a^2 – b^2 = (a + b)(a – b): การพิสูจน์เชิงภาพ

• เป็นบันทึกคณิตศาสตร์สั้น ๆ ที่ตรวจสอบสูตร ผลต่างของกำลังสอง a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) ด้วยแผนภาพ
• ใจความสำคัญคือเอกลักษณ์การแยกตัวประกอบที่เปลี่ยนผลต่างของนิพจน์กำลังสองสองตัวให้เป็น ผลคูณของผลบวกกับผลต่าง
• แผนภาพแสดงการสอดคล้องกันที่ทำให้พื้นที่ของ a^2 – b^2 เท่ากับ (a + b)(a – b)
• เน้นย้ำว่า พีชคณิตและเรขาคณิต สามารถแสดงความสัมพันธ์เดียวกันได้คนละวิธี ดังคำกล่าวของ Sophie Germain
• ไม่ใช่สูตรที่ท่องจำจากสมการเท่านั้น แต่สามารถตรวจสอบเอกลักษณ์ได้อย่างเข้าใจด้วยการจัดวางพื้นที่ใหม่

---

มองผลต่างของกำลังสองผ่านแผนภาพ

• สื่อภาพ เป็น การพิสูจน์เชิงภาพ ของ a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)
• สิ่งที่พิสูจน์คือเอกลักษณ์ที่แสดงผลต่างของกำลังสองให้อยู่ในรูปผลคูณของผลบวกและผลต่างของสองพจน์

ความเชื่อมโยงระหว่างพีชคณิตกับเรขาคณิต

• Sophie Germain กล่าวว่า “มีผู้กล่าวกันว่า พีชคณิตเป็นเพียงเรขาคณิตที่ถูกเขียนออกมา และเรขาคณิตเป็นเพียงพีชคณิตที่ถูกทำให้เป็นแผนภาพ”
• คำกล่าวนี้ถูกนำมาใช้ในบริบทที่แสดงให้เห็นว่าสมการและแผนภาพสามารถแสดงความสัมพันธ์เดียวกันได้ในรูปแบบที่ต่างกัน

[GN⁺]

ความคิดเห็นจาก Hacker News

• ถ้าชอบอะไรแบบนี้ มีหนังสือที่รวบรวมเฉพาะ การพิสูจน์ด้วยภาพ อยู่ https://www.amazon.com/Proofs-without-Words-Exercises-Classr... และใน Wikipedia ก็มีหัวข้อที่เกี่ยวข้อง https://en.m.wikipedia.org/wiki/Proof_without_words
  เมื่อหลายปีก่อน ผมกับอาจารย์ที่ปรึกษาปริญญาเอกและเพื่อนร่วมงานอีกคนวาดหลายอันในนั้นขึ้นใหม่ด้วย LaTeX https://www.antonellaperucca.net/didactics/proof-without-wor... และตั้งใจจะพิมพ์เป็นโปสเตอร์ไปติดในงาน Pi Day แต่เพราะโรคระบาด งานจึงไม่ได้จัด

  • งานนี้ยอดเยี่ยมจริงๆ น่าลองพิจารณาใส่ แหล่งที่มาหรือเครดิต ไว้ใน PDF ด้วย
    ต่อให้คนดาวน์โหลดไฟล์ไปแล้วลืมว่าได้มาจากไหน ก็คงดีถ้ายังให้เครดิตกับที่ที่สมควรได้

• นึกถึงวิดีโอนี้ที่พูดถึงเหตุผลว่าทำไมต้องระวังเวลาเห็นการพิสูจน์ด้วยภาพ: https://www.youtube.com/watch?v=VYQVlVoWoPY
  ในนั้นมี “การพิสูจน์” ว่า π มีค่าเท่ากับ 4 เป๊ะๆ ด้วย กรณีนี้ก็มีสมมติฐานที่ไม่ได้ถูกพิสูจน์รองรับ อย่างที่มีคนชี้ไว้ด้านล่าง และอย่างน้อยก็สมมติว่า b < a

  • ตอน ม.3 ครูเรขาคณิตของผมย้ำหนักแน่นว่าห้ามสมมติ ความยาวและมุม ที่ไม่ได้ระบุไว้ในรูปเด็ดขาด
    โดยเฉพาะอย่าคิดว่ารูปวาดตามสเกล และต่อให้รูปสี่เหลี่ยมดูเหมือนสี่เหลี่ยมจัตุรัส ถ้าไม่ได้เขียนว่าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือไม่มีข้อมูลพอจะตัดสินแบบนั้น ก็ต้องถือว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่ไม่ทราบชนิด ครูบอกว่าถ้าในข้อสอบไม่ทำแบบนี้ “จะหักคะแนนมากกว่าคะแนนเต็มของข้อเสียอีก” และก็ทำจริง โดยให้รูปที่ดูเหมือนว่าว แต่เงื่อนไขมุมเป็นแบบที่เป็นไปได้เฉพาะในสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่ใช่ว่าว ทำให้นักเรียนที่เข้าใจผิดว่าเป็นว่าวโดนหักคะแนนเพิ่ม
  • ปัญหาของการพิสูจน์นั้นมีแค่การสมมติว่าค่าในลิมิตเท่ากับ ค่าที่อนันต์
    ถ้ากำหนดให้ pi(n) เป็นฟังก์ชันบน N ∪ {inf} โดยให้ค่าของ “pi” ในขั้นที่ n ของกระบวนการ และนิยาม pi(inf) เป็นค่าของวงกลมจริง ก็จะเป็นเพียงฟังก์ชันที่ lim n→inf pi(n) ≠ pi(lim n→inf) สำหรับ n ที่มีค่าจำกัดทั้งหมดจะเป็น 4 และที่อนันต์จะเป็น 3.1415...
    อาจเขียนใหม่โดยไม่ใช้คำว่า “อนันต์” ก็ได้ แต่คิดแบบนี้ชัดที่สุดแล้ว ไม่ได้ต่างจาก ฟังก์ชันเดลตาของโครเนคเกอร์ delta(t) ที่มีค่าเป็น 1 ที่ t=0 และเป็น 0 ในกรณีอื่นมากนัก คือ lim t→0 delta(t) ≠ delta(lim t→0 t)
  • b < a สามารถสมมติได้ โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป
  • ถูก แต่เพราะมันอาศัยการปรับเส้นรอบรูปซ้ำ อนันต์ครั้ง ต่างหาก ส่วนการจัดเรียงกล่องไม่กี่ใบใหม่ตรงนี้ไม่มีอนันต์เข้ามาเกี่ยว
  • ถ้าสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่ติดลบไม่ทำให้คุณติดใจ มันก็ยังคงเป็นจริง

• มีการพิสูจน์ด้วยภาพของ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ที่นี่: https://www.dbai.tuwien.ac.at/proj/pf2html/proofs/pythagoras...
  สำหรับผม ทฤษฎีบทพีทาโกรัสไม่ได้ให้สัญชาตญาณในทันที ดังนั้นอันนี้จึงรู้สึกว่า “มีประโยชน์” กว่ามาก การพิสูจน์ในต้นฉบับดูค่อนข้างซ้ำซ้อน เพราะตามมาจาก a(b+c)=ab+ac ได้ตรงๆ การสร้างสัญชาตญาณเกี่ยวกับ สมบัติการแจกแจง ของการคูณสำคัญมากในการศึกษาคณิตศาสตร์ แต่ผมรู้สึกว่าสัญชาตญาณว่าทำไมมันจริงจะสร้างได้ดีกว่าโดยไม่ต้องพึ่งเรขาคณิต

  • ผมเคยเชื่อจริงๆ ว่าถ้าแบ่งเส้นตรงเป็น 3 ส่วนเท่าๆ กัน แล้วลากเส้นจากจุดหนึ่ง ก็จะแบ่ง มุม 60 องศา เป็น 3 ส่วน ส่วนละ 20 องศาได้ด้วย แต่ความจริงไม่ใช่
  • การพิสูจน์ด้วยภาพนั้นดูยังไม่สมบูรณ์ ต้องพิสูจน์ด้วยว่าสี่เหลี่ยมในรูปด้านขวาเป็น สี่เหลี่ยมจัตุรัส
  • ผมไม่รู้สึกว่ามันซ้ำซ้อนกว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสนะ เพราะจะพูดก็ได้ว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสตามมาจาก นิยามของผลคูณภายใน โดยตรงเหมือนกัน

• ต้องระวัง ถ้าเชื่อ “การพิสูจน์” ด้วยภาพ ก็อาจเชื่อแบบนี้ได้ด้วย: https://en.wikipedia.org/wiki/Missing_square_puzzle

  • อันนั้นดูเหมือนตั้งใจทำมาเพื่อหลอก
    คนที่วาดรูปไปพร้อมกับคิดโจทย์น่าจะทำให้เห็นว่าตั้งใจให้มุมสองมุมนั้นเท่ากัน หรือไม่ก็เปิดเผยให้เห็นว่าสามเหลี่ยมหนึ่งมีความชัน 8/3 และอีกสามเหลี่ยมมีความชัน 5/2 ซึ่งต่างกันอย่างชัดเจน
    การพิสูจน์ด้วยภาพที่ดีเพียงแค่ใช้เส้นและรูปทรงแทนสัญลักษณ์เพื่อบอกพีชคณิตจริงๆ และผลลัพธ์ในบางความหมายก็ยังควรเป็น เชิงพีชคณิต อยู่ดี ตัวอย่างในลิงก์หรือการพิสูจน์พีทาโกรัสชื่อดังก็เช่นกัน ถ้าต้องหยิบไม้บรรทัดออกมาเริ่มวัด ก็แปลว่าหลงทางไปแล้ว ผลลัพธ์ทั้งหมดควรเป็นเชิงพีชคณิต ไม่ใช่เชิงภาพ แต่การแสดงพีชคณิตนั้นด้วยรูปภาพแทนตัวอักษรก็ทำได้
  • ไม่เข้าใจว่า “เชื่อ” หมายความว่าอะไร กำลังบอกเป็นนัยว่าตัวอย่างที่ยกมาไม่จริงหรือ? มันจริงมากนะ
    ในฐานะคนดู ตอนแรกอาจสับสนได้ เพราะแยกความต่างระหว่าง 3/8 กับ 2/5 ได้ยาก และเลยสมมติว่าความชันของสามเหลี่ยมสองอันเท่ากัน แต่ การพิสูจน์ด้วยภาพ นั้นแสดงความจริงอย่างซื่อสัตย์ว่าทั้งสองไม่ได้เท่ากัน

• วิธีคล้ายๆ กันนี้ยังมีประโยชน์กับ การคิดเลขในใจ ที่เกี่ยวกับกำลังสองด้วย เช่น 1005² ก็คือเอา 1000² แล้วบวกบล็อก 5×1000 สองอัน กับบล็อกเล็ก 5² เข้าไป จึงได้ 1,010,025
  ในทางกลับกัน 995² คือเอา 1000² ลบบล็อก 5×1000 แบบเดียวกันสองอัน แล้วบวก 5² จึงได้ 990,025

  • ยังมีทริกสนุกๆ อื่นสำหรับการคำนวณกำลังสองแบบนี้ด้วย: https://blog.jgc.org/2010/03/squaring-two-digit-numbers-in-y...

• ในฐานะคนที่อ่อนเรขาคณิตแต่ถนัดพีชคณิต เรื่องนี้น่าทึ่งจริง ๆ ผมยังเริ่มเข้าใจไม่ได้เลยว่าภาพนี้แสดงให้เห็นว่าสมการเป็นจริงได้อย่างไร แม้กระทั่งกับกล่องเฉพาะเหล่านี้ก็ตาม
  แต่ความเกี่ยวข้องของการคูณที่ทำให้พีชคณิตเป็นจริงนั้นรู้สึกได้ชัดเจนมาก ไม่ได้หมายความว่าตัวอย่างนี้แย่หรือดี แต่หมายถึงว่าน่าทึ่งที่ผู้คนคิดต่างกันได้ขนาดไหน

  • ในภาพแรกทางซ้าย จะเห็นว่าด้านกว้างและด้านสูงของสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่คือ a ดังนั้นพื้นที่คือ a×a หรือ a²
    สี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กข้างในมีด้านกว้างและด้านสูงคือ b ดังนั้นพื้นที่คือ b² โดยพื้นฐานแล้วเป็นการเอาสี่เหลี่ยมจัตุรัสเล็กออกจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสใหญ่ จึงได้ a² - b² ในภาพสุดท้ายทางขวา ด้านหนึ่งยาว (a-b) และด้านบนยาว (a+b) ดังนั้นพื้นที่คือ (a-b)(a+b) เพราะฉะนั้น a² - b² = (a + b)(a - b) และขั้นตอนตรงกลางแสดงกระบวนการย้ายพื้นที่ให้เห็นด้วยภาพ
  • อยากรู้ว่าในบรรดาภาพทั้งห้า จุดไหนที่ความเข้าใจสะดุดไป
  • ส่วนไหนที่เข้าใจยาก?

• นั่นดูเหมือนจะแสดงแค่ว่ามี a และ b บางค่า ที่ทำให้สมการเป็นจริง ไม่ได้แสดงว่าเป็นจริงสำหรับ a และ b ทุกค่า

  • นอกจากเงื่อนไขว่าเป็นจำนวนบวกแล้ว การพิสูจน์นี้ต้องการข้อจำกัดอะไรกับ a, b อีกหรือ?
  • จริงเหรอ? แม้ a=0 หรือ b=0 ก็ยังเป็นจริง

• Futility Closet เคยมี พอดแคสต์ ที่มีเสน่ห์และน่าสนใจ คิดถึงจัง แต่ก็ดีใจที่ยังเขียนบล็อกอยู่

  • ผมชอบฟังพอดแคสต์นั้นมาก ยังหาอะไรมาแทนไม่ได้เลย

• ผมชอบดูวิดีโอ YouTube ของ Mathologer อยู่หลายตอน และมักมี การพิสูจน์เชิงภาพ ที่ยอดเยี่ยมให้เห็นบ่อย ๆ
  https://www.youtube.com/watch?v=DjI1NICfjOk (ผลบวกของกำลังสองสองจำนวนของ Fermat)
  https://www.youtube.com/watch?v=rr1fzjvqztY (ทฤษฎีบทของ Ptolemy)
  https://www.youtube.com/watch?v=yk6wbvNPZW0 (จำนวนอตรรกยะ)

• https://www.matematicasvisuales.com/english/index.html ก็น่าดูเช่นกัน
  มีภาพประกอบเชิงภาพที่ยอดเยี่ยมมากมาย และในนั้นมี การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ที่ผมชอบที่สุดด้วย
  https://www.matematicasvisuales.com/english/html/geometry/tr...