GPT-5.6 เติมช่องว่าง 30 ปีของการหาค่าเหมาะที่สุดเชิงนูนด้วยพรอมป์ต์

 (old.reddit.com)
1 คะแนน โดย GN⁺ 1 일 전 | 1 ความคิดเห็น | แชร์ทาง WhatsApp
  • เนื้อหาที่ให้มาจริง ๆ แล้วไม่ได้กล่าวถึง GPT-5.6 หรือการหาค่าเหมาะที่สุดเชิงนูน แต่กล่าวถึงทฤษฎีบทในทฤษฎีกลุ่มที่จัดจำแนก finite simple group ทั้งหมดออกเป็น 18 ตระกูลอนันต์และ 26 กลุ่มกระจัดกระจาย
  • finite simple group เป็นองค์ประกอบพื้นฐานของ finite group คล้ายจำนวนเฉพาะ แต่เนื่องจากมีกลุ่มที่ไม่ไอโซมอร์ฟิกกันซึ่งมี composition series เดียวกัน องค์ประกอบพื้นฐานเพียงอย่างเดียวจึงไม่สามารถกำหนดกลุ่มเดิมได้อย่างเอกลักษณ์
  • บทพิสูจน์การจัดจำแนกประกอบด้วยงานวิจัยหลายร้อยฉบับและหลายหมื่นหน้า โดยนักคณิตศาสตร์ราว 100 คนตีพิมพ์เป็นหลักในช่วงปี 1955–2004 และหลังจาก Aschbacher กับ Smith พิสูจน์กรณี quasithin group ที่ตกหล่นไปด้วยงานยาว 1,221 หน้า ก็มีการประกาศว่าการพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์ในปี 2004
  • บทพิสูจน์ดำเนินไปโดยจัดการกลุ่มที่มี 2-rank เล็กก่อน แล้วจึงแบ่งกรณีที่เหลือออกเป็น component type และ characteristic 2 type พร้อมตรวจสอบการมีอยู่และเอกลักษณ์ของ simple group ผู้สมัครแต่ละตัว
  • ขณะนี้ยังมีการตีพิมพ์ บทพิสูจน์รุ่นที่สอง อย่างต่อเนื่องเพื่อทำให้บทพิสูจน์รุ่นแรกที่ยาวเกินไปง่ายขึ้นและรวมเป็นระบบเดียวกัน และการจัดจำแนกนี้ถูกนำไปใช้กับอัลกอริทึมเชิงทฤษฎีสำหรับปัญหา graph isomorphism รวมถึงผลลัพธ์ต่าง ๆ ในทฤษฎีกลุ่มและ permutation group

การจัดจำแนก finite simple group และบทบาทของมัน

  • การจัดจำแนก finite simple group ยืนยันว่า finite simple group ทุกกลุ่ม เมื่อพิจารณาไอโซมอร์ฟิซึมแล้ว เป็นหนึ่งในต่อไปนี้
    • cyclic group ที่มีอันดับเป็นจำนวนเฉพาะ
    • alternating group ที่มีอันดับอย่างน้อย 5
    • simple group แบบ Lie type จำนวน 16 ตระกูลอนันต์
    • sporadic group 26 กลุ่ม
  • เมื่อรวมกันจะได้ 18 ตระกูลอนันต์และ 26 กรณียกเว้น
    • บางครั้ง Tits group ก็ถูกจัดเป็น sporadic group เพราะไม่ใช่กลุ่ม Lie type อย่างเคร่งครัด ซึ่งในธรรมเนียมนี้จะทำให้มี sporadic group 27 กลุ่ม
  • simple group เป็นองค์ประกอบพื้นฐานของ finite group ในความหมายที่ ทฤษฎีบท Jordan–Hölder ทำให้แม่นยำขึ้น
    • ต่างจากการแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนเต็ม composition series เดียวกันอาจให้กลุ่มที่ไม่ไอโซมอร์ฟิกกันหลายกลุ่มได้ จึงทำให้คำตอบของ ปัญหาส่วนขยาย ไม่เป็นเอกลักษณ์
  • ปัญหาเกี่ยวกับ finite group หรือการกระทำของ finite group สามารถลดรูปเป็นการตรวจสอบแยกตามแต่ละตระกูลของ simple group และแต่ละ sporadic group ได้

ขนาดของบทพิสูจน์และการทำให้สมบูรณ์

  • บทพิสูจน์ทั้งหมดประกอบด้วยงานวิจัยหลายร้อยฉบับและหลายหมื่นหน้า เขียนโดยคนประมาณ 100 คน และส่วนใหญ่ตีพิมพ์ระหว่างปี 1955–2004
  • Daniel Gorenstein ประกาศในปี 1983 ว่าการจัดจำแนกเสร็จสมบูรณ์แล้ว แต่เป็นการประกาศก่อนเวลาเนื่องจากได้รับข้อมูลผิดเกี่ยวกับบทพิสูจน์ของ quasithin group
  • หลังจาก Michael Aschbacher และ Stephen D. Smith พิสูจน์กรณี quasithin group ที่ขาดอยู่ด้วยงานยาว 1,221 หน้า แล้ว Aschbacher ก็ประกาศความสมบูรณ์ในปี 2004
  • ในปี 2008 Harada และ Solomon ได้เติมเต็มกรณี standard component ที่ตกหล่นไปจากความผิดพลาดในการคำนวณ Schur multiplier ของ Mathieu group M22
  • Gorenstein, Richard Lyons และ Ronald Solomon ได้ตีพิมพ์ฉบับที่ทำให้บทพิสูจน์ง่ายขึ้นและแก้ไขข้อผิดพลาดแบบค่อยเป็นค่อยไป

การแบ่งส่วนหลักของบทพิสูจน์

  • หนังสือสองเล่มของ Gorenstein ให้ภาพรวมของส่วนที่มี rank ต่ำและ characteristic คี่ ส่วน Aschbacher, Lyons, Smith และคนอื่น ๆ จัดการกรณี characteristic 2 ที่เหลือในเล่มที่สาม
  • การจัดจำแนกทั้งหมดมีโครงสร้างเป็นการจัดการกลุ่มที่มี 2-rank เล็ก กลุ่มแบบ component type และกลุ่มแบบ characteristic 2 type จากนั้นจึงตรวจสอบการมีอยู่และเอกลักษณ์ของผู้สมัครแต่ละราย
  • หาก sectional 2-rank มีค่าอย่างน้อย 5 จะใช้ผลของ MacWilliams และ balance theorem เพื่อแบ่ง simple group ออกเป็น component type หรือ characteristic 2 type
    • สำหรับ 2-rank ต่ำ การแบ่งนี้ไม่สามารถใช้ตรง ๆ ได้ เพราะไม่เป็นไปตามเงื่อนไข rank ที่ signalizer functor theorem และผลลัพธ์อื่น ๆ ต้องการ

กลุ่มที่มี 2-rank เล็ก

  • กลุ่มอันดับคี่ที่มี 2-rank เป็น 0 เป็นกลุ่มแก้ได้ทั้งหมดตาม ทฤษฎีบท Feit–Thompson
  • เมื่อ 2-rank เป็น 1 Sylow 2-subgroup จะเป็น cyclic group หรือ generalized quaternion group
    • เมื่อนำ transfer map และ Brauer–Suzuki theorem มาใช้ จะไม่มี simple group ใดเลยยกเว้น cyclic group อันดับ 2
  • เมื่อ 2-rank เป็น 2 Sylow subgroup ต้องเป็นแบบ dihedral, quasidihedral, wreath type หรือ Sylow 2-subgroup ของ (U_3(4))
    • Gorenstein–Walter theorem ให้ (L_2(q)) และ (A_7) ในกรณีแรก
    • Alperin–Brauer–Gorenstein theorem ให้ (L_3(q)), (U_3(q)), (M_{11}) ในอีกสองกรณีถัดมา
    • Lyons แสดงว่าความเป็นไปได้แบบ simple เพียงแบบเดียวในกรณีสุดท้ายคือ (U_3(4))
  • กลุ่มที่มี sectional 2-rank ไม่เกิน 4 ถูกจัดจำแนกโดย ทฤษฎีบท Gorenstein–Harada
  • โดยเฉพาะ การจัดจำแนกกรณี rank ไม่เกิน 2 พึ่งพาทฤษฎี character แบบธรรมดาและแบบโมดูลาร์อย่างมาก ซึ่งแทบไม่ถูกนำไปใช้โดยตรงในส่วนอื่นของการจัดจำแนก

กลุ่มแบบ component type

  • หากสำหรับ centralizer (C) ของ involution มีว่า (C/O(C)) มี component ก็จะถูกจัดอยู่ใน component type
    • (O(C)) คือ normal subgroup อันดับคี่ที่มากที่สุดของ (C)
  • เป้าหมายหลักคือกลุ่ม Lie type ที่มี rank สูงใน characteristic คี่ รวมถึง alternating group และ sporadic group บางส่วน
  • B-theorem แสดงว่า component ทั้งหมดของ (C/O(C)) เป็นภาพของ component ของ (C) จึงขจัดอุปสรรคที่เกิดจาก core ของ involution
  • ตั้งสมมติฐานแบบอุปนัยว่าเรารู้จัก quasisimple group ที่เล็กกว่าซึ่งเป็น component ของ centralizer แล้ว จากนั้นจึงตรวจสอบ simple group ที่เป็นไปได้สำหรับแต่ละ central extension ของ finite simple group ที่รู้จักทั้งหมด
  • นอกจาก sporadic group 26 กลุ่มและ Lie type 16 ตระกูลแล้ว ยังต้องจัดการแยกต่างหากกับพฤติกรรมยกเว้นในฟิลด์ขนาดเล็ก rank ต่ำ และความต่างระหว่าง characteristic คู่กับคี่

กลุ่มแบบ characteristic 2 type

  • หาก generalized Fitting subgroup (F^*(Y)) ของทุก 2-local subgroup (Y) เป็น 2-group ก็จะเป็น characteristic 2 type
  • ส่วนใหญ่คือกลุ่ม Lie type เหนือฟิลด์ที่มี characteristic 2 แต่ยังรวม alternating group, sporadic group และกลุ่ม characteristic คี่บางส่วนด้วย
  • rank ที่เกี่ยวข้องคือ rank สูงสุดของ abelian subgroup อันดับคี่ที่ทำการ normalize 2-subgroup ที่ไม่เป็นศูนย์
    • ในกลุ่ม Lie type characteristic 2 ค่านี้มักเท่ากับ rank ของ Cartan subalgebra แต่ไม่ได้เท่ากันเสมอไป
  • thin group ที่มี rank 1 ถูกจัดจำแนกโดย Aschbacher และ quasithin group ที่มี rank 2 ถูกจัดจำแนกโดย Aschbacher กับ Smith
  • กรณี rank อย่างน้อย 3 ถูกแบ่งออกเป็นสามชนิดตาม trichotomy theorem
    • แบบ GF(2) ถูกจัดจำแนกโดย Timmesfeld เป็นหลัก
    • แบบ standard สำหรับจำนวนเฉพาะคี่ถูกจัดการโดย Gilman–Griess theorem และงานวิจัยต่อเนื่อง
    • แบบ uniqueness ไม่มี simple group เลยตามผลลัพธ์ของ Aschbacher
  • ผลลัพธ์ทั่วไปสำหรับ rank สูงส่วนมากสรุปลงที่กลุ่ม Lie type บนฟิลด์ characteristic 2 ที่มี rank อย่างน้อย 3 หรือ 4

การมีอยู่และเอกลักษณ์

  • เมื่อการจัดจำแนกเชิงโครงสร้างระบุผู้สมัครแต่ละตัวได้แล้ว ยังต้องพิสูจน์แยกต่างหากด้วยว่า simple group ที่มีคุณสมบัติเหล่านั้นมีอยู่จริงและมีเอกลักษณ์หรือไม่
  • บทพิสูจน์แรกของการมีอยู่และเอกลักษณ์ของ Monster group เพียงอย่างเดียวก็ยาวประมาณ 200 หน้า
  • การระบุ Ree group ของ Thompson และ Bombieri เป็นหนึ่งในส่วนที่ยากที่สุดของการจัดจำแนกทั้งหมด
  • บทพิสูจน์การมีอยู่ของ sporadic group จำนวนมากและบทพิสูจน์เอกลักษณ์บางส่วนในตอนแรกใช้การคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ แต่ส่วนใหญ่ภายหลังถูกแทนที่ด้วยบทพิสูจน์ด้วยมือที่สั้นกว่า

โปรแกรม 16 ขั้นของ Gorenstein

  • Gorenstein เผยแพร่โปรแกรมสำหรับทำการจัดจำแนกให้เสร็จสมบูรณ์ในปี 1972 และการจัดจำแนกสุดท้ายก็เป็นไปตามโครงร่างนี้โดยรวม
    1. กลุ่มที่มี 2-rank ต่ำ
    2. ความกึ่งเชิงเดี่ยวของ 2-layer
    3. standard form ใน characteristic คี่
    4. การจัดจำแนกกลุ่ม odd type ผ่าน classical involution theorem ของ Aschbacher
    5. quasistandard type
    6. central involution
    7. การจัดจำแนก alternating group
    8. sporadic group บางส่วน
    9. thin group ที่ Aschbacher จัดจำแนกในปี 1978
    10. กลุ่มที่มี strongly (p)-embedded subgroup สำหรับจำนวนเฉพาะคี่ (p)
    11. วิธี signalizer functor สำหรับจำนวนเฉพาะคี่ ซึ่ง McBride แก้สำเร็จในปี 1982
    12. กลุ่ม characteristic (p) type ที่ Aschbacher จัดการ
    13. quasithin group ที่ Aschbacher และ Smith ทำให้สมบูรณ์ในปี 2004
    14. กลุ่มที่มี 2-local 3-rank ต่ำ
    15. centralizer ของ 3-element ที่อยู่ใน standard form
    16. การจัดจำแนก simple group แบบ characteristic 2 type โดยใช้ Gilman–Griess theorem

พัฒนาการทางประวัติศาสตร์

  • ในปี 1832 Galois ได้นำแนวคิด normal subgroup มาใช้และค้นพบ simple group (A_n) และ (PSL_2(\mathbf F_p)) ส่วน Cayley ให้นิยาม abstract group ในปี 1854
  • Mathieu นำเสนอ Mathieu group ทั้งห้าซึ่งเป็น sporadic simple group ชุดแรกในช่วงปี 1861–1873 และ Hölder เสนอการจัดจำแนก finite simple group เป็นโจทย์ในปี 1892
  • ในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 20 ทฤษฎีบท Sylow, ทฤษฎี character, modular character, Fitting subgroup และ classical group เหนือ finite field เป็นรากฐานสำคัญ
  • ในปี 1955 Brauer–Fowler theorem แสดงว่าจำนวน finite simple group ที่มี involution centralizer แบบกำหนดไว้มีจำนวนจำกัด จึงส่งเสริมแนวทางที่อิงกับ centralizer
  • Chevalley, Steinberg, Suzuki และ Ree ได้นำเสนอตระกูล simple group แบบ Lie type ใหม่หลายตระกูลในช่วงปี 1955–1961
  • Feit และ Thompson พิสูจน์ทฤษฎีบทอันดับคี่ในปี 1963 และในทศวรรษ 1960–1970 ก็มีการจัดจำแนกจำนวนมากที่อาศัยโครงสร้างของ Sylow 2-subgroup และ involution จนเสร็จสิ้น
  • หลังการค้นพบ Janko group J1 ในปี 1966 ก็มีการค้นพบ sporadic group อีกจำนวนมาก และ Janko ได้นำเสนอ J4 ซึ่งเป็น sporadic group ตัวสุดท้ายที่ถูกค้นพบในปี 1976
  • การค้นพบ baby monster และ monster ในปี 1973 นำไปสู่การค้นพบ Thompson group และ Harada–Norton group
  • ในปี 1974 ทฤษฎีบท Gorenstein–Harada ได้แบ่ง simple group ที่เหลือออกเป็น component type และ characteristic 2 type
  • หลัง classical involution theorem ในปี 1977 เป็นที่ยอมรับกันว่าการทำการจัดจำแนกให้เสร็จสมบูรณ์อยู่ใกล้แค่เอื้อม เพราะสามารถจัดการ simple group ส่วนใหญ่ได้แล้ว
  • ในปี 1981 Bombieri ได้ทำการ characterise Ree group ให้เสร็จสมบูรณ์ และในปี 1982 Griess ได้สร้าง Monster group ด้วยมือ
  • ในปี 1983 trichotomy theorem แบ่งกลุ่ม characteristic 2 type ที่มี rank สูงออกเป็นสามกรณีย่อย แต่การประกาศความสมบูรณ์ในปีเดียวกันยังเว้นช่องว่างของ quasithin group ไว้
  • ในปี 1985 Atlas of Finite Groups ได้รวบรวมข้อมูลพื้นฐานของ finite simple group ทั้ง 93 กลุ่ม
  • ในปี 2012 Gonthier และผู้ร่วมวิจัยเผยแพร่ฉบับตรวจสอบด้วยคอมพิวเตอร์ของ Feit–Thompson theorem โดยใช้ Rocq ซึ่งในเวลานั้นยังชื่อ Coq

บทพิสูจน์รุ่นที่สองและรุ่นที่สาม

  • บทพิสูจน์จนถึงราวปี 1985 ถูกเรียกว่าเป็นรุ่นแรก และเพราะความยาวที่มากเกินไปจึงมีการผลักดัน บทพิสูจน์การจัดจำแนกรุ่นที่สอง ที่เรียบง่ายกว่า
  • ณ ปี 2023 Gorenstein, Lyons, Solomon และ Inna Capdeboscq ได้ตีพิมพ์ออกมาแล้ว 10 เล่ม
    • Solomon ประเมินในปี 2012 ว่ายังต้องการอีกราว 5 เล่ม แต่ก็มองว่าความคืบหน้าช้า
    • เดิมคาดว่าบทพิสูจน์ใหม่จะยาวราว 5,000 หน้า แต่เมื่อรวมเล่ม 9 และงานของ Aschbacher–Smith ก็แตะปริมาณดังกล่าวแล้ว และยังมีเล่มเพิ่มเติมอยู่ระหว่างเตรียม
  • เหตุที่ทำให้ทำให้ง่ายขึ้นได้ก็เพราะเรารู้รายชื่อการจัดจำแนกสุดท้ายอยู่แล้ว จึงเลือกเทคนิคที่เหมาะกับขอบเขตที่จำเป็นได้
    • ในรุ่นแรกนั้นแม้แต่จำนวน sporadic group ก็ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด และ Janko group บางกลุ่มก็ถูกค้นพบระหว่างกระบวนการพิสูจน์
    • ทฤษฎีบทกรณีพิเศษที่เป็นอิสระต่อกันสามารถถูกรวมเข้าเป็นบทพิสูจน์ที่มีโครงสร้างเดียว ทำให้เลื่อนการแยกกรณีออกไปจนกว่าจะใช้สมมติฐานที่แข็งแรงกว่าได้
    • การระบุตระกูลที่เคยซ้ำซ้อนสามารถตัดออกได้ด้วยการแบ่งกรณีแบบใหม่
    • ประสบการณ์ในทฤษฎีกลุ่มจำกัดและเทคนิคใหม่ ๆ ก็สะสมเพิ่มขึ้นด้วย
  • ข้อเสียคือทฤษฎีบทเฉพาะกรณีเดิมที่ค่อนข้างสั้นเหล่านั้น ตอนนี้กลับต้องพึ่งพาการจัดจำแนกทั้งหมด
  • Aschbacher เรียกงานของ Meierfrankenfeld, Stellmacher, Stroth และคนอื่น ๆ ว่าเป็น โปรแกรมรุ่นที่สาม โดยหนึ่งในเป้าหมายคือการจัดการกลุ่ม characteristic 2 ทั้งหมดอย่างเป็นเอกภาพด้วยวิธี amalgam

เหตุผลที่ยากจะมีบทพิสูจน์สั้น

  • เนื่องจากมี sporadic group 26 กลุ่ม บทพิสูจน์ใด ๆ ก็ตามจึงมีแนวโน้มต้องรวมกรณีพิเศษจำนวนมาก และยังไม่มีการพารามิเตอร์แบบเรียบง่ายและเป็นเอกภาพเหมือนการจัดจำแนก compact Lie group ด้วย Dynkin diagram
  • มีข้อเสนอให้สร้างวัตถุเชิงเรขาคณิตที่กลุ่มกระทำอยู่ แล้วจึงจำแนกวัตถุนั้นแทน
    • ในทางปฏิบัติ การจัดจำแนกจริงก็อาศัยการค้นหาโครงสร้างเชิงเรขาคณิตอย่าง BN-pair แต่สิ่งนี้ทำได้ก็ต่อเมื่อวิเคราะห์โครงสร้างของ simple group มาอย่างยาวนานแล้วเท่านั้น
  • representation theory ทำงานได้ดีใน rank ต่ำซึ่งสามารถควบคุม subgroup ได้ละเอียดมาก
    • แต่ใน rank สูง representation theory ยังไม่สามารถทำให้การจัดจำแนกง่ายลงได้สำเร็จ

ผลลัพธ์ที่อาศัยการจัดจำแนก

  • ถูกนำไปใช้พัฒนาอัลกอริทึมเชิงทฤษฎีที่ดีที่สุดในยุคนั้น รวมถึงผลลัพธ์ปี 1982 ที่ตัดสินปัญหา graph isomorphism สำหรับกราฟที่มี degree จำกัดได้ในเวลาเชิงพหุนาม
  • ใช้ใน Schreier conjecture, signalizer functor theorem, B conjecture และ Schur–Zassenhaus theorem สำหรับทุกกลุ่ม
    • สำหรับผลลัพธ์สุดท้ายนั้นไม่ต้องใช้การจัดจำแนกทั้งหมด แต่ใช้เพียง Feit–Thompson theorem ก็พอ
  • permutation group แบบทรานซิทีฟที่ไม่เป็น trivial บนเซตจำกัด จะมีสมาชิกที่ไม่มีจุดตรึงซึ่งมีอันดับเป็นกำลังของจำนวนเฉพาะ
  • ยังถูกใช้กับการจัดจำแนก 2-transitive permutation group และ permutation group อันดับ 3, Sims conjecture และ Frobenius conjecture เกี่ยวกับจำนวนคำตอบของ (x^n=1)
  • finite simple group ที่ไม่เป็นอาเบเลียนสามารถบ่งลักษณะได้ด้วย commuting graph

บทความที่เกี่ยวข้อง

1 ความคิดเห็น

 
GN⁺ 1 일 전
ความเห็นจาก Hacker News

  • ผมพอรู้เรื่องสาขานี้อยู่บ้าง ข้อคาดเดานี้อาจเฉพาะทางกว่าข้อคาดเดา cycle double cover ที่ OpenAI พิสูจน์ได้เมื่อไม่นานมานี้เล็กน้อย แต่ก็เป็นผลงานที่มีสาระชัดเจน
    มันว่าด้วยเวลาที่ใช้ในการแก้ปัญหา optimization ของ convex Lipschitz function และข้อจำกัดที่โดเมนเป็นทรงกลมนั้นไม่ใช่ประเด็นสำคัญ เพราะถ้าเป็นโดเมนมีขอบเขตก็เปลี่ยนตัวแปรได้อยู่แล้ว การแสดง upper bound ของ time complexity มักเห็นได้ง่ายจากเวลาในการรันของอัลกอริทึม แต่ lower bound ที่มีนัยสำคัญนั้นพิสูจน์ยากกว่ามาก เพราะต้องจำกัดอัลกอริทึมทุกตัว
    ดูเหมือนว่าการพิสูจน์ครั้งนี้แสดงว่า lower-bound time complexity เท่ากับ complexity ของอัลกอริทึมเดิมที่มีมา 30 ปี และเพื่อแก้ปัญหาในคลาสของฟังก์ชันนี้ต้องใช้ การประเมินฟังก์ชัน Ω(d²) ครั้ง ถ้ามี gradient oracle ก็อาจประมาณ gradient ได้ด้วยการประเมินฟังก์ชัน d ครั้ง ดังนั้นจำนวนครั้งขั้นต่ำอาจเป็น d แต่ผมก็ไม่แน่ใจว่าการพิสูจน์เรื่องนี้อย่างเข้มงวดจะยากแค่ไหน

    • การหาค่าเหมาะที่สุดของ Lipschitz function ที่เป็น convex และมีขอบเขต ก็เป็นรากฐานของ แบบจำลองการเรียนรู้เชิงสถิติ สมัยใหม่ส่วนใหญ่ด้วย

  • ผมสงสัยว่าในงานวิจัยคณิตศาสตร์ เขาฝึกโดยแก้ปัญหาง่ายก่อน แล้วค่อยไประดับกลาง ก่อนจะไปถึงปัญหาที่ยังแก้ไม่ได้หรือเปล่า และอยากรู้ด้วยว่าเทียบกับการเปลี่ยนแปลงที่เกิดกับ นักพัฒนาระดับ junior ในงานซอฟต์แวร์ได้อย่างไร

    • ในที่นี้ AI ไม่ได้คุกคาม junior มากกว่า senior เป็นพิเศษ ฝั่งที่เสี่ยงกว่าคือคนที่ไม่ได้เรียนวิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงประยุกต์จริง ๆ แต่เรียนแค่ แนวทางสำเร็จรูป อย่าง TDD, DRY, SOLID
      อาจมี senior ที่เก่งมากแต่ไม่รู้ด้วยซ้ำว่า L1 cache miss คืออะไร และแม้โมเดล AI ปัจจุบันจะรู้เรื่องพวกนี้ แต่ถ้าไม่มีมนุษย์คอยบังคับทิศทาง มันก็ลำบากที่จะนำไปใช้ให้ถูกต้อง ในอุตสาหกรรมพลังงาน บริบทบางอย่างของการดีบักต้องให้ความสำคัญกับ run-time safety มากกว่า safety เชิงทั่วไป แต่ AI ยังตัดสินเรื่องนี้ได้ไม่ดีนัก ถ้าคุณหาคนหนุ่มที่ประสบการณ์น้อยแต่รู้วิทยาการคอมพิวเตอร์จริง ๆ ได้ พวกเขาถูกกว่า ดังนั้นกลับมีแนวโน้มจะถูกจ้างมากกว่า
      นี่ไม่ใช่เรื่องเฉพาะของซอฟต์แวร์ ตอนนี้ผมกำลังสร้างแอป AI สำหรับองค์กรที่จะปล่อยให้ AI agent ของพนักงานใช้งาน และพบว่ามีแค่ ผู้เชี่ยวชาญแกนหลัก ที่ทุกคนในทีมไปขอคำแนะนำเท่านั้นที่ยังไม่เสี่ยง แม้แต่คนที่ทำงานเก่งมากก็มักยังสู้ AI ไม่ได้ เรื่องนี้จะเป็นความท้าทายใหญ่ต่อสังคม และ AI ก็อาจแทนที่ผู้เชี่ยวชาญเฉพาะด้านได้ด้วย พอนึกถึงตัวเองเมื่อสี่เดือนก่อนที่คงบอกว่า AI ทั้งหมดนี้เป็นเรื่องปั่น ก็ยากจะฟันธงว่านั่นเป็นเรื่องไกลตัว
    • ผมฝึกมาเป็นนักคณิตศาสตร์ ทำวิจัยอยู่พักหนึ่ง และตอนนี้ทำงานเป็นติวเตอร์ส่วนตัว คำอธิบายนี้โดยรวมค่อนข้างตรง แต่ยังมีอีกตัวแปรหนึ่ง
      การจะได้ปริญญาเอกต้องทำวิจัยที่เป็นต้นฉบับ จึงต้องแตะปัญหาที่ยังไม่ถูกแก้มาตั้งแต่แรก เพียงแต่ไม่จำเป็นต้องเป็นผลงานพลิกวงการ และวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกส่วนใหญ่ รวมถึงของผมเอง มักอยู่ในระดับที่นักวิจัยอาวุโสในสาขาย่อยเดียวกันทำได้ไม่ยาก เป้าหมายสำคัญส่วนหนึ่งของการมอบงานวิจัยให้ junior ก็เพื่อฝึกให้พวกเขากลายเป็น senior ในอนาคต และตัวผลงานเองก็มักไม่ได้พิเศษนัก ซึ่งคล้ายกับงานพัฒนาซอฟต์แวร์
      เมื่อดูแนวโน้มการพัฒนา การพิสูจน์ด้วย LLM โครงสร้างนี้คงต้องเปลี่ยนในไม่ช้า ผมดีใจที่ไม่ได้เป็นคนต้องตัดสินว่าจะให้มันออกมาในรูปไหน เพราะค่อนข้างกังวลกับอนาคตของวงการคณิตศาสตร์
    • สำหรับผม ก่อนหรือช่วงต้นของปริญญาเอก อาจารย์ที่ปรึกษามักเสนอหรือแทบจะยื่น ปัญหาระดับง่าย ที่ตัวเองพอรู้แนวทางแก้คร่าว ๆ อยู่แล้วมาให้ และคาดหวังว่าผมจะเรียนรู้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็น ผมไม่แน่ใจว่านี่เป็นตัวแทนที่ดีแค่ไหน เพราะมีนักศึกษาปริญญาเอกที่เก่งมากอยู่เยอะ และผมเองก็ไม่ใช่นักวิจัยที่ยอดเยี่ยมอะไร
    • งานนี้ต้องใช้ พรอมต์ยาว 10 หน้า แปลว่ายังต้องมีคนที่รู้มากพอจะเขียนมันอยู่ดี
    • คณิตศาสตร์ทำให้เป็นอัตโนมัติได้ง่ายกว่าการเขียนโปรแกรมมาก ในคณิตศาสตร์เราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าจะไปถึงบทพิสูจน์ได้ไหม ดังนั้นส่วนที่ยากคือการไปให้ถึงตรงนั้น แต่ปัญหาซอฟต์แวร์โดยมากเรารู้อยู่แล้วว่าแก้ได้ ประเด็นสำคัญจึงอยู่ที่ จะแก้อย่างไร
      วิธีแก้ซอฟต์แวร์ต้องการทั้งความสามารถในการบำรุงรักษาและการวางแผน ซึ่ง LLM ยังอ่อนในเรื่องนี้ เลยเกิด โค้ดรวมมั่วแบบ LLM ที่ไม่ยอมใช้ standard library เดิม แต่สร้างตรรกะที่ซ้ำซ้อน เต็มไปด้วยทางแก้เฉพาะหน้า และพันกันยุ่ง
      เว้นแต่จะเป็นกรณีแบบ Grothendieck ที่โกรธว่า Deligne ไม่ได้แก้ Weil conjectures ใน ‘วิธีที่ถูกต้อง’ ไม่อย่างนั้นซอฟต์แวร์กับคณิตศาสตร์ก็แตกต่างกันโดยพื้นฐาน ในเมื่อยังมีปัญหาใหญ่ ๆ มากพอที่จัดการได้ด้วยความสามารถในการวางแผนระยะยาวแบบปัจจุบัน AI ก็น่าจะได้เหรียญ Fields ก่อนที่จะไปรัน McDonald’s

  • ถ้าดูละเอียด ผู้เขียนลองแก้ปัญหานี้ด้วย GPT-5.4 และ GPT-5.5 มา นาน 1 ปี แล้ว และใส่ข้อมูลทั้งหมดนั้นลงในพรอมต์ของ Sol Pro แถม Sol Pro อาจเข้าถึงประวัติการสนทนาก่อนหน้าได้โดยตรงด้วย ดังนั้นตัวเลข 148 นาทีที่อ้างถึงจริง ๆ คือ 1 ปี + 148 นาที
    ยิ่งกว่านั้น เทคนิคที่ใช้แก้ปัญหาก็ดูเหมือนจะอยู่ในพรอมต์ด้วย: https://old.reddit.com/r/math/comments/1uxj3cy/after_openais...
    ผู้เขียนบอกว่าได้ใส่แนวทางที่สมเหตุสมผลเกือบทั้งหมดที่คนในสาขานี้น่าจะนึกถึงลงในพรอมต์ และยังให้ Sol ช่วยเขียนพรอมต์ด้วย โดยให้ทั้งพรอมต์ CDC, ไอเดีย, นิยามปัญหาที่ชัดเจน และสเปกต่าง ๆ แก่ Sol คลาสของฟังก์ชันที่เป็นคำตอบสุดท้าย ซึ่งสร้างจากค่าสูงสุดของ affine function ก็อยู่ในพรอมต์เช่นกัน
    สุดท้ายจึงยังไม่ชัดว่า GPT-5.6 อุดช่องว่างนั้นได้ด้วยพรอมต์ล้วน ๆ จริงหรือว่าผู้เขียนทำแทบทุกอย่างไว้หมดแล้ว แล้วให้เครดิต GPT-5.6 อย่างกระตือรือร้น

  • มีการแก้ไขใน Reddit ว่างานนี้ทำด้วย Sol Pro ไม่ใช่ Ultra และผมสงสัยว่าควรเข้าใจความต่างของสองอย่างนี้อย่างไร
    ผมเข้าใจว่า ChatGPT Pro ใกล้เคียงกับระบบ multi-agent ที่รัน LLM หลายตัวแบบขนานแล้วเลือกคำตอบที่ดีที่สุด ส่วน Ultra นั้นคล้าย Claude-Code UltraCode ที่ agent หลักสร้าง dynamic JavaScript workflow เพื่อประสานหลาย agent กับตัวตรวจทานแบบ adversarial อย่างกำหนดขั้นตอนแน่นอน แบบนี้เข้าใจถูกคร่าว ๆ ไหม และมีแหล่งข้อมูลรองรับหรือเปล่า

    • Ultra ของ Codex ก็แค่เป็นวิธีรัน ระบบ multi-agent เท่านั้น ส่วน Pro ก็คล้ายกับ Pro model ตัวอื่น ๆ อย่าง 5.5

  • จำได้ว่าหลักฐานพิสูจน์สมมุติฐาน abc ของ Mochizuki https://en.wikipedia.org/wiki/Abc_conjecture#Claimed_proofs ถูกปฏิเสธเพราะยากเกินกว่าที่มนุษย์จะเข้าใจได้ จึงสงสัยว่านี่ไม่ใช่ เป้าหมายในอุดมคติสำหรับ LLM หรอกหรือ

    • ไม่ได้ถูกปฏิเสธเพราะเข้าใจยาก แต่เพราะมันผิด และต่อให้มองในแง่ดีที่สุดก็เป็นหลักฐานพิสูจน์ที่ไม่สมบูรณ์
    • ไม่นานมานี้ทีมวิจัยที่กำลังทำให้มันเป็นแบบฟอร์มัลประกาศว่าพบ ช่องว่างของหลักฐานพิสูจน์ ตรงจุดเดียวกับที่นักคณิตศาสตร์คนอื่นเคยชี้ไว้ หากเคยยังมีข้อกังขา ตอนนี้ก็หมดไปแล้ว และหลักฐานพิสูจน์นี้ผิด
      ถึงอย่างนั้น LLM ก็ยังมีศักยภาพสูงทั้งในการตรวจสอบแบบไม่เป็นทางการที่อ่านได้เร็วและหาช่องโหว่ได้ และในการตรวจสอบแบบเป็นทางการที่พยายามทำให้เป็นฟอร์มัลจริง ๆ
    • อยากเห็น LLM สร้าง หลักฐานพิสูจน์แบบเป็นทางการ ของ การจำแนกกลุ่มเชิงเดี่ยวจำกัด ด้วย

  • น่าทึ่งที่ตอนนี้ความฉลาดได้กลายเป็นสิ่งที่ ราคาถูก มีประสิทธิภาพ และแพร่หลาย แล้ว เราควรหันกลับไปทุ่มเทพลังกับคุณค่าและหลักการสำคัญอีกครั้ง เพราะทักษะส่วนใหญ่ของมนุษย์กำลังไร้ความหมายลง

    • ถ้ามันแพร่หลายจริง โพสต์นี้กับการถกเถียงนี้ก็คงไม่เกิดขึ้น มันไม่ได้มีราคาหลายพันดอลลาร์ แต่ก็ไม่ฟรี ดังนั้นจะเรียกว่าถูกหรือไม่ก็ขึ้นอยู่กับมุมมอง
      และก็ยังไม่ชัดว่าจะวัดประสิทธิภาพอย่างไร มองแค่หนึ่งเซสชันกับผลลัพธ์แล้วเรียกว่ามีประสิทธิภาพนั้นทำได้ยาก หากมองข้าม ต้นทุนโครงสร้างพื้นฐานและการฝึกฝนมหาศาล ที่ใช้ไปกว่าจะทำงานนี้ได้ ผลลัพธ์จาก AI ก็ไม่ได้ทำให้ทักษะของมนุษย์หมดความหมายเสียทีเดียว และประเด็นว่าการยกการคิดให้ AI จะทำให้เราสูญเสียความสามารถทางการรับรู้หรือไม่นั้น ก็คือแกนหลักของข้อถกเถียงในตอนนี้
      โดยรวมแล้วนี่เป็นการแสดงความสามารถที่น่าประทับใจ แต่จะไม่ขยายความหมายมันเกินไปกว่านั้น
    • มุมมองที่แยกอย่างชัดเจนระหว่าง ‘ปัญญาที่เข้าใจปัจจุบัน’ กับ ‘คุณค่าและหลักการที่เข้าใจสิ่งที่ควรจะเป็น’ เป็นลักษณะเด่นของปรัชญายุโรปสมัยใหม่ตอนต้นตั้งแต่ Descartes ถึง Kant และ David Hume ก็ทำให้แนวคิดนี้เป็นรูปแบบที่ทรงอิทธิพล
      แต่การคงการแยกแบบนี้ไว้ทำให้เกิดปัญหาที่แทบก้าวข้ามไม่ได้ ในระบบมโนทัศน์ที่เราใช้ทำความเข้าใจโลกนั้นมีคุณค่าซึมอยู่เสมอ และไม่มีทั้ง มุมมองที่ไร้จุดยืน หรือระบบคุณค่าที่หลุดพ้นจากเงื่อนไขทางประวัติศาสตร์ กรอบคิดที่ว่าต้องกำหนดคุณค่าจากภายนอกปัญญา สุดท้ายก็พาไปสู่ทางตันแบบกึ่งเทววิทยาอย่าง AI alignment และ superintelligence
      แทนที่จะแยกข้อเท็จจริงกับคุณค่า หรือปัญญากับจริยธรรมอย่างแข็งทื่อ ควรโฟกัสกับการ รับเอาและต่อยอดปัญญาอย่างวิพากษ์ ที่สืบทอดมาผ่านมนุษย์หรือ LLM มากกว่า
    • LLM ยังขาด การให้เหตุผลเชิงพื้นที่ ทั้งแบบรูปธรรมและนามธรรมอยู่มาก แม้ว่าวงวิชาการจะมองข้ามการให้เหตุผลแบบนี้มาอย่างน้อยศตวรรษหนึ่ง แต่มันเป็นรากฐานของเทคโนโลยีและอุตสาหกรรม และหลายคนก็เห็นว่าสำคัญต่อวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ด้วย
      อย่างไรก็ดี มีโอกาสสูงที่ท้ายที่สุด LLM จะไปถึงจุดนั้น ไม่ว่าจะด้วยการเรียนรู้การให้เหตุผลเชิงพื้นที่โดยตรง หรือทำหน้าที่เป็นอินเทอร์เฟซให้กับโมเดลที่ทำสิ่งนี้ได้ ดังนั้นใจความเดิมก็ยังใช้ได้
    • ตอนนี้ใคร ๆ ก็เป็น นักคณิตศาสตร์นั่งเก้าอี้นวม ได้แล้ว แค่โยนไอเดียให้ AI แล้วให้มันทำการค้นหาแบบ breadth-first พร้อมใช้ heuristic การตัดกิ่งที่ขับเคลื่อนด้วย AI
    • ปัญญาเพียงอย่างเดียวไม่ได้มีประโยชน์มากนัก สิ่งที่ทำให้มันมีศักยภาพมหาศาลคือเมื่อมันรวมกับองค์ประกอบอย่างปัญญารอบคอบ ความยับยั้งชั่งใจ และความเห็นอกเห็นใจ ดังนั้นคุณค่าของปัญญาเพียงลำพังจึงมีจำกัด

  • สุดท้ายก็เหมือนเป็นการพิสูจน์ว่า ข้อมูลคือพลัง หากไม่รู้ว่าควรไปทางไหน หรือไม่รู้ partial gradient ก็จะคำนวณไปได้ไม่รู้จบ

  • พอลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ระดับสูง ก็พบว่าสามารถเท การลองผิดลองถูกแบบ brute force ขนาดมหาศาลใส่ปัญหาได้ เมื่อเราทำ brute force กับตรรกะทางคณิตศาสตร์ได้ ก็น่าจะเกิดความก้าวหน้าที่น่าสนใจ

  • ยังไม่ผ่าน peer review

  • น่าสนใจที่เพียงไม่กี่เดือนก่อน ยังมีคนจำนวนมากยืนยันหนักแน่นว่าไม่มีใครสนใจปัญหาคณิตศาสตร์ที่ ‘ยังไม่ถูกแก้’ ซึ่ง AI เป็นคนแก้