ความบังเอิญอันน่าทึ่งหรือความเชื่อมโยงที่คาดไว้: ทำไม π² ≈ g

 (roitman.io)
1 คะแนน โดย GN⁺ 2024-08-11 | 1 ความคิดเห็น | แชร์ทาง WhatsApp

ความสอดคล้องอันน่าพิศวง

  • คำถามว่าทำไม π² จึงเกือบเท่ากับ g
  • π เป็นจำนวนไร้มิติ ส่วน g เป็นปริมาณทางกายภาพ
  • ค่าทั้งสองไม่ได้เท่ากันอย่างแม่นยำ

ปัญหาที่ไม่ง่ายนัก

  • ค่า g แสดงในหน่วย m/s²
  • หากแสดงด้วยหน่วยอื่น ความสอดคล้องนี้จะหายไป
  • จำเป็นต้องเข้าใจนิยามของเมตรและวินาที

นิยามของเมตร

  • เมตรคือระยะทางที่แสงเดินทางในสุญญากาศภายในเวลา 1/299,792,458 วินาที
  • นิยามนี้ไม่ได้มี π รวมอยู่ด้วย

ประวัติของมาตรฐาน

  • ในอดีต มีการวัดความยาวโดยอิงจากอวัยวะของร่างกายมนุษย์
  • เมื่อเกิดความจำเป็นในการทำให้เป็นมาตรฐาน จึงมีการเสนอให้นิยามโดยใช้ค่าคงที่ตามธรรมชาติ

ความฝันของการทำให้เป็นมาตรฐานและแรงโน้มถ่วง

  • ในศตวรรษที่ 17 คริสเตียอัน ฮอยเคินส์เสนอการนิยามเมตรโดยใช้ความยาวของลูกตุ้ม
  • แต่เกิดปัญหาที่ความยาวของลูกตุ้มเปลี่ยนไปตามตำแหน่งบนโลก

สมการอันน่าทึ่ง

  • π ปรากฏอยู่ในสูตรคำนวณคาบของลูกตุ้ม
  • เมื่อนำพารามิเตอร์ลูกตุ้มของฮอยเคินส์มาแทน จะได้ว่า π² = g

การปฏิวัติฝรั่งเศสและการเปลี่ยนแปลงของเมตร

  • ในปี 1791 สถาบันวิทยาศาสตร์ฝรั่งเศสได้เปลี่ยนนิยามของเมตร
  • กำหนดให้เป็นหนึ่งในสี่สิบล้านส่วนของเส้นเมริเดียนปารีส

เมตรที่แท้จริง

  • มีการวัดเส้นเมริเดียนปารีสจริงเพื่อนำนิยามเมตรมาใช้
  • แต่เนื่องจากไม่ได้คำนึงถึงความแบนของโลก จึงเกิดความคลาดเคลื่อนเล็กน้อย

บทสรุป

  • ความต่างระหว่าง π² กับ g อยู่ที่ประมาณ 0.06
  • หากนิยามของเมตรไม่ถูกเปลี่ยน สมการอันงดงาม π² = g ก็คงจะเป็นจริง

# สรุปโดย GN⁺

  • บทความนี้สำรวจความสัมพันธ์ระหว่าง π² กับ g พร้อมอธิบายภูมิหลังทางประวัติศาสตร์และหลักการทางวิทยาศาสตร์
  • กล่าวถึงความคลาดเคลื่อนที่เกิดขึ้นจากการเปลี่ยนนิยามของเมตรหลายครั้ง
  • ช่วยให้เข้าใจความเชื่อมโยงที่น่าสนใจระหว่างคณิตศาสตร์และฟิสิกส์
  • หากสนใจหัวข้อใกล้เคียงกัน ขอแนะนำ 'ประวัติของค่าคงที่ธรรมชาติและหน่วยวัด'

บทความที่เกี่ยวข้อง

1 ความคิดเห็น

 
GN⁺ 2024-08-11
ความคิดเห็นจาก Hacker News

  • น่าสนใจ แต่ผมอยากแย้งส่วนนี้: “ถ้าแสดงด้วยหน่วยอื่น ความมหัศจรรย์ก็หายไปทันที ดังนั้นมันจึงไม่ใช่ความบังเอิญ”
    โดยทั่วไป นี่กลับเป็นเหมือน สัญญาณที่ชัดเจนของความบังเอิญ มากกว่า ถ้าจะหาฮิวริสติกเพื่อดูว่าอะไรไม่ใช่ความบังเอิญ เกณฑ์ที่ถูกคือ “ยังคงอยู่ไหมเมื่อเปลี่ยนหน่วย”
    เพียงแต่กรณีนี้ดูเหมือนเป็นกรณีพิเศษที่ฮิวริสติกนั้นใช้ไม่ได้ผล

    • ไม่จำเป็นต้องเป็นอย่างนั้นเสมอไป ตอนเรียนดาราศาสตร์ ผมได้เรียนมาว่าถ้าสังเกตเห็น คาบที่ใกล้เคียงกับ 1 ปีหรือ 1 วัน มักไม่ใช่ความบังเอิญ แต่เป็นเพราะยังไม่ได้ชดเชยการโคจรหรือการหมุนของโลกอย่างถูกต้อง
    • ไม่จริง สมการทั้งหมดท้ายที่สุดแล้วโยงกลับไปที่ นิยามของเมตร หรือพูดให้แม่นยำกว่านั้นคือหนึ่งในนิยามเก่า ๆ ของมัน
    • แปลกใจที่มีหลายคนไม่เห็นด้วยกับคำโต้แย้งนี้ ผมก็คิดเหมือนกันเป๊ะ
      ถ้า π² เท่ากับ g อย่างแม่นยำ และ “ความมหัศจรรย์” หายไปเมื่อใช้หน่วยอื่น ตอนนั้นค่อยพูดได้ว่า “ดังนั้นมันจึงไม่ใช่ความบังเอิญ” และสรุปว่ามันเกี่ยวข้องกับตัวหน่วยเอง
      แต่ π² แค่ใกล้เคียงกับ g เท่านั้น และเมื่อใช้หน่วยอื่นความมหัศจรรย์ก็หายไป ดังนั้นถ้าก่อนอ่านบทความ ผมคงมองว่าเป็นความบังเอิญ
    • เห็นด้วย ไม่ว่าเรื่องจะคลี่คลายอย่างไรในตอนหลัง การเขียนว่า “ดังนั้นมันจึงไม่ใช่ความบังเอิญ” ทันทีหลังจากสิ่งที่ดูเผิน ๆ เหมือน การแสดงให้เห็นความบังเอิญ นั้นชวนงง
    • เห็นด้วย แต่ถ้าตัดคำว่า “so” ออก ก็ไม่ขัดแย้งกัน ผู้เขียนอาจไม่ได้หมายถึง “ดังนั้น” จริง ๆ แต่อาจใช้เหมือน เครื่องหมายเชื่อมวาทกรรม ที่ไม่ได้มีความหมายมากนัก

  • ในฐานะนักฟิสิกส์ มันสมเหตุสมผลนะ π = 3, π² = 10 และนั่นก็คือ g
    ไม่เข้าใจว่าทำไมทุกคนถึงประหลาดใจ
    อ้อ แล้วก็จำได้ว่า 1 ปีคือ π*10e9 วินาที

    • ในฐานะนักวิทยาการคอมพิวเตอร์ ก็ไม่น่าประหลาดใจเหมือนกัน สุดท้ายตัวเลขก็มีแค่ 0, 1, n สามตัวเท่านั้น
    • ในฐานะนักฟิสิกส์เหรอ? ตอนเรียนฟิสิกส์ที่โรงเรียน เวลาทำโจทย์ คำตอบจะมีทั้งตัวเลขและ หน่วย เสมอ π² เป็นจำนวนล้วน จึงอาจเป็น 10 ได้ แต่ g เป็นปริมาณทางฟิสิกส์คือความเร่ง จึงไม่มีทางเป็นแค่ 10 เฉย ๆ ได้ ต้องเป็น 10 ในหน่วยใดหน่วยหนึ่ง
    • ผมนึกว่าความเชื่อมโยงระหว่าง π กับ g เป็นเพราะวัวที่เร่งในสุญญากาศมีรูปทรงเป็น ทรงกลม
    • π วินาทีคือ หนึ่งนาโนศตวรรษ ดังนั้น 1 ปี = π*10^7 วินาที
    • ในฐานะวิศวกรเครื่องกล ยืนยันได้ว่า e ≈ π ≈ 3

  • “ความบังเอิญเจ๋ง ๆ” อีกอย่างคือการแปลงไมล์เป็นกิโลเมตรมีค่าคงที่ 1.609344: kilometers = miles * 1.609344 ขอเรียก 1.609344 นี้ว่าค่าคงที่ “km”
    ปรากฏว่า km ใกล้เคียงกับ อัตราส่วนทองคำ (sqrt(5)+1)/2 = 1.618033989... มาก ความต่างมีเพียงราว 0.5% (100 * (gr/km - 1) = 0.54%)! ตามถ้อยคำของผู้เขียนต้นฉบับ “ถ้าแสดงด้วยหน่วยอื่น ความมหัศจรรย์ก็หายไปทันที ดังนั้นมันจึงไม่ใช่ความบังเอิญ...” อืม... เดี๋ยวนะ?
    ยังมีอีกอย่าง π(3.141592654...) เกือบเท่ากับ 4 / sqrt(gr)(3.144605511...) และขอเรียกตัวหลังว่า “ap” จาก “almost pi” มันเชื่อม π เข้ากับอัตราส่วนทองคำ และความต่างมีเพียง 0.096% (100 * (pi/ap - 1)) เท่านั้น ต้องมีความหมายอะไรสักอย่างแน่ ๆ ใช่ไหม?
    สุดท้าย อันที่ผมชอบที่สุด: 111111111^2 = 12345678987654321 นี่มัน ... อืม ... เดี๋ยวก่อน ...

    • ไมล์เชื่อมกับฟุต แล้วฟุตกับแรงโน้มถ่วงเชื่อมกับอัตราส่วนทองคำหรือเปล่า? 6 ฟุต ให้ความรู้สึกเหมือน 2π ไหม?
    • 1 ปีใกล้เคียงกับ π * 1e7 วินาทีมาก และค่าคลาดเคลื่อน น้อยกว่า 0.5%
    • ln(5) ~ 1.6094379 ใกล้กว่ามาก และความต่างอยู่ประมาณ 0.5% ของหนึ่งเปอร์เซ็นต์
    • ที่สุดคือ sum(1, 36)

  • ถ้ากำหนดความยาวของเมตรให้เป็นความยาวของ ลูกตุ้มนาฬิกาวินาที g ก็คงเท่ากับ π² พอดี จากสมการลูกตุ้ม:
    T = 2π√(L/g)
    แทนค่า T = 2 s, L = 1 m:
    2 s = 2π√(1 m / g)
    แก้หา g:
    g = π² m/s²
    สิ่งนี้เป็นจริงไม่ว่าแรงโน้มถ่วงจะมีขนาดเท่าใด แต่ความยาวของเมตรก็จะเปลี่ยนไปตามนั้น
    [1]. อันที่จริง Talleyrand เคยเสนอเรื่องนี้ในปี 1790 ลองจินตนาการถึงโลกที่สิ่งนี้กลายเป็นจริงดูสิ

    • ในบทความอธิบายว่า Huygens เสนอสิ่งนี้ใน ศตวรรษที่ 17 และก็แสดงการไล่สมการแบบเดียวกันด้วย :)

  • มีอีกเรื่องที่เกี่ยวข้องซึ่งผมชอบ ทำไม จำนวนอาโวกาโดร กับ ค่าคงที่โบลทซ์มันน์ ถึงดูเหมือนเป็นส่วนกลับกัน N ~ 1/k? หน่วยไม่ตรงกัน เลยทำให้ประโยคนี้ไม่มีความหมายในตัวเอง แต่ในระบบหน่วย MKS มันเป็นจริง
    เพราะเมื่อคูณทั้งสองเข้าด้วยกัน จะได้ค่าคงที่แก๊สที่ประมาณ 1 ทั้งคู่เป็นตัวเลขที่พาเราจากหน่วยระดับจุลภาคไปสู่หน่วยระดับมนุษย์ และในค่าคงที่แก๊สที่อธิบายแก๊สซึ่งเราสัมผัสในระดับมนุษย์ ทั้งสองก็หักล้างกัน

    • ที่น่าสนใจคือค่าคงที่อาโวกาโดรจริง ๆ แล้วเท่ากับ 1 มันถูกนิยามว่าเป็นจำนวนอาโวกาโดรคูณด้วยโมล เพราะ ตัวโมลเองเป็นปริมาณไร้มิติที่เท่ากับส่วนกลับของจำนวนอาโวกาโดร
    • แต่ก็ยังเป็นความบังเอิญไม่ใช่เหรอ? Nk=8.31 คือความดันปริมาตร/อุณหภูมิของแก๊ส 1 โมล
      ช่วงอุณหภูมิค่อนข้างแคบ (100~1000) และถ้านิยามเมตร·วินาที·กิโลกรัมต่างออกไป ก็ไม่มีเหตุผลอะไรที่ช่วง P*V จะต้องไม่หลุดไปไกลเป็นแบบ 0.01~0.1

  • คงยากที่จะอธิบายเรื่องนี้ให้แย่ไปกว่านี้ได้อีก
    บทความนี้เขียนให้ผู้อ่านแบบไหนกันแน่ สำหรับคนที่ไม่รู้ฟิสิกส์ มันเป็นคำอธิบายที่ยาวเกินไปและชวนสับสนมาก การอธิบายว่าหน่วยหนึ่งพึ่งพาอีกหน่วยหนึ่งอย่างไร และทำไม ความสามารถในการสร้างระบบเมตริกขึ้นมาใหม่ได้ด้วยตัวเอง จึงสำคัญ น่าจะสำคัญกว่าประวัติศาสตร์ยืดยาวของมาตรฐานความยาวมาก
    ยังมีคำถามอีกมากที่ไม่ได้ตอบ วินาทีถูกนิยามด้วยอะไร? เวลาไม่ได้วัดด้วยลูกตุ้มหรือ? ทำไมนิยามทางดาราศาสตร์จึงน่าเชื่อถือกว่า?
    สำหรับคนที่รู้ฟิสิกส์ สามารถเขียนให้สั้นและชัดเจนกว่านี้มากได้ เช่น: “นิยามสากลของเมตรจำเป็นต้องมีค่าคงที่ที่ปรากฏในธรรมชาติ เช่น แรงโน้มถ่วง จะวัดระยะที่วัตถุตกลงมาในช่วงเวลาหนึ่งก็ได้ แต่ใช้ลูกตุ้มง่ายกว่า ลูกตุ้มแกว่งอย่างสม่ำเสมอด้วยคาบประมาณ 2πsqrt(ความยาวเชือก/แรงโน้มถ่วง) หากกำหนดให้แรงโน้มถ่วงเป็น π² ค่า π จะตัดกันหลังเครื่องหมายรากที่สอง ทำให้ T = 2*sqrt(Length) ลูกตุ้มยาว 1 เมตรใช้เวลาไป-กลับ 2 วินาที และแกว่งหนึ่งครั้งใช้เวลา 1 วินาที จึงมีประโยชน์ นาฬิกาในยุคนั้นค่อนข้างแม่นยำ และวินาทีสามารถสร้างซ้ำได้จากการสังเกตการณ์ทางดาราศาสตร์ ดังนั้นจึงนำลูกตุ้มมา ปรับความยาวให้แกว่งหนึ่งครั้งทุก ๆ 1 วินาทีพอดี แล้วใช้เชือกหรือแท่งนั้นวัดอะไรก็ได้ แนวคิดนี้ดูดี จึงเปลี่ยนค่าคงที่แรงโน้มถ่วงให้เป็น π² (9.87 m/s²) ถ้าทำให้เมตรสั้นลง ทุกอย่างก็จะยาวขึ้น ต่อมาพบว่าแรงโน้มถ่วงบนพื้นผิวโลกแตกต่างกันไป และการสร้างลูกตุ้มเชิงคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์แบบขึ้นมาใหม่ทำได้ยาก จึงเปลี่ยนไปใช้นิยามฐานดาราศาสตร์ที่อิงกับขนาดของโลก แต่นั่นก็มีปัญหาอีก จึงเก็บแท่งวัตถุยาว 1 เมตรไว้ที่ปารีส ไม่กี่ปีที่ผ่านมา นักฟิสิกส์เริ่มใช้ค่าคงที่พลังค์ ซึ่งเป็นระยะที่เล็กที่สุดที่วัดได้”

    • ปัจจุบัน (ตั้งแต่ปี 2019 เป็นต้นมา) เมตรถูกนิยามว่าเป็น ระยะทางที่แสงเดินทางในสุญญากาศในช่วง N คาบของนาฬิกาอะตอม[1] หากจะคำนึงถึงผลของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ก็ต้องระบุด้วยว่าวัดที่ใดบนโลก เพราะแรงโน้มถ่วงมีผลต่ออัตราการเดินของนาฬิกา
      ตอนนี้ความเร็วแสงไม่ใช่ค่าที่วัดได้ แต่เป็นค่าที่กำหนดโดยนิยาม เรื่องนี้ค่อนข้างลึกซึ้ง เพราะระบบหน่วยของเราตอนนี้ตั้งอยู่บน ความถูกต้องของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ
      1 - https://en.wikipedia.org/wiki/Metre

  • เป็นบทความที่ดีมาก และมีจุดพลิกผันเจ๋ง ๆ จากประวัติของนิยามเมตร
    อ่านแล้วนึกถึงนักคณิตศาสตร์อย่าง Ramanujan คนที่ใช้เวลาค่อนข้างมากกับการเล่นกับตัวเลขสุ่ม ๆ แล้วมองหาความเชื่อมโยง เพียงแต่กรณีนี้ ผู้เขียนน่าจะรู้ประวัติศาสตร์อยู่แล้วตั้งแต่แรก
    อย่างไรก็ดี ผมรู้สึกว่าปริญญาคณิตศาสตร์ได้ฆ่า ความสนุกในการสำรวจความสัมพันธ์ของตัวเลข ไปบ้าง ตอนเด็ก ๆ ผมชอบสร้างและค้นหาความเชื่อมโยงเหมือนการขีดเขียนแปลก ๆ แต่พอเรียนจบปริญญา ผมกลับอยากคิดถึงความเชื่อมโยงระหว่างองค์ประกอบพื้นฐานที่เป็นนามธรรมมากกว่าซึ่งได้เรียนมา
    ถึงอย่างนั้น ดูเหมือนว่านักคณิตศาสตร์ที่ประสบความสำเร็จจำนวนมากยังทำงานในลักษณะนี้อยู่ คือสังเกตเห็นความเชื่อมโยงแปลก ๆ แล้วค่อยเติมทฤษฎีเข้าไปว่าเหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น และบางครั้งก็นำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าสนใจจริง ๆ

  • ขอแนะนำ The Measure of All Things ของ Ken Alder ซึ่งเกี่ยวข้องกับเรื่องนี้ โดยว่าด้วยต้นกำเนิดของระบบเมตริกและการประชุมวิชาการทางวิทยาศาสตร์ครั้งแรก อ่านแล้วดึงดูดใจอย่างคาดไม่ถึงมาก
    https://www.simonandschuster.com/books/The-Measure-of-All-Th...

  • ไม่เกี่ยวกับเนื้อหาเลย แต่เป็นเรื่องของเว็บไซต์เอง
    พอเข้าเว็บแล้วมันพังเละหมด ตรวจดูแล้วพบว่าถ้าเปิด Stylus (ส่วนขยายสำหรับฉีด CSS) พร้อมกฎใด ๆ แม้จะมีแค่กฎแบบ global ก็ทำให้ใช้งานไซต์ไม่ได้ เพราะมันสร้างด้วยเฟรมเวิร์ก React จึงไม่ใช่แค่หน้าตาแปลก ๆ แต่พังไปเลย
    ผมเปิด ticket และได้รับคำตอบอย่างรวดเร็วจากนักพัฒนา Stylus ดูเหมือนว่าเว็บไซต์นี้และทุกไซต์ที่สร้างด้วย caseme.io จะโยนข้อผิดพลาดและพังเมื่อมันตรวจพบ node ที่ถูกฉีดเข้าไปใน ``
    [1] https://github.com/openstyles/stylus/issues/1803

    • ตอนนี้ผมไม่ได้ใช้ Stylus แต่ของผมก็พังเหมือนกัน ดูเหมือนว่า ไม่มี CSS ถูกนำมาใช้เลย มีภาพโลโก้ขนาดใหญ่กับข้อความฟอนต์เริ่มต้นออกมา ไม่รู้ว่าส่วนขยายไหนเป็นสาเหตุ แต่น่าจะเป็น Dark Reader ถึงอย่างนั้นก็ยังอ่านได้ เลยไม่ใช่ปัญหาใหญ่

  • ผมสงสัยมากว่ากลยุทธ์ที่ว่า “ถ้าต้องซื้อผ้าเพิ่ม ก็คงเรียกคนที่สูงที่สุดในหมู่บ้านมาให้เขาวัดผ้าด้วยคิวบิตของเขา” จะใช้ได้จริงกับพ่อค้าผ้าหรือไม่
    ถึงจะไม่มีมาตราชั่งตวงวัดทางการ แต่พวกเขาก็ไม่ได้โง่

    • เมื่อดู shrinkflation แบบโจ่งแจ้งในปัจจุบัน ความเห็นนี้ก็ให้ความรู้สึกประชดประชันอย่างน่าขำดี