ทุกคนสามารถคิดแบบคณิตศาสตร์ได้ และได้รับประโยชน์จากมัน
(quantamagazine.org)- นักคณิตศาสตร์ David Bessis มองว่าคณิตศาสตร์ไม่ใช่การจัดการสัญลักษณ์ แต่คือ บทสนทนาระหว่างสัญชาตญาณกับตรรกะ และผู้คนก็ใช้การคิดแบบนี้อยู่แล้วในชีวิตประจำวัน
- Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity เชื่อมโยงคณิตศาสตร์เข้ากับ ประสบการณ์ภายใน ของมนุษย์ ผ่านสิ่งที่เกิดขึ้นในหัวของนักคณิตศาสตร์
- กรณีของ Bill Thurston, Alexander Grothendieck และ René Descartes สนับสนุนแนวคิดที่ว่าความสามารถทางคณิตศาสตร์ใกล้เคียงกับ การฝึกตั้งคำถามและขัดเกลาสัญชาตญาณ มากกว่าจะเป็นแก่นแท้ที่ติดตัวมาแต่กำเนิด
- คณิตศาสตร์ในโรงเรียนมักเอนเอียงไปทางตรรกะและรูปแบบ แต่ผู้คนจัดการกับวงกลมและตัวเลขในใจอยู่แล้ว และได้ ทำให้ระบบจำนวนเชิงนามธรรมกลายเป็นส่วนหนึ่งภายในตนเอง จนทำคณิตศาสตร์ที่ลึกซึ้งได้
- การพัฒนาความคิดแบบคณิตศาสตร์อาจกลายเป็น เทคนิคพัฒนาตนเอง ที่ช่วยได้มากกว่าการแก้โจทย์ ไม่ว่าจะเป็นความสุข ความชัดเจน ความมั่นใจ ความคิดสร้างสรรค์ และชีวิตทางอารมณ์
คณิตศาสตร์ใกล้เคียงกับกระบวนการที่มองไม่เห็น มากกว่าสัญลักษณ์ที่มองเห็น
- เหตุผลที่ David Bessis หลงใหลคณิตศาสตร์นั้นเชื่อมโยงกับเหตุผลที่ผู้คนจำนวนมากถอยห่างจากมัน
- ดนตรีได้ยินได้ ภาพวาดมองเห็นได้ แต่คณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เป็น กระบวนการภายใน จึงไม่ปรากฏออกมาภายนอก
- เขารู้สึกถึงเสน่ห์ราวเวทมนตร์ในกระบวนการที่มองไม่เห็นนี้
- Bessis เรียนปริญญาเอกด้านคณิตศาสตร์ที่ Paris Diderot University ในช่วงปลายทศวรรษ 1990 และหลังจากนั้นวิจัยด้าน geometric group theory ราว 10 ปี
- ในปี 2010 เขาออกจากวงการคณิตศาสตร์เชิงวิจัยและก่อตั้ง สตาร์ทอัพแมชชีนเลิร์นนิง
- เขาไม่ได้หยุดแค่การแก้ปัญหา แต่ยังตั้งคำถามต่อไปว่านักคณิตศาสตร์คิดและทำงานกันอย่างไรจริง ๆ
สิ่งที่ Mathematica พูดถึงการคิดแบบคณิตศาสตร์
- Bessis ตีพิมพ์ Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity ในปี 2022
- หนังสือพยายามอธิบายว่าเกิดอะไรขึ้นในสมองของคนที่ทำคณิตศาสตร์
- ขณะเดียวกันก็พูดถึง ประสบการณ์ภายใน ของมนุษย์
- ต้นฉบับภาษาฝรั่งเศสได้รับการแปลเป็นภาษาอังกฤษในปี 2024
- แก่นสำคัญคือ แม้ผู้คนจะไม่รู้ตัว พวกเขาก็ กำลังทำคณิตศาสตร์อยู่ตลอด
- Bessis มองว่าผู้คนสามารถขยายความสามารถทางคณิตศาสตร์ของตัวเองได้มากกว่าที่คิดมาก
- แม้แต่ความสามารถของนักคณิตศาสตร์อย่าง Bill Thurston และ Alexander Grothendieck ก็ยากจะอธิบายได้ด้วยพรสวรรค์โดยกำเนิดเพียงอย่างเดียว
- คนเหล่านี้ตั้งคำถามกับ สัญชาตญาณ ของตนเองอยู่เสมอและขัดเกลามันให้ละเอียดขึ้น
- พวกเขาสร้างแนวคิดใหม่ แล้วตรวจสอบและปรับปรุงมันด้วยตรรกะและภาษา
การไปกลับระหว่างสัญชาตญาณกับตรรกะ
- สำหรับ Bessis คณิตศาสตร์คือกิจกรรมของการทำให้รูปแทนภายนอกและภาพแทนภายในสอดคล้องกัน
- ภาพแทนภายในสอดคล้องกับ สัญชาตญาณ
- รูปแทนภายนอกคือการแสดงออกที่เป็นตรรกะและเป็นแบบแผน
- ระบบเชิงรูปแบบอาจดูประหลาดและแข็งทื่อ แต่เป็นเครื่องมือในการทดสอบ ปรับใหม่ และเสริมความแข็งแรงให้สัญชาตญาณ
- คณิตศาสตร์ในโรงเรียนมักเน้นหนักไปที่ส่วนที่ อิงตรรกะ ของกระบวนการนี้
- Bessis มองว่าสิ่งที่สำคัญกว่าคือสัญชาตญาณ
- คณิตศาสตร์คือบทสนทนาระหว่างเหตุผลกับสัญชาตญาณ
- และยังเป็นบทสนทนาระหว่างภาษาและความเป็นนามธรรมด้วย
- เขาเปรียบคณิตศาสตร์กับ การปฏิบัติทางกาย ที่พัฒนาขึ้นได้ผ่านการฝึก เช่น โยคะหรือศิลปะการต่อสู้
- จำเป็นต้องเข้าสู่สภาวะแบบเด็กเล็ก
- ต้องยอมรับจินตนาการและความผิดพลาดที่เกิดขึ้นในกระบวนการนั้นด้วย
ทุกคนล้วนทำคณิตศาสตร์อยู่แล้ว
- Bessis มองว่าผู้คนควรตระหนักถึงการฝึกทางคณิตศาสตร์ของตนเอง
- มนุษย์สามารถนึกภาพวงกลมในหัว แล้วขยาย ย่อ หรือขยับมันได้
- แม้จะดูเหมือนเป็นเพียงการมองภาพในใจ แต่นั่นคือ การจัดการเชิงนามธรรม
- แม้แต่คำถามว่า “1 พันล้านลบ 1 ได้เท่าไร?” คนส่วนใหญ่ก็นึกคำตอบขึ้นมาได้แทบจะทันที
- การจะพูดออกมาเป็นคำอาจต้องใช้การคิด แต่ผลลัพธ์นั้นปรากฏขึ้นในหัวอยู่แล้ว
- แม้ไม่ใช่การรับรู้ทางสายตา ก็ยังมีความรู้สึกที่ชัดเจนต่อผลลัพธ์นั้น
- Bessis มองว่านี่คือ สัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์
- ความสามารถนี้ไม่ใช่สิ่งที่เป็นธรรมดามาแต่เดิมในประวัติศาสตร์
- เขาบอกว่าคนเมื่อ 2,000 ปีก่อนที่ใช้เลขโรมันอาจตอบคำถามเดียวกันนี้ได้ไม่ง่ายนัก
- เลขคณิตที่คนสมัยใหม่มองว่าง่าย เป็นผลจากการทำให้ระบบจำนวนเชิงนามธรรมกลายเป็นส่วนหนึ่งภายในตนเองแล้ว
- คณิตศาสตร์ที่ดูง่าย แท้จริงแล้วเป็นคณิตศาสตร์ที่ลึก และมนุษย์ก็เหมือนเดินสายความสามารถนี้ขึ้นมาเอง
อัจฉริยะเป็นสภาวะ มากกว่าจะเป็นแก่นแท้
- Bessis ไม่ได้ปฏิเสธว่ามีคนที่เก่งคณิตศาสตร์อย่างมาก
- เขาบอกว่ามีเด็กที่ตอนอายุ 5 ขวบก็ดูเหมือนอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์แล้ว
- แต่เขาไม่มองว่านั่นคือ แก่นแท้โดยกำเนิด
- อัจฉริยะไม่ใช่แก่นแท้ แต่เป็นสภาวะ
- เป็นสภาวะที่ถูกสร้างขึ้นจากการทำบางสิ่งอย่างเฉพาะเจาะจง
- คณิตศาสตร์คือการเดินทาง และเกี่ยวข้องกับ ความยืดหยุ่นในการเปลี่ยนแปลง
- นี่ไม่ได้แปลว่าคณิตศาสตร์เป็นเรื่องง่าย
- Bessis บอกว่าคณิตศาสตร์ยาก
- และเขาก็มองว่าสิ่งที่เราทำในชีวิตไม่ว่าอย่างไรก็ยากมากเช่นกัน
- เมื่อถูกถามว่าสามารถทำคณิตศาสตร์แบบ Thurston ได้หรือไม่ เขาตอบว่าไม่ได้
- Thurston ได้บันทึกไว้อย่างละเอียดว่าเขาตัดสินใจฝึกการศึกษาตนเองแบบนี้ทุกวันตั้งแต่อายุยังน้อย
- Bessis ไม่คิดว่าตัวเองจะไล่ทันระดับนั้นได้
- เหตุผลหนึ่งที่นักเรียนมัธยมจำนวนมากรู้สึกทุกข์กับคณิตศาสตร์ คือพวกเขาเชื่อว่าต้องมีความสามารถโดยกำเนิดที่ตนไม่มี
- แต่เขามองว่าคณิตศาสตร์จริง ๆ อาศัยความสามารถชนิดเดียวกับสัญชาตญาณที่เราใช้ในชีวิตประจำวัน
วิธีพัฒนาความคิดแบบคณิตศาสตร์
- เมื่อเห็นความไม่สอดคล้องกันระหว่างลางสังหรณ์กับสิ่งที่ดูเหมือนถูกต้องตามเหตุผล นั่นคือโอกาสสำหรับความเข้าใจใหม่
- จากตรงนั้น เราสามารถเริ่มกระบวนการไปกลับได้
- ลองดูว่าสามารถอธิบาย ลางสังหรณ์ ของตัวเองออกมาเป็นคำพูดได้หรือไม่
- ตรวจดูว่าสามารถวางมันไว้ในกรอบของการอภิปรายอย่างมีเหตุผลได้หรือไม่
- หากยังมีความคลาดเคลื่อนอยู่ ก็ลองมองภาพว่าทำไมจึงเป็นเช่นนั้น
- เมื่อทำกระบวนการนี้ซ้ำ ๆ จินตนาการจะค่อย ๆ ถูกจัดโครงสร้างใหม่
- เขามองว่าหากทำต่อไปอย่างอดทน สัญชาตญาณและเหตุผลจะค่อย ๆ เรียงตัวเข้าหากัน และเราจะฉลาดขึ้นได้
- Bessis เรียกกระบวนการนี้ว่า การคิดแบบคณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์อาจเป็นเทคนิคพัฒนาตนเองได้
- Bessis มองว่าการพัฒนาการคิดแบบคณิตศาสตร์จะนำมาซึ่งความสุข ความชัดเจน และความมั่นใจ
- เด็ก ๆ ทำกระบวนการนี้อยู่ตลอด จึงเรียนรู้ได้เร็ว
- เพราะโลกยังไม่อาจเข้าใจได้ทั้งหมด จึงต้องค้นพบใหม่อยู่เรื่อย ๆ
- เขามองว่าเด็กทารกมีความสุขเพราะได้รับความกระจ่างแจ้งตลอดทั้งวัน
- สำหรับผู้ใหญ่ วิธีคิดแบบนี้อาจช้ามาก
- ถึงอย่างนั้น หากไม่ยอมแพ้ สิ่งที่เราทำได้ด้วยสัญชาตญาณอาจไปไกลเกินความคาดหมายมาก
- Bessis มองว่าหนังสือของเขาไม่ใช่แค่สำหรับคนที่อยากเรียนแนวคิดทางคณิตศาสตร์ แต่ยังเป็นบทเรียนชีวิตสำหรับ คนที่มีความคิดสร้างสรรค์ทุกคน
- เขามองไกลกว่าการเรียกมันว่าเป็นเพียงหนังสือพัฒนาตนเอง และเห็นว่าคณิตศาสตร์เองก็เป็น เทคนิคพัฒนาตนเอง รูปแบบหนึ่ง
การฝึกความซื่อสัตย์และความคิดสร้างสรรค์
- นักคณิตศาสตร์ต้องซื่อสัตย์อย่างมากกับตัวเอง ว่าตนเองไม่เข้าใจอะไร และกำลังคิดอะไรอยู่
- ความซื่อสัตย์นี้นำไปสู่การตัดสินหลายอย่าง
- มองเห็นได้ว่าวัตถุบางอย่างถูกนิยามไว้ผิด
- มองเห็นได้ว่านิยามอีกแบบหนึ่งอาจทำให้ทฤษฎีง่ายขึ้น
- แยกแยะได้ว่าแนวคิดใดสำคัญและแนวคิดใดไม่สำคัญ
- การแสดงออกถึงสิ่งที่ตัวเองรู้สึกจริง ๆ เป็นเรื่องยากมาก และต้องอาศัยการฝึกฝน
- เมื่อทำคณิตศาสตร์ กระบวนการคิดของมนุษย์จะเผยออกมาในรูปแบบที่บริสุทธิ์มาก
- คณิตศาสตร์ไม่ใช่แค่การเข้าใจ แต่เป็นการฝึกให้เข้าใจอย่างลึกซึ้ง ไร้เดียงสา ชัดเจน และเป็นธรรมชาติแบบเด็กเล็ก
- สำหรับ Bessis คณิตศาสตร์คือ การฝึกความคิดสร้างสรรค์ และเป็นฐานรองรับให้จินตนาการ
- เขากล่าวว่าความสามารถในการคิดแบบคณิตศาสตร์ช่วยเขาในการก้าวผ่านความยากลำบากส่วนตัว และมองว่าในมิติทางอารมณ์แล้ว ทุกคนล้วนต้องการคณิตศาสตร์
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นจาก Hacker News
เห็นด้วยกับความรู้สึกนี้ วัฒนธรรมที่หมกมุ่นกับ พรสวรรค์ทางคณิตศาสตร์โดยกำเนิด และอัจฉริยภาพนั้นเป็นอันตรายต่อกรอบความคิดแบบเติบโตที่จำเป็นต่อการเรียนรู้อะไรสักอย่าง
หลังจากเป็นผู้ใหญ่แล้ว ผมกำลังขัดเกลาทักษะคณิตศาสตร์ของตัวเองได้ค่อนข้างมาก เมื่อก่อนผมเคยคิดว่า “ถ้ามันยาก แปลว่าเราถึงขีดจำกัดแล้ว และกำลังเสียเวลาเปล่า” แต่ในความเป็นจริงมันแทบจะตรงกันข้าม ถ้ามันง่าย อาจแปลว่าเป็นสิ่งที่รู้อยู่แล้วและกำลังเสียเวลาก็ได้
ผู้เขียนหนังสือแค่เลือกคณิตศาสตร์ที่ตัวเองสนใจเท่านั้น และหลักการนี้จริง ๆ แล้วใช้ได้กับทุกสาขา แม้บางคนจะดูเหมือนมีพรสวรรค์โดยกำเนิด แต่ส่วนใหญ่ผมมองว่าใกล้เคียงกับความสามารถในการไฮเปอร์โฟกัสกับหัวข้อใดหัวข้อหนึ่งมากกว่า ไม่ว่าจะเป็นคณิตศาสตร์, Star Trek, ไดโนเสาร์ หรือเกมคอนโซลเก่ายุค 1980
การกล่อมเด็กว่าบางคนในวัยเดียวกันนั้น “เกิดมาเก่ง” เฉย ๆ เป็นการบั่นทอนความตั้งใจที่จะพยายามต่อไป สิ่งที่ควรสอนเด็กคือ วิธีเรียนรู้ และควรเป็นทำนองว่า “ถ้าสอนคณิตศาสตร์ ก็จะได้เรียนคณิตศาสตร์ แต่ถ้าสอนวิธีเรียนรู้ ก็จะเรียนรู้อะไรก็ได้”
จริงอยู่ที่คณิตศาสตร์ต้องใช้ความพยายาม และการจะเข้าใจแบบทุกอย่างลงล็อกก็ต้องมีความรู้พื้นฐานก่อนอยู่พอสมควร แต่ท่าทีแบบ “X ขอทิ้งไว้เป็นแบบฝึกหัดให้ผู้อ่าน” คือกรอบคิดที่สนุกกับการทำให้ชีวิตผู้อ่านยากขึ้นโดยไม่มีเหตุผล
ในสิ่งที่มักเรียกกันว่า “หอคอยงาช้าง” องค์ประกอบที่เป็นหอคอยยังทำหน้าที่เป็นเครื่องมือประชาสัมพันธ์ตัวเองและป้องกันตัวเองด้วย เพราะมันขายความคิดที่ว่า “บทบาทของเราจำเป็นอย่างยิ่ง และใครก็ตามที่อยากรู้อะไร ต้องผ่านเราไปให้ได้ก่อนจึงจะถึงเป้าหมาย”
ตัวอย่างเช่น พีชคณิตเชิงเส้น เป็นเนื้อหาที่มีมาหลายสิบปีแล้ว แต่สื่อการสอนตั้งแต่ระดับต้นจนถึงระดับสูงมักยากเกินไปและถอดความเข้าใจได้ลำบากมาก ทว่าพอสาขาแมชชีนเลิร์นนิงเริ่มดังขึ้นมา สื่อที่อธิบายหัวข้อขั้นสูงอย่างการลดมิติและการแยกปริภูมิย่อยให้ชัดเจนและดูเป็นเรื่องเล็กน้อยก็เพิ่มขึ้นอย่างกะทันหัน สิ่งเดียวที่เปลี่ยนไปคือประเภทของคนที่มาจัดการกับหัวข้อนั้น
ผมเคยสอนคณิตศาสตร์ให้นักศึกษาจิตวิทยา และมีบางกรณีที่ไม่เข้าใจจริง ๆ ผมยังจำได้ว่าหัวหน้าภาควิชารู้สึกท้อแท้กับคำถามว่า “รากที่สองคืออะไรคะ/ครับ?” จะมองว่า ทุกคนมีความสามารถอยู่แล้วแต่เป็นแค่ “ความผิดของครู” อย่างเดียวไม่ได้ และยังต้องอธิบายความแตกต่างระหว่างนักศึกษาที่ลำบากกับนักศึกษาที่ทำได้ง่ายด้วย
ดนตรีก็เหมือนกัน ต่อให้นักเรียนคอนเซอร์วาทอรีตั้งใจเรียน บางคนก็ยังเก่งกว่า และมีเพียงจำนวนน้อยมากที่เปล่งประกายจริง ๆ คำพูดว่า “ทุกคนเล่น Rachmaninov ได้” นั้นเชื่อได้ยาก เว้นแต่จะตั้งเกณฑ์ของ ความสามารถทางคณิตศาสตร์ ไว้ค่อนข้างต่ำ หรือมีหลักฐานรองรับที่ดีพอ ไม่อย่างนั้นคำว่า “ทุกคนทำได้” ก็มีกลิ่นของเรื่องไร้สาระ
งานประจำวันอาจช่วยรักษาทักษะที่ง่ายไว้ให้ แต่ถ้าเป็นทักษะที่ไม่ได้ใช้มาระยะหนึ่งแล้ว การลองทำซ้ำแบบง่าย ๆ ก่อนนำไปผสมกับทักษะอื่นในวิธีที่ยากขึ้น ก็ไม่ใช่เรื่องเสียหาย
ผมกำลังอ่านหนังสือ Mathematica ของผู้เขียนอยู่ และมันดีมาก แค่ชื่อบทความนี้ยังสื่อข้อดีของหนังสือออกมาได้ไม่ชัด
ผู้เขียนแสดงให้เห็นว่าความสามารถทางคณิตศาสตร์ใกล้เคียงกับ พรสวรรค์ด้านกีฬา มากกว่าพรสวรรค์ด้านความรู้ เพราะเขาเสนอว่าผู้คนต้องเรียนรู้วิธีจัดการกับวัตถุทางคณิตศาสตร์ในหัว เช่น รูปทรงที่หมุนแล้ว สล็อตแมชชีน หรือการพับกระดาษ มันเหมือนกีฬาแห่งจินตนาการชนิดหนึ่ง
ด้วยเหตุนี้ผมจึงกลับไปเรียนคณิตศาสตร์พื้นฐานจำนวนมากบน MathAcademy.com ซึ่งสนุกมากและก็เครียดด้วย ตอนนี้รู้สึกเหมือนเกิดเอฟเฟกต์เตตริสกับพหุนามแล้ว
พอจดจ่อมาก ๆ จะรู้สึกเหมือนแต่ละฟังก์ชันมีรูปร่างและบรรยากาศของตัวเอง เห็นฟังก์ชันแบบกล่องเล็ก ๆ ที่สะอาดเรียบร้อย, ฟังก์ชันใหญ่ ๆ น่าเกลียดเหมือนเม่นทะเลที่กำลังโกรธ, หรือฟังก์ชันกลมเล็ก ๆ ไร้ประโยชน์ที่ไม่ทำอะไรเลย แล้วก็จดไว้ทีหลังว่าจะลบทิ้ง กราฟทั้งหมดดูเหมือนเชื่อมโยงกันในระดับหนึ่งตามวิธีที่ข้อมูลไหลผ่าน
ผมยังสงสัยด้วยว่า MathAcademy ดีไหม กำลังคิดว่าจะลองใช้สักเดือน แต่ไม่แน่ใจว่าที่บอกว่า “เครียด” นั้นเป็นการพิมพ์ผิดหรือไม่
Mathematica ผมสั่งไว้ที่ห้องสมุดท้องถิ่นแล้ว แค่ลืมมันไปจนกว่าจะมี SMS แจ้งว่ามาถึง ขอบคุณที่ช่วยยืนยันว่ามันคุ้มค่าแก่การอ่าน
ถ้าหนังสือดีกว่าในแง่นั้นก็อยากอ่าน แต่ถ้ามีเรื่องเล่าและน้ำเยอะก็อยากข้ามไป อยากรู้ว่าจริง ๆ แล้วคุณได้อะไรจากหนังสือ และรู้สึกว่ามันใช้งานได้จริงและนำไปปรับใช้ได้มากแค่ไหน
เหตุผลที่คณิตศาสตร์รู้สึกยากคือผู้คนยึดกระบวนการจัดการที่ยาวไว้ในหัวได้ลำบาก โดยเฉพาะเมื่อจัดการกับวัตถุขนาดใหญ่ที่ค่อย ๆ เปลี่ยนไปตลอดหลายร้อยขั้นตอน และนี่ไม่ใช่เพราะคนเราบกพร่อง แต่เพราะจิตใจมนุษย์ทำงานแบบนั้นอยู่แล้ว
ควรสอนว่าคณิตศาสตร์คือสัจพจน์พื้นฐาน กฎการจัดการ และวิธีขยายสัจพจน์ด้วยกฎเหล่านั้น ต้องเรียนรู้การเปลี่ยนแปลงที่ถูกต้องทีละอย่าง และแน่นอนว่าต้องใช้การทำงานบนกระดาษจำนวนมากกับความอดทน คณิตศาสตร์คือการสร้างความจริงและกฎใหม่จากความจริงและกฎ
ผมกำลังสอนลูกด้วยวิธีนี้ และเขามักตอบว่า “แค่นี้เองเหรอ? ก็แค่งานกระดาษที่ต้องลงแรงใช่ไหม?” ช่วงนี้เราใช้วิธีนี้ร่วมกับความช่วยเหลือจาก LLM เพื่อเรียน อัลกอริทึมและโครงสร้างข้อมูล เมื่อเริ่มจากเงื่อนไขพื้นฐานแล้วค่อย ๆ สร้างขึ้น อัลกอริทึมที่เคยดูเหมือนเป็นดินแดนของสิ่งประดิษฐ์ใหม่ ๆ ก็ออกมาอย่างเป็นธรรมชาติจากขั้นตอนทำมือที่ได้ลองเอง แล้วจึงย้ายมันไปเป็นโปรแกรม
เมื่อตัดส่วนเกินออกไปแล้ว สิ่งที่เหลือในคณิตศาสตร์มีเพียง ความอดทนและงานบนกระดาษ
ในคณิตศาสตร์ มองว่า การทำให้เป็นรูปแบบทางการเร็วเกินไป เป็นสาเหตุหลักที่ทำให้ผู้คนรู้สึกถูกกันออกจากคณิตศาสตร์และถูก gaslighting การลดทอนแนวคิดให้เหลือเพียงสัญลักษณ์และการจัดการกับสัญลักษณ์เหล่านั้นควรเป็นเรื่องภายหลัง แต่การนำเสนอแบบนั้นตั้งแต่แรกเป็นสิ่งที่ผิด
ผู้คนควรเริ่มจากการพูดด้วยภาษาธรรมชาติที่เข้าใจง่ายก่อน อยากบอกนักคณิตศาสตร์ที่บอกว่า “ภาษาอังกฤษไม่แม่นยำพอ” ว่าไปให้พ้น ต้องเรียนรู้วิธีเดินก่อนจะวิ่ง
ตัวอย่างที่สร้างแรงจูงใจควรมาก่อนวิธีการทางคณิตศาสตร์ และสูตรกับการพิสูจน์ควรอยู่ในภาคผนวก ไม่ใช่หน้าแรก ในที่นี้ภาษาอังกฤษหมายถึงภาษาธรรมชาติ
คนที่ไม่ได้ทำงานในสาขาใกล้เคียงกับ STEM แทบไม่มีโอกาสใช้เกินกว่าพีชคณิตและเรขาคณิตง่าย ๆ กับแนวคิดและสูตรด้านการเงินเล็กน้อย เรขาคณิตมักมีประโยชน์แค่กับงานอดิเรกแนวงานฝีมือหรือโปรเจกต์ซ่อมบ้าน
ถ้าเป็นแบบนี้ต่อไป คงไม่พบเหตุผลที่จะต้องทำอินทิเกรตจนตาย ดังนั้นแม้จะพยายามกลับไปเรียนคณิตศาสตร์อีก ความจำเป็นจริง ๆ ก็ไม่ได้เป็นแรงจูงใจ สิ่งที่ไม่น่าเบื่อเพราะไม่มีที่ให้เอาไปใช้ก็มีแค่โจทย์คณิตศาสตร์เพื่อความบันเทิง แต่ถึงอย่างนั้นก็ยังรู้สึกว่าไปอ่านหนังสือหรือทำอย่างอื่นน่าจะดีกว่า
นักเรียนจำนวนมาก อย่างน้อยก็ผมเอง เริ่มสนใจคณิตศาสตร์ครั้งแรกตอนเจอการพิสูจน์ในเรขาคณิตมัธยมปลาย และเจอการประยุกต์ใช้จริงในฟิสิกส์มัธยมปลาย การที่คณิตศาสตร์สามารถเป็นวิธีเดินจากความจริงหนึ่งไปสู่อีกความจริงหนึ่งเพื่อค้นพบความจริงใหม่ได้นั้นให้ความรู้สึกเหมือนการเปิดตา
น่าเสียดายที่นักเรียนจำนวนมากหลุดออกไปก่อนหน้านั้น เพราะความน่าเบื่อของการฝึกคณิตศาสตร์ซ้ำ ๆ ไม่รู้จบ เมื่อเกิดช่องว่างในความรู้แล้ว หากไม่เติมช่องว่างนั้นก็ยากที่จะก้าวต่อได้ สำหรับนักเรียนจำนวนมากมันจบที่เศษส่วน สำหรับบางคนจบที่พีชคณิต และสำหรับคนที่เข้ามหาวิทยาลัยจบที่แคลคูลัส
มีเพียงผู้เรียนสาขาคณิตศาสตร์ และบางส่วนของวิศวกรรม วิทยาศาสตร์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์เท่านั้นที่ไปไกลกว่า “คอร์สคณิตศาสตร์มาตรฐาน” ของมหาวิทยาลัย และได้พบสิ่งที่น่าสนใจจริง ๆ หลังจากนั้น
บาปของคณิตศาสตร์สมัยใหม่อยู่ที่ภาษาเมตานั้นไม่ได้ถูกนิยามไว้อย่างดีพอ จนหากจะจัดการโดยไม่เกิดความขัดแย้งก็ต้องอาศัยหอคอยของซอฟต์แวร์ การเขียนทั้งหมดนี้ใหม่เป็น S-expression แล้วใส่ระบบ term rewriting สำหรับการพิสูจน์ภายใต้การคำนวณแบบลำดับ เป็นก้าวแรกที่ยอดเยี่ยมในการเพิ่มการเข้าถึง
ถ้าอยากดูว่าคณิตศาสตร์พูดอย่างไร ไม่ใช่พูดถึงอะไร ก็ไปสะสมแสตมป์เถอะ
ในฐานะคนที่เรียนคณิตศาสตร์ไปถึงระดับบัณฑิตศึกษา คณิตศาสตร์มัธยมปลายและวิชาส่วนใหญ่ช่างน่าเบื่อมาก สิ่งที่หายไปจากการศึกษาระดับประถมและมัธยมคือบริบท และนั่นทำให้มันน่าเบื่อ ที่คณิตศาสตร์ง่ายไม่ใช่เพราะเก่งเป็นพิเศษ แต่เพราะมันอยู่ในระดับทำตามสูตรแบบไม่คิดและใช้ตรรกะพื้นฐาน
คณิตศาสตร์ระดับประถมและมัธยมส่วนใหญ่คือตรรกะพื้นฐาน ดังนั้นเมื่อคนที่ได้รับการศึกษาระดับนั้นบอกว่า “ไม่เก่งคณิตศาสตร์” หรือ “ไม่เข้าใจคณิตศาสตร์” ก็หมายความว่าขาดความสามารถด้านตรรกะและการให้เหตุผลขั้นพื้นฐานมาก ๆ
ควรสอนคณิตศาสตร์ในบริบท ไม่ใช่แค่ผ่านการประยุกต์ใช้ ต้องทำให้ประสบการณ์ของการให้เหตุผลและการสำรวจค้นคว้าเข้มข้นขึ้น และควรรวมการประยุกต์ใช้ด้วย แต่ไม่ควรผูกไว้กับการประยุกต์ใช้อย่างเดียว บางครั้งก็ควรเรียนและคิดไปเฉย ๆ โดยไม่ต้องถูกผูกกับเกณฑ์การนำไปใช้ที่ตั้งขึ้นตามใจ
ผมไม่ชอบตำราใหม่ ๆ เพราะมันปรับเข้าหาความพึงพอใจทันทีมากเกินไป ไม่แสดงให้เห็นว่าจะค่อย ๆ สร้างวิธีแก้ขึ้นมาอย่างไร แต่บอกวิธีแก้โจทย์ตรง ๆ เลย แม้ภายหลังจะอธิบายหลักการทำงานบ้าง แต่ผมเห็นว่าลำดับมันกลับหัวกลับหางไปหมด มันพรากโอกาสในการครุ่นคิดเอง คาดเดาว่าสุดท้ายจะมาบรรจบกันอย่างไร และได้จังหวะ “อ๋อ” ระหว่างทาง
วิธีนี้ยังทำให้แนวโน้มที่จะลดทอนคณิตศาสตร์ให้เป็นการจัดการสัญลักษณ์รุนแรงขึ้นด้วย ถ้าให้สูตรตั้งแต่ย่อหน้าแรก คำอธิบายหลังจากนั้นทั้งหมดก็จะถูกตรึงอยู่กับสูตรนั้น สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์จะดีที่สุดเมื่อเป็นเครื่องมือทำให้เป็นรูปแบบทางการและเป็นอุปกรณ์ช่วยจำสำหรับแนวคิดที่เข้าใจไปแล้วในระดับหนึ่ง และจะแย่ที่สุดเมื่อถูกใช้เป็นช่องทางสื่อสารหลัก
แม้จะเป็นความรู้สึกที่ดี แต่ก็ชัดเจนว่ามีคนจำนวนมากที่ไม่ได้เรียนรู้แม้แต่ การคิดเชิงคณิตศาสตร์ ขั้นพื้นฐาน และสับสนอย่างมาก อยากรู้ว่ามีงานวิจัยทางวิทยาศาสตร์ที่สนับสนุนข้ออ้างว่าคนเหล่านี้สามารถเรียนรู้ได้ง่ายหรือไม่ หรือเป็นเพียงการสร้างประเด็นเชิงเสมอภาคที่เหมาะกับหนังสือคณิตศาสตร์สำหรับคนทั่วไปขึ้นมาเฉย ๆ
สติปัญญาทั่วไปก็ดูเหมือนจะมีแนวโน้มลดลงตั้งแต่ทศวรรษ 1970 เป็นต้นมา นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า ผล Flynn ย้อนกลับ[3] และมีการวัดพบในสหรัฐฯ และยุโรป
เป็นความจริงที่ระบบการศึกษาและปัจจัยอื่น ๆ มีอิทธิพล แต่ผมคิดว่าแนวคิดที่ว่า “ทุกคนทำ X ได้” นั้นผิดและเป็นอันตราย มันเหมือนกับการพูดว่า “ไม่มีใครต้องใช้วีลแชร์” หรือ “ทุกคนมองเห็นได้สมบูรณ์แบบ” คนเราแตกต่างกัน และเนิร์ดจำนวนมากคบหาแต่กับเนิร์ดด้วยกัน จนทำให้การรับรู้ต่อสังคมบิดเบี้ยว
[1]: https://www.thenationalliteracyinstitute.com/post/literacy-s...
[2]: https://leo.blogs.uni-hamburg.de
[3]: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S016028962...
มีช่องว่างใหญ่มากระหว่างสิ่งที่คนเราทำได้ในทางทฤษฎีกับสิ่งที่ทำสำเร็จจริง
ผมไม่ใช่ครูคณิตศาสตร์ แต่ชอบคณิตศาสตร์ และเคยช่วยครอบครัวกับเพื่อน ๆ ในวิชาคณิตศาสตร์หลายครั้ง
ผมคิดมานานแล้วว่าเกือบทุกคนมีความสามารถที่จะเรียนคณิตศาสตร์ได้ราวระดับมัธยมปลาย เพียงแต่บางคนต้องใช้ความพยายามมากกว่า กุญแจในการรักษาความพยายามอย่างต่อเนื่องคือแรงจูงใจ และคนจำนวนมากที่เกลียดคณิตศาสตร์หรือคิดว่าตัวเองแย่มากนั้น เพียงแค่ไม่เคยเจอแรงจูงใจที่เหมาะสม
เมื่อมีแรงจูงใจแล้ว เนื้อหาเริ่มเข้าใจ และเริ่มแก้โจทย์ได้ ทุกอย่างก็จะง่ายขึ้นมาก โดยส่วนตัวแล้ว โดยเฉพาะตอนเรียนคณิตศาสตร์ระดับสูงขึ้นเล็กน้อยที่รวมถึงการอนุมานและการพิสูจน์ระดับต้น ๆ ผมรู้สึกว่าวิธีคิดของตัวเองในด้านอื่นนอกคณิตศาสตร์ก็ดีขึ้นด้วย
จากการช่วยครอบครัวและเพื่อน ๆ ผมยังได้เรียนรู้ด้วยว่าแต่ละคนอาจมีแนวทางในการเริ่มเข้าใจเนื้อหาใหม่ค่อนข้างต่างกัน บางคนเข้าถึงได้ง่ายกว่าจากมุมมองเรขาคณิตหรือกราฟ บางคนเหมาะกับการเจาะสูตรตั้งแต่ต้น วิธีเดียว ไม่ได้เหมาะกับทุกคน
ในเชิงศึกษาศาสตร์ ผมคิดว่าอุปสรรคหลักที่คนส่วนใหญ่ติดขัดในคณิตศาสตร์ไม่ใช่ความซับซ้อน แต่เป็นวิธีสอนที่แห้งแล้ง กฎของภาษาก็ซับซ้อนไม่น้อยไปกว่ากัน แต่อีกหลายคนเรียนความสามารถทางภาษาได้ถึงระดับมัธยมปลาย เหตุผลมีหลายอย่าง และที่ชัดที่สุดคือภาษาถูกใช้ในชีวิตประจำวันมากกว่า
ผมไม่อาจเรียกตัวเองว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ที่จริงจังได้เลย แต่ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาซึ่งผมจริงจังกับเป้าหมายนั้น ผมได้เรียนรู้มากกว่าหลายสิบปีที่เคยผลักมันออกไปเพราะคิดว่าตัวเองด้อยกว่ามาก
เมนเทอร์ผู้ใจดีมากคนหนึ่งที่ดึงให้ผมพยายาม แม้จะต้องฝืนก็ตาม เคยพูดไว้ว่า “ไม่มีนักเรียนคณิตศาสตร์ที่แย่ มีแต่ ครูคณิตศาสตร์ที่แย่ และพวกเขาก็เคยเจอครูคณิตศาสตร์ที่แย่มาเหมือนกัน”
ถ้าต้องเจอคนแบบนั้นมากเกินไป และถ้าคนแบบนั้นพบได้ทั่วไปในสาขานี้ ก็เข้าใจได้ง่ายว่าทำไมผู้คนถึงหมดแรงจูงใจและยอมแพ้
ในช่วงหนึ่งของหลักสูตรการศึกษา คนหนุ่มสาวจำนวนมากได้สัมผัสกับ การคิดเชิงคณิตศาสตร์แบบนามธรรม แต่สุดท้ายก็ไม่เข้าใจและหลุดออกไป น่าเสียดายที่ปัญหาเริ่มผิดทางตรงนี้ และช่องว่างก็ยิ่งกว้างขึ้นหลังจากนั้น
การจัดการกับสัญลักษณ์และสมการควรเป็นสิ่งที่เข้าถึงได้กว้างกว่านี้ มันแทบจะเหมือนกิจกรรมแบบเกม จึงไม่ควรทำให้รู้สึกถูกกีดกัน
นี่อาจเป็นความล้มเหลวที่นักการศึกษายังมองไม่เห็นเส้นทางที่ทำให้สมองยอมรับรูปแบบการแทนค่าและวิธีการจัดการที่เป็นนามธรรมมากขึ้นได้อย่างเหมาะสม
อนึ่ง ดูเหมือนนักคณิตศาสตร์จะไม่ค่อยสนใจแก้ปัญหานี้ และหลายคนเหมือนจะสนุกแบบเด็ก ๆ กับการทำให้คณิตศาสตร์เป็นเรื่องปิดกั้นให้มากที่สุดเท่าที่จะทำได้ ตัวอย่างเช่น มีกรณีที่ปฏิเสธการใช้ภาพแทน แม้มันจะไม่แม่นยำแต่ช่วยสร้างสัญชาตญาณได้
การแยกตัวประกอบก็ทำให้หลายคนในห้องของเราหลุดไปเหมือนกัน ความหงุดหงิดใหญ่คือมันดูไร้ประโยชน์โดยสิ้นเชิง แต่ขั้นตอนกลับต้องเดาเยอะ เพื่อนร่วมชั้นบางคนมีปฏิกิริยาประมาณว่า “งั้นคณิตศาสตร์ก็ไสหัวไปตลอดกาลเถอะ” เหมือนถูกสั่งให้ใช้ช้อนขุดคูน้ำแล้วกลบกลับ
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/Do_Not_Erase:_Mathematicians_a...
ผมมองว่าปัญหาคือคนส่วนใหญ่ไปไม่ถึงส่วนที่สนุกเลยด้วยซ้ำ จำได้ว่าในมหาวิทยาลัย ผมไม่ได้ชอบคณิตศาสตร์เท่าไรจนกระทั่งเทอมแรกได้เรียนทฤษฎีเซต นิยามระบบจำนวนตั้งแต่ต้น แล้วค่อยไปต่อเรื่องโมนอยด์ กรุ๊ป ริง และอื่น ๆ
การ นิยามตั้งแต่ต้น นั้นให้ความรู้สึกน่าพอใจจริง ๆ
ใช้เวลาสักพัก แต่ตอนนี้ดีขึ้นมากแล้ว ผมเริ่มมองมันเหมือนเกมเล็ก ๆ ที่รู้กฎอยู่บ้าง ตอนนี้ยอมรับแล้วว่านักคณิตศาสตร์มักกังวลเรื่องการทำให้เป็นนามธรรมสูงสุด หรือกรณีขอบแปลก ๆ แบบผิดปกติ ด้วยเหตุนี้ผมจึงฝ่าความซับซ้อนได้โดยไม่รู้สึกท่วมท้นเหมือนแต่ก่อน
เมื่อเข้าใจอะไรสักอย่างแล้ว การย้อนกลับไปสู่กรอบความคิดตอนที่ยังไม่เข้าใจ เพื่อหาคำอธิบายที่ทำให้ไอเดีย “คลิก” เข้าใจได้ทันทีนั้นยากจริง ๆ ผมคิดว่าคณิตศาสตร์จำนวนมากง่ายกว่าที่เห็นมาก แต่บ่อยครั้งขาดคำอธิบายที่ช่วยให้จับไอเดียแกนกลางได้ง่าย
ตัวอย่างเช่น ผมอยากเขียน explorable[0] ที่อธิบาย ระบบเลขฐานแบบมีตำแหน่ง ในฐานจำนวนเต็มใด ๆ ด้วยวิธีที่เด็กที่อ่านนาฬิกาเป็นก็ทำตามได้ น่าจะสอนการคูณไปพร้อมกันได้ด้วย
แก่นคือให้จินตนาการถึงตัวนับที่หน้าตาเหมือนนาฬิกาอนาล็อก มีตัวเลข 0 ถึง 9 และปุ่ม +1, -1 สามารถนับจาก 0 ถึง 9 ได้ ถ้าบวก 1 ให้ 9 ก็จะวนกลับเป็น 0 เพื่อแก้ปัญหานี้จึงติดตัวนับตัวที่สองเข้าไป ทุกครั้งที่ตัวนับตัวแรกหมุนครบหนึ่งรอบ ก็เพิ่มตัวนับตัวที่สองขึ้น 1 หนึ่งรอบของตัวนับตัวแรกคือ 10 ก้าว ดังนั้นหนึ่งก้าวของตัวนับตัวที่สองจึงหมายถึง 10 ก้าว ถ้าอยากให้ตัวนับตัวที่สองนับ 10 ก้าวได้ ก็เพิ่มตัวที่สามเข้าไป
จากนั้นคำถามที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติคือ ถ้ามีตัวเลขน้อยกว่า 0 ถึง 9 จะเป็นอย่างไร ถ้าเป็น 0 ถึง 7 ก็คือฐาน 8 ถ้ามี 0 กับ 1 ก็คือฐาน 2 ส่วนถ้ามีตัวเลขมากกว่านั้นก็เพิ่มเป็นตัวอักษรในอักษรละติน เป็นต้น
นี่เป็นการแทนระบบเลขฐานสิบแบบมีตำแหน่งในเชิงกายภาพมาก ๆ และทำให้นับและทำตามได้ง่าย ไม่จำเป็นต้องใช้แนวคิดขั้นสูงอย่าง “ฐาน” หรือ “เลขยกกำลัง” แต่ภายหลังจะกลายเป็นนามธรรมที่วางต่อยอดได้ง่าย
ถามเพื่อน ๆ ที่มีลูก ส่วนใหญ่บอกว่าเด็กอ่านนาฬิกาเป็นตอนอายุ 4–6 ขวบ และราว 8 ขวบทุกคนก็นับถึง 100 ได้ ตามทฤษฎีแล้ว ด้วยวิธีนี้เด็กวัยนั้นก็น่าจะเข้าใจไอเดียของเลขฐาน 2 และฐาน 16 ได้แล้ว
ที่น่าสนใจคือในบทความก็พูดว่าด้วยระบบเลขฐานแบบมีตำแหน่ง ผู้ใหญ่แทบทุกคนจึงตอบคำถาม “1 พันล้านลบ 1 คือเท่าไร?” ได้ทันที
[0] https://explorabl.es/
https://softwarefoundations.cis.upenn.edu/
ลิมิตและอนุพันธ์ก็เช่นกัน เมื่อได้คำนิยามที่ถูกต้องแล้ว ก็สามารถอนุมานสูตรและทฤษฎีบททั้งหมดที่ใช้ในมัธยมได้ค่อนข้างง่าย ในมัธยมส่วนใหญ่เราทำแต่การคำนวณและการให้เหตุผลแบบง่าย ๆ แต่ในมหาวิทยาลัยเราพิสูจน์ทุกอย่าง มุมมองที่เปลี่ยนไปนั้นดีมาก
ตามรูปแบบแล้วผมเรียนวิชาบังคับก่อนมาแล้ว แต่จริง ๆ มันเป็นวิชาตรรกะพื้นฐานของวิทยาการคอมพิวเตอร์ จึงหนักเกินรับไหวโดยสิ้นเชิง แต่ก็เป็นหนึ่งในวิชาที่สนุกที่สุดที่ผมเคยเรียนในมหาวิทยาลัย
เราได้รับข้อความที่แน่นอนของข้อสอบปลายภาคล่วงหน้าหลายสัปดาห์ และสามารถเตรียมตัวได้ทุกอย่าง ไม่ว่าจะร่วมมือกับนักศึกษาคนอื่นหรือไปถามอาจารย์คนอื่น อาจารย์คนอื่น ๆ ส่วนใหญ่ก็จับทางไม่ค่อยได้ เป้าหมายคือการตอบให้ได้ 1–2 ข้อจาก 10 ข้อ และต่อให้ทำไม่ได้ก็ได้อย่างน้อย B+
ถ้าความจำดีกว่านี้ก็คงดี แต่ผมคิดว่าหนึ่งในข้อที่ตอบได้สำเร็จคือการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Post โดยใช้เครื่องจักร Turing ผมไม่เคยใช้ความรู้จากวิชานั้นอีกเลย แต่จนถึงตอนนี้ก็ยังนึกถึงอยู่ อยากกลับไปเรียนจุดตัดอันน่าหลงใหลระหว่างปรัชญากับวิทยาการคอมพิวเตอร์นั้นอีกครั้ง
สิ่งที่ดีที่สุดคือการผสานกันระหว่างคณิตศาสตร์ยาก ๆ กับคำถามอภิปรัชญาที่ลึกซึ้งเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ซึ่งนักปฏิบัติจำนวนมากไม่ชอบเพราะมองว่ามันบั่นทอนงานของตน เมื่อดำดิ่งลงไปลึกขนาดนั้น ก็จะเห็นว่ามันหลีกเลี่ยงไม่ได้ที่จะไปแตะหัวข้อที่ทำให้ปวดหัวมากยิ่งขึ้น
ในโรงเรียนมัธยม แทบจะได้ฝึกแค่คณิตศาสตร์ประยุกต์ โดยเฉพาะ แคลคูลัส ให้เก่งเท่านั้น แถมส่วนใหญ่ก็เป็นแค่การ “แทนค่า” และงานแบบนั้นทำให้เป็นอัตโนมัติได้ง่ายด้วย Mathematica
พอเข้ามหาวิทยาลัยและได้เรียนทฤษฎีจำนวนกับพีชคณิตนามธรรม ก็ช็อกที่พบว่าคณิตศาสตร์งดงามจนแทบอธิบายเป็นคำพูดไม่ได้ หลังจากเรียนการวิเคราะห์เชิงจริง จึงเพิ่งเห็นว่าแม้แต่แคลคูลัสก็มีด้านที่ไม่ได้ดูเหมือนการเสียเวลา
วันหนึ่งกลับไปที่โรงเรียนมัธยม แล้วถาม Andrew Merrill ซึ่งตอนนั้นเป็นเมนเทอร์ด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์ของผมอย่างกระตือรือร้นว่า ทำไมถึงไม่ให้ได้สัมผัส ทฤษฎีกลุ่ม คำตอบคือ SAT เพราะเนื้อหาแบบนั้นไม่ออก SAT จึงไม่มีเหตุผลที่จะสอน
เหตุผลที่สอนแคลคูลัสคือมันเป็นวิชาพื้นฐานที่ต้องเรียนก่อนวิศวกรรมและฟิสิกส์ และหลังการแข่งขันด้านอวกาศ เรื่องนี้ก็กลายเป็นสิ่งสำคัญ
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/SAT_Subject_Tests
ที่แคนาดาก็มีหลักสูตรที่เน้นแคลคูลัสคล้ายกันไปจนถึงปีหนึ่งมหาวิทยาลัย และมีพีชคณิตเชิงเส้นปนอยู่เล็กน้อย เหตุผลคือวิศวกรรม ฟิสิกส์ บางสาขาของเคมี·ชีววิทยา สถิติ และบางสาขาของเศรษฐศาสตร์ ล้วนต้องใช้แคลคูลัส
ในสังคม คณิตศาสตร์เหนือสิ่งอื่นใดคือ เครื่องมือ ผมพูดในฐานะคนที่เรียนคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และมุ่งเน้นพีชคณิตกับทฤษฎีจำนวน สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่แล้ว ประโยชน์ใช้งานจริงเป็นแก่นสำคัญจริง ๆ คณิตศาสตร์มีชั้นของนามธรรมที่เพลิดเพลินได้ยากหากไม่มีการวางกรอบอย่างตั้งใจ ต่างจากวิทยาศาสตร์หรือมนุษยศาสตร์
อยากพูดว่า “โง่เอ๊ย ปัญหาคือเศรษฐกิจต่างหาก” ความเหลือพอทางใจก็เป็นทรัพยากรเช่นกัน คนส่วนใหญ่ไม่เรียนคณิตศาสตร์ ไม่ใช่เพราะไม่อยาก แต่เพราะทำไม่ได้
ถ้าสำรวจว่าหากได้รับ รายได้พื้นฐาน ที่ครอบคลุมค่าใช้จ่ายและความจำเป็นทั้งหมดแล้วจะทำอะไร ผมคิดว่าหลายคนน่าจะเลือกการเติมเต็มตนเองหรือศิลปะ การฝึกฝนและเรียนคณิตศาสตร์ก็จัดอยู่ในสองอย่างนั้น
ในส่วนนี้ การมุ่งเน้น สติรู้ตัว อย่างเช่น vipassana อาจช่วยได้มาก แต่สติรู้ตัวไม่ใช่การฝึกทางปัญญา หากเป็นสิ่งที่ต้องใช้ชีวิตปฏิบัติจริง ถ้านั่งสมาธิวันละหลายชั่วโมง ภายในไม่กี่เดือนก็จะไปถึงจุดที่ดีได้
อย่างน้อยจากเรื่องเล่ารอบตัว สิ่งที่เกิดขึ้นแทนคือหลายคนมีลูกเพิ่มขึ้น
เพราะนี่ไม่ใช่การแข่งขัน จึงไม่จำเป็นต้องเก่งคณิตศาสตร์กว่าคนอื่น แต่สิ่งที่ผมไล่ตามอย่างอื่น เช่น วิทยาการเข้ารหัสลับ อัลกอริทึมที่ดีกว่า และความเข้าใจฟิสิกส์ กำลังถูกจำกัดด้วยความเข้าใจคณิตศาสตร์แบบดิบ ๆ ของผม
ถ้าผมเป็นเศรษฐี สิ่งหนึ่งที่ผมจะไล่ตามคือการพักผ่อนในบ้านริมชายหาดและเรียนคณิตศาสตร์ให้มากในเวลาว่าง