ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีอยู่บนแผ่นดินเหนียวที่เก่ากว่าพีทาโกรัส 1,000 ปี (2009)

 (link.springer.com)
1 คะแนน โดย GN⁺ 2023-10-06 | 1 ความคิดเห็น | แชร์ทาง WhatsApp
  • ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในข้อความทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุด แต่ไม่มี หลักฐาน ว่าพีทาโกรัสเป็นผู้ค้นพบหรือพิสูจน์ด้วยตนเอง และแผ่นดินเหนียวของบาบิโลนชี้ให้เห็นต้นกำเนิดที่เก่าแก่กว่า
  • แผ่นดินเหนียว YBC 7289 ในคอลเล็กชันบาบิโลนของ Yale University เป็นเอกสารราว 1800–1600 ปีก่อนคริสตกาล ซึ่งบันทึกความสัมพันธ์ระหว่างด้านและเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยเลขฐาน 60
  • 1;24,51,10 บนแผ่นดินเหนียวมีค่าเป็น 1.414213 ในเลขฐาน 10 ซึ่งแทนค่า √2 ได้อย่างแม่นยำถึงทศนิยม 5 ตำแหน่ง และแสดงกรณีพิเศษของสูตรเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
  • สำนักพีทาโกรัสเป็นชุมชนลับที่ศึกษาคณิตศาสตร์ ปรัชญา และดาราศาสตร์ และด้วยธรรมเนียมที่ยกการค้นพบต่าง ๆ ให้เป็นผลงานของพีทาโกรัส ทำให้ยากต่อการแยก ผลงานรายบุคคล
  • ตั้งแต่ Elements ของ Euclid, หนังสือรวมบทพิสูจน์ 371 แบบของ Loomis, บทพิสูจน์ตอนอายุ 12 ปีของ Einstein และการนำไปใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ไปจนถึงทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat และบทพิสูจน์ของ Wiles ทฤษฎีบทนี้ได้เชื่อมโยงประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ข้ามหลายยุคสมัย

พีทาโกรัสและชื่อของทฤษฎีบท

  • ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีหลายชื่อ เช่น Pythagorean Theorem, Pythagoras’ Theorem, และ Euclid I 47
  • เป็นหนึ่งในข้อความทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุด และในหนังสือของ Elisha Scott Loomis ที่ตีพิมพ์ในปี 1927 ได้รวบรวมบทพิสูจน์ไว้ถึง 371 แบบ
    • ในจำนวนนั้นมีบทพิสูจน์ของ Albert Einstein ตอนอายุ 12 ปี, Leonardo da Vinci และประธานาธิบดีสหรัฐฯ James A. Garfield
  • แม้ว่าพีทาโกรัสจะถูกเชื่อมโยงกับการค้นพบและการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อย่างถาวร แต่ก็ไม่มีหลักฐานว่าเขาเป็นผู้ค้นพบหรือพิสูจน์ด้วยตนเอง
  • มี หลักฐานจากแผ่นดินเหนียว ที่บ่งชี้ว่านักคณิตศาสตร์บาบิโลนรู้จักและพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ก่อนการเกิดของพีทาโกรัสถึง 1,000 ปี

พีทาโกรัสและสำนักพีทาโกรัส

  • Pythagoras of Samos เกิดราว 569 ปีก่อนคริสตกาลที่ Samos และเสียชีวิตราว 475 ปีก่อนคริสตกาล โดยนักประวัติศาสตร์ส่วนใหญ่มองว่าเขาเป็นนักคณิตศาสตร์คนแรก
  • งานเขียนของพีทาโกรัสเองไม่หลงเหลืออยู่ และข้อมูลเกี่ยวกับชีวิตของเขามาจากบันทึกหลายร้อยปีให้หลังที่ปะปนกับตำนาน จึงเชื่อถือได้ยาก
  • เชื่อกันว่าเขาก่อตั้งสำนักชื่อ Semicircle of Pythagoras ใกล้ Crotone ในบริเวณที่ปัจจุบันคืออิตาลีตอนใต้
    • สำนักนี้มีลักษณะกึ่งศาสนา กึ่งวิทยาศาสตร์ และปฏิบัติตามกฎระเบียบที่เป็นความลับ
    • มีการศึกษาคณิตศาสตร์ ปรัชญา และดาราศาสตร์ พร้อมคติว่า “Number Rules the Universe”
  • ความรู้ของสำนักถ่ายทอดกันด้วยวาจา และการค้นพบของผู้ติดตามก็มักถูกยกให้เป็นผลงานของพีทาโกรัส
    • นี่อาจเป็นที่มาของชื่อ “Pythagoras’ Theorem”
    • ด้วยรูปแบบการดำเนินงานแบบกลุ่ม จึงยากที่จะแยกผลงานที่แท้จริงของพีทาโกรัสออกจากของผู้ติดตาม

แผ่นดินเหนียวบาบิโลน YBC 7289

  • Mesopotamia เป็นดินแดนระหว่างแม่น้ำ Tigris และ Euphrates ซึ่งตั้งอยู่ใกล้เคียงกับพื้นที่ของ Iraq ในปัจจุบัน
  • อารยธรรมบาบิโลนโดดเด่นขึ้นเมื่อราว 4,000 ปีก่อน และในช่วงสองศตวรรษที่ผ่านมาได้มีการค้นพบแผ่นดินเหนียวนับพันชิ้น
    • แผ่นดินเหนียวเหล่านี้แสดงให้เห็นอารยธรรมที่โดดเด่นทั้งในการบันทึกปรากฏการณ์ทางดาราศาสตร์ ศิลปะ และวรรณกรรม
    • แผ่นจำนวนมากยังคงอยู่ในชั้นใต้ดินของพิพิธภัณฑ์ รอการถอดความและตีความ
  • YBC 7289 คือแผ่นดินเหนียวหมายเลข 7289 ใน Babylonian Collection ของ Yale University
    • เป็นเอกสารจากยุค Old Babylonian period ราว 1800–1600 ปีก่อนคริสตกาล
    • บนแผ่นมีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเอียง เส้นทแยงมุมสองเส้น และตัวเลขอักษรรูปลิ่มที่อยู่ใต้ด้านหนึ่งกับใต้เส้นทแยงมุม
  • ระบบตัวเลขของบาบิโลนใช้ เลขฐาน 60 และแม้จะคล้ายระบบฐาน 10 สมัยใหม่ในส่วนของค่าถึง 59 แต่ไม่มีเลข 0
    • หน่วยถูกแสดงด้วยรอยบากรูปตัว Y แนวตั้ง
    • หลักสิบถูกแสดงด้วยรอยบากลักษณะคล้ายกันในแนวนอน

√2 และกรณีพิเศษของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

  • บันทึกชิ้นหนึ่งบนแผ่นดินเหนียวแสดงการคำนวณหาความกว้าง เมื่อด้านยาว 4 และเส้นทแยงมุมยาว 5
    • 4 × 4 = 16
    • 5 × 5 = 25
    • 25 - 16 = 9
    • เนื่องจาก 3 × 3 = 9 ดังนั้นความกว้างจึงเท่ากับ 3
  • บนด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใน YBC 7289 มีการจารึกเลข 30
  • 1;24,51,10 ที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหมายถึงค่าประจำหลักในระบบเลขฐาน 60 ตามการเขียนสมัยใหม่
    • ในเลขฐาน 10 จะได้ 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1.414213
    • ค่านี้แทน √2 ได้อย่างแม่นยำถึงระดับหนึ่งในหนึ่งแสน
  • แผ่นดินเหนียวชิ้นนี้แสดงว่าชาวบาบิโลนรู้ความสัมพันธ์ระหว่างด้านและเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส d = √2 × a
  • ดังนั้นชาวบาบิโลนจึงรู้จักทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาก่อนพีทาโกรัสกว่า 1,000 ปี หรืออย่างน้อยก็รู้จักกรณีพิเศษของเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมจัตุรัส d² = a² + a² = 2a²
  • แผ่นนี้ยังแสดงว่าชาวบาบิโลนสามารถคำนวณรากที่สองได้อย่างแม่นยำพอสมควร
    • ค่า 30 ของด้านอาจถูกเลือกเพราะเป็นตัวเลขที่สะดวกในระบบฐาน 60
    • แนวคิดนี้ยังเชื่อมโยงกับ 60 วินาทีต่อ 1 นาที, 60 นาทีต่อ 1 ชั่วโมง และ 360 องศาของวงกลมในปัจจุบัน

รูปแบบสมัยใหม่ของทฤษฎีบทและ Euclid

  • ปัจจุบันทฤษฎีบทพีทาโกรัสมักเข้าใจกันในรูป สมการพีชคณิต a² + b² = c²
  • สำหรับพีทาโกรัส ทฤษฎีบทนี้เป็นข้อความเชิงเรขาคณิตเกี่ยวกับพื้นที่ และรูปพีชคณิตที่คุ้นเคยเพิ่งเกิดขึ้นหลังการปรากฏของพีชคณิตสมัยใหม่ราวปี 1600
  • Euclid of Alexandria เป็นนักคณิตศาสตร์กรีกที่มีชีวิตอยู่ราว 300 ปีก่อนคริสตกาล และได้รับการขนานนามว่าเป็น “บิดาแห่งเรขาคณิต”
  • Elements ของ Euclid ได้รับการยกย่องว่าเป็นตำราคณิตศาสตร์ที่ประสบความสำเร็จที่สุดในประวัติศาสตร์
    • ประกอบด้วย 13 เล่ม
    • มีนิยาม สัจพจน์ ข้อความ และบทพิสูจน์
    • สร้างหลักการของ Euclidean Geometry จากชุดสัจพจน์ขนาดเล็ก
  • Euclid นำเสนอบทพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสไว้สองแบบใน Elements
    • Book I, Proposition 47 อาศัยความสัมพันธ์ของพื้นที่และมีความประณีตมาก
    • Book VI, Proposition 31 ตั้งอยู่บนแนวคิดเรื่องสัดส่วนและง่ายกว่า
  • Book I, Proposition 47 ยังถูกเรียกว่า Euclid I 47 และภายหลังก็ถูก Proclus และผู้อื่นเรียกว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัส
  • บทพิสูจน์แรกของ Euclid ซับซ้อนเกินกว่าระดับเรขาคณิตในยุคพีทาโกรัส จึงไม่น่าเป็นบทพิสูจน์ของพีทาโกรัสเอง
  • หากใช้แนวทางของ Book VI Proposition 31 การพิสูจน์ก็คงยังไม่สมบูรณ์ เพราะทฤษฎีสัดส่วนที่สมบูรณ์ถูกพัฒนาโดย Eudoxus หลังพีทาโกรัสเกือบสองศตวรรษ

ข้ออ้างเกี่ยวกับอียิปต์และพีระมิด

  • อียิปต์โบราณเป็นอารยธรรมที่ตั้งอยู่บริเวณลุ่มแม่น้ำ Nile ตอนกลางและตอนล่าง ห่างไปทางตะวันตกเฉียงใต้ของ Mesopotamia ราว 500 ไมล์
  • อียิปต์และบาบิโลนอยู่ร่วมกันค่อนข้างสงบเป็นเวลากว่า 3,000 ปี ตั้งแต่ราว 3500 ปีก่อนคริสตกาลจนถึงยุคกรีก
  • ไม่มี หลักฐาน สนับสนุนข้ออ้างที่ว่าชาวอียิปต์รู้จักทฤษฎีบทพีทาโกรัสและนำไปใช้สร้างพีระมิด
  • ในอียิปต์มีพีระมิดมากกว่า 100 แห่ง และส่วนใหญ่สร้างขึ้นเป็นสุสานของ Pharaoh

Loomis และบทพิสูจน์ 371 แบบ

  • Elisha Scott Loomis เป็นครูคณิตศาสตร์จาก Ohio ที่ใช้เวลาทั้งชีวิตรวบรวมบทพิสูจน์ที่เป็นที่รู้จักของทฤษฎีบทพีทาโกรัส
  • The Pythagorean Proposition ของ Loomis เป็นหนังสือที่รวบรวม บทพิสูจน์ 371 แบบ
    • ต้นฉบับเตรียมไว้ในปี 1907
    • ตีพิมพ์ในปี 1927
    • มีฉบับแก้ไขครั้งที่สองในปี 1940
    • ในปี 1968 National Council of Teachers of Mathematics ได้นำมาตีพิมพ์ใหม่ในชุด “Classics in Mathematics Education”
  • หลังหนังสือออกตีพิมพ์ Loomis ยังได้รับบทพิสูจน์ใหม่อีกหลายร้อยแบบจนกระทั่งเสียชีวิต แต่ไม่สามารถอัปเดตหนังสือรวมเล่มนี้ต่อได้
  • จำนวนบทพิสูจน์ที่แน่นอนไม่ชัดเจน
    • แม้แต่นักเรขาคณิตเองก็ยังตัดสินได้ยากว่าบทพิสูจน์บางแบบถือว่าแตกต่างกันจริงหรือไม่

Einstein และทฤษฎีสัมพัทธภาพ

  • Albert Einstein เล่าไว้ในอัตชีวประวัติว่าเมื่ออายุราว 12 ปี เขาได้อ่านหนังสือเรขาคณิตระนาบแบบยูคลิดและรู้สึกประทับใจอย่างมาก
  • Einstein ระบุว่าเขาได้สร้าง “บทพิสูจน์” ของทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากความคล้ายของรูปสามเหลี่ยม
    • เขาเองใส่เครื่องหมายอัญประกาศให้คำว่า “proof”
    • บทพิสูจน์นี้สง่างาม เรียบง่าย และแสดงความเชื่อมโยงสำคัญระหว่างความยาวกับพื้นที่ในทฤษฎีบท
  • ต่อมา Einstein ได้นำทฤษฎีบทพีทาโกรัสไปใช้ในรูปแบบ 4 มิติในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ
    • dx² + dy² + dz² = (c dt)² เชื่อมโยงระยะทาง c dt ที่แสงเดินทางในเวลา dt กับดิฟเฟอเรนเชียลของพิกัดเชิงพื้นที่ทั้งสาม
    • สมการเมตริกนี้อาจมองได้ว่าเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่นำมาใช้กับดิฟเฟอเรนเชียลของพิกัด
  • ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป มีคำอธิบายว่าคุณสมบัติทางเรขาคณิตของอวกาศถูกกำหนดโดยสสาร ทำให้แนวคิดเรื่อง “empty space” สูญเสียความหมาย
  • คำกล่าวอ้างอิงเกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพอธิบายว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสเชื่อมโยงพลังงาน โมเมนตัม และมวลเข้าด้วยกันอย่างเป็นภาพชัดเจน

ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat และ Wiles

  • Pierre de Fermat ศึกษาปัญหาคำตอบจำนวนเต็มของรูป xⁿ + yⁿ = zⁿ ในศตวรรษที่ 17
  • เมื่อ n = 2 จะมีคำตอบจำนวนเต็มอยู่ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส
  • Fermat คาดการณ์ว่าเมื่อ n > 2 จะไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นศูนย์สำหรับ x, y, z แต่ไม่ได้ทิ้งบทพิสูจน์ไว้
    • เขาเขียนไว้ที่ขอบหน้าหนังสือ Arithmetica ของ Diophantus ว่าเขารู้บทพิสูจน์ แต่ไม่มีที่ว่างพอจะเขียนลงไป
    • ข้อความนี้เป็นที่รู้จักในชื่อ Fermat’s Last Theorem
  • Andrew Wiles พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ที่ค้างคามา 350 ปีได้ในปี 1993 และข่าวนี้ขึ้นหน้า 1 ของ New York Times
  • Wiles ได้รู้จักทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ตั้งแต่อายุ 10 ปี และต่อมาก็ศึกษาทฤษฎีจำนวนในฐานะศาสตราจารย์ที่ Princeton University
  • ผลงานสำคัญของ Wiles คือการแสดงว่า rational semi-stable elliptic curve ทุกเส้นเป็น modular ซึ่งนำไปสู่การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat
  • Shimura–Taniyama–Weil conjecture เป็นข้อความที่ว่าทุก rational elliptic curve เป็น modular และข้อความเต็มได้รับการพิสูจน์ในปี 1998 โดย Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond และ Richard Taylor

ทฤษฎีบทที่เชื่อมต่อประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ยาว 4,000 ปี

  • แม้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจะใช้ชื่อของพีทาโกรัส แต่แผ่นดินเหนียวบาบิโลนแสดงให้เห็นการคำนวณและความรู้ที่เก่ากว่านั้นมาก
  • Euclid ได้นำทฤษฎีบทนี้ไปวางไว้ในระบบเรขาคณิตเชิงตรรกะ และ Elements ก็ยังคงเป็นรากฐานของระบบบทพิสูจน์คณิตศาสตร์ที่เคร่งครัดแม้ผ่านไปอีก 23 ศตวรรษ
  • ตั้งแต่การรวบรวมบทพิสูจน์ของ Loomis, บทพิสูจน์ในวัยเด็กของ Einstein และการนำไปใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ไปจนถึงการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Fermat โดย Wiles ทฤษฎีบทนี้ได้เชื่อมโยงนักคณิตศาสตร์จากหลากหลายยุคสมัย
  • ทุกปี นักเรียน นักวิชาการ และนักแก้ปัญหายังคงพยายามเพิ่มบทพิสูจน์ใหม่ ๆ ที่แปลกใหม่ ทำให้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสยังคงเป็นหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่ไม่มีวันสิ้นสุด

บทความที่เกี่ยวข้อง

1 ความคิดเห็น

 
GN⁺ 2023-10-06
ความคิดเห็นจาก Hacker News

  • พีทาโกรัสเป็นที่รู้จักอย่างยิ่งในฐานะบุคคลที่รวบรวมภูมิปัญญาจากหลายวัฒนธรรม
    ตามคำบอกเล่า เขาได้พบกับธาเลส ได้รับการรับเข้าเป็นนักบวชอียิปต์ที่ Hermopolis ใช้เวลาอยู่ใน Babylon หลังถูกจับเป็นเชลย และได้เข้าร่วมศาสนาลึกลับแทบทุกแบบเท่าที่เป็นไปได้ ในบ้านเกิดของเขาที่ Samos เขาน่าจะได้สัมผัสกับการก่อสร้างวิหาร Hera ซึ่งเป็นวิหารหินที่ใหญ่ที่สุดของกรีกโบราณ รวมถึงความสำเร็จทางวิศวกรรมอันน่าทึ่งอย่างอุโมงค์ Eupalinos
    “ชีวิตของพีทาโกรัส” โดย Iamblichus[1] เป็นงานเขียนที่น่าอ่าน เพราะผู้เขียนน่าจะเข้าถึงแหล่งข้อมูลเก่า ๆ ที่ปัจจุบันสูญหายไปแล้ว ในยุคนั้น ความสัมพันธ์ระหว่าง คณิตศาสตร์กับจิตวิญญาณ แนบแน่นมาก
    มีเกร็ดเล่าสนุก ๆ มากมายที่อาจเป็นจริง แต่คงไม่มีวันยืนยันได้ ใน “ชีวิตของนักปรัชญา” ของ Diogenes Laertius ระบุว่า เมื่อพีทาโกรัสค้นพบสิ่งที่เราเรียกกันว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัส เขาได้บูชายัญวัว 100 ตัว หรือ hecatomb[1] ตามที่ Charles Dodgson หรือ Lewis Carroll พูดไว้ว่า “นั่นคงทำให้มีเนื้อปริมาณที่จัดการยากทีเดียว”[3] โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเป็นมังสวิรัติ ในทางกลับกัน Iamblichus บอกว่าเป็นวัวตัวเดียว และยังเป็นวัวที่ทำจากแป้งสาลีด้วย
    [1] Guthrie, K. S., & Fideler, D. R. (Eds.). (1987). The Pythagorean sourcebook and library: an anthology of ancient writings which relate to Pythagoras and Pythagorean philosophy. Red Wheel/Weiser.
    [2] “he sacrificed a hecatomb, when he had discovered that the square of the hypotenuse of a right-angled triangle was equal to the squares of the sides containing the right angle.” DL, found in [1]
    [3] Maor, E. (2019). The Pythagorean theorem: a 4,000-year history. Princeton University Press

    • ไม่ควรละเกร็ดที่สนุกที่สุดไป[1] แม้ความจริงแท้จะน่าสงสัย แต่อย่างน้อยบางส่วนก็อาจเป็นเรื่องจริง สรุปคือพีทาโกรัสตั้งกลุ่มศาสนาขึ้นโดยมีตัวเลขและ ความบริสุทธิ์กึ่งศักดิ์สิทธิ์ของจำนวนตรรกยะ เป็นแกนกลาง และมองว่าทุกสิ่งสามารถแสดงเป็นจำนวนตรรกยะได้
      แต่ Hippasus สมาชิกคนหนึ่งของกลุ่มนั้น ได้แสดงอย่างน่าเชื่อถือว่า √2 ไม่อาจเป็นจำนวนตรรกยะได้ พีทาโกรัสพยายามให้เขาสาบานว่าจะปิดปากเงียบ และเมื่อไม่ได้ผลก็ว่ากันว่าเขาฆ่า Hippasus เสีย เพราะ √2
      [1] - https://sciencefocus.ust.hk/the-square-root-of-two-at-the-co...
    • ควรมองว่าคำกล่าวอย่าง “ได้พบกับธาเลส ได้รับการรับเข้าเป็นนักบวชอียิปต์ที่ Hermopolis ใช้เวลาอยู่ใน Babylon หลังถูกจับเป็นเชลย และได้เข้าร่วมศาสนาลึกลับแทบทุกแบบเท่าที่เป็นไปได้” เป็นเรื่องเล่าที่มักถูกผูกเข้ากับบุคคลหลายคนเพื่อยกระดับ สายสืบทอดแห่งปัญญา ของปราชญ์โบราณ
      ในเอกสารโบราณยังบอกว่า Plato เดินทางไปอียิปต์และอิตาลีด้วย แต่เท่าที่ผมทราบ นักวิชาการสมัยใหม่โดยทั่วไปก็มักสงสัยว่าการเดินทางเหล่านั้นเกิดขึ้นจริงหรือไม่
    • คำว่า “ในยุคนั้น ความสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาสตร์กับจิตวิญญาณแนบแน่นมาก” ทำให้นึกถึง Seymour Cray
      หนึ่งในกิจกรรมที่เขาชอบคือการขุดอุโมงค์ใต้บ้านของตัวเอง และเขาบอกว่า “การมาเยือนของเอลฟ์” ระหว่างทำงานในอุโมงค์คือเคล็ดลับสู่ความสำเร็จ มีคำกล่าวว่าเขาเคยพูดว่า “เวลาขุดอุโมงค์อยู่ เอลฟ์มักเอาคำตอบของปัญหามาให้”[0]
      [0] https://en.wikipedia.org/wiki/Seymour_Cray
    • ความเชื่อมโยงที่ว่า “ความสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาสตร์กับจิตวิญญาณแนบแน่นมาก” ดูเหมือนกำลังกลับมาอีกครั้งในปัจจุบัน เมื่อผู้คนฉายภาพความสามารถของคอมพิวเตอร์ให้เกินขีดความสามารถของมนุษย์ นัยของมันก็หลีกเลี่ยงไม่ได้ที่จะไปแตะขอบเขตของจิตวิญญาณ
      ตัวอย่างเช่น ทรานส์ฮิวแมนิสม์, ลัทธิเหตุผลนิยมที่ถูกขยายความอย่างเกินจริงแบบ Yudkowsky (เช่น Basilisk), สมมติฐานซิมูเลชัน และแนวคิดความรอดโดยปัญญาประดิษฐ์ทั่วไป
    • “ความสัมพันธ์ระหว่างคณิตศาสตร์กับจิตวิญญาณแนบแน่นมาก” นั้นเป็นมุมมองจากคนที่บันทึกยังคงเหลืออยู่ ไม่ได้ถูกลบหายไป
      ผมสงสัยว่าเราจะเก็บรักษา ข้อมูลดิจิทัล ไว้ได้นานหลายพันปีอย่างไร

  • กลุ่มใดก็ตามที่สร้างอาคารที่มีฐานเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ ก็น่าจะค้นพบความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านกับเส้นทแยงมุมได้ ชาวอียิปต์ใช้ ชุดตัวเลขพีทาโกรัส เพื่อวัดมุมฉากมาตั้งนานก่อนพีทาโกรัสจะเกิดเสียอีก
    แต่สิ่งนั้นเป็นการสังเกต ไม่ใช่ทฤษฎีบท มันจะกลายเป็นทฤษฎีบทก็ต่อเมื่อมีการพิสูจน์ หรืออธิบาย ว่าทำไมความสัมพันธ์นี้จึงเป็นจริงเสมอ โดยอาศัยสิ่งที่ชัดเจนกว่า แผ่นดินเหนียว Babylonian ที่กล่าวถึงในบทความดูเหมือนไม่ได้ทำเช่นนั้น แต่ชาวกรีกทำอย่างชัดเจน ส่วนพีทาโกรัสเองทำหรือไม่นั้นเราไม่อาจรู้ได้ เพราะไม่มีงานเขียนของเขาหลงเหลืออยู่ แต่ชาวกรีกรุ่นหลังพิสูจน์เป็น และยกความดีความชอบนั้นให้พีทาโกรัส

    • ตามบทความ แผ่นดินเหนียว Babylonian นี้ใกล้เคียงกับทฤษฎีบทมากกว่าที่คิด ไม่ได้ใช้ชุดตัวเลขพีทาโกรัส แต่ค้นพบว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งหน่วยคือ √2 และคำนวณค่านั้นได้
      1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.414213
    • ทำไมต้องใช้ตัวเลขเพื่อทำมุมฉากด้วย? แค่เส้นตรงกับเชือกก็พอแล้ว
      ถึงอย่างนั้นก็เห็นด้วยกับย่อหน้าที่สอง มีความแตกต่างใหญ่หลวงระหว่างการถ่ายทอดเป็นขั้นตอนว่า “ประเมินโครงการก่อสร้างแบบนี้” กับ ทฤษฎีบท ที่ถูกประกาศว่าเป็นความจริงสากลและเป็นรากฐานของทฤษฎีบทอื่น ๆ มากมาย แม้ว่าทั้งสองจะพูดถึงเนื้อหาเดียวกันทุกประการก็ตาม
    • ช่วงต้นทศวรรษ 1980 ผมเคยเรียนวิชาที่ University of Buffalo ว่าด้วยกรณีของ เรขาคณิตพีทาโกรัส ที่ปรากฏในโบราณสถานแบบ henge ก่อนยุคโรมันและโครงสร้างยุคแรก ๆ
      โดยแท้จริงแล้วมันเป็นวิชาที่ดูสไลด์โชว์การเดินทางยุโรปของอาจารย์กับภาพถ่ายโบราณสถาน จากนั้นก็แสดงภาพลายเส้นของโครงสร้าง และบางครั้งก็เลือกจุดที่ดูเหมือนสุ่ม ๆ มาสร้างสามเหลี่ยม 3-4-5 แล้วอุทานว่า “เห็นไหม? พวกเขารู้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกันแล้วก่อนพีทาโกรัส!”
      งานให้คะแนนอย่างเดียวคือเขียนบทความ “ค้นพบ” กรณีคล้าย ๆ กัน ผมเลือกรูปโบสถ์โบราณสักแห่ง แล้ว “หา” สามเหลี่ยมมุมฉากจากฐานของมันได้ และได้ A แน่นอนว่านั่นเป็นแค่ การสังเกต ไม่ใช่ทฤษฎีบท
    • ไม่เข้าใจว่าทำไมคำพูดที่ว่า “กลุ่มใดก็ตามที่สร้างอาคารที่มีฐานเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้ ก็น่าจะค้นพบความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านกับเส้นทแยงมุมได้” จึงจำเป็น
      กะด้วยสายตา แล้วตัดแต่งเฉพาะส่วนที่จำเป็น ก็ไปได้ไกลทีเดียว
    • จริงหรือ? ผมคิดว่าการพิสูจน์ในยุคนั้นเป็นเชิงเรขาคณิต จึงพิสูจน์ได้แค่กรณีเฉพาะ
      เลยเข้าใจว่ามันเพิ่งได้รับการพิสูจน์อย่างถูกต้องหลังจากค้นพบพีชคณิต หรืออาจจะตรีโกณมิติ

  • นี่คือคำอธิบายสำหรับคนที่สงสัยว่าได้ค่าประมาณ √2 = 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3 มาอย่างไร
    แก่นของวิธีนั้นง่ายมาก
    Z = (a + b)^2 = (a^2 + (2a+b)b)
    => (2a+b)     b < Z-a^2
    เมื่อมีค่าประมาณเริ่มต้น “a” ให้หาค่า “b” ที่มากที่สุดซึ่งทำให้พจน์ฝั่งซ้ายน้อยกว่าพจน์ฝั่งขวา แล้วค่าประมาณจะน้อยกว่าคำตอบจริงอยู่เล็กน้อยเสมอ และสามารถทำซ้ำกระบวนการนี้เพื่อเข้าใกล้ขึ้นทีละน้อยได้
    รอบแรก Z=2, a=1 ถ้าให้ b=x/60
    (2+x/60)*x/60 < 2-1^2
    120x + x^2 < 3600
    x = 24 ... 3456 < 3600
    x = 25 ... 3625 > 3600
    ดังนั้นพจน์แรกคือ 24/60
    ให้ a=1+24/60, b=x/60^2 แล้วทำซ้ำ จะได้
    (2(1+24/60)+x/60^2)*x/60^2< 2-(1+24/60)^2
    10080x+x^2 < 518_400
    x = 51 ... 516_681 < 518_400
    x = 52 ... 526_864 > 518_400
    ทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งก็พอ
    ถ้าเขียนเป็นโค้ด ก็จะได้ถึง 1;24,51,10,7,46,6,4,44,50,28 = 1.4142135623730951 ได้ง่าย ๆ
    กระบวนการทั้งหมดนี้สามารถจัดรูปเป็น อัลกอริทึมหารยาวสำหรับรากที่สอง และทำงานได้ค่อนข้างสวยงามในระบบฐานสิบด้วย

    • สงสัยว่าทำไมในรอบแรกจึงเลือก b=x/60 สำหรับผมมันไม่ใช่เรื่องชัดเจน แต่คงมีเหตุผลที่ชัดเจนแน่ ๆ ที่เลือก ระบบฐาน 60
    • สงสัยว่า หลักฐาน ที่ว่าพวกเขาคำนวณด้วยวิธีนี้จริง ๆ คืออะไร

  • สิ่งที่คนในยุคนั้นให้ความสำคัญไม่ใช่ตัวสูตรเอง สูตรนั้นเป็นที่รู้จักจากประสบการณ์มาหลายศตวรรษแล้ว
    สิ่งที่สร้างแรงสั่นสะเทือนคือการที่เขาพิสูจน์เป็นคนแรกว่า สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก “ส่วนใหญ่” จะไม่มี จำนวนตรรกยะ P, Q ที่ทำให้ PA = QC สำหรับด้านหนึ่ง A และด้านตรงข้ามมุมฉาก C นั่นต่างหากคือส่วนที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่

  • ก็เหมาะดีที่ “Journal for Targeting, Measurement and Analysis for Marketing” ซึ่งตอนนี้เลิกตีพิมพ์ไปแล้ว จะตั้งหัวข้อชวนคลิกที่ทำให้เข้าใจผิดให้กับบทความที่ดูนอกประเด็นโดยสิ้นเชิงและคุณภาพต่ำมาก
    อาจเป็นบรรพบุรุษของ งานประหลาดที่ขับเคลื่อนด้วยการทำ SEO ในปัจจุบัน ซึ่งมี Springer หนุนหลัง
    การสับสนระหว่างการคำนวณกับการพิสูจน์เป็นความผิดพลาดที่วารสารวิชาการจริงจังไม่ควรยอมรับได้
    แทบไม่ต้องสงสัยเลยว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทเป็นเครื่องมือทางปัญญาที่พัฒนาขึ้นจากแบบแผนที่สังเกตพบ แต่การถามว่า “ทำไม?” และที่สำคัญกว่านั้นคือการ ตอบด้วยตรรกะ เป็นพัฒนาการที่ไม่ธรรมดาเลย

  • วัฒนธรรมกระแสหลักทั้งในอดีตและปัจจุบันหลงใหลใน กรีกโบราณ
    วัฒนธรรมตะวันตกสร้างรากศัพท์ของคำศัพท์ทางวิทยาศาสตร์จากภาษากรีกโบราณ
    และยังมีสายลำดับทางปรัชญาที่สืบต่อจากกรีกโบราณมาจนถึงศตวรรษที่ 19
    จนถึงศตวรรษที่ 19 เราจึงได้เห็นความจริงผ่านโบราณคดี—ซึ่งคำว่าโบราณคดีเองก็เป็นคำใหม่ที่สร้างจากรากศัพท์กรีกโบราณ ทำให้ในกระแสหลักดูเหมือนบอกเป็นนัยว่าชาวกรีกโบราณมีแนวคิดเรื่องโบราณคดี ทั้งที่แน่นอนว่าไม่ใช่—ประวัติศาสตร์ลึกลงไปอีกหลายพันปี และต้นกำเนิดของทุกสิ่งก็เก่าแก่กว่านั้นอีกหลายพันปี
    เมืองหลวง Hattuša เพิ่งถูกค้นพบเมื่อเพียง 30 ปีก่อน และการเข้าใจชั้นต่าง ๆ ของนครประวัติศาสตร์อย่าง Troy ก็เพิ่งเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 20
    เพิ่งไม่นานมานี้เองที่เราเข้าใจข้อเท็จจริงว่า “ไม่ได้เริ่มจากกรีกโบราณ” แต่กระแสหลักยังคงไม่มอง เลยพ้นกรีกโบราณ ตามขนบของโรงเรียนไวยากรณ์ยุคกลาง

    • คำอธิบายที่เรียบง่ายกว่านั้นคือ กรีกประสบความสำเร็จในการเผยแพร่เอกสารของตนมากกว่าวัฒนธรรมก่อนหน้าไม่ใช่หรือ?
      ผมเข้าใจว่าเหตุผลที่ “เส้นเชื่อมโยง” ของการพัฒนาวิทยาศาสตร์สมัยใหม่เริ่มจากกรีก ก็เพราะประวัติศาสตร์ที่มีบันทึกและนักวิชาการสมัยใหม่ อ่านได้ง่าย เริ่มต้นจากตรงนั้น
      เรารู้อยู่เสมอว่ามันไม่ได้เริ่มจากกรีกโบราณ ชาวกรีกเองก็พูดเช่นนั้น แต่เพราะไม่มีแหล่งข้อมูลปฐมภูมิอันอุดมสมบูรณ์จากยุคก่อนกรีกโบราณ จึงทำอะไรไม่ได้มากนักนอกจากจุดเทียนให้พวกเขา แล้วอ่านความคิดที่ถูกกรองผ่าน Plato และคนอื่น ๆ ด้วยแสงนั้น
    • ถึงอย่างนั้น เท่าที่ผมรู้ ชาวกรีกก็ทำสิ่งน่าทึ่งที่ไม่เคยเห็นในบันทึกก่อนหน้า พวกเขาเริ่ม วัฒนธรรมแห่งการคิดอย่างเสรี และสิ่งนั้นเติบโตเป็นปรัชญา ตรรกศาสตร์ และการสืบค้นเชิงวิทยาศาสตร์
      แน่นอนว่าพวกเขายังตัดสินประหารชีวิตนักคิดเสรีบางคนเพราะไม่บูชาเทพเจ้า แต่นั่นก็เป็นอีกเรื่องหนึ่ง
    • แม้แต่ชาวกรีกโบราณเองก็ไม่ได้คิดว่าทุกอย่างเริ่มจากกรีกโบราณ เช่น Plato เชื่อเรื่อง Atlantis
    • ผมไม่เข้าใจว่าทำไมประโยคที่ว่า “บอกเป็นนัยว่าชาวกรีกโบราณมีแนวคิดเรื่องโบราณคดี แต่แน่นอนว่าไม่ใช่” ถึงต้องเป็นเรื่องแน่นอน
      ชาวอียิปต์โบราณและชาว Mesopotamia ก็มี แนวคิดเรื่องโบราณคดี แล้ว ทำไมชาวกรีกจะไม่มีล่ะ?

  • บทความอ้างว่าชาว Babylonian “ค้นพบ” ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แต่สิ่งที่แสดงจริง ๆ มีเพียง ความเป็นไปได้ ว่าพวกเขาเชื่อว่ามันเป็นจริง
    จนกว่าจะมีหลักฐานที่ดีกว่านี้ อย่างน้อยใน “โลกตะวันตก”—ผมไม่ค่อยรู้เรื่องคณิตศาสตร์จีน—ฝ่ายที่สร้างแนวคิดเรื่อง การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ ที่ถูกต้องแบบนิรนัย ไม่ใช่อุปนัย ขึ้นเป็นครั้งแรกก็ยังดูเหมือนจะเป็นชาวกรีก

  • เป็นปัญหาของการเผยแพร่ในวงกว้าง
    คนเรามักให้เครดิตผิด ๆ แก่คนที่เผยแพร่หรือตีพิมพ์สิ่งนั้นได้กว้างที่สุด ไม่ใช่คนที่ค้นพบเป็นคนแรก
    ในสมัยโบราณนี่เป็นปัญหาที่ยากเป็นพิเศษ
    ความรู้มักถ่ายทอดด้วยคำพูด ไม่ใช่ตัวหนังสือ
    แม้จะถูกเขียนไว้ วัสดุที่ใช้ก็น่าจะผุพังไปนานแล้ว
    ดังนั้นความคิดโบราณส่วนใหญ่ที่เรารู้จักจึงอิงกับความรู้ที่แพร่หลายและถูกบันทึกมากพอจนมีสำเนาหลายฉบับเหลืออยู่ หรือความรู้ที่บันทึกบนวัสดุแข็งอย่างหิน เช่น อักษรภาพอียิปต์ แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าคนโบราณเหล่านั้นเป็นคนรู้เรื่องนั้นเป็นกลุ่มแรก เพียงหมายความว่า บันทึกเป็นลายลักษณ์อักษร ของความรู้นั้น ๆ ทนต่อการทดสอบของกาลเวลาได้นานที่สุดเท่านั้น

  • เคยมีการคุยกันบน HN เมื่อ 7 ปีก่อนเกี่ยวกับ การพิสูจน์แบบขนาน ที่พบในหนังสือจีนอายุ 2,600 ปี
    https://news.ycombinator.com/item?id=13952265

  • เท่าที่ผมทราบ ในจีนรู้จักอย่างน้อยก็ก่อนยุคพีทาโกรัสแล้ว
    https://en.wikipedia.org/wiki/Zhoubi_Suanjing

    • อาจเป็นเช่นนั้นก็ได้ แต่บทความที่ลิงก์มาเองปฏิเสธ ความแน่นอน ของคำกล่าวนั้น