บทนำสู่พีชคณิตเชิงเส้นที่อธิบายด้วยเส้น
(ducktyped.org)- บทความนี้เป็นการแนะนำแนวคิดพื้นฐานของ พีชคณิตเชิงเส้น พร้อมภาพประกอบ
- ช่วงต้นเน้นอธิบายแนวคิด การกำจัดแบบเกาส์เซียน (Gaussian elimination) และ ภาพแบบแถว (row picture) vs ภาพแบบคอลัมน์ (column picture)
- ใช้ตัวอย่างที่ใกล้ตัว (เหรียญ, อาหาร) เพื่ออธิบาย สมการเชิงเส้น และกระบวนการหาคำตอบให้เข้าใจง่าย
- เน้นการเปลี่ยนวิธีคิดทางคณิตศาสตร์จากลำดับจำนวนไปสู่แนวคิดอย่าง เวกเตอร์ และ สัญกรณ์เมทริกซ์
- ย้ำว่าหัวใจของพีชคณิตเชิงเส้นคือการจัดการกับ อาร์เรย์, เวกเตอร์, เมทริกซ์ แทนตัวเลขเพียงอย่างเดียว
บทนำ
บทความนี้เป็นสื่อเบื้องต้นสำหรับผู้ที่รู้พีชคณิตแบบเดิมอยู่แล้ว แต่ยังไม่รู้จักพีชคณิตเชิงเส้น
แนวคิดสำคัญสองอย่างแรกที่กล่าวถึงคือ การกำจัดแบบเกาส์เซียน (Gaussian elimination) และ ภาพแบบแถว (row picture) vs ภาพแบบคอลัมน์ (column picture)
ตัวอย่างเรื่องเงิน
- อธิบายปัญหาการคำนวณว่าหากมีเหรียญนิกเกิล (nickel) และเหรียญเพนนี (penny) หลายเหรียญ จะต้องใช้เหรียญแต่ละชนิดกี่เหรียญเพื่อให้ได้ 23 เซนต์
- ให้ x คือจำนวนเหรียญนิกเกิล และ y คือจำนวนเหรียญเพนนี เมื่อนำมาเขียนเป็นสมการ จะได้สมการเชิงเส้นที่ใช้ชุดค่าของ x และ y เพื่อให้รวมกันได้ 23
- ในตัวอย่างนี้ คำตอบเป็นไปได้หลายแบบ (เช่น นิกเกิล 4 เหรียญกับเพนนี 3 เหรียญ หรือเพนนี 23 เหรียญ)
- เน้นว่า สมการเชิงเส้น (linear equation) คือสมการที่ไม่มีเส้นโค้งหรือรูพรุน ทุกอย่างอยู่บนระนาบ
- การให้ตัวแปร 2 ตัวตรงกับ ตัวเลขหนึ่งค่า นั้นทำได้ง่าย แต่เมื่อเป็นสถานการณ์ที่ต้องให้ตัวแปร 2 ตัวตรงกับ ตัวเลขสองค่า พร้อมกัน เรื่องจะซับซ้อนขึ้น และในกรณีนี้การกำจัดแบบเกาส์เซียนจะมีประโยชน์
ตัวอย่างเรื่องอาหาร
- มีอาหารสองชนิด เช่น ขนมปัง (bread) และนม (milk) และต้องหาชุดค่าที่ตรงกับเป้าหมายที่กำหนด (เช่น คาร์โบไฮเดรต 5g และโปรตีน 7g) จากข้อมูล คาร์โบไฮเดรต (carbs) และ โปรตีน (protein) ของอาหารแต่ละชนิด
- ในกรณีนี้ต้องสร้างสมการสองสมการเพื่อหาค่า x (จำนวนนม) และ y (จำนวนขนมปัง)
- ปัญหาแบบนี้ใช้ การกำจัดแบบเกาส์เซียน
การกำจัดแบบเกาส์เซียน
- อธิบายกระบวนการเขียนใหม่ให้อยู่ในรูปของสมการเชิงเส้นสองสมการ จากนั้นค่อย ๆ ตัดตัวแปรออกทีละตัวด้วยการลบหรือบวกพหุคูณคงที่ของสมการหนึ่งเข้ากับอีกสมการ เพื่อจำกัดค่าที่เป็นไปได้ให้แคบลง
- ในตัวอย่างจะกำจัด y ออกก่อนเพื่อหาค่า x แล้วจึงแทนกลับเพื่อหาค่า y
- ผลลัพธ์สุดท้ายคือ นม 3 หน่วย, ขนมปัง 1 หน่วย
- กล่าวถึงว่า การกำจัดแบบเกาส์เซียน เป็นเทคนิคทั่วไปที่มีประวัติยาวนาน
วิธีทำความเข้าใจด้วยภาพ
- ก่อนหน้านี้แก้ด้วยแนวทางภาพแบบแถว (row picture) แต่ตอนนี้จะอธิบายการแก้ปัญหาด้วย ภาพ/กราฟ เพื่อให้เห็นภาพ
- แปลงแต่ละสมการให้อยู่ในรูปอ้างอิง x (นม) แล้ววาดเส้นตรงลงบนกราฟ
- กราฟของสมการแรกคือชุดค่าผสมของนม-ขนมปังทั้งหมดที่ทำให้ได้เป้าหมายคาร์โบไฮเดรต (จุดบนเส้น)
- สมการที่สองก็แสดงในลักษณะเดียวกัน
- เน้นว่าหากต้องการให้ได้ทั้งสองเป้าหมายพร้อมกัน คำตอบคือจุดเดียวที่เส้นตรงทั้งสองตัดกัน
- วิธีนี้ก็ให้ผลลัพธ์เป็น นม 3 หน่วย, ขนมปัง 1 หน่วย เช่นกัน
- อธิบายว่า การกำจัดแบบเกาส์เซียน เป็นเทคนิคพื้นฐานที่สำคัญมากและถูกใช้มานานกว่าสองพันปี แม้ไม่ต้องอาศัยพีชคณิตเชิงเส้นก็ตาม
ภาพแบบคอลัมน์ (Column Picture)
- ก่อนหน้านี้เน้น ภาพแบบแถว (row picture) ที่มองแต่ละสมการแยกกัน ตอนนี้จึงนำเสนอแนวทาง ภาพแบบคอลัมน์ (column picture)
- รวมสองสมการให้เป็นสมการเดียว และแสดงค่าสัมประสิทธิ์ในรูป อาร์เรย์ (เวกเตอร์)
- เวกเตอร์สามารถมองได้ว่าเป็นอาร์เรย์ที่มีลำดับหมายเลขกำกับไว้ (คล้ายเวกเตอร์ในวิทยาการคอมพิวเตอร์)
- การทำกราฟเวกเตอร์: สามารถแสดงเวกเตอร์เป็นจุดหรือเป็นลูกศรก็ได้
- เมื่อมองการบวกเวกเตอร์ในเชิงภาพ จะเห็นได้อย่างเป็นธรรมชาติว่าเส้นทางไปสู่คำตอบคืออะไร (เช่น การบวกเวกเตอร์ของนมสามครั้ง และเวกเตอร์ของขนมปังหนึ่งครั้ง)
- อธิบายว่าการคูณและการบวกของเวกเตอร์ก็คือการคำนวณกับสมาชิกแต่ละตัวของเวกเตอร์ตามลำดับ
- วิธีภาพแบบคอลัมน์ที่ใช้เวกเตอร์อาจให้ความรู้สึกเข้าใจง่ายกว่าวิธีเดิมในหลายด้าน
การรู้จักพีชคณิตเชิงเส้น
- ย้ำว่าเนื้อหาสำคัญของพีชคณิตเชิงเส้นคือการเปลี่ยนวิธีคิดจากพีชคณิตที่ยึดตัวเลขเป็นหน่วย ไปสู่พีชคณิตที่ยึด อาร์เรย์, เวกเตอร์ เป็นศูนย์กลาง
- ทั้งภาพแบบคอลัมน์และภาพแบบแถวต่างก็เป็นวิธีทำให้เห็นภาพที่สำคัญของพีชคณิตเชิงเส้น
- ท้ายที่สุดมีการแนะนำ สัญกรณ์เมทริกซ์ (matrix) แบบสั้น ๆ พร้อมแสดงให้เห็นว่าสามารถจัดระบบทั้งหมดให้อยู่ในรูป เมทริกซ์ x เวกเตอร์ ได้
เกริ่นเนื้อหาถัดไป
- ในบทถัดไปจะกล่าวถึงแนวคิดสำคัญของพีชคณิตเชิงเส้นเพิ่มเติม เช่น เมทริกซ์, ดอทโปรดักต์ (dot product)
- หากสนใจก็มีการชวนให้ติดตาม
อ่านเพิ่มเติมและปิดท้าย
- มีลิงก์ Instagram สำหรับดูแหล่งข้อมูลและผลงานศิลปะเพิ่มเติม
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นบน Hacker News
เห็นด้วยว่าเนื้อหาชัดเจนและมีประโยชน์ แต่ตัวเลขตัวอย่างที่ยกมาใช้ 1 และ 2 เพื่อแทนทั้งขนมปังและนมพร้อมกัน ทำให้พอมองในรูปเมทริกซ์แล้วแยกด้วยสัญชาตญาณได้ยากว่าเลข 1 ไหนคือขนมปัง และเลข 1 ไหนคือนม ถ้าใช้ตัวเลขที่ต่างกันไปเลยอย่าง 1, 2, 3, 4 ก็น่าจะทำให้ชัดเจนขึ้นมาก
ชอบช่วงท้ายของบทความมาก แต่การเริ่มต้นด้วย Gaussian elimination นี่ แม้จะหาคำที่เหมาะไม่เจอ แต่มันให้ความรู้สึกค่อนข้าง "ลึกลับ" นิด ๆ ควรมีโจทย์มาก่อนมากกว่า ("จะแก้ระบบสมการพร้อมกันยังไง?" "จะหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นยังไง?") แล้วค่อยแสดงให้เห็นแบบกราฟิก จากนั้นค่อยแนะนำวิธีหรืออัลกอริทึม แบบนั้นรู้สึกสมเหตุสมผลกว่า ถ้าสลับกันจะเหมือนสอนกฎลูกโซ่ในแคลคูลัสก่อน โดยยังไม่อธิบายความหมายเชิงเรขาคณิต
ผู้เขียนเอง – น่าจะพูดถูกนะ ส่วน Gaussian elimination ผมเขียนในเชิงทบทวน เพราะคิดว่าผู้อ่านส่วนใหญ่น่าจะเคยเจอมาแล้ว และก็อยากเข้าเรื่องหลักให้เร็วหน่อย ถ้าใครรู้สึกว่าตรงนี้ยากก็อยากฟังฟีดแบ็กเพิ่มเติมเหมือนกัน อาจจำเป็นต้องอธิบายให้ช้ากว่านี้และละเอียดกว่านี้
ผมยังไม่ค่อยเข้าใจชัดอยู่ดีว่า "การที่เราทำ elimination ได้มันหมายความว่ายังไง?" แต่ (ผู้เขียน) วิธีที่คุณนำมุมมองแบบคอลัมน์เข้ามานั้นน่าสนใจมาก และมีประโยชน์มากสำหรับมือใหม่แบบผม พูดเสริมอีกนิดว่า หนังสือ linear algebra มีอยู่มากมาย แต่เนื้อหาและลำดับการสอนต่างกันไปหมด เลยทำให้รู้สึกว่าวิชานี้ทั้งสอนยากและเข้าใจยาก เพราะแบบนี้แหละจึงยิ่งต้องการมุมมองที่หลากหลาย เนื่องจากไม่มีวิธีเดียวที่เหมาะกับทุกคน
ชอบบทความนี้มาก ถ้าตัวแปรที่แทนขนมปังกับนมใช้ตัวอักษรอื่นแทน x, y ก็น่าจะสับสนน้อยลง เพราะทีหลัง x, y ก็จะกลายไปเป็น x, y ของอีกแนวคิดหนึ่งบนกราฟ เช่น คาร์โบไฮเดรตหรือโปรตีน
ได้เห็นงานของ Aditya Bhargava อีกแล้ว เป็นแฟนมาตั้งแต่สมัย Grokking Algorithms แล้ว
เนื้อหาค่อนข้างดี ก่อนจะเรียนทั้งเทอมในมหาวิทยาลัย linear algebra เป็นเรื่องลึกลับสำหรับผมสุด ๆ สรุปออกมาได้ดีมาก ถ้าผู้อ่านยังไม่คุ้นกับแนวคิดเรื่องเวกเตอร์ อาจจะช่วยอธิบายสั้น ๆ เพิ่มได้ว่าทำไมเวกเตอร์สองตัว (ขนาดและทิศทาง) ถึงแทนขนมปัง 1 ชิ้นกับนม 1 กล่องได้ และเราจะเลื่อนหรือบวกเวกเตอร์กันได้อย่างไร
อยากให้มีคอนเทนต์แบบนี้ในโลกมากขึ้น การทำคอนเทนต์สอนคณิตศาสตร์ให้ออกมาดีนั้นยากจริง ๆ เป็นเนื้อหาที่ยอดเยี่ยมมาก
ชอบมากทั้งวิธีอธิบายแบบภาพและวิธีสร้างแรงจูงใจ ตอนนี้กำลังเรียน linear algebra จากแหล่งอย่าง "The No Bullshit Guide to Linear Algebra" และคิดว่าค่อนข้างดี ถ้าใครมีคำแนะนำหนังสือ linear algebra แบบใช้งานได้จริงและนำไปประยุกต์ตรง ๆ ได้อีก ก็อยากให้ช่วยแชร์ เพราะหนังสือส่วนใหญ่มักจะเน้นทฤษฎีเกินไปหรือรู้สึกเข้าถึงยาก
ตอนนี้ผมก็กำลังดูตำรา LinAlg หลายเล่มอยู่เหมือนกัน เพราะสนใจสาย ML/AI เลยเข้าหาจากมุมนี้ ผมเรียนของ KA academy จนถึง linear algebra แล้วก็อ่านแหล่งอื่นกับตำราเล่มอื่นควบคู่ไปด้วย คนมักจะแนะนำ 3B1B กับ Strang (คอร์ส LinAlg ของ MIT OCW) ซึ่ง 3B1B นั้นยอดเยี่ยมสำหรับสร้างสัญชาตญาณและเหมาะกับการเริ่มต้น แต่ถ้าจะเรียนจริงจังครั้งแรกผมว่ามันค่อนข้างเร็วไปนิด ส่วน Strang นั้นยอดเยี่ยมมาก แต่บางครั้งอาจออกนอกเรื่องในเลกเชอร์จนตามยาก ถึงอย่างนั้นก็ยังควรใช้เป็นสื่อเสริมอยู่ดี LADR4e (Linear Algebra Done Right) ก็ดี แต่ส่วนพิสูจน์ยังยากจนผมตามไม่หมด ยังมี 'Linear Algebra done wrong' กับหนังสือของ Hefferon ซึ่งก็เปลี่ยนไปเน้นการพิสูจน์ค่อนข้างเร็วเหมือนกัน น่าจะเหมาะมากสำหรับการเรียนรอบสองหรือรอบสาม อีกอย่าง มีวิชาที่เรียกว่า 'abstract linear algebra' แยกต่างหากด้วย แต่ความซับซ้อนก็ไม่ได้ต่างจากตำรา linear algebra แบบดั้งเดิมมากนัก เล่มที่ผมอ่านไปได้ค่อนข้างไกลคือ ROB101 textbook () โดยใช้เป็นแหล่งหลักจนถึงหัวข้อ linear independence และเรียนคู่กับเลกเชอร์ของ MIT Strang ด้วย ROB101 อธิบายด้านการเขียนโค้ดได้ดีด้วย จึงเหมาะกับการคิดเชื่อมโยงกับการเขียนโค้ดใน ML/AI นอกจากนี้ผมยังมีตำราคณิตศาสตร์ยุโรปตะวันออกอยู่สองสามเล่มไว้ใช้ทำแบบฝึกหัด ช่วงหลังมานี้ผมกำลังทบทวนคอร์ส/ตำราที่ และก็ได้ประโยชน์มากจากโน้ตที่
หนังสือที่ผมอ่านแล้วรู้สึกน่าสนใจมากจริง ๆ คือ "Introduction to Applied Linear Algebra – Vectors, Matrices, and Least Squares"
คุณบอกว่า "เป้าหมายคือความเข้าใจในระดับที่ใช้ได้จริงและนำไปใช้ตรง ๆ ได้" เลยอยากรู้ว่าตั้งใจจะเอาไปใช้กับอะไรโดยเฉพาะ สำหรับผม การเรียนทฤษฎี (เช่น linear algebra) โดยมีแรงจูงใจเชิงใช้งานอย่างเดียวมันดูแปลกนิดหน่อย จริง ๆ อาจอ่านหนังสือประยุกต์ไปพร้อมกับเรียนทฤษฎีก็ได้ และถ้าถึงจุดที่ทฤษฎีจำเป็นจริง ๆ ไม่ว่าเนื้อหาจะยากแค่ไหน สุดท้ายก็ต้องเรียนอยู่ดี ยกตัวอย่างเช่น linear algebra สำคัญมากสำหรับการเรียนกลศาสตร์ควอนตัม เพราะงั้นถ้านั่นคือเป้าหมาย ผมกลับคิดว่าเริ่มจากตำรากลศาสตร์ควอนตัมก่อนอาจดีกว่า
ผมก็หมายถึง "ความเข้าใจในระดับที่ใช้ได้จริงและนำไปใช้ตรง ๆ ได้" เหมือนกัน คิดว่า ML เป็นสาขาที่เหมาะมากสำหรับเอาไปใช้จริง และผมก็กำลังเตรียมทำซีรีส์ที่ว่าด้วยเรื่องนี้อยู่ด้วย
รู้สึกว่าควรพูดถึงซีรีส์ linear algebra ของ 3blue1brown ด้วย แม้จะยากกว่าบทความนี้ขึ้นมาอีกระดับหนึ่งเล็กน้อย แต่การอธิบายนั้นยอดเยี่ยมมากและยังเข้าถึงได้อยู่
วิดีโอของ 3B1B น่าทึ่งจริง ๆ แต่สำหรับผม วิดีโอ linear algebra ของเขาค่อนข้างเร็วไปนิด ซึ่งก็เป็นเหตุผลที่ผมเริ่มเขียนซีรีส์นี้
น่าทึ่งมากที่เฟรมเวิร์กกราฟิกที่ 3B1B ใช้นั้นเปิดเป็นโอเพนซอร์สด้วย
ทุกครั้งที่อ่านบทความแนวนี้ ตอนแรกมักจะรู้สึกว่า "ว้าว! ในที่สุดก็มีคนที่อธิบายคณิตศาสตร์จนฉันเข้าใจได้แล้ว!" แต่พอถึงส่วน Gaussian elimination ก็เริ่มหลุดอีกแล้ว
พอเห็นชื่อ Josh Starmer ก็จะนึกถึงคำว่า "Bam!" ขึ้นมาอัตโนมัติ ไม่รู้มีใครจำหนังสือที่เขาอธิบาย machine learning แบบวาดรูปประกอบไปด้วยได้ไหม เมื่อก่อนผมก็ดูช่อง YouTube ของเขาบ่อยเหมือนกัน คอนเทนต์อธิบายแบบนี้ทำให้การเรียนสนุกขึ้นมากจริง ๆ