สร้างจำนวนเต็มทุกจำนวนด้วยเลข 2 สี่ตัว

• ปริศนาการสร้างจำนวนเป้าหมายโดยใช้เพียงเลข 2 สี่ตัว จะขยายช่วงของค่าที่แสดงได้อย่างมากเมื่ออนุญาตให้ใช้ การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ มากขึ้น
• ใช้แค่การดำเนินการพื้นฐานทั้งสี่ก็สร้างได้ตั้งแต่ 1 ถึง 6 และถ้าเพิ่มเลขยกกำลัง แฟกทอเรียล และรากที่สอง ก็สามารถแสดงค่าอย่าง 18, 28, 256, 65536 ได้ด้วย
• หากอนุญาตให้ใช้สัญกรณ์ที่มอง 22 เป็นเลข 2 สองตัว, ฟังก์ชัน Gamma, อินทิกรัล ทศนิยมซ้ำ ตัวดำเนินการจัดหมู่ และจำนวนเชิงซ้อน วิธีแก้ก็จะหลากหลายขึ้นมาก
• คำตอบทั่วไปของ Paul Dirac ใช้ รากที่สองซ้อนกัน และลอการิทึมฐาน 2 เพื่อสร้างจำนวนธรรมชาติ n ใด ๆ โดย n ไม่ใช่ตัวเลขที่เขียนอยู่ในนิพจน์ แต่เป็นจำนวนครั้งที่ทำซ้ำรากที่สอง
• สูตรทั่วไปเดิมใช้เลข 2 เพียงสามครั้ง แต่ถ้าแทน 2 ด้วย √(2+2) ก็จะได้รูปแบบที่ใช้เลข 2 ครบสี่ตัวพอดี

---

ปริศนาเลข 2 สี่ตัวขยายได้อย่างไร

• กติกาคือใช้เลข 2 ให้ครบสี่ตัวร่วมกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เพื่อสร้างจำนวนธรรมชาติเป้าหมาย
• แค่การดำเนินการพื้นฐานทั้งสี่ในระดับประถม ก็สร้างจำนวนเล็ก ๆ ได้ทันที
  • 1 = (2+2)/(2+2)
  • 2 = 2/2 + 2/2
  • 3 = 2·2 - 2/2
  • 4 = 2+2+2-2
  • 5 = 2·2 + 2/2
  • 6 = 2·2·2 - 2
• ถ้าอนุญาตเลขยกกำลังและแฟกทอเรียล ช่วงที่แสดงได้จะกว้างขึ้นมาก
  • 18 = 2^(2^2) + 2
  • 28 = (2+2)! + 2 + 2
  • 256 = (2+2)^(2+2)
  • 65536 = 2^(2^(2^2))
• ในเชิงสัญกรณ์ ยังสามารถใช้วิธีมอง 22 เป็นเลข 2 สองตัวได้ด้วย
  • 26 = 22 + 2 + 2
  • 11 = 22 / √(2+2)
  • 444 = 222 · 2
• เลข 7 เป็นที่รู้กันว่าสร้างได้ยาก แต่หากอนุญาตให้ใช้ ฟังก์ชัน Gamma ก็จะได้ 7 = Γ(2) + 2 + 2 + 2
• ถ้าใช้เครื่องมือที่กว้างขึ้น ก็มีวิธีแก้ที่รวมอินทิกรัล ทศนิยมซ้ำ และตัวดำเนินการจัดหมู่ เช่นใน กระทู้ Math StackExchange
• ตัวอย่างที่ใช้จำนวนเชิงซ้อนคือ 12 = |2 + 2√(-2)|²

คำตอบทั่วไปด้วยรากที่สองซ้อนกันของ Dirac

• นักคณิตศาสตร์ในทศวรรษ 1920 ก็สนุกกับปริศนานี้เช่นกัน และ Paul Dirac พบ คำตอบทั่วไป สำหรับทุกจำนวน
• แก่นของวิธีนี้คือการนำรากที่สองมาใช้ซ้ำ ๆ กับ 2
  • √2 = 2^(1/2) = 2^(2^-1)
  • √√2 = 2^(1/4) = 2^(2^-2)
  • √√√2 = 2^(1/8) = 2^(2^-3)
• หากใช้รากที่สอง n ครั้ง จะได้รูปแบบ √√...√2 = 2^(2^-n)
• เมื่อนำลอการิทึมฐาน 2 มาใช้สองครั้งกับค่านี้ จะได้ -n
  • log₂(2^(2^-n)) = 2^-n
  • log₂(log₂(2^(2^-n))) = -n
• ดังนั้นสูตรทั่วไปจึงเป็นดังนี้
  • n = -log₂(log₂(√√...√2))
  • โดยรากที่สองในที่นี้ทำซ้ำ n ครั้ง
• เนื่องจากสูตรนี้ใช้เลข 2 เพียงสามครั้ง หากแทน 2 ตัวหนึ่งในฐานด้วย √(2+2) ก็จะใช้เลข 2 ครบสี่ตัวพอดี
  • n = -log_{√(2+2)}(log₂(√√...√2))
• ตัวอย่างเช่น เลข 7 สามารถแสดงโดยซ้อนรากที่สองเจ็ดครั้งได้ดังนี้
  • 7 = -log_{√(2+2)}(log₂(√√√√√√√2))
• ในวิธีนี้ n ไม่ใช่ตัวเลขที่ปรากฏโดยตรงในนิพจน์ แต่เป็นค่าที่นับ จำนวนครั้งที่ทำซ้ำรากที่สอง และงานที่เหลือคือวาดสัญลักษณ์รากที่สองให้ครบเท่าที่ต้องการ

[GN⁺]

ความคิดเห็นบน Hacker News

• ความคิดเห็นถูกย้ายไปยัง https://news.ycombinator.com/item?id=43145753 ซึ่งโพสต์ไว้ก่อนหน้าเล็กน้อย