เหตุผลที่มัธยฐานของตัวประกอบเฉพาะตัวที่สองของจำนวนเต็มคือ 37
(grossack.site)- เนื่องจากไม่สามารถสุ่มเลือกจากจำนวนธรรมชาติทั้งหมดแบบสม่ำเสมอได้ จึงนิยาม “จำนวนเต็มสุ่ม” ด้วยวิธีเลือกแบบสม่ำเสมอจาก 1 ถึง N ก่อน แล้วพิจารณาลิมิตเมื่อ N → ∞
- ใน Those Fascinating Numbers มีข้อเท็จจริงว่าความน่าจะเป็นที่ตัวประกอบเฉพาะตัวที่สองของจำนวนเต็มสุ่มจะน้อยกว่า 37 อยู่ที่ประมาณ 1/2 และยืนยันได้ด้วยการคำนวณความหนาแน่นและการทดลอง
- เนื่องจากจำนวนเฉพาะขนาดเล็กมักปรากฏเป็นตัวประกอบเฉพาะขนาดเล็กของจำนวนเต็ม จึงเกิดสัญชาตญาณได้ว่าจำนวนเล็กอย่าง 37 อาจเป็นมัธยฐาน
- วิธีของ De Koninck และ Tenenbaum คำนวณ λ₂(p) โดยผสมเงื่อนไขว่าหารลงตัวด้วยจำนวนเฉพาะบางตัวหรือไม่ คล้ายกับ ตะแกรงของเอราทอสเทนีส
- เมื่อนำ λ₂(p) มาบวกสะสมตามจำนวนเฉพาะ จะถึงความหนาแน่นสะสมประมาณ 0.5002 ที่ 37 และใกล้มากกับค่าจากการคำนวณโดยตรงเมื่อ N=10⁷ ซึ่งเท่ากับ 0.5002501
ที่มาของเลข 37
- ในคำนำของ Those Fascinating Numbers มีประโยคว่า 37 คือ มัธยฐานของตัวประกอบเฉพาะตัวที่สองของจำนวนเต็ม
- หมายความว่าความน่าจะเป็นที่ตัวประกอบเฉพาะตัวที่สองของจำนวนเต็มที่เลือกแบบสุ่มจะน้อยกว่า 37 อยู่ที่ประมาณ 1/2
- ตอนแรก 37 อาจดูเล็กเกินไปจนไม่น่าเชื่อ แต่เมื่อคิดว่าจำนวนเฉพาะขนาดเล็กมักปรากฏเป็นตัวประกอบเฉพาะขนาดเล็กของจำนวนเต็ม ก็เริ่มดูสมเหตุสมผล
- ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็มประมาณครึ่งหนึ่งมี 2 เป็นตัวประกอบเฉพาะที่เล็กที่สุด
- เป้าหมายคือทดลองตรวจสอบข้อเท็จจริงนี้ด้วยตนเอง และคำนวณว่าทำไมจึงได้ 37 โดยอิงจากบทความของ De Koninck และ Tenenbaum
วิธีนิยาม “จำนวนเต็มสุ่ม”
- บนจำนวนธรรมชาติทั้งหมดไม่มี การแจกแจงแบบสม่ำเสมอ ดังนั้นจึงเริ่มจากการตรึงจำนวนใหญ่ N ไว้ก่อน
- จากนั้นเลือกจำนวนเต็มหนึ่งตัวจาก 1 ถึง N แบบสุ่ม แล้วพิจารณาลิมิตของความน่าจะเป็นเมื่อ N → ∞
- เมื่อ N ยังเล็ก สามารถหาตัวประกอบเฉพาะตัวที่สองของจำนวนเต็มแต่ละตัวโดยตรงเพื่อตรวจสอบ มัธยฐาน ได้
- เมื่อรันด้วย N=10⁷ จะได้ค่าประมาณของความน่าจะเป็นสะสมเป็น 0.5002501
- บน SageCell ออนไลน์ การแยกตัวประกอบขนาดระดับนี้อาจใช้เวลานานจน timeout ได้ จึงต้องรันในเครื่อง
λ₂(p): ความหนาแน่นที่ p เป็นตัวประกอบเฉพาะตัวที่สอง
- บทความ Sur la loi de répartition du k-ième facteur premier d’un entier ของ De Koninck และ Tenenbaum กำหนดความหนาแน่นของจำนวนเต็มที่ p เป็นตัวประกอบเฉพาะตัวที่สองเป็น λ₂(p)
- แกนหลักของการคำนวณคือการนับความหนาแน่นโดยผสมเงื่อนไขว่าหารลงตัวด้วยจำนวนเฉพาะบางตัวหรือไม่ คล้ายกับ ตะแกรงของเอราทอสเทนีส
- กรณีที่ตัวประกอบเฉพาะตัวที่สองเป็น 5 มีเพียงสองแบบ
2^a 3^0 5^b ...: จำนวนที่เป็นพหุคูณของ 2 และ 5 แต่ไม่เป็นพหุคูณของ 32^0 3^a 5^b ...: จำนวนที่เป็นพหุคูณของ 3 และ 5 แต่ไม่เป็นพหุคูณของ 2
- ความหนาแน่นของกรณีแรกคือ
1/2 × 2/3 × 1/5 = 1/15 - ความหนาแน่นของกรณีที่สองคือ
(1 - 1/2) × 1/3 × 1/5 = 1/30 - สองเซตนี้ไม่ทับซ้อนกัน จึงนำมาบวกกันได้ และความหนาแน่นของจำนวนเต็มที่มี 5 เป็นตัวประกอบเฉพาะตัวที่สองคือ 1/10
สูตรสำหรับจำนวนเฉพาะทั่วไป p
- เพื่อให้ p เป็นตัวประกอบเฉพาะที่เล็กเป็นอันดับสอง จะต้องมีจำนวนเฉพาะ q หนึ่งตัวที่น้อยกว่า p รวมอยู่ด้วย และจำนวนเฉพาะ r ที่น้อยกว่า p อื่น ๆ นอกเหนือจาก q และ p จะต้องไม่รวมอยู่
- เงื่อนไขนี้เขียนเป็นการแยกตัวประกอบเฉพาะในรูปต่อไปนี้ได้
[ p^b q^a \prod_{q \neq r \lt p} r^0 ]
- เมื่อคำนวณความหนาแน่นสำหรับแต่ละ q < p แล้วรวมกัน จะได้สูตรต่อไปนี้
[ \lambda_2(p) = \sum_{q \lt p} \frac{1}{p} \frac{1}{q} \prod_{q \neq r \lt p} \left ( 1 - \frac{1}{r} \right ) ]
- สมการเดียวกันสามารถจัดรูปได้ดังนี้
[ \lambda_2(p) = \frac{1}{p} \left[ \prod_{q \lt p} \left(1 - \frac{1}{q}\right) \right] \sum_{q \lt p} \frac{1}{q} \left(1 - \frac{1}{q}\right)^{-1} ]
การคำนวณที่ทำให้ 37 เป็นมัธยฐาน
- จำนวนเฉพาะ (p^) ที่ต้องการหา คือจุดที่ผลรวมความหนาแน่นของการที่ตัวประกอบเฉพาะตัวที่สองมีค่าไม่เกิน (p^) มีค่าประมาณ 1/2
[ \lambda_2(2) + \lambda_2(3) + \lambda_2(5) + \ldots + \lambda_2(p^*) \approx \frac{1}{2} ]
- เมื่อนำ λ₂(p) ไปทำเป็นโปรแกรมแล้วบวกตามจำนวนเฉพาะ จะถึงความหนาแน่นสะสมประมาณ 1/2 ที่ 37
- ความหนาแน่นคาดหวังจริงที่คำนวณได้อยู่ที่ประมาณ 0.5002
- ค่าจากการทดลองโดยอิงการแยกตัวประกอบโดยตรงเมื่อ N=10⁷ คือ 0.5002501 ก็ใกล้เคียงกับค่านี้มาก
การขยายไปยังตัวประกอบเฉพาะตัวที่ k
- สูตรทั่วไปของความหนาแน่น λₖ(p) ที่ตัวประกอบเฉพาะตัวที่ k เป็น p คือดังนี้
[ \lambda_k(p) = \frac{1}{p} \left[ \prod_{q \lt p} \left(1 - \frac{1}{q}\right) \right] s_{k-1}(p) ]
- โดยที่ (s_j(p) = \sum \frac{1}{m}) และผลรวมจะไล่เหนือ m ที่มีตัวประกอบเฉพาะพอดี j ตัว และตัวประกอบเฉพาะเหล่านั้นทั้งหมดน้อยกว่า p
- สูตรเชิงเส้นกำกับของมัธยฐานของตัวประกอบเฉพาะตัวที่ k หรือ (p_k^*) เป็นดังนี้
[ \log \log p_k^* = k - b + O\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right) ]
- โดย b คือค่าต่อไปนี้
[ b = \frac{1}{3} + \gamma - \sum_p \left( \log((1-1/p)^{-1}) - 1/p \right) ]
- (\gamma) คือ Euler-Mascheroni Constant
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นจาก Hacker News
ไม่ได้หมายความว่า เลข 37 เอง มีอะไรน่าสนใจเป็นพิเศษ
สิ่งที่น่าสนใจกว่าคือการที่มี ค่ามัธยฐานจำกัด อยู่ตรงนี้ต่างหาก เมื่อเป็นเช่นนั้น เพราะนิยามให้มัธยฐานเป็นสมาชิกตัวหนึ่งในรายการ มันจึงต้องเป็นจำนวนเฉพาะสักตัวอยู่แล้ว ในรายการนี้บังเอิญเป็น 37 เท่านั้น จะเป็นค่าอื่นก็ได้
ถ้าจะให้ 37 น่าสนใจจริง ๆ ต้องผ่อนนิยามให้มัธยฐานเป็นค่านอกเซตได้ด้วย แต่ลิมิตยังคงลู่เข้า 37 อยู่ ถ้าเป็นอย่างนั้นก็คงน่าทึ่งทีเดียว
ค่าที่น้อยกว่า 37 มีเพียงประมาณ 49.061% และค่าที่มากกว่า 37 มีเพียงประมาณ 49.975% หลังจากจุดหนึ่งไปแล้ว สำหรับ N คู่ จะมี 37 สองตัวอยู่สองฝั่งของตำแหน่ง 50% เสมอ ดังนั้นมัธยฐานจึงเป็น 37 อย่างแน่นอน ไม่ใช่ค่าอื่น คำอธิบายที่ยาวกว่านี้เขียนไว้ในคอมเมนต์อื่น [0]
[0] https://news.ycombinator.com/item?id=38245162
การมีอยู่ของมัธยฐานบ่งชี้ว่าเปอร์เซ็นไทล์อื่น ๆ ทั้งหมดก็อาจมีลิมิตด้วย ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับจำนวนใด ๆ สัดส่วนลิมิตของจำนวนเต็มที่ตัวประกอบเฉพาะตัวที่สองมากกว่าจำนวนนั้นอาจมีอยู่ และที่ 37 สัดส่วนนั้นบังเอิญเป็น 0.5 พอดี
ชอบที่บทความอธิบายคำตอบของคำถามแรกที่ผุดขึ้นมาในหัวว่า “แล้ว到底 พิสูจน์เรื่องนี้ได้ยังไง?” ได้ชัดเจนมาก
น่าสนใจที่ 37 ยังปรากฏใน ปัญหาการหยุดที่เหมาะสมที่สุด / ปัญหาเลขานุการ ด้วย
บังเอิญว่า 37 ยังเป็น จำนวนเฉพาะไม่ปกติ ตัวแรกด้วย เรื่องนี้เกี่ยวข้องกับเหตุผลที่ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ยาก
https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_prime
เขาบอกว่า “จำนวนที่จำนวนเฉพาะตัวที่สองเป็น 2 มี 0.000000000000000” แต่ชื่อบทความถูกต้องไหมถ้าไม่ได้ระบุว่าเป็นแบบ ไม่นับซ้ำ?
เพราะถ้าเขียนสัญกรณ์เป็นภาษาอังกฤษให้ชัดเจนทั้งหมด มักจะเยิ่นเย้อ ถ้าเขียนว่า “จำนวนเฉพาะตัวที่สองแบบไม่นับซ้ำ” ก็อาจมีคนบอกว่าควรเขียน “เล็กเป็นอันดับสอง” หรือ “เรียงจากน้อยไปมาก” ด้วยหรือเปล่า ในบทความวิชาการ คำแบบนี้มักถูกนิยามอย่างเป็นทางการคู่กับสัญกรณ์คณิตศาสตร์ที่แม่นยำกว่า แต่ก็ยังไม่ถึงกับละเอียดสมบูรณ์
ไม่ได้จะจับผิดนะ แต่เพราะในคณิตศาสตร์ การให้มนุษย์อนุมานส่วนที่ “มองไม่เห็น” แทนที่จะต้องระบุทุกอย่างทีละข้อ ช่วยเพิ่มความใช้งานได้ของตัวพิสูจน์ทฤษฎีบทอย่างมาก มีการบรรยายที่เกี่ยวข้องของ Andrej Bauer ที่ดีมาก: https://www.youtube.com/watch?v=wZSvuCJBaFU
สงสัยว่ามีทฤษฎีบทหรือผลลัพธ์ที่น่าสนใจในฝั่ง L-function หรือ modular form ที่ครอบคลุมผลลัพธ์นี้ไหม
ช่วงนี้กำลังเรียนอยู่และหัวข้อนี้ก็น่าดึงดูด
รู้จักจากการดูวิดีโอ https://www.peakmath.org/quest-for-f1 และ http://lmfdb.org ก็น่าลองสำรวจดู
ผมคิดว่าข้อเท็จจริงนี้ทำให้ 37 ค่อนข้างน่าสนใจ
อย่างน้อยก็น่าสนใจกว่า 31 แน่นอน
31 ก็เป็นจำนวนเฉพาะเลยน่าสนใจอยู่บ้าง แต่ไม่ได้น่าสนใจเท่า 37 ที่เป็นมัธยฐานของตัวประกอบเฉพาะตัวที่สองของจำนวนเต็มอย่างที่เพิ่งได้เรียนรู้
มีจำนวนเต็มตัวเลือกอื่นที่น่าสนใจกว่านี้ไหม? แล้วมีจำนวนที่เรียกได้ว่าเป็นจำนวนเต็มที่น่าสนใจที่สุดอยู่หรือเปล่า?
ทั้งสองเป็นเวอร์ชัน big-endian และ little-endian ของสตริง ASCII “the most interesting” ตามลำดับ
น่าสนใจที่จำนวนเฉพาะไม่ปกติคิดเป็นประมาณ 41% ของจำนวนเฉพาะทั้งหมด แต่กลับปรากฏครั้งแรกช้าขนาดนี้ อ้างอิง: https://encyclopediaofmath.org/wiki/Irregular_prime_number#:~:text=An%20odd%20prime%20number%20p,prime%20numbers%20are%20called%20regular
จำนวนเฉพาะที่น่าสนใจที่สุดคืออะไร ขึ้นอยู่กับว่าคุณมองว่าอะไรน่าสนใจกว่า ถ้าชอบมัธยฐานของตัวประกอบเฉพาะตัวที่สอง 37 ก็ดีที่สุด และถ้าชอบจำนวนเฉพาะไม่ปกติตัวแรก 37 ก็ยังดีที่สุด สุดท้ายแล้วเป็นเรื่องของมุมมอง
อีกเหตุผลที่ 37 ดีคือมันลงท้ายด้วย 7 จึง “ฟังดูเหมือนสุ่ม” เวลาใครขอให้พูดเลขมาหนึ่งตัว และดีกว่า 27 เพราะเป็นจำนวนเฉพาะ 7 ต่ำเกินไป ส่วน 17 มีกลิ่นอายโชคร้ายอยู่บ้าง อย่างไรก็ตาม 37 ก็เป็นเลขที่ค่อนข้างน่ากลัวอยู่ดี แค่เป็นจำนวนเฉพาะก็ไม่เป็นระเบียบพอแล้ว ยังเป็นจำนวนเฉพาะไม่ปกติอีกด้วย
ดังนั้นระบบเวลาและตรีโกณมิติน่าจะอิงกับ 60 เพราะเหตุนี้ 360 = 6*60 และ 360 มีตัวหาร 24 ตัว
น่าทึ่งที่บทพิสูจน์เรียบง่ายขนาดนี้ 37 กลายเป็น จำนวนเฉพาะสุดโปรด ตัวใหม่ของผมแล้ว
สงสัยว่า อัตราการเติบโตของค่าเฉลี่ย ของตัวประกอบเฉพาะตัวที่สองจะเป็นอย่างไร คิดว่าน่าจะโตไปไม่มีที่สิ้นสุด แต่ก็อาจโตค่อนข้างช้าก็ได้
ผมหมกมุ่นกับเลขนี้มาตลอดชีวิต ทุกครั้งที่มองนาฬิกา ทุกครั้งที่มองป้ายทะเบียนรถคันหน้า ก็รู้สึกเหมือนเห็น 37
ยังมีเรื่องเกี่ยวข้องแบบสุ่ม ๆ อย่าง Channel 37 ด้วย: https://en.wikipedia.org/wiki/Channel_37