- จากประสบการณ์ของคนที่เคยลำบากกับคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ในโรงเรียน แต่หลังอายุ 26 ปีกลับไปเริ่มเรียนตั้งแต่คณิตศาสตร์เสริมพื้นฐานจนกลายเป็น ศาสตราจารย์ด้านวิศวกรรม บทความนี้ทบทวนคุณค่าของการทำซ้ำและการท่องจำในการเรียนรู้ของผู้ใหญ่
- หากเน้นแต่ความเข้าใจเชิงแนวคิดในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ นักเรียนอาจดูเหมือนเข้าใจระหว่างเรียน แต่เมื่อไม่ได้แก้โจทย์จนซึมซับ ก็อาจขาด ความคล่องแคล่ว และความสามารถในการประยุกต์ใช้
- การเรียนแบบมีส่วนร่วมสไตล์ญี่ปุ่นมักถูกยกเป็นตัวอย่างอยู่บ่อยครั้ง แต่การเรียนหลังเลิกเรียนอย่าง Kumon ก็ช่วยสร้างความชำนาญในเนื้อหาควบคู่ไปกับ การท่องจำ การทำซ้ำ และการฝึกเชิงกลไก
- วิธีเรียนรู้ด้วยการทวนคำศัพท์ ไวยากรณ์ และเงื่อนไขการใช้งานเหมือนการเรียนภาษา สามารถนำมาใช้กับสมการและขั้นตอนทางคณิตศาสตร์ได้เช่นกัน และสอดคล้องกับ การจัดกลุ่มความรู้ (chunking) ที่สร้างแพตเทิร์นในความจำระยะยาว
- ความเข้าใจเชิงลึกในหัวข้อซับซ้อนไม่ได้เกิดจากคำอธิบายเพียงอย่างเดียว แต่ ความคล่องแคล่ว ที่ก่อรูปจากการทำซ้ำ การฝึก และการท่องจำ สามารถขยายไปถึงการเลือกอาชีพและวิธีคิดได้
จุดเปลี่ยนจากความกลัวคณิตศาสตร์สู่ศาสตราจารย์วิศวกรรม
- ตอนเด็กมีแนวโน้มไปทางวรรณกรรมและหลีกเลี่ยงคณิตศาสตร์กับวิทยาศาสตร์ แต่ภายหลังกลายเป็น ศาสตราจารย์ด้านวิศวกรรม ที่ต้องใช้คณิตศาสตร์อย่างปริพันธ์สามชั้น การแปลง Fourier และสมการ Euler ทุกวัน
- ไม่ได้ผ่านคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ระดับประถม มัธยมต้น และมัธยมปลายมาอย่างราบรื่น และเพิ่งเริ่มเรียนคณิตศาสตร์เสริมพื้นฐานหลังออกจาก Army เมื่ออายุ 26 ปี
- ประสบการณ์การกลับมาเรียนคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ในวัยผู้ใหญ่ กลายเป็นโอกาสให้มอง ความยืดหยุ่นของสมองผู้ใหญ่ และการเรียนรู้ของผู้ใหญ่จากภายใน
- การเรียนปริญญาเอกด้านวิศวกรรมระบบ รวมถึงงานวิจัยและงานเขียนเกี่ยวกับความคิดของมนุษย์ กลายเป็นพื้นฐานในการตีความประสาทวิทยาศาสตร์การเรียนรู้และจิตวิทยาการรู้คิด
การเรียนคณิตศาสตร์ด้วยความเข้าใจเชิงแนวคิดอย่างเดียวไม่พอ
- นักเรียนจำนวนมากเรียนรู้ในระดับประถม มัธยมต้น และมัธยมปลายว่าแก่นของการเรียนคือการเข้าใจคณิตศาสตร์ผ่านการอภิปรายและคำอธิบาย
- ญี่ปุ่นมักถูกมองว่าเป็นต้นแบบของรูปแบบการสอนแบบกระตือรือร้นและเน้นความเข้าใจ แต่ในขณะเดียวกัน วิธีแบบ Kumon ก็เน้นการท่องจำ การทำซ้ำ และการเรียนเชิงกลไกควบคู่กับการชำนาญเนื้อหา
- โปรแกรมหลังเลิกเรียนและวิธีที่คล้ายกันนี้ ได้รับการยอมรับจากผู้ปกครองจำนวนมากทั้งในญี่ปุ่นและทั่วโลกว่าเป็นเครื่องมือเสริมการศึกษาของบุตรหลาน
- เมื่อการศึกษาแบบมีส่วนร่วมถูกเสริมด้วยการฝึกและการทำซ้ำอย่างเพียงพอ รวมถึงการท่องจำที่ออกแบบอย่างชาญฉลาด ความคล่องแคล่ว ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ก็จะเติบโตขึ้น
- ในสหรัฐฯ การเน้นความเข้าใจเชิงแนวคิดในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์บางครั้งทำงานเหมือนการเข้ามาแทนที่วิธีเรียนแบบเก่า แทนที่จะเป็นการเสริมให้สมบูรณ์ขึ้น
- Common Core พยายามให้ความสำคัญกับความเข้าใจเชิงแนวคิด ทักษะเชิงขั้นตอนและความคล่องแคล่ว ตลอดจนความสามารถในการประยุกต์ใช้ในคณิตศาสตร์อย่างเท่าเทียม แต่ในการนำไปใช้จริง ความเข้าใจเชิงแนวคิดมักกลายเป็นศูนย์กลางของเวลาเรียนได้ง่าย
- หากมุ่งแต่ความเข้าใจ นักเรียนอาจจับแก่นของไอเดียสำคัญได้ แต่เพราะไม่มีการบูรณาการผ่านการฝึกและการทำซ้ำ จึงอาจสูญเสียมันไปอย่างรวดเร็ว
- อาจตกอยู่ใน ภาพลวงตาของความสามารถ คือเชื่อว่าตนเข้าใจ ทั้งที่จริงไม่ได้เข้าใจ
- เช่นกรณีนักศึกษาวิศวกรรม แม้ระหว่างเรียนจะรู้สึกว่าเข้าใจ แต่หากไม่มีการฝึกใช้แนวคิดจนซึมซับ ผลลัพธ์ก็อาจต่ำได้
ความคล่องแคล่วคือหน่วยความรู้ที่สร้างขึ้นด้วยการทำซ้ำ
- เช่นเดียวกับการฝึกวงสวิงกอล์ฟซ้ำหลายปีจนร่างกายเคลื่อนไหวได้ด้วยความคิดเพียงอย่างเดียว คณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ก็ต้องการสภาวะที่ไม่จำเป็นต้องอธิบายขั้นตอนเดิมใหม่ทุกครั้ง
- เช่นเดียวกับที่ไม่จำเป็นต้องจัดลูกปัดใหม่ทุกครั้งเพื่อหา 5×5=25 ขั้นตอนอย่างการบวกเลขชี้กำลังเมื่อคูณจำนวนที่มีฐานเดียวกัน ก็สามารถดึงออกจากความจำได้ทันทีผ่านการใช้งานซ้ำ
- เมื่อใช้ขั้นตอนนั้นต่อเนื่องในโจทย์หลากหลายรูปแบบ ก็จะเข้าใจเหตุผลและวิธีทำงานของขั้นตอนนั้นได้ดีขึ้น
- ความเข้าใจที่ใหญ่ขึ้นเป็นผลจากการที่จิตใจประกอบแพตเทิร์นของความหมายขึ้นมา และหากเอาแต่โฟกัสที่ความเข้าใจเองอย่างต่อเนื่อง กลับอาจขัดขวางการเรียนรู้ได้
กลยุทธ์ที่ได้จากการเรียนภาษารัสเซีย
- เพราะไม่มีเงินหรือทักษะที่จะไปมหาวิทยาลัย จึงเข้า Army หลังจบมัธยมปลาย และเรียนภาษารัสเซียที่ Defense Language Institute
- ในการเรียนภาษารัสเซีย สิ่งที่ให้ความสำคัญมากกว่าความเข้าใจง่าย ๆ คือ ความคล่องแคล่ว
- ไม่ได้หยุดอยู่แค่รู้ว่า понимать แปลว่า “เข้าใจ” แต่ฝึกใช้ซ้ำ ๆ ในกาลและประโยคหลากหลายรูปแบบ
- ฝึกทั้งว่าเมื่อใดควรใช้รูปกริยานั้น และเมื่อใดไม่ควรใช้
- ทำซ้ำเพื่อให้เรียกคืนและปรับเปลี่ยนคำศัพท์กับโครงสร้างได้อย่างรวดเร็ว
- แม้จะเข้าใจคำศัพท์และองค์ประกอบไวยากรณ์ในเชิงเทคนิค แต่ถ้าประมวลผลไม่ได้เมื่อคำพูดจริงไหลมาอย่างรวดเร็ว ก็ยากจะเรียกได้ว่าคล่องแคล่ว
- แนวทางนี้ส่งผลต่อผลการเรียน และภายหลังกลายเป็นพื้นฐานให้เข้าใจโดยสัญชาตญาณถึง การจัดกลุ่มความรู้ ซึ่งเป็นหัวใจของการพัฒนาความเชี่ยวชาญ
ความเชื่อมโยงระหว่างการจัดกลุ่มความรู้กับความเชี่ยวชาญ
- ในการวิเคราะห์หมากรุกของ Herbert Simon การจัดกลุ่มความรู้ถูกวางแนวคิดเป็นหน่วยทางประสาทที่สอดรับกับแพตเทิร์นหมากรุกหลากหลายแบบ
- ต่อมานักประสาทวิทยามองว่าผู้เชี่ยวชาญอย่างแกรนด์มาสเตอร์หมากรุกเก็บชิ้นความรู้หลายพันชิ้นเกี่ยวกับสาขาของตนไว้ในความจำระยะยาว
- ผู้เชี่ยวชาญหมากรุกสามารถจำแพตเทิร์นหมากรุกได้เป็นหมื่นแบบ และผู้เชี่ยวชาญในสาขาอื่นก็เรียกซับรูทีนทางประสาทที่จัดกลุ่มไว้อย่างดีขึ้นสู่สติ เพื่อวิเคราะห์และตอบสนองต่อสถานการณ์ใหม่
- งานวิจัยเกี่ยวกับผู้เชี่ยวชาญหมากรุก แพทย์ห้องฉุกเฉิน และนักบินรบ แสดงให้เห็นว่าในสถานการณ์เร่งด่วนที่กดดันสูง กระบวนการที่ทำงานคือการดึง ซับรูทีนทางประสาท ที่ฝังลึกออกมาอย่างรวดเร็ว มากกว่าการวิเคราะห์อย่างมีสติ
- ในบางขณะ กระบวนการพยายามทำความเข้าใจอย่างมีสติว่าตนกำลังทำเช่นนั้นเพราะอะไร อาจตัดจังหวะการไหลและทำให้การตัดสินใจแย่ลง
นำวิธีเรียนภาษามาใช้กับคณิตศาสตร์และวิศวกรรม
- เมื่อเป็นผู้ใหญ่และเรียนคณิตศาสตร์กับวิศวกรรม ก็ใช้กลยุทธ์เดียวกับที่เคยใช้ตอนเรียนภาษารัสเซีย
- ยกตัวอย่างกฎข้อที่สองของ Newton คือ f = ma โดยเรียนรู้ความหมายของตัวอักษรแต่ละตัวในเชิงความรู้สึก
- f คือแรง, m คือแรงต้านอันหนักหน่วงต่อแรงผลัก, a คือความรู้สึกของความเร่ง
- ท่องจำสมการให้เข้าไปอยู่ในหัว แล้วพิจารณาว่าเมื่อ m และ a มีค่าสูง f จะเป็นอย่างไร เมื่อ f สูงและ a ต่ำ m จะเป็นอย่างไร และหน่วยทั้งสองข้างสมการสอดคล้องกันอย่างไร
- กระบวนการเล่นกับสมการคล้ายกับการลองผันกริยา และกลายเป็นวิธีสะสม ซับรูทีนที่ถูกจัดกลุ่มเป็นชิ้นความรู้ รอบสมการง่าย ๆ ทุกวัน เพื่อให้ดึงออกจากความจำระยะยาวได้ง่าย
- อาจารย์คณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์เคยกล่าวไว้ว่าการสร้างชิ้นความรู้ของความเชี่ยวชาญที่ฝังแน่นผ่านการฝึกและการทำซ้ำนั้นสำคัญอย่างยิ่งต่อความสำเร็จ
- ไม่ใช่ความเข้าใจที่สร้างความคล่องแคล่ว แต่เป็นความคล่องแคล่วที่สร้างความเข้าใจ และความเข้าใจที่แท้จริงในหัวข้อซับซ้อนเกิดจากความคล่องแคล่ว
ความคล่องแคล่วเก่า ๆ สามารถฟื้นกลับมาได้
- หลังจากกลายเป็นวิศวกรไฟฟ้าและศาสตราจารย์ด้านวิศวกรรม การใช้ภาษารัสเซียก็ค่อย ๆ ห่างหายไป แต่ 25 ปีต่อมา ได้ใช้ภาษารัสเซียอีกครั้งขณะนั่งรถไฟสายทรานส์ไซบีเรียกับครอบครัว
- ตอนขึ้นรถไฟครั้งแรก พูดภาษารัสเซียได้เหมือนเด็กสองขวบ นึกคำไม่ออก ใช้การผันตามกรณีและการผันกริยาผิด และการออกเสียงก็แย่ลง
- ถึงอย่างนั้นพื้นฐานยังคงอยู่ และภาษารัสเซียก็ดีขึ้นทุกวัน จนสามารถจัดการความจำเป็นในชีวิตประจำวันระหว่างการเดินทางได้
- หลังจากนั้นฟื้นตัวขึ้นถึงขั้นที่ไกด์ขอให้ช่วยแปลให้ผู้โดยสารคนอื่น
- ที่มอสโก เมื่อคนขับแท็กซี่พยายามอ้อมเพื่อเก็บค่าโดยสารเพิ่ม คำภาษารัสเซียที่ไม่ได้พูดมาหลายสิบปีก็พรั่งพรูออกมา และแม้แต่คำที่ไม่รู้สึกว่ารู้อย่างมีสติก็โผล่ออกมาในช่วงเวลาที่จำเป็น
- ความคล่องแคล่วฝังความเข้าใจไว้อย่างลึกซึ้ง และทำให้มันปรากฏขึ้นอีกครั้งเมื่อจำเป็น
บทเรียนที่เหลือไว้ให้การศึกษาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์
- เมื่อพิจารณาสถานการณ์ที่ผู้เรียนสาขาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ขาดแคลน รวมถึงกระแสวิธีการเรียนรู้ในปัจจุบัน ผู้เรียนสามารถใช้วิธีที่ดีกว่าได้
- ผู้ปกครองและครูสามารถใช้ วิธีเรียบง่ายและเข้าถึงได้ ที่ทำให้ความเข้าใจลึกซึ้งและยืดหยุ่นขึ้น
- สามารถส่งเสริมให้ลองท้าทายตัวเองใหม่ในสาขาที่เคยคิดว่ายากเกินไป เช่น คณิตศาสตร์ การเต้น ฟิสิกส์ ภาษา เคมี และดนตรี
- ในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ ความคล่องแคล่วพื้นฐานที่ลึกซึ้งสำคัญกว่าความเข้าใจแบบผิวเผิน และสามารถเปิดประตูสู่อาชีพที่น่าสนใจได้
- พลังของความคล่องแคล่วที่ทำให้รักวรรณกรรมและภาษา ในท้ายที่สุดก็คือพลังเดียวกันที่ทำให้รักคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ และได้เปลี่ยนชีวิตให้มั่งคั่งยิ่งขึ้น
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นจาก Hacker News
ชอบบทความนี้มาก โดยเฉพาะประโยคที่ว่า “ไม่ใช่ความเข้าใจที่สร้างความคล่อง แต่เป็น ความคล่องที่สร้างความเข้าใจ”
ฉันชอบคณิตศาสตร์และเรียนมันเป็นวิชาเอกในมหาวิทยาลัย แต่คนในครอบครัวแม้จะมีแนวโน้มทางวิทยาศาสตร์ ก็ดูเหมือนจะรู้สึกว่าคณิตศาสตร์เองเป็นสิ่งที่คลุมเครือและน่าหวาดหวั่น คิดว่าถ้ามีคนบอกตอนนั้นว่าการจะให้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสดูเป็นเรื่องที่เข้าใจได้โดยสัญชาตญาณ ไม่ได้ต้องอาศัยความหยั่งรู้ลึกซึ้งเกี่ยวกับปริภูมิแบบยุคลิด แต่ต้องฝึกมากพอจนพอเห็นสามเหลี่ยมมุมฉากแล้วนึกถึงวิธีพิสูจน์ได้ทันทีสามแบบ ก็คงจะช่วยได้มาก การที่ผู้เขียนเล่าเรื่องของตัวเองเยอะก็เหมาะสมดี เพราะถ้าจะอธิบาย ประสบการณ์การรับรู้เชิงอัตวิสัย ที่เปลี่ยนจากความกลัวคณิตศาสตร์ไปสู่ความชำนาญทางคณิตศาสตร์ ก็เลี่ยงไม่ได้ที่จะต้องพูดถึงภูมิหลังและการรับรู้กระบวนการภายในของตนเอง
ภายนอกดูเหมือนเป็นเรื่องเกี่ยวกับตัวตนในคณิตศาสตร์ แต่ฉันคิดว่าความอยากดูฉลาดก็ช่วยพัฒนาความสามารถทางคณิตศาสตร์ได้ในแบบที่โพสต์ต้นฉบับพูดถึง ถ้าอยากดูฉลาด สิ่งสำคัญไม่ใช่ว่าคิดขึ้นมาเองหรืออ่านจากหนังสือ แต่คือการแสดงสิ่งที่รู้และแก้ปัญหาได้อย่างง่ายดาย ดังนั้นพออ่านหนัก ๆ ท่องจำเยอะ ๆ และสะสม ฐานข้อมูลทางจิตขนาดมหึมา ที่เอาไว้อวดได้ สุดท้ายก็จะเก่งขึ้นจริง ๆ
ถ้าหาทางได้ทั้งด้วยหลักฐานพิสูจน์ซึ่งเป็นเหมือนป้ายบอกทาง และด้วยความเข้าใจลึกซึ้งต่อตัวปริภูมิเอง ก็ดูเหมือนว่าสัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์อาจมีอยู่สองเส้นทาง คือเส้นทางของการฝึกฝนและความคล่อง กับเส้นทางของความหยั่งรู้ลึกและความเข้าใจ
ดูเหมือนว่าในสิ่งที่เรียกว่า “คณิตศาสตร์” จะมีอยู่สองหมวดใหญ่ ๆ หมวด A คือคณิตศาสตร์แบบที่บทความนี้พูดถึง เป็นคณิตศาสตร์ที่คนทั่วไปหมายถึง และเป็นสิ่งที่วิศวกรหรือว่านักวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ใช้ ส่วนหมวด B คือคณิตศาสตร์ที่นักศึกษาคณิตศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ใช้ ซึ่งเป็นนามธรรมและมักอยู่ในสาขาที่ชื่อจบด้วยคำว่า “theory”
เลยสงสัยว่าด้วยแนวทางของบทความนี้จะเรียน คณิตศาสตร์ B ได้หรือไม่ ฉันพยายามหลายครั้งแต่ล้มเหลว ทั้งที่ชำนาญ คณิตศาสตร์ A อย่างสมการเชิงอนุพันธ์ พีชคณิตเชิงเส้น การจัดการสัญลักษณ์ เรขาคณิต และการประยุกต์กับปัญหาจริง ตรงกันข้าม คณิตศาสตร์ B ดูเอื้อมไม่ถึง และถ้าเทียบกับการเขียนโปรแกรมก็เหมือน Haskell หรือการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชันบริสุทธิ์ที่จับทางไม่ได้ เลยสงสัยว่าส่วนหนึ่งเป็นเรื่องพันธุกรรม ส่วนหนึ่งต้องเรียนตั้งแต่เด็ก หรือว่าจำเป็นต้องมีเส้นทางการเรียนแบบเป็นทางการหรือเปล่า
อีกองค์ประกอบหนึ่งของคณิตศาสตร์ C คือ sense ของตัวเลข ที่ช่วยให้รู้ได้ว่าค่าประมาณหรือค่าบนหน้าจอเครื่องคิดเลขนั้นสมเหตุสมผลหรือผิดชัดเจน เหตุผลที่ฉันคำนวณในใจไม่เก่ง ส่วนหนึ่งเพราะท่องสูตรคูณได้ไม่ครบจริง ๆ และอีกส่วนก็เหมือนกับคนที่ไม่มี sense ด้านทิศทาง คือสมองมีจุดที่บกพร่องอยู่บ้าง แต่ฉันกลับเก่งเรื่อง การจัดการสัญลักษณ์ ที่ตัวเลขไม่สำคัญจนกว่าจะถึงขั้นสุดท้าย
อิทธิพลจากพ่อที่ชอบพูดว่า “ฉันไม่เก่งคณิตศาสตร์” มีผลมาก และมันก็เป็นข้ออ้างหนีปัญหาที่ง่ายดี หลังจากนั้นฉันไปเรียนเขียนโปรแกรมอย่างจริงจัง เรียนหลายภาษา และเริ่มทำงานเว็บดีเวลอปเมนต์ได้ทันที แต่ไม่กี่ปีต่อมาก็เบื่อ เลยสมัครเข้า community college เพื่อจะลองเรียนวิศวกรรม แล้วพบว่าวิชาวิศวกรรมทุกตัวมีวิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาพื้นฐาน ครั้งแรกที่ฉันพยายามอย่างจริงจัง ก็พบว่าแท้จริงแล้วไม่ได้เป็นคนทำคณิตศาสตร์ไม่ได้ แค่ไม่มีแรงจูงใจเท่านั้น หลังจากนั้นทำงานที่ศูนย์ติว เรียนโอนเข้ามหาวิทยาลัย แล้วก็ลงเรียนวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐานมากขึ้นเรื่อย ๆ สุดท้ายย้ายไปเรียนเอกคณิตศาสตร์ และตอนนี้กลายเป็น ดุษฎีบัณฑิตด้านคณิตศาสตร์ ไปแล้ว จนอายุยี่สิบกลาง ๆ ฉันยังไม่เชื่อเลยว่าตัวเองจะทำคณิตศาสตร์ A ได้ แต่ก็เก่งขึ้นเพราะต้องใช้กับวิศวกรรม และจากนั้นก็ขยับไปสู่คณิตศาสตร์ B ทันที การเขียนโปรแกรมช่วยสอนให้คิดอย่างเคร่งครัดและเป็นนามธรรม และเพราะฉันมาเรียนคณิตศาสตร์ B หลังอายุ 25 ปี ฉันจึงไม่เห็นด้วยกับความคิดที่ว่านี่เป็นพรสวรรค์ติดตัวหรือเป็นสิ่งที่ต้องเรียนตั้งแต่เด็ก อย่างไรก็ตาม ข้อดีของการศึกษาแบบเป็นทางการก็คือมีแรงเสริมจากภายนอก เช่น กลุ่มเพื่อนที่เรียนด้วยกัน กำหนดส่งงาน และการสอบ
ตอนนั้นฉันเกลียดคณิตศาสตร์ B แต่ก็พอเอาตัวรอดด้วยเกรดระดับกลางขึ้นไป ตอนนี้พอมองย้อนกลับไปกลับชอบมันมากขึ้นเสียอีก และอยากกลับไปเรียนวิชาเหล่านั้นใหม่ด้วยมุมมองแบบตอนนี้ เหตุผลใหญ่ที่ตอนแรกไม่ชอบก็เพราะฉันเริ่มเรียนเอกจากสิ่งที่ชอบและทำได้ดี แต่จู่ ๆ มันกลับกลายเป็นสิ่งที่ต่างออกไปโดยสิ้นเชิง ราวกับเป็น ล่อให้หลงแล้วสับเปลี่ยนของ
อิเล็กทรอนิกส์แอนะล็อกก็ทำงานอยู่ในโลกแบบฟังก์ชันบริสุทธิ์เป็นส่วนใหญ่เช่นกัน แอมป์ไม่ได้พยายามเปลี่ยนสัญญาณขาเข้า แต่สร้างสัญญาณขาออกที่แรงกว่าโดยตามรูปแบบของสัญญาณขาเข้า และแหล่งกำเนิดเสียงของเครื่องดนตรีก็ไม่ได้ไปสั่นแป้น แต่สร้างสัญญาณเสียงตามคีย์ที่กด วิธีที่ง่ายที่สุดในการลองทำการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชันบริสุทธิ์แบบใช้งานจริงคือเอาโปรเซสของ Unix มาต่อกันด้วย pipe:
cat somefile.py | egrep '^def \w+' | wc -lนี่คือแมป-รีดิวซ์ไปป์ไลน์แบบ point-free และเป็นการประกอบฟังก์ชันบริสุทธิ์ ที่ใช้ในการนับฟังก์ชันระดับบนสุดในไฟล์ Python การอัปเดตก็ทำได้โดยป้อนค่าขาออกกลับไปเป็นขาเข้า แล้วเมื่อคำนวณเสร็จก็ค่อยสลับไปใช้ “เวอร์ชันถัดไป” เกมชีวิตของ Conway ก็ดูเหมือนอัปเดตค่าที่เดิม แต่จริง ๆ แล้วสถานะใหม่ของแผนที่จะถูกคำนวณทั้งหมดจากสถานะก่อนหน้า แล้วแผนที่ใหม่นั้นจึงกลายเป็นสถานะปัจจุบัน โดยทั่วไปแล้วจักรวาลเองก็อาจมองได้ว่าเป็น การคำนวณเชิงฟังก์ชันบริสุทธิ์ ที่สถานะถัดไปเป็นฟังก์ชันของสถานะในอดีต และอดีตก็ไม่เปลี่ยนแปลงแต่ละขั้นของการพิสูจน์สามารถมองได้ว่าเป็นกฎที่ใช้เปลี่ยนเทอมซึ่งก็คือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ฉันยังไม่เคยเห็นหนังสือที่อธิบายเรื่องนี้อย่างชัดเจนทั้งหมด แต่หนังสือที่พูดถึง sequent calculus จะพาไปได้ประมาณครึ่งทาง ส่วนที่เหลือของคณิตศาสตร์ B คือ สัญชาตญาณ ในการตั้งข้อคาดเดาใหม่ ๆ และเดาว่าจะเดินจากสมมติฐานไปยังข้อความที่อยากพิสูจน์ได้อย่างมีประสิทธิภาพอย่างไร
ตอนเข้าเรียนแพทย์หลังจบทั้งปริญญาตรีและบัณฑิตศึกษาด้านวิทยาการคอมพิวเตอร์ ก็ได้ข้อสรุปคล้ายกันเกี่ยวกับคุณค่าของการท่องจำ
ในสาย CS ไม่ได้เน้นการท่องจำข้อเท็จจริงมากนัก จึงใช้เวลาพอสมควรกว่าจะยอมรับ การท่องจำจำนวนมาก เป็นเทคนิคการเรียนรู้ แต่เมื่อเวลาผ่านไปก็พบว่าการดึงความทรงจำกลับมาได้อย่างรวดเร็วไม่ได้มาแทนที่ความเข้าใจเชิงแนวคิด ตรงกันข้ามมันยิ่งช่วยเสริมความเข้าใจนั้นด้วย เคยเขียนเรื่องนี้ไว้เมื่อไม่กี่ปีก่อน: https://samrawal.substack.com/p/on-the-relationship-between-...
ดูเหมือนผู้เขียนจะชอบพูดถึงตัวเองมาก แม้จะอ่านต่อจนจบ แต่ทั้งบทความให้ความรู้สึกเหมือนเป็น บทเกริ่นยาว ที่ไม่มีผลตอบแทน
ถ้าคุณอยากรู้ว่าจะเก่งคณิตศาสตร์ขึ้นและปรับสมองให้เข้ากับคณิตศาสตร์ได้อย่างไร อ่านบทความนี้แล้วก็คงไม่ได้ฉลาดขึ้นมากนัก
การท่องจำและการฝึกซ้ำมีความสำคัญต่อการเรียนรู้ และกระแส “ความเข้าใจ” อย่างเดียวที่ฮิตในตอนนั้นยังไม่พอ ต้องมีพื้นฐานพวกนี้ก่อน จึงจะไปโฟกัสเรื่องระดับสูงกว่าอย่างการเข้าใจและประยุกต์ใช้สูตรได้ ผู้เชี่ยวชาญสร้าง ก้อนความจำ ขึ้นมา แล้วนำมาใช้เหมือนที่ปรมาจารย์หมากรุกดึงเกมเก่า ๆ หลายพันกระดาน รูปแบบการเปิดเกม และรูปแปรต่าง ๆ ออกมาใช้
สำหรับผู้ใหญ่ ส่วนที่ยากคือการหาเวลา และยิ่งยากขึ้นถ้างานที่ทำอยู่ก็ใช้พลังสมองมากอยู่แล้ว
ถ้าแค่ท่อง
f=maโดยไม่เคยพยายามใช้มันทั้งในทางทฤษฎีและทางปฏิบัติ มันก็ย่อมไม่มีความหมายอยู่แล้ว ความพยายามจะโยงการเรียนภาษาต่างประเทศเข้ากับ STEM ก็ดูฝืน ๆ และสุดท้ายก็ใกล้เคียงกับข้อสรุปที่ว่าทุกอย่างคือ ทักษะเชิงช่าง ดังนั้นถ้าอยากเก่งจริงก็ต้องฝึกลิงก์ที่เกี่ยวข้อง
I Rewired My Brain to Become Fluent in Math - https://news.ycombinator.com/item?id=33890921 - ธันวาคม 2022
I Rewired My Brain to Become Fluent in Math (2014) - https://news.ycombinator.com/item?id=13674101 - กุมภาพันธ์ 2017
The building blocks of understanding are memorization and repetition - https://news.ycombinator.com/item?id=12508776 - กันยายน 2016
How I Rewired My Brain to Become Fluent in Math - https://news.ycombinator.com/item?id=8402859 - ตุลาคม 2014
How I Rewired My Brain to Become Fluent in Math - https://news.ycombinator.com/item?id=8400837 - ตุลาคม 2014
อยากให้การศึกษาคณิตศาสตร์มี ประวัติศาสตร์และปรัชญา มากกว่านี้ ที่โรงเรียนผมทำคณิตศาสตร์ได้ไม่ดี ไม่ใช่เพราะไม่มีพรสวรรค์ แต่เพราะมันน่าเบื่อเกินไปและขาดจากสิ่งที่ผมสนใจในวัยเด็ก
หลายปีต่อมา ตอนพยายามค่อย ๆ ตามความรู้คณิตศาสตร์ให้ทัน สิ่งที่ผมสนใจที่สุดกลับเป็นชีวิตของนักคณิตศาสตร์ เหตุการณ์ที่มีอิทธิพลต่อผลงานของพวกเขา และหัวข้อที่เกี่ยวข้องกับปรัชญาคณิตศาสตร์ ในโรงเรียนวิชาคณิตศาสตร์มีแต่การคำนวณกับสูตร ไม่เคยมีอะไรแบบนี้ บัญชีก็เหมือนกัน พอแยกสอนเดี่ยว ๆ มันน่าเบื่อ แต่พอโยงเข้ากับประวัติของระบบบัญชีคู่ในอิตาลี หรือการค้าโลกหลังคริสต์ศตวรรษที่ 16 มันกลับน่าสนใจขึ้น
คณิตศาสตร์ให้ความรู้สึกเหมือน “การสร้างระบบซอฟต์แวร์สำหรับตัวเลข โดยที่ผมเป็นคอมไพเลอร์ไปพร้อมกัน” ในเชิงปัญญา ผมอยากเรียกคณิตศาสตร์ว่า ปรัชญาเชิงปริมาณ และผมก็ชอบปรัชญาด้วย
ไม่เพียงไม่มีอิสระให้ไล่ตามความสนใจส่วนตัว แม้แต่วิชาหลักอย่างประวัติศาสตร์ คณิตศาสตร์ หรือชีววิทยา ก็ยังถูกย่อให้เหลือเป็นชุดข้อเท็จจริงที่ใส่ลงตำราและวัดผลด้วย ข้อสอบปรนัย ได้
ทั้งที่ในความจริง ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดเกิดจากการที่ผู้คนมักต้องจัดการกับตัวเลขด้วยคณิตศาสตร์ในรูปแบบก่อนหน้าอยู่หลายสิบปี โดยมากก็เพื่อการประยุกต์ทางวิศวกรรม ถ้านักเรียนรู้ว่าแม้แต่นักนวัตกรรมคณิตศาสตร์เองก็ติดขัดอยู่นานเหมือนกัน พวกเขาน่าจะมั่นใจในความสามารถของตัวเองมากขึ้น
มันอาจเป็นเรื่องเล่าเปิดประเด็นที่ยอดเยี่ยมได้ แต่สุดท้ายแล้วคณิตศาสตร์ก็เกี่ยวกับ การคำนวณ สูตร และการพิสูจน์ ไม่ใช่หรือ
อยากรู้ว่านักปฏิรูปการศึกษาจะว่าอย่างไรกับคำโปรยรองที่ว่า “ต้องขอโทษเหล่านักปฏิรูปการศึกษา แต่สิ่งที่เรายังต้องการก็คือการท่องจำและการทำซ้ำ”
มันฟังดูเป็นการตั้งคู่ขัดแย้งเกินความจำเป็น และก็ดูจะพลาดประเด็นหลักของบทความไปนิดหน่อยด้วย บทความบอกว่าการฝึกและการทำซ้ำมีความสำคัญในคณิตศาสตร์ แต่ดูเหมือนจะไม่ได้หมายความว่าเราควรย้อนกลับไปสู่การสอนคณิตศาสตร์แบบอเมริกันเมื่อ 40 ปีก่อน ตอนมัธยมปลายฉันเคยถูกประเมินจากความเร็วในการคูณเมทริกซ์ และตอนนั้นก็คิดว่าเมทริกซ์เป็นเรื่องงี่เง่า แต่พอเรียนพีชคณิตเชิงเส้นและตัวสั่นที่คัปปลิงกันในมหาวิทยาลัยกลับรู้สึกว่ามันเจ๋งมาก เลยคิดว่าการปฏิรูปการศึกษาหมายถึงการลด งานทำซ้ำที่ไร้ความหมาย แล้วไปโฟกัสที่บริบทการใช้งานจริงมากกว่า หรือว่าฉันเข้าใจผิด
แก่นสำคัญคือการฝึก ฝึกเยอะ ๆ และฝึกให้มากกว่านั้น ครูไม่ชอบเพราะการตรวจงานน่าเบื่อ นักเรียนก็ไม่ชอบเพราะมันไม่สนุก แต่ การฝึกซ้ำ ได้ผล มันไม่ต่างจากการเล่นด่านเดิมใน Super Mario Bros. ซ้ำไปซ้ำมาจนกะจังหวะกระโดดได้พอดี ฉันคิดอยู่บ่อย ๆ ว่าถ้าจะสอนเรื่องอย่างข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์ ก็น่าจะทำให้การฝึกมีความเป็นเกมมากขึ้น แต่ดูเหมือนระบบการศึกษาอเมริกันจะแพ้วิธีแบบนี้เสียมากกว่า ตรงกันข้าม ระบบการศึกษาอเมริกันดูเหมือนจะเสพติดการกระโดดจากกระแสเกินจริงอันหนึ่งไปสู่อีกอันหนึ่งตามทิศทางที่เงินไหลไป
การศึกษาหลายแบบเน้นการปรับให้เข้ากับจุดที่นักเรียนยืนอยู่ในตอนนี้ จนบางครั้งกลับไปกลบความซับซ้อนที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ของการเผชิญหน้ากับความรู้บางอย่างในเชิงมโนทัศน์ บางครั้งการท่องจำความนามธรรมก้อนใหญ่ที่ทะลุผ่านได้ยากก่อน แล้วค่อยสร้างความหมายผ่านการประยุกต์ใช้ อาจเป็นวิธีที่ดีกว่า ความรู้จำนวนมากจะค่อย ๆ ชัดขึ้นเมื่อเราเดินหน้าต่อไป ทั้งที่ตอนแรกยังเข้าใจสิ่งที่พูดกันได้เพียงเลือนราง โดยเฉพาะเมื่อมีความมั่นใจและความตั้งใจจะทดลอง และมี กลไกป้อนกลับ
ฉันรู้ว่ามีช่องโหว่ใหญ่ ๆ อยู่มาก แต่ก็ยังใช้คณิตศาสตร์ได้เท่าที่จำเป็น ตอนนี้ฉันพยายามเลี่ยงตัวคณิตศาสตร์เอง แล้วใช้เพียง รูปทรงของคณิตศาสตร์
ทั้งสองฝ่ายต่างอ้างงานวิจัยด้านจิตวิทยาการศึกษาเป็นหลักฐาน โดยฝ่ายก้าวหน้ามักพึ่งสถาบันใหญ่และงานวิจัยนานาชาติ ส่วนฝ่ายดั้งเดิมมักศึกษาจากห้องเรียนของตนเอง นักเรียนสายดั้งเดิมดูเหมือนจะทำข้อสอบมาตรฐานของอังกฤษได้ดีกว่า แต่ก็อาจเป็นผลจากตัวข้อสอบเองด้วย อีกทั้งครูครึ่งหนึ่งออกจากอาชีพนี้ภายใน 5 ปี ในช่วง 40 ปี นั่นเท่ากับครูราวแปดรุ่นที่ถูกฝึกมาพร้อมอคติของแต่ละยุค แล้วขัดเกลาความคิดในห้องเรียนก่อนจะไปฝึกคนรุ่นถัดไป เมื่อนำมาซ้อนกับวัฏจักรกระแสของสำนักจิตวิทยาการศึกษาและการเปลี่ยนนโยบายรัฐบาล การปฏิบัติทางการศึกษาเมื่อ 40 ปีก่อนจึงใกล้เคียงกับ โบราณคดี มากกว่าจะเป็นประวัติศาสตร์
สุดท้ายเราจึงต้องถอยลงมาจากระดับนามธรรมสูงที่ตั้งใจจะสอนไปจัดการกับเลขคณิตซึ่งเป็นระดับนามธรรมต่ำกว่าอยู่เรื่อย ๆ และผลก็คือไม่ได้เรียนรู้นามธรรมระดับสูงเหล่านั้นเลย ลองนึกภาพภาษาเชิงวัตถุที่สร้างนามธรรมได้สารพัด แต่กลับคูณตัวเลขไม่ได้สิ เวลาที่อัลกอริทึมต้องใช้การคูณ หากต้องเขียนแอสเซมบลีไม่กี่บรรทัดเดิมด้วยมือตัวเองทุกครั้ง ประสิทธิภาพจะลดลงขนาดไหน แค่ต้อง ฝึกคูณเลข
ตอนเรียนวิชาคณิตศาสตร์ในมหาวิทยาลัย ฉันเห็นช่องว่างขนาดใหญ่อยู่เสมอระหว่างสิ่งที่คิดว่าตัวเองเข้าใจกับความสับสนที่โจทย์จริงสร้างขึ้น ผู้เขียนพูดถึงปรากฏการณ์นี้แล้วทำให้รู้สึกดีมาก
สำหรับนักเรียนส่วนน้อยที่เข้าใจหัวข้อนั้นจริง ๆ โจทย์เป็นแค่งานซ้ำ ๆ ง่าย ๆ แต่สำหรับคนที่ยังไม่เข้าใจ มันคือส่วนที่สำคัญที่สุดของกระบวนการเรียนรู้ วิธีเข้าใจคณิตศาสตร์มีอยู่เพียงอย่างเดียวจริง ๆ คือ ลงมือทำคณิตศาสตร์ รูปแบบอาจหลากหลายได้ แต่การแก้โจทย์นั้นสำคัญ ฉันเชื่อว่าโจทย์ควรน่าสนใจ แต่การทบทวนจากความจำแบบซ้ำ ๆ ก็สำคัญเช่นกัน
เพิ่งนึกเชื่อมโยงได้ก็ตอนดูว่าเขาเป็นศาสตราจารย์ที่ไหน เขาเป็นหนึ่งในผู้สอน Learning How To Learn ของ Coursera: https://www.coursera.org/learn/learning-how-to-learn
หลังจากเตรียมตัวสัมภาษณ์ FAANG แล้วไม่ผ่าน พอมองย้อนกลับไปก็รู้สึกว่า ถ้าอยากผ่านก็คงมีแต่ต้องไล่ทำ LeetCode และท่องแพตเทิร์นการท่องกราฟ, การท่องต้นไม้แบบ breadth-first search และ depth-first search, แพตเทิร์นการเรียกซ้ำ เป็นต้น
ถ้าแก้ด้วยวิธีคิดแก้ปัญหาแบบเป็นธรรมชาติ จะใช้เวลาหลายชั่วโมงถึงหลายวันต่อโจทย์ LeetCode หนึ่งข้อ ตามบทความและมาตรฐานของวงการเทคแล้ว การท่องจำนั่นแหละคือความฉลาด ตลอดชีวิตผมใช้วิธีทำความเข้าใจหัวข้อและหลีกเลี่ยงการท่องจำ แต่ตอนนี้กำลังมีอาการ impostor syndrome อย่างหนัก จนคิดอยู่เหมือนกันว่าตัวเองอาจไม่มีสิทธิ์ไปอยู่ท่ามกลางคนที่ฉลาดกว่าซึ่งสอบสัมภาษณ์ผ่าน และกำลังคิดถึงขั้นลาออกจากงานสายเทคที่ทำอยู่ด้วยความสมัครใจ รูปแบบการสัมภาษณ์ของวงการเทคมันถูกต้องแล้วหรือเปล่า ผมต้องการความช่วยเหลือ
ถึงจะไม่ได้รายได้ระดับ FAANG แต่ก็หารายได้ได้อย่างสม่ำเสมอมากกว่า 2.5 เท่าของรายได้มัธยฐานในพื้นที่ สำหรับเมืองระดับรองในสหรัฐฯ ที่ผมอยู่ การสัมภาษณ์แบบ FAANG คือ เกม อย่างหนึ่ง เหตุผลที่มันเลวร้ายและต้องเตรียมตัวหนักก็เพื่อคัดให้กลุ่มผู้สมัครเอนเอียงไปหาคนบางแบบ เลือกคนที่อยากได้งานนี้มากพอหรือมีเวลามากพอ ทำให้ย้ายไปบริษัทระดับเดียวกันได้ยากเพื่อลดค่าจ้าง และสุดท้ายก็เพื่อสร้างความรู้สึกเป็นพวกเดียวกันผ่านพิธีรับน้อง คุณไม่จำเป็นต้องเก็บมาเป็นเรื่องส่วนตัว
ถ้าสมมุติว่ามีพื้นฐานนี้อยู่แล้ว กุญแจสู่ความสำเร็จก็คือการพัฒนาความสามารถในการแก้ปัญหา ถ้าคุณไม่ได้เพิ่งเรียนวิชาที่อิง CLRS มา การต้องท่องจำและฝึกแนวคิดเหล่านั้นเพิ่มก็เป็นเรื่องธรรมชาติ
โดยพื้นฐาน สิ่งที่ต้องทำให้ได้ดีคือจำ time complexity ของ data structure หลัก ๆ และคุ้นเคยกับโครงสร้างสำคัญที่มีให้บนแพลตฟอร์มที่คุณใช้เขียนโค้ด สำหรับทีมที่เน้น Java การจำ Map หลายประเภท, PriorityQueue, Stack, อาร์เรย์ และพฤติกรรมการอ้างอิงของ Java เป็นเรื่องสำคัญ ถ้าพอมีสัญชาตญาณว่าโครงสร้างพวกนี้มีประโยชน์เมื่อไร ส่วนอัลกอริทึมก็จะไม่ยากมากนัก ตัวอย่างเช่น ดูเหมือนว่าพวกเขาชอบถามเรื่อง LRU cache ในสัมภาษณ์ โดยเฉพาะการ implement LRU cache ที่ทุก operation เป็นเวลาคงที่ วิธีที่ง่ายที่สุดคือสร้าง doubly linked list แล้วให้โหนดของมันชี้ไปยัง wrapper type ภายใน hash map ไม่ได้ยากมาก แต่ต้องคุ้นว่า data structure แบบไหนเหมาะ และในกรณีนี้ความผิดพลาดที่มือใหม่ชอบทำคือพยายามใช้ min-heap