- π คือ อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงกับเส้นผ่านศูนย์กลาง ของวงกลม แต่ถ้านิยาม “ระยะทาง” ต่างกัน วงกลมที่มีรัศมีเท่ากันก็อาจมีรูปร่างต่างกันและค่า π ก็เปลี่ยนไปได้
- เมตริก (metric) ในคณิตศาสตร์กำหนดเงื่อนไข 4 ข้อที่ฟังก์ชันระยะทางต้องเป็นไปตามนั้น และทำให้ยังสามารถศึกษาทั้งเรขาคณิต แคลคูลัส และโทโพโลยีได้นอกเหนือจากระยะแบบยูคลิด โดยปรับแก้บางส่วน
- ใน ระยะแมนฮัตตัน และ ระยะแบบค่าสูงสุด วงกลมจะมีลักษณะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่หมุน 45 องศาและสี่เหลี่ยมจัตุรัสตามลำดับ และเมื่อคำนวณเส้นรอบรูปแล้วจะได้ว่า π เท่ากับ 4 ทั้งคู่
- p-norm คือชุดเมตริกอนันต์ที่รวม Manhattan, Euclidean และ maximal distance เอาไว้ และค่า π=3.14159… ของระยะแบบยูคลิดทั่วไปเมื่อ p=2 เป็นค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ในตระกูลนี้
- หากขยายไปถึงเมตริกทั้งหมด π จะอยู่ ระหว่าง 3 ถึง 4 และในเมตริกแบบหกเหลี่ยมบางชนิด เส้นรอบรูปของวงกลมรัศมี 1 จะเท่ากับ 6 ทำให้ได้ π=3
ทำไมค่า π ถึงเปลี่ยนได้
- โดยทั่วไป π ปรากฏในสมการความสัมพันธ์ระหว่าง เส้นรอบวง C กับรัศมี r คือ
C = 2πr
- ในทางคณิตศาสตร์ วงกลมคือเซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน
- ดังนั้น π จึงขึ้นอยู่กับ นิยามของระยะทาง ที่ใช้วัดเส้นรอบวงและรัศมี
- รูปร่างของจุดที่มี “ต้นทุน” เท่ากันไม่ได้จำเป็นต้องเป็นวงกลมแบบยูคลิดเสมอไป
- จุดที่สามารถวิ่งไปถึงได้ภายในเวลาเท่ากันจากจุดศูนย์กลาง อาจมองเป็นวงกลมภายใต้ระยะทางที่นิยามด้วยเวลา
- จุดที่ขับรถไปถึงได้ด้วยเชื้อเพลิงเท่ากัน ก็อาจมองได้ว่าเป็นวงกลมภายใต้ระยะทางที่นิยามด้วยเชื้อเพลิง
- หากแล่นเรือในวันที่ลมแรง จุดที่ไปถึงได้ด้วยความพยายามเท่ากันจะเป็นวงรีที่เอียงไปด้านหนึ่งตามทิศทางลม
ฟังก์ชันระยะแบบไหนถึงจะเป็นเมตริก
- ในคณิตศาสตร์ เมตริก กำหนดเงื่อนไขว่าฟังก์ชันแบบใดจึงจะนับเป็นฟังก์ชันระยะทางได้
- เมตริกต้องเป็นไปตามกฎต่อไปนี้
- ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังตัวมันเองต้องเป็น 0 เสมอ
- ระยะทางระหว่างจุดสองจุดที่ต่างกันต้องเป็นค่าบวกเสมอ
- ระยะทางจาก a ไป b ต้องเท่ากับระยะทางจาก b ไป a
- ระยะทางจาก a ไป c โดยตรงต้องไม่ยาวกว่าการไปจาก a ไป b แล้วไป c
- “ความพยายามที่ต้องใช้ในการแล่นเรือ” เป็นเมตริกได้ยาก
- เพราะความพยายามในการไปตามลมกับทวนลมต่างกัน จึงไม่ผ่านเงื่อนไขข้อที่ 3
- ระยะแบบยูคลิด
d = sqrt(x² + y²) คือคำนิยามระยะทางแบบดั้งเดิมที่ใช้มาตั้งแต่เรขาคณิตกรีกโบราณและแคลคูลัสของ Newton
- เมื่อต้นศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์พบว่าหากฟังก์ชันใดผ่านข้อกำหนดพื้นฐานเหล่านี้ ก็สามารถใช้เป็นฟังก์ชันระยะทางได้ และผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์จำนวนมากก็ยังนำไปใช้ได้โดยปรับแก้บางส่วน
π ในระยะแมนฮัตตัน
- ระยะแมนฮัตตัน คือระยะทางในเมืองแบบกริดที่ไม่สามารถเดินทแยงได้ และต้องรวมระยะการเคลื่อนที่ตามแกน x และแกน y
- สูตรระยะทางเขียนได้เป็น
d = x + y
- ตัวอย่างเช่น ถ้านำค่าความคลาดเคลื่อนในการคาดการณ์การเปลี่ยนแปลงประชากรของสองเมืองไปวางบนแกน x และ y จุดที่มีความคลาดเคลื่อนรวม 1,000 คนจะก่อเป็น “วงกลม” หนึ่งวง
- ในเมตริกนี้ วงกลมจะดูเหมือน สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่หมุน 45 องศา
- ถ้ารัศมีเป็น 1,000 ความยาวแบบแมนฮัตตันของแต่ละด้านคือ 2,000 และเส้นรอบรูปของ 4 ด้านรวมกันคือ 8,000
- เนื่องจาก
8,000 = 2π(1,000) จึงได้ว่าในระบบระยะทางนี้ π=4
π ในระยะแบบค่าสูงสุด
- ระยะแบบค่าสูงสุด คือเมตริกที่ใช้ค่าที่มากกว่าระหว่าง x และ y เป็นระยะทาง
- สูตรระยะทางเขียนได้เป็น
d = max(x, y)
- สอดคล้องกับสถานการณ์ที่ทำหลายงานแบบขนานกันและเวลารวมถูกกำหนดโดยงานที่ใช้เวลานานที่สุด
- ตัวอย่างเช่น ในการแข่งขันทำอาหาร อาจเตรียมวัตถุดิบสองอย่างพร้อมกัน และทั้งสองอย่างต้องเสร็จภายในช่วง 55 ถึง 65 นาที
- วงกลมในระบบระยะทางนี้มีรูปร่างเป็น สี่เหลี่ยมจัตุรัส
- เมื่อรัศมีเป็น 5 ระยะของแต่ละด้านคือ 10 และเส้นรอบรูปของ 4 ด้านคือ 40
- เนื่องจาก
40 = 2π(5) จึงได้ว่าในระยะแบบค่าสูงสุด π=4 เช่นกัน
π ในตระกูล p-norm
- p-norm metric คือชุดเมตริกอนันต์ที่นิยามเป็น
d = (x^p + y^p)^(1/p)
- p สามารถเป็นค่าตั้งแต่ 1 ขึ้นไป
- p-norm เป็นการทำให้คำนิยามระยะทางก่อนหน้านี้เป็นกรณีทั่วไป
- เมื่อ p=1 จะเป็น Manhattan distance
- เมื่อ p=2 จะเป็น Euclidean distance
- เมื่อ p=∞ จะเป็น maximal distance
- รูปร่างของ “วงกลม” ก็เปลี่ยนไปตามค่า p
- สำหรับค่า p ทั่วไป การดูด้วยตาแล้วคำนวณเส้นรอบรูปทันทีทำได้ยาก จึงสามารถใช้คอมพิวเตอร์คำนวณโดยให้เคลื่อนที่ไปตามเส้นรอบวงและติดตามระยะที่เคลื่อนที่
- ตามผลจากงานวิจัย เดิม ค่า π ของแต่ละ p-norm เป็นดังนี้
- p=1: π=4
- p=1.1: π=3.757…
- p=2: π=3.141…
- p=2.25: π=3.155…
- p=3: π=3.259…
- p=11: π=3.757…
- p=∞: π=4
- งานวิจัยดังกล่าวยังพิสูจน์ด้วยว่า 3.14159… เป็นค่า π ต่ำสุดที่เป็นไปได้ ใน p-norm ทั้งหมด
ช่วงของค่า π ในเมตริกทั้งหมด
- p-norm มีอยู่อนันต์ก็จริง แต่เมตริกที่ไม่ใช่ p-norm มีอยู่มากยิ่งกว่า
- งานวิจัย ของ Sahoo พิสูจน์ว่าในเมตริกทั้งหมด π จะมีค่า อยู่ระหว่าง 3 ถึง 4
- เมตริกที่ทำให้ π=4 สามารถเห็นได้จาก Manhattan distance และ maximal distance
- ตัวอย่างที่ทำให้ π=3 ได้มาจากเมตริกแบบหกเหลี่ยมในคำตอบบน StackExchange
- สูตรระยะทางนั้นเป็นดังนี้
d = 1 / (2√3) * Σ(n=1..6) | x sin(πn/3) + y cos(πn/3) |
- π ที่ใช้ในสูตรนี้คือ π ทั่วไปจากตรีโกณมิติแบบยูคลิด
- วงกลมของเมตริกนี้จะกลายเป็น หกเหลี่ยม
- เมื่อคำนวณความยาวของแต่ละด้านของหกเหลี่ยมด้วยสูตรระยะทางนี้ จะได้ว่าทุกด้านยาว 1 และเส้นรอบรูปทั้งหมดเท่ากับ 6
- เมื่อรัศมีเป็น 1 และ
6 = 2π(1) จึงได้ว่าในเมตริกนี้ π=3
π-month แทน π-day
- π-day ในวันที่ 14 มีนาคม ตั้งอยู่บนพื้นฐานของค่า π ทั่วไปที่เป็น 3.14…
- แต่เมื่อ π สามารถมีค่าอยู่ระหว่าง 3 ถึง 4 ได้ในทุกเมตริก หากหาเมตริกที่ตรงกับแต่ละวันได้ ก็อาจฉลองทั้งเดือนมีนาคมเป็น π-month ได้
1 ความคิดเห็น
ความคิดเห็นจาก Hacker News
การมองคณิตศาสตร์ว่าเป็น “เกมที่เริ่มจากสมมติฐาน แล้วค้นหาข้อสรุปเชิงตรรกะที่เป็นไปได้” ช่วย สรุปความคิดที่วนเวียนอยู่ในหัวมาพักหนึ่งได้ดีมากจริง ๆ
ยิ่งผู้คนใส่บทพิสูจน์ที่ผ่านการตรวจสอบแบบ formal verification เข้าไปใน mathlib มากขึ้น ก็ยิ่งทำให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทอื่น ๆ บนฐานนั้นแบบ formal ทำได้ง่ายขึ้น
ตอนที่ยังไม่มีอะไรเลย แม้แต่บทพิสูจน์ง่าย ๆ ก็ต้องเขียนซ้ำและระบุรายละเอียดจำนวนมาก จนแทบเป็นงานแรงล้วน ๆ แต่ใน mathlib เครื่องมืออย่าง
simpหรือlinarithดูเหมือนจะช่วยรับงานหนักที่ซ้ำ ๆ ไปได้มากปรากฏการณ์แบบก้อนหิมะนี้น่าสนใจมาก แต่สิ่งที่ฉันเข้าใจน่าจะถูกใส่ไว้หมดแล้ว จึงคงยากที่จะมีส่วนร่วมอย่างมีความหมาย
“สัจพจน์” ไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับ “ความจริง” เสมอไป แต่ใกล้เคียงกับข้อจำกัดตามอำเภอใจที่สร้างความซับซ้อนขึ้นมา และบางครั้งระบบที่ได้ก็มีประโยชน์
มันมีประโยชน์ และยังมีประเด็นทางปรัชญาให้ขุดลึกเกี่ยวกับประโยชน์นั้นอีกมาก แต่ฉันมองว่านั่นเป็นคุณสมบัติที่แยกจากตัวเกมเอง
ต่อให้มันไร้ประโยชน์ ไม่ได้เพิ่มพูนความรู้ แถมมีประโยชน์ติดลบ เหมือนการแปลงตำราอาหารเป็นเลขฐานสิบหกเล่น ๆ ก็ยังเป็นสิ่งที่ทำได้ในเกมนี้
การพยายามพิสูจน์ข้อคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝดเป็นด่านที่ยากกว่ามาก และเกมนี้เล่นได้ไม่ว่าจะอายุหรือฝีมือแค่ไหน จะเล่นในหัว ใช้กระดาษกับดินสอ หรือใช้คลัสเตอร์คำนวณที่ใหญ่ที่สุดในโลกก็ได้
ในเชิงเทคนิค เกมอื่นทั้งหมดก็เป็นสับเซตของเกมนี้ด้วย และแต่ละคนสามารถเล่นในแบบที่ต้องการได้ ไม่ว่าจะระบายสีภาพสวย ๆ ชนอะตอมเข้าหากัน หรือนับไปให้ถึงจำนวนที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่ทำได้
ยิ่ง ฟังก์ชัน รู้น้อยเกี่ยวกับอาร์กิวเมนต์เท่าไร ก็ยิ่งนำไปใช้ได้ทั่วไปมากขึ้นเท่านั้น
สัจพจน์การเลือกบ่งชี้ถึงการมีอยู่ของเซตที่ไม่สามารถวัดแบบเลอเบกได้ แต่เราไม่สามารถยกตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของเซตที่วัดไม่ได้เช่นนั้นได้ ทำได้เพียงพิสูจน์ว่ามีอยู่
ในทางกลับกัน ในทฤษฎีทางเลือกที่เพิ่มสัจพจน์ความกำหนดแน่นอนเข้าไป สับเซตทั้งหมดของจำนวนจริงจะวัดได้
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_determinacy
https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_measure
แม้ว่าในเรขาคณิตของจักรวาลอื่น π จะแตกต่างออกไป แต่ค่าคงที่สำคัญที่มีค่าเท่ากับ π ของเราก็น่าจะยังคงมีอยู่
ตัวอย่างเช่น จุดศูนย์ของฟังก์ชันที่นิยามด้วยอนุกรม
x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...คือnπสำหรับจำนวนเต็ม n โดยที่ π ตรงนี้คือ π ของเราในฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลก็มี π ของเราปรากฏอยู่เช่นกัน และคาบคือ
2πiผลรวมของอนุกรม
4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + …)คือ π: https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_formula_for_%CF%80ผลรวมของอนุกรม
(1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + …)คือπ²/6: https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problemดังนั้นความน่าจะเป็นที่ตัวเลขสองตัวที่สุ่มแบบสม่ำเสมอจาก
[1…N]จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน จะเข้าใกล้6/π²เมื่อ N โตขึ้นผลคูณ
2(4/3)(16/15)(36/35)(64/63)(100/99)…ก็เป็น π เช่นกัน: https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_productเมื่อ
nโตขึ้น(n!/(√n (n/e)^n))²/2จะเข้าใกล้ π อย่างช้ามาก: https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation ตัวอย่าง: https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=N%5C%2891%29Di...นอกจากนี้ยังมีผลลัพธ์ที่ไม่ใช่เรขาคณิตอีกมากมาย: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=List_of_formulae_...
เท่าที่ผมเข้าใจ มนุษย์ในอารยธรรมยุโรปนิยามฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลเชิงซ้อนในประวัติศาสตร์ให้มี คาบ
2πiเพื่อให้สอดคล้องกับคาบของsinและcosที่นิยามไว้แล้วจริง ๆ แล้วจะนิยามให้มีคาบอื่นก็ได้ เช่น ถ้ากำหนดให้ “360 องศา” ไม่ใช่
2πแต่เป็น1และนิยามsin0=0,sin0.25=1,sin0.5=0,sin0.75=-1,sin1=0คาบของe^ixก็คงถูกนิยามเป็น1เช่นกันระบบเลขฐานสิบก็คล้ายกัน เพียงเพราะมนุษย์มีนิ้วมือสิบ นิ้วจึงใช้ฐานสิบกันมาในประวัติศาสตร์ และไม่มีเหตุผลที่มนุษย์ต่างดาวต้องมีนิ้วสิบ นิ้วเหมือนกัน
3.14...จะดีกว่าเพียงแต่ว่าในจักรวาลอื่น อาจไม่ใช้ π ในสูตรความยาวรอบวงของวงกลม
ในระยะทางแมนฮัตตัน (
L_1) จะเป็นC = 8 R, ในระยะทางยุคลิด (L_2) จะเป็นC = 2π R, และในระยะทางแบบค่าสูงสุด (L_infinity) จะเป็นC = 8 Rดูคล้ายกับการเปลี่ยนฐานในระบบจำนวน
มีหลายวิธีในการนิยามค่าคงที่ที่คล้าย π สำหรับวงกลมหนึ่งหน่วยของ
p-นอร์ม และเมื่อp != 2ค่าพวกนี้อาจไม่ตรงกันถ้านิยาม π ด้วย พื้นที่ ของวงกลมหนึ่งหน่วย จะได้ค่าที่แตกต่างออกไปโดยสิ้นเชิง และนิยามนี้มีคุณสมบัติดี ๆ เช่น เป็นค่าคงที่ของคาบสำหรับชุดฟังก์ชันตรีโกณมิติแบบธรรมชาติของ
p-วงกลมยิ่งไปกว่านั้น
pi(p) = 2 Beta(1/p,1/p)/p...ในทางกลับกัน นิยาม π ที่อิงจากเส้นรอบวง/ความยาวส่วนโค้งมีคุณสมบัติน่าสนใจว่า
pi(p) = pi(q)สำหรับp, qที่เป็นคู่คอนจูเกตกัน“Squigonometry: The Study of Imperfect Circles” เป็นเอกสารอ้างอิงที่น่าสนุกซึ่งกล่าวถึงเรื่องเหล่านี้
อาจจะต้องทิ้งเอกลักษณ์โพลาไรเซชันไป และถ้าเป็นเช่นนั้นก็น่าจะส่งผลต่อรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้วย แต่ไม่แน่ใจรายละเอียด
pi = 3.14159…ปรากฏในแคลคูลัส/การวิเคราะห์ และในสาขาที่ต่อยอดอย่างสถิติด้วย จึงเป็นอิสระจากเรขาคณิตมนุษย์ต่างดาวในจักรวาลอื่นก็คงรู้ค่านี้ เพียงแต่สำหรับวงกลมพวกเขาอาจมีค่าคงที่อีกค่าหนึ่ง
อย่างไรเสียพวกเขาก็คงไม่ได้ใช้อักษรกรีก จึงต้องมีการแปลอยู่แล้ว และการมอง
3.14159…ว่าเป็น π ก็ดูแปลกน้อยกว่าการจับคู่3.757…ของพวกเขากับ “π”แน่นอนว่าในบรรดา
3.14…(π),6.28…(2π),0.785…(π/4)ควรถืออะไรเป็นค่าคงที่พื้นฐานนั้นยังเป็นข้อถกเถียง และมนุษย์ต่างดาวก็อาจคิดต่างไปบทความพยายามอธิบายค่าคงที่ของวงกลมในจักรวาลอื่นโดยนำแนวคิด ฟังก์ชันระยะทาง เข้ามา แต่ฟังก์ชันระยะทางตามอำเภอใจไม่ได้รับประกันการสเกลเชิงเส้นหรือความไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนตำแหน่ง
หากต้องการนิยามค่าคงที่ของวงกลมอย่างมีความหมาย ต้องมีสมมติฐานที่แรงกว่าฟังก์ชันระยะทาง เช่น ปริภูมิเวกเตอร์นอร์ม และตัวอย่างที่ยกมาก็ดูเหมือนเป็นปริภูมิเวกเตอร์นอร์มมากกว่าจะเป็นปริภูมิเมตริกธรรมดา
π ของเราผูกอยู่กับฟังก์ชันระยะทางเพียงแบบเดียวที่วงกลมหนึ่งหน่วยมีความต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้โดยสมบูรณ์
2-นอร์ม มีความพิเศษมากด้วยหลายเหตุผล และก็ดูเป็นธรรมชาติที่ค่าคงที่ซึ่งเชื่อมระหว่างระยะจากจุดหนึ่งกับผลจากการอินทิเกรตค่าคงที่ไปตามเส้นทางที่จุดเหล่านั้นก่อขึ้น จะถูกพบได้บ่อยกว่าค่าคงที่อื่น
หากวงกลมหนึ่งหน่วยของฟังก์ชันระยะทางนั้นไม่มีความต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้ในทุกจุด สิ่งอื่น ๆ อีกมากมายก็อาจล้มตามกันเป็นโดมิโน
ความสัมพันธ์ที่กระชับระหว่างจุด ระยะทาง และเส้นทาง มีอะไรบางอย่างที่เป็นศูนย์กลางอย่างโดดเด่น
อย่างที่อธิบายในคอมเมนต์อื่น ค่า
3.14159ของ π สามารถอนุมานได้จาก ทฤษฎีจำนวน ล้วน ๆ แต่กลับมีบทบาทสำคัญอย่างน่าอัศจรรย์ในการก่อรูปโลกฟิสิกส์ที่เรารู้จักในจักรวาลอื่นจะมีทฤษฎีจำนวนแบบอื่นได้ไหม หรือทฤษฎีจำนวนเป็นจริงโดยไม่ขึ้นกับจักรวาล? ผมสงสัยว่าทฤษฎีจำนวนทางเลือกจะมีหน้าตาเป็นอย่างไรกันแน่
ไม่ได้อยากพูดให้ฟังดูเหมือน Buzzfeed แต่ตารางที่ 3 ก็สมเหตุสมผลพอควร
2piซ้ำไปซ้ำมาจริง ๆคนนี้ดูเหมือนจะไม่รู้เรื่องการแล่นเรือ
beam reach หรือการแล่นเรือทำมุมฉากกับลม จัดอยู่ในวิธีที่เร็วที่สุดเพราะแรงยกของใบเรือ
ผมชอบ HN ก็เพราะการทักรายละเอียดเล็ก ๆ แบบนี้แหละ ทั้งเจาะจงและแม่นยำ แต่ก็ไม่ถึงกับปัดบทความทั้งชิ้นทิ้งเพราะอุปมาอุปไมยเดียวที่ไม่ถูกต้อง
เรื่องนี้น่าทึ่งจริง ๆ และการแล่นเรือก็เป็นวิทยาศาสตร์ที่ยอดเยี่ยม
ขึ้นอยู่กับเรือ ประสิทธิภาพของใบเรือ ประสิทธิภาพของเซ็นเตอร์บอร์ด/กระดูกงู หรืออัตราส่วนแรงยกต่อแรงต้าน โดยทั่วไปแล้ว reach รูปแบบใดรูปแบบหนึ่งมีแนวโน้มจะเร็วที่สุด แต่ก็อาจไม่ทำมุมฉากพอดีกับทิศลมจริง
ยังขึ้นอยู่กับความเร็วลม ความสูงคลื่น การกระจายน้ำหนัก ฯลฯ ด้วย
ตัวอย่างเหล่านี้ล้วนสมมติว่าฟังก์ชันระยะทางพื้นหลังเป็นแบบ ยุคลิด
ถ้าฟังก์ชันระยะทางสองมิติพื้นหลังเป็นภาพฉายของปริภูมิสามมิติที่โค้ง ก็สามารถดึงศูนย์กลางของวงกลมให้ π ใหญ่เท่าไรก็ได้ตามต้องการ
ทั้งรัศมีและเส้นรอบวงวัดด้วย ฟังก์ชันระยะทางเดียวกันนั้นเอง
หากเป็นฟังก์ชันระยะทางที่ดึงจุดกำเนิดเมื่อเทียบกับระยะทางยุคลิด การแมปนั้นต้องต่อเนื่อง และท้ายที่สุดในฟังก์ชันระยะทางนั้นรัศมีกับเส้นรอบวงก็จะเพิ่มขึ้นไปด้วยกัน
จริง ๆ แล้วมีการลิงก์บทความที่พิสูจน์ว่า สำหรับฟังก์ชันระยะทางทุกแบบ ค่า π จะอยู่ระหว่าง 3 ถึง 4 เสมอ รวมปลายทั้งสองด้าน แต่ดูเหมือนจะรับทราฟฟิกไม่ไหว เลยฝากลิงก์สำรองไว้: https://www.researchgate.net/publication/353330827_Extremal_...
ใน เรขาคณิตนอกยุคลิด อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมไม่ได้เป็นค่าคงที่ แต่เปลี่ยนไปตามเส้นผ่านศูนย์กลาง ดังนั้นในกรณีนั้นจึงนิยาม “π” ไม่ได้ตั้งแต่แรก
สื่อแบบนี้ควรเข้าไปเป็นแกนหลักของช่วงต้น ๆ ในเส้นโค้งการเรียนรู้มากกว่า 3B1B เสียอีก
ตอนเด็ก ๆ ผมชอบจินตนาการถึงความสัมพันธ์แบบนี้
ผมจินตนาการว่ามีเทพเจ้าผู้สร้างจักรวาล และบางทีอาจเป็นเด็กเบื่อ ๆ เหมือนผมที่กำลังสร้างจักรวาลเป็นงานส่งโรงเรียน
ถ้าเทพองค์นั้นหมุนปุ่มของ π หรือ e ให้เป็นจำนวนตรรกยะ—แน่นอนว่าถือว่าในจักรวาลของเทพนั้นสามารถหมุนปุ่มไปยังค่าจำนวนอตรรกยะที่แม่นยำได้ด้วย—ชีวิตเราจะง่ายขึ้นหรือยากขึ้น บางทีอาจจะง่ายขึ้นก็ได้
แล้วขนาดปรากฏของโลก/ดวงจันทร์/ดวงอาทิตย์เมื่อมองจากโลกจะเป็นอย่างไร? นั่นเป็นเบาะแสที่ยอดเยี่ยม แต่ถ้าไม่มีความบังเอิญนั้น เราอาจได้รู้ดาราศาสตร์มากกว่านี้ก็ได้
ความประหลาดเชิงกลศาสตร์ควอนตัมของจักรวาล หรือความไม่สมดุลที่จำเป็นต้องอาศัยสสารมืดตามตัวอักษร อาจเป็นบั๊กในงานที่เด็กคนหนึ่งทำอย่างเร่งรีบ และจริง ๆ แล้วมันไม่สมเหตุสมผลตั้งแต่ต้นก็ได้
แต่สิ่งที่ทำให้ผมครุ่นคิดนานที่สุดคือ จำนวนอตรรกยะ
ถ้าอ่านกระแสบทความใน HN มาถูกทาง ก็ขาด บทนำสู่ทฤษฎีเมเชอร์ ของ Terence Tao ไปไม่ได้
https://news.ycombinator.com/item?id=38064211
แต่พูดจริง ๆ นะ ใครจะอ่านหรือไล่ดูหนังสือทฤษฎีเมเชอร์ฟรียาว 260 หน้า?
https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics)
ผมเคยใช้มันเรียน ทฤษฎีเมเชอร์ ด้วยตัวเองเพื่อข้ามวิชาพื้นฐานบางตัวในมหาวิทยาลัย และมันยากมากจริง ๆ
มีแบบฝึกหัดแทบทุกสองหน้า และถ้าไม่ใช้เวลาทำก็คงไม่ได้เรียนรู้อะไรมากนัก
แถมแบบฝึกหัดพวกนั้นก็ยากด้วย
คนก็อ่านหนังสือ 260 หน้ากันอยู่ตลอด
ผมไม่สนใจสาขานี้เลยคงไม่อ่านเล่มนี้ แต่ก็ยุ่งอยู่กับการอ่านหนังสือหัวข้ออื่น ๆ ที่ยาวเกิน 100 หน้า
มีปริภูมิสนุก ๆ ที่สร้างด้วย จำนวน p-adic และเมื่อกำหนดระยะทางแบบง่าย ๆ บนนั้น วงกลมก็จะมีคุณสมบัติแปลก ๆ
ตัวอย่างเช่น เส้นผ่านศูนย์กลาง หรือระยะห่างระหว่างขอบที่ไกลที่สุด กับรัศมี หรือระยะจากขอบถึงศูนย์กลาง จะเท่ากัน
เรื่องประหลาดยังเกิดกับพื้นที่ของจานกลมและเส้นรอบวงด้วย และจานกลมเปิดก็เป็นแบบปิดในเวลาเดียวกันได้ด้วย
สิ่งที่เทียบได้กับ π ในที่นั้นจึงแปลกประหลาดโดยสิ้นเชิง
น่าเสียดายที่จำรายละเอียดไม่ได้แล้ว เป็นโจทย์แบบฝึกหัดในคาบคณิตศาสตร์ราวปี 2000
https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number#Topological_prop...
อุปมาเรื่องเรือดูไม่ค่อยดีเป็นพิเศษ
มันเปรียบเทียบเรือใบในวันที่มีลมกับเรือใบในวันที่ไม่มีลมโดยนัย แต่ถ้าไม่มีลม ตั้งแต่แรกก็คงไม่มีวงกลมด้วยซ้ำ
ผมไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญเรื่องเรือ แต่ถ้าลมมีความเร็ว X นอต เรือก็สามารถแล่นตามลมได้ถึง X นอต และตรงข้ามกับที่บทความอ้าง มันยังสามารถแล่นในทิศขวางลมได้ด้วยความเร็วหลายเท่าของ X
แบบนั้นก็น่าจะได้วงรีคล้ายกับในภาพ แต่ทิศทางจะตรงกันข้าม
อีกอย่าง เรือยังสามารถแล่น “ทวน” ลมได้ด้วยการ tacking และ gybing