เทอเรนซ์ เทา ตอนอายุ 8 ขวบ (1984) [pdf]

 (gwern.net)
5 คะแนน โดย GN⁺ 2026-02-24 | 1 ความคิดเห็น | แชร์ทาง WhatsApp
  • บทความวิชาการที่บันทึกอย่างละเอียดถึง ความเป็นอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ตั้งแต่วัยเยาว์ ของ Terence Tao ผู้เกิดปี 1975 ผ่านการประเมินโดยตรง 3 ครั้งในปี 1983 โดยถ่ายทอดกระบวนการที่เด็กอายุ 7–8 ปีเรียนรู้คณิตศาสตร์ระดับมหาวิทยาลัยด้วยตนเอง
  • ตอนอายุ 7 ปี เขาเรียนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ระดับชั้นปี 11 และทำคะแนน ACER Operations Test ได้เต็ม 60/60 ซึ่งสูงกว่าคะแนนคาดหมายเฉลี่ยของนักเรียนชั้นปี 12 ที่ 53/60 อย่างมาก
  • เมื่ออายุ 8 ปี เขาเรียนรู้ นิยามของกรุป (group) และฟิลด์ (field) หลักการและกฎของแคลคูลัส ตลอดจนการอินทิเกรตด้วยเศษส่วนย่อยด้วยตนเอง และได้ อันดับ 19 จากผู้เข้าสอบราว 2,000 คนในการแข่งขันคณิตศาสตร์ระดับชาติของชั้นปี 11 ในรัฐเซาท์ออสเตรเลีย
  • เขาชอบวิธีแก้ปัญหาแบบวิเคราะห์และไม่พึ่งภาพเป็นหลัก และแม้จะทำแบบทดสอบการมองภาพเชิงพื้นที่ได้ 27/30 (ค่าเฉลี่ยของชั้นปี 12 คือ 24/30) แต่ก็แสดงให้เห็นว่า ค่อนข้างมีความยากลำบากกับการจัดการภาพเชิงซ้อนในใจ
  • ภายใต้นโยบายการศึกษาของพ่อแม่ที่รอบคอบและยืดหยุ่น มีแผนให้เขา เข้าศึกษาคณะคณิตศาสตร์ที่ Flinders University ตอนอายุ 9 ปีในเดือนกันยายน 1985 พร้อมเน้นย้ำความสำคัญของรูปแบบการศึกษาที่ตอบสนองความต้องการด้านสติปัญญา สังคม และอารมณ์ของเด็กอัจฉริยะอย่างสมดุล

บทนำและภูมิหลัง

  • เมื่อวันที่ 27 เมษายน 1983 หนังสือพิมพ์รายวัน Advertiser ของเมือง Adelaide ลงข่าวหน้า 1 แนะนำ Terence Tao ด้วยพาดหัวว่า "TINY TERENCE, 7, IS HIGH SCHOOL WHIZ"
  • เขาใช้เวลา 2 ใน 5 ของเวลาเรียนที่ Blackwood High School เพื่อเรียนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ชั้นปี 11 และใช้เวลาที่เหลือที่ Bellevue Heights Primary School
  • ตอนอายุ 2 ปี เขาเรียนรู้ การอ่านและเขียนด้วยตนเอง จากการดู Sesame Street และครูประเมินว่าความสามารถทางวิชาการของเขาอยู่ในระดับเด็กอายุ 16 ปี แต่ความเป็นผู้ใหญ่ยังอยู่ในระดับอายุ 7 ปี
  • ครูคณิตศาสตร์ระดับมัธยมกล่าวว่า Terence ปรับตัวในชั้นเรียนได้ดี และทำงานที่ได้รับมอบหมาย ล่วงหน้าไปมากกว่านักเรียนคนอื่นสองคาบเรียน
  • งานอดิเรกของเขาคือคอมพิวติ้ง ชุดอิเล็กทรอนิกส์ และการอ่านนิยายไซไฟ (The Restaurant at the End of the Universe เป็นต้น)
  • พ่อของเขา Dr Billy Tao เป็นกุมารแพทย์ชาวจีน แม่ของเขา Grace Tao มาจากฮ่องกงและเป็น บัณฑิตสาขาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ โดยทั้งสองได้รับการศึกษาจากมหาวิทยาลัยฮ่องกงก่อนอพยพมาออสเตรเลียในปี 1972
  • ใต้ Terence ยังมีน้องชายอีกสองคนคือ Trevor และ Nigel

การประเมินครั้งที่ 1 (16 กรกฎาคม 1983)

  • เริ่มการประเมินที่บ้านของเขา หนึ่งวันก่อนวันเกิดครบ 8 ขวบ
  • เมื่อไปถึง Terence กำลังนั่งอ่านหนังสือปกแข็งชื่อ Calculus อยู่ตรงมุมห้อง และแม้เทียบกับเด็กอายุ 7 ปีก็ยังถือว่า ตัวค่อนข้างเล็ก
  • เขาทำ ACER Operations Test 60 ข้อได้ เต็ม 60/60
    • ตามเกณฑ์ของ ACER คะแนนคาดหมายเฉลี่ยของนักเรียนชั้นปี 12 คือ 53/60
    • ในบรรดาเด็กประถมที่เก่งมากซึ่งเคยทำแบบทดสอบนี้มาก่อน ยังไม่มีใครได้เกิน 57/60 และ Terence เป็น เด็กอายุน้อยที่สุด ที่เคยเข้าทดสอบ
  • ก่อนเริ่มแบบทดสอบ เมื่อได้รับคำบอกว่าข้อสอบจะยากขึ้นเรื่อย ๆ Terence ตอบว่า "โจทย์คงไม่รู้หรอกว่าผมหัวเราะ เพราะ มันไม่มีหู"

การอธิบายปากเปล่าของโจทย์ Krutetskii

  • นำ โจทย์ 8 ข้อ จาก Krutetskii (1976) มาให้ในรูปแบบลายลักษณ์อักษร แต่ขอให้เขาคิดในใจและอธิบายกระบวนการคิดด้วยปากเปล่า
  • ข้อ 1 (วงกลมสองวงตัดกันหรือไม่): เขาตอบถูกพร้อมอธิบายด้วย ท่าทางมือ ว่า "ถ้าไม่ตัดกัน ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางต้องอย่างน้อย 5"
  • ข้อ 2 (มุมที่เข็มชั่วโมงหมุนใน 20 นาที): "1/3 × 1/12 = 1/36 และ 1/36 ของ 360° คือ 10°"
  • ข้อ 3 (น้ำหนักถังน้ำมันก๊าด): ตั้งสมการพีชคณิตแล้วหาคำตอบได้ว่า น้ำมันก๊าดหนัก 7 กก. และถังเปล่าหนัก 1 กก.
  • ข้อ 4 (โจทย์เวลา): "1 หน่วย + 3 หน่วย = 12 ชั่วโมง, 1 หน่วย = 3 ชั่วโมง ดังนั้นคือ บ่าย 3 โมง"
  • ข้อ 5 (โจทย์แซง): ตอนแรกตอบ 35 นาที แล้วแก้เองเป็น 15 นาที
  • ข้อ 6 (ความยาวด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก): เขาชี้ว่า "ด้านที่สามคือ 1 ซม.... แต่ตาม ทฤษฎีพีทาโกรัส ต้องเป็น √8 ดังนั้นเป็นไปไม่ได้"
  • ข้อ 7 (นับจำนวนสามเหลี่ยม): ตอบถูกว่า 8 รูป
  • ข้อ 8 (การแจกสมุด): เห็นว่าข้อมูลไม่พอจึงตัดสินว่า "แก้ไม่ได้" และยกตัวอย่างชุดคำตอบที่เป็นไปได้หลายแบบ
  • เขาทำโจทย์ทั้ง 8 ข้อด้วยปากเปล่าเสร็จภายใน รวม 9 นาที และเป็น เด็กประถมคนแรก ที่ตอบถูกครบทุกข้อ

ความเข้าใจนิยามและแนวคิดเชิงพีชคณิต

  • ระหว่างทำ ACER Operations Test พบว่าเขามีนิสัยเขียน กฎที่เกี่ยวข้อง เช่น กฎการเปลี่ยนหมู่ ในแต่ละขั้นตอนของการแก้พีชคณิต
  • อธิบาย กฎการเปลี่ยนหมู่ และ กฎการสลับที่ ของการบวกจำนวนจริงได้อย่างถูกต้อง
  • กล่าวนิยามของ กรุป (group) ได้อย่างแม่นยำว่า "เซตที่ถูกส่งเข้าหาตัวเองด้วยปฏิบัติการทวิภาค มีสมบัติกฎการเปลี่ยนหมู่ มีเอกลักษณ์ e และทุกสมาชิกมีอินเวอร์ส"
  • ตอบได้ทันทีว่า กรุปแบบอาเบเลียน (Abelian group) มีสมบัติกฎการสลับที่
  • สำหรับนิยามของ ฟิลด์ (field) เขาตอบว่า "ไม่รู้" (ก่อนการประเมินครั้งที่ 2 เขาไปศึกษาเพิ่มเติมด้วยตนเอง)
  • อธิบาย กฎการแจกแจง ได้ถูกต้อง พร้อมยกตัวอย่างว่าการคูณแจกแจงเหนือการบวก และกรณีที่การบวกแจกแจงเหนือการคูณนั้นมี "เฉพาะในพีชคณิตบูลีน"
  • น่าประทับใจที่เด็กอายุ 7 ปีสามารถใช้ ภาษาคณิตศาสตร์และสัญลักษณ์ ที่ซับซ้อนอย่างคล่องแคล่ว

การแก้โจทย์แบบเขียน

  • สเก็ตช์กราฟของ y = x² + x ได้ทันที และใช้การหาอนุพันธ์คำนวณ จุดยอด (-1/2, -1/4) ภายในราว 20 วินาที
  • สเก็ตช์กราฟของ y = x³ − 2x² + x เสร็จภายในราว 1 นาที ทั้งที่ในโรงเรียนยัง ไม่ได้เรียนแคลคูลัส
  • จากคำถามเพิ่มเติมยืนยันได้ว่าเขาเข้าใจคณิตศาสตร์แบบโรงเรียนตามหลักสูตรดั้งเดิมถึงระดับชั้นปี 11 และ หลักการพื้นฐานกับกฎของดิฟเฟอเรนเชียลแคลคูลัส
  • โดยรวมเห็นชัดว่าเขาชอบ วิธีแก้แบบวิเคราะห์และไม่พึ่งภาพ

สภาพแวดล้อมในบ้านและวิธีเรียนรู้

  • แม่ของเขา Grace Tao เคยสอน วิทยาศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี และคณิตศาสตร์ ในฮ่องกงและออสเตรเลีย
  • เธอทำหน้าที่ ชี้แนวและกระตุ้น การเรียนคณิตศาสตร์ของ Terence แต่ไม่ได้สอนโดยตรง เพราะ Terence "ไม่ชอบให้ใครบอกว่าต้องทำอะไรในคณิตศาสตร์"
  • คืนหนึ่งในปี 1983 ตอนที่ Terence คิดโจทย์เศษส่วนต่อเนื่อง Grace ให้คำใบ้ว่า "ลองสมการกำลังสองดูสิ" เขาจึงแปลงเป็น x² − x − 2 = 0 และได้คำตอบ x = 2 ทันที (จากเงื่อนไขว่าต้องเป็นบวก)
  • หลังเลิกเรียนเขาใช้เวลา วันละ 3–4 ชั่วโมง อ่านตำราคณิตศาสตร์และเรียนด้วยตนเอง
  • เขาเรียนรู้ ภาษา BASIC ด้วยตัวเองจากหนังสือบนคอมพิวเตอร์ Commodore และเขียนโปรแกรมคณิตศาสตร์เอง เช่น 'Euclid's algorithm', 'Fibonacci', 'Prime Numbers'
  • โปรแกรม Fibonacci มีทั้งเกมทายปีเกิดของ Fibonacci และฟังก์ชันพิมพ์ลำดับ Fibonacci แสดงถึง นิสัยมีอารมณ์ขันและความคิดสร้างสรรค์
  • โปรแกรมเหล่านี้เขียนขึ้นตั้งแต่ ต้นปี 1982 (ตอนอายุ 6 ขวบ)

การประเมินครั้งที่ 2 (20 สิงหาคม 1983)

  • ผ่านไป 5 สัปดาห์จึงไปเยี่ยมอีกครั้ง ตอนนี้ Terence อายุ 8 ขวบแล้ว
  • เขาได้ อันดับ 19 จากผู้เข้าสอบประมาณ 2,000 คนในการแข่งขันคณิตศาสตร์ระดับชาติของชั้นปี 11 ในรัฐเซาท์ออสเตรเลีย (เข้าสอบตั้งแต่อายุ 7 ปี)
    • ยิ่งน่าสนใจเมื่อคำนึงว่าโรงเรียนส่วนใหญ่มักส่งเฉพาะนักเรียนที่เก่งคณิตศาสตร์เข้าร่วม

การพิสูจน์เรื่องฟิลด์ (field)

  • เมื่อถูกถามว่า S = {a + b√2 : a, b ∈ R} เป็นกรุปภายใต้การบวกหรือไม่ เขาพิสูจน์ได้ทันที
  • จากนั้นเมื่อถูกถามต่อว่า (S, +, ×) เป็นฟิลด์ (field) หรือไม่ ทั้งที่เมื่อ 5 สัปดาห์ก่อนยังตอบว่า "ไม่รู้ว่าฟิลด์คืออะไร" เขากลับ ไปเรียนรู้เพิ่มเติมด้วยตนเอง และอธิบายว่า
    • (S, +) เป็นกรุปแบบอาเบเลียน
    • สมบัติกฎการเปลี่ยนหมู่และกฎการสลับที่ของการคูณเป็นจริงจากสมบัติของจำนวนจริง
    • เอกลักษณ์ของการคูณคือ 1 + 0√2
    • อินเวอร์สการคูณหาได้ด้วยการ ทำส่วนให้เป็นตรรกยะ (ยกเว้น 0)
    • กฎการแจกแจงเป็นจริง
  • ความประณีตและความกระชับ ของการพิสูจน์นี้อยู่ในระดับนักศึกษาปริญญาตรีคณิตศาสตร์

ความรู้เรื่องอินทิกรัล

  • ตอบปฏิยานุพันธ์ของ x², √x, sin x, sec²x, 1/(1+x²), 1/√(1−x²) ได้อย่างถูกต้อง
  • สำหรับ ปฏิยานุพันธ์ของ 1/x เขาตอบว่า "ยังอ่านไปไม่ถึงตรงนั้น"
  • ในการอินทิเกรต 1/(1−x²) เขาใช้การแทนค่า x = cos θ เพื่อแปลงเป็นรูป -cosec θ แต่ยัง ไม่รู้การแยกเศษส่วนย่อย และตอบว่าจะเรียนรู้ด้วยตัวเองในอีกไม่กี่สัปดาห์ข้างหน้า
  • เขาแก้โจทย์หาพื้นที่ใต้กราฟ sin x ได้ทันทีและถูกต้อง โดยได้คำตอบ 2
  • เขาคำนวณ อินทิกรัลไม่แท้จริง ของพื้นที่ระหว่าง y = 1/x² กับแกน x เมื่อ x ≥ 1 ได้ถูกต้อง โดยได้คำตอบ 1

แบบทดสอบการมองภาพเชิงพื้นที่

  • ใน Monash Space Visualization Test เขาได้ 27/30 (ค่าเฉลี่ยของชั้นปี 12 คือ 24/30)
  • ใน 3 ข้อที่ตอบผิด บางส่วนเกิดจาก ความยากลำบากในการจัดการภาพเชิงซ้อนในใจ
  • หลังทดสอบ เมื่อให้เขาอธิบายวิธีที่ใช้ด้วยปากเปล่า ยิ่งยืนยันชัดว่าเขาชอบ วิธีเชิงวิเคราะห์และไม่พึ่งภาพ มากกว่าวิธีแบบมองภาพ
    • ตัวอย่าง: แทนที่จะจินตนาการการพับรูป เขาใช้ กฎการสะท้อน เพื่อตรวจสอบแต่ละรูป
  • ตามงานวิจัยของ Burden and Coulson (1981) ผู้ที่ชอบวิธีวิเคราะห์มีแนวโน้มได้ คะแนนสูงกว่า ในแบบทดสอบเชิงพื้นที่
  • Krutetskii (1976) เสนอว่า ความสามารถด้านมโนภาพเชิงพื้นที่หรือการมองเห็นความสัมพันธ์คณิตศาสตร์เชิงนามธรรม ไม่ใช่องค์ประกอบจำเป็นของความสามารถทางคณิตศาสตร์

บันทึกการอ่านและงานปลายเปิด

  • ตรวจสอบรายชื่อหนังสือคณิตศาสตร์ 22 เล่ม ที่เขาอ่านในช่วง 2 ปีที่ผ่านมา ซึ่งรวมถึง Flatland, International Mathematical Olympiads 1959-1977, Calculus: Pure and Applied
  • เขามีแนวโน้มอ่าน ทั้งเล่ม ไม่ใช่อ่านเพียงบางส่วน และตามคำบอกของพ่อ เขามี ความจำที่น่าทึ่ง ต่อสิ่งที่อ่าน
  • เขาทำ งานปลายเปิด เกี่ยวกับลำดับผลบวกกำลังสองของเลขโดด (ใช้เวลาประมาณ 20 นาที)
    • เขาพบได้อย่างรวดเร็วว่า 4, 5, 6, 8, 9 สร้างลำดับแบบเดียวกับ 2 และ 3
    • เขาคาดเดาว่าน่าจะไม่มีลำดับประเภทอื่นนอกจากสองแบบนี้ แต่ ไม่ได้ให้บทพิสูจน์
    • เขาตั้งคำถามที่ น่าสนใจ ว่ารูปแบบคล้ายกันนี้จะเป็นจริงในระบบเลขฐานอื่นนอกจากฐาน 10 หรือไม่
    • เขาไม่ได้พิจารณาจำนวนนับที่มีสองหลักขึ้นไป และผลลัพธ์นี้น่าผิดหวังเล็กน้อยเมื่อเทียบกับที่คาดหวังว่าจะวิเคราะห์ได้ลึกกว่านี้

ปัญหาการจัดชุดเหรียญ

  • Dr Max Stephens ถามว่าจำนวนผลรวมทั้งหมดที่สร้างได้จากเหรียญออสเตรเลีย 6 ชนิดมีเท่าไร
  • ตอนแรกเขาตอบ 720 แล้วเสริมว่า "ทุกชุดน่าจะให้ค่าเท่ากันหมด"
  • เมื่อมีการจัดคำถามใหม่ เขาตอบทันทีว่า "จากเหรียญ 6 เหรียญมี 2⁶ − 1 = 63 วิธี"
  • เมื่อถูกถามต่อว่า "เป็นไปได้ไหมว่าบางชุดให้ผลรวมเท่ากัน" เขาให้เหตุผลทันทีว่า "เป็นไปไม่ได้ เพราะเหรียญแต่ละชนิดมีค่ามากกว่าผลรวมของเหรียญที่มีค่าน้อยกว่าทั้งหมด"

ปริศนาบวกแบบเข้ารหัส

  • เขาแก้โจทย์ A + MERRY + XMAS = TURKEY (K=3) ได้ อย่างรวดเร็วและถูกต้อง พร้อมอธิบายกระบวนการคิดด้วยปากเปล่า
  • ยืนยันอีกครั้งถึงกลยุทธ์เชิง วิเคราะห์และตรรกะ โดยใช้การตั้งระบบสมการเพื่อแก้ปัญหา

ตารางเรียนที่โรงเรียน (ภาคเรียนที่ 3 ปี 1983)

  • เขาเรียนควบทั้ง Bellevue Heights Primary School (ชั้นปี 5) และ Blackwood High School
    • มัธยม: วิชาสามัญชั้นปี 8, ฟิสิกส์ชั้นปี 11, คณิตศาสตร์ชั้นปี 12
    • ประถม: การสะกดคำ การอ่าน พลศึกษา สังคมศึกษา พละ ละคร ศิลปะ ดนตรี กวีนิพนธ์
  • เพราะเขาเรียนเนื้อหาคณิตศาสตร์ชั้นปี 11 ครบหมดแล้ว จึงย้ายไป เรียนคณิตศาสตร์ชั้นปี 12 ตั้งแต่ภาคเรียนที่ 3
  • แม่ของเขา Grace เป็นผู้ ขับรถรับส่งระหว่างโรงเรียน ด้วยตนเอง

รายงานจากนักจิตวิทยา

  • ตอนอายุ 4 ปี 7 เดือน (กุมภาพันธ์ 1980): ความสามารถทางสติปัญญาอยู่ในระดับ 8–10 ปี และต้องมีการดูแลอย่างรอบคอบในโรงเรียนเพื่อตอบสนองความต้องการด้านสติปัญญา สังคม และอารมณ์
  • ตอนอายุ 5 ปี 9 เดือน (พฤษภาคม 1981): ทำแบบทดสอบ Raven's Controlled Projection Matrices ได้ในช่วง เปอร์เซ็นไทล์ที่ 95 ของเด็กอายุ 11 ปี
  • ตอนอายุ 6 ปี 4 เดือน (พฤศจิกายน 1981): ในแบบทดสอบสติปัญญาเด็กของ Wechsler เขาได้คะแนนเต็มหรือใกล้เต็ม ไม่มี ความแตกต่างระหว่างเชาวน์ปัญญาด้านภาษาและด้านปฏิบัติการ (ไม่ใช้ภาษา) และมีอายุสมองโดยรวม 14 ปี (อยู่ในช่วงสูงสุดสำหรับเด็กอายุ 6 ปี)

การประเมินครั้งที่ 3 (17 กันยายน 1983)

  • ไปเยี่ยมพร้อมกับ Dr Tom van Dulken อาจารย์พี่เลี้ยงอาวุโสจากคณะคณิตศาสตร์ของ Flinders University เพื่อหารือเรื่อง ความเป็นไปได้ของการเข้าเรียนก่อนวัย
  • เขาหาปฏิยานุพันธ์ของ x sin x และ eˣ cos x ได้อย่างถูกต้อง
  • เขาอินทิเกรต sin x/(sin x + cos x) ด้วย วิธีที่สร้างสรรค์ โดยแยกเป็น ½ − (cos x − sin x)/2(sin x + cos x) และได้ ½x − ½ln|sin x + cos x| + C
  • ยืนยันได้ว่า ตอนนี้เขารู้แล้วว่า ln|x| เป็นปฏิยานุพันธ์ของ 1/x ซึ่งก่อนหน้านี้ยังไม่ทราบในการประเมินครั้งก่อน
  • เมื่อถูกถามให้หาพจน์คงที่ของ (2x − 4/x)¹⁰ เขายังเรียนทฤษฎีบททวินามไม่มากพอ จึงพยายามแก้โดย สร้างสามเหลี่ยมปาสกาลเอง แต่หลังจากนั้นไม่กี่สัปดาห์ เขาก็เรียนรู้ด้วยตนเองและคำนวณพจน์คงที่ของ (2x − 5/x)¹⁰ ด้วยสูตรทวินามได้ อย่างรวดเร็ว: 252 × (−10)⁵ = −25,200,000

การวิเคราะห์สมุดแบบฝึกหัดที่บ้าน

  • จากสมุดแบบฝึกหัดที่ยืมมาตรวจ พบว่าเขาแก้โจทย์คณิตศาสตร์เอง วันละ 3–5 หน้า
  • ตัวอย่างโจทย์ที่มีอยู่ ได้แก่
    • ปัญหาเงื่อนไขต้นของ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับสอง d²y/dx² − 6dy/dx + 5y = 0 ซึ่งเขาแก้ด้วยสมการลักษณะเฉพาะและได้ y = 4eˣ − e⁵ˣ
    • อินทิกรัลโดยใช้ Weierstrass substitution (t = tan ½x)
    • อินทิกรัลโดยใช้ การแยกเศษส่วนย่อย: 3(x+1)/x²(x²+3) ซึ่งตรงข้ามกับการประเมินครั้งที่ 2 ที่เขายังทำ partial fractions ของ 1/(1−x²) ไม่ได้ และเป็นหลักฐานว่า เขาเรียนรู้ได้เร็วมาก

แผนการศึกษาที่โรงเรียนในอนาคต

  • ในปี 1984 เขาจะ ไม่เรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน แต่จะศึกษาด้วยตนเองที่บ้านในหัวข้อโครงสร้างพีชคณิต ความน่าจะเป็นและสถิติ คอมพิวติ้ง และการวิเคราะห์
  • ตลอดปี 1984 เวลาเรียนทั้งหมดที่โรงเรียนจะอยู่ที่ Blackwood High School: มนุษยศาสตร์ชั้นปี 8, ภูมิศาสตร์ชั้นปี 10–11, เคมีชั้นปี 11, ฟิสิกส์ชั้นปี 12
  • หากความสนใจในคณิตศาสตร์ยังคงต่อเนื่องและเขาพร้อมด้านสังคมกับอารมณ์ ก็มีแผนจะ เข้าคณะคณิตศาสตร์ที่ Flinders University ในปี 1985
  • Dr van Dulken เห็นว่าแม้จะเริ่มมหาวิทยาลัยตอนอายุ 9 ปี เขาก็ยังน่าจะ ก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เหนือกว่านักศึกษาปี 1 รุ่นเดียวกันส่วนใหญ่ หรืออาจทั้งหมด

โปรแกรมหา Perfect Numbers — ผลงานตีพิมพ์ชิ้นแรก

  • โปรแกรมค้นหา จำนวนสมบูรณ์ (Perfect Numbers) ที่ Terence พัฒนาอัลกอริทึมเองและเขียนด้วย ภาษา BASIC
  • ใช้เงื่อนไขจาก Elements ของ Euclid ที่ว่า 2^(p-1)(2^p − 1) จะเป็นจำนวนสมบูรณ์เมื่อ 2^p − 1 เป็นจำนวนเฉพาะ
  • ประกอบด้วยสองส่วน คือโปรแกรมตรวจจำนวนเฉพาะและโปรแกรมคำนวณจำนวนสมบูรณ์
  • คำนวณได้ถึง 10¹³ และพิมพ์ค่า 6, 28, 496, 8128, 33,550,336 เป็นต้น ส่วนจำนวนที่ใหญ่มากให้ได้เพียง ค่าโดยประมาณ เนื่องจากข้อจำกัดของช่วงค่าคอมพิวเตอร์
  • ได้รับการตอบรับให้ตีพิมพ์ในวารสารคณิตศาสตร์นักเรียนแห่งรัฐเซาท์ออสเตรเลีย Trigon 21(3), ฉบับเดือนพฤศจิกายน 1983 ถือเป็น ผลงานตีพิมพ์ทางวิชาการชิ้นแรก ของ Terence
  • เขียนเมื่อวันที่ 26 สิงหาคม 1983

ข้อพิจารณาเกี่ยวกับการศึกษา ความมุ่งหวัง และลักษณะการเรียนรู้ของ Terence

  • การศึกษาคณิตศาสตร์ของเขา ไม่ได้ถูกวางแผนอย่างเป็นระบบล่วงหน้า แต่เป็นการย้ายหัวข้อไปตามความสนใจของตนเองและปัจจัยชี้นำจากภายนอก
  • ผู้ชี้แนะที่สำคัญที่สุดอย่างต่อเนื่องคือ แม่ Grace ซึ่งเป็นบัณฑิตคณิตศาสตร์และคอยสังเกตลำดับหัวข้อที่เขาเรียน
  • พ่อ Billy Tao แม้จะเป็นกุมารแพทย์ที่งานยุ่ง ก็ยังทุ่มเวลาอย่างมากเพื่อค้นหา คำแนะนำที่ดีที่สุด เกี่ยวกับการศึกษาของ Terence
  • ไม่มี วิธีที่ดีที่สุดเพียงวิธีเดียว ในการให้การศึกษาแก่เด็กที่มีความสามารถพิเศษอย่างยิ่ง และวิธีของครอบครัว Tao—แสวงหาคำแนะนำที่ดีที่สุด แต่ท้ายที่สุดเปิดให้ Terence ไล่ตามหัวข้อที่เขาสนใจและท้าทายด้วยตนเอง—ได้ผลสำเร็จ
  • ความเห็นที่ว่า Terence ควรใช้เวลาในโรงเรียนกับเด็กวัยเดียวกันเท่านั้นเป็นเรื่อง ไม่สมจริง
  • ในเดือนพฤศจิกายน 1983 เขาเข้าสอบ Mathematics I สำหรับเข้ามหาวิทยาลัย ของคณะกรรมการสอบสาธารณะแห่งรัฐเซาท์ออสเตรเลียแบบไม่เป็นทางการ (ข้อสอบ 3 ชั่วโมงสำหรับชั้นปี 12) และทำเสร็จในเวลาไม่ถึง 2 ชั่วโมง ได้คะแนนอย่างไม่เป็นทางการ 93% → อยู่ในระดับสูงสุด

ลักษณะการเรียนรู้ 10 ประการที่ปรากฏจากการประเมิน

  1. มี ความจำระยะยาวที่น่าทึ่ง ต่อคำนิยาม การพิสูจน์ และแนวคิดทางคณิตศาสตร์
  2. ความสามารถเชิงพื้นที่พัฒนาได้ดี แต่เวลาทำโจทย์มีความชอบชัดเจนต่อ การคิดแบบภาษา-ตรรกะ มากกว่าการคิดด้วยภาพ
  3. มี ความสามารถในการเข้าใจงานเขียนคณิตศาสตร์ ที่ใช้ศัพท์และสัญลักษณ์ซับซ้อน
  4. ชอบโดยเฉพาะ การวิเคราะห์ (แคลคูลัส), โครงสร้างพีชคณิต, ทฤษฎีจำนวน, คอมพิวติ้ง
  5. เข้าใจแนวคิดเชิงนามธรรมได้รวดเร็ว และเรียนได้แม้ ไม่มีเครื่องมือรูปธรรมช่วย
  6. มี ความสามารถในการวางกลยุทธ์แก้ปัญหาที่เหมาะสม สำหรับโจทย์ท้าทายที่ไม่คุ้นเคย แต่ในเวลานี้เขายังเพลิดเพลินกับการดื่มด่ำในโลกคณิตศาสตร์มากกว่า
  7. เรียนรู้ได้เร็วอย่างน่าทึ่ง: ในปี 1983 เขาเรียนรู้คณิตศาสตร์ชั้นปี 11–12 เกือบทั้งหมด และ คณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยปี 1 ไปมากพอสมควร
  8. หากไม่รู้เรื่องในสาขาคณิตศาสตร์ที่สนใจ เขาจะ หาอ่านจากหนังสือและเรียนเอง ได้ดีโดยไม่ต้องมีครู
  9. หลังทำโจทย์เสร็จ เขา ไม่ชอบตรวจทานคำตอบ และมักอยากไปทำโจทย์ใหม่ต่อ
  10. เขา ไม่ได้ใส่ใจมากนักกับการจัดระเบียบวิธีทำเพื่อสื่อสารให้ผู้อื่นเข้าใจ โดยจะเขียนเพียงเท่าที่พอแสดงให้เห็นว่าเขาแก้โจทย์ได้

แผนในอนาคต

  • ในอีก 10 ปีข้างหน้า มีความหวังว่า Terence จะปรับตัวเข้ากับครอบครัว ชุมชน และ วิถีชีวิตแบบออสเตรเลีย ได้อย่างเพียงพอ
  • ขณะเดียวกันก็พิจารณาความเป็นไปได้ที่เขาจะพัฒนาความสามารถอันหาได้ยากนี้อย่างเต็มที่จน ได้ปริญญาเอกจาก Flinders University ราวอายุ 17 ปี
  • วิทยาเขตของ Flinders University อยู่ ใกล้บ้านครอบครัว Tao มาก ทำให้เดินทางไปกลับได้โดยไม่รบกวนชีวิตครอบครัวมากนัก
  • หลังปริญญาเอก เขาอาจทำ วิจัยหลังปริญญาเอก ที่มหาวิทยาลัยชั้นนำในสหรัฐฯ ยุโรป หรือออสเตรเลีย
  • แผนนี้เป็นเพียงแผนเบื้องต้น และยอมรับว่าในอนาคต Terence จะมี สิทธิออกเสียงต่อเส้นทางของตนเองมากขึ้นเรื่อย ๆ
  • ในการทดสอบ SAT-M แบบไม่เป็นทางการ เขาได้ 720 คะแนนตอนอายุ 8 ปี 6 เดือน

บทความที่เกี่ยวข้อง

1 ความคิดเห็น

 
GN⁺ 2026-02-24
ความเห็นจาก Hacker News

  • ในฐานะพ่อของเด็กอายุ 8 ขวบ เรื่องนี้ทำให้ผมซาบซึ้งมาก
    เห็นได้ชัดว่า Terence มี พรสวรรค์อันโดดเด่น ติดตัวมาแต่กำเนิด แต่ผมก็คิดว่าพ่อแม่อย่าง Billy กับ Grace มีบทบาทสำคัญมากเช่นกัน ทั้งในการส่งเสริมมันอย่างเหมาะสมและรักษาวัยเด็กที่มีความสุขของเขาไว้

    • จากบทสัมภาษณ์ดูเหมือนว่าพ่อแม่ไม่ได้ฝึกเขาอย่างเป็นพิเศษ แค่จัดหาสื่อที่เขาต้องการให้เท่านั้น
      ในบรรดาเพื่อนร่วมชั้นมัธยมของผมก็มีคนที่ได้เหรียญทอง International Mathematical Olympiad อยู่คนหนึ่ง และพ่อแม่ของเขาก็ใช้แนวทางคล้ายกัน
    • ที่บ้านเรามักคุยกันว่าเด็กคนหนึ่งเป็นคนแบบ school-shaped แค่ไหน
      ทำให้ผมคิดว่า ถ้า Terence Tao ไม่ใช่คนที่เข้ากับระบบโรงเรียนได้ดี เขาจะประสบความสำเร็จแบบทุกวันนี้ไหม
      ในทางกลับกัน ก็น่าจะมีเด็กเก่งอีกมากที่ไม่ได้แสดงศักยภาพออกมาเพราะไม่เข้ากับระบบโรงเรียน

  • ทำให้นึกถึงวัยเด็กของ John Stuart Mill
    ว่ากันว่าเขาเรียนภาษากรีกตอนอายุสามขวบ ศึกษา Plato ตอนหกขวบ และเริ่มภาษาละตินตอนแปดขวบ
    รายละเอียดอยู่ในชีวประวัติบน Wikipedia
    เรื่องที่ Jeremy Bentham แวะเวียนมาที่บ้านตั้งแต่เขายังเด็กก็น่าสนใจเหมือนกัน

    • แต่การศึกษาลักษณะนี้เกิดจาก แรงกดดันมหาศาล จากพ่อของเขา และสุดท้ายเขาก็มีอาการประสาทล้มเหลวในช่วงต้นวัย 20
      ผลลัพธ์น่าทึ่งก็จริง แต่ราคาที่ต้องจ่ายก็มหาศาล
      เรื่องนี้มีอยู่ในต้นฉบับอัตชีวประวัติของ Mill
    • อัตชีวประวัติของ Mill เป็นหนังสือที่น่าสนใจมาก
      เขาบอกว่าตัวเองไม่ได้เป็นเด็กพิเศษอะไรเลย และความสำเร็จทั้งหมดเกิดจากแรงผลักดันของพ่อ
      เขายังบอกด้วยว่าเขาถูกกันไม่ให้คลุกคลีกับเด็กวัยเดียวกัน จึงไม่รู้เลยว่าความสำเร็จของตัวเองนั้นผิดปกติแค่ไหน
    • ตอนผมอายุราวสามหรือสี่ขวบก็อ่านออกเขียนได้แล้ว และอ่านหนังสือทุกอย่างที่หาได้
      ทั้งหนังสือคณิตศาสตร์ หนังสือเคมี แม้จะไม่เข้าใจแต่ก็มี ความอยากรู้อยากเห็นต่อความรู้ สูงมาก
      เพราะงั้นพอได้ยินว่ามีคนเรียน Plato ตั้งแต่ยังเล็กมาก ผมก็ยังแอบสงสัยนิดหน่อย
    • การเรียนสามภาษาตั้งแต่วัยเด็กเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับผู้คนนับร้อยล้านทั่วโลก
      เพียงแต่ภาษาที่ Mill เรียนนั้นไม่ธรรมดาเท่านั้นเอง
    • ซีรีส์ In Our Time ของ BBC Radio Four มีตอนล่าสุดที่พูดถึง On Liberty ของ Mill
      ลิงก์รายการ
      เขาพูดถึงวัยเด็กของ Mill และความสัมพันธ์อันอบอุ่นกับพ่อของเขา

  • การปลูกฝัง ความหลงใหลในคณิตศาสตร์ ให้เด็กเป็นเรื่องที่แทบจะเป็นศิลปะ
    เครื่องมือสมัยใหม่ที่ผมใช้กับลูก ๆ คือเกมชื่อ Prodigy Math
    มันทำให้การแก้โจทย์คณิตศาสตร์กลายเป็นการได้พลังเวท เลยสนุกดี และสำหรับพ่อแม่ก็จะส่งอีเมลรายงานว่าเด็กทำข้อไหนผิด พร้อมแบบฝึกเสริมให้

    • พออ่านเรื่องนี้ก็นึกถึง เกม 24 ที่เคยเล่นตอนเด็ก
      มันเป็นเกมการ์ดที่เอาตัวเลขสี่ตัวมาบวก ลบ คูณ หาร เพื่อให้ได้เลขเป้าหมาย
      แค่นึกถึงการ์ดพวกนั้นก็ยิ้มออกแล้ว
    • ขอบคุณสำหรับคำแนะนำ เดี๋ยวจะลองใช้เลย
      ผมเคยให้ลูกชายเล่น Dragon Box แต่ฟีเจอร์รายงานสำหรับผู้ปกครองยังไม่ดีพอ
      Khan Academy Kids ก็ลองแล้วเหมือนกัน แต่ลูกนำหน้าไปไกลเกินจนแทบไม่ช่วยอะไร
    • เพลงในเกมนั้นดีมากจริง ๆ

  • ผมเพิ่งอ่าน Conversations with Walter Murch แล้วเจอส่วนที่คล้ายกับความรู้สึกที่ Tao มีต่อคณิตศาสตร์
    ประโยคที่ว่า “ถ้าคุณได้ทำสิ่งที่คุณรักที่สุดในช่วงอายุ 9 ถึง 11 ไปตลอดชีวิต โอกาสที่จะมีความสุขก็สูง” น่าประทับใจมาก

    • แต่ผมคิดว่านั่นเป็นแค่ selection bias และใช้ไม่ได้กับคนส่วนใหญ่
      แม้จะมีกรณีพิเศษอย่างงานศิลปะ แต่คนส่วนมากมักค้นพบสิ่งที่ชอบในช่วงที่โตกว่านั้นมาก
    • ผมสงสัยว่าจะตรวจสอบเรื่องนี้เชิงทดลองได้ไหม
      อาจมี การศึกษาติดตามระยะยาว ที่เปรียบเทียบสิ่งที่คนชอบตอนเด็กกับสิ่งที่ทำเมื่อโตเป็นผู้ใหญ่
    • ผมคิดว่าสิ่งสำคัญคือเด็กช่วงอายุ 9–11 ได้สัมผัสกิจกรรมอะไรบ้าง
      ตัวผมเองก็บังเอิญได้เห็นไฟล์ BAT ผ่าน XtreeGold แล้วหลงใหลการเขียนโปรแกรม จากนั้นก็ทำงานด้านนี้มาจนถึงทุกวันนี้
      ในฐานะพ่อแม่ คำแนะนำที่ดีน่าจะเป็นการให้ลูกได้ สัมผัสประสบการณ์ที่หลากหลายโดยไม่บังคับ

  • นี่เป็นเรื่องของ อัจฉริยะคณิตศาสตร์แบบคลาสสิก ที่ทำแคลคูลัสได้ตอนอายุ 7 และอ่านหนังสือคณิตศาสตร์ระดับมหาวิทยาลัยตอนอายุ 8
    ผมเองก็ชอบวิธีแก้ปัญหาแบบมีตรรกะและวิเคราะห์
    มันให้ความรู้สึกชัดเจนกว่าการคิดเชิงภาพมาก

    • ผมกลับกัน ผมชอบปัญหาเชิงภาพและเชิงพื้นที่มากกว่า
      เพราะตอนเด็กเล่นสร้างสิ่งต่าง ๆ ด้วย Lego อยู่บ่อย ๆ
      ตอนนี้เลยกำลังคิดว่าจะฝึกการคิดเชิงวิเคราะห์อย่างไรดีเพื่อเรียนวิศวกรรมให้จบ

  • อ่านเรื่องนี้แล้วนึกถึงช่วงต้นของ Flowers for Algernon
    เป็นเรื่องของตัวเอกที่ได้รับการรักษาเพิ่มสติปัญญา แล้วการเขียนไดอารี่ของเขาก็ค่อย ๆ ลื่นไหลขึ้นเรื่อย ๆ

    • ผมอ่านตอนมัธยมต้น และร้องไห้ไม่หยุดตอนจบ
    • ผมก็ร้องไห้เหมือนกันตอนช่วงท้าย เพื่อนแนะนำให้อ่าน และมันก็กลายเป็นหนึ่งในหนังสือที่ดีที่สุดในชีวิตผม
    • หนังสือยอดเยี่ยมมาก แต่หนังทำออกมาไม่ถึงระดับนั้น

  • ตอน Terence อายุหกขวบ เขาสอนตัวเองจากหนังสือ BASIC แล้วเขียนโปรแกรมขึ้นมาได้ เรื่องนี้น่าประทับใจมาก
    มีบรรทัด output อย่าง “(brmmmm-brmmmm-putt-putt-vraow-chatter-chatter bye mr. fibonacci!)” ด้วย

    • เห็นโค้ดชิ้นนั้นแล้ว ความทรงจำหลั่งไหลกลับมา เลย
      ตอนผมอายุหกขวบก็สอนตัวเองใช้ Applesoft BASIC และชอบใส่ output ตลก ๆ แบบนั้นเหมือนกัน
      แค่ตอนนั้นยังไม่รู้ว่า Fibonacci sequence คืออะไร
    • มันให้ความรู้สึกเหมือนโค้ดที่ เอเลียนอัจฉริยะยิ่งยวด เขียนโดยแกล้งทำเป็นเด็กอายุ 8 ขวบ
    • ผมลองนับจำนวนตัวอักษรดูเผื่อจะมีข้อความซ่อนอยู่ แต่ก็ไม่มี

  • ตอนอายุ 8 ขวบ ผมถอดวิทยุได้คล่องเลย
    แต่ต้องใช้เวลาอีกหลายปีกว่าจะประกอบกลับได้

    • ตอนอายุ 8 ผมย้าย โฟลเดอร์ C:\Windows ไปไว้บนเดสก์ท็อปแล้วใช้มันแทนโฟลเดอร์ใหม่
      เพราะผมไม่รู้วิธีสร้างโฟลเดอร์ใหม่
    • ตอนเด็กผมชอบเล่นกับ อุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์หลอดสุญญากาศ แบบคลาสสิก สนุกมาก
    • ตอนอายุสามหรือสี่ขวบ ผมถอดวิทยุออกมาเล่น แล้วโดนครอบครัวล้อเรื่องนี้อยู่นานกว่าสิบปี
      แม่ยังหยิบเรื่องนี้ขึ้นมาพูดตอนใกล้เสียชีวิตเลย

  • น่าสนใจที่สติปัญญาดูจะได้รับอิทธิพลจาก ปัจจัยด้านสิ่งแวดล้อม มากกว่าที่คนคิด
    บทความที่เกี่ยวข้อง: No, intelligence is not like height