หลังผ่านไป 20 ปี คู่รักนักคณิตศาสตร์แก้ข้อคาดการณ์ McKay ในทฤษฎีกรุปได้สำเร็จ
(quantamagazine.org)- Britta Späth และ Marc Cabanes พิสูจน์ ข้อคาดการณ์ McKay ซึ่งเป็นปัญหาใหญ่ที่ยังไม่คลี่คลายในทฤษฎีกรุปได้สำเร็จ ช่วยเปิดทางให้เข้าใจกรุปจำกัดที่ซับซ้อนผ่านกรุปย่อยที่เล็กกว่ามาก
- ข้อคาดการณ์นี้เริ่มจากความสอดคล้องที่ไม่คาดคิดว่า กรุปจำกัดกับ Sylow normalizer ภายในกรุปนั้นมีจำนวน representation บางชนิดเท่ากันพอดี
- หลังการจัดจำแนกกรุปจำกัดเสร็จสมบูรณ์ในปี 2004 Isaacs, Navarro และ Malle ได้ลดทอนปัญหาให้เป็นข้อความที่เข้มกว่าเดิมสำหรับชุดกรุปที่แคบลง และอุปสรรคสุดท้ายคือ กรุปชนิด Lie
- Späth และ Cabanes จัดการกรุปชนิด Lie ทั้งสี่หมวดทีละลำดับ และหลังจากเหลือเพียงหมวดสุดท้ายในปี 2018 ก็ใช้เวลาเพิ่มอีก 6 ปีเพื่อตรวจสอบกฎการจับคู่ representation ที่จำเป็น
- ตอนนี้นักคณิตศาสตร์สามารถศึกษาสมบัติสำคัญของกรุปผ่าน Sylow normalizer ที่จัดการได้ง่ายกว่า แต่ยังไม่มีคำอธิบายว่าทำไมสับเซตเล็ก ๆ จึงบรรจุข้อมูลของกรุปใหญ่ได้มากถึงเพียงนี้
ข้อคาดการณ์ McKay กล่าวไว้อย่างไร
- ข้อคาดการณ์ McKay เริ่มจากความสอดคล้องเชิงตัวเลขที่ John McKay ค้นพบในทศวรรษ 1970
- วัตถุที่ศึกษา คือ กรุปจำกัด (finite group) ซึ่งมีจำนวนสมาชิกจำกัด
- กรุปเป็นวัตถุนามธรรมที่แสดงสมมาตรของระบบทางคณิตศาสตร์
- เมื่อจำนวนสมาชิกเพิ่มขึ้นและโครงสร้างซับซ้อนขึ้น การศึกษาทั้งกรุปโดยตรงก็ยากขึ้น
- McKay มองว่าสามารถได้ข้อมูลสำคัญแม้ดูเพียงส่วนเล็ก ๆ ของกรุปเดิม
- โดยเฉพาะเขาให้ความสนใจกับ Sylow normalizer ซึ่งเป็นกรุปที่เล็กกว่าแบบพิเศษภายในกรุปเดิม
- Sylow normalizer อาจมีสมาชิกเพียงส่วนน้อยมากของกรุปเดิม และโครงสร้างก็อาจต่างจากกรุปเดิมอย่างมาก
- แก่นของข้อคาดการณ์คือ จำนวน representation บางชนิดในกรุปจำกัดเดิมและใน Sylow normalizer เท่ากันพอดี
- representation คือวิธีเขียนสมาชิกของกรุปใหม่ในรูปเมทริกซ์
- จำนวนนี้ใช้เพื่อทำความเข้าใจว่าสมาชิกของกรุปเกี่ยวข้องกันอย่างไร และใช้คำนวณสมบัติสำคัญอื่น ๆ
ทำไมความสอดคล้องนี้จึงน่าทึ่ง
- ความสอดคล้องที่ McKay เห็นไม่ใช่เพียงค่าประมาณหรือแนวโน้ม แต่เป็น ความเท่ากันอย่างแม่นยำ
- ตัวอย่างเช่น กรุปที่มีสมาชิก 72 ตัวสามารถแยกได้เป็น 2³ × 3²
- อาจพิจารณากรุปย่อยที่มีสมาชิก 8 ตัว หรือกรุปย่อยที่มีสมาชิก 9 ตัว
- จากนั้นเพิ่มสมาชิกบางตัวเข้าไปเพื่อสร้าง 2-Sylow normalizer และ 3-Sylow normalizer
- ไม่มีเหตุผลที่ชัดเจนว่าทำไมโครงสร้างเล็ก ๆ เหล่านี้จึงมีจำนวน representation เท่ากับทั้งกรุปเดิมพอดี
- Gabriel Navarro เปรียบสิ่งนี้กับสถานการณ์ที่สัดส่วนคะแนนเสียงในการเลือกตั้งทั่วสหรัฐฯ กับสัดส่วนคะแนนเสียงในเมืองเล็ก ๆ แห่งหนึ่งของรัฐมอนแทนา ไม่ได้แค่ “ใกล้เคียงกัน” แต่ เท่ากันพอดี
- หากข้อคาดการณ์เป็นจริง นักคณิตศาสตร์จะสามารถศึกษาสมบัติของกรุปผ่าน Sylow normalizer ที่จัดการง่ายกว่า แทนกรุปจำกัดที่ใหญ่กว่าได้
ทฤษฎีบทการจัดจำแนกและการลดทอนปัญหา
- โครงการขนาดใหญ่เพื่อจัดจำแนกบล็อกประกอบทั้งหมดของกรุปจำกัดดำเนินต่อเนื่องมากว่า 100 ปี และเสร็จสมบูรณ์ในปี 2004
- บล็อกประกอบทั้งหมดอยู่ในหนึ่งในสามหมวด หรืออยู่ในรายชื่อข้อยกเว้น 26 รายการ
- นักคณิตศาสตร์คาดการณ์กันมานานว่าการจัดจำแนกนี้จะช่วยทำให้ปัญหาอย่างข้อคาดการณ์ McKay ง่ายลงได้
- ในปี 2004 Marty Isaacs, Gabriel Navarro และ Gunter Malle พบวิธีเปลี่ยนข้อคาดการณ์ McKay ให้เป็นข้อความที่เข้มกว่าเดิมเกี่ยวกับชุดกรุปที่แคบลง
- ไม่ใช่แค่จำนวน representation ต้องเท่ากัน แต่ representation เหล่านั้นต้องจับคู่กันตามกฎเฉพาะด้วย
- หากข้อความที่เข้มกว่านี้เป็นจริงสำหรับกรุปเหล่านั้น ข้อคาดการณ์ McKay สำหรับกรุปจำกัดทั้งหมดก็จะตามมา
- การลดทอนนี้ถูกใช้เพื่อแก้กรณีส่วนใหญ่ของข้อคาดการณ์ McKay ในช่วงไม่กี่ปีต่อมา
- วิธีเดียวกันยังทำหน้าที่เป็น พิมพ์เขียว สำหรับลดทอนข้อคาดการณ์อื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งศึกษาทั้งหมดผ่านบางส่วนแทนที่จะศึกษาวัตถุทั้งหมด
กรุปชนิด Lie ซึ่งเป็นโจทย์ยากข้อสุดท้าย
- แม้หลังการลดทอนแล้ว กลุ่มหนึ่งคือ กรุปชนิด Lie (groups of Lie type) ยังคงเป็นปัญหาเปิดอยู่
- กรุปชนิด Lie มีความสำคัญทางคณิตศาสตร์ เพราะเป็นบล็อกประกอบที่พบบ่อยที่สุดของกรุปอื่น ๆ แต่ representation ของมันศึกษายากมาก
- Späth ได้รู้จักข้อคาดการณ์ McKay ในปี 2003 ขณะเป็นนักศึกษาปริญญาเอกของ Malle ที่ University of Kassel
- หลังจากนั้นเธอศึกษาการแทนกรุปอย่างลึกซึ้งและผลักดันข้อคาดการณ์นี้ต่อไป
- ในปี 2010 Späth พบ Cabanes ที่ Paris Cité University
- Cabanes เป็นผู้เชี่ยวชาญชุดกรุปแคบ ๆ ที่อยู่ใจกลางของข้อคาดการณ์ McKay ที่ถูกลดทอนแล้ว
- ทั้งสองทุ่มเทกับปัญหานี้ร่วมกัน และ Cabanes เรียกมันว่า “ความหมกมุ่นของเรา”
- กรุปชนิด Lie มีสี่หมวด และ Späth กับ Cabanes ใช้เวลากว่า 10 ปีพิสูจน์แต่ละหมวดตามลำดับ
- ระหว่างทางพวกเขาตีพิมพ์ผลลัพธ์สำคัญหลายชิ้น
- พวกเขาดึงทฤษฎีที่ซับซ้อนจากคณิตศาสตร์หลายแขนงมาใช้ และพัฒนาความเข้าใจเชิงลึกเกี่ยวกับกรุปชนิด Lie
บทพิสูจน์สุดท้ายและคำถามที่ยังเหลืออยู่
- ในปี 2018 เหลือเพียงหมวดสุดท้ายจากสี่หมวดของกรุปชนิด Lie และการแก้กรณีสุดท้ายนี้ใช้เวลาเพิ่มอีก 6 ปี
- Späth และ Cabanes แสดงให้เห็นว่าแม้ในหมวดสุดท้าย จำนวน representation ก็ตรงกับ Sylow normalizer และยังเป็นไปตาม กฎการจับคู่ representation ที่จำเป็นด้วย
- เมื่อกรณีสุดท้ายเสร็จสิ้น ข้อคาดการณ์ McKay ทั้งหมดจึงเป็นจริงโดยอัตโนมัติ
- ทั้งสองนำเสนอบทพิสูจน์ในเดือนตุลาคม 2023 ต่อหน้านักคณิตศาสตร์กว่า 100 คน และอีก 1 ปีต่อมาได้เผยแพร่ทางออนไลน์
- Radha Kessar ประเมินว่านี่เป็น “ความสำเร็จที่เจิดจ้าอย่างแท้จริง”
- ตอนนี้นักคณิตศาสตร์สามารถศึกษาสมบัติสำคัญของกรุปโดยดูเพียง Sylow normalizer ได้
- เป็นแนวทางที่ง่ายกว่ากรุปเดิม
- อาจมีความเป็นไปได้ในการประยุกต์ใช้งานจริงด้วย
- อย่างไรก็ตาม เหตุใดสับเซตเล็ก ๆ จึงให้ข้อมูลเกี่ยวกับกรุปแม่ที่ใหญ่กว่าได้มากขนาดนั้นยังคงเป็นปริศนา
- Kessar กล่าวว่า “ต้องมีเหตุผลเชิงโครงสร้างที่ทำให้ตัวเลขเหล่านี้เท่ากัน”
- มีงานวิจัยเบื้องต้นบางส่วนแล้ว แต่ความเชื่อมโยงนี้ยังไม่เป็นที่เข้าใจ
- Späth และ Cabanes กำลังมองหาปัญหาถัดไปที่จะทุ่มเทให้
- Späth กล่าวว่ายังไม่มีอะไรดึงดูดเธอได้เท่ากับข้อคาดการณ์ McKay
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นบน Hacker News
ประโยคที่ว่า “การไล่ตามปัญหาที่ยากขนาดนี้แบบไม่วอกแวกมีความเสี่ยงที่จะเป็นผลเสียต่อเส้นทางอาชีพในวงวิชาการ แต่ Späth ก็ยังทุ่มเวลาทั้งหมดให้กับเรื่องนี้” ปรากฏอยู่ในแทบทุกบทความ น่าจะมีเหตุผลอยู่
ดีแล้วที่มี คนที่มุ่งมั่นไม่ลดละ แบบนี้ และอยากชนแก้วให้กับความเป็นไปได้เชิงโต้แย้งข้อเท็จจริงที่ไม่ได้ถูกกล่าวถึงเลยด้วย
จะทำตามกระบวนทัศน์ไปพร้อมกับเปลี่ยนกระบวนทัศน์ไม่ได้ ผมคิดว่าถ้าด้อยค่าบทบาทของม้ามืด เราจะเสียประโยชน์อย่างมาก กรณีที่ล้มเหลวมีมาก และอาจจะล้มเหลวเป็นส่วนใหญ่ แต่เมื่อคิดถึงผลกระทบแล้ว แค่สัดส่วนเล็ก ๆ ที่สำเร็จก็คุ้มค่าพอที่จะส่งเสริม
แต่ในความเป็นจริง คนมักห้ามไม่ให้ทำสิ่งที่สวนกระแสหลัก ด้วยเหตุผลอย่างความกลัวความล้มเหลว ในการวิจัยนั้นส่วนใหญ่ล้มเหลว แต่ความล้มเหลวที่ไม่ได้เรียนรู้อะไรต่างหากคือความล้มเหลวจริง ๆ ปัจจุบันการเผยแพร่ ผลลัพธ์เชิงลบ ทำได้ยากมาก จนความพยายามแบบนั้นลดลง และระบบก็ส่งเสริมงานวิจัยที่ “ปลอดภัย” ซึ่งโดยธรรมชาติย่อมเป็นแบบค่อยเป็นค่อยไปเท่านั้น ทั้งที่ขณะเดียวกันบทความจำนวนมากกลับถูกปฏิเสธเพราะ “ขาดความใหม่” นี่เป็นเรื่องย้อนแย้ง
สายตาตัดสินคงยังมีอยู่ แต่ก็เมินได้ ส่วนตัวคิดว่ารัฐบาลควรสนับสนุน งานวิจัยแบบ moonshot โดยบุคคลหรือทีมเล็ก ๆ ที่มีความเสี่ยงสูงและผลตอบแทนสูงให้มากกว่านี้ เพราะถ้ากระจายไปยังคนจำนวนมาก ความผันผวนจะลดลงและอาจมีผลงานออกมาได้ แต่ทิศทางเงินทุนวิจัยในสหรัฐฯ ตอนนี้ดูเหมือนกำลังไปทางตรงข้าม เลยไม่ค่อยมองโลกในแง่ดี
สุดท้ายเขาก็สำเร็จ และผมยกย่องผู้บริหารที่สนับสนุนเขามาโดยตลอด
ไม่ใช่ทุกคนที่ต้องอุทิศการมีอยู่ของตัวเองเพื่อเพิ่มโอกาสทางอาชีพให้สูงสุด ปล่อยเขาไปเถอะ
ชอบท่อนที่ว่า “เมื่อคู่สามีภรรยาคู่นั้นประกาศผลลัพธ์ เพื่อนร่วมงานต่างรู้สึกยำเกรง Persi Diaconis จาก Stanford University กล่าวว่า ‘ผมอยากให้มีขบวนพาเหรด หลังจากงานที่ยากจริง ๆ ยากจริง ๆ ยากจริง ๆ มาหลายปี เธอทำสำเร็จ และพวกเขาทำสำเร็จ’”
หนึ่งในสิ่งที่ผมชอบเวลาทำปัญหาด้านคอมบินาทอริกส์คือ การสนับสนุนเชิงบวก แบบนี้ คนอย่าง Persi Diaconis หรือ D.J.A. Welsh ใจดีมาก จนทำให้รู้สึกว่าสาขาทั้งหมดมีบรรยากาศต้อนรับมากขึ้น
และระลอกคลื่นนั้นจะสะท้อนกลับเข้ามาในตัวเราเป็นความสุขหรือสิ่งตรงข้าม ขึ้นอยู่กับเจตนาและการกระทำ
“Positive vibration, yeah.” --Bob Marley
ผมคิดว่า McKay conjecture พูดคร่าว ๆ ประมาณนี้
สมมติว่าเราอยากแทน กรุป หนึ่งด้วยเมทริกซ์จำนวนเชิงซ้อน โดยทั่วไปมีวิธีแบบนั้นได้หลายวิธี และแต่ละวิธีก็มี character ซึ่งเหมือนลายนิ้วมือของ representation นั้น
อีกด้านหนึ่ง เป็นที่รู้กันว่าทุกกรุปมีกรุปย่อยขนาดใหญ่บางตัวที่มีขนาดเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะ เรียกมันว่า P กรูปนี้มี normalizer ที่ทำให้ P เป็นกรุปย่อยปกติ และเรียกมันว่า N(P)
สิ่งที่น่าทึ่งคือ จำนวน character ของ G ทั้งหมด กับจำนวน character ของ N(P) ซึ่งเป็นเพียงส่วนเล็ก ๆ ของ G นั้นเท่ากัน
ในเชิงเทคนิค ทั้งสองกรณีจะไม่นับ representation ที่ degree เป็นพหุคูณของ p
น่าสนใจที่ conjecture นี้ถูกพิสูจน์ด้วย การวิเคราะห์เป็นกรณี ๆ และแต่ละกรณีก็ต้องใช้เทคนิคต่างกัน
มันดูแทบจะเหมือนเรื่องบังเอิญที่ finite group ทั้งหมดมีสมบัตินี้ เพราะแต่ละกรุปมีสมบัตินั้นด้วย “เหตุผล” ที่ต่างกัน
แต่ตามบทความ นักคณิตศาสตร์กำลังมองหา เหตุผลเชิงโครงสร้าง ที่ลึกกว่าว่าทำไม conjecture นี้ถึงเป็นจริง ตอนนี้เมื่อรู้แล้วว่าผลลัพธ์เป็นจริง นักคณิตศาสตร์จำนวนมากขึ้นก็สามารถลงมาจริงจังกับเรื่องนี้ได้
การแยกสิ่งที่เกี่ยวข้องออกเป็นกลุ่ม ๆ แล้วพิสูจน์ทีละกลุ่มเป็นเรื่องปกติ บางบทพิสูจน์ก็ง่าย แต่บางอันต้องใช้เทคนิคขั้นสูงกว่ามาก จนยังคงเป็นปัญหาเปิดอยู่หลายปี
บทความวิจัย: https://arxiv.org/abs/2410.20392
บังเอิญว่าหลังจากมันขึ้น HN เมื่อเร็ว ๆ นี้ ผมกำลังอ่านส่วน กรุป ของ Infinite Napkin อยู่พอดี
นิยามต่าง ๆ ก็พอเข้าใจ แต่ยังไม่ค่อยรู้สึกว่าทำไมกรุปถึงสำคัญเป็นแกนกลางขนาดนั้น
เช่น ในบทความบอกว่ามีกรุปอันดับ 72 อยู่ 50 แบบ และ ChatGPT บอกว่ามีแบบไม่สลับที่ 50 แบบกับแบบสลับที่ 5 แบบ แต่ผมไม่รู้ว่านี่เป็น insight สำคัญเกี่ยวกับอะไร
กรุปอันดับ 72 มีแบบ ไม่สลับที่ 44 แบบ และแบบ สลับที่ 6 แบบ ผมไม่ได้คิดว่าตัวเลขเฉพาะเหล่านี้สำคัญมหาศาล แต่ถ้าพูดถึงตัวเลขเอง อันนี้แหละถูก
ถ้ามีการดำเนินการที่ทำให้วัตถุหนึ่งไม่เปลี่ยนไป เช่น การหมุนสามเหลี่ยมด้านเท่าให้จุดยอดหนึ่งไปอยู่ตำแหน่งของอีกจุดยอดหนึ่ง การหมุนนั้นกลับทางได้ และการดำเนินการย้อนกลับก็ยังทำให้วัตถุไม่เปลี่ยนเช่นกัน การดำเนินการเหล่านั้นเมื่อประกอบกันก็ยังคงรักษาความไม่เปลี่ยนแปลงไว้ได้ และฟังก์ชันเอกลักษณ์ก็ปล่อยให้ทุกอย่างไม่เปลี่ยนเสมอ ดังนั้นการดำเนินการเชิงสมมาตรจึงก่อเป็นกรุป
จุดที่ยุ่งยากขึ้นอีกเล็กน้อยคือข้อเท็จจริงที่ว่ากรุปทุกกรุปเป็นเซตของการดำเนินการเชิงสมมาตรของบางสิ่งได้ ดังนั้นกรุปจึงจับแนวคิดเรื่องสมมาตรได้อย่างแม่นยำ สำหรับนักคณิตศาสตร์ “กรุป” กับ “สมมาตร” แทบจะเป็นคำพ้องความหมายกัน
กรุปจำกัดน่าสนใจเพราะมันบอกเราได้ถึงโครงสร้างโมเลกุล ระดับพลังงาน สเปกตรัม และความเป็นไปได้ในการเกิดพันธะ คล้ายกับสมมาตรที่หมุนอะตอมในโมเลกุลให้สลับตำแหน่งกัน ส่วนกรุปอนันต์ปรากฏในฟิสิกส์ในลักษณะ เช่น กฎฟิสิกส์ยังเหมือนเดิมแม้จะหมุนหรือเลื่อนพิกัดไปอย่างไรก็ได้ สมมาตรยังปรากฏเป็นวิธีศึกษาวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ด้วย และนักคณิตศาสตร์ก็อยากรู้ด้วยว่ากรุปที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีหน้าตาอย่างไร
แทบไม่มีใครพยายามอธิบายว่าทำไมจำนวนเฉพาะถึงเว้นระยะกันแบบนั้น แต่เมื่ออธิบายปรากฏการณ์บางอย่าง เราจะชี้ว่าสิ่งหนึ่งเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
เช่น มีสูตรสวย ๆ สำหรับแยกตัวประกอบพหุนามดีกรี 2 นั่นคือสูตรกำลังสอง และดีกรี 3 กับ 4 ก็มีสูตรเช่นกัน เพียงแต่โดยปกติไม่ได้ให้ท่องจำกัน แต่สำหรับดีกรี 5 ไม่มีสูตรแบบนั้น นักคณิตศาสตร์ใช้เวลาพิสูจน์ว่าสูตรเช่นนั้นไม่มีอยู่จริง โดยพิสูจน์ในทำนองว่า สูตรแบบนั้นจะต้องมีกรุปจำกัดที่เล็กกว่าขนาดหนึ่งรองรับอยู่เบื้องหลัง และเมื่อเราไล่รายการกรุปเหล่านั้นแล้วไม่พบกรุปที่สอดคล้องกับสูตรดีกรี 5 ดังนั้นสูตรดีกรี 5 ก็ไม่มี
ดังนั้นกรุปจึงมีประโยชน์เหมือน ความซับซ้อนดั้งเดิม บางอย่างที่อ้างถึงได้โดยไม่ต้องอธิบายละเอียด สมบัติของกรุปเล็ก ๆ ตรวจสอบด้วยมือได้ และพอรู้แล้วก็พบว่ามีหลายสิ่งทีเดียวที่ถ้ามองแบบนั้นก็จะก่อเป็นกรุป
เช่น ปัญหาที่กำลังดูอยู่นี้ สลับที่ หรือไม่? ถ้าใช่ มันก็จำเป็นต้องมีรูปแบบอย่าง X หรือ Y อะไรทำนองนั้น
บทพิสูจน์ของพวกเขา: https://arxiv.org/abs/2410.20392 (2024)
เป็น ความทุ่มเท ที่ยอดเยี่ยมจริง ๆ ผมชอบเรื่องราวส่วนตัวในบทความเป็นพิเศษ และไม่ใช่สิ่งที่เห็นได้เสมอในบทความสาย STEM
หวังว่าความสัมพันธ์ของทั้งสองจะปรับตัวได้ดีในความเป็นจริงใหม่ที่เป้าหมายหลักบรรลุแล้ว
ถ้าแสดงให้เห็นแต่ผลลัพธ์สุดท้าย มันจะทำให้ดูเหมือนว่าสำหรับพวกเขาแล้วมันง่าย จนอาจทำให้คนอื่นล้มเลิกแม้แต่จะพยายามทำความเข้าใจหรือมีส่วนร่วม โดยเฉพาะในคณิตศาสตร์ แนวคิดเองควรจะต้องเรียบง่าย เพราะเราไม่ใช่คนที่จะบวกอนุกรมอนันต์ในหัวได้แบบ Ramanujan เพียงแต่แนวคิดนั้นถูกซ่อนอยู่หลังศัพท์เทคนิคเชิงสัญลักษณ์จำนวนมาก
ทำให้นึกถึง abstract interpretation ที่ Patrick Cousot กับ Radhia Cousot คู่สามีภรรยาสร้างร่วมกัน [1]
เป็นเทคนิคที่มีประโยชน์ และผมเคยเรียนในวิชาการตรวจสอบแบบเป็นรูปนัย
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_interpretation
เป็นบทความที่ยอดเยี่ยมจริง ๆ
ทำให้ผมไปค้นงานที่เกี่ยวข้องอยู่หลายชั่วโมง และในนั้นก็มีงานของ John Conway ด้วย
เผื่อบอกไว้ ระดับคณิตศาสตร์ของผมอยู่ประมาณ BSEE แต่ผมก็มีหนังสือ The Algebraic Eigenvalue Problem อยู่เล่มหนึ่ง ซึ่งเป็นหนึ่งในหนังสือคู่มือที่อาจารย์มหาวิทยาลัยชอบใช้อ้างอิง และบางครั้งก็หยิบมาเปิดดูสั้น ๆ