ตรรกะ
ตรรกะคืออะไร
- ตรรกะคือศาสตร์ของสิ่งที่เป็นไปได้ และเป็นรากฐานของศาสตร์อื่นทั้งหมด
- หากวิทยาศาสตร์อธิบายว่าจักรวาลทำงานอย่างไร ตรรกะคือส่วนของคำอธิบายที่สามารถใช้ได้กับทุกจักรวาล
- ตรรกะศึกษากฎที่ใช้สรุปว่าข้อเท็จจริงอีกข้อหนึ่งเป็นจริงได้ เมื่อเรารู้ข้อเท็จจริงข้อหนึ่ง
ตรรกะและคณิตศาสตร์
- ตรรกะมีลักษณะคล้ายกับทฤษฎีเซตและทฤษฎีหมวดหมู่ และทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ก็คือตรรกะที่เพิ่มนิยามเข้าไป
- ทฤษฎีเซตสามารถนิยามได้โดยการเพิ่มความสัมพันธ์ปฐมฐานหนึ่งอย่างเข้าไปในสัจพจน์มาตรฐานของตรรกะ
ประพจน์พื้นฐาน
- เนื่องจากตรรกะเป็นศาสตร์ของสิ่งที่เป็นไปได้ จึงจำเป็นต้องมีชุดประพจน์ตั้งต้นที่ยอมรับว่าเป็นจริงหรือเท็จ
- ประพจน์เหล่านี้เรียกว่า "สมมติฐาน", "ประพจน์พื้นฐาน" หรือ "ประพจน์อะตอม"
การประกอบประพจน์
- แก่นสำคัญของตรรกะคือแนวคิดเรื่องการประกอบ โดยสามารถรวมหลายประพจน์เข้าด้วยกันโดยใช้ตัวกระทำเชิงตรรกะ
- ตัวกระทำเชิงตรรกะประกอบด้วย "และ", "หรือ", "ดังนั้น" เป็นต้น
ความสมมูลของประพจน์พื้นฐานและประพจน์ประกอบ
- ประพจน์ที่ประกอบจากหลายสมมติฐานไม่ได้แตกต่างจากประพจน์พื้นฐาน และถูกประกอบขึ้นในแบบเดียวกัน
การอ้างแบบขัดแย้ง
- การอ้างแบบขัดแย้งเป็นหนึ่งในประพจน์เชิงตรรกะที่เก่าแก่ที่สุด โดยแสดงว่าเมื่อ A เป็นจริง และ A อนุมานให้เกิด B แล้ว B ก็เป็นจริงด้วย
สัจจริงโดยตัวเอง
- สัจจริงโดยตัวเองคือประพจน์ที่เป็นจริงเสมอ ส่วนสิ่งตรงข้ามคือข้อขัดแย้งที่เป็นเท็จเสมอ
- สัจจริงโดยตัวเองถูกใช้เป็นพื้นฐานของแบบแผนสัจพจน์/กฎการอนุมาน
ระบบตรรกะ
- สามารถสร้างประพจน์ใหม่ได้โดยใช้แบบแผนสัจพจน์/กฎการอนุมาน
- ระบบตรรกะประกอบด้วยชุดแบบแผน/กฎขนาดเล็กเหล่านี้
บทสรุป
- เพื่อทำความเข้าใจองค์ประกอบหลักของตรรกะ (สัจพจน์, กฎการอนุมาน) จำเป็นต้องพิสูจน์ผ่านการตีความเฉพาะ
ตรรกะแบบคลาสสิก: การตีความเชิงฟังก์ชันค่าความจริง
- ตรรกะแบบคลาสสิกตั้งอยู่บนพื้นฐานของทฤษฎีมโนคติของเพลโต และทุกประพจน์เป็นจริงหรือเท็จ
- ตัวกระทำเชิงตรรกะแสดงในรูปฟังก์ชันที่รับค่าบูลีนเป็นอินพุตและคืนค่าบูลีนอื่นออกมา
ตรรกะแบบสัญชาตญาณนิยม: การตีความแบบ BHK
- ตรรกะแบบสัญชาตญาณนิยมถือว่าความจริงคือการสร้างบทพิสูจน์ และปฏิเสธการแบ่งทุกประพจน์ออกเป็นจริงหรือเท็จแบบทวิภาค
- ในการตีความแบบ BHK การที่ประพจน์เป็นจริงหมายความว่ามีบทพิสูจน์สำหรับมัน
การตีความตรรกะเป็นหมวดหมู่
- การตีความแบบ BHK มอบมุมมองระดับสูงที่ทำให้สามารถตีความตรรกะบนพื้นฐานของทฤษฎีหมวดหมู่ได้
- สมมูลแบบ Curry-Howard อธิบายความคล้ายคลึงระหว่างตรรกะกับภาษาโปรแกรม
ข้อสรุปของ GN⁺
- ตรรกะเป็นส่วนพื้นฐานของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ และมีบทบาทสำคัญในหลากหลายสาขา
- ตรรกะแบบคลาสสิกและตรรกะแบบสัญชาตญาณนิยมมีภูมิหลังทางปรัชญาที่ต่างกัน และอาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ต่างกันตามการตีความของแต่ละแบบ
- ระบบตรรกะเป็นเครื่องมือทรงพลังที่สามารถสร้างประพจน์ใหม่ผ่านสัจพจน์และกฎการอนุมาน
- การตีความตรรกะสามารถเชื่อมโยงกับทฤษฎีหมวดหมู่ได้ ซึ่งยิ่งน่าสนใจขึ้นผ่านความคล้ายคลึงกับภาษาโปรแกรม
ยังไม่มีความคิดเห็น