ข้อคิดเกี่ยวกับวิธีที่ได้ผลใน Math Circle
(buttondown.email)- จากการจัด Math Circle กับเด็กอายุ 7–8 ปี 7 คนเป็นเวลาประมาณ 7 เดือน พบว่ามีความแตกต่างอย่างมากระหว่างหัวข้อที่ผู้ใหญ่นึกว่าน่าสนใจกับหัวข้อที่เด็ก ๆ อินจริง
- กิจกรรม เชิงภาพและการลงมือทำ อย่าง SET, ปริศนาพับแล้วตัด, เทสเซลเลชัน, flexagon และการสร้างรูปด้วยไม้บรรทัดกับวงเวียน ไม่ได้ผลเท่าที่คาด ส่วนโจทย์ที่มีเรื่องราวอย่างปริศนาคนโกหกกลับได้รับการตอบสนองอย่างแรง
- แค่รูปทรงเรขาคณิตหรือแพตเทิร์นตัวเลขทำให้ความสนใจจางลงได้ง่าย แต่ในสถานการณ์ที่มี ความน่าสงสัยและเบาะแส เช่น “ใครคือคนโกหก” เด็ก ๆ จะเริ่มไล่กรณีที่เป็นไปได้และความขัดแย้ง จนเกิดเซนส์ของการพิสูจน์
- ปัญหา Seven Bridges เริ่มจากเรื่องเล่า แต่เมื่อเด็ก ๆ พยายามหา “ปัญหาสะพานที่เป็นไปไม่ได้ที่เล็กที่สุด” ด้วยตัวเอง พวกเขาได้สัมผัสกับ การทำปัญหาให้ง่ายลง และการค่อย ๆ เพิ่มความซับซ้อนกลับเข้าไป
- วิธีปล่อยให้คณิตศาสตร์พูดด้วยตัวเองอาจเหมาะกับกลุ่มที่สนใจอยู่แล้ว แต่สำหรับเด็กที่ยังไม่ได้รักคณิตศาสตร์มาก่อน จำเป็นต้องมี กรอบเรื่องเล่าที่ชวนอิน มากกว่า
ความต่างของความสนใจที่ปรากฏใน Math Circle ตลอด 7 เดือน
- กลุ่มเป้าหมายคือเด็กชายหญิง 7 คน อายุ 7 ปีที่กำลังจะขึ้น 8 ปี หลังจากจัด Math Circle เป็นเวลาประมาณ 7 เดือน จึงย้อนดูว่าอะไรได้ผลบ้าง
- มีช่องว่างขนาดใหญ่ระหว่างหัวข้อคณิตศาสตร์ที่ดูน่าดึงดูดจากมุมมองผู้ใหญ่ กับหัวข้อที่เด็ก ๆ ตั้งใจจริง ๆ
กิจกรรมที่ไม่ได้ผลดีอย่างที่คาด
- กิจกรรมต่อไปนี้ถูกคาดว่าเด็ก ๆ น่าจะชอบ แต่ในความเป็นจริงเกือบจะล้มเหลว
- The game SET
- Fold-and-cut puzzles
- Geometry snacks
- Cutting a Mobius strip
- Tessellations: Tooti Tooti
- Prime Climb
- การทำ flexagons
- การสร้างรูปด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน
- โดยเฉพาะเรขาคณิตได้รับการตอบสนองไม่ดี และโจทย์ที่เกี่ยวกับพื้นที่ของรูปทรงตามใจหรือบริเวณแรเงา ก็ยากจะห่อหุ้มด้วย เรื่องราวที่น่าสนใจ
- เทสเซลเลชันไม่ได้ดูสวยในสายตาเด็ก ๆ และในกิจกรรมพับแล้วตัดกับ flexagon เด็ก ๆ ขาด ทักษะการใช้มือ ในการตัดและพับกระดาษให้ดีพอ จึงเกิดความหงุดหงิดมากขึ้น
หัวข้อที่สำเร็จเกินคาด
- มีกิจกรรมที่คาดว่าเด็ก ๆ คงไม่ชอบ แต่ในความเป็นจริงกลับตอบสนองอย่างมาก
- Knights and Knaves puzzles และหัวข้อ ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ อย่าง blue-eyed islanders
- การให้เด็ก ๆ จัดตารางการแข่งขันกีฬาแบบพบกันหมดเอง และแก้ปัญหาเพื่อลดเวลาล่าช้าของทัวร์นาเมนต์ทั้งหมด
- ตอนแรกตั้งเป็นทัวร์นาเมนต์ฟุตบอล แต่เด็กที่ชอบฟุตบอลที่สุดไม่มาในสัปดาห์นั้น จึงเปลี่ยนเป็น การแข่งขันเต้น และสนุกขึ้นกว่าเดิม
- ปัญหา Seven Bridges และการหา “ปัญหาสะพาน” ที่เล็กที่สุดที่ “เป็นไปไม่ได้”
- การตัดสินว่าใครเก่งกว่าจากจำนวนครั้งที่ยิงจุดโทษสำเร็จและพลาด
- การสร้างแพตเทิร์นแบบ Pascal’s triangle ด้วยตัวเอง
- นอกจากนี้ยังมีกิจกรรมที่เด็ก ๆ ชอบตามคาด
- เกม Function Machine: เกมทายฟังก์ชันที่สามารถตั้งคำถามได้เหมือนกล่องดำ
- รูปแบบดัดแปลงของ Nim
- The Turing Tumble
- การแบ่งเค้กอย่างยุติธรรมโดยใช้คุกกี้จริงและท็อปปิงที่ไม่เท่ากัน
- เกมทฤษฎีเกมอย่าง Prisoner’s dilemma และ Chicken
- การทำ mocktail สำหรับ 3 คนโดยอิงจากสูตรสำหรับ 1 แก้วและสูตรสำหรับ 5 แก้ว
- เป็นการฝึกเรื่องเศษส่วน และหน่วยวัดใช้ทีละ 1/4 ออนซ์
การมีส่วนร่วมที่เกิดจากโครงสร้างแบบเรื่องเล่า
- ในบทความ Attention spans for math and stories ที่เขียนในปี 2019 ได้สรุปประสบการณ์การใช้ การเล่าเรื่อง เพื่อให้เด็ก ๆ เข้าร่วมกิจกรรมและรู้สึกว่าได้รับการต้อนรับในกลุ่ม
- ระหว่างอ่านวรรณกรรมเกี่ยวกับ Math Circle ก็เริ่มยอมรับแนวคิดว่า “คณิตศาสตร์ควรพูดด้วยตัวเอง” และในบางเซสชัน การเล่าเรื่องก็ไม่ได้ทำงานได้ดีนัก
- ในวิธีแบบนั้น ผู้นำกิจกรรมจะเริ่มจากปริศนาปลายเปิด เช่น “เราจะวาดรูปทรงที่สมบูรณ์แบบได้ไหม?” แล้วรอเงียบ ๆ จนกว่าผู้เข้าร่วมจะตั้งคำถามและสำรวจด้วยตัวเอง
- แนวทางนี้อาจเหมาะกับนักเรียนที่โตกว่า หรือเด็กที่มีความสนใจคณิตศาสตร์อยู่บ้างแล้ว
- แต่กลุ่มที่ร่วมกิจกรรมจริงเป็นเด็กชนชั้นกลางระดับบนทั่วไปที่มาที่ Math Circle หลังซ้อมฟุตบอล และเมื่อเบื่อก็จะเล่นซนหรือเล่นกันแบบกอดรัดฟัดเหวี่ยง
- เด็ก ๆ ไม่เคยเล่น “Among Us” แต่ก็เรียกอะไรบางอย่างว่า “sus” อยู่เรื่อย ๆ
- แม้แต่แพตเทิร์นตัวเลข ถ้าไม่ห่อหุ้มด้วยรูปแบบที่ชวนอินกว่าเดิม พวกเขาก็ไม่ค่อยสนใจ
วิธีที่ Knights and Knaves ปลูกฝังเซนส์ของการพิสูจน์
- ฉากตั้งต้นว่า “ในสองคนนี้มีคนหนึ่งเป็น คนโกหกตัวร้าย และต้องหาจากเบาะแสในคำพูดว่าใครคือคนโกหก” ได้ผลดีมาก
- ปริศนา Knights and Knaves ข้อแรกทำโดยเขียนคำพูดของ Alice และ Bob ลงบนกระดาษ ติดกับหลอดพลาสติก แล้วยกขึ้นเหมือนป้าย
- Alice: Bob is a liar!
- Bob: Neither of us are liars
- เด็ก ๆ บอกทันทีว่าใครดู “sus” ที่สุด และตอนแรกมองว่า Alice น่าสงสัยเพราะกล่าวหา Bob
- ผ่านการอภิปราย เด็ก ๆ เข้าใจว่าคำพูดของ Alice และ Bob ขัดแย้ง กัน จึงเป็นไปไม่ได้ที่ทั้งคู่จะพูดจริงพร้อมกัน
- เด็ก ๆ ยังไม่รู้คำว่า “ความขัดแย้ง” และมักเรียกสิ่งนี้ว่า “opposites”
- เมื่อลองไล่กรณีที่เป็นไปได้ ตอนแรกคิดว่ามี 2 กรณี ก่อนจะไปถึงข้อสรุปว่ามี 4 กรณี
- ทั้งคู่เป็นคนโกหก
- Alice เป็นคนโกหก, Bob เป็นคนพูดจริง
- Alice เป็นคนพูดจริง, Bob เป็นคนโกหก
- ทั้งคู่เป็นคนพูดจริง
- หลังตรวจสอบแต่ละกรณี ทุกคนเห็นพ้องว่าความเป็นไปได้เดียวคือ Alice พูดจริง และ Bob โกหก
- เมื่อกำลังจะไปปริศนาข้อต่อไป เด็ก ๆ ถามว่าพวกเขาตอบข้อแรกถูกไหม และหลังจากถูกถามกลับว่า “พวกเธอคิดว่าตัวเองตอบถูกไหม?” ก็แสดงท่าทีว่ายังไม่มั่นใจพอ
- หลังจากนั้นทุกคนจึงตกลงว่าจะคิดต่อไปจนกว่าจะ มั่นใจด้วยการพิสูจน์ และต่อมามีเด็กคนหนึ่งพูดว่า “ไม่ใช่ กรณีนั้นเราพิสูจน์ไปแล้วนี่!”
การเปลี่ยนแปลงต่อเนื่องที่เห็นใน Seven Bridges และ flexagon
- ปัญหา Seven Bridges of Königsberg เริ่มจากเรื่องเล่า แต่เด็ก ๆ ทิ้งเรื่องเล่าอย่างรวดเร็ว แล้วมุ่งสนใจที่ โจทย์ท้าทาย เอง
- ในเซสชันถัดมา เด็ก ๆ อยากลองทำปัญหานี้อีก และอยากหา “ปัญหาสะพานที่เป็นไปไม่ได้ที่เล็กที่สุด”
- แม้พวกเขาแก้ปัญหาต้นฉบับไม่ได้ แต่เห็นได้ชัดว่าพวกเขาทำปัญหาให้ง่ายลง ทำให้เล็กลง แล้วค่อยเพิ่มความซับซ้อนกลับเข้าไปจากจุดที่ยังแก้ได้
- แม้เด็ก ๆ จะไม่ชอบกิจกรรมทำ flexagon แต่ในตอนท้ายเซสชัน ก็ทำ hexaflexagon จากเทมเพลตที่มีรูปสีสดและแยกแยะชัดในแต่ละหน้าให้เป็นของขวัญ
- เทมเพลตที่ใช้คือ printed template
- ไม่กี่สัปดาห์ต่อมา พ่อของเด็กคนหนึ่งเล่าว่าเด็กคนนั้นติดใจ hexaflexagon มาก และเพิ่งค้นพบหน้าที่หกเมื่อไม่นานมานี้
- การเคลื่อนที่ของ flexagon หากวาดเป็นแผนที่เหมือนแผนที่ Seven Bridges ก็จะมองเห็นพื้นที่สถานะทั้งหมดได้ชัดขึ้น
แนวทางที่จำเป็นหากเริ่มกลุ่มใหม่
- กลุ่มนี้เองก็เริ่มค่อย ๆ คุ้นเคยกับการชื่นชมคณิตศาสตร์เพื่อคณิตศาสตร์เองมากขึ้นตามเวลา
- หากเริ่มใหม่กับกลุ่มเด็กที่ยังไม่มี ความรักคณิตศาสตร์มาก่อน จะต้องออกแบบอย่างตั้งใจยิ่งขึ้นเพื่อห่อหุ้มโจทย์ด้วยเรื่องราวที่ชวนอิน
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นจาก Hacker News
เด็ก ๆ เหล่านี้ถือว่า โชคดีมากจริง ๆ ที่ได้เจอแนวคิดและโจทย์แบบนี้จากครูที่มีแรงจูงใจสูงตั้งแต่อายุยังน้อยขนาดนี้
แม้แต่ในกลุ่มคนที่ทำงานเป็นครูคณิตศาสตร์ระดับ K-12 ก็คงมีไม่มากที่สอนหลักสูตรแบบนี้ได้ดี แต่พอดูบล็อกของผู้เขียนแล้ว ดูเหมือนว่าเขาไม่ได้ทำเพราะได้เงินก้อนใหญ่ แถมเหมือนจะทำฟรีด้วยซ้ำ และดูเหมือนยังพยายามโน้มน้าวผู้ปกครองคนอื่น ๆ ให้พาเด็ก ๆ เข้าร่วมด้วย: https://buttondown.email/j2kun/archive/a-foray-into-math-cir...
ในการศึกษาคณิตศาสตร์มี ช่องว่างด้านอภิสิทธิ์ ขนาดใหญ่ที่คนวงนอกคณิตศาสตร์ไม่ค่อยรู้จัก นักเรียนที่เรียนตามหลักสูตรมาตรฐานหรือหลักสูตรเร่งรัดเท่านั้น มักจะเตรียมพร้อมสำหรับเส้นทางอาชีพทางคณิตศาสตร์ได้น้อยกว่านักเรียนที่ได้สัมผัสแนวคิดนอกมาตรฐานแบบนี้ตั้งแต่เด็กผ่านติวเตอร์ โรงเรียนเด็ก gifted หรือพ่อแม่ที่เป็นนักคณิตศาสตร์
หลักสูตรมาตรฐานจนถึงราวปี 2 มหาวิทยาลัยแทบจะเน้นการคำนวณแบบท่องจำเป็นหลัก แล้วจู่ ๆ ก็เปลี่ยนไปเน้นปัญหาเปิดและการพิสูจน์ แต่โลกที่นักคณิตศาสตร์มืออาชีพอาศัยอยู่นั้นต้องการความสามารถในการประยุกต์ตรรกะอย่างสร้างสรรค์ นักเรียนที่ได้รับการเปิดโลกแบบนี้ตั้งแต่เด็กจะเปลี่ยนผ่านได้ง่ายกว่ามาก และยังเริ่มสะสมสินทรัพย์สำหรับเส้นทางอาชีพคณิตศาสตร์ เช่น ผลงานตีพิมพ์และการแข่งขัน ได้ตั้งแต่เนิ่น ๆ
ผู้ปกครองคนอื่นอาจไม่รู้ แต่ OP กำลังให้บริการที่มีคุณค่าสูงมาก ซึ่งในบางพื้นที่หาได้ยากและผู้ปกครองบางคนยอมจ่ายเงินจำนวนมากเพื่อให้ได้มา
ผมไม่ได้อ่อนคณิตศาสตร์ แต่ก็ไม่ได้แก่แดดเป็นพิเศษ เคยเป็นตัวแทนโรงเรียนมัธยมต้นไปแข่งคณิตศาสตร์ระดับท้องถิ่นอยู่สองสามครั้ง แต่ก็ไม่ได้มีผลงานอะไรเป็นพิเศษ พอมองย้อนกลับไป มันรู้สึกแปลกอยู่เหมือนกันที่ไม่มีใครช่วยเตรียมตัวให้เลย
ในช่วง 1–2 ปีมานี้ ผมคิดเรื่องนี้มากขึ้น และย้ายเงินบริจาคส่วนใหญ่ไปให้โปรแกรมแนว math circle แม้จะตรวจสอบผลได้ยากกว่าสาเหตุแบบ effective altruism ก่อนยุค longtermism แต่ผมมองว่า การคิดเชิงคณิตศาสตร์ แบบนั้นมีคุณค่ามาก และหากไม่มีโปรแกรมแบบนี้ก็ยากที่จะได้มา
นึกถึงเรื่องที่ในฝรั่งเศส มีคนถามนักเรียนชั้นปีที่ 2 ว่า 2×3 เท่ากับเท่าไร เด็กคนนั้นรู้แค่สมบัติการสลับที่ของการคูณ แล้วตอบว่า “3×2”
ถ้าต้องการเข้าร่วม math circle ออนไลน์ในฐานะผู้ปกครองหรือผู้สอนที่มีศักยภาพ ดูได้ที่ https://theglobalmathcircle.org
Jeremy ผู้เขียนบทความนี้ก็จบโปรแกรมฝึกอบรมของที่นี่เช่นกัน
เกมเครื่องจักรฟังก์ชัน ผมเคยเห็นใน HN แล้วลองเล่นตอนลูกอายุ 6 ขวบ ซึ่งลูกชอบมาก
พอลูกเรียนปฏิบัติการทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนขึ้น ผมก็เพิ่มเข้าไปในกล่องเครื่องมือ และเมื่อสลับบทบาทกันแล้วลูกตอบคำถามของผมได้ถูกต้อง ผมก็รู้ได้ว่าเขาเข้าใจแนวคิดนั้นแล้ว
ถ้ากิจกรรมแบบนี้ทำให้สนใจ ก็มีตัวเลือกแบบเสียเงินที่คล้ายกันอยู่บ้าง แม้จะไม่มากนัก
ทีมคณิตศาสตร์หลังเลิกเรียนสำหรับเด็กอายุ 7–11 ปีในซานฟรานซิสโก: https://www.meetup.com/chess-games-inner-fire/events/2956372...
math circle หลังเลิกเรียนในโรงเรียนบางแห่งของ SFUSD: https://www.sfmathcircle.org/jose-ortega https://www.sfmathcircle.org/starr-king
องค์กรไม่แสวงหากำไร 501(c)(3) แบบรีโมตที่จัดเซสชันคณิตศาสตร์แข่งขันออนไลน์รายสัปดาห์สำหรับนักเรียนประถมและมัธยมต้น: https://mrmathonline.com/
ถ้ากำลังมองหาอะไรที่อยู่กึ่งกลางระหว่างชั้นเรียนกับ circle ก็น่าดู Engaging Math Circles(https://emc.school) หรือ Russian School of Math(RSM) ด้วย
ถ้าอยากรู้จัก math circle เพิ่มเติม มีเอกสารนี้: https://www.msri.org/people/staff/levy/files/MCL/Zvonkin.pdf
นอกเรื่องนิดหนึ่ง ผมแนะนำ Mammoth Math สำหรับเด็ก ๆ ได้
https://www.penguinrandomhouse.com/books/704500/mammoth-math...
แม้จะเป็นช่วงวัยต่างกัน แต่ผมเคยใช้หัวข้อ การขุด Bitcoin ดึงความสนใจของนักเรียนมัธยมปลายได้
เป็นกิจกรรมประมาณ 15 นาทีหลังการบรรยายเรื่องบล็อกเชนในสัมมนาคริปโตกราฟี
เดิมทีอัลกอริทึม proof-of-work ของ Bitcoin คือการเปลี่ยนอินพุตตรงกลางของแฮชเพื่อให้ผลลัพธ์เริ่มต้นด้วยเลขศูนย์ฐานสองหลายตัว กล่าวคือหา
xที่ทำให้sha256(sha256(a || x || b)) < Hผมทำให้ง่ายลงเป็นx^2 % N < 10^Hอนุญาตให้ใช้เครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ และให้เปลี่ยนNกับHได้อย่างอิสระนักเรียนสนุกกันมาก ซึ่งผมคิดว่าเป็นเพราะมันร่วมสมัยกว่าปริศนาเก่า ๆ มีการแข่งขันกัน รางวัลมีความสุ่มอยู่ครึ่งหนึ่ง ทำให้ทีมที่เร็วหรือฉลาดได้เปรียบ รางวัลเป็น “Bitcoin ทางกายภาพ” ในรูปเหรียญช็อกโกแลต และถึงจะเกือบชนะได้ด้วยการไล่ลองแบบ brute force แต่ก็มีทางลัดให้ค้นหาได้มากมาย
น่าเสียดายที่ การสร้างรูปด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน ไม่สามารถดึงความสนใจของเด็ก ๆ ได้
ตอนนี้ผมกำลังดิจิทัลไลซ์ฉบับแปลภาษาฮีบรูของ Euclid's Elements อยู่ จึงคาดหวังว่าด้านกายภาพที่แทบจะเหมือนคาบศิลปะน่าจะน่าสนใจกว่าเนื้อหาเชิงทฤษฎี และการที่มันเป็นอิสระจากตัวเลขก็น่าจะทำให้รู้สึกน่ากลัวน้อยกว่าคาบคณิตศาสตร์ทั่วไป
ผมมองว่า Euclid's Elements มีคุณค่าทางการศึกษา นอกเหนือจากความสำคัญทางประวัติศาสตร์ แต่ความคิดของผมที่ว่ามันน่าจะสนุกกว่าในบริบทการเรียนสำหรับเด็กส่วนใหญ่อาจผิดก็ได้
ถ้ามีเด็กที่สนใจกีฬาบางชนิด กิจกรรมที่ใช้จำนวนครั้งที่ยิงเข้าและยิงพลาดเพื่อดูว่าใครยิงจุดโทษได้ดีกว่า เป็นวิธีที่ดีในการสอน พีชคณิตเชิงเส้น หนังสือ 'Who's #1? - The Science of Rating and Ranking' อธิบายวิธีประเมินและจัดอันดับหลายแบบอย่างละเอียด และเป็นหนึ่งในหนังสืออ่านบังคับในหลักสูตรปริญญาโทด้านวิทยาการข้อมูลของผม
แต่ผมไม่แน่ใจว่าเหมาะที่สุดสำหรับการเรียนหรือไม่ โดยทั่วไปหัวใจสำคัญคือการมีปฏิสัมพันธ์กับสื่ออย่างกระตือรือร้น เช่น ลองสร้างรูปเองโดยไม่ใช้โมเดล แต่กฎที่ใช้ได้ผลกับเด็กอาจต่างออกไป
กลับเป็นเรื่องน่ายินดีที่เด็ก ๆ สนใจ ตรรกศาสตร์ประพจน์ เพราะมันอาจเป็นรากฐานของการคิดอย่างสอดคล้องกันได้ ผมเองก็เคยคาดไว้เหมือนผู้เขียนว่าเด็ก ๆ น่าจะชอบกิจกรรมที่ลงมือทำมากกว่า
แรงจูงใจดั้งเดิมของการสร้างรูปด้วยไม้บรรทัดและวงเวียนตั้งแต่แรกคืออะไร ความคิดอย่างความสมบูรณ์ ความสมมาตร และความสามารถในการสร้างรูป ล้วนค่อนข้างเป็นนามธรรม
https://www.euclidea.xyz/ สนุกดี แต่ผมก็สนุกกับการวาดลวดลาย Girih ด้วย และผมก็ไม่ใช่เด็ก 8 ขวบ
ถ้าจะนำเสนอ Euclid ให้เด็ก ๆ รู้สึกสนุก ผมจำได้ว่าเกมชื่อ Euclidea ใช้ได้ดี: https://www.euclidea.xyz/
ไม่ใช่เพราะด้านสัจพจน์เท่าไร แต่เพราะคำถามที่เขย่าสมมติฐานทางคณิตศาสตร์อย่าง “จะลากเส้นตรงผ่านจุดสองจุดได้กี่เส้น? ตามใจเลย!” และเพราะแผนภาพที่น่าสนุก โมเดลระนาบโปรเจกทีฟ Fano กับโมเดลจาน Poincaré ก็น่าสนใจ และยังมีแอนิเมชันกับซอฟต์แวร์แบบโต้ตอบด้วย
แต่ถึงอย่างนั้นผ่านไปประมาณหนึ่งสัปดาห์ก็เบื่อแล้ว เซสชัน 2 ชั่วโมงสักครั้งที่อุทิศให้เรขาคณิตและการสร้างรูปหลายแบบน่าจะพอเหมาะ
เรขาคณิตเชิงสัจพจน์แบบ Euclid's Elements น่าสนใจและอาจเหมาะกับหลักสูตรมัธยมปลาย ก่อนที่นักเรียนจะเรียนพีชคณิต เป็นเรื่องยากที่จะมีความรู้สึกในการดึงสมการหรือบทพิสูจน์ออกมาจากจุดเริ่มต้นเล็ก ๆ ได้อย่างเหมาะสม และเรขาคณิตพิกัดก็ใช้งานได้จริงกว่ามาก อีกทั้งยังมีบางอย่างที่สร้างไม่ได้ตั้งแต่แรกด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน
การไล่ด่าน ระบบคะแนน และวิธีปลดล็อก “เครื่องมือ” ใหม่ด้วยการแก้บทพิสูจน์ ทำไว้ดีมาก
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.hil_hk.euc...
สำหรับกิจกรรมสอนเด็กวัยใกล้เคียงกัน ผมอยากเพิ่ม การนับถึง 1000 ด้วยนิ้วมือ
สำหรับโปรแกรมเมอร์อาจเป็นเรื่องธรรมชาติ แต่มีองค์ประกอบสำคัญที่ช่วยการสอนคณิตศาสตร์อยู่
คำถามว่า “นับถึง 1000 ด้วยนิ้วมือเป็นไหม?” ทำให้เด็ก ๆ รู้สึกเหมือนเวทมนตร์หรือพลังพิเศษ จึงสนุก ตอนแรกให้ดูว่านับได้ถึงประมาณ 20 โดยจะผ่านเลข 4 กับ 6 ไปอย่างรวดเร็ว จากนั้นให้ทายการจัดวางนิ้วแบบใดแบบหนึ่งที่ยังไม่เห็น และถ้าทายผิดก็แสดงให้ดูอีกครั้ง
เมื่อจับแพตเทิร์นได้แล้ว ให้ถามเป็นปริศนาว่าสภาพที่กางนิ้วทั้งหมดคือเลขอะไร โดยปกติมักติดขัด แต่ถ้าให้ใบ้ว่า “ถ้ามีนิ้วเพิ่มมาอีกหนึ่งนิ้ว และกางอยู่แค่นิ้วนั้น ส่วนที่เหลือพับหมด จะเป็นเลขอะไร? จากตรงนี้หาเลขอื่นได้ไหม?” แม้จะใช้เวลา แต่แทบทุกครั้งก็แก้ได้
ความงามของมันคือกำแพงในการเริ่มต้นต่ำ เด็กแค่ต้องคูณด้วย 2 เป็น และรู้ชื่อจำนวนถึง 1024 ก็พอ ในขณะเดียวกันยังสอนได้ทั้งการมีหลายรูปแทน การทำให้เป็นรูปแบบที่เหมาะกับเป้าหมาย และความรู้สึกว่าได้ “พลังพิเศษ” ที่หลุดจากความคาดหวังของคนทั่วไป
ปริศนาด้านบนยังแสดงให้เห็นด้วยว่าถ้าหาแพตเทิร์นเจอ ก็จะแก้ปัญหาได้ดีกว่า แทนที่จะใช้วิธีดิบ ๆ แบบบวกค่าของแต่ละนิ้วไปเรื่อย ๆ เราสามารถใช้ จุดอ้างอิง ที่ตำแหน่งใบ้ต่างจากตำแหน่งที่ต้องการเพียงหนึ่งได้ จุดอ้างอิงเป็นแนวคิดที่สำคัญมากในคณิตศาสตร์ และเป็นรากของวิธีแก้ปัญหาชื่อดังมากมาย
ถ้าลงลึกกว่านั้น ก็พูดถึงการพิสูจน์และการออกแบบอัลกอริทึมได้ด้วย สามารถอธิบายอัลกอริทึมคล้ายการพิสูจน์แบบอุปนัยได้ ขั้นเริ่มต้นคือฝ่ามือหันเข้าหาผู้ใช้ นิ้วทั้งหมดพับอยู่ และเริ่มจากด้านขวาโดยเพิ่มค่าที่นิ้วขวาสุด ในขั้นที่ n ให้เริ่มจากขอบขวา ถ้านิ้วพับอยู่ให้กางออก ถ้ากางอยู่ให้พับลง แล้วเพิ่มนิ้วถัดไปทางขวาด้วยเงื่อนไขเดียวกันแบบเรียกซ้ำ
ไม่ว่าจะเป็น “เกม” แบบไหน การยึดสิ่งที่เด็กชอบที่สุดเป็นศูนย์กลางมักได้ผลดี ถ้าเด็กติดขัดในเกมหนึ่ง ก็ใช้เกมอื่นที่เด็กถนัดมาสอนเกมที่ยากนั้น สุดท้ายแล้วคณิตศาสตร์คือภาษา และหลายสิ่งสามารถแสดงใหม่ได้
ผมมองว่าหนึ่งในความยากคือหลายคนซึมซับว่าคณิตศาสตร์เป็นสิ่งเคร่งครัดเกินไป ถ้าสอนว่า “นี่คือวิธีที่ถูกต้อง” และไม่ยอมรับวิธีอื่น ความสามารถในการทำให้แนวคิดเป็นทั่วไปจะต่ำลง โจทย์ปัญหาพยายามแก้เรื่องนี้ แต่ให้ความรู้สึกเหมือนแนวทางแบบ brute force ที่ใกล้กับการสอนเครื่องจักรมากกว่ามนุษย์
อีกทั้งยังซ้อนทับกับข้อเท็จจริงที่ว่าตอนยังเด็ก หลายคนมักเรียนกับคนที่ไม่ได้มีใจรักคณิตศาสตร์ ความไม่สนใจนั้นถูกถ่ายทอดจากครูไปสู่นักเรียน หลายคนน่าจะจำความสดใหม่เมื่อโชคดีได้เจอครูที่รักคณิตศาสตร์และส่งเสริมด้านสร้างสรรค์ได้ ผมเองก็เคยเกลียดคณิตศาสตร์ ทั้งที่ทำได้ดีและอยู่ห้องระดับสูง จนกระทั่งได้เจอคาบเรียนแบบนั้นตอน ม.5
ปีที่แล้วฉันสอน SET ให้กับชั้น ป.1 ของลูกสาวร่วมกับลูกสาว แม้ว่าฉันจะเป็นคนออกแบบการสอนเป็นส่วนใหญ่ แต่เด็ก ๆ ก็เรียนรู้ได้และแสดงความสนใจด้วย
นี่ไม่ใช่สภาพแวดล้อมแบบชมรมคณิตศาสตร์ แต่เป็นการสอนทั้งชั้นเรียน น่าจะน่าสนใจถ้าลองดูว่าความแตกต่างอยู่ตรงไหน
เกมนี้ยังมีคณิตศาสตร์ให้ทำได้มากมาย เริ่มจาก เลขคณิตมอดูลาร์ ง่าย ๆ ไปจนถึงแนวคิดการนามธรรมคุณสมบัติให้เป็น 0, 1, 2 ถ้าไปไกลกว่านั้นอีกหน่อย ก็อาจคุยเรื่องทฤษฎีกลุ่ม และพูดได้ว่าเกมนี้สอดคล้องกับ
Z3^4หรือก็คือZ3สี่ชุดถ้าเด็กสนใจทฤษฎีกลุ่ม ก็สามารถพิมพ์เกมการ์ดคล้าย ๆ กันที่แทนกลุ่มอื่น ๆ มาใช้ได้ และอธิบายสัจพจน์ของกลุ่ม วิธีที่เกมแทนกลุ่ม และเหตุผลว่าทำไมมันถึงสมเหตุสมผล
ยังสามารถแนะนำการเขียนโปรแกรมได้เล็กน้อยด้วย โดยใช้สมบัติไม่แปรเปลี่ยนของนิยามของเซตที่ว่า สำหรับทุก
iจะมีsum c_i = 0เพื่ออธิบายว่าจะสอนคอมพิวเตอร์ให้เล่นเกมนี้อย่างไร ความยาวของเกมก็ทำให้เป็นกรณีทั่วไปได้ง่าย ด้วยการเพิ่มหรือลดคุณสมบัติอย่างสีพื้นหลังของการ์ดอย่างไรก็ดี เกมนี้ยอดเยี่ยมที่สุด
หลังจากเล่นไปไม่กี่ตา เขาก็หาเซตได้เร็วพอ ๆ กับพวกเรา แต่ฝีมือและความสนใจจะแตกต่างกันไปตามความวอกแวกหรือความเหนื่อย
ถ้าต้องการเกม Set แบบเล่นคนเดียว มีเวอร์ชันโอเพนซอร์สที่ใช้ได้ดีอยู่ที่: https://playset.netlify.app/
ในเกมนี้ ‘AI’ จะสุ่มหาเฉลย ในโหมดง่าย ทุก ๆ 2 วินาทีมันจะสุ่มเลือกการ์ดที่มองเห็นสองใบ แล้วตรวจว่ามีการ์ดที่จำเป็นสำหรับทำให้ครบเซตอยู่บนหน้าจอหรือไม่
ถ้าเด็กเพิ่งเริ่มรู้จัก Set อาจปรับเวลาหน่วงเป็นประมาณ 5 วินาทีก็ดี แน่นอนว่า Set สนุกกว่าเมื่อแข่งกับคนอื่น