- แมนิโฟลด์(manifold) คือ แนวคิดทางคณิตศาสตร์ของปริภูมิ ที่เมื่อมองในระดับเฉพาะที่แล้วดูเหมือนระนาบ แต่โดยรวมมีโครงสร้างที่ซับซ้อนกว่านั้น
- แนวคิดนี้ซึ่ง รีมันน์(Bernhard Riemann) เสนอขึ้นในศตวรรษที่ 19 ได้ขยายความเข้าใจเรื่องปริภูมิจากการเป็นฉากหลังทางกายภาพ ไปสู่การเป็น วัตถุอิสระสำหรับการศึกษา
- อาศัย คุณสมบัติที่แต่ละจุดดูเหมือนปริภูมิยูคลิด นักคณิตศาสตร์จึงใช้ เครื่องมือแคลคูลัสแบบดั้งเดิมเพื่อคำนวณพื้นที่ ปริมาตร และการเคลื่อนที่ เป็นต้น
- ผ่าน แผนที่(chart) และ แอตลาส(atlas) เราสามารถแบ่งปริภูมิที่ซับซ้อนออกเป็นหลายส่วนเพื่อวิเคราะห์ และนำผลมาประกอบกันเพื่อทำความเข้าใจโครงสร้างทั้งหมด
- ปัจจุบัน แมนิโฟลด์ได้กลายเป็น ภาษาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ที่มีบทบาทสำคัญใน ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป โทโพโลยี การวิเคราะห์ข้อมูล และฟิสิกส์
การก่อรูปของแนวคิด
- ตั้งแต่สมัยโบราณ เรขาคณิตเป็นศาสตร์ที่ศึกษาทั้งเส้นตรงและระนาบใน ปริภูมิยูคลิด
- ในปริภูมินี้ ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างสองจุดคือเส้นตรง และผลรวมมุมภายในของสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา
- ช่วงต้นศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์เริ่มสำรวจ ปริภูมิแบบโค้ง และค้นพบปรากฏการณ์ที่เส้นขนานอาจตัดกัน หรือผลรวมมุมภายในของสามเหลี่ยมอาจเปลี่ยนไป
- รีมันน์ ได้ต่อยอดงานศึกษาพื้นผิวโค้งของเกาส์ และเสนอทฤษฎีทั่วไปที่สามารถนิยามเรขาคณิตได้ใน ปริภูมิทุกมิติ
- เขานำเสนอแนวคิดนี้ในการบรรยายที่มหาวิทยาลัยเกิททิงเงินในปี 1854 และต่อมาแนวคิดนี้ได้กลายเป็นรากฐานของ โทโพโลยีสมัยใหม่และทฤษฎีสัมพัทธภาพ
- แม้ในเวลานั้นจะถูกมองว่าเป็นนามธรรมเกินไปจนถูกมองข้าม แต่ผ่านงานของ ปวงกาเรและไอน์สไตน์ ภายในกลางศตวรรษที่ 20 มันก็กลายเป็นแนวคิดมาตรฐานของคณิตศาสตร์
นิยามและโครงสร้างของแมนิโฟลด์
- “Manifold” มีรากศัพท์มาจากคำเยอรมันของรีมันน์คือ Mannigfaltigkeit(ความหลากหลาย)
- แมนิโฟลด์คือ ปริภูมิที่ในระดับเฉพาะที่ดูเหมือนปริภูมิยูคลิด ตัวอย่างเช่น วงกลมเป็นแมนิโฟลด์หนึ่งมิติ
- มดที่อยู่บนวงกลมจะไม่รับรู้ว่าตัวเองอยู่บนเส้นโค้ง
- ในทางกลับกัน เส้นโค้งรูปเลข 8 ไม่ใช่แมนิโฟลด์ เพราะที่จุดตัดมันไม่ได้ดูเหมือนเส้นตรง
- พื้นผิวโลกเป็นแมนิโฟลด์สองมิติ แต่จุดยอดของ กรวยคู่(double cone) ไม่ใช่
- แก่นสำคัญของแมนิโฟลด์คือการมุ่งเน้นที่ สมบัติภายในตัวเอง
- แทนที่จะสนใจสมบัติที่เปลี่ยนไปตามมิติหรือรูปร่างภายนอกของปริภูมิ จะใช้ การประมาณแบบยูคลิด ณ แต่ละจุดในการวิเคราะห์
- เพื่อทำเช่นนี้ นักคณิตศาสตร์จะแบ่งปริภูมิออกเป็นหลาย แพตช์(patch) และแทนแต่ละแพตช์ด้วย ระบบพิกัด(chart)
- จากนั้นกำหนดกฎการแปลงพิกัดในบริเวณที่ซ้อนทับกัน และเรียกชุดทั้งหมดนี้ว่า แอตลาส(atlas)
- ด้วยแอตลาส เราสามารถแบ่งปริภูมิที่ซับซ้อนออกเป็น ชิ้นส่วนแบบยูคลิดขนาดเล็ก เพื่อคำนวณ แล้วรวมผลลัพธ์เข้าด้วยกันเพื่อเข้าใจโครงสร้างทั้งหมด
- แนวทางนี้ปัจจุบันถูกใช้เป็นมาตรฐานใน คณิตศาสตร์และฟิสิกส์โดยรวม
การใช้งานของแมนิโฟลด์
- ใน ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป กาลอวกาศเป็นแมนิโฟลด์สี่มิติ และ แรงโน้มถ่วงถูกอธิบายด้วยความโค้งของมัน
- ปริภูมิสามมิติที่เรารับรู้ก็เป็นแมนิโฟลด์เช่นกัน โดยในระดับเฉพาะที่มันดูเหมือนระนาบ แต่รูปร่างโดยรวมยังไม่ถูกอธิบายได้อย่างสมบูรณ์
- นักฟิสิกส์แปลงปัญหาต่าง ๆ ให้อยู่ในภาษาของแมนิโฟลด์เพื่อใช้ สมบัติทางเรขาคณิต
- ตัวอย่าง: หากแทนสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ ลูกตุ้มคู่(double pendulum) ด้วยมุมสองค่า ปริภูมิสถานะนั้นจะกลายเป็นแมนิโฟลด์ ทรงโดนัท(โทรัส)
- การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มจะแสดงเป็นเส้นทางบนโทรัสนี้ และช่วยให้วิเคราะห์การเคลื่อนที่ที่ซับซ้อนได้ในเชิงเรขาคณิต
- ในทำนองเดียวกัน เซตคำตอบของสมการพีชคณิตที่ซับซ้อน หรือ ข้อมูลมิติสูง(เช่น กิจกรรมของเซลล์ประสาทในสมอง) ก็สามารถตีความเป็นแมนิโฟลด์เพื่อทำความเข้าใจโครงสร้างได้
- แมนิโฟลด์เป็น ภาษาพื้นฐาน ของทั้งคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ และถูกมองว่าเป็นเครื่องมือที่ “ใช้กันแพร่หลายพอ ๆ กับการใช้ตัวเลข”
1 ความคิดเห็น
ความเห็นจาก Hacker News
หนังสือแน่นมากแต่โครงสร้างเรียบเรียงได้สวยงาม เชื่อมจากโทโพโลยีพื้นฐานไปสู่ smooth map และ tangent space อย่างเป็นเหตุเป็นผล
ต้องใช้สมาธิพอสมควร แต่คำนิยามแต่ละข้อมีส่วนช่วยเผยให้เห็นแก่นของเรขาคณิต แนะนำมาก
Topological Manifolds ของ Lee ก็ดีเช่นกัน และ Riemannian Manifolds ฉบับล่าสุดควรเลือกอ่านเฉพาะส่วนที่จำเป็น
ไม่ได้แย่ แต่ฉันรู้สึกว่ามันยังขาดในแง่ความเข้มงวด ทางเลือกที่ดีกว่ามากสำหรับฉันคือ Manifolds and Differential Geometry ของ Jeffrey M. Lee
ไม่ได้ให้แค่คำนิยาม แต่ยังอธิบายอย่างน่าสนใจว่ามโนทัศน์ทางคณิตศาสตร์พัฒนามาอย่างไร
ฟีดจริงคือ https://www.quantamagazine.org/feed/
ตัวอย่างเช่น อธิบายปริภูมิของสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ ลูกตุ้มคู่ (double pendulum) ว่าเป็นแมนิโฟลด์ แต่ไม่ได้ทำให้ชัดว่าทำไมจึงต้องมองมันเป็นแมนิโฟลด์
อีกทั้งยังอธิบายแนวคิดเรื่อง atlas ไม่เพียงพอ แม้แต่ทรงกลมธรรมดาก็ไม่สามารถครอบด้วยระนาบเดียวได้ จึงต้องใช้หลายระบบพิกัด และประเด็นสำคัญอยู่ที่การจัดการส่วนที่ซ้อนทับกัน
อีกอย่าง ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ปริภูมิ-เวลาไม่ใช่ Riemannian แต่เป็น ปริภูมิ Minkowski
ฉันคิดว่านี่เป็นหนึ่งในสื่อวารสารศาสตร์วิทยาศาสตร์ที่คุณภาพดีที่สุดในตอนนี้
จริงจัง ไม่คลิกเบต และการผสมผสานระหว่าง ไดอะแกรมเชิงเทคนิคกับภาพประกอบเชิงศิลป์ ก็ยอดเยี่ยม
พอดแคสต์ก็ดี แต่ถ้ามีเวอร์ชันอ่านบทความทั้งหมดให้ฟังก็คงดี
แถมยังไม่มี เพย์วอลล์ ป๊อปอัปคุกกี้ หรือการยั่วยุทางการเมือง เลย
แต่ด้วยบทความและภาพประกอบ ทำให้เข้าใจแนวคิดนี้ดีขึ้นมาก
หรือเป็นแค่การพูดเชิงเปรียบเทียบถึง ปริภูมิย่อยที่แฝงอยู่ เท่านั้น
การสมมติว่าข้อมูลส่วนใหญ่อยู่บนแมนิโฟลด์จริงๆ ถือว่าสมเหตุสมผล
เช่น ถ้าค่อยๆ บิดเปลี่ยนเลขเขียนมือ ‘6’ มันก็ยังถูกรับรู้ว่าเป็น ‘6’ อยู่ดี
แต่ถ้าใช้ activation function แบบ ReLU ความเรียบจะขาดหายไป ทำให้ representation space ของโครงข่ายประสาทไม่ใช่แมนิโฟลด์จริง
ในทางกลับกัน ถ้าใช้ activation function ที่เรียบอย่าง Swish ก็อาจคงโครงสร้างนี้ไว้ได้
มีงานวิจัยน่าสนใจที่นำการวิเคราะห์เชิงเรขาคณิตมาใช้กับกระบวนการเรียนรู้ของโครงข่ายประสาท
เขาว่าพบปรากฏการณ์คล้าย phase transition ระหว่างการฝึก
Information Geometry of Evolution of Neural Network Parameters While Training
ตัวอย่างเช่น ข้อมูลแบบ y=sin(x)+noise อาจมองได้ว่าเป็นแมนิโฟลด์หนึ่งมิติ
แต่เพราะ curse of dimensionality ฉันก็ยังสงสัยว่านิยามแบบนี้มีประโยชน์เชิงอัลกอริทึมจริงแค่ไหน
ลิงก์ Wikipedia
พูดตามตรง ฉันไม่ได้เข้าใจทั้งหมด แต่ภาพสวยมาก
ค้นหารูปภาพใน Google
มันคือ ปริภูมิพิเศษที่เรียบและสมมาตร ซึ่งในระดับเฉพาะที่ดูแบน แต่ในภาพรวมโค้งงออย่างซับซ้อน
ความโค้งสมดุลกันอย่างสมบูรณ์จนโดยรวมไม่มีการขยายหรือหดตัว
ในทฤษฎีสตริง แมนิโฟลด์ชนิดนี้ใช้เพื่ออธิบาย มิติที่ซ่อนอยู่ และรูปร่างของมันส่งผลต่อคุณสมบัติของอนุภาคและแรง
ภายนอกดูเหมือนการให้เหตุผลแบบวนซ้ำ แต่จริงๆ แล้ว สมบัติการแปลง นั่นเองที่แยกเทนเซอร์ออกจากอาร์เรย์ของตัวเลขทั่วไป
ถ้ามองแบบนามธรรมก็สะดวก เพราะไม่ต้องยึดติดกับการมองภาพ
แต่แก่นแท้จริงๆ คือ โครงสร้างเชิงเรขาคณิต ที่ไม่ขึ้นกับระบบพิกัด
ตัวอย่างเช่น ปริภูมิ Minkowski ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสามารถนิยามได้โดยไม่ต้องอ้างพิกัด
ถ้ามองว่าเทนเซอร์เป็น แผนที่หลายเชิงเส้น ที่รับเวกเตอร์และโคเวกเตอร์แล้วให้ผลเป็นจำนวนจริง จะชัดเจนกว่ามาก
เรียนแต่กฎการแปลง แต่ไม่ได้อธิบายว่าทำไมจึงเป็นเช่นนั้น
ในทางกลับกัน นิยามแบบคณิตศาสตร์ช่วยให้เข้าใจได้ลึกกว่ามากผ่าน differential form และ covector
เพราะในนิยามมีตัวมันเองรวมอยู่ด้วย
ขอแค่รัศมีมากกว่า 0 ก็พอ
มันดูแทบจะเป็นตัวอย่างของแมนิโฟลด์อยู่แล้ว เลยสงสัยว่าทำไม
นักทำแผนที่สนใจหลักๆ เรื่อง ความบิดเบี้ยว (distortion) ซึ่งก็มีวิธีการที่เหมาะกับเรื่องนี้อยู่แล้ว
อีกทั้งแมนิโฟลด์นิยามด้วย พิกัดเฉพาะที่ (local charts) ไม่ใช่ พิกัดทั่วปริภูมิ (global coordinates) ดังนั้นพิกัดของแต่ละบริเวณจึงไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกัน
ในเชิงประวัติศาสตร์ การทำแผนที่ก็มีมาก่อนแนวคิดเรื่องแมนิโฟลด์นานมากแล้ว
แต่ในบางภาษาใช้คำเดียวกันสำหรับทั้งสองอย่าง เช่นในภาษาอิตาลี ทั้งคู่คือ varietà
ดูคำอธิบายที่เกี่ยวข้องได้ใน คำตอบบน math.stackexchange
ความหมายเดิมที่รู้จักอยู่แล้วติดอยู่ในหัวและรบกวนความเข้าใจแนวคิดใหม่
ถ้ามีการอธิบาย รากศัพท์ ควบคู่ไปด้วยน่าจะช่วยได้มาก
มักเป็นกรณีที่มีสองปริภูมิพันเกี่ยวกันอยู่ เช่น ระบบไอดีและไอเสีย