ทำไมนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่คนนี้จึงอยากได้รูป 17 เหลี่ยมบนหลุมศพของเขา
- นักคณิตศาสตร์เกาส์ได้ฝากผลงานทางคณิตศาสตร์ไว้มากมาย
- ในบรรดานั้น เขาอยากให้สลัก "รูป 17 เหลี่ยมด้านเท่า" ไว้บนหลุมศพของตน
- ตอนอายุ 18 ปี เกาส์ได้ใช้รูป 17 เหลี่ยมด้านเท่าแก้ปัญหาที่รบกวนนักคณิตศาสตร์มานาน 2,000 ปี
เรขาคณิตกรีกโบราณ
- ชาวกรีกโบราณมีความเชี่ยวชาญด้านเรขาคณิต และให้ความสำคัญกับการสร้างรูปด้วย วงเวียนและไม้บรรทัด
- วงเวียนคือเครื่องมือสำหรับวาดวงกลมโดยอาศัยสองจุดเป็นศูนย์กลาง ส่วนไม้บรรทัดคือเครื่องมือสำหรับลากเส้นตรง
- เครื่องมือเหล่านี้ไม่สามารถใช้วัดระยะทางหรือวัดมุมได้
- การสร้างรูปแบบนี้มีต้นกำเนิดจาก Elements ของยุคลิด
- ยุคลิดพยายามอนุมานเรขาคณิตทั้งหมดจากสมมติฐานให้น้อยที่สุด
ตัวอย่างการสร้างรูป
- วิธีหาจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงที่กำหนด
- ใช้วงเวียนวาดวงกลมโดยใช้ปลายทั้งสองจุดเป็นศูนย์กลาง
- เมื่อลากเส้นเชื่อมจุดตัดของวงกลมทั้งสองด้วยไม้บรรทัด ก็จะหาจุดกึ่งกลางได้
- การสร้างนี้ไม่เพียงแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง แต่ยังสร้างมุมฉากด้วย
- หากเชื่อมจุดเพิ่มอีกไม่กี่จุด ก็สามารถสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่าได้
อุปสรรค
- รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า คือรูปที่มีด้านและมุมทุกด้านเท่ากัน
- ยุคลิดค้นพบวิธีสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่า สี่เหลี่ยมจัตุรัส และห้าเหลี่ยมด้านเท่า
- เขายังค้นพบวิธีเพิ่มจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าเป็นสองเท่า
- แต่ไม่สามารถสร้างเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่ากับสิบเอ็ดเหลี่ยมด้านเท่าได้
- ปัญหานี้ยังไร้คำตอบอยู่นาน 2,000 ปี
ผู้กอบกู้คณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 18
- จนถึงปี 1796 ก็ยังไม่มีการค้นพบรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าแบบใหม่
- เกาส์ลดปัญหาการสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าลงมาเป็นปัญหาการสร้างส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวเฉพาะค่า
- ในการสร้างรูป 17 เหลี่ยมด้านเท่า จำเป็นต้องสร้างส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวเฉพาะค่าหนึ่ง
- ความยาวนี้เขียนได้เป็น x = cos(2π/17)
- ความยาวที่สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและไม้บรรทัด คือความยาวที่เขียนได้ด้วยการบวก ลบ คูณ หาร และถอดรากที่สอง
- เกาส์พิสูจน์ได้ว่ารูป 17 เหลี่ยมด้านเท่าสามารถสร้างได้
- เกาส์ยังอธิบายได้อย่างสมบูรณ์ว่ารูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าทั้งหมดแบบใดสร้างได้หรือสร้างไม่ได้
- เขาพิสูจน์ด้วยว่าเจ็ดเหลี่ยมด้านเท่าและสิบเอ็ดเหลี่ยมด้านเท่าไม่สามารถสร้างได้
มรดกของเกาส์
- เกาส์อยากให้สลักรูป 17 เหลี่ยมด้านเท่าไว้บนหลุมศพของเขา
- แต่ในความเป็นจริงกลับไม่ได้มีการสลักไว้
- อนุสาวรีย์ของเกาส์ที่เมืองบราวน์ชไวค์ ประเทศเยอรมนี มีการสลักดาว 17 แฉกไว้แทน
สรุปโดย GN⁺
- ตอนอายุ 18 ปี เกาส์ใช้รูป 17 เหลี่ยมด้านเท่าแก้ปัญหาที่ไม่มีคำตอบมานาน 2,000 ปี
- เรื่องนี้แสดงให้เห็นความเชื่อมโยงระหว่างการสร้างรูปทางเรขาคณิตแบบกรีกโบราณกับพีชคณิตสมัยใหม่
- ผลงานของเกาส์ช่วยกำหนดขอบเขตของรูปที่สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและไม้บรรทัด
- เรื่องนี้กระตุ้นความอยากรู้อยากเห็นทางคณิตศาสตร์ และช่วยให้เข้าใจความเชื่อมโยงอันลึกซึ้งระหว่างเรขาคณิตกับพีชคณิต
- โครงการที่มีฟังก์ชันคล้ายกัน ได้แก่ Wolfram Alpha และ GeoGebra
ยังไม่มีความคิดเห็น