[pdf] การพิสูจน์ข้อคาดการณ์การคลุมคู่ด้วยวงจรที่เสนอโดย GPT-5.6 Sol Ultra

[GN⁺]

ความคิดเห็นบน Hacker News

• นอกเหนือจากผลงานหรือบทพิสูจน์เอง สิ่งที่น่าสนใจคือ แม้ในโมเดลล่าสุด ส่วนใหญ่ของพรอมป์ต์ก็ยังถูกใช้ไปกับการสั่งให้โมเดล แก้โจทย์จริง ๆ อยู่ดี
  เช่นวลีอย่าง “ปฏิเสธรายงานสถานะ การมองโลกในแง่ดีแบบคลุมเครือ และคำกล่าวอ้างว่าประพจน์ความเข้ากันได้เชิงสากลที่ยังไม่ได้พิสูจน์เป็นเรื่อง ‘ตามปกติ’” และส่วนที่ป้อนกลยุทธ์ให้จำนวนมากก็ดูสะดุดตา
  กลยุทธ์แบบนี้สุดท้ายแล้วให้ความรู้สึกว่าเป็นสิ่งที่โมเดลควรต้องอนุมานเอง และไม่ได้ต้องการลดทอนคุณค่าของผลลัพธ์ แต่ทำให้นึกถึงแนวทาง chain-of-thought ยุคแรก ๆ ที่พรอมป์ต์ GPT-4 ว่า “คิดทีละขั้นตอน”

  • ผมคิดว่านี่เกี่ยวข้องอย่างมากกับ post-training ที่โมเดลมักได้รับ
    โมเดลถูกออกแบบให้ตอบคำถามพื้นฐานด้วยคำตอบสรุปที่สั้นและตรงไปตรงมา จึงมีความสามารถในการให้เหตุผลเชิงลึก แต่ถ้าไม่มีพรอมป์ต์ก็จะไม่เอนเอียงไปทางนั้น
    โมเดลภาษาขนาดใหญ่ในปี 2026 นั้นมีความสามารถสูงมาก แต่ก็เหมือนมายากลในห้องรับแขกแบบหนึ่ง ไม่ใช่สิ่งที่มีสำนึก หากแต่ใกล้เคียงกับเครื่องจักรที่เมื่อเราจัดฉากบริบทให้แล้วก็กลิ้งลงเนินไปเอง
    หากมีอินพุตที่ถูกต้อง มันสามารถไปถึงคำตอบใหม่จริง ๆ ได้ แต่ในแง่ที่มันไม่มีเจตจำนงและต้องพึ่งพาการชี้นำของมนุษย์ มันจึงทั้งน่าอัศจรรย์และเป็นเครื่องจักรไปพร้อมกัน
  • โมเดลภาษาขนาดใหญ่มีการให้เหตุผลพื้นฐานและ การท่องจำ มหาศาล
    ถ้ารวมการให้เหตุผลพื้นฐานนั้น การค้นหาที่ถูกตัดกิ่ง และปริมาณการคำนวณมหาศาลเข้าด้วยกัน ก็สามารถพิสูจน์ได้หลายอย่าง แต่ความทรงจำว่ามนุษย์เคยล้มเหลวมาก่อนจะตัดความเป็นไปได้ทิ้งตั้งแต่เนิ่น ๆ
    ดังนั้นจึงต้องพยายามโน้มน้าวโมเดลว่าอย่าตัดกิ่งเร็วเกินไปเพียงเพราะมนุษย์เคยล้มเหลวมาก่อน
  • ขำดี เพราะผมเห็นปรากฏการณ์เดียวกันเป๊ะตอนถามเรื่อง P=NP
    โมเดลปฏิเสธอย่างโจ่งแจ้งที่จะลองทำ โดยบอกว่ายากเกินไป และต้องเถียงกันพอสมควรกว่าจะทำให้มันเสนอแม้แต่วิธีเข้าหาที่ดูมีหวัง
  • อาจต้องมีโมเดลที่ปรับแต่งมาโดยเฉพาะสำหรับงานวิจัยคณิตศาสตร์ก็ได้ ประมาณ “gpt-5.3-codex”
    ทำให้ตั้งตารอ “gpt-5.6-mathx” เลย
  • ผมก็มองแบบนั้นเหมือนกัน และพรอมป์ต์ก็เต็มไปด้วย เมตาฮิวริสติก
    ทำให้นึกถึงช่วงไม่กี่ปีก่อนที่ผู้คนบอกว่า prompt engineering เป็นทักษะหนึ่ง
    ถ้าให้เดา เหตุผลที่โมเดลทำสิ่งนี้เองไม่ได้คือ ในปัญหาส่วนใหญ่ คำแนะนำเหล่านี้จำนวนมากเป็นคำแนะนำที่ไม่ดี
    ในการปรับแต่งการค้นหา โดยทั่วไปเรามักแลกเวลาสลับกับคุณภาพ การค้นหาที่กว้างมากมักให้ผลลัพธ์แย่ ๆ อยู่นาน ขณะที่การค้นหาเชิงลึกพร้อมฮิวริสติกมักให้ผลลัพธ์ค่อนข้างดีได้เร็ว
    โมเดลน่าจะพยายามหาจุดกึ่งกลางที่ดีที่สุดในกรณีส่วนใหญ่โดยธรรมชาติ แต่สำหรับปัญหาที่ยากมากจนความพยายามระดับพอดีไม่พอ จำเป็นต้องค้นหาให้กว้างกว่ามากโดยไม่มีข้อจำกัดด้านเวลา
    ส่วนใหญ่ของพรอมป์ต์ก็ดูเหมือนมุ่งไปที่การขยายการค้นหา ป้องกันการลู่เข้าก่อนเวลา และเอาแรงกดดันด้านเวลาออก

• ผมคิดว่าเกณฑ์ของงานที่ทำให้อัตโนมัติด้วย AI agent ได้ง่าย หากสรุปให้ชัดคือ: ระดับที่สามารถระบุและตรวจสอบ ความถูกต้อง ของคำตอบได้ง่าย, ระดับที่สามารถทำให้คำตอบผู้สมัครใหม่อยู่ในรูปข้อความได้, และระดับที่มีงานวิจัยก่อนหน้าอยู่บนออนไลน์
  โดยพื้นฐานแล้วสิ่งนี้สอดคล้องกับวิศวกรรมซอฟต์แวร์และคณิตศาสตร์
  ผมคิดว่าส่วนใหญ่ของการโฆษณาเกินจริงเรื่อง AI มาจากการที่งานของนักออกแบบ AI เองเป็นอาชีพที่ถูกทำให้อัตโนมัติด้วย AI ได้ง่ายที่สุด
  พวกเขาคิดว่า “ถ้างานของฉันดีขึ้นได้ขนาดนี้ด้วย AI ทุกอาชีพก็คงเหมือนกัน” แต่แดกดันว่าความจริงเกือบจะตรงกันข้าม และคำทำนายเรื่องการหายไปของแรงงานในวงกว้างก็เช่นกัน

  • เป็นมุมมองที่น่าสนใจ แต่ผมคิดว่า 2 ข้อในนั้นค่อนข้างพูดเกินไป
    ผมมองว่าซอฟต์แวร์ส่วนใหญ่ไม่เหมือนกับการแก้โจทย์คณิตศาสตร์หรือชุดของโจทย์คณิตศาสตร์
    ปัญหาอัลกอริทึมอาจใกล้เคียงกว่านี้ เพราะเป็นขอบเขตแคบ ๆ ที่มี oracle สำหรับตรวจสอบว่าคำตอบถูกหรือผิดอยู่ล่วงหน้า
    ในซอฟต์แวร์ส่วนใหญ่ ฟังก์ชันความถูกต้องคือผู้ใช้อยากใช้และอยากจ่ายเงินมากแค่ไหน ซึ่งเป็นปัญหาที่ค่อนข้างคลุมเครือ
    เนื่องจากต้นทุนการทำสำเนาซอฟต์แวร์แทบเป็น 0 ระบบต่าง ๆ จึงมีแนวโน้มจะมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวมากกว่าจะเหมือนกันเป๊ะ และมีแนวโน้มจะแตกแขนงออกไปมากกว่าจะลู่เข้าหากันเป็นระบบอื่น
    ส่วนเรื่องงานวิจัยก่อนหน้าก็น่าสนใจเช่นกัน
    อย่างน้อยเมื่อมองทั้งแอปพลิเคชัน ปัญหาและการประนีประนอมส่วนใหญ่ที่ซอฟต์แวร์ไม่ธรรมดาขนาดมีนัยสำคัญบรรจุอยู่นั้นจริง ๆ แล้วไม่มีงานวิจัยก่อนหน้า
    ถ้าเป็นโปรเจกต์ทำแอป To-do list หรือโซเชียลเน็ตเวิร์ก ก็มีตัวอย่างก่อนหน้ามากพอให้ระบบโมเดลภาษาขนาดใหญ่สร้างได้ แต่แอปส่วนใหญ่น่าจะไม่ใช่แบบนั้น
  • สมมติว่า AI เก่งเฉพาะซอฟต์แวร์กับคณิตศาสตร์
    ถ้าเราสามารถสร้างซอฟต์แวร์ดี ๆ ได้จำนวนมากและราคาถูกด้วย AI ซอฟต์แวร์เหล่านั้นก็สามารถทำให้งานจำนวนมากเป็นอัตโนมัติได้
    ดังนั้น AI ไม่จำเป็นต้องแย่งงานโดยตรง แต่ ซอฟต์แวร์ที่ AI เขียน สามารถแย่งงานได้
    โดยเฉพาะถ้าสิ่งนี้เป็นไปได้ในซอฟต์แวร์สำหรับหุ่นยนต์ด้วย ก็ยิ่งใช่
  • ช่วยอธิบายได้ไหมว่าที่พูดว่า “ความจริงตรงกันข้าม และคำทำนายเรื่องการหายไปของแรงงานในวงกว้างก็เช่นกัน” หมายความว่าอย่างไร?
    งานกลุ่มหนึ่งที่ตรวจสอบได้ เช่น การเขียนโปรแกรม คณิตศาสตร์ ฯลฯ ดูเหมือนว่า AI จะทำได้ดีขึ้นอย่างแน่นอน
    งานกลุ่มใหญ่อีกกลุ่ม เช่น กฎหมาย บัญชี การวิเคราะห์การเงิน ผมก็ไม่เห็นเหตุผลว่าทำไม AI จะไปไม่ถึงระดับเหนือมนุษย์ เพียงแต่ดูเหมือนต้องดึงความเชี่ยวชาญเฉพาะโดเมนเข้ามาไว้ใน harness และซอฟต์แวร์มากขึ้น
    ในระยะยาว คุณมองว่ามีแง่มุมของงานความรู้ที่ AI จะทำได้ไม่ดีอยู่หรือ?
  • งานปกขาว จำนวนมากตรวจสอบได้
    เมื่อสร้างหุ่นยนต์ได้ งานในโลกจริงก็จะกลายเป็นสิ่งที่ตรวจสอบได้ขึ้นมาทันที
  • ตามที่ Dwarkesh กล่าว ความสามารถในการทำซ้ำ ในการฝึกก็สำคัญเช่นกัน

• สิ่งที่น่าประทับใจในที่นี้ ต่างจากปัญหาระยะทางหนึ่งหน่วย คือมันไม่ใช่ตัวอย่างโต้แย้ง แต่เป็น การพิสูจน์
  เพียงแต่ว่าการพิสูจน์นั้นกระชับสุด ๆ จนดูเหมือนใช้กลเม็ดอันชาญฉลาดที่ผู้เชี่ยวชาญทุกคนพลาดไป
  ไม่ได้จะลดทอนผลลัพธ์อันน่าทึ่งนี้หรือย้ายเสาประตูแต่อย่างใด แต่ตอนนี้ความสำเร็จเดียวที่ AI ยังทำไม่ได้ในคณิตศาสตร์ดูเหมือนจะเป็นการพิสูจน์แบบ “สร้างทฤษฎี” อย่างอัตโนมัติสำหรับข้อคาดการณ์เปิด
  กล่าวคือ เป็นการพิสูจน์ที่ต้องสร้างทฤษฎีใหม่ที่มีสาระจริง ๆ ซึ่งอย่างน้อยน่าจะพัฒนาออกมาได้ 30 หน้าขึ้นไป เพื่อแก้ปัญหาเปิด

  • มันกระชับจริง ๆ และอ่านแล้วเหมือนนำคุณสมบัติที่ค้นพบแล้วมา ผสมผสานกันในรูปแบบใหม่ ตามที่พูดไว้เป๊ะ
    ชอบสำนวนการเขียนมาก
    อ่านเหมือนบทความยุคเก่า ๆ แบบที่ทฤษฎีบทกับบทพิสูจน์เดินหน้าไปตรง ๆ อย่างที่บอกไว้พอดี
  • Grant Sanderson เพิ่งแยกความแตกต่างระหว่างนักคณิตศาสตร์ที่สร้างไวยากรณ์ กับนักคณิตศาสตร์ที่จัดการไวยากรณ์นั้น ในพอดแคสต์ของ Dwarkesh
    ในบางบริบทอาจใช้คำว่า ontology ก็ได้ ซึ่งผมค่อนข้างชอบการแบ่งแบบนี้
    ตอนนี้เราดูเหมือนอยู่ในขั้นของ การจัดการไวยากรณ์
    การสร้าง ontology ที่มีประโยชน์ยังดูห่างออกไปอีกหน่อย
    ไม่ได้จะบ่นใส่ผลลัพธ์อันยอดเยี่ยมนี้ แค่ลองคิดว่าจากนี้เสาประตูจะถูกตั้งไว้ตรงไหน
  • มีเหตุผลอะไรต้องพูดว่า “อย่างไรก็ตาม” ไหม?
    ตามที่ผมตีความ มันพบวิธีแก้ใหม่จริง ๆ และเป็นวิธีที่ สง่างามแต่ก่อนหน้านี้ถูกมองข้าม
    ผลลัพธ์ที่นักคณิตศาสตร์มนุษย์ใฝ่ฝันก็น่าจะเป็นแบบนี้พอดี
  • ขำ ๆ เลยถาม ChatGPT 5.5 ว่าปัญหานี้สำคัญแค่ไหน และ 5.6 มีโอกาสแค่ไหนที่จะแก้ได้ด้วยวิธีสามหน้า มันตอบว่าแทบเป็นศูนย์
    ให้ค้นอินเทอร์เน็ตด้วยแล้ว แต่ก็ยังสงสัยอย่างยิ่งอยู่ดี
  • สงสัยว่าทุกครั้งมีการรันเซสชันแบบขนานหรือเปล่า
    เช่น เซสชันหนึ่งพยายามพิสูจน์ อีกเซสชันหนึ่งหาตัวอย่างโต้แย้ง

• ประกาศ: https://x.com/eknight/status/2075643450196971805
  พรอมป์ต์: https://cdn.openai.com/pdf/04d1d1e4-bc75-476a-97cf-49055cd98...

  • “ใช้เวลาอย่างน้อย 8 ชั่วโมงก่อนคิดจะส่งคืนหรือยอมแพ้”
    harness ของโมเดลปัจจุบันมีแนวคิดเรื่อง เวลาที่ใช้ อยู่ไหม?
    เคยเห็นบางครั้งที่โมเดลสังเกตได้ว่า subprocess ใช้เวลานานเกินไปหรือค้างแล้วฆ่าทิ้ง แต่ไม่เคยเห็นมันจับเวลาเอง
  • “ใช้เวลาน้อยกว่า 1 ชั่วโมงนิดหน่อย”
    ถึงอย่างนั้นก็ยังสงสัยว่า survivorship bias มีมากแค่ไหน
    มีปัญหาอื่นที่ล้มเหลวไปกี่ข้อ?
    ปัญหานี้เคยพยายามแก้ด้วยพรอมป์ต์อื่นแล้วล้มเหลวบ้างไหม?
    แต่ก็ยังน่าประทับใจมาก

• การเปิดเผยพรอมป์ต์ออกมานั้นเจ๋งมากจริง ๆ
  สงสัยว่าทุกครั้งที่มี frontier model ใหม่ออกมา มีการลองปัญหาที่ยังแก้ไม่ได้มากแค่ไหน
  ลองทุกปัญหากับทุกรีลีสเลยหรือเปล่า?
  อัตราความสำเร็จในการแก้ได้อยู่ที่เท่าไร?
  ในแวดวงคณิตศาสตร์มีชุมชนย่อยที่คอยประสานงานความพยายามแบบนี้ไหม?
  ยังมีโอกาสที่ยังขุดไม่เจอเหลืออยู่อีกเท่าไร?

  • น่าสนใจอยู่เหมือนกันที่ไม่ได้เปิดเผย output ทั้งหมด
    คำวิจารณ์ที่พบบ่อยอย่างหนึ่งต่อการเขียนคณิตศาสตร์คือผลลัพธ์ดูเหมือน “ดึงออกมาจากหมวก”
    เขียนเฉพาะบทพิสูจน์สุดท้ายที่ขัดเกลาแล้ว และซ่อนทุกอย่างที่ใช้ในการพัฒนามันไว้
    น่าขันดีที่ธรรมเนียมนี้ยังดำเนินต่อไปแม้เมื่อโมเดลภาษาขนาดใหญ่เป็นผู้เขียนบทพิสูจน์
  • พรอมป์ต์ถูกเปิดเผยแล้ว แต่ ต้นทุน ที่ใช้เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ไม่ได้ถูกเปิดเผย
  • ผมแทบมั่นใจว่าในสมมติฐานรีมันน์คงมีการทุ่มต้นทุนการอนุมานไปหลายล้านดอลลาร์แล้ว
    ยิ่งโมเดลแข็งแกร่งขึ้น เงินก้อนใหญ่ขึ้นก็จะยิ่งถูกทุ่มลงไป
    ลองจินตนาการว่าบริษัทหนึ่งจ่าย “แค่ 1 พันล้านดอลลาร์” แล้วได้ชื่อว่าเป็นบริษัทที่แก้ปัญหาคณิตศาสตร์เปิดที่ยากและโด่งดังที่สุดในประวัติศาสตร์
    เห็นพาดหัวข่าวทั่วโลกได้เลย
    อย่างที่มักพูดกัน สมมติฐานรีมันน์ คือวิธีที่ยากที่สุดในการหาเงินหนึ่งล้านดอลลาร์

• ถ้าการตรวจสอบทั้งหมดผ่าน นี่คือหมุดหมายครั้งใหญ่
  ตอนนี้ AI ใช้โมเดลสำเร็จรูปแก้หนึ่งในปัญหาเปิดที่โด่งดังที่สุดของทฤษฎีกราฟได้ใน 1 ชั่วโมง
  ณ จุดนี้ มันอาจเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ดีกว่ามนุษย์ส่วนใหญ่แล้ว
  คล้ายช่วงที่ซอฟต์แวร์หมากรุกเริ่มชนะทุกคนยกเว้นแกรนด์มาสเตอร์
  ตอนนี้ยังเหลืออะไรอีก?
  การเสนอและสร้างทฤษฎีกับกรอบแนวคิดใหม่ทั้งหมด?
  หลังจากนั้นก็เหนือกว่ามนุษย์ทุกคน?
  แล้วหลังจากนั้นคือ ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์แบบเอเลียน ที่เราเข้าใจได้ยากหรือเปล่า?

  • ยากที่จะไม่รู้สึกว่างเปล่า
    ผมเป็นคนที่สติปัญญาธรรมดามาก และอาจต่ำกว่าค่าเฉลี่ยด้วยซ้ำ
    ถ้ารู้ว่าอะไรก็ตามที่ผมทำได้ โมเดลภาษาขนาดใหญ่ทำได้ดีกว่า แล้วคุณค่าหรือเหตุผลในการมีอยู่ของผมคืออะไร?
    คุณค่าของผมในตลาดแรงงาน และในฐานะมนุษย์คืออะไร?
  • สิ่งที่เหลืออยู่คงเป็นการที่มนุษย์เสนอ ข้อคาดการณ์ใหม่ แล้วให้เครื่องเติมบทพิสูจน์ให้
    แต่ก็ไม่รู้ว่าจะมีข้อคาดการณ์ที่น่าสนใจพอให้สร้างอาชีพใหม่ได้มากพอหรือไม่
  • พูดถึงสิ่งเหล่านั้นเหมือนเป็นขั้นถัดไปที่ใกล้มาก แต่ในความเป็นจริงอาจไม่ได้เป็นไปแบบนั้น
    เช่น ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา AI แทบไม่มีความคืบหน้าในการก้าวข้ามผู้เชี่ยวชาญด้านศิลปะหรือการเขียน
    ความสามารถในการทำตามพรอมป์ต์ดีขึ้นมาก และตอนนี้วาดมือกับตัวอักษรได้แล้ว แต่ รสนิยมทางศิลปะ หยุดนิ่งสนิท

• เวลาเห็นประกาศแบบนี้ก็รู้สึกสองใจ
  ด้านหนึ่ง มีศักยภาพไม่สิ้นสุดในสิ่งที่เราจะค้นพบได้เมื่อพรอมป์ต์ AI แก้ปัญหาเก่า ๆ
  อีกด้านหนึ่ง อะไรบางอย่างทางสุนทรียะ หายไป เพราะไม่ใช่มนุษย์ที่ต่อสู้กับปัญหา หรือแก้มันด้วย insight ใหม่
  ถ้าพรอมป์ต์ AI รันอยู่ในดาต้าเซ็นเตอร์ 2 สัปดาห์แล้วพิมพ์ว่า p=np ออกมา ก็คงรู้สึกว่างเปล่านิด ๆ

  • ทุกยุคทุกสมัยต่างก็เคยรู้สึกทำนองนี้ในบางเวอร์ชัน
    “คีย์บอร์ดไม่มีวิญญาณ ลายมือเป็นสิ่งส่วนบุคคลและเป็นเอกลักษณ์เหมือนลายนิ้วมือ” — Joyce Carol Oates กล่าวถึงเครื่องพิมพ์ดีด
    “สิ่งประดิษฐ์ของท่านนี้จะก่อให้เกิดความหลงลืมในจิตวิญญาณของผู้เรียน เพราะพวกเขาจะไม่ใช้ความทรงจำ แต่จะพึ่งพาตัวอักษรภายนอกและไม่จดจำด้วยตนเอง สิ่งที่ท่านค้นพบไม่ใช่ยาช่วยความจำ แต่เป็นยาช่วยการระลึก และท่านมอบให้ศิษย์ไม่ใช่ความจริง แต่เป็นเพียงรูปลักษณ์ของความจริงเท่านั้น” — Socrates กล่าวถึงการเขียน
  • ผมเข้าใจความรู้สึกนั้น แต่ในทางกลับกัน มนุษย์ที่อ่าน output นั้นก็น่าจะได้รับ แรงบันดาลใจ boost อย่างมาก
    คำตอบใหม่มักนำไปสู่คำถามใหม่

• ChatGPT 5.6 Sol Pro มองว่าพิสูจน์นี้สมเหตุสมผล
  ปกติมันเก่งมากในการตัดสินว่าพิสูจน์ถูกต้องหรือผิดตรงไหน และเพื่อนที่เป็นนักวิจัยคณิตศาสตร์ระดับท็อปก็ช่วยตรวจให้แล้ว: https://chatgpt.com/share/6a515ead-b464-83ed-b85c-c8674f56ea...
  โดยส่วนตัวแล้ว ผมยิ่งมั่นใจมากขึ้นว่านี่เป็นของจริง

  • ก็แน่นอนว่ามันต้องเชื่อว่าพิสูจน์นั้นสมเหตุสมผลอยู่แล้ว เพราะมันเป็นคนเขียนเอง
    ถ้าจะตรวจสอบผลลัพธ์จากโมเดลภาษาขนาดใหญ่ ก็ต้องใช้ โมเดลภาษาขนาดใหญ่อีกตัว

• “GPT-5.6 Sol Ultra สร้างพิสูจน์ของข้อคาดการณ์ cycle double cover”
  เป็นพาดหัวบทความที่ชวนให้เข้าใจผิดอย่างมาก
  พาดหัวควรเป็น “มนุษย์ไร้ชื่อกลุ่มหนึ่งใช้ GPT-5.6 สร้างพิสูจน์ที่ยังไม่ได้รับการตรวจสอบสำหรับข้อคาดการณ์ CDC”
  แต่ก็พอเดาได้ว่าสิ่งที่ออกมาจากวงการ AI คงเป็นถ้อยคำโฆษณา

• ชอบที่พิสูจน์นี้กระชับขนาดนี้
  ผมเคยทำความคืบหน้าในปัญหาเปิดบางข้อด้านคอมบินาทอริกส์มาก่อน และพิสูจน์ที่ขยายขอบเขตออกไปหนึ่งขั้นนั้นยาวถึง 45 หน้า

  • ตอนมัธยมปลายผมเคยทำงานวิจัยคณิตศาสตร์ และพิสูจน์ก็ถูกลดรูปไปเป็นกรณีของอสมการพหุนามน่าเกลียดหลายสิบกรณี
    ตอนนี้หา PDF ไม่เจอแล้ว แต่บทความสุดท้ายน่าจะยาวประมาณ 70 หน้า และในนั้นมีอยู่หลายหน้าที่นิพจน์พหุนามที่ขยายแล้วกินพื้นที่เต็มทั้งหน้า
    ส่วนที่เป็นร้อยแก้วจริง ๆ น่าจะมีแค่ประมาณ 5 หน้า
    มันเป็นพิสูจน์ที่ไร้ความสง่างามที่สุดอย่างชัดเจนเมื่อเทียบกับพิสูจน์ทั้งหมดที่ผมเคยเห็น
    ผมรู้สึกขอบคุณจริง ๆ ที่ได้มีโอกาสทำวิจัยตั้งแต่เนิ่น ๆ และได้ลองลงสนาม แต่พอย้อนกลับไปดูบทความนั้นก็ยังรู้สึกเขินอยู่