คำบรรยายรับรางวัลฟิลด์สของศาสตราจารย์ฮอ จุนอี

บทคัดมาจากการบรรยายสาธารณะของศาสตราจารย์ฮอ จุนอี ผู้ได้รับรางวัลฟิลด์ส

ความสัมพันธ์และขอบเขต

• ตอนเด็ก ๆ เขาเล่นเกมเปิดพจนานุกรมบ่อยมาก คือเปิดดูคำนิยามของคำอะไรก็ได้ จากนั้นก็ไปดูคำนิยามของคำที่ถูกใจซึ่งปรากฏอยู่ในคำนิยามนั้น แล้วก็ทำต่อไปเรื่อย ๆ

• ถ้าต่อคำนิยามของคำไปแบบนี้ สักวันหนึ่งก็จะย้อนกลับมาที่คำเดิมได้ เพราะคำที่เรามีอยู่นั้นมีจำนวนจำกัด จึงสามารถสร้างวงจรที่กลับมาจุดเริ่มต้นได้เสมอ

• เผิน ๆ อาจคิดว่าการใชัคำที่ต้องการนิยามมานิยามตัวเองเป็นตรรกะที่เลอะเทอะ แต่จากประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน เรารู้ดีว่าภาษาที่เรามีทำงานได้อย่างยอดเยี่ยมจริง ๆ และเราก็ทำสิ่งน่าทึ่งผ่านภาษาได้

• แล้วคณิตศาสตร์ล่ะ?

• คณิตศาสตร์ดูเหมือนต้นไม้ที่มีสัจพจน์ไม่กี่ข้อเป็นราก แต่ถ้ามองภาพรวมของคณิตศาสตร์ทั้งหมด มันกลับคล้ายภาษาที่ต่างฝ่ายต่างค้ำจุนกันมากกว่า

• ถ้าแสดงบทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นภาพ ก็จะเห็นเป็นจุดที่เรียกว่าโจทย์หรือข้อความ และมีลูกศรเชื่อมต่อกันอยู่

• มีข้อความที่เรารู้อยู่แล้วว่าเป็นจริง และมีข้อความที่เราอยากรู้ การพิสูจน์ข้อความหนึ่งก็คือการยื่นลูกศรออกไปจากจุดที่เรารู้ ผ่านการอนุมานจำนวนจำกัดครั้ง

• ข้อความบางอย่างอยู่ใกล้กันมากจึงอนุมานได้ง่าย แต่บางจุดอยู่ไกลมากจึงอนุมานได้ยาก ราวกับว่าในปริภูมิของข้อความมีโครงสร้างเชิงเรขาคณิตที่เรียกว่าระยะทางอยู่

• ถ้าอย่างนั้น ปริภูมิที่ประกอบด้วยข้อความทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดจะมีหน้าตาอย่างไร? แม้จะเป็นอุปมาเกินจริง แต่มันคงคล้ายโครงสร้างขนาดใหญ่ของจักรวาล ไม่ได้มีดาราจักรกระจายอย่างสม่ำเสมอ แต่บางแห่งว่างเปล่าอย่างมหาศาล และบางแห่งเชื่อมโยงกันอย่างหนาแน่น

• ในปริภูมิของข้อความแบบนี้ หากจะยกตัวอย่างที่มีชื่อเสียงมากเป็นพิเศษ ก็มีทฤษฎีบทสี่สีและทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา

• จากข้อความนับไม่ถ้วน เหตุใดนักคณิตศาสตร์จึงให้คุณค่ากับทฤษฎีบทสี่สีและทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาเป็นพิเศษ และทำไมมันจึงมีชื่อเสียงมาก?

• เห็นได้ชัดว่ามีเหตุผลที่ทำให้ข้อความเหล่านี้น่าสนใจเป็นพิเศษกว่าข้อความอื่น

• คำและสำนวนที่ใช้ในข้อความเหล่านี้ล้วนคุ้นเคยและง่ายมาก แต่หากจะพิสูจน์มันกลับต้องอ้อมไปตามเส้นทางที่ยากลำบากอย่างยิ่ง

• ดูเหมือนว่าเราจะเดินจากข้อความที่เรายืนอยู่ไปได้เพียงไม่กี่ก้าว แต่ในความเป็นจริง ไม่ว่าจะใช้วิธีไหนก็ไปถึงได้โดยง่ายไม่ได้

• นั่นหมายความว่าระหว่างที่นี่กับที่นั่นมีโครงสร้างมหึมาบางอย่างขวางเราอยู่ ราวกับห้วงมืดขนาดใหญ่ในโครงสร้างระดับมหภาคของจักรวาล

• แม้โครงสร้างนี้จะมองไม่เห็นด้วยตา แต่เพียงข้อเท็จจริงที่ว่าข้อความนี้พิสูจน์ได้ยาก ก็ทำให้เราคาดเดาได้ว่าโครงสร้างนั้นมีอยู่

• สิ่งเหล่านี้น่าสนใจก็เพราะมันชี้อย่างทรงพลังว่ามนุษย์เราคิดในลักษณะใด

• เรามีสัญชาตญาณแบบไหน และมีอคติในรูปแบบใด การทำประสบการณ์เช่นนี้ซ้ำ ๆ ทำให้เราได้รู้จักตัวเองมากขึ้น

• สิ่งที่นักคณิตศาสตร์ต้องการทำในที่สุดคือการวาดความสัมพันธ์จำนวนมหาศาลในปริภูมิของข้อความออกมาให้ละเอียดที่สุดเท่าที่จะทำได้ เพื่อทำความเข้าใจว่าเราคิดอย่างไร

• สำหรับผม คณิตศาสตร์คือกระบวนการทำความเข้าใจอคติและขีดจำกัดของตนเอง และในภาพรวมที่กว้างกว่านั้น มันคือการใคร่ครวญว่ามนุษย์ในฐานะเผ่าพันธุ์คิดอย่างไร และคิดได้ลึกเพียงใด

• เหตุผลที่การแก้ปัญหาพื้นฐานของคณิตศาสตร์และการค้นพบข้อคาดการณ์ใหม่ ๆ มีความสำคัญ ก็เพราะมันเรียกร้องให้เราก้าวข้ามขอบเขตอยู่เสมอ

• นี่คือหนึ่งในคุณค่าที่สำคัญที่คณิตศาสตร์บริสุทธิ์มอบให้เรา นั่นคือการให้โอกาสเราได้ก้าวข้ามอคติที่ติดตัวมาแต่กำเนิด

[gmlwo530]

ขอบคุณครับ :)

[ohyecloudy]

คิดแบบนี้ได้เหมือนกันนะครับ ขอบคุณสำหรับการแนะนำครับ

[nicewook]

ขอบคุณครับ :-)

[budlebee]

ต้นฉบับการบรรยายสามารถรับชมได้ที่นี่

การบรรยายของศาสตราจารย์ฮอ จุนอี เริ่มตั้งแต่นาทีที่ 23 ครับ เป็นการบรรยายที่ยอดเยี่ยมมาก จึงขอแนะนำอย่างยิ่งให้รับชมเป็นวิดีโอ