BusyBeaver(6) ใหญ่จริง ๆ

 (scottaaronson.blog)
2 คะแนน โดย GN⁺ 2025-06-29 | 1 ความคิดเห็น | แชร์ทาง WhatsApp
  • ค่าขอบล่างที่ทราบของ BB(6) ถูกยกระดับขึ้นอย่างมากอีกครั้ง และยืนยันได้ว่าเวลาหยุดสูงสุดของเครื่องทัวริง 6 สถานะเป็นจำนวนที่ไกลเกินกว่าขนาดของความเป็นจริงที่สังเกตได้มาก
  • BB(6) หมายถึงจำนวนสเต็ปสูงสุดที่ เครื่องทัวริง 6 สถานะ·2 สัญลักษณ์ ซึ่งเริ่มจากเทปที่เต็มไปด้วย 0 สามารถรันได้ก่อนหยุด
  • หลังจากการปรับปรุงของ Pavel Kropitz ในปี 2022 mxdys ได้ดันขอบล่างขึ้นอีกครั้งให้อยู่ในระดับที่ใหญ่กว่า จำนวนที่ได้จากการยกกำลังซ้ำของ 10 จำนวน 10 ล้านครั้ง
  • ผลล่าสุดแสดงว่า BB(6) มีค่าอย่างน้อย 2 pentated to 5 และมีการใช้การดำเนินการที่สูงกว่าการยกกำลังซ้ำขึ้นไปอีกหนึ่งระดับ
  • BB(5) ถูกกำหนดแล้วว่าเป็น 47,176,870 แต่ BB(6) ใหญ่ขึ้นอย่างท่วมท้น จนนำไปสู่การคาดการณ์ว่าจุดที่ BB(n) เป็นอิสระจากระบบสัจพจน์ ZFC อาจอยู่ที่ n=7, 8, 9

ขอบล่างของ BB(6) ใหญ่ขึ้นอีกครั้ง

  • ก่อนปี 2022 สำหรับ BB(6) มีข้อมูลเพียงว่า BB(6) > 10^36,534 โดยประมาณ และ Pavel Kropitz ได้ปรับปรุงเป็นระดับที่ใหญ่กว่า จำนวนที่ได้จากการยกกำลังซ้ำของ 10 จำนวน 15 ครั้ง
  • tetration หมายถึงการยกกำลังซ้ำ
    • เช่น จำนวนที่นำ 10 มาซ้อนกัน 15 ชั้น คือจำนวนในรูป 10 ยกกำลัง 10 ยกกำลัง 10 ยกกำลัง … ต่อเนื่องกัน 15 ครั้ง
  • Tristan Sterin ผู้จัด BBchallenge แจ้งว่าสมาชิกทีม mxdys ได้ยกระดับขอบล่างของ BB(6) ขึ้นอีกครั้ง
  • การปรับปรุงภายหลังของ mxdys แสดงว่า BB(6) มีค่าอย่างน้อย 2 tetrated to 2 tetrated to 2 tetrated to 9
    • โดยเฉพาะ BB(6) มีค่าอย่างน้อย 2 pentated to 5
    • pentation คือ tetration แบบทำซ้ำ เป็นการดำเนินการที่สูงกว่าการที่ tetration ทำซ้ำการยกกำลังขึ้นไปอีกหนึ่งระดับ

ความต่างสุดขั้วระหว่าง BB(5) กับ BB(6)

  • BB(6) คือ จำนวน Busy Beaver ตัวที่ 6
    • พิจารณาเครื่องทัวริง 6 สถานะ
    • อักษรคือ {0,1}
    • เทปอินพุตเริ่มต้นเป็น 0 ทั้งหมด
    • หมายถึงจำนวนสเต็ปการรันสูงสุดที่เป็นไปได้ก่อนหยุด
  • ทีม BBchallenge ระดับนานาชาติได้กำหนด BB(5) เมื่อปีที่แล้วว่าเป็น 47,176,870
  • ในช่วงที่เปลี่ยนจาก BB(5) ไปเป็น BB(6) ฟังก์ชัน Busy Beaver กระโดดจากระดับ หลายสิบล้าน ไปเป็นขนาดที่เกินขอบเขตของความเป็นจริงที่สังเกตได้

จำนวนที่แทบใช้ความรู้สึกเรื่องขนาดไม่ได้

  • แม้ในช่วงที่ทราบว่า BB(6) > จำนวนที่ได้จากการยกกำลังซ้ำของ 10 จำนวน 10 ล้านครั้ง ก็แทบเป็นไปไม่ได้ที่จะอธิบายด้วยสัญชาตญาณ
  • ตัวอย่างเช่น มีการเปรียบเทียบว่า หากมีเม็ดทรายมากขนาดนั้น ก็สามารถเติมสำเนาของเอกภพที่สังเกตได้ให้เต็มได้ประมาณจำนวนเท่ากัน
  • การเปรียบเทียบนี้แสดงให้เห็นว่า เนื่องจากจำนวนนั้นใหญ่กว่าจำนวนระดับจักรวาลอย่าง 10^100 อย่างท่วมท้น แม้จะนำไปหารแล้วก็ยังเหลือขนาดแทบเท่าจำนวนเดิม

ความเป็นไปได้ที่ค่าคาดการณ์เรื่องความเป็นอิสระจาก ZFC จะลดลง

  • การที่ BB(6) ใหญ่ขึ้นขนาดนี้ไม่ได้หมายความว่าความคิดทั้งหมดเกี่ยวกับฟังก์ชัน Busy Beaver จะเปลี่ยนไป
  • เดิมทีก็เปิดความเป็นไปได้ไว้แล้วว่า BB(6) อาจไม่ได้อยู่ในระดับค่อนข้างเล็กอย่าง 10^36,534 แต่อยู่ใน ขอบเขตของการดำเนินการแบบทำซ้ำ
  • เมื่อขอบล่างจริงได้รับการยืนยันว่าอยู่ในระดับนั้น การคาดการณ์เกี่ยวกับจุดที่ค่าของ BB(n) เป็นอิสระจาก ระบบสัจพจน์ทฤษฎีเซต ZFC อาจลดลงได้
    • ก่อนหน้านี้อาจคิดว่าอยู่ใกล้ n=20 หรือ 30
    • ตอนนี้มองว่าอาจเป็น n=7, 8, 9 ก็ได้
  • ผลลัพธ์เกี่ยวกับความเป็นอิสระจาก ZFC ที่ทราบในปัจจุบันอยู่ในระดับที่ BB(n) เป็นอิสระจาก ZFC ที่ n=643

อัปเดตแยกต่างหาก: STOC 2025

  • ได้พบกับนักวิจัยหลายคนและรับทราบเรื่องใหม่ ๆ ที่ Prague ซึ่งจัด STOC 2025
  • หัวข้อ plenary lecture ของ STOC คือ The Status of Quantum Speedups
  • ผู้อ่านที่สนใจสามารถดู PowerPoint slides ของการบรรยายนั้นได้

บทความที่เกี่ยวข้อง

1 ความคิดเห็น

 
GN⁺ 2025-06-29
ความคิดเห็นจาก Hacker News

  • ในเซิร์ฟเวอร์ Discord ของ bbchallenge กำลังเดากันอย่างคึกคักว่าต้องใช้สถานะของเครื่องทัวริงกี่สถานะจึงจะเกิน Graham's Number ซึ่งใหญ่กว่า 2^^2^^2^^9 ที่แชมป์ BB(6) ล่าสุดทำได้มาก
    ถ้าดู functional busy beaver https://oeis.org/A333479 พฤติกรรมระดับ Graham อาจปรากฏเร็วกว่าที่คิด แค่ lambda term ขนาด 49 บิตก็พอ
    lambda term แบบปิดที่มีขนาดไม่เกินนั้นมีเพียง 77,519,927,606 ตัว https://oeis.org/A114852 ส่วนเครื่องทัวริง 6 สถานะที่ไม่ซ้ำกันมี 4^12*23836540=399910780272640 เครื่อง https://oeis.org/A107668
    แค่ 6 สถานะก็ทำเพนเทชันได้แล้ว ตอนนี้จึงมีหลายคนมองว่า 7 สถานะก็น่าจะเกิน Graham's Number ได้ ถึงอย่างนั้นผมก็ยังคิดว่าเป็นเรื่องน่าทึ่งมากอยู่ดี ไม่กี่วันก่อนผมพนันก้อนใหญ่กับหนึ่งในคนเหล่านั้นว่าในอีก 10 ปีข้างหน้าจะมีหลักฐานพิสูจน์ว่า BB(7)>Graham's หรือไม่ เลยอยากรู้ว่าทุกคนคิดอย่างไร

    • ผมคงแสร้งทำเป็นผู้เชี่ยวชาญไม่ได้ แต่ BB(7) น่าจะใหญ่กว่า Graham's Number
      BB ต้องโตเร็วกว่า sequence ใด ๆ ที่คำนวณได้ สิ่งนี้หมายความอย่างเป็นรูปธรรมอย่างไรสำหรับ BB(7) สุดท้ายก็คล้ายการอธิบายแบบกว้าง ๆ ด้วยท่าทาง แต่รู้สึกว่ามันต้องไต่บันไดความแรงของตัวดำเนินการขึ้นไปอย่างรวดเร็วมาก ท้ายที่สุดมันต้องโตเร็วกว่าตัวดำเนินการที่คำนวณได้ใด ๆ ที่เรานิยามขึ้น รวมถึง up-arrow^n หรือ up-arrow^f(n) สำหรับฟังก์ชันที่คำนวณได้ f ด้วย
      ตามสัญชาตญาณ การเติบโตจาก 47 million ไปเป็น 2^^2^^2^^9 ดูเหมือนใหญ่กว่าในเชิงคุณภาพด้านความแรงของตัวดำเนินการที่ต้องใช้ มากกว่าการเติบโตจาก 2^^2^^2^^9 ไปเป็น Graham's Number Graham's Number คือ g_64 และ g ในที่นี้อยู่สูงกว่า up_arrow^n ราวหนึ่งขั้น ดังนั้น BB(7)>Graham's Number จึงน่าจะเป็นไปได้มาก

  • ตัวเลขอย่าง BB(748) แถมยังเป็นจำนวนที่คำนวณไม่ได้ด้วย สามารถ “เป็นอิสระจาก ZFC” ได้ ทำให้มึนหัวจริง ๆ รู้สึกเหมือนเป็น category error อะไรสักอย่าง

    • สิ่งที่ทำให้ BB(748) เป็นอิสระจาก ZFC ไม่ใช่ค่าของมันเอง แต่เป็นเพราะหนึ่งในเครื่อง 748 สถานะอย่าง TM_ZFC_INC ถูกกำหนดให้ค้นหาความขัดแย้งภายใน ZFC หรือก็คือหลักฐานพิสูจน์ของ FALSE และหยุดก็ต่อเมื่อพบสิ่งนั้นเท่านั้น
      ดังนั้นหลักฐานพิสูจน์ว่า BB(748)=N ต้องแสดงว่า TM_ZF_INC หยุดภายใน N ขั้นตอน หรือไม่ก็แสดงว่ามันจะไม่หยุดอย่างเด็ดขาด หากสมมติว่า ZFC สอดคล้องกัน ทั้งสองอย่างเป็นไปไม่ได้เพราะผลลัพธ์อันโด่งดังของ Gödel
    • สิ่งที่คำนวณไม่ได้คือ BB(n) หมายความว่าไม่มีอัลกอริทึมที่ส่งออกค่า BB(n) สำหรับ n ใด ๆ
      BB(748) นั้นคำนวณได้ ตามนิยามแล้วมันคือจำนวน 1 ที่เครื่องทัวริงบางเครื่องซึ่งมี 748 สถานะเขียนออกมา และเครื่องนั้นก็คำนวณ BB(748)
      ตัวเลขเองเป็นเพียงจำนวนเต็มที่ใหญ่จนจินตนาการไม่ออกจริง ๆ ความเป็นอิสระจาก ZFC จะเข้ามาเกี่ยวเมื่อเราพยายามพิสูจน์ว่าตัวเลขนี้คือค่าที่เรากำลังหา การทำเช่นนั้นต้องใช้ทฤษฎีที่แข็งแรงกว่า ZFC ซึ่งสามารถจับคุณสมบัติของเครื่องทัวริง 748 สถานะได้
    • กลับกัน สิ่งที่น่าทึ่งกว่าคือเราเคยคิดว่าข้อความสั้น ๆ ขนาดเขียนลงบนผ้าเช็ดปากได้สบาย ๆ อย่าง สัจพจน์ของ ZFC จะ “เพียงพอ” ต่อการจับความจริงทางเลขคณิต หรือแง่มุมของความเป็นจริงทางกายภาพที่เกี่ยวข้องกับกิจกรรมของมนุษย์เป็นหลัก
      การที่พฤติกรรมของเครื่องทัวริง 6 สถานะอาจคาดการณ์ไม่ได้ด้วยข้อความไม่กี่บรรทัดนั้นไม่น่าประหลาดใจเลย
      ตอน Gödel ประกาศทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์บทแรก ผมคิดว่าวงการคณิตศาสตร์ทั้งหมดน่าจะวิ่งเต็มสปีดไปหาสัจพจน์เพิ่มเติม แต่ตลอดเกือบหนึ่งศตวรรษ งานของ Gödel กลับมักถูกมองเป็นข้อเท็จจริงแปลก ๆ ในพื้นที่แคบ ๆ ของรากฐานคณิตศาสตร์ มากกว่าจะเป็นโปรแกรมกระแสหลัก ผมรู้จัก Feferman, Friedman และคนอื่น ๆ อยู่ แต่การวิจัยในด้านนี้มีน้อยกว่าหัวข้ออื่นส่วนใหญ่ของคณิตศาสตร์มาก
    • ตัวเลขเองไม่ได้เป็นอิสระจาก ZFC จำนวนเต็มทุกจำนวนแสดงใน ZFC ได้ สิ่งที่เป็นอิสระจาก ZFC คือ กระบวนการคำนวณ BB(748)
    • ตัวเลขแต่ละตัวเองไม่ได้คำนวณไม่ได้ ไม่มีคู่ของตัวเลขกับหลักฐานพิสูจน์ใน ZFC ที่ยืนยันว่าตัวเลขนั้นเป็นค่าของ BB(748)
      ดังนั้นจึงไม่มีโปรแกรมที่ ZFC สามารถพิสูจน์ได้ว่าส่งออกค่า BB(748) แต่เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นทั้งหมด โปรแกรมที่ส่งออก BB(748) นั้นมีอยู่จริง

  • เป็นที่รู้กันว่า BB(14) ใหญ่กว่า Graham's Number แต่จากผลลัพธ์ครั้งนี้ ดูเหมือนว่า BB(7) ก็น่าจะใหญ่กว่า Graham's Number เช่นกัน
    ตามสัญชาตญาณ เทคนิคที่ต้องใช้เพื่อไปจากเพนเทชันถึง Graham's Number ดูเรียบง่ายกว่าเทคนิคที่ต้องใช้เพื่อไปจาก 47,176,870 ไปเป็น 2 5

  • ตอนเห็นคำอธิบายว่า ตัวยกด้านซ้าย หมายถึง tetration หรือการยกกำลังซ้ำ ๆ ตอนแรกนึกว่าเป็นพิมพ์ผิด เพิ่งเคยเจอ tetration เป็นครั้งแรก

    • เคยเห็นมาก่อนเหมือนกัน แต่ตอนนั้นใช้ สัญกรณ์ลูกศรขึ้นของ Knuth ซึ่งผมชอบตรงที่มันขยายทั่วไปได้ง่าย https://en.wikipedia.org/wiki/Knuth's_up-arrow_notation
    • ถ้าตามแนวคิดของการทำซ้ำต่อไป ครั้งนี้ผมก็เพิ่งเคยเจอ เพนเทชัน เป็นครั้งแรก

  • ไม่เข้าใจตรงที่บอกว่า “ลองจินตนาการว่ามีเม็ดทราย 10,000,000sub10 เม็ด จากนั้นก็สามารถใช้ทรายนั้นเติมเอกภพที่สังเกตได้ได้ประมาณ 10,000,000sub10 แห่ง”
    นี่กำลังปัดค่าที่ได้จากการนำปริมาตรของเอกภพที่สังเกตได้หารด้วยปริมาตรเฉลี่ยของเม็ดทราย แล้วตัดทิ้งจริง ๆ เหรอ? นั่นต่างกันหลายหลักมากกว่ามวลรวมของเอกภพที่มักใช้เปรียบเทียบกันเสียอีก

    • ใช่แล้ว การหารด้วยอัตราส่วนนั้นแทบไม่มีผลเลยในสัญกรณ์นี้ เพราะจำนวนที่ “อยู่ติดกัน” ในสัญกรณ์นี้ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงที่ใหญ่กว่านั้นมาก
      10↑↑10,000,000 / (จำนวนเม็ดทรายต่อหนึ่งเอกภพ) ยังใหญ่กว่า 10↑↑9,999,999 อย่างท่วมท้นด้วยซ้ำ
      ในระบบที่ใช้จำนวนแบบนี้ แทบไม่มีวิธีแสดงที่ดีกว่าเขียนตรง ๆ ว่า (จำนวนที่ใหญ่มาก)/(จำนวนที่เป็นแค่ระดับจักรวาล) และในสัญกรณ์ฝั่งจำนวนที่ใหญ่มาก สุดท้ายก็ถูกปัดแทบจะเป็น (จำนวนที่ใหญ่มาก) อยู่ดี
    • ใน tetration เราไม่ได้จัดการกับ ขนาดของจำนวนหลัก อีกต่อไป แต่เป็นการจัดการกับขนาดของจำนวนหลักของขนาดของจำนวนหลัก
    • ตัวอย่างที่พบได้บ่อยกว่าของการเปรียบเทียบแบบนี้คือ ถ้ามองในแง่เลขนัยสำคัญ หนึ่งพันล้านลบหนึ่งล้านก็ยังเป็นหนึ่งพันล้าน
    • ถูกต้อง จำนวนนี้ใหญ่กว่า 10^100000 หรือปริมาณอย่างจำนวนเม็ดทรายที่ใส่ลงไปได้มากมายเหลือเกิน จนต่อให้หารด้วยปริมาณระดับนั้นก็แทบไม่เปลี่ยนแปลง อย่างน้อยก็ไม่ได้ลดลงจนเข้าใกล้ 9,999,999sub10
    • ใช่แล้ว นั่นเป็นเพียงความต่างของจำนวนหลักในระดับจำนวนธรรมดา แค่ 10,000,000^10,000,000 ก็ใหญ่พอจนเรื่องระดับนั้นไม่สำคัญแล้ว ยิ่งเมื่อ ตัวชี้กำลังเอง ถูกยกกำลังซ้ำอีกเก้าครั้ง ก็ยิ่งไม่ต้องพูดถึง

  • How Much Math Is Knowable? ของ Scott Aaronson [Harward CMSA]: https://www.youtube.com/watch?v=VplMHWSZf5c
    เคยถูกนำขึ้น HN เมื่อไม่กี่เดือนก่อนด้วย: https://news.ycombinator.com/item?id=43776477

  • ตรรกะที่สมบูรณ์ที่สุดซึ่งสามารถแจกแจงบทพิสูจน์ได้ด้วยเครื่องทัวริง 5 สถานะเท่านั้นคืออะไร?

    • คำถามนั้นขึ้นอยู่กับว่าจะถืออะไรเป็นการ แจกแจง แต่มีคำถามที่เกี่ยวข้องคือ “ตรรกะที่สมบูรณ์ที่สุดซึ่งไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเครื่องทัวริง 5 สถานะทุกเครื่องหยุดหรือไม่หยุดคืออะไร?” กล่าวคือถามว่าตรรกะที่สมบูรณ์ที่สุดที่สถานะการหยุดของเครื่องทัวริง 5 สถานะบางเครื่องเป็นอิสระจากมันคืออะไร
      เวอร์ชันนี้เคยลองคิดดูอยู่บ้าง แต่ไปได้ไม่ไกลเพราะไม่มีความเชี่ยวชาญด้านตรรกะอันดับหนึ่งพอ เท่าที่รู้ Skelet #17 https://bbchallenge.org/1RB---_0LC1RE_0LD1LC_1RA1LB_0RB0RA เป็นหนึ่งในเครื่องที่พิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ว่าไม่หยุดได้ยากที่สุด https://arxiv.org/abs/2407.02426 ดังนั้นถ้าทฤษฎีใดพิสูจน์ได้ว่า Skelet #17 ไม่หยุด ก็น่าจะมีโอกาสตัดสินเครื่อง 5 สถานะที่เหลือได้สูง
    • ทั้งหมดขึ้นอยู่กับว่าจะตีความสตริงไบนารีจำกัดว่าเป็นการแจกแจงบทพิสูจน์ทางตรรกะอย่างไร

  • พอเห็นคำอธิบายว่า “BB(6) คือจำนวน Busy Beaver ลำดับที่หก กล่าวคือจำนวนขั้นตอนสูงสุดที่เครื่องทัวริง 6 สถานะซึ่งมีอักษร {0,1} สามารถทำได้ก่อนหยุด เมื่อเริ่มรันบนเทปที่เป็น 0 ทั้งหมด” สำหรับคนนอกวงการอย่างผมกลับรู้สึกว่าเข้าใจได้ดีเกินคาด
    นี่ต้องเป็น บล็อกสายฮาร์ดคอร์ สำหรับคนที่ทำงานวิจัยแนวนี้มาหลายสิบปีแน่ ๆ การได้บังเอิญเจอบทความที่เขียนอย่างเข้มข้นและเต็มไปด้วยศัพท์เฉพาะอย่างไม่เกรงใจเพื่อผู้อ่านเฉพาะกลุ่มนี่ค่อนข้างเจ๋ง

    • ถ้าเคยเรียนวิทยาการคอมพิวเตอร์ระดับปริญญาตรีมา คำอธิบายนี้ก็น่าจะพอทำให้จับภาพได้คร่าว ๆ ว่าเกิดอะไรขึ้น แม้จะเพิ่งเจอ ปัญหา Busy Beaver เป็นครั้งแรก
      มันเป็นศัพท์เฉพาะสายย่อยก็จริง แต่การมองว่ามีแค่คนที่ทุ่มเทมาหลายสิบปีเท่านั้นถึงจะเข้าถึงได้ เป็นการประเมินตัวเองต่ำไป
    • นิยามนั้นเป็นเนื้อหามาตรฐานของ ทฤษฎีวิทยาการคอมพิวเตอร์ ระดับปริญญาตรี แต่ในงานวิศวกรรมซอฟต์แวร์อาจไม่ใช่มาตรฐาน

  • จำนวนที่ใหญ่ขนาดนั้นมนุษย์นึกภาพไม่ออก วิธีแทนจำนวนไม่ได้มีแค่การนับอย่างเดียว
    ตัวอย่างเช่น เม็ดทรายหนึ่งเม็ดก็ถือได้ว่ามีสถานะที่เป็นไปได้เป็นอนันต์ มีจำนวนจริงอนันต์ ดังนั้นจะบอกว่าเม็ดทรายหนึ่งเม็ดสามารถแทน BB(6) ได้ก็อาจพูดได้ การจัดหมู่อาจโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล ดังนั้นวิธีแบบนั้นอาจมีประโยชน์ต่อการแทนค่า

    • จากจุดหนึ่งเป็นต้นไป จำนวนขนาดใหญ่จะใกล้เคียงกับ พลังความสอดคล้องของระบบเชิงรูปแบบ มากกว่าจะเป็น “ปริมาณขนาดใหญ่”
      กล่าวคือเป็นเรื่องว่าระบบหนึ่งสามารถแสร้งทำเป็นไม่ขัดแย้งกันได้ดีแค่ไหนก่อนจะถูกจับได้ ระบบที่ขัดแย้งกันซึ่งแสร้งว่ามีความสอดคล้องผ่าน BB(3) จะ “ถูกจับได้” เร็วกว่าระบบที่แสร้งว่ามีความสอดคล้องผ่าน BB(6) มาก ในที่นี้การแสร้งว่ามีความสอดคล้องหมายถึงการอ้างว่าโปรแกรมทุกตัวที่รันนานกว่า BB(n) ขั้นตอนสำหรับ n บางค่า จะไม่หยุด
    • ถ้าเอกภพถูกปัดให้เป็น หน่วยพลังค์ ที่ใกล้ที่สุด จำนวนสถานะที่เม็ดทรายหนึ่งเม็ดมีได้ก็จะไม่ได้มากมายขนาดนั้นในทันที
      การดึงความละเอียดอนันต์เข้ามาเพื่อทำให้ดูเหมือนจัดการได้ง่าย สำหรับผมแล้วใกล้เคียงกับกลเม็ดมากกว่า เวลาจะอธิบายขนาดควรใช้จำนวนเต็มดีกว่า
    • ตัวอย่างนี้ทำให้งง ถ้าจำนวนเม็ดทรายเท่ากับจำนวนเอกภพที่สังเกตได้ ก็ไม่ได้หมายความว่าเอกภพหนึ่งแห่งมีเม็ดทรายหนึ่งเม็ดหรอกเหรอ?

  • สงสัยว่าเอกภพที่สังเกตได้มีขนาดใหญ่พอจะเขียนค่าที่แน่นอนของ BB(6) ได้หรือไม่

    • ถ้ามองเอกภพที่สังเกตได้เป็นระบบปิด ก็อาจลองใช้ ขีดจำกัด Bekenstein ได้
      ใช้ R ≈ 46.5 billion light-years หรือก็คือรัศมีของเอกภพที่สังเกตได้ และใช้ E ≈ ปริมาณมวล-พลังงานรวมของเอกภพที่สังเกตได้
      มวล-พลังงานนี้รวมถึงสสารปกติ สสารมืด และพลังงานมืด ตามค่าประมาณปัจจุบัน เอกภพที่สังเกตได้มีปริมาณเทียบเท่ามวล-พลังงานประมาณ 10^53 kg
      เมื่อนำไปใส่ใน S ≤ 2πER/ℏc จะได้ปริมาณข้อมูลสูงสุดราวระดับ 10^120 bits
      S ≤ 2πER/ℏc
      S ≤ (2 × 3.141593 × 3.036e+71 × 4.399e+26)/(1.055e-34 × 299792458)
      S ≤ 2.654135e+124
      S ≤ 10^120
      ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้
    • แน่นอนว่าไม่เพียงพอ ปริมาณข้อมูลที่เก็บได้ในเอกภพอยู่ที่ประมาณ 10^120 บิต ต่อให้ผมผิดไปถึง 1 ล้านล้านหลัก ผลลัพธ์ก็ไม่เปลี่ยน
    • แค่ตัวเลขเริ่มต้นในบทความก็เป็น ¹⁵10 แล้ว ซึ่งหมายถึง 10^(¹⁴10) ดังนั้นจึงมีจำนวนหลักอยู่ ¹⁴10 หลัก เพราะฉะนั้นเขียนไม่ได้
    • น่าจะหมายถึงสถานะที่ทุกส่วนของการแสดงแบบสมบูรณ์มีอยู่พร้อมกัน ถ้าไม่จำเป็นต้องมีอยู่พร้อมกัน หากเอกภพมีระยะเวลาดำรงอยู่เป็นอนันต์ ก็อาจ “เขียนออกมา” ได้ก็เป็นได้ ผมไม่รู้ว่า heat death จะส่งผลต่อเรื่องนี้อย่างไร จึงขอใช้คำว่า “อาจเป็นไปได้”
      แต่ในปริภูมิเวลาเชิงสัมพัทธภาพ คำว่า “พร้อมกัน” ไม่ได้ถูกนิยามไว้อย่างดี ความเห็นพี่น้องด้านบนถูกต้องแน่นอนในกรอบอ้างอิงที่รังสีไมโครเวฟพื้นหลังของจักรวาลบ่งชี้ไว้ เพียงแต่ผมสงสัยว่าในบางกรอบอ้างอิง อาจมีวิธีหั่นปริภูมิเวลาให้สามารถแสดงมัน “พร้อมกัน” ได้หรือไม่