6174: จำนวนธรรมชาติที่รู้จักกันในชื่อค่าคงที่คาปเรการ์
(en.wikipedia.org)- 6174 เป็นจำนวนธรรมชาติที่อยู่ระหว่าง 6173 และ 6175 และในทางคณิตศาสตร์จัดอยู่ในกลุ่ม Kaprekar's Constant
- การแยกตัวประกอบเฉพาะคือ 2 × 3² × 7³ และเป็น 7-smooth number ซึ่งตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดไม่เกิน 7
- 6174 แสดงได้เป็น 18³ + 18² + 18¹ และผลรวมของเลขโดดแต่ละหลักก็เท่ากับ 18
- เมื่อนำตัวประกอบเฉพาะโดยนับซ้ำมาทำกำลังสองแล้วบวกกัน จะได้ 169 = 13² ซึ่งเป็นจำนวนกำลังสองอีกครั้ง
- มีลิงก์ไปยังวิดีโอ Numberphile และโค้ดตัวอย่าง Perl, Python, C ให้ดูตัวอย่างการคำนวณ Kaprekar's Constant ได้
นิยามพื้นฐานของ 6174
- 6174 เป็นจำนวนธรรมชาติที่อยู่ถัดจาก 6173 และอยู่ก่อน 6175
- การอ่านแบบจำนวนนับคือ “six thousand one hundred seventy-four” และแบบลำดับที่คือ 6174th
- การแยกตัวประกอบเฉพาะคือ 2 × 3² × 7³
- ตัวหารได้แก่ 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 49, 63, 98, 126, 147, 294, 343, 441, 686, 882, 1029, 2058, 3087, 6174
การเขียนในระบบจำนวนต่าง ๆ
- ฐานสอง: 1100000011110₂
- ฐานสาม: 22110200₃
- ฐานหก: 44330₆
- ฐานแปด: 14036₈
- ฐานสิบสอง: 36A6₁₂
- ฐานสิบหก: 181E₁₆
- การเขียนด้วยเลขกรีกคือ ,ϚΡΟΔ´ และการเขียนด้วยเลขโรมันคือ V MCLXXIV หรือ VI CLXXIV
คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์
- 6174 คือ Kaprekar's Constant
- เป็น 7-smooth number โดย ไม่มีตัวประกอบเฉพาะที่มากกว่า 7
- สามารถสร้าง 6174 ได้จาก ผลรวมของกำลังของ 18 สามตัวแรก
- 18³ + 18² + 18¹ = 5832 + 324 + 18 = 6174
- 6 + 1 + 7 + 4 = 18 ดังนั้นผลรวมของเลขโดดก็เท่ากับ 18
- ผลรวมของกำลังสองของตัวประกอบเฉพาะเป็น จำนวนกำลังสอง
- 2² + 3² + 3² + 7² + 7² + 7² = 4 + 9 + 9 + 49 + 49 + 49 = 169 = 13²
แหล่งข้อมูลภายนอกที่เกี่ยวข้อง
- 6174 is Kaprekar's Constant: วิดีโอ Numberphile
- Sample (Perl) code to walk any four-digit number to Kaprekar’s Constant: โค้ดตัวอย่าง Perl
- Sample (Python) code to walk any four-digit number to Kaprekar’s Constant: โค้ดตัวอย่าง Python
- Sample (C) code to walk the first 10000 numbers and their steps to Kaprekar’s Constant: โค้ดตัวอย่าง C ที่จัดการกับจำนวน 10000 ตัวแรกและจำนวนขั้นตอนไปถึง Kaprekar’s Constant
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นจาก Hacker News
ดูเหมือนจะเกี่ยวข้องอย่างชัดเจนกับเทคนิคบัญชีแบบทำด้วยมือมาตรฐานที่ใช้หา error ในสมุดบัญชีแบบ double-entry ก่อนอื่นให้ตรวจว่าเงินที่ผิดพลาดนั้น หารด้วย 9 ลงตัวหรือไม่ และถ้าใช่ ก็ถือว่าน่าจะมีการสลับเลขตั้งแต่สองหลักขึ้นไปที่ไหนสักแห่ง
เหตุผลพิสูจน์ได้แบบนี้: สำหรับตัวเลข x, y ใด ๆ ค่าที่ถูกต้องคือ 10x + y และค่าที่ถูกสลับคือ x + 10y ผลต่างคือ (10x - x) + (y - 10y) ลดรูปเป็น 9x - 9y และสุดท้ายแยกตัวประกอบได้เป็น 9(x - y)
ผลรวมเลขโดดของทั้งสองข้างในสมการ a - rev_a = b จะเข้าใกล้กันขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อทำซ้ำ บางครั้งระยะห่างอาจคงเดิม แต่จะไม่ห่างออกไปกว่าเดิม และการลู่เข้านั้นเกิดขึ้นที่ 18 เท่านั้น
เช่น:
5200 (ผลรวม 7) - 0025 = 5175 (ผลรวม 18, ผลต่าง 11)
7551 (ผลรวม 18) - 1557 = 5994 (ผลรวม 27, ผลต่าง 9)
9954 (ผลรวม 27) - 4599 = 5355 (ผลรวม 18, ผลต่าง 9)
5553 (ผลรวม 18) - 3555 = 1998 (ผลรวม 27, ผลต่าง 9)
9981 (ผลรวม 27) - 1899 = 8082 (ผลรวม 18, ผลต่าง 9)
8820 (ผลรวม 18) - 0288 = 8532 (ผลรวม 18, ผลต่าง 0)
8532 (ผลรวม 18) - 2358 = 6174 (ผลรวม 18, ผลต่าง 0)
7641 (ผลรวม 18) - 1467 = 6174 (ผลรวม 18, ผลต่าง 0)
นี่น่าจะเป็นเบาะแสแรก กรณีที่เลขโดดทั้งสองข้างมีผลรวมเท่ากันได้คือเมื่อทั้งสองข้างเป็น 18 เท่านั้น และผลรวมทั้งสองข้างจะค่อย ๆ เข้าใกล้กันจนสุดท้ายต้องเท่ากัน โดยจุดนั้นต้องเป็น 18 ถ้าขุดลึกลงไป น่าจะเป็นการแปลงรูปของกฎคลาสสิกเรื่อง ผลรวมเลขโดด mod 9
จากนั้นเมื่อผลรวมเลขโดดทั้งสองข้างเป็น 18 แล้ว ดูเหมือนจากจุดนั้นจะต้องลู่เข้าไปที่ 6174
กล่าวคือ ก่อนอื่นผลรวมเลขโดดจะลู่เข้าให้เท่ากันเสมอทั้งสองข้าง และการลู่เข้านั้นเกิดขึ้นเสมอเมื่อผลรวมเลขโดดของทั้งสองข้างในสมการเป็น 18 คุณสมบัตินี้น่าจะพิสูจน์ได้ด้วยกฎ mod 9 แบบคลาสสิก แต่ต้องลงแรงพอสมควร
หลังจากนั้นคุณสมบัติที่สองจะทำงาน ทำให้จำนวนสี่หลักทั้งหมดที่ผลรวมเลขโดดทั้งสองข้างของสมการนี้เป็น 18 ลู่เข้าไปที่ 6174 ผมมองว่านี่เป็นชุดจำนวนที่ถูกจำกัดมากกว่า เพราะเราสามารถแยกดูการลู่เข้าไปที่ 18 ข้างต้นได้ จึงต้องพิจารณาเฉพาะจำนวนในรูป a - a_rev = b ที่ทั้ง a และ b มีผลรวมเลขโดดเป็น 18 เท่านั้น
ไม่รู้เลยว่าทำไมเรื่องนี้ถึงสำคัญ แต่มันเป็นสิ่งที่เจ๋งที่สุดอย่างหนึ่งที่เห็นใน HN ช่วงหลัง
ผมไม่ได้ใกล้เคียงกับพวกคลั่งคณิตศาสตร์เลย และตอนเรียนก็พยายามหลีกเลี่ยงให้มากที่สุดเท่าที่ทำได้ แต่เรื่องแบบนี้น่าสนใจและแปลกมาก เขาค้นพบสิ่งแบบนี้ได้อย่างไร และด้วยเหตุผลอะไร? คุณสมบัติของตัวเลขนี้ก็น่าสนใจพออยู่แล้ว แต่กระบวนการค้นพบเองนี่ประหลาดจริง ๆ
ในที่สุดกระบวนการนี้จะนำไปสู่จำนวนพาลินโดรมที่เมื่อกลับลำดับหลักแล้วเหมือนเดิม แต่จำนวนอย่าง 196 ดูเหมือนจะไม่สร้างพาลินโดรมได้เลย ไม่มีใครรู้ว่านี่จริงหรือไม่ หรือพาลินโดรมนั้นใหญ่เกินไปจนคอมพิวเตอร์ยังหาไม่เจอ
บทความที่เกี่ยวข้อง:
Mysterious number 6174 - https://news.ycombinator.com/item?id=2625832 - มิถุนายน 2011 (64 ความคิดเห็น)
6174 - https://news.ycombinator.com/item?id=1625606 - สิงหาคม 2010 (1 ความคิดเห็น)
Mysterious number 6174 - https://news.ycombinator.com/item?id=480200 - กุมภาพันธ์ 2009 (41 ความคิดเห็น)
จำนวนสี่หลักอีกตัวที่น่าสนใจซึ่งเกี่ยวข้องกับนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียคือ 1729: https://en.wikipedia.org/wiki/1729_(number)
น่าทึ่ง มีสัญชาตญาณแบบไม่เป็นทางการไหมว่าทำไมค่าคงที่สี่หลักที่มีคุณสมบัติแบบนี้ถึงมีอยู่แม้แต่ตัวเดียว? ตามสัญชาตญาณแล้วดูเหมือนกราฟนี้น่าจะมี หลายวงจร
ลองตรวจดูแล้ว เมื่อใช้กระบวนการนี้กับจำนวนสี่หลักทั้งหมด ผลลัพธ์ที่แตกต่างกันมีแค่ 55 ค่า และถ้าไม่นับ 0000 ก็เหลือ 54 ค่า ดังนั้นพื้นที่ที่จะเกิดวงจรจำนวนมากจึงลดลง
มองคร่าว ๆ มีหลายรูปแบบ เช่น ในฐานที่มี จำนวน Kaprekar สองหลัก ผลรวมเลขโดดจะเป็นฐาน-1 อะไรทำนองนั้น น่าจะมีคำอธิบายเชิงทฤษฎีจำนวนอยู่ในนี้
https://plus.maths.org/content/mysterious-number-6174
นึกถึงอุปกรณ์ทรงกระบอกที่เคยเห็นที่ Exploratorium ใน San Francisco เมื่อกว่า 10 ปีก่อน เหมือนจะเคยถูกแนะนำในคอลัมน์ Mathematical Recreations หรือ Computer Recreations ของ Scientific American ก่อนหน้านั้นด้วย
เท่าที่จำได้ มันเป็นทรงกระบอกแนวนอนขนาดใหญ่ที่ปกคลุมด้วยตัวเลข และอาจมีวงแหวนหรือเคอร์เซอร์บางรูปแบบอยู่ด้วย พอหมุนแล้วจะมีการดำเนินการทางคณิตศาสตร์บางอย่างเกิดขึ้น และดูเหมือนว่าไม่ว่าสถานะเริ่มต้นจะเป็นอย่างไร เมื่อทำซ้ำไม่กี่ครั้งก็จะลู่เข้าสู่ตัวเลขเดียว เหมือน 6174 นี้
ถ้าจำได้ว่ามันคืออะไรคงดี
พยายามหาเปเปอร์ต้นฉบับของ Kaprekar แต่ไม่สำเร็จ มีใครมี PDF ไหม?
นอกเรื่องนิด แต่สงสัยว่ามีงานวิจัยมากแค่ไหนที่หายไปในอากาศ เพียงเพราะมันไม่ได้น่าสนใจเท่านี้
6174 พิเศษเฉพาะเวลานับใน ฐานสิบ เท่านั้น ที่นี่คือ HackerNews เพราะงั้นทุกคนใช้ฐานสิบหกกันใช่ไหม น่าเสียดายที่ตาม https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample_hex.php ในฐานสิบหกไม่มีค่าคงที่ Kaprekar แบบเรียบง่าย
สำหรับเลข 5 หลักคือ 98532 น่าสนุกดี
74943 -> 62964 -> 71973 -> 83952 -> repeat
63954 -> 61974 -> 82962 -> 75933 -> repeat
53955 -> 59994 -> repeat
https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample.php
ในบทความบอกว่าใช้ได้กับทุกตัวเลข และยกเว้นแค่ repdigit แต่ไม่ใช่ว่ามันล้มเหลวกับ เลขพาลินโดรม ทั้งหมดด้วยเหรอ?