เหตุผลที่ Gauss อยากให้มีรูป 17 เหลี่ยมด้านเท่าบนป้ายหลุมศพ
(scientificamerican.com)- Johann Carl Friedrich Gauss พิสูจน์ได้เมื่ออายุ 18 ปีว่า รูป 17 เหลี่ยมด้านเท่าสามารถสร้างได้ และให้คำตอบชี้ขาดต่อปัญหาเรขาคณิตโบราณที่ยืดเยื้อมากว่า 2,000 ปี
- รากของปัญหานี้อยู่ที่ การสร้างด้วยวงเวียนและสันตรง ของ Euclid โดยแก่นสำคัญคือสามารถสร้างรูปทรงได้จริงหรือไม่โดยใช้เพียงสันตรงที่ไม่มีขีดแบ่งกับวงเวียน
- Euclid สร้างรูป 3 เหลี่ยมด้านเท่า รูป 4 เหลี่ยมด้านเท่า รูป 5 เหลี่ยมด้านเท่า และรูปที่ขยายจากสิ่งเหล่านี้ได้ แต่รูปอย่าง รูป 7 เหลี่ยมด้านเท่าและรูป 11 เหลี่ยมด้านเท่า ยังคงเป็นปัญหาที่ยังแก้ไม่ได้มาเป็นเวลานาน
- Gauss ไม่ได้วาดรูปโดยตรง แต่พิสูจน์ความเป็นไปได้ของการสร้างรูป 17 เหลี่ยมด้านเท่า โดยแสดงความยาว cosine(2π/17) ที่จำเป็นต่อรูปนี้ด้วยการดำเนินการทางพีชคณิตที่อนุญาตเท่านั้น
- ต่อมาเมื่อมีการพิสูจน์อย่างเคร่งครัดของ Pierre Wantzel เพิ่มเข้ามา จึงสามารถแยกแยะได้ว่ารูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ารูปใดสร้างได้ และรูปใดสร้างไม่ได้
รูปทรงที่ Gauss อยากทิ้งไว้บนป้ายหลุมศพ
- Johann Carl Friedrich Gauss (1777–1855) ภูมิใจเป็นพิเศษกับการพิสูจน์ รูป 17 เหลี่ยมด้านเท่า ในบรรดาผลงานทางคณิตศาสตร์มากมายของเขา
- Gauss ซึ่งขณะนั้นอายุ 18 ปี แก้ปัญหาคลาสสิกที่ขวางทางนักคณิตศาสตร์มานานกว่า 2,000 ปีได้ด้วยรูปทรงนี้
- ปัญหานี้เชื่อมโยงเรขาคณิตโบราณที่พยายามสร้างรูปทรงขึ้นมาจริง ๆ เข้ากับมุมมองสมัยใหม่ที่วิเคราะห์สมการซึ่งกำกับรูปทรงนั้น
การสร้างด้วยวงเวียนและสันตรงของกรีกโบราณ
- ในเรขาคณิตกรีกโบราณ การสร้างรูปทรงเป็นเหมือนเกมที่มีกฎเข้มงวด โดยใช้เพียง สันตรงที่ไม่มีขีดแบ่งกับวงเวียน เท่านั้น
- วงเวียนเป็นเครื่องมือที่เมื่อมีจุดสองจุด จะวาดวงกลมที่มีจุดหนึ่งเป็นศูนย์กลางและผ่านอีกจุดหนึ่ง ส่วนสันตรงใช้ลากเส้นตรงเชื่อมจุดสองจุด
- เครื่องมือทั้งสองไม่มีขีดแบ่ง จึงไม่สามารถวัดระยะหรือมุมได้โดยตรง
- กฎเช่นนี้มีที่มาจาก Elements ของ Euclid ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสตกาล
- Euclid ไม่ได้สมมติการมีอยู่ของรูปทรง แต่พยายาม สร้างอย่างชัดเจน จากวัสดุเรียบง่ายอย่างเส้นตรงและวงกลม
การแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงและสามเหลี่ยมด้านเท่า
- เมื่อมีจุด A และ B หากวาดวงกลมที่มี A เป็นศูนย์กลางและผ่าน B กับวงกลมที่มี B เป็นศูนย์กลางและผ่าน A วงกลมทั้งสองจะตัดกันที่สองจุด
- หากใช้สันตรงเชื่อมจุดตัดทั้งสองนี้ จะได้เส้นตรงที่ แบ่งครึ่ง ส่วนของเส้นตรง AB เดิมได้อย่างแม่นยำ
- การสร้างแบบเดียวกันยังสร้างมุมฉากระหว่างเส้นสองเส้นได้ด้วย ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่ไม่ใช่เรื่องเล็กเมื่อใช้เพียงเครื่องมือที่จำกัด
- หากเชื่อมจุดเพิ่มอีกไม่กี่จุด ก็สามารถสร้าง สามเหลี่ยมด้านเท่า ที่ทุกด้านยาวเท่ากันและทุกมุมมีขนาดเท่ากันได้
- แต่ละด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรัศมีของวงกลมที่มีขนาดเท่ากัน ดังนั้นทั้งสามด้านจึงยาวเท่ากัน
- สิ่งนี้ตรงกับ บทตั้งข้อแรก ใน Euclid Elements เล่มที่ 1
ทางตันที่เกิดขึ้นในการสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า
- ในบรรดารูปทรงที่สร้างได้ด้วยวงเวียนและสันตรง รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า มีสถานะพิเศษ
- รูปหลายเหลี่ยมคือรูปทรงที่ล้อมรอบด้วยด้านที่เป็นเส้นตรง ส่วนรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าคือรูปที่ทุกด้านยาวเท่ากันและทุกมุมมีขนาดเท่ากัน
- การสร้างสามเหลี่ยมใด ๆ นั้นง่าย แต่รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าอย่างสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีสมมาตรสมบูรณ์ต้องการการสร้างที่ประณีตกว่า
- Euclid รู้วิธีสร้างรูป 3 เหลี่ยมด้านเท่า รูป 4 เหลี่ยมด้านเท่า และรูป 5 เหลี่ยมด้านเท่า
- รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่สร้างไว้แล้วสามารถเพิ่มจำนวนด้านเป็นสองเท่าได้
- รูป 3 เหลี่ยมด้านเท่าสามารถขยายเป็นรูป 6 เหลี่ยมด้านเท่า รูป 12 เหลี่ยมด้านเท่า และอื่น ๆ
- รูป 4 เหลี่ยมด้านเท่าต่อยอดเป็นรูป 8 เหลี่ยมด้านเท่า รูป 16 เหลี่ยมด้านเท่า และอื่น ๆ
- รูป 5 เหลี่ยมด้านเท่าสามารถเพิ่มเป็นรูป 10 เหลี่ยมด้านเท่า รูป 20 เหลี่ยมด้านเท่า และอื่น ๆ
- Euclid ยังแสดงวิธี “คูณ” รูป 3 เหลี่ยมด้านเท่ากับรูป 5 เหลี่ยมด้านเท่าเพื่อสร้าง รูป 15 เหลี่ยมด้านเท่า
- แต่ รูป 7 เหลี่ยมด้านเท่าและรูป 11 เหลี่ยมด้านเท่า นั้นยังไม่รู้ว่าสร้างได้ด้วยวงเวียนและสันตรงเท่านั้นหรือไม่ และช่องว่างนี้คงอยู่ถึง 2,000 ปี
การเปลี่ยนผ่านสู่พีชคณิตของ Gauss
- จนถึงปี 1796 ยังไม่มีรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าแบบใหม่ที่พิสูจน์ได้ว่าสร้างได้เพิ่มขึ้น แต่นักคณิตศาสตร์เข้าใจการสร้างด้วยวงเวียนและสันตรงลึกซึ้งขึ้น
- Gauss รู้ว่าการสร้างรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าสามารถลดรูปเป็นปัญหาการ สร้างส่วนของเส้นตรง ที่มีความยาวเฉพาะได้
- หากต้องการสร้างรูป 17 เหลี่ยมด้านเท่า ให้เลือกจุด A บนวงกลมหนึ่งหน่วยที่มีรัศมี 1 แล้วสร้างจุด B ซึ่งเคลื่อนไปรอบเส้นรอบวงอย่างแม่นยำเท่ากับ 1 ใน 17 ของวงกลม
- หากสร้างจุด B ได้ ก็ทำงานเดิมซ้ำรอบเส้นรอบวงทั้งหมด แล้วใช้สันตรงเชื่อมจุดต่าง ๆ เพื่อให้ได้รูป 17 เหลี่ยมด้านเท่า
- ท้ายที่สุด แก่นของปัญหาคือสามารถวาดส่วนของเส้นตรง x ที่มีความยาวเฉพาะได้หรือไม่ ซึ่งเขียนเป็นสูตรได้ว่า x = cosine(2π/17)
ความยาวที่สร้างได้และการดำเนินการห้าแบบ
- ในยุคของ Gauss มีเกณฑ์ที่รู้กันแล้วว่าความยาวแบบใดสร้างได้ด้วยวงเวียนและสันตรง
- ความยาวหนึ่งจะสร้างได้อย่างแม่นยำเมื่อสามารถแสดงได้ด้วยการใช้เพียง การบวก การลบ การคูณ การหาร และรากที่สอง กับจำนวนเต็ม
- ตัวอย่างเช่น √(99/5) อยู่ในรูปที่นำการหารและรากที่สองไปใช้กับ 99 และ 5 จึงสร้างได้
- ในทางกลับกัน π และรากที่สามของ 2 ไม่สามารถแสดงได้ด้วยการดำเนินการทั้งห้านี้เท่านั้น จึงสร้างไม่ได้
- การกระทำที่เครื่องมือสร้างรูปของกรีกโบราณอนุญาตสอดคล้องกับการดำเนินการตามธรรมชาติของพีชคณิตสมัยใหม่
- เพราะสมการของเส้นตรงและวงกลมใช้เพียงการดำเนินการทั้งห้านี้ ซึ่งเป็นมุมมองที่ Euclid ในยุคก่อนพีชคณิตคงจินตนาการได้ยาก
การพิสูจน์และการจำแนกรูป 17 เหลี่ยมด้านเท่า
- ที่จริงแล้ว Gauss ไม่ได้วาดรูป 17 เหลี่ยมด้านเท่า
- แต่เขาแสดงความยาว cosine(2π/17) ที่จำเป็นต่อรูป 17 เหลี่ยมด้านเท่า ด้วยการดำเนินการทางพีชคณิตห้าแบบที่วงเวียนและสันตรงอนุญาตเท่านั้น เพื่อพิสูจน์ว่ารูปนี้สร้างได้ในหลักการ
- นิพจน์ดังกล่าวซับซ้อน และแสดงให้เห็นว่า Gauss ซึ่งยังเป็นวัยรุ่นในตอนนั้นทุ่มเทความพยายามอย่างมากกับปัญหานี้
- ยิ่งไปกว่านั้น Gauss ยังระบุลักษณะได้ด้วยว่ารูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าใดสร้างได้และรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าใดสร้างไม่ได้
- ในปี 1837 Pierre Wantzel ให้การพิสูจน์อย่างเคร่งครัดว่าการจำแนกของ Gauss ไม่มีกรณีที่ตกหล่น
- ผลก็คือ รูป 7 เหลี่ยมด้านเท่าและรูป 11 เหลี่ยมด้านเท่าไม่สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและสันตรงเท่านั้น และยังมีรูปทรงที่เป็นไปไม่ได้ในแบบเดียวกันอีกไม่สิ้นสุด
ร่องรอยที่ไม่ได้อยู่บนป้ายหลุมศพ แต่อยู่บนอนุสาวรีย์
- ตามคำบอกเล่าของ G. Waldo Dunnington ผู้เขียนชีวประวัติ Gauss ภูมิใจมากที่ได้แก้ปัญหาที่มีอายุหลายพันปี และบอกเพื่อนว่าอยากให้มีรูป 17 เหลี่ยมด้านเท่าบนป้ายหลุมศพของตน
- บนป้ายหลุมศพจริงไม่ได้สลักรูป 17 เหลี่ยมด้านเท่าไว้
- แทนกันนั้น ด้านหลังอนุสาวรีย์ใน Brunswick ประเทศเยอรมนี ซึ่งเป็นบ้านเกิดของ Gauss มีการสลัก ดาวที่มี 17 จุดยอด ไว้
- ช่างหินเลือกใช้รูปดาว เพราะเห็นว่าผู้คนคงแยกรูป 17 เหลี่ยมด้านเท่าออกจากวงกลมไม่ได้
1 ความคิดเห็น
ความเห็นจาก Hacker News
แม้เวลาจะผ่านไป 200 ปีหลัง Gauss และคณิตศาสตร์ก้าวหน้าไปมากแล้ว แต่เราก็ยังไม่รู้ว่าในบรรดา รูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจำนวนด้านเป็นเลขคี่ ซึ่งสร้างได้ด้วยวิธีแบบยุคลิด รูปที่มีจำนวนด้านมากที่สุดในเชิงทฤษฎีคืออะไร
ถ้าสงสัย ขอเสริมว่า คำตอบถูกลดรูปไปเป็นการผสมกันของตัวคูณของ จำนวนเฉพาะแฟร์มา แต่เพราะหลังจาก 3, 5, 17, 257, 65537 ยังไม่มีใครรู้ว่ามีจำนวนเฉพาะแฟร์มาอื่นอีกหรือไม่ อ้างอิง: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon
มีวิดีโอ YouTube สองตอนที่ยอดเยี่ยมเกี่ยวกับบทพิสูจน์นี้
ปัญหาเรื่องรูปหลายเหลี่ยมปกติที่สร้างได้และภาพรวมของบทพิสูจน์: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM
คำอธิบายบทพิสูจน์แบบเต็ม: https://www.youtube.com/watch?v=Gdy1u4lsjDw
ช่วงท้ายมีการสร้างรูปที่ใช้แทนเลขที่อาคารบนด้านหน้าอาคาร Mathematical Sciences Research Institute(MSRI) ที่ 17 Gauss Way, UC Berkeley
ส่วนที่ว่า “ความยาวที่สร้างได้อย่างแม่นยำมีเฉพาะความยาวที่แสดงได้ด้วยการนำจำนวนเต็มมาใช้กับการบวก ลบ คูณ หาร และรากที่สอง” นั้นน่าสนใจ
มุมมองคือ เหตุผลที่ไม้บรรทัดและวงเวียนของกรีกโบราณตรงกับการดำเนินการตามธรรมชาติของพีชคณิตสมัยใหม่อย่าง +, –, ×, /, √ ได้พอดี ก็เพราะ สมการของเส้นตรงและวงกลม ใช้เพียงการดำเนินการทั้งห้านี้เท่านั้น ดูเพิ่มเติม: https://en.wikipedia.org/wiki/CORDIC
แนะนำให้ทุกคนลอง การสร้างด้วยวงเวียนและไม้บรรทัด ด้วยตัวเองสักสองสามแบบ เป็นงานที่ให้ความพึงพอใจและคล้ายการทำสมาธิได้ทีเดียว
Oliver Byrne ทำ Elements ของ Euclid เป็นฉบับสีที่สวยมาก และดูออนไลน์ได้ เตรียมปากกา กระดาษ เชือกสำหรับวาดวงกลม และสันหนังสือสำหรับวาดเส้นตรง แล้วเริ่มทำตั้งแต่ Proposition 1 ไปได้เท่าที่อยากทำ: https://www.c82.net/euclid/book1/#prop1
ยังมีฉบับพิมพ์จำลองของ Elements ของ Byrne ด้วย(ISBN:9783836577380) เป็นหนึ่งในของที่ผมเพิ่มเข้าห้องสมุดแล้วดีที่สุด และสวยงามจริง ๆ
สงสัยว่าด้านหลังหลุมศพของ Gauss มี ดาว 17 แฉก อยู่จริงไหม หาภาพออนไลน์ไม่เจอ
คนที่อาจเรียกได้ว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล[2] ต้องการการอุทิศเฉพาะเจาะจงเพื่อระลึกถึงผลงานที่เขาทำได้ตอนเป็นวัยรุ่น และเป็นการแก้ปัญหาที่ค้างคามานานกว่า 2000 ปี แต่มีใครบางคนขี้เกียจเลยไม่ได้ทำ เรื่องทั้งหมดรวมถึงการสร้างรูปแบบเต็มอธิบายไว้ดีที่นี่: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM
[1] ภาพ: https://www.atlasobscura.com/places/grave-of-carl-friedrich-...
[2] ผมโหวต Euler แต่หลายคนเลือก Gauss
แต่มีรูปปั้นที่มีดาวนั้นอยู่: https://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F#/medi...
เหตุผลที่ผลลัพธ์นี้น่าสนใจ คือมันแสดงให้เห็นว่า พีชคณิต ที่พัฒนามาหลายร้อยปี ย้อนกลับมาช่วยปรับปรุง เรขาคณิตแบบยุคลิด ได้อย่างไร
ถ้าไม่มีพื้นความรู้ คงไม่รู้ด้วยซ้ำว่าทำไมปัญหานี้ถึงน่าสนใจ แรงจูงใจค่อนข้างคล้ายกับ Langlands program
ถ้าอ่านบทความคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ อาจรู้สึกเหมือนว่า นักคณิตศาสตร์ยุคกลาง ไม่ได้มีส่วนร่วมอะไรเลย
น่าแปลกที่ผู้เขียนมักไม่ลืมกล่าวถึงผลงานของนักคณิตศาสตร์กรีกอย่าง Euclid แต่ในกรณีนี้กลับกระโดดตรงไปยังนักคณิตศาสตร์หลังยุคเรอเนซองส์อย่าง Gauss ซึ่งเป็นตัวเอกของเรื่อง แล้วข้ามเวลาเกือบพันปีไปอย่างสะดวกและไร้ความรู้
ในช่วงเวลาราวพันปีนั้น นักคณิตศาสตร์จากอินเดียและตะวันออกกลางเป็นผู้นำ และบุคคลอย่าง Āryabhaṭa, Brahmagupta, Al-Khwarizmi ก็มีส่วนสำคัญต่อความเข้าใจคณิตศาสตร์สมัยใหม่
น่าสนใจมาก แต่อยากถามคนที่รู้บทพิสูจน์ของ Gauss ดีกว่านี้ว่า ทำไม รูปห้าเหลี่ยม จึงสร้างได้ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน แต่รูป 7 เหลี่ยมหรือ 11 เหลี่ยมทำไม่ได้? ทำไมจำนวนเฉพาะบางตัวทำได้ แต่บางตัวทำไม่ได้?
ในกรณีของ 17 Gauss พบว่า cos(360°/17) สามารถเขียนได้ด้วยการดำเนินการพื้นฐานเท่านั้น: https://www.heise.de/imgs/18/2/1/2/3/3/6/4/siebzehneck-b95b5...
ต่อมาเขาพิสูจน์ได้ว่า รูป n เหลี่ยมทุกแบบที่ $n=2^k*p_1…*p_r$ และ p_i เป็นจำนวนเฉพาะแฟร์มา (จำนวนเฉพาะในรูป 2^(2^m)+1 ซึ่งปัจจุบันที่รู้จักมีเพียง 3, 5, 17, 257, 65537) สามารถสร้างด้วยวงเวียนและสันตรงได้ ส่วนทิศทางกลับกัน คือ n อื่น ๆ ทั้งหมดไม่สามารถสร้างได้ ต้องรออีกหลายปีกว่าจะมีการพิสูจน์ ลองค้นหา “ทฤษฎีบท Gauss-Wantzel” ดูได้ ผมแค่ไล่อ่านบทพิสูจน์คร่าว ๆ แต่ดูเหมือนเป็นการทำแนวคิดเรื่องการสร้าง cos ของมุมให้เป็นทั่วไปด้วย ทฤษฎีกาลัวส์ แก้ไข: หรือดู https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon
ในจำนวนเชิงซ้อน จุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมคือ z^5-1=0 สมการนี้แยกตัวประกอบได้เป็น (z^4+z^3+z^2+z+1)*(z-1)=0 และส่วนที่ยากคือการแก้ z^4+z^3+z^2+z+1=0
สมการนี้แยกตัวประกอบต่อไม่ได้และมีดีกรี 4 คำตอบมีคุณสมบัติบางอย่างที่เกี่ยวกับดีกรีของสมการ และจุดสำคัญคือคุณสมบัตินั้นเป็น 4
ด้วยวงเวียนและสันตรง เราแก้ได้เฉพาะสมการดีกรี 2 หรือเทียบเท่ากับการถอดรากที่สองเท่านั้น เมื่อทำซ้ำ จะสามารถแก้สมการดีกรี 4 บางส่วนได้ ดังนั้นเมื่อใช้กลเม็ดบางอย่าง ก็จะแก้สมการและวาดรูปห้าเหลี่ยมได้
ในกรณีของ 17 สมการคือ z^16+z^15+...+z+1=0 ดังนั้นคุณสมบัติจึงเป็น 16 และต้องใช้รากที่สองหลายครั้ง ทุกครั้งคุณสมบัติของคำตอบจะเพิ่มเป็นสองเท่า จาก 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16 ในสูตรช่วงท้ายบทความจะเห็นรากที่สองซ้อนและทำซ้ำอยู่มากมาย
ในกรณีของ 7 สมการคือ z^6+z^5+...+z+1=0 คุณสมบัติของคำตอบคือ 6 ด้วยรากที่สอง เราทำได้แค่เพิ่มคุณสมบัติเป็นสองเท่า จึงไปได้เป็น 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16 -> 32 ... แต่ไม่มีทางไปถึงคำตอบที่มีคุณสมบัติเป็น 6 ได้เลย
รายละเอียดทางเทคนิคยังมีอีก เช่น เพื่อวาดรูป 17 เหลี่ยม เราแก้สมการดีกรี 16 ได้บางส่วน แต่ไม่ได้หมายความว่าแก้สมการดีกรี 16 ได้ทั้งหมด
ไม่ต้องแปลกใจถ้าวิดีโอค่อนข้างยาว เพราะเขาใช้เวลากับเนื้อหาง่าย ๆ เพื่อให้ผู้ชมทั่วไปเข้าใจพื้นฐานได้ค่อนข้างดี
[1]: https://youtube.com/@anotherroof
รูป 7 เหลี่ยม ไม่เคยรู้สึกว่าเป็นปัญหาขนาดนั้น
ทำให้แม่นตรงเป๊ะไม่ได้ก็จริง แต่ทำให้ได้ความแม่นยำตามต้องการได้ อย่างน้อยก็จนกว่าจะชนขีดจำกัดความละเอียดของวงเวียนกับสันตรง
เพราะ 1/7 = 1/8 + 1/64 + 1/512 + 1/4096 + 1/32768... เลยถึงขีดจำกัดความละเอียดของมนุษย์ได้เร็ว
โดยทั่วไป 1/(2^n - 1) สามารถเขียนเป็นผลรวมอนันต์ หรืออนุกรมที่เข้าใกล้อย่างไม่มีที่สิ้นสุดได้ 1/(2^n - 1) คือผลรวมของ 1/(2 ^ (x * n)) เมื่อ x ไปตั้งแต่ 1 ถึงอนันต์ และทุกคนก็รู้วิธีแบ่งความยาวส่วนโค้งเป็นเศษส่วนกำลังของ 2 อยู่แล้ว
เริ่มจากวงกลมเต็ม เอาชิ้นแรกมา แล้วแบ่งชิ้นที่สองต่อเพื่อเอาชิ้นแรกอีก ทำแบบนี้โดยบวกชิ้นเล็ก ๆ ไปเรื่อย ๆ ก็จะเข้าใกล้ 1/7 ได้มากพอ วัดความยาวนั้นด้วยวงเวียนแล้วแบ่งส่วนที่เหลือต่อ หากทำซ้ำมากพอจนเมื่อทำเครื่องหมายครบอีก 6 จุดแล้วเกือบจะชนกับจุดเริ่มต้น ก็ไม่ต้องกังวลมากนัก
ถึงอย่างนั้น แค่ไปให้ถึงความละเอียด 1/4096 ด้วยวงเวียนและสันตรงก็น่าทึ่งแล้ว และ 1/32768 คงไม่มีใครทำได้แน่นอน
คือข้ออ้างว่า เส้นโค้ง Hilbert ปกคลุมทั้งสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยสี่เหลี่ยมจัตุรัสประกอบด้วยจุดมีขอบเขตทั้งหมดในรูป [จำนวนจริง, จำนวนจริง] แต่ในการสร้างจุดยอดแบบเวียนเกิดที่เป็นจำนวนตรรกยะ หนึ่งในสองค่าของพิกัดแต่ละคู่จะต้องเป็นจำนวนตรรกยะเสมอ เพียงแต่เป็นรูปที่ตัวส่วนเป็นเลขชี้กำลังจำนวนเต็มอนันต์ของ 2
ต่อให้มันปกคลุมทั้งหมดของ [จำนวนจริง, จำนวนตรรกยะ] + [จำนวนตรรกยะ, จำนวนจริง] ได้ ซึ่งจริง ๆ แล้วก็ไม่ได้เป็นเช่นนั้น มันก็ยังไปไม่ถึงทั้งหมดของ [จำนวนจริง, จำนวนจริง] อยู่ดี
โดยสรุปแล้ว 100% ของระนาบไม่ได้อยู่บนเส้นโค้ง และในขณะเดียวกัน 100% ของระนาบก็อยู่ภายในระยะอนันต์เล็กจากเส้นโค้ง
ผมคิดว่าแบบนี้น่าสนใจกว่าการบอกว่าทั้งหมดอยู่ในนั้น เพราะจริง ๆ แล้วมันไม่ได้อยู่ในนั้น
ถ้าอนุญาตให้ใช้อนุกรมอนันต์ ก็ประมาณค่าอะไรก็ได้ด้วยอนุกรม Taylor
แค่ต้องหาส่วนของเส้นตรงที่ยาว 2*sin(π/7) เท่าของรัศมี ค่านี้คือ 0.86777 และเมื่อยกกำลังสองได้ 0.7530 ซึ่งค่อนข้างใกล้กับ 0.75 หรือ 1 - (1/2)^2
ดังนั้นถ้าสร้างสามเหลี่ยมที่มีความสูงเท่ากับครึ่งหนึ่งของรัศมีและมีด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับรัศมี อีกด้านจะยาว 0.8660 ซึ่งต่างจากค่าจริงไม่ถึง 0.001 และแม่นกว่าที่ผมจะวาดได้ด้วยสันตรงกับวงเวียนมาก