10 บทเรียนที่ควรรู้ก่อนเรียนวิชาสมการเชิงอนุพันธ์ [PDF] (1997)

• Gian-Carlo Rota ซึ่งสอนวิชา สมการเชิงอนุพันธ์ ระดับปี 2 ของ MIT มาอย่างยาวนาน มองว่าคอร์สเบื้องต้นนี้ยังถูกผูกติดกับกลเม็ดการแก้โจทย์และความเคยชินแบบเก่า จึงมีแนวโน้มจะแตกตัวออกเป็นวิชาทางเลือกสั้นๆ ที่ใช้งานจริงมากกว่า แทนที่จะถูกปฏิรูปครั้งใหญ่
• เทคนิคสมการอันดับหนึ่งที่เรียนกันช่วงต้น เช่น integrating factor หรือสมการเอกซ์แซ็กต์ เป็น กลเม็ดที่แยกส่วนกัน และห่างไกลจากปัญหาวิศวกรรมจริง โดยมีเพียงการแยกตัวแปรและการเปลี่ยนตัวแปรที่ยังมีคุณค่าพอจะอยู่ต่อในระยะยาว
• แกนที่นักศึกษาจำเป็นต้องเชี่ยวชาญคือ สมการเชิงเส้นสัมประสิทธิ์คงที่และระบบสมการ ส่วนสมการเชิงเส้นอันดับสองที่สัมประสิทธิ์ไม่คงที่หรือเนื้อหา Sturm-Liouville เชิงรูปแบบนั้นไม่ค่อยเหมาะกับคอร์สเบื้องต้น
• ทฤษฎีบทการมีอยู่และเอกลักษณ์, โจทย์คำพูด, วิธีแปรผันพารามิเตอร์, และการอธิบายที่ยึดสัญลักษณ์อนุพันธ์เป็นศูนย์กลาง มักเสริม การจัดการที่ออกข้อสอบได้ มากกว่าความเข้าใจ จึงควรอธิบายใหม่ผ่านมุมมองของวิถี, สนามเวกเตอร์, และเส้นอินทิกรัล
• การสอนสมการเชิงอนุพันธ์ระดับเบื้องต้นไม่ควรทิ้งไว้เป็นรายวิชาที่เหลือแต่กลเม็ด แต่ควรทำให้นักศึกษาได้ซึมซับ สัญชาตญาณเชิงแนวคิด อย่างความเป็นสากลของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล, เสถียรภาพ, ระนาบเฟส, และการแปลง Laplace

---

ข้อกังวลต่อคอร์สสมการเชิงอนุพันธ์เบื้องต้นแบบเก่า

• Gian-Carlo Rota ย้อนมองว่าการเขียนตำราสมการเชิงอนุพันธ์สามัญในวัยหนุ่มเป็นความผิดพลาด และจากประสบการณ์นั้นทำให้เขาตระหนักว่าตัวเอง ไม่รู้ว่าสมการเชิงอนุพันธ์คืออะไร
• วิชาสมการเชิงอนุพันธ์ระดับปี 2 ของ MIT ถูกมองว่าเป็นวิชาคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรีที่ทั้งอาจารย์และนักศึกษารู้สึกหนักใจ และเขาก็ต้องสอนวิชานี้ต่อเนื่องเพราะเคยเขียนตำราไว้
• บทความนี้รวบรวมความผิดพลาดและอคติจากการสอนซ้ำๆ ตั้งแต่ปี 1958 ออกมาเป็น 10 บทเรียน

1. คอร์สเบื้องต้นส่วนใหญ่ล้าสมัยแล้ว

• เมื่อนำเลกเชอร์สมการเชิงอนุพันธ์ของ Cauchy ในศตวรรษที่ 19 มาเทียบกับตำราเบื้องต้นสมัยใหม่ จะพบว่านอกจากการเพิ่มเรื่องระบบสมการแล้ว เนื้อหาแทบไม่เปลี่ยนเลย
• ทุกวันนี้ในช่วงต้นของตำรามักวางสมการเอกซ์แซ็กต์, integrating factor, และสมการเชิงอนุพันธ์เนื้อเดียวกัน ไว้เป็นชุดเครื่องมือที่ไม่เชื่อมโยงกันแต่ถูกนำเสนอราวกับมีประโยชน์มาก
• เขามองว่าสมการประเภทนี้พบได้ไม่บ่อยในงานวิศวกรรมจริง และแบบฝึกหัดที่ให้มาก็สืบทอดต่อมาแทบไม่เปลี่ยนจากยุคหลัง Euler
• คอร์สสมการเชิงอนุพันธ์เบื้องต้นมีแนวโน้มจะค่อยๆ หายไปเอง มากกว่าจะถูกปฏิรูปครั้งใหญ่ และถูกแทนที่ด้วยวิชาสั้นหลายวิชาที่จัดการด้านที่สมจริงกว่า
• อย่างไรก็ดี งบประมาณของภาควิชาคณิตศาสตร์พึ่งพาจำนวนนักศึกษาวิศวกรรมที่ลงทะเบียนวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐานอย่างมาก ดังนั้นหากไม่มีวิชาประเภทนี้ ภาควิชาคณิตศาสตร์ก็อาจอยู่รอดได้ยาก

2. ควรลดสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งให้เหลือน้อยที่สุด

• หนังสือสมการเชิงอนุพันธ์ของ Boole ใช้พื้นที่เกือบครึ่งหนึ่งกับการแก้สมการอันดับหนึ่ง แต่เขามองว่าเทคนิคที่ยังมีความหมายจนถึงปัจจุบันมีเพียง การแยกตัวแปร และ การเปลี่ยนตัวแปร
• เขาถึงกับบอกว่า integrating factor กลายเป็นเรื่องชวนขำ และไม่เคยได้ยินตัวอย่างจริงที่มีใครแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งด้วยการหา integrating factor
• ถึงอย่างนั้น ในห้องเรียนก็ยังใช้เวลาเป็นชั่วโมงกับ integrating factor และบอกนักศึกษาว่ามันสำคัญตามธรรมเนียมเดิม

3. สมการเชิงเส้นสัมประสิทธิ์คงที่คือแกนหลัก

• นักศึกษาจำเป็นต้องเรียนรู้วิธีแก้ สมการเชิงเส้นสัมประสิทธิ์คงที่ และโดยเฉพาะการแก้สมการเชิงเส้นอันดับสองสัมประสิทธิ์คงที่นั้นถือเป็นพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่ควรมี
• ในทางกลับกัน สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่สัมประสิทธิ์ไม่คงที่ควรถูกลดบทบาทลงอย่างมาก
  • เขามองว่านอกจากสมการ Euler-Cauchy แล้ว ก็แทบไม่มีสมการเชิงเส้นอันดับสองที่แก้แบบชัดแจ้งได้โดยไม่ต้องนำฟังก์ชันพิเศษเข้ามา
  • ฟังก์ชัน Bessel เคยอยู่ในแผนการสอนสมัยก่อน แต่ตอนนี้เขาเห็นว่าไม่เหมาะจะสอนในคอร์สเบื้องต้น
• ทฤษฎี Sturm-Liouville เป็นคณิตศาสตร์ที่งดงาม แต่เขาวิจารณ์ว่าโจทย์ค่าเฉพาะ Sturm-Liouville แบบไม่เอกฐานที่สอนในคอร์สเบื้องต้นนั้นไม่ค่อยปรากฏในคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ หรือวิศวกรรมจริง
  • ระบบ Sturm-Liouville ที่พบจริงนั้นเป็นระบบเอกฐาน
  • ส่วนทฤษฎีที่เคร่งครัดก็เกินขอบเขตไม่เพียงคอร์สแรก แต่รวมถึงคอร์สสมการเชิงอนุพันธ์คอร์สที่สองด้วย
• อย่างไรก็ดี ไม่จำเป็นต้องซ่อนสมการที่สัมประสิทธิ์ไม่คงที่ทั้งหมด และแม้ในระดับเบื้องต้นก็ยังพอแสดงผลบางอย่างของ Wronskian และพีชคณิตเชิงอนุพันธ์ได้
  • แม้จะไม่มีสูตรทั่วไปของคำตอบสมการเชิงเส้นอันดับสอง แต่ Wronskian ของคำตอบสองตัวมีสูตรชัดแจ้ง
  • ถ้ารู้คำตอบหนึ่งตัว ก็สามารถใช้ Wronskian หาอีกคำตอบหนึ่งได้

4. ควรสอนการเปลี่ยนตัวแปร

• ทักษะที่นักศึกษาจะต้องใช้ต่อไปแน่นอนคือ การเปลี่ยนตัวแปร ทั้งในสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งและอันดับสอง
• เขาเห็นว่าการเปลี่ยนตัวแปรไม่ใช่เพียงกลเม็ดเฉพาะหน้า แต่เป็นทฤษฎีที่สอดคล้องกัน ทว่าตำราปัจจุบันยังให้ความสำคัญกับเรื่องนี้ไม่พอ
• สูตรการแปลงของตัวแปรตามและตัวแปรอิสระในสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองนั้นมีอยู่แล้ว แต่กลับหาได้ยากในหนังสือที่เขียนขึ้นในศตวรรษที่ 20
• Liouville ค้นพบ invariant ซึ่งเป็นพหุนามเชิงอนุพันธ์ของสัมประสิทธิ์ในสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง และพิสูจน์ว่าเงื่อนไขจำเป็นและเพียงพอที่สมการสองตัวจะแปลงถึงกันได้ด้วยการเปลี่ยนตัวแปร คือการมี invariant เดียวกัน
• ทฤษฎีบทนี้ไม่ค่อยถูกพูดถึงในตำรา แม้ในฉบับพิมพ์ครั้งแรกของตำราเขาเองจะเคยใส่ไว้เป็นแบบฝึกหัด แต่ต่อมาก็ถูกตัดออก

5. การมีอยู่และเอกลักษณ์สำคัญน้อยกว่าที่คิด

• เขามองว่าทฤษฎีบท การมีอยู่ ของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญไม่ได้สำคัญมากอย่างที่มักเชื่อกัน และใกล้เคียงกับทฤษฎีบทที่ให้ความสบายใจทางจิตวิทยามากกว่า
• หากในสมการเชิงอนุพันธ์สามัญมีตัวอย่างที่คำตอบไม่มีอยู่จริงบ่อยๆ ทฤษฎีบทการมีอยู่อาจน่าสนใจกว่านี้ แต่ปัญหาแบบนั้นเด่นชัดกว่าในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย
• ทฤษฎีบทเอกลักษณ์เป็นประเด็นที่ละเอียดอ่อนกว่า และเขายอมรับว่ารู้สึกผิดเวลาพูดโดยไม่พิสูจน์ว่า คำตอบทั้งหมดของสมการเชิงเส้นอันดับสองสัมประสิทธิ์คงที่เป็นการรวมเชิงเส้นของคำตอบสองตัว
• ต่อให้พิสูจน์ว่า คำตอบทั้งหมดของ y' = ay อยู่ในรูป y = ce^{ax} ก็ยังยากจะสื่อสารให้นักศึกษาเชื่อได้อย่างแท้จริง

6. ระบบเชิงเส้นสัมประสิทธิ์คงที่คือศูนย์กลางของคอร์ส

• การแก้ ระบบเชิงเส้นสัมประสิทธิ์คงที่ คือทักษะสำคัญที่สุดที่นักศึกษาได้เรียนในวิชาสมการเชิงอนุพันธ์
• นักศึกษาในสายวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีจะต้องเจอกับระบบเชิงเส้นขนาดใหญ่ในภายหลัง และยิ่งการแก้ระบบขนาดใหญ่ถูกทำด้วยคอมพิวเตอร์มากขึ้น การเข้าใจทฤษฎีก็ยิ่งสำคัญ
• นักศึกษาควรรู้เรื่องค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ ตลอดจน matrix exponential
• เขามองว่าในช่วง 30 ปีก่อนหน้า ได้มีตัวอย่างระบบสัมประสิทธิ์คงที่ที่น่าสนใจเกิดขึ้นมากมายในงานควบคุม เศรษฐศาสตร์ การประมวลผลสัญญาณ และคณิตศาสตร์ แต่กลับไม่ถูกนำเข้าไปในตำราเบื้องต้น
• เขาวิจารณ์ว่าตัวอย่างระบบเมทริกซ์ในตำราส่วนใหญ่มักเป็นแค่ระบบบนระนาบ หรือเป็นตัวอย่างที่ประดิษฐ์ขึ้น
• วิธีแปรผันพารามิเตอร์มักโผล่มาในบทระบบสมการตามธรรมเนียม แต่ใช้งานจริงน้อย และยังยากจะออกโจทย์ที่เหมาะให้นักศึกษา
• ส่วนวิธีแปรผันพารามิเตอร์แบบเก่าสำหรับสมการเชิงเส้นอันดับสองไม่เอกพันธ์ที่สัมประสิทธิ์ไม่คงที่ ก็ถูกทำซ้ำในตำรามาหลายศตวรรษพร้อมตัวอย่างประดิษฐ์ชุดเดิม

7. ควรหลีกเลี่ยงการอธิบายที่ยึดสัญลักษณ์อนุพันธ์เป็นศูนย์กลาง

• เขาวิจารณ์อย่างรุนแรงว่าการอธิบาย integrating factor ในตำราตั้งแต่หลังปี 1800 นั้น ไม่เคร่งครัด
• คำอธิบายแบบเดิมมักเริ่มจากสมการอันดับหนึ่ง dy/dx = -M(x,y)/N(x,y) แล้วจู่ๆ เปลี่ยนเป็น M dx + N dy = 0 ในฐานะ “ดิฟเฟอเรนเชียลฟอร์ม” พร้อมบอกว่านี่เป็นเพียงการเขียนคนละแบบ
• จากนั้นก็กล่าวว่าถ้าคูณด้วยฟังก์ชัน q(x,y) จะได้ qM dx + qN dy = 0 ซึ่งกลายเป็นสมการเอกซ์แซ็กต์ แต่ไม่ได้จัดการให้ชัดว่ามันยังเป็นสมการเดิมหรือเป็นอีกสมการหนึ่ง
• เขาเสนอว่าคำอธิบายที่ดีกว่าคือพิจารณาระบบอัตโนมัติบนระนาบควบคู่ไปกับสมการอันดับหนึ่งนั้น
  • พิจารณา dx/dt = N(x,y), dy/dt = -M(x,y) ไปพร้อมกัน
  • คำตอบของระบบคือ วิถี ซึ่งเป็นเส้นพาราเมตริกที่มีความเร็วกำกับ
  • คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เดิมคือกราฟของ เส้นอินทิกรัล ที่ตัดความเร็วทิ้งไป
• เมื่อเปลี่ยน q(x,y) ความเร็วบนวิถีจะเปลี่ยน แต่เส้นอินทิกรัลยังคงเดิม
• ดังนั้น integrating factor จึงอาจถูกแนะนำในฐานะตัวคูณ q ที่ทำให้สนามเวกเตอร์จัดการได้ง่ายขึ้นทั้งเชิงเรขาคณิตและเชิงวิเคราะห์
• เขาไม่ได้คัดค้านดิฟเฟอเรนเชียลฟอร์มภายนอกเอง และยังมองว่าในหลักสูตรคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรีอาจถึงเวลาต้องมีวิชาแคลคูลัสเบื้องต้นที่สอนดิฟเฟอเรนเชียลฟอร์มภายนอกด้วย

8. ควรหลีกเลี่ยงโจทย์คำพูด

• เขามองว่าการชอบ โจทย์คำพูด เพียงเพราะช่วยกระจายคะแนนในข้อสอบและการบ้านได้ง่าย เป็นวิธีคิดที่ผิด
• หากฝึกนักศึกษาแบบเก่าของ Cambridge Tripos ที่เน้นกลเม็ดการแก้ปัญหา ความสามารถในการจัดการจะกลายเป็นสิ่งสำคัญกว่าความเข้าใจ
• เขาวิจารณ์ว่าโจทย์คำพูดในตำราสมการเชิงอนุพันธ์มักประดิษฐ์ขึ้น ไม่สมจริง ซ้ำซาก และไม่ค่อยเกี่ยวข้องกับชีวิตจริง
• เขาเห็นว่าการให้แก้ปัญหาอย่างรถกวาดหิมะ หรือการไหลของน้ำเกลือระหว่างถังที่เชื่อมต่อกัน ไม่ได้แปลว่านักศึกษาจะได้เรียนรู้อะไรที่มีความหมาย
• ปัญหาจริงที่นักศึกษาเศรษฐศาสตร์จะเจอกับปัญหาจริงที่นักศึกษาเคมีวิศวกรรมจะเจอนั้นแตกต่างกันมาก จึงยากที่วิชาเบื้องต้นวิชาเดียวจะครอบคลุมทั้งหมดผ่านโจทย์คำพูดง่ายๆ

9. ควรวางแรงจูงใจของการแปลง Laplace ให้ถูกต้อง

• โดยทั่วไป การแปลง Laplace มักถูกปูพื้นผ่านปัญหาค่าเริ่มต้นของสมการเชิงเส้นสัมประสิทธิ์คงที่ แต่เพราะการแปลงผกผันไม่ได้ง่าย และปัญหาค่าเริ่มต้นก็แก้ด้วยวิธีอื่นได้ แรงจูงใจนี้จึงไม่ค่อยแข็งแรง
• เมื่อพูดถึงการแปลง Laplace คำว่า “ฟังก์ชัน” มักปะปนกันระหว่างสองแนวคิด
  • ฟังก์ชันทั่วไปที่มีกราฟ
  • ฟังก์ชันความหนาแน่น ที่ความหมายถูกกำหนดโดยการอินทิเกรต เช่น ความหนาแน่นมวลหรือความหนาแน่นความน่าจะเป็น
• สำหรับฟังก์ชันความหนาแน่น ค่าที่จุดเดียวไม่มีความหมาย แต่ปริพันธ์บนช่วง [a,b] ต่างหากที่แทนมวลหรือความน่าจะเป็น
• หากยอมรับมุมมองนี้ ก็จะจัดการ Dirac delta function ได้อย่างเรียบง่ายและเคร่งครัด
  • มวลหนึ่งหน่วยที่จุด c คือฟังก์ชันความหนาแน่นที่ง่ายที่สุดซึ่งไม่มีกราฟ
  • ถ้าช่วงไม่ครอบคลุม c ค่าปริพันธ์เป็น 0 แต่ถ้าครอบคลุมก็เป็น 1
  • จึงอนุมานสมบัติต่างๆ ได้โดยไม่ต้องพูดว่ามันเป็นฟังก์ชันที่มีค่าเป็นอนันต์
• ในโลกของฟังก์ชันความหนาแน่น การดำเนินการที่ทำหน้าที่เหมือนการคูณตามธรรมชาติไม่ใช่การคูณแบบปกติ แต่คือ convolution
• เขายกทฤษฎีบทคอนโวลูชันของ Titchmarsh เป็นทฤษฎีบทสำคัญ และบอกว่ายังไม่รู้จักการพิสูจน์แบบปฐมภูมิสำหรับมัน โดยการพิสูจน์ของ Titchmarsh ใช้วิธีตัวแปรเชิงซ้อน

10. ควรสอนแนวคิด ไม่ใช่กลเม็ด

• หากสอนคอร์สสมการเชิงอนุพันธ์เบื้องต้นให้เป็นเพียง ชุดรวมกลเม็ด ก็แทบไม่มีคุณค่าทางการศึกษา
• หลังผ่านไปหนึ่งปี นักศึกษาส่วนใหญ่จะลืมกลเม็ดเหล่านั้น และหลายอย่างก็ไร้ประโยชน์อยู่แล้ว
• แนวคิดที่ควรเหลืออยู่กับนักศึกษาคือ
  • การปรากฏขึ้นอย่างเป็นสากลของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล
  • เสถียรภาพ
  • ความสัมพันธ์ระหว่างวิถีของระบบกับเส้นอินทิกรัล
  • การวิเคราะห์ระนาบเฟส
  • การจัดการเชิงคำนวณของการแปลง Laplace
  • ความสัมพันธ์ระหว่าง partial fraction decomposition กับ convolution ผ่านการแปลง Laplace
• สิ่งที่สำคัญกว่าการที่นักศึกษาจะแก้โจทย์ยากๆ ได้คล่อง คือการที่พวกเขาได้สัญชาตญาณต่อความสำคัญของสมการเชิงอนุพันธ์และพลังของคณิตศาสตร์
• การมองว่าจุดมุ่งหมายของการศึกษาระดับปริญญาตรีมีไว้เพียงส่งต่อข้อมูลนั้นเป็นความเข้าใจที่ผิด เพราะข้อมูลสามารถหาได้ดีขึ้นจากนอกห้องเรียนด้วยซ้ำ
• การสอนระดับปริญญาตรีที่ประสบความสำเร็จ คือการทำให้นักศึกษารู้สึกว่าได้เรียน วิชาที่ดี แม้จะชี้เฉพาะไม่ได้ว่าตนได้เรียนรู้อะไรไปอย่างเป็นรูปธรรมบ้าง

[excovert]

ดูเหมือนว่าเนื้อหากับชื่อเรื่องจะไม่ตรงกันนะ?

[GN⁺]

ความคิดเห็นจาก Hacker News

• เรื่องคล้ายกันนี้มีในสาขาอื่นของคณิตศาสตร์หรือแม้แต่หลายสาขาด้วย ตอนเรียน การแปลงฟูเรียร์ มันดูเหมือนพีชคณิตที่จัดการกับการอินทิเกรตฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลเชิงซ้อนแบบกลไก ๆ จนไม่เข้าใจเลย แต่พอได้เห็นสเปกตรัมขนาดของรูปคลื่นในการวิเคราะห์สัญญาณเสียง ก็จับความได้ทันทีว่ามันเกิดอะไรขึ้น แล้วหลังจากนั้นเรื่องเฟสก็ไม่ยากอีกต่อไป
  ในคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยดูเหมือนแทบจะห้ามใช้ตัวอย่างเชิงปฏิบัติแบบนี้ ราวกับตั้งใจจะทำให้ทุกอย่างเป็นนามธรรมและเข้มงวดมาก ๆ พอได้สัญชาตญาณแล้วก็เริ่มเข้าใจคณิตศาสตร์เชิงรูปแบบ และเมื่อได้ไปสอนเองก็เริ่มเห็นด้วยว่าทำไมถึงเป็นแบบนี้ สำหรับครูมันเป็นเรื่องที่ชัดเจนเกินไป จนยากจะจินตนาการถึงสภาพของนักเรียนที่ยังไม่เข้าใจสัญลักษณ์และศัพท์เฉพาะ ดังนั้นถ้าหาแนวคิดจากสาขาอื่นที่ผู้เรียนรู้อยู่แล้ว มาเชื่อมกับตัวอย่างง่าย ๆ ของหัวข้อใหม่แล้วชี้ให้เห็นว่า “นี่คือสิ่งเดียวกัน ต่างกันแค่สัญลักษณ์กับระดับนามธรรม” ก็มักจะเกิดอาการ คลิก แล้วเข้าใจได้ แต่ในตำราหรือการบรรยายขนาดใหญ่ทำแบบนี้ยาก จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมต้องมีคนสอนจริง ๆ แทนที่จะโยนเอกสารให้เฉย ๆ

  • ถ้าไม่รู้ตัวอย่างเชิงปฏิบัติก็จะยาก ตอนที่เคยสอนคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยอยู่ช่วงหนึ่ง ฉันเรียนฟิสิกส์และมีประสบการณ์ในอุตสาหกรรมด้วย เลยบอกว่าอยากให้มี การประยุกต์ทางวิศวกรรม ในวิชาสมการเชิงอนุพันธ์ แต่บัณฑิตศึกษาที่เป็นผู้ช่วยสอนวิชานั้นซึ่งฉลาดมากกลับตอบหน้าตาจริงจังว่า “สมการเชิงอนุพันธ์ไม่มีการประยุกต์ทางวิศวกรรม”
  • ในฐานะคนที่เรียนคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีและทำอิเล็กทรอนิกส์เป็นงานอดิเรก บรรยากาศที่นักศึกษากับคณาจารย์สายคณิตศาสตร์ทฤษฎีดูแคลนสาขาอื่นนิด ๆ นั้นมีอยู่จริง ที่ที่ฉันอยู่ แม้แต่นักศึกษาฟิสิกส์หรือคณิตศาสตร์ประยุกต์ก็ยังชอบล้อว่า “นั่นไม่ใช่คณิตศาสตร์หรอก เป็นแค่สูตรกับการท่องจำ” และมองนักศึกษาวิทยาการคอมพิวเตอร์แย่ยิ่งกว่านั้น
    แต่แนวคิดทางคณิตศาสตร์จำนวนมากถูกคิดขึ้นมาเพื่อแก้ปัญหาฟิสิกส์จริง หรือไม่ก็ภายหลังพบว่ามีประโยชน์มากกับปัญหาฟิสิกส์ ในเชิงประวัติศาสตร์ ฟิสิกส์กับคณิตศาสตร์ไม่ได้แยกจากกันชัดเจนและส่งอิทธิพลต่อกันมาก เรื่องที่น่าสนใจคือ ตอนที่ไอน์สไตน์สร้าง ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป เขาเองก็ไม่ได้แข็งแรงมากในคณิตศาสตร์ จึงต้องขอความช่วยเหลือจากเพื่อนและค่อย ๆ ทำความเข้าใจคล้ายการเรียนพิเศษส่วนตัว สำหรับการวิเคราะห์ฟูเรียร์ ฉันเข้าใจมันได้ก่อนจะทำอิเล็กทรอนิกส์อยู่แล้ว แต่เพิ่งจะรู้สึกถึงประโยชน์ของมันจริง ๆ ตอนจัดการปัญหาความถี่สูงและเริ่มใช้โดเมนความถี่กับงานวงจร
  • ฉันคิดว่า การแปลงฟูเรียร์ ไม่ควรถูกใส่ไว้ในวิชาแคลคูลัส แต่ควรสอนในพีชคณิตเชิงเส้นมากกว่า เพราะในบริบทนั้นความหมายลงตัวกว่า และยังเป็นตัวอย่างการประยุกต์ที่ไม่ตื้นเขินซึ่งตำรามักขาดไป

• แหล่งสื่อการสอน สมการเชิงอนุพันธ์ เบื้องต้นที่เข้าใจง่ายที่สุดเท่าที่เคยเห็นคือ https://www.complexityexplorer.org/courses/31-introduction-t...
  มันเริ่มจากการอธิบายสมการเชิงอนุพันธ์ตั้งแต่ต้น ครอบคลุมความหมายทางกายภาพและวิธีแก้แบบดั้งเดิมหนึ่งหรือสองแบบ ก่อนจะไปต่อที่วิธีเชิงตัวเลข ถ้าอยากเรียนสมการเชิงอนุพันธ์ก็แนะนำมาก เพราะสั้นและดีมาก แต่ไม่ใช่สื่อที่เตรียมสำหรับหลักสูตรปกติหรือสอนครบทุกอย่าง

  • ถ้าต้องการสื่อระดับหลักสูตรปกติจากกลุ่มผู้บุกเบิกยุคแรกของแนวทางการสอนที่ใช้ วิธีเชิงตัวเลข เพื่อช่วยให้เข้าใจสมการเชิงอนุพันธ์ ขอแนะนำหนังสือของ Blanchard, Devaney, Hall อย่างยิ่ง (http://math.bu.edu/odes)

• ถ้ามีใครอธิบายตอนฉันเริ่มเรียนแคลคูลัสครั้งแรกตอนอายุ 14–15 ว่าทำสิ่งนี้ไปเพื่ออะไร ฉันคงสับสนน้อยกว่านี้มาก ตอนนี้พออธิบายด้วยตัวอย่างอย่างความเร็ว ระยะทาง และความเร่ง มันสมเหตุสมผลอย่างมาก แต่ตอนนั้นเรียนผ่านแค่รายการของฟังก์ชัน ชิ้นส่วนเล็กจิ๋ว ปริมาณเดลตา สมการ และบทพิสูจน์ มันแห้งแล้งและไม่น่าสนใจมาก กว่าจะพอจับได้ว่า แคลคูลัสทำอะไร ก็หลายปีให้หลัง ตอนเรียนฟิสิกส์

  • วิชาแคลคูลัสที่ฉันเคยเรียนและเคยสอนนั้นเต็มไปด้วยตัวอย่างจากโลกฟิสิกส์ เพียงแต่ตอนเริ่มเรียนครั้งแรก ดูเหมือนว่าฐานในหัวของฉันยังไม่พร้อมพอให้คำอธิบายและตัวอย่างเหล่านั้นฝังตัวได้
    พอเป็นนักศึกษาบัณฑิตและกลับมาดูเนื้อหาพื้นฐานอีกครั้ง ฉันเคยคิดว่า “มันสมเหตุสมผลขนาดนี้ แล้วทำไมตอนมัธยมถึงไม่สอนแบบนี้นะ?” ก่อนจะตระหนักว่าจริง ๆ อาจจะสอนไปแล้ว แต่ฉันยังขาด วุฒิภาวะทางคณิตศาสตร์ เลยไม่เหลืออยู่ในหัว อีกอย่างคือฉันจัดการพีชคณิตได้ดีพอจนทำการบ้านส่วนใหญ่ผ่านได้โดยไม่ต้องเข้าใจฐานเชิงแนวคิดลึก ๆ ความสามารถในการจัดการพีชคณิตสำคัญก็จริง แต่ก็น่าจะออกแบบวิชาใหม่ให้ผ่านได้ยากถ้าไม่มีความเข้าใจเชิงแนวคิด
  • ฉันเรียนแคลคูลัสจากมุมมองคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ แต่พอมีพื้นฐานฟิสิกส์อยู่บ้างเลยเชื่อมสองแนวคิดเข้าหากันได้และมันช่วยมาก ถึงอย่างนั้น ตลอดสามภาคการศึกษาแรกส่วนใหญ่ก็แทบจะเข้าใจได้ด้วยแค่ “อินทิกรัล = พื้นที่ใต้เส้นโค้ง” และ “ดิฟเฟอเรนเชียล = การคำนวณความชันที่จุดหนึ่งบนเส้นโค้ง”
    แต่ตัวอย่างจากฟิสิกส์ใช้ได้ดีกับนักเรียนที่สนใจฟิสิกส์เท่านั้น ตอนทำงานที่สถาบันกวดวิชา ฉันเห็นว่าตัวอย่างฟิสิกส์แบบในตำรา Stewart กลับทำให้นักเรียนที่ไม่สนใจฟิสิกส์สับสนมากขึ้น เพราะนอกจากต้องเรียนคณิตศาสตร์แล้ว ยังต้องไปเรียนแนวคิดฟิสิกส์เพื่อให้เข้าใจตัวอย่างอีก วิชาแคลคูลัสสำหรับนักศึกษาสายการเงินหรือเศรษฐศาสตร์ก็คล้ายกัน จนติวเตอร์ต้องไปเรียนแนวคิดการเงินพื้นฐานเพื่อช่วยทำโจทย์ และนักเรียนบางคนก็กลายเป็นทำได้เฉพาะโจทย์ที่มีแนวคิดการเงินปนอยู่
  • การที่ฟิสิกส์ต้องมาทำหน้าที่สอนคณิตศาสตร์แทนจริง ๆ ควรถือเป็น ความน่าอับอาย ทั่วไปสำหรับภาควิชาคณิตศาสตร์
  • ฉันก็เป็นเหมือนกัน เทอมแรกเกือบทั้งหมดฉันได้เกรดเฉลี่ยระดับ C เพราะไม่เข้าใจว่ากำลังทำอะไรและทำไปทำไม
    ตอนนั่งแก้โจทย์ในห้องสมุดโรงเรียนเกี่ยวกับน้ำที่ไหลออกจากสระผ่านรูซึ่งค่อย ๆ ใหญ่ขึ้น ฉันเกิดช่วงเวลา ยูเรก้า ขึ้นมา แล้วหลังจากนั้นทุกอย่างก็เข้าใจหมด ต่อมาฉันได้ A เกือบทั้งหมด และปีนั้นก็เป็นคนเดียวในห้องที่ได้ 5 ในการสอบ AP สุดท้ายฉันยังเรียนวิศวกรรมไฟฟ้าโดยเน้นการประมวลผลสัญญาณต่อจนถึงระดับบัณฑิตศึกษาอีกด้วย จึงค่อนข้างน่าขันที่ฉันใช้เวลาเกือบ 8 ปีอยู่กับแคลคูลัสทั้งที่ตอนแรกไม่เข้าใจเลย
  • เด็กที่มีพ่อแม่เป็นวิศวกรมักได้เปรียบตรงนี้ เพราะพ่อแม่แบบนั้นยกตัวอย่างได้ว่าคณิตศาสตร์ถูกใช้ในโลกจริงอย่างไร
    เมื่อเห็นความเกี่ยวข้องแล้ว ก็อธิบายต่อได้ว่าต่อให้เราไม่ได้ใช้คณิตศาสตร์พวกนี้โดยตรง มันก็ถูกฝังอยู่ในซอฟต์แวร์ และมีใครสักคนแปลงคณิตศาสตร์นั้นเป็นโค้ดจนเราได้ประโยชน์จากมัน ประโยคอย่าง “เธออาจไม่ได้ใช้มันเองโดยตรง แต่เครื่องมือที่เธอใช้มีมันอยู่ข้างใน” สามารถเป็นแรงจูงใจให้กับนักเรียนที่รู้สึกว่านี่เป็นงานจุกจิกไร้ความหมายได้

• วิชาคณิตศาสตร์วิชาแรกที่เขาเรียนในมหาวิทยาลัยคือแคลคูลัสภาคการศึกษาที่ 2 ของเขา และยังรู้สึกราวกับว่ายังได้ยินเสียงนั้นอยู่ในหัว เป็นเสียงที่ลืมไม่ลงและเขาก็เป็นครูที่ยอดเยี่ยม
  อีกเรื่องที่น่าสนใจคือ ตอนอายุ 50 เขาเลือกจะเป็นวิศวกรด้วยตัวเอง แต่ตอนนั้นวิศวกรรมได้เปลี่ยนไปมากแล้ว และสิ่งสำคัญคือความสามารถในการใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ราคาแพงได้อย่างชำนาญ โปรแกรมเหล่านั้นแก้สมการเชิงอนุพันธ์ เชิงตัวเลข และแทบไม่มีใครคิดจะแก้ด้วยวิธีอื่น เพราะไม่มีเวลา

  • รู้สึกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ส่วนใหญ่คงแก้แบบวิเคราะห์ไม่ได้ สิ่งที่แก้ได้อย่างสวยงามเป็นเพียงสับเซตเล็กมากที่เหมือนปริศนาซึ่งถูกออกแบบมาอย่างประณีต และในปัญหาจริง วิธีวิเคราะห์เชิงตัวเลข มักเป็นหนทางเดียวในการหาคำตอบประมาณ
    ถึงอย่างนั้นก็เข้าใจว่าทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ยังมีประโยชน์ในการออกแบบกรอบที่ทำให้วิธีเชิงตัวเลขทำงานได้
  • ฉันก็เคยเข้าเซมินาร์ “exploring higher mathematics” ของ Rota และเขาเป็นคนที่ยอดเยี่ยมจริงๆ ทุกวันนี้ยังจำความตื่นเต้นเรื่อง ลำดับชั้นของอนันต์ ได้อยู่
    เห็นด้วยกับเรื่องที่สอง โปรแกรมแก้สมการเชิงอนุพันธ์แบบเชิงตัวเลขก็จริง แต่การรู้ไว้บ้างว่าเมื่อก่อนเขาแก้กันอย่างไรก็ยังเป็นเรื่องดี

• ผมเคยเขียนบทความที่อนุพันธ์คำตอบทั่วไปทั้งหมดของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นอันดับสองที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ หรือก็คือ ระบบมวล-สปริง-แดมเปอร์ ให้อยู่ในรูปเมทริกซ์ที่กระชับและนำไปเขียนโค้ดได้ง่าย: https://esporttoys.pages.dev/2022/11/21/damped
  ยังยกคำตอบฉบับเต็มในภาษา Lua ไว้ด้วย โดยคำนวณวิวัฒนาการตามเวลาของตำแหน่งและความเร็วผ่านการเลือกใช้ sin/cos หรือ sinh/cosh ตามค่าการแดมป์ ความถี่เชิงมุมธรรมชาติ และเรสิดิว

  • เป็นตัวอย่างที่ดี ส่วนคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ค่อนข้างหนักเลยใช้เวลานานกว่าจะเข้าใจพื้นฐาน และก็ยังไม่แน่ใจว่าตัวเองเข้าใจถูกไหม ตรงกันข้าม โค้ด Lua เข้าใจง่าย แม้ว่าชื่อตัวแปรจะทำให้ต้องอ่านทั้งหมดแล้วเดาเอาเองก็ตาม
    ไม่ได้ทำงานกับสมการเชิงอนุพันธ์มานานแล้ว แต่เห็นด้วยกับคำใน PDF ที่ว่า “ยิ่งรู้มากก็ยิ่งเข้าใจน้อยลง” แค่ไม่แน่ใจว่าทำไมคณิตศาสตร์ล้วนๆ ถึงต้องปนเปื้อนด้วยสิ่งสกปรกอย่างโลกความจริงเพื่อให้เข้าใจได้ และนั่นรบกวนความเข้าใจหรือเปล่า
  • หลักสูตรบัณฑิตศึกษาจริงๆ แล้วก็เหมือนการขยาย F=Ma-Cv-Kx ออกไปทุกแบบ จนสุดท้ายไปถึง การวิเคราะห์องค์ประกอบจำกัด สุดท้ายแล้วแก่นของมันคือการเลือกฟังก์ชันฐานที่สะดวกที่สุดสำหรับคำถามที่เราต้องการตอบ

• เมื่อ 10 ปีก่อนตอนเรียนบัณฑิตศึกษาวิศวกรรมเคมี สิ่งที่ทำให้หงุดหงิดในชั้นเรียนคือคณิตศาสตร์กลับไม่เคร่งครัดพอเสียมากกว่า เวลาเอ่ยปากขอให้ชี้แจงให้ชัด ความไม่สอดคล้องก็มักถูกปล่อยผ่านไปแบบลวกๆ
  ดิฟเฟอเรนเชียลฟอร์ม ในบทความเป็นตัวอย่างที่ดี ในวิชาวิศวกรรมมันโผล่มาแบบกะทันหันเหมือนเป็นเพียงวิธีเขียนสมการใหม่ โดยไม่มีทั้งความเคร่งครัดหรือความเป็นรูปแบบ ไม่มีใครอธิบายว่า “ดิฟเฟอเรนเชียล” คืออะไร หรือมีรากฐานเชิงสัจพจน์สำหรับจัดการสัญลักษณ์เหล่านี้อย่างสอดคล้องกันหรือไม่ ทุกคนแค่ให้ลำดับขั้นการแก้โจทย์เพื่อไปสอบเท่านั้น ในวิชาเคมีควอนตัมก็เช่นกัน ผมถามเรื่องการยุบตัวของฟังก์ชันคลื่นและความเป็นไปได้ของการส่งข้อมูลเร็วกว่าแสง แต่ก็ถูกปัดว่า “ไม่อยู่ในขอบเขตของวิชานี้” ในวิชาบัณฑิตศึกษาสถิติกลศาสตร์ เมื่อมีคำอธิบายว่าฟังก์ชันคลื่นของทั้งระบบคือ Slater determinant ของฟังก์ชันคลื่นรายตัว ผมก็โต้ว่าแก่นสำคัญของกลศาสตร์ควอนตัมคือฟังก์ชันสถานะของทั้งระบบโดยทั่วไปไม่สามารถแยกได้ และถ้าแยกได้ก็จะไม่มีการพัวพันเชิงควอนตัม แต่อาจารย์กลับตัดบทว่าถ้านักศึกษาไม่รู้เรื่องนั้นก็ไม่ควรไปท้าทายอาจารย์ ประวัติผลงานวิจัยของอาจารย์คนนั้นพึ่งพางานเคมีเชิงคำนวณอย่างมาก ซึ่งเป็นงานประเภทป้อนพิกัดอะตอมกับไฟล์ชนิดของอะตอมเข้าไปในซอฟต์แวร์ DFT รัน แล้วก็นำผลไปตีพิมพ์

  • คำถามว่าสามารถคง การพัวพันเชิงควอนตัม หรือความสอดคล้องเชิงควอนตัมไว้ได้ถึงระบบขนาดไหน ยังเป็นปัญหาเปิดอยู่ และสำคัญมากเพราะมีผลต่อคอมพิวเตอร์ควอนตัม
    ในทางทดลอง ดูเหมือนว่าระบบที่ใหญ่พอจะไม่สามารถรักษาความสอดคล้องเชิงควอนตัมไว้ได้นานนัก ถ้าอยากรู้ว่าจัดการกระบวนการนี้ทางคณิตศาสตร์อย่างไร ให้ค้นหา ‘quantum decoherence’ และถ้าอยากรู้การตีความทางฟิสิกส์ที่เป็นไปได้ ให้ค้นหา ‘objective collapse theory’
  • ในฐานะคนเรียนคณิตศาสตร์ รู้สึกว่าคนที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์จำนวนมาก รวมถึงอาจารย์วิศวกรรม เคมี และฟิสิกส์ เข้าใจคณิตศาสตร์ในระดับที่พอใช้งานได้เท่านั้น แต่ไม่ได้ลงลึกจริงจัง
    คำตอบของคำถามว่า “มีรากฐานเชิงสัจพจน์สำหรับจัดการสัญลักษณ์เหล่านี้อย่างสอดคล้องกันหรือไม่” คือมี และอีกเรื่องคือวงการวิชาการส่วนใหญ่ตีพิมพ์งานอยู่ในซับฟิลด์เล็กๆ ของตัวเองโดยแทบไม่คิดถึงนัยที่กว้างกว่านั้นเลย ด้วยเหตุนี้ ผู้มาใหม่ ที่มีพื้นฐานต่างออกไปจึงมักค้นพบอะไรได้มาก
  • DFT ใช้ การประมาณแบบ Kohn-Sham ซึ่งเป็นการประมาณแบบอนุภาคเดี่ยว และเป็นทฤษฎีสถานะพื้น ในเคมีควอนตัมมีงานวิจัยในทิศทางที่คุณพูดถึงอยู่แน่นอน แต่ DFT ไม่ใช่แบบนั้น ลองดู Levy-Lieb density และงานของ Mazziotti
  • เผื่อคนที่ไม่รู้ DFT คือ ทฤษฎีฟังก์ชันนัลความหนาแน่น

• บทความที่เกี่ยวข้อง
  Lessons I wish I had learned before I started teaching differential equations [pdf] (1997) - https://news.ycombinator.com/item?id=32530035 - Aug 2022 (177 comments)
  10 lessons I wish I had learned before I started teaching differential equations - https://news.ycombinator.com/item?id=19005798 - Jan 2019 (2 comments)
  Lessons I Wish I Had Learned Before Teaching Differential Equations (1997) [pdf] - https://news.ycombinator.com/item?id=15163979 - Sept 2017 (108 comments)
  Ten lessons I wish I had learned before teaching differential equations (1997) [pdf] - https://news.ycombinator.com/item?id=11207183 - March 2016 (118 comments)

• เห็นด้วยเต็มที่กับคำพูดที่ว่า “สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์คงที่คือแก่นหลัก” เพราะถ้าลองแทนค่าคงที่ง่ายๆ ลงในตัวแปร เราจะพอจับความรู้สึกได้ว่ามันทำงานอย่างไร จึงน่าเหลือเชื่อที่ไม่สอน สัมประสิทธิ์คงที่ ก่อน

  • งั้นก็รอจนกว่าจะเจอนักศึกษาที่ผ่านพีชคณิต II มาแล้ว แต่ยังไม่เข้าใจความต่างระหว่าง สัมประสิทธิ์คงที่กับสัมประสิทธิ์ตัวแปร

• จนถึงตอนนี้ ครูบาอาจารย์แทบทั้งหมดที่เคยเจอเหมือนจะยืนกรานแบบไม่รู้ตัวว่าสื่อการเรียนต้องคงสภาพปลอดเชื้อไว้ และไม่ยอมให้มันตลกหรือมีมุมมองจัดจ้านแบบบทความนี้ สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ “การเรียนรู้” นั้นน่าเบื่ออย่างเหลือเชื่อ จนกว่าจะออกจากมหาวิทยาลัยหรือเข้าเรียนต่อบัณฑิตศึกษาแล้วได้เรียนผ่านเรียงความและบันทึกความทรงจำ
  สิ่งที่ถูกนำเสนอมาเป็นความจริงที่สถาปนาแล้วในรูปแบบแห้งผากราวกระดูกตลอด 12~16 ปีนั้น แท้จริงแล้วบางครั้งคือผลงานชั่วชีวิตของคนตั้งแต่หลายสิบไปจนถึงหลายพันคน ซึ่งเอาอาชีพของตนเป็นเดิมพัน ต่อสู้ สร้างโลกทัศน์ เล่นมุก แต่งงาน หย่า ตาย โต้เถียง และเหน็บแนมกัน แล้วจึงกลั่นความหลงใหลมหาศาลออกมาเป็นตำรา ข้อมูลจำนวนมากที่เราเรียนในฐานะนักเรียนนั้น ตอนถูกค้นพบครั้งแรกเคยเป็นเรื่องถกเถียงกันอย่างดุเดือดอย่างยิ่ง แม้แต่ในพิพิธภัณฑ์งานแก้วที่ Massachusetts Sandwich ป้ายอธิบายนิทรรศการก็ยังขัดเกลาว่า “ช่างทำแก้วแบบดั้งเดิมต่อต้านเพราะมองว่าเป็นการรุกล้ำทางอุตสาหกรรม” แต่คำพูดจริงกลับเป็นมนุษย์กว่านั้นมาก เช่น ผู้ประดิษฐ์ต้องซ่อนตัวอยู่ในห้องหลายสัปดาห์เพื่อหนีการตอบโต้ที่รุนแรง ถ้าเปลี่ยนการศึกษาสมัยใหม่ได้เพียงอย่างเดียว ก็อยากให้นักเรียนรู้ว่าพัฒนาการและการเก็บรักษาความรู้นั้นไม่เคยเป็นระเบียบเรียบร้อยหรือปราศจากอคติเลย และอยากให้พวกเขาได้สัมผัส ไหวพริบและปัญญา ของผู้เขียนในอดีตอย่างเต็มที่ อีกอย่างหนึ่ง นอกเหนือจากศิลปินและนักเขียนที่อุทิศตนให้กับงานตลกแล้ว นักคณิตศาสตร์และวิศวกรมักจะตลกกว่าศิลปินและนักเขียนเสียอีก

  • ในฐานะอดีตครู ผมคิดว่าเหตุผลคือระบบการศึกษาที่เรารู้จักกันมีอยู่เพื่อสร้างผลลัพธ์การเรียนรู้ที่ทำซ้ำได้ในวงกว้าง มันคือความพยายามส่งต่อความรู้ที่อัจฉริยะหลายศตวรรษกว่าจะได้มาด้วยความยากลำบากเข้าไปในหัวของวัยรุ่น ซึ่งพอคิดดูแล้วก็เป็นเรื่องประหลาดไม่น้อย
    เมื่อมองแบบนั้น มันก็ถือว่าประสบความสำเร็จอย่างน่าทึ่ง แม้จะยังไม่เพียงพอในการถ่ายทอดความเข้าใจอย่างแท้จริง การศึกษาที่ดีกว่าน่าจะเป็นแนวทางที่ผู้เรียนเป็นผู้นำและเน้นการค้นพบ แต่ก็ขยายให้เป็นระบบขนาดใหญ่ได้ยากกว่า และผลลัพธ์ก็แน่นอนน้อยกว่า เราเลยยังคงทำการศึกษาที่น่าเบื่อแต่พอได้ผลอยู่บ้างแบบเดิมซ้ำๆ

• การอภิปรายก่อนปี 2022: https://news.ycombinator.com/item?id=32530035

  • ในการอภิปรายดังกล่าว มีการพูดถึงการที่คณิตศาสตร์แทนที่จำนวนที่ไม่ใช่ 0 แต่เล็กได้ไม่สิ้นสุดด้วย ลิมิต ต่อมาจึงมีการนำจำนวนเล็กยิ่งยวดกลับเข้ามาอย่างเคร่งครัดอีกครั้งผ่าน https://mathworld.wolfram.com/NonstandardAnalysis.html
    ผมคิดมานานแล้วว่าวิธีแบบนี้น่าจะจัดการได้ง่ายกว่าสำหรับคอมพิวเตอร์สมัยใหม่