อเท็จจริงใหม่ ๆ ทฤษฎีบทใหม่ ๆ และบทพิสูจน์ใหม่ ๆ ถูกยกคุณค่าสูงเกินไปพอสมควร ต่อให้ค้นพบข้อเท็จจริงใหม่ได้หนึ่งอย่าง มันก็มักเป็นแค่อีกชิ้นหนึ่งที่ถูกโยนเข้าไปในกองข้อเท็จจริงมหึมาที่แทบไม่ได้ใช้ ประโยชน์ที่แท้จริงของความก้าวหน้าในคณิตศาสตร์มาจากความพยายามแบบ refactoring ที่ทำให้สิ่งต่าง ๆ เรียบง่ายและเข้าใจได้โดยสัญชาตญาณมากขึ้น
    ไม่ได้หมายความว่าบทความนี้เป็นแบบนั้นแน่ ๆ แต่ผมคิดว่าสถานการณ์ตอนนี้ใกล้กับการที่เรามีข้อเท็จจริงมากเกินไป และขาดมุมมองเรียบง่ายที่ทำให้มันใช้ประโยชน์ได้และเข้าถึงได้ง่าย มากกว่าจะขาดข้อเท็จจริง
    แน่นอนว่านี่เป็นความเห็นส่วนตัว
  • ผมอ่านบทความประเภทนี้ในฐานะส่วนหนึ่งของกระบวนการที่ความคิดใหม่กำลังก่อตัวขึ้น มันคือการทำ pattern matching ในวงกว้าง โดยกางกรณีหลายแบบที่คล้ายกันออกมา แล้วพยายามหาพื้นฐานแก่นแท้ของความคล้ายคลึงนั้น
    การเผยแพร่รูปแบบเหล่านั้นออกมาอาจทำให้กระบวนการคิดกระจายตัวได้ และอาจมีคนอื่นมองเห็นอินไซต์ก็ได้