ความสามารถของฟิสิกส์ในการสร้างคณิตศาสตร์ใหม่
(nautil.us)- แม้ว่าคณิตศาสตร์จะถูกใช้เป็นภาษาของฟิสิกส์มาโดยตลอด แต่ตอนนี้ สัญชาตญาณทางฟิสิกส์ ก็กำลังทำหน้าที่เป็นแหล่งกำเนิดที่เปิดโจทย์ยากและโครงสร้างใหม่ในคณิตศาสตร์ด้วย
- นักฟิสิกส์ถูกผูกมัดกับการพิสูจน์อย่างเคร่งครัดน้อยกว่าและสามารถสำรวจได้รวดเร็วกว่า จึงอาจค้นพบ แนวคิดและความเชื่อมโยงใหม่ ก่อน แล้วให้นักคณิตศาสตร์มาตรวจสอบภายหลัง
- ทฤษฎีสตริงได้ก่อให้เกิดความสัมพันธ์ที่คาดไม่ถึงระหว่าง เรขาคณิตเชิงพีชคณิต กับโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีกลุ่ม และโทโพโลยี ผ่าน Calabi-Yau manifold, K3 surface และ M-theory
- แม้ทฤษฎีฟิสิกส์ที่ถูกละทิ้งไปแล้วก็ยังอาจคงอยู่ในคณิตศาสตร์ได้ยาวนาน; vortex theory ของ Lord Kelvin หายไปแล้ว แต่คณิตศาสตร์ของมันนำไปสู่การพัฒนา ทฤษฎีปม และความเข้าใจโมเลกุลที่พันกันอย่าง DNA
- ในโจทย์ใหญ่ ๆ อย่าง Langlands program, Riemann hypothesis และ Birch and Swinnerton-Dyer conjecture ยิ่งพรมแดนระหว่างฟิสิกส์กับคณิตศาสตร์ต่ำลงเท่าไร โอกาสของความก้าวหน้าครั้งใหม่ก็ยิ่งมากขึ้นเท่านั้น
การพลิกกลับของกระแสที่คณิตศาสตร์เคยช่วยฟิสิกส์
- Albert Einstein มองว่าในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปปี 1915 การที่คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ซึ่งล้ำหน้าไปกว่าครึ่งศตวรรษสามารถอธิบายโครงสร้างของปริภูมิ-เวลาได้อย่างแม่นยำ คือ “ชัยชนะที่แท้จริง” ของคณิตศาสตร์
- เดิมทีคณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้นเพื่อ การสำรวจวัด การคำนวณ และความเข้าใจโลกทางกายภาพ โดยชาว Sumerians ในเมโสโปเตเมียได้ทิ้งแผ่นดินเหนียวที่มีตารางคูณไว้เพื่อใช้ในการนับสินค้าและทรัพย์สิน
- หลังจากนั้นคณิตศาสตร์ซึ่งเคยเป็นเครื่องมือช่วยรัฐและการพาณิชย์ก็ขยายไปสู่เขตแดนนามธรรมขั้นสูง และยังคงหนุนการทะลุความก้าวหน้าครั้งใหญ่ของฟิสิกส์ต่อเนื่อง
- ช่วงหลังมานี้ทิศทางกลับด้าน โดย กฎและรูปแบบของฟิสิกส์ กำลังขับเคลื่อนสาขาคณิตศาสตร์ที่ติดขัดมาอย่างยาวนาน
วิธีที่นักฟิสิกส์กวาดสายตาสำรวจภูมิประเทศของคณิตศาสตร์
- Timothy Gowers เห็นว่านักฟิสิกส์ถูกผูกกับการพิสูจน์อย่างเข้มงวดน้อยกว่านักคณิตศาสตร์ จึงสามารถสำรวจภูมิประเทศทางคณิตศาสตร์ได้เร็วกว่า
- หากนักคณิตศาสตร์เปรียบเสมือนผู้สำรวจพื้นที่เล็ก ๆ อย่างลึกซึ้ง นักฟิสิกส์ก็อาจเป็นผู้กวาดมองพื้นที่กว้างที่ยังไม่ถูกบุกเบิกอย่างรวดเร็ว และค้นพบแนวคิดหรือความสัมพันธ์อันทรงพลังได้ก่อน
- จากนั้นนักคณิตศาสตร์จึงย้อนกลับมาพยายาม พิสูจน์หรือหักล้าง สิ่งที่ค้นพบนั้น
- กระแสลักษณะนี้เกิดซ้ำมานานแล้ว
- Archimedes เขียนไว้ว่ากฎของกลศาสตร์ได้นำไปสู่การค้นพบทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ
- Isaac Newton และ Gottfried Wilhelm Leibniz พัฒนา แคลคูลัส ขึ้นระหว่างความพยายามทำความเข้าใจการเคลื่อนที่ของวัตถุที่ตกลงมา
ความขาดช่วงในกลางศตวรรษที่ 20 และการเชื่อมกลับของ Michael Atiyah
- ในช่วงกลางศตวรรษที่ 20 กระแสที่คณิตศาสตร์ใหม่ ๆ ไหลออกมาจากฟิสิกส์แทบจะแห้งเหือด และทั้งนักคณิตศาสตร์กับนักฟิสิกส์ต่างก็ไม่ได้สนใจโลกของอีกฝ่ายมากนัก
- ในคณิตศาสตร์ Bourbaki group พยายามทำให้คณิตศาสตร์มีความแม่นยำที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ และสร้างหลายสาขาขึ้นใหม่ตั้งแต่ฐานราก
- ในฟิสิกส์ แม้แนวคิดอย่าง Standard Model จะพัฒนาไปมาก แต่สำหรับนักฟิสิกส์จำนวนมาก คณิตศาสตร์เป็นเพียงเครื่องมือที่สะดวกใช้ และไม่ได้สนใจมุมมองคณิตศาสตร์แบบเคร่งครัดของ Bourbaki มากนัก
- Michael Atiyah ตั้งแต่กลางทศวรรษ 1970 เป็นต้นมา มองว่า ฟิสิกส์เชิงทฤษฎี เป็นแหล่งกำเนิดไอเดียใหม่ที่มีอนาคตที่สุด และช่วยผลักดันปฏิสัมพันธ์ระหว่างสองสาขา
- รับมือกับปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่นักฟิสิกส์เป็นผู้ตั้งขึ้น
- ใช้แนวคิดทางฟิสิกส์พิสูจน์ผลลัพธ์ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์
- ถ่ายทอดส่วนสำคัญของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ที่นักฟิสิกส์ยังไม่คุ้นเคย
ความเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ที่ทฤษฎีสตริงสร้างขึ้น
- Edward Witten ได้พบกับ Atiyah ในปี 1977 และกลายเป็นผู้ร่วมงานระยะยาว ก่อนจะกลายเป็นผู้บุกเบิกทฤษฎีสตริงในเวลาต่อมา
- ทฤษฎีสตริงคือแนวคิดที่มององค์ประกอบพื้นฐานของจักรวาลไม่ใช่อนุภาคใน Standard Model แต่เป็นสตริงสั่นขนาดเล็กหนึ่งมิติ
- แม้ในทางฟิสิกส์มันยังไม่อาจเป็น “ทฤษฎีของทุกสิ่ง” ได้ แต่ก็ทิ้งอิทธิพลอย่างมากไว้กับสาขาคณิตศาสตร์นามธรรมอย่าง เรขาคณิตเชิงพีชคณิต และโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์
- Witten และนักทฤษฎีสตริงคนอื่น ๆ ได้สร้างข้อคาดเดาที่แม่นยำซึ่งนักคณิตศาสตร์มาพิสูจน์ได้ในภายหลัง
-
Calabi-Yau manifold และเรขาคณิตเชิงนับ
- ในปี 1991 Philip Candelas, Xenia de la Ossa และเพื่อนร่วมงานได้นำทฤษฎีสตริงไปใช้กับปัญหาเก่าแก่ของ เรขาคณิตเชิงนับ
- เรขาคณิตเชิงนับคือสาขาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาการนับว่าปัญหาเรขาคณิตหนึ่ง ๆ มีคำตอบกี่แบบ
- เป็นคำถามลักษณะเช่น เส้นตรงที่ผ่านสองจุดบนระนาบมีหนึ่งเส้น หรือวงกลมที่สัมผัสวงกลมสามวงที่กำหนดมีแปดวง
- พวกเขาใช้เครื่องมือจากทฤษฎีสตริงเพื่อจัดการปัญหาการนับจำนวนเส้นโค้งบางชนิดภายใน Calabi-Yau manifold
- ผลลัพธ์ดังกล่าวเชื่อม symplectic geometry กับ complex geometry ซึ่งนักคณิตศาสตร์ศึกษากันแยกขาดมาหลายทศวรรษ
- เมื่อสองสาขาที่เคยถูกมองว่าไม่เกี่ยวกันถูกเชื่อมเข้าหากัน เครื่องมือจากด้านหนึ่งก็อาจใช้แก้ปัญหาอีกด้านได้ ซึ่งถือเป็นผลลัพธ์ที่ลึกซึ้งในคณิตศาสตร์
-
M-theory และ duality
- Witten เสนอในปี 1995 ว่าทฤษฎีสตริงทั้งห้าแบบที่ต้องการ 10 มิติ แท้จริงแล้วเป็นเพียงคนละด้านของแนวคิด 11 มิติเดียวคือ M-theory
- M-theory ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ แต่ระหว่างการติดตามความสอดคล้องกันระหว่างทฤษฎีที่ต่างกันก็ได้เกิดการค้นพบทางคณิตศาสตร์ที่น่าทึ่ง
- Yang-Hui He มองว่าทฤษฎีสตริงกำลังมอบโครงสร้างใหม่ให้กับนักคณิตศาสตร์ในแบบที่ไม่เคยมีมาก่อน
K3 surface และโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่คาดไม่ถึง
- Yang-Hui He และ Federico Carta ขณะศึกษ่า K3 surface ซึ่งเป็น Calabi-Yau manifold ที่ง่ายที่สุด ได้ค้นพบความสัมพันธ์ใหม่
- ความสัมพันธ์นี้อยู่ระหว่าง homotopy groups ที่ใช้จำแนกรูปร่างในโทโพโลยี กับกลุ่มสมมาตร Matthieu 24
- จึงเผยให้เห็นความเชื่อมโยงที่คาดไม่ถึงแม้กระทั่งระหว่างโทโพโลยีกับทฤษฎีกลุ่ม ซึ่งเป็นคนละแขนงในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์
- He มองว่าแม้รูปแบบและโครงสร้างที่นักคณิตศาสตร์จะศึกษามีได้ไม่สิ้นสุด แต่สิ่งที่เกิดจากโลกจริงเป็นสิ่งที่เราสามารถมีสัญชาตญาณบางระดับต่อมันได้
- Nigel Hitchin ก็เห็นว่าการวิจัยคณิตศาสตร์ไม่ได้ทำงานอยู่ในสุญญากาศ และไอเดียใหม่จำเป็นต้องควบแน่นขึ้นรอบความรู้สึกถึงความจริงบางอย่าง หรืออย่างน้อยความรู้สึกถึงความจริงของใครสักคน
เมื่อฟิสิกส์ “ไม่ดี” ให้กำเนิดคณิตศาสตร์ที่ดี
- ฟิสิกส์สามารถมอบแรงจูงใจและจุดโฟกัสในการสำรวจให้คณิตศาสตร์ได้ชัดเจนยิ่งขึ้น
- เมื่อมีทั้งสัญชาตญาณเกี่ยวกับการทำงานของโลกจริงและปลายทางที่ดูเป็นไปได้ นักคณิตศาสตร์ก็อาจก้าวหน้าในปัญหาได้เร็วขึ้น
- ในกรอบนี้ แม้แต่ ทฤษฎีฟิสิกส์ที่ถูกละทิ้ง ก็ยังสร้างคณิตศาสตร์ที่ดีได้
- William Thomson หรือ Lord Kelvin มองอะตอมเป็นวงแหวนหมุนที่ผูกกันอย่างซับซ้อนใน vortex theory และจับคู่ปมแต่ละแบบเข้ากับธาตุเคมี
- แม้ทฤษฎีนี้จะถูกทิ้งหลังการค้นพบอิเล็กตรอน แต่คณิตศาสตร์ของมันนำไปสู่การพัฒนา ทฤษฎีปม
- ทฤษฎีปมกลายเป็นสาขาวิจัยที่อุดมสมบูรณ์ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์
- และยังมีการประยุกต์ใช้อย่างคาดไม่ถึงกับกลศาสตร์ของไหลและความเข้าใจโมเลกุลที่พันกันอย่าง DNA
สมองมนุษย์ โลกกายภาพ และความงามทางคณิตศาสตร์
- Atiyah เชื่อมความสัมพันธ์ระหว่างฟิสิกส์กับคณิตศาสตร์เข้ากับวิวัฒนาการของสมองมนุษย์
- มนุษย์เป็นผลผลิตของวิวัฒนาการอันยาวนาน และสมองที่ทรงพลังย่อมเป็นข้อได้เปรียบต่อการอยู่รอดและความสำเร็จในโลกกายภาพ
- สมองมนุษย์วิวัฒน์มาเพื่อ แก้ปัญหาทางกายภาพ และนำไปสู่การตีความว่าเพื่อสิ่งนี้ เราจึงต้องพัฒนาคณิตศาสตร์ประเภทที่เหมาะสมขึ้นมาด้วย
- งานวิจัยภาพถ่ายสมองปี 2014 ที่ Atiyah มีส่วนร่วม สรุปว่าประสบการณ์ของความงามทางคณิตศาสตร์กระตุ้นบริเวณสมองเดียวกับที่ตอบสนองต่อดนตรี ศิลปะ และบทกวีที่งดงาม
- คณิตศาสตร์ที่เกิดจากการศึกษาความเป็นจริงจึงอาจเป็นชนิดของคณิตศาสตร์ที่สมองมนุษย์ชื่นชอบโดยธรรมชาติ
กฎฟิสิกส์ก็จำเป็นเหมือนทฤษฎีบทคณิตศาสตร์หรือไม่
- ในบทความปี 2023 Daniele Molinini ตอบโต้บทความคลาสสิกปี 1960 ของ Eugene Wigner เรื่อง “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences” ด้วยหัวข้อ “The Unreasonable Effectiveness of Physics in Mathematics”
- คำตอบของเขาคือ กฎฟิสิกส์บางส่วนอาจหักล้างไม่ได้พอ ๆ กับทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์
- โดยทั่วไป นักปรัชญามองความจริงทางคณิตศาสตร์ว่าเป็น ความจริงที่จำเป็น ซึ่งต้องเป็นจริงในทุกโลกที่เป็นไปได้ ขณะที่ข้อเท็จจริงเชิงประจักษ์เกี่ยวกับธรรมชาติเป็นความจริงโดยบังเอิญที่อาจแตกต่างออกไปได้
- Molinini มองว่า หลักการอนุรักษ์ อาจเป็นผู้สมัครของกฎฟิสิกส์ที่มีความจำเป็น
- ในฟิสิกส์ สมบัติบางอย่างของระบบ เช่น พลังงานหรือโมเมนตัม จะไม่เปลี่ยนแปลง
- นักปั่นจักรยานที่ไหลลงจากเนินเปลี่ยนพลังงานศักย์โน้มถ่วงเป็นพลังงานจลน์ แต่พลังงานรวมของคนกับจักรยานยังคงเท่าเดิม
- หากการอนุรักษ์เป็นสิ่งจำเป็นจริง ก็อาจอธิบายได้ว่าเหตุใด Archimedes จึงอนุมานความจริงของการพิสูจน์ทางเรขาคณิตได้สำเร็จจากการพิจารณาทางกลศาสตร์
ข้อจำกัดของมุมมองที่ว่าจักรวาลทำจากคณิตศาสตร์
- มุมมองที่ Galileo เคยแสดงไว้ในต้นศตวรรษที่ 17 และมีนักคณิตศาสตร์จำนวนมากสนับสนุน คือความคิดที่ว่าจักรวาลถูกเขียนด้วย ภาษาของคณิตศาสตร์
- แนวคิดนี้มีรากเก่าแก่ย้อนกลับไปถึง Pythagoras และผู้ติดตามของเขา
- mathematical universe hypothesis ของ Max Tegmark ไปไกลกว่านั้นอีก
- จักรวาลไม่ได้เพียงถูกอธิบายด้วยคณิตศาสตร์ แต่ ประกอบขึ้นจากคณิตศาสตร์
- จักรวาลของเราเป็นเพียงหนึ่งในจักรวาลขนานอันไม่มีที่สิ้นสุด และทุกความเป็นไปได้ทางคณิตศาสตร์ล้วนถูกทำให้เป็นจริงที่ไหนสักแห่ง
- Mark Colyvan มองว่ามีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดระหว่างวิทยาศาสตร์เชิงประจักษ์กับคณิตศาสตร์ และอาจสรุปได้ว่าโลกเองมีความเป็นคณิตศาสตร์ในบางแง่
- อย่างไรก็ดี เนื่องจากคณิตศาสตร์ที่ปรากฏในฟิสิกส์ที่เรารู้จักนั้นเป็นเพียงส่วนเล็กน้อยอย่างยิ่งของคณิตศาสตร์ทั้งหมด มุมมองนี้เพียงอย่างเดียวจึงอธิบายได้ไม่เพียงพอว่าทำไมคณิตศาสตร์ที่ออกมาจากฟิสิกส์จึงอุดมสมบูรณ์เป็นพิเศษ
ทิศทางย้อนกลับที่อธิบายด้วย mapping ได้ยาก
- Molinini ท้าทายแนวทางปรัชญายอดนิยมอย่าง mapping ที่ใช้อธิบายการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์
- mapping คือการจับคู่แนวคิดทางกายภาพ เช่น มวลหรือระยะทาง เข้ากับวัตถุทางคณิตศาสตร์อย่างสมการกฎแรงโน้มถ่วงของ Newton แล้วจึงจับคู่ผลการคำนวณกลับไปสู่สมบัติทางกายภาพอีกครั้ง
- แต่เมื่อพยายามกลับกระบวนการนี้เพื่ออธิบายว่าคณิตศาสตร์ออกมาจากฟิสิกส์ได้อย่างไร mapping กลับทำงานได้ไม่ดี
- ที่ผ่านมา นักปรัชญาเน้นถามว่าทำไมคณิตศาสตร์จึงใช้ได้กับวิทยาศาสตร์เชิงประจักษ์ แต่ตอนนี้คำถามว่าทำไมฟิสิกส์จึงมีประสิทธิภาพต่อคณิตศาสตร์ก็กลายเป็นประเด็นสำคัญเช่นกัน
ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์จะยิ่งใกล้กันมากขึ้น
- Yang-Hui He มองว่าฟิสิกส์สมัยใหม่มอบทั้งเครื่องมือใหม่และเบาะแสที่คาดไม่ถึงมากมายให้นักคณิตศาสตร์ และหากต้องการแก้ปัญหาใหญ่ของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ทั้งสองสาขาจำเป็นต้องร่วมมือกันอย่างใกล้ชิดยิ่งขึ้น
- Langlands program เป็นหนึ่งในพื้นที่เช่นนั้น
- Robert Langlands วางแนวคิดนี้ไว้ในทศวรรษ 1960 และมันถูกเรียกว่า “grand unified theory ของคณิตศาสตร์”
- สายหนึ่งของมันคือ geometric Langlands เพิ่งมีรายงานว่าได้รับการพิสูจน์ด้วยงาน 5 ชิ้น รวมกว่า 800 หน้า
- ส่วนสำคัญของการพิสูจน์นั้นอาศัยความเข้าใจที่ได้มาจาก conformal field theory ซึ่งเป็นหนึ่งในรากฐานของทฤษฎีสตริง
- นักคณิตศาสตร์ยังพยายามใช้ฟิสิกส์เพื่อขยับความคืบหน้าใน Riemann hypothesis และ Birch and Swinnerton-Dyer conjecture แล้วด้วย
- He มองว่าพันธมิตรของสองสาขาอาจเป็นกุญแจสำคัญในการเปิดโจทย์ยักษ์เหล่านี้
- ฟิสิกส์กับคณิตศาสตร์กำลังกลับเข้าใกล้ความเป็นหนึ่งเดียวอีกครั้งเหมือนในยุคของ Newton และ Gauss และเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ทั้งแปลกใหม่และประณีตกว่านี้บางส่วนอาจยังไม่ถูกประดิษฐ์ขึ้นด้วยซ้ำ
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นใน Hacker News
นักฟิสิกส์คนหนึ่งกำลังเดินกลับบ้านตอนกลางคืน เห็นเพื่อนร่วมงานที่เป็นนักคณิตศาสตร์กำลังก้มมองพื้นอยู่ใต้เสาไฟถนน จึงถามว่า “มีอะไรเหรอ?” นักคณิตศาสตร์ตอบว่า “ทำกุญแจตก” นักฟิสิกส์จะช่วยหา เลยถามว่า “ตกแถวไหน?” นักคณิตศาสตร์ชี้ไปทางโน้นแล้วบอกว่า “ตรงนั้น” นักฟิสิกส์ถามว่า “แล้วทำไมไม่ไปหาตรงนั้นล่ะ?” นักคณิตศาสตร์ตอบว่า “เพราะตรงนี้สว่างกว่า”
ขอเปิดเผยว่า ผมเป็นนักคณิตศาสตร์
ผู้สัมภาษณ์ถามต่อว่า “คราวนี้เป็นสถานการณ์เดียวกัน แต่ค้อนอยู่บนพื้น คุณจะทำอย่างไร?” นักคณิตศาสตร์ตอบว่า “ผมจะย้ายค้อนจากพื้นขึ้นไปบนโต๊ะ เพื่อแปลงกลับเป็น ปัญหาที่แก้ได้แล้ว ครับ”
มุกที่เกี่ยวกับบทความนี้ก็คือ นักคณิตศาสตร์ใช้เวลาออกแบบทอพอโลยีของเสื้อโค้ตสำหรับคนที่มีแขน 3 ข้าง ส่วนฟิสิกส์คือคนที่ไปหาคนแบบนั้นเจอ
มุกที่ชอบที่สุดคือ ตอนลูกชายของนักคณิตศาสตร์ไปโรงเรียนครั้งแรก ครูถามว่า “ใครรู้บ้างว่า 1+2 เท่ากับเท่าไหร่?” เด็กคนนั้นลุกขึ้นแล้วตอบว่า “ผมไม่รู้ว่าเท่าไหร่ แต่ผมรู้ว่าในโมนอยด์ของจำนวนธรรมชาติ การบวกเป็นไปตาม กฎการสลับที่ ดังนั้นจึงเท่ากับ 2+1 ครับ”
ขอเปิดเผยว่า ผมเป็นนักพัฒนาซอฟต์แวร์
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Nasreddin#cite_ref-32
นักฟิสิกส์ทำกุญแจตก นักคณิตศาสตร์: “ยูเรก้า!”
คำพูดของ Hitchin ที่ว่า “การวิจัยคณิตศาสตร์ไม่ได้ดำเนินอยู่ในสุญญากาศ” ดูจะเข้าใกล้แก่นสำคัญ ไม่ใช่ว่ามีแต่ฟิสิกส์เท่านั้นที่ขับเคลื่อนคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจ และความสัมพันธ์แบบนี้ก็ไม่ได้เพิ่งเกิดขึ้นเมื่อเร็ว ๆ นี้
ในความเห็นอันถ่อมตัวของผม คณิตศาสตร์คือ ภาษาเฉพาะโดเมน ขั้นสุดยอด เป็นเครื่องมือที่ใช้สร้างแบบจำลองของบางสิ่ง และแบบจำลองนั้นก็มักจะกลายเป็นสิ่งที่น่าสนใจในตัวมันเองในภายหลัง
เมื่อพยายามสร้างแบบจำลองของสิ่งใหม่ ๆ เช่นแนวคิดใหม่เกี่ยวกับความเป็นจริง ก็จะได้แบบจำลองที่น่าสนใจในรูปแบบใหม่ หรือทำให้แบบจำลองเดิมถูกวางบริบทใหม่ จึงต้องมีการประกอบใหม่ กลั่นย่อ และทำให้เป็นทั่วไปมากขึ้น แล้วสาขานั้นก็พัฒนาต่อไป
https://en.wikipedia.org/wiki/A_Mathematician%27s_Apology
เรามักคิดว่าคณิตศาสตร์บรรยายภูมิประเทศพื้นฐานนั้นเอง แต่จริง ๆ แล้วมันทำงานบน แบบจำลอง ที่เรามีร่วมกันเกี่ยวกับภูมิประเทศนั้น ดังนั้นเมื่อเราพิจารณาสิ่งอื่น ๆ คณิตศาสตร์ก็จะตามไปด้วย
สมัยเรียนมหาวิทยาลัย อาจารย์ฟิสิกส์เคยพูดผ่าน ๆ ว่า การแบ่งแยกระหว่างฟิสิกส์กับคณิตศาสตร์ เป็นแนวคิดแบบศตวรรษที่ 20 ในศตวรรษที่ 19 หรือก่อนหน้านั้นไม่มีการแบ่งแบบนี้ และดูเหมือนว่าในศตวรรษที่ 21 มันกำลังจะหายไปอีกครั้ง
ทุกวันนี้ที่เส้นแบ่งพร่าเลือนลงเป็นเพราะเหตุผลตรงกันข้าม ผู้คนคิดว่าสิ่งใดก็ตามที่ถูกวางแนวคิดด้วยคณิตศาสตร์ที่แน่นหนาจะต้องเป็นจริง และ การสังเกต ถูกผลักไปอยู่เบาะหลัง
คณิตศาสตร์ไม่มีข้อกำหนดแบบนั้น และไม่จำเป็นต้องสร้างแบบจำลองของปรากฏการณ์ธรรมชาติ อาจารย์ฟิสิกส์คนนั้นฟังดูเหมือนเป็นพวกเพลโตนิยม
ความก้าวหน้าพื้นฐานของ แคลคูลัส ในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษ 1600 ทำให้หัวข้อเหล่านี้ถูกรวมไว้ภายใต้วิธีการศึกษาและวิเคราะห์แบบเดียวกันได้ และสิ่งนั้นคือสิ่งที่เราเรียกว่าฟิสิกส์ในปัจจุบัน
คณิตศาสตร์สมัยใหม่จำนวนมากก็สืบสายมาจากแคลคูลัสเช่นกัน ดังนั้นเส้นแบ่งระหว่างสิ่งที่ถูกสร้างแบบจำลองกับเครื่องมือที่ใช้สร้างแบบจำลองจึงพร่าเลือนตามธรรมชาติ แต่ตลอดช่วงเวลานั้น การแบ่งแยกก็ยังมีอยู่ค่อนข้างชัดเจน เช่นถ้าดูเรื่องความน่าจะเป็นหรือพีชคณิต นักวิจัยจำนวนมากแสวงหาทั้งฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ แต่ก็รู้ว่าสองหัวข้อนั้นแตกต่างกัน
ในศตวรรษที่ 21 เส้นแบ่งนั้นไม่อาจหายไปได้ เพราะคณิตศาสตร์ไม่ได้ผูกติดกับโลกกายภาพอีกต่อไป คณิตศาสตร์คือการสร้างทฤษฎีบท โดยไม่ขึ้นกับว่าสัจพจน์และทฤษฎีบทเหล่านั้นจะใช้ได้กับโลกกายภาพหรือไม่
คณิตศาสตร์ที่ใช้ในฟิสิกส์เป็นเพียงส่วนเล็กมากของคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่เป็นไปได้
— V.I. Arnold, On teaching mathematics (1997)
ถ้าลองสร้างผลิตภัณฑ์ซอฟต์แวร์เชิงนวัตกรรมโดยไม่คุยกับผู้ใช้สักคำ คุณจะเข้าใจว่าทำไมฟิสิกส์จึงดีต่อ การสร้างคณิตศาสตร์ใหม่
ฟิสิกส์ก็ยอดเยี่ยมสำหรับ แมชชีนเลิร์นนิง เช่นกัน แต่วิธีเข้าถึงอาจค่อนข้างขัดกับสัญชาตญาณ ตัวอย่างเช่น การส่งผ่านข้อความและ belief propagation สำหรับการโมเดลตัวแปรแฝงในทรีและกราฟ มักสอนด้วยอุปมาเรื่องความน่าจะเป็นชายขอบของหน้าต่างกับวันที่ฝนตก และแยกสมการเบย์ส/สถิติออกเป็นองค์ประกอบย่อยด้วยกฎลูกโซ่ของการทำ marginalization
ในทางกลับกัน นักฟิสิกส์มักสอนสิ่งนี้ด้วย โมเดล Ising และสปินแม่เหล็ก ซึ่งเป็นอุปมาที่แตกต่างไปโดยสิ้นเชิง
โมเดลแมชชีนเลิร์นนิงเชิงกำเนิดที่ใหม่กว่านั้นก็ใช้แนวทางที่อิงสมการเชิงอนุพันธ์หรือการแจกแจงแบบ Boltzmann กันมาก และการกำหนดรูปแบบทางสถิติ เช่น โมเดล state-space หรือโมเดล energy-based ก็แทบยืมมาทั้งชุดจากฟิสิกส์สถิติ/กลศาสตร์สถิติ แล้วนำมาเสียบเข้ากับโครงข่ายประสาทและระบบ automatic differentiation
ตัวอย่างที่ดีที่สุดน่าจะเป็นอัลกอริทึม Metropolis-Hastings ซึ่งสร้างโดยนักวิจัยด้านนิวเคลียร์
https://web.archive.org/web/20150603234436/http://flynnmicha...
https://arxiv.org/abs/1503.03585
อาจารย์ฟิสิกส์คนหนึ่งของผมเคยพูดว่า “คณิตศาสตร์คือฟิสิกส์ที่ไม่มีจุดประสงค์”
เขาเคยเป็นนักฟิสิกส์ที่ค่อนข้างประสบความสำเร็จมาก่อน ดังนั้นผมอาจมีอคติก็ได้
ผมไม่ใช่อัจฉริยะด้านฟิสิกส์หรือคณิตศาสตร์ แต่รู้สึกว่าความสัมพันธ์ของทั้งสองน่าจะใกล้กับ วงจรเสริมแรงเชิงบวก มากกว่า
เหมือนเคยอ่านมาว่าศตวรรษที่ 20 เป็นยุคปฏิวัติเพราะการผสานกันของฟิสิกส์กับคณิตศาสตร์ ควอเทอร์เนียนสำคัญต่อทฤษฎีสัมพัทธภาพ ส่วนคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องก็แทรกอยู่ทั่วกลศาสตร์ควอนตัมและแบบจำลองมาตรฐาน U(1) อธิบายแรงแม่เหล็กไฟฟ้า, SU(2) อธิบายแรงอ่อน, และ SU(3) อธิบายแรงนิวเคลียร์อย่างเข้ม โดยเฉพาะมวลของโบซอนสามตัวที่เป็นสื่อของแรงอ่อน ได้นำไปสู่การสร้างทฤษฎีกลไกฮิกส์โดยตรง และสุดท้ายก็ได้รับการยืนยันจากการทดลองด้วย
หนึ่งในความสำเร็จใหญ่ของศตวรรษที่ 20 คือการค้นหากลุ่มจำกัดทั้งหมดด้วยวิธีที่พิสูจน์ได้ และกลุ่มเหล่านั้นก็ยังปรากฏอยู่ในฟิสิกส์เรื่อย ๆ
บทความบอกว่าทฤษฎีสตริงนำไปสู่คณิตศาสตร์ใหม่ ซึ่งน่าสนใจมากจริง ๆ ผมยังสงสัยทฤษฎีสตริงเพราะไม่มีหลักฐานเชิงทดลองสำหรับ “มิติที่ม้วนตัว” และมันดูเหมือนการปะผุ แต่ก็น่าสนใจที่เมื่อสมมติว่าทฤษฎีสตริงถูกต้อง ก็ได้ผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ทั้งในฝั่งฟิสิกส์และคณิตศาสตร์
รู้ไหมว่าฟิสิกส์สร้างคณิตศาสตร์ใหม่ได้ดีกว่าสาขาอื่นจริงหรือเปล่า? ตัวอย่างเช่น คอมพิวเตอร์ ก็สร้างคณิตศาสตร์ใหม่ไว้มาก และสถิติศาสตร์ก็ถูกผลักดันอย่างเต็มที่จากแรงกดดันภายนอกของการแพทย์ สังคมศาสตร์ และธุรกิจ
การเงินกับเศรษฐศาสตร์ก็สร้างคณิตศาสตร์จำนวนมากเกี่ยวกับการทำโมเดลและความน่าจะเป็น และยังมีตัวอย่างคล้ายกันอีกมาก
ตัวเลขคณิตเองเป็นผลของ การอนุรักษ์ทางกายภาพ ถ้าคุณมีลูกโอ๊กกองหนึ่ง 4 ลูกกับอีกกอง 3 ลูก แล้วนำมารวมกันโดยไม่ทำตกเลย ก็ควรต้องได้ลูกโอ๊กกองหนึ่งที่มี 7 ลูก
เพราะความเข้าใจทางกายภาพอันลึกซึ้งของเราเกี่ยวกับพื้นที่และเหตุปัจจัย เลขคณิตพื้นฐานจึงเป็นสิ่งที่เป็นจริงตามสัญชาตญาณสำหรับสัตว์มีกระดูกสันหลังส่วนใหญ่ หรืออาจจะทั้งหมด
ถ้ากระรอกรวมแล้วได้ลูกโอ๊กแค่ 6 ลูก ก็ต้องมีคำอธิบายเชิงเหตุผลสำหรับความต่างเชิงปริมาณนั้น เช่น กระรอกตัวอื่นขโมยไปหนึ่งลูกจากกองเดิม หรือมันอาจตกลงไปในรู
ยังต้องมี “การต้มเบียร์นั้นดีอย่างไร้เหตุผลในการสร้างสถิติศาสตร์ใหม่” ด้วย