เรียนรู้โทโพโลยีผ่านปัญหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสจารึกในเส้นโค้ง [วิดีโอ]

• ปัญหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสจารึกในเส้นโค้งที่ Toeplitz ตั้งขึ้นในปี 1911 เป็นปัญหาที่ยังไม่คลี่คลาย ซึ่งถามว่าเส้นโค้งปิดต่อเนื่องทุกเส้นต้องมีจุดสี่ยอดที่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่เสมอหรือไม่ ส่วนเวอร์ชันที่ง่ายกว่าอย่างสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถเข้าถึงได้ด้วยโทโพโลยี
• สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะเกิดขึ้นเมื่อคู่ของจุดสองคู่มี จุดกึ่งกลาง เดียวกันและมี ระยะทาง เท่ากัน ดังนั้นหากส่งคู่จุดทั้งหมดบนเส้นโค้งไปเป็นจุดในปริภูมิสามมิติ การตัดกันตัวเองจะสอดคล้องกับสี่เหลี่ยมผืนผ้าจารึกในเส้นโค้ง
• เซตของคู่จุดแบบไม่เรียงลำดับทั้งหมดกลายเป็น Möbius strip อย่างเป็นธรรมชาติ และคู่จุดที่เลือกจุดเดียวกันสองครั้งจะเป็นขอบของมัน ซึ่งอยู่บนระนาบที่เส้นโค้งเดิมวางอยู่
• เมื่อนำ Möbius strip นี้ไปประกบกับภาพสะท้อนใต้ระนาบ จะได้ Klein bottle และสมบัติที่ว่ามันไม่สามารถแทนในสามมิติได้โดยไม่มีการตัดกันตัวเอง กลายเป็นหัวใจของการพิสูจน์การมีอยู่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• ปัญหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสยากกว่าเพราะต้องติดตามไปถึงมุมของคู่จุดด้วย และต่างจากผลลัพธ์สำหรับเส้นโค้งเรียบของ Joshua Andrew Lobb ในปี 2020 เส้นโค้งหยาบแบบแฟร็กทัลยังคงเป็นโจทย์ยาก

---

ปัญหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสจารึกในเส้นโค้งและปัญหาสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ง่ายกว่า

• เส้นโค้งปิดต่อเนื่องสามารถมองเป็น ลูป ที่วาดได้โดยไม่ยกปากกาและกลับมายังจุดเริ่มต้น
• หากจุดสี่จุดบนเส้นโค้งกลายเป็นจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส สี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นคือ สี่เหลี่ยมจัตุรัสจารึกในเส้นโค้ง
• คำถามว่าเส้นโค้งปิดต่อเนื่องทุกเส้นต้องมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสจารึกในเส้นโค้งเสมอหรือไม่ เป็นปัญหาที่ยังไม่คลี่คลายซึ่ง Toeplitz ตั้งขึ้นในปี 1911 และโดยทั่วไปเรียกว่า inscribed square problem
• คำถามที่ง่ายลงหนึ่งขั้นคือ ลูปปิดทุกเส้นต้องมี สี่เหลี่ยมผืนผ้า จารึกในเส้นโค้งหรือไม่ และการพิสูจน์นี้อิงจากไอเดียของ Herbert Vaughan
• จุดเน้นไม่ได้อยู่ที่การหาแอปพลิเคชันที่รู้จักกันแล้ว แต่อยู่ที่การแสดงให้เห็นว่าโครงสร้างการแก้ปัญหาถูกสร้างขึ้นอย่างไรผ่านการแก้ปริศนาบริสุทธิ์

แปลงสี่เหลี่ยมผืนผ้าให้เป็นการตัดกันตัวเองของแผนที่สามมิติ

• เงื่อนไขที่จุดสี่จุดก่อเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถเปลี่ยนเป็นเงื่อนไขว่าเส้นตรงสองเส้นมี จุดกึ่งกลาง เดียวกันและมี ความยาว เท่ากัน
  • หากจุดศูนย์กลางของเส้นตรงสองเส้นตรงกันและความยาวเท่ากัน ปลายทั้งสี่จุดจะก่อเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• สำหรับคู่จุดแต่ละคู่บนเส้นโค้ง จะบันทึกข้อมูลต่อไปนี้
  • พิกัด x, y ของจุดกึ่งกลางของคู่จุด
  • ระยะทาง d ระหว่างสองจุด
• ค่าทั้งสามนี้กลายเป็นจุดหนึ่งในปริภูมิสามมิติ และทำให้เกิด แผนที่ต่อเนื่อง จากคู่จุดทั้งหมดบนเส้นโค้งไปยังปริภูมิสามมิติ
• หากคู่จุดสองคู่ที่ต่างกันไปยังจุดสามมิติเดียวกัน คู่จุดทั้งสองจะมีจุดกึ่งกลางเดียวกันและระยะทางเท่ากัน จึงสร้าง สี่เหลี่ยมผืนผ้าจารึกในเส้นโค้ง
• จุดผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ก่อเป็นพื้นผิวซับซ้อนในปริภูมิสามมิติ และ การตัดกันตัวเอง ของพื้นผิวนี้สอดคล้องกับสี่เหลี่ยมผืนผ้าจารึกในเส้นโค้ง
  • ในกรณีของวงกลม คู่จุดจำนวนมากมารวมกันที่จุดหนึ่งบนยอดโดม และวงกลมมีสี่เหลี่ยมผืนผ้าจารึกในเส้นโค้งได้ไม่จำกัดจำนวน
  • หากบีบให้เป็นวงรี จุดตัดหลายจุดจะปรากฏเหมือนเส้นตั้งเส้นหนึ่ง
  • ที่นี่ การตัดกันตัวเองไม่ได้หมายถึงรูปร่างที่เห็นภายนอก แต่หมายถึง “สถานการณ์ที่คู่จุดต่างกันไปยังผลลัพธ์เดียวกัน”

กระบวนการที่ปริภูมิของคู่จุดกลายเป็น Möbius strip

• หากกำหนดพิกัดตั้งแต่ 0 ถึง 1 ให้แต่ละจุดของลูป 0 และ 1 แทนจุดเดียวกันบนลูป จึงต้องติดปลายทั้งสองเข้าด้วยกัน
• คู่จุดแบบเรียงลำดับสามารถแทนได้ด้วยจุดหนึ่งในสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย
  • พิกัด x คือจุดแรก
  • พิกัด y คือจุดที่สอง
  • เมื่อติดขอบซ้ายขวาและขอบบนล่างเข้าด้วยกันตามลำดับ โครงสร้างทั้งหมดจะกลายเป็น torus
• ในการพิสูจน์เรื่องสี่เหลี่ยมผืนผ้า ลำดับของคู่จุดไม่สำคัญ
  • หากมอง a,b และ b,a เป็นคนละอย่างกัน จะเกิด ความซ้ำซ้อนที่ไม่มีความหมาย ภายใต้เงื่อนไขว่าจุดกึ่งกลางเดียวกันและระยะทางเท่ากัน
  • ดังนั้น x,y และ y,x ต้องถูกมองเป็นคู่จุดเดียวกัน
• เมื่อพับสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยตามแนวทแยง แล้วตัดและติดโดยสะท้อนการระบุขอบ ผลลัพธ์จะเป็น Möbius strip
• Möbius strip นี้ไม่ใช่รูปร่างของเล่นตามอำเภอใจ แต่เป็นปริภูมิธรรมชาติที่แสดง คู่จุดแบบไม่เรียงลำดับ ทั้งหมดบนลูปอย่างต่อเนื่อง
  • จุดแต่ละจุดบน strip สอดคล้องกับคู่จุดแบบไม่เรียงลำดับคู่หนึ่งบนลูป
  • คู่จุดแบบไม่เรียงลำดับแต่ละคู่บนลูปก็สอดคล้องกับจุดหนึ่งบน strip
  • หากขยับด้านหนึ่งเล็กน้อย อีกด้านก็ขยับเพียงเล็กน้อยเช่นกัน ไม่มีการกระโดดฉับพลัน
• ขอบสีแดงที่มาจากแนวทแยง x,x คือคู่จุดทั้งหมดที่เลือกจุดเดียวกันสองครั้ง และในแผนที่สามมิติก่อนหน้านี้ มันต้องไปอยู่บน ระนาบ xy ที่มีลูปเดิมวางอยู่

บทบาทของ Klein bottle ในการพิสูจน์

• เมื่อพิจารณาแผนที่ต่อเนื่องจาก Möbius strip ไปยังพื้นผิวสามมิติ ขอบของ strip ต้องอยู่บนระนาบที่ลูปเดิมวางอยู่
• ตอนแรกดูเหมือนต้องใช้สัญชาตญาณว่า “ไม่สามารถใส่ Möbius strip ลงในสามมิติแบบไม่ตัดกันตัวเอง โดยให้ขอบอยู่บนระนาบได้” แต่ประโยคนี้ตามตัวอักษรไม่เป็นจริง
  • นักคณิตศาสตร์ Asimov สร้างการฝัง Möbius strip ในสามมิติที่ทำให้ขอบเป็นวงกลมบนระนาบได้
  • ในโครงสร้างนี้ ส่วนภายในของ strip ผ่านทั้งด้านบนและด้านล่างของวงกลม
• พื้นผิวที่สร้างจากคู่จุดบนลูปใช้ระยะทาง d เป็นความสูง ดังนั้นจุดภายในทั้งหมดอยู่ เหนือระนาบ xy
• ดังนั้นเงื่อนไขที่ต้องการจึงอยู่ในรูปว่า “ไม่สามารถใส่ Möbius strip ที่มีขอบอยู่บนระนาบและส่วนภายในอยู่เหนือระนาบ ลงไปโดยไม่มีการตัดกันตัวเองได้”
• หากสะท้อนพื้นผิวนี้ลงใต้ระนาบ แล้วติดกับพื้นผิวเดิมตามขอบ จะได้พื้นผิวปิดที่เกิดจากการติด Möbius strip สองแผ่นเข้าด้วยกัน
• พื้นผิวที่เกิดจากการติดขอบของ Möbius strip สองแผ่นเข้าด้วยกันสามารถมองเป็น Klein bottle ได้
  • Klein bottle เป็นพื้นผิวไม่กำหนดทิศทางตัวอย่างเด่น ที่ไม่สามารถแบ่งด้านในและด้านนอกได้อย่างชัดเจน
  • ในสามมิติไม่สามารถแทนได้อย่างถูกต้องโดยไม่มีการตัดกันตัวเอง และในมิติที่สูงกว่าสามารถมีอยู่ได้สะดวกกว่า
• เพราะ Klein bottle ไม่สามารถหลีกเลี่ยงการตัดกันตัวเองในสามมิติ พื้นผิวคู่จุดบนลูปและภาพสะท้อนของมันจึงต้องมีการตัดกันตัวเองเช่นกัน
• การตัดกันตัวเองนั้นหมายความว่าคู่จุดสองคู่ที่ต่างกันมีจุดกึ่งกลางเดียวกันและระยะทางเท่ากัน ดังนั้นจึงมี สี่เหลี่ยมผืนผ้าจารึกในเส้นโค้ง อยู่

ปัญหาสี่เหลี่ยมจัตุรัส ความเรียบ และบทบาทของโทโพโลยี

• หากต้องการได้สี่เหลี่ยมจัตุรัส ต้องติดตามไม่เพียงจุดกึ่งกลางและความยาวของคู่จุดสองคู่ แต่รวมถึง มุม ของเส้นตรงด้วย
  • หากเส้นตรงสองเส้นมีจุดกึ่งกลางเดียวกัน ความยาวเท่ากัน และมุมต่างกัน 90 องศา ก็จะก่อเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส
  • เมื่อข้อมูลเพิ่มเป็นสี่ค่า จึงเป็นธรรมชาติที่จะคิดในทิศทางของการฝัง Möbius strip และ Klein bottle ในปริภูมิสี่มิติ
• ในปี 2020 Joshua Andrew Lobb ขยายผลลัพธ์นี้สำหรับเส้นโค้งเรียบ
  • สำหรับเส้นโค้งเรียบ การมีอยู่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นสิ่งที่รู้กันอยู่แล้ว
  • ผลลัพธ์ของ Lobb แสดงให้เห็นว่าในกรณีพิเศษนี้ สามารถหาสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มี อัตราส่วนกว้างยาว ที่เป็นไปได้ทุกแบบได้
  • ในการอภิปรายดังกล่าว มีการปรากฏของการฝัง Möbius strip และ Klein bottle ภายในปริภูมิสี่มิติบางชนิด
• สำหรับเส้นโค้งเรียบ ทุกจุดมี เส้นสัมผัส ที่นิยามไว้อย่างดี
  • เมื่อคู่จุดเข้าใกล้กัน จุดกึ่งกลางและระยะทางจะแสดงพฤติกรรมลิมิตที่สะอาด
  • แม้จะติดตามถึงมุม เมื่อจุดสองจุดเข้าใกล้กัน มุมของเส้นตรงก็จะลู่เข้าสู่มุมของเส้นสัมผัสที่จุดนั้น
• สำหรับเส้นโค้งหยาบแบบแฟร็กทัล มุมอาจไม่มีพฤติกรรมลิมิตเช่นนั้น
• เหตุผลที่ปัญหาสี่เหลี่ยมจัตุรัสจารึกในเส้นโค้งยาก คือมันต้องครอบคลุมไปถึง เส้นโค้งหยาบ ทั้งหมด
• ในโทโพโลยี รูปร่างอย่าง Möbius strip และ Klein bottle ไม่ได้เป็นวัตถุประหลาดในตัวมันเอง แต่ทำหน้าที่เป็น เครื่องมือเชิงตรรกะ สำหรับตัดสินว่าอะไรเป็นไปได้และเป็นไปไม่ได้ภายใต้การสอดคล้องแบบต่อเนื่อง

[GN⁺]

ความคิดเห็นจาก Hacker News

• วิดีโอนี้ดีมากจริง ๆ ผมจบปริญญาเอกด้าน topology เชิงพีชคณิต และเรียน topology มาเยอะ เนื้อหาจึงคุ้นเคยอยู่แล้ว แต่ก็ไม่แน่ใจว่าตัวเองจะอธิบายแนวคิดแบบนี้ได้ชัดเจนขนาดนี้ หรือเชื่อมโลก topology ที่เข้าใจยากเข้ากับปัญหา “เชิงปฏิบัติ” ได้แบบนี้หรือเปล่า
  หลังจบปริญญาเอก ผมผ่านงานมาหลายอย่าง และตอนนี้ทำงานด้าน AI ในตำแหน่ง วิศวกรซอฟต์แวร์วิจัย หลายครั้งก็คิดถึงคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ และบางทีก็เสียดายนิด ๆ ที่ออกจากวงการวิชาการมา แต่การกลับไปทำคณิตศาสตร์ในแวดวงวิชาการอีกครั้งดูแทบเป็นไปไม่ได้ วิดีโอของ 3B1B คอยเตือนเสมอว่าคณิตศาสตร์เปิดกว้างสำหรับทุกคน และแม้ไม่ได้ถูกจ้างเป็นนักคณิตศาสตร์ในมหาวิทยาลัย ก็ยังสนุก เรียนรู้ และค้นพบสิ่งใหม่ ๆ ในคณิตศาสตร์ได้

  • เห็นด้วย ปริญญาเอกของผมตามชื่อสาขาคือ วิทยาการคอมพิวเตอร์ แต่ใช้ topology เชิงพีชคณิตเยอะมาก หลังเรียนจบ ผมทำงานในอุตสาหกรรมเทคโนโลยีช่วงสั้น ๆ เป็นเวลา 5 ปี จากนั้นทำงานเป็นวิศวกรซอฟต์แวร์ในห้องปฏิบัติการวิจัยแห่งชาติ ทำให้มีมุมมองในการมองคณิตศาสตร์บริสุทธิ์จากภายนอก
    ถ้าจะอยู่แนวหน้าของงานวิจัยในสาขาเฉพาะ ก็คงต้องทำงานเป็นนักคณิตศาสตร์มืออาชีพ แต่สำหรับอย่างอื่น ผมมองว่าความจริงที่ว่ารากฐานของคณิตศาสตร์ไม่เปลี่ยน ทำให้มันเข้าถึงได้สำหรับใครก็ตามที่มีความสนใจและความหลงใหลมากพอ
  • ตอนที่หลักสูตรปริญญาของผมเป็น ภูมิภาคศึกษาและภาษาศาสตร์ เพื่อนที่เรียนคณิตศาสตร์มักพูดว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่เป็นประชาธิปไตยที่สุดอันดับสอง สิ่งที่ต้องมีก็แค่ปากกา กระดาษ และถังขยะ ส่วนมนุษยศาสตร์เข้าถึงง่ายกว่านั้นอีก เพราะพวกเราไม่ต้องใช้แม้แต่ถังขยะ
    คิดถึงสาขาเก่า ๆ ของตัวเองเหมือนกัน และคิดถึงช่วงวัยหนุ่มสาวที่อยู่ในมหาวิทยาลัยด้วย
  • ผมคิดว่าเรากำลังจะเข้าสู่ยุคใหม่อันน่าทึ่งของคณิตศาสตร์ที่ขับเคลื่อนโดย AI และตัวพิสูจน์ทฤษฎีบท มันคงสร้างแรงกระแทกครั้งใหญ่ให้วงการคณิตศาสตร์ แต่สำหรับนักคณิตศาสตร์สมัครเล่น น่าจะเป็นช่วงเวลาที่สนุกมาก
  • มี สาขาคณิตศาสตร์ ไหนที่คิดว่าเป็นประโยชน์เป็นพิเศษสำหรับนักพัฒนาซอฟต์แวร์ไหม?
  • ความเข้าใจดั้งเดิมของ manifold ก็คือ configuration space แบบง่าย ๆ และเป็นแนวคิดที่ค่อนข้างเป็นรูปธรรม ดังนั้นผมเลยไม่ค่อยเข้าใจว่าทำไมถึงน่าประหลาดใจที่โลกของ topology จะใช้งานได้จริง

• 3B1B แสดงให้เห็นว่าอะไรเป็นไปได้บ้างใน การศึกษาคณิตศาสตร์ ผมตั้งตารออนาคตของสาขานี้ แต่ก็น่าเสียดายที่กว่าวิธีแบบนี้จะถูกนำมาใช้ในการศึกษาคณิตศาสตร์คงต้องใช้เวลาอีกนาน

  • ความพยายามในการทำ วิดีโอ 30 นาที แบบนี้หนึ่งคลิป ถ้าขยายไปเป็นคาบเรียนคณิตศาสตร์ครึ่งปีหรือหนึ่งปี จะมีขนาดใหญ่มาก
    อีกอย่าง เราดูวิดีโอนี้และเรียนรู้จากมันเพราะเราอยากเรียนรู้ ทันทีที่กดปุ่มเล่น เราก็มีสมาธิอยู่กับหัวข้อนั้นแล้ว ในทางกลับกัน ในห้องเรียนมัธยมหรือมหาวิทยาลัย คนส่วนใหญ่ไม่ได้ฟังเพราะอยากฟัง แต่เพราะต้องฟัง และไม่มีความอินตั้งแต่แรก อาจารย์ก็ไม่สามารถชี้ตัวนักเรียนที่เริ่มง่วงอยู่แถวที่สามจากด้านหลังได้ทันทีเหมือนในวิดีโอ
    สำหรับคนที่อยากเรียนรู้ มันทำงานได้ดีมาก แต่ก็มีความเป็นไปได้ว่าจะยิ่งทำให้คนที่ไม่อยากทำความเข้าใจเนื้อหานั้นตามหลังมากขึ้น
  • ทั้งใช่และไม่ใช่
    ท้ายที่สุดแล้ว หากไม่มี ความซับซ้อนและสัญกรณ์ ที่ได้เรียนจากวิธีการศึกษาแบบเดิมที่กำลังถูกวิจารณ์อยู่ ก็คงยากที่จะสร้างคำอธิบายที่ลดทอนให้ง่ายลงมากแบบนี้ได้ อย่างไรก็ตาม นักเรียนที่มีพรสวรรค์มักมีภาพแบบนี้อยู่ในหัวอยู่แล้วและมีสัญชาตญาณที่ชัดเจน ส่วนการจะพานักเรียนที่ไม่คุ้นเคยหรือมีพรสวรรค์น้อยกว่าให้ตามทัน วิธีแบบนี้ก็มีเหตุผลมาก
  • ไม่มี ทางลัดสู่เรขาคณิต และก็เหมือนกับเส้นทางไป Carnegie Hall ที่ต้องฝึก ฝึก แล้วก็ฝึก

• ดีใจที่กลับมาพูดถึงปัญหานี้อีก วิดีโอต้นฉบับเกี่ยวกับหัวข้อนี้เมื่อหลายปีก่อนทำให้ผมติด 3B1B ทันที

• ผมรู้จัก แถบเมอบิอุส มาตั้งแต่เด็ก และช่วงต้นวัยรุ่นก็รู้แนวคิดของการพิสูจน์การมีอยู่ทำนองที่ว่าฟังก์ชันต่อเนื่องต้องผ่านจุดใดจุดหนึ่งที่ไหนสักแห่ง
  แต่ผมไม่เคยคิดเลยว่าแถบเมอบิอุสจะเป็นอะไรได้มากกว่าของแปลกที่ไร้ประโยชน์ และตอนนี้รู้สึกเหมือนควรต้องขอโทษมันที่เคยมองข้ามอย่างเบา ๆ เกินไป บทบาทของมันในการพิสูจน์นี้น่าทึ่งและทำให้สมองคันยิบ ๆ อย่างเพลิดเพลิน

  • ถ้ายังไม่เคยดูบรรยายเรขาคณิตของดร. Tadashi Tokieda ผมขอแนะนำอย่างยิ่งว่าอย่างน้อยให้ดูบทแรก เป็นคาบแนะนำที่ยอดเยี่ยมที่สุดเกี่ยวกับหัวข้อคณิตศาสตร์เท่าที่ผมเคยเห็นมา โดยมีแถบเมอบิอุสและสิ่งอื่น ๆ เป็นแกนหลัก
    https://www.youtube.com/watch?v=SXHHvoaSctc&list=PLTBqohhFNB...

• ผมไม่รู้คณิตศาสตร์เลยนอกจากพื้นฐานมาก ๆ แต่เนื้อหาแบบนี้ชวนหลงใหล และถ้าจะเข้าใจก็ต้องมีภาพประกอบ เป็นวิดีโอที่ยอดเยี่ยมจริง ๆ
  ตอนที่วิดีโอแนะนำวิธีแมป 2 มิติไปเป็น 3 มิติ ความคิดแรกที่ผุดขึ้นมาคือ “นี่เป็นวิธีแมป 3 มิติไปเป็น 4 มิติ หรือเปล่า?” แล้วต่อมาก็มีการพูดถึง 4 มิติจริง ๆ เรื่องนี้ทั้งนึกภาพไม่ออก และเข้าใจให้ถูกต้องก็ยาก

  • แค่มีความหลงใหลก็พอแล้ว ผมคิดว่าหลายคนมี ความเชื่อที่จำกัดตัวเองเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ เหตุผลที่ความเชื่อแบบนั้นเกิดขึ้นมีหลายอย่าง แต่ผมเชื่อมั่นว่าจริง ๆ แล้วมีคนจำนวนมากที่สนใจคณิตศาสตร์และมีความสามารถด้วย
  • ผมยอมแพ้เรื่อง การนึกภาพ 4 มิติ แล้ว ไม่รู้ด้วยซ้ำว่าทำได้ไหม แทนที่จะคิดถึง 4 มิติในฐานะเรขาคณิต ผมพยายามคิดเป็นแนวคิดอย่างกฎ ผลลัพธ์ หรือความเป็นไปได้มากกว่า
    แม้ใน 3 มิติ เราก็คิดได้ทำนองว่า “วัตถุสองชิ้นไม่สามารถอยู่ที่เดียวกันและเวลาเดียวกันได้”, “เส้นขนานพบกันที่อนันต์”, “เส้นขนานไม่มีวันพบกัน” เพียงแต่ใน 3 มิติ เรามีภาพและสัญชาตญาณช่วย จึงไม่ต้องแยกทุกอย่างออกมาเป็นรูปแบบทางการทุกครั้ง

• ดีใจที่เห็นมีการพูดถึง Lobb หลายปีก่อน—ไม่สิ นานพอสมควรแล้ว—ผมเคยเรียน พีชคณิตเชิงเส้น 1 กับ Lobb เขาเป็นอาจารย์ที่ยอดเยี่ยม และผมยังนึกถึงสีหน้าสิ้นหวังที่เขาแสดงให้เห็นเวลาพวกเราไม่เข้าใจอะไรบางอย่างได้อย่างขำ ๆ

• รู้สึกว่ามีปัญหาตั้งแต่นาทีที่ 4:15 ของวิดีโอ ดูเหมือนเขาข้ามไปสรุปว่าจุดกึ่งกลางแต่ละจุดมีระยะทางเพียงค่าเดียว แต่จุดกึ่งกลางนั้นเป็นผลจากการเลือกจุดสองจุดบนขอบ และเราก็สามารถเลือกจุดสองจุดคู่อื่นที่มีจุดกึ่งกลางเดียวกันแต่มีระยะทางต่างกันได้ง่าย ๆ
  เขาไม่ได้จัดการประเด็นนั้นทันที และตลอดอีก 2 นาทีต่อมาความคิดนี้ก็ยังวนอยู่ในหัว พอเขายังดำเนินต่อไปในทิศทางนั้นโดยไม่อธิบาย ผมเลยหยุดวิดีโอ เพราะคิดว่าบางทีผมอาจพลาดอะไรไป หรือผู้ชมสายคณิตศาสตร์ที่ฉลาดกว่าคงแก้คำถามที่ยังเปิดอยู่นี้ได้ในไม่กี่วินาที และผมอาจไม่มีความโน้มเอียงทางคณิตศาสตร์พอจะเป็นกลุ่มผู้ชมเป้าหมาย
  ผมคิดว่าวิดีโอเพื่อการศึกษาที่ดีคือผลลัพธ์ของกระบวนการที่ผู้ชมทดลองดูยกประเด็นแบบนี้ขึ้นมา แล้ววิดีโอถูกปรับปรุงต่อเนื่อง จนได้วิดีโอสุดท้ายที่ดีแม้สำหรับคนที่สงสัยทุกจุด

  • ในวิดีโอตอน 9:00 เขาพูดถึงส่วนนี้ ดูเหมือนคุณจะนึกถึงกราฟของฟังก์ชัน แต่เขาไม่ได้สร้างฟังก์ชันแบบนั้น เขากำลังทำให้เซตของจุดในสามมิติมองเห็นได้
  • นั่นไม่ใช่การข้ามไปสรุป สิ่งที่เขาพูดมีเพียงว่า จากคู่จุดสองจุดใด ๆ บนเส้นโค้ง มีการแมปไปยังเซตพิกัดสามมิติที่กำหนดด้วย จุดกึ่งกลางและระยะทาง ของคู่นั้น
    ตรงนี้ไม่จำเป็นต้องมีเอกลักษณ์เลย ตรงกันข้าม แก่นสำคัญคือการเปลี่ยนโจทย์การหาสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่จารึกอยู่ภายใน ให้เป็นการหาคู่จุดสองคู่ที่มีจุดกึ่งกลางเดียวกันและระยะทางเท่ากัน และเขาก็พูดแบบนั้นทันทีหลังจุดที่คุณชี้ไป 1 นาที 15 วินาที
  • ฟังก์ชันที่นิยามในวิดีโอคือ “เมื่อให้จุด A และ B สองจุดบนเส้นโค้ง ให้ส่งออก (x, y, z) โดยที่ (x, y) เป็นจุดกึ่งกลาง และ z เป็นความยาวของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อม A กับ B” และภาพนั้นไม่ใช่กราฟของฟังก์ชัน แต่เป็น อิมเมจ (image) ของฟังก์ชัน
    แต่ถ้านิยามด้วยภาพอย่างเดียว ก็เป็นธรรมชาติมากที่จะเข้าใจผิดแบบที่คุณเข้าใจ เพราะภาพดูเหมือนกราฟของฟังก์ชันที่รับจุดกึ่งกลางเป็นอินพุตแล้วคืนค่าระยะทางที่สอดคล้องกับจุดกึ่งกลางนั้น ซึ่งอย่างที่คุณชี้ นั่นนิยามไม่ดี ถ้าเข้าใจแบบนั้น วิดีโอส่วนต่อจากนั้นก็จะหลงทางไปหมด เพราะวิดีโอที่เหลืออุทิศให้กับการอธิบายว่าโดเมนของฟังก์ชันนี้ เมื่อมองเป็นคู่จุดแบบไม่สนลำดับ {A, B} จะกลายเป็นแถบเมอบิอุส
    ท้ายที่สุด ถ้าไม่มีเวอร์ชันเชิงรูปแบบ 100% ของข้อความใดข้อความหนึ่ง ก็จะมีบางคนตีความต่างจากเจตนา เรื่องนี้ไม่เกี่ยวกับว่าผู้ฟังฉลาดแค่ไหน 3Blue1Brown ก็รู้เรื่องนี้ และดูเหมือนกำลังทดลองรูปแบบทางเลือกอยู่ วิดีโอนี้จึงมีให้ในรูปบทความบล็อกแบบอินเทอร์แอกทีฟด้วย ซึ่งระบุชัดว่าฟังก์ชันคือ “f(A, B) = (x, y, z)” และอธิบายตัวแปรไว้ด้วย: https://www.3blue1brown.com/lessons/inscribed-rect-v2
    “สำหรับผู้ฟังที่มากพอ แม้จะรวมแต่คนที่ฉลาดมาก ๆ ไว้ด้วย ทุกคำอธิบายแบบไม่เป็นทางการก็จะก่อให้เกิดการตีความที่ต่างกัน” นี่คือความยากหลักของการสอนคณิตศาสตร์ ในสถานการณ์ที่โต้ตอบกันได้ เราสามารถหยุดบรรยายแล้วให้ถามได้ แต่ก็จะทำให้มีแรงจูงใจให้เน้นรูปแบบนิยมมากขึ้น และอาจเหลือเวลาน้อยลงสำหรับการอธิบายภาพประกอบและสัญชาตญาณ
  • ถ้าวิดีโอเพื่อการศึกษาที่ดีต้องถูกขัดเกลาด้วยคำถามจากผู้ชมทดลองดูไปเรื่อย ๆ ก็คงยาวเท่ากับ คอร์สคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรีหนึ่งภาคการศึกษา
    ตอบคำถามเฉพาะเจาะจงก็คือ เขาไม่ได้สมมติเลยว่าแต่ละจุดกึ่งกลางมีระยะทางเพียงค่าเดียว เขาไม่ได้พูดแบบนั้น และภาพประกอบก็ไม่ได้แสดงแบบนั้น
  • เขาแมปจุดสองจุดไปเป็น (x, y, foo) ด้วยจุดกึ่งกลางและระยะทาง ถ้าจุดสองจุดคู่อื่นที่มีจุดกึ่งกลางเดียวกันมีระยะทางต่างกัน ก็จะถูกแมปไปเป็น (x, y, bar)

• อีกมุมมองหนึ่งต่อทอพอโลยีอยู่ใน General Topology ของ John L. Kelley, D. Van Nostrand, Princeton, 1955
  ในเซตจำนวนจริง R ถ้า x, y ∈ R และ x < y แล้ว (x,y) = { z | x < z < y } เป็นเซตเปิด และถ้า x <= y แล้ว [x,y] = { z | x <= z <= y } เป็นเซตปิด สับเซตของ R ที่ปิดและมีขอบเขตจะเป็นคอมแพกต์ ซึ่งเป็นสมบัติที่ทรงพลังในเรื่องอย่างปริพันธ์รีมันน์
  แนวคิดลักษณะนี้ถูกขยายไปสู่ปริภูมิทอพอโลยีที่ทั่วไปกว่าเส้นจำนวนจริงและช่วงเปิด·ช่วงปิดมาก ๆ น่าจะเพราะอย่างนี้ชื่อหนังสือจึงมีคำว่า “General” ตอนอยู่ปี 4 ภาควิชาคณิตศาสตร์ในมหาวิทยาลัย ผมเคยอ่าน Kelley และเคยบรรยายให้ศาสตราจารย์ฟังด้วย แต่ทุกวันนี้ก็มีนิยามอื่น ๆ ของทอพอโลยีอยู่เช่นกัน

• วิดีโอนี้ทำให้ผมรู้ว่า ทอพอโลยีคืออะไร

• มีใครดูแล้วรู้สึกกังวลขึ้นมาบ้างไหม? เหมือนยังมีความกลัวความล้มเหลว หรือความกังวลตกค้างแบบ คนที่มุ่งความสำเร็จเกินพอดี อยู่

  • ปกติผมไม่พูดเรื่องดาวน์โหวต แต่เสียดายที่คอมเมนต์นี้กลายเป็นสีเทา การตั้งชื่อให้ความรู้สึกไม่สบายใจและมองมันด้วยความอยากรู้อยากเห็นเป็นท่าทีที่น่าชื่นชม และการแชร์ต่อสาธารณะก็กล้าหาญ นี่ไม่ใช่เรื่องที่ควรถูกลงโทษ
    ผมมีปริญญาเอกคณิตศาสตร์ และโดยมากก็ถอยออกมาจากการไล่ตามทางวิชาการแล้ว สิ่งที่ทำให้ผมผ่านปริญญามาได้ไม่ใช่ความปรารถนาความสำเร็จหรือความสำเร็จทางวิชาการ แต่เป็นความรักต่อการเดินทาง หลังจากได้งานอยู่พักหนึ่ง คณิตศาสตร์กลายเป็นสิ่งมืดมนและน่ากลัวสำหรับผม และวิดีโอนี้เหมือนอากาศสดชื่น
    ขอให้คุณพบแหล่งความสุขที่คุณทุ่มเทตัวเองลงไปได้ คุณสามารถเติบโตได้จากรากแบบนั้น ไม่จำเป็นต้องเป็นงานก็ได้ ที่จริงผมเชื่อว่าก้นบึ้งของความกังวลมีตลาดแรงงานที่อันตรายอยู่ รากของผมไม่ใช่อาชีพ แต่เป็นครอบครัวที่ผมเลือกเอง เมื่อมีความมั่นคงแบบนั้น ใจก็ล่องลอยได้ง่ายขึ้น และยังลองจับปริศนาอย่างปัญหาเปิดพวกนี้ได้ จุดเริ่มต้นคือความอยากรู้อยากเห็น
    ครั้งหนึ่งในงานประชุม John H. Conway เคยยอมรับกับผมว่าในช่วงต้นอาชีพ เขาเคยรู้สึกแบบเดียวกับคุณเป๊ะ ๆ
    พูดถึงความล้มเหลว ผมนึกไอเดียในการเข้าหาปัญหาเปิดนี้ขึ้นมาได้ และรีบเขียนโค้ดเพื่อนำไปใช้กับเกล็ดหิมะ Koch พอเขียนลงไปก็เห็นปัญหาชัดเจนของแนวทางนั้น และถ้าพูดเฉพาะข้อสรุปโดยไม่เล่าบริบท ก็คือผมพบการหารด้วยศูนย์ก่อนจะเขียนโค้ดบรรทัดนั้นเสียอีก เพราะไม่มีเหตุผลใด ๆ ที่มันต้องสำเร็จ ความล้มเหลวจึงสนุก และการเจอบั๊กก่อนเขียนมันลงไปก็เป็นเรื่องน่าพอใจเสมอ
  • เป็น ความกังวล จากการที่ไม่เข้าใจในทันทีหรือเปล่า?